Tai lieu on thi cao hocMon hinh vi phan

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (395.37 KB, 23 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH 
KHOA TOÁN – TIN HỌC

Tài liệu hỗ trợ mơn HÌNH VI PHÂN

Trích bài giảng và bài tập của thầy Nguyễn Hà Thanh 
sinh viên thực hiện Nguyễn Thành An

Học phần

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Mặt tham số.

Cho Ulà tập mở trong ¡2, hàm véctơ

( )

3
:

, ,

r U

u v r u v

®¡

a là mặt tham số nếu r là ánh xạ khả vi

trên U . Khi đó r U

( )

là giá của mặt tham số.

Hai mặt tham số r U: ®¡3, :r U~ ~ ®¡3là tương đương nếu tồn tại vi phơi j:U ®U~ sao cho
~

r =r j, ký hiệu r :r~. Nếu hai mặt tham sốtương đương với nhau thì giá của chúng trùng nhau.
2. Mặt đơn.

Cho mặt

( )

S có tham số hóa r, nếu r đơn ánh thì

( )

S là mặt đơn.
3. Mặt chính qui.

Cho mặt

( )

S có tham số hóa

( )

3
:

, ,

r U

u v r u v

®¡

a . Khi đó M =r u v

(

0, 0

)

là điểm chính qui của

mặt

( )

S nếu hai véctơ r'u

(

u v0, 0

)

, 'r v

(

u v0, 0

)

độc lập tuyến tính. Nếu mặt

( )

S chính qui tại mọi

điểm M =r u v

( )

, , với

( )

u v, ỴU thì

( )

S là mặt chính qui. Điểm khơng chính qui là điểm kỳ dị.

Tính chính qui của mặt

( )

S khơng phụ thuộc vào biểu diễn tham số (các bạn tự chứng minh). 
Nếu tại điểm M =r u v

(

0, 0

)

là điểm chính qui của mặt

( )

S thì phương trình mặt phẳng tiếp
xúc hay tiếp diện tại điểm M x y z

(

0, 0, 0

)

nhận r'u

(

u v0, 0

)

, 'r v

(

u v0, 0

)

làm cặp véctơ chỉphương có

dạng

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0 0

0 0 0 0 0 0

' , ' , ' , 0

' , ' , ' ,

u u u

v v v

x x y y z z

x u v y u v z u v

- -

-= .

Đường thẳng vng góc với mặt phẳng tiếp xúc tại điểm M =r u v

(

0, 0

)

là pháp tuyến có
phương trình x x0 y y0 z z0

a b c

- = - =

với a b c, , được tính bởi

(

)

(

)

(

00 00

)

(

00 00

)

' , ' ,

u u

v v

y u v z u v

a

y u v z u v

= ,

(

)

(

)

(

00 00

)

(

00 00

)

' , ' ,

u u

v v

z u v x u v

b

z u v x u v

= ,

(

)

(

)

(

00 00

)

(

00 00

)

' , ' ,

u u

v v

x u v y u v

c

x u v y u v

= , hơn nữa không gian sinh bởi

(

0 0

)

(

0 0

)

'u , , 'v ,

r u v r u v tại điểm M =r u v

(

0, 0

)

là không gian tiếp xúc với mặt

( )

S tại điểm M ,
ký hiệu TM

( )

S . Khi đó

( )

( ) M
M S

T S T S

Ỵ

U

là tập tất cả các không gian tiếp xúc.
4. Đường trên mặt.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Cho mặt

( )

S chính qui có tham số hóa

( )

, ,

r U

u v r u v

®¡

a và

( )

x là đường trong Ucó tham số

( )

u u t

v v t

ỡ =
ù
ớ

ùợ , tẻI qua r cho ta ng cong

( ) ( )

x Ì S có

( )

(

( ) ( )

)

3
:

,
I

t t r u t v t

=
¡
a

Ta khảo sát 2 trường hợp đặc biệt sau.

Trường hợp 1. v=v0tương ứng với đường

( )

r

u u t

v v x

ỡ =

ù ắắđ
ớ

ùợ cú j

( )

t =

(

u t v

( )

, 0

)

. Ta nói
đây là họ tham số thứ nhất trên mặt

( )

S . Các tiếp tuyến của đường tham số thứ nhất có phương là

( )

'u ,
r u v .

Trường hợp 2. u =u0tương ứng với đường

( )

0 r

u u

v v t x

ìï ắắđ
ớ =

ùợ cú j

( )

t =

(

u v t0,

( )

)

. Ta nói
đây là họ tham số thứ hai trên mặt

( )

S . Các tiếp tuyến của đường tham số thứ hai có phương là

( )

'v ,
r u v .

5. Mặt định hướng, véctơ pháp tuyến đơn vị trên mặt định hướng. 
Cho mặt

( )

S chính qui có tham số hóa

( )

3
:

, ,

r U

u v r u v

®¡

a , theo trên hai mặt tham số hóa gọi là

tương đương nếu tồn tại vi phơi j:U ®U~ sao cho r =r~0j. Như ta đã biết

~ ~

~
~

~ ~

'u 'v ' '

u v

J

d u d v

du dv

r r r r

d u d v

dv du

Ù = Ù

14243

, nếu J >0 thì

( )

S là mặt định hướng được.

Cho mặt

( )

S định hướng ta ln có

~ ~

' ' ' '

' '

u v u v

u v

r r r r

r r

Ù = Ù

Ù Ù . Tại mọi điểm M =r u v

( )

, ta ln có

một véctơ đơn vị

( )

, ' '
' '
u v

u v
r r
n u v

r r
Ù
=

Ù là véctơ pháp tuyến đơn vị của

( )

S .
6. Dạng toàn phương cơ bản thứ nhất.

Cho mặt

( )

S chính qui có tham số hóa

( )

3
:

, ,

r U

u v r u v

®¡

a . Xét dạng tồn phương

( )

: M

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

( )

2
2

u u v v

I a =E a + Fa a +G a với E F G, , được xác định bởi E=

(

r'u

( )

u v,

)

( ) ( )

'u , . 'v ,

F =r u v r u v , G=

(

r'v

( )

u v,

)

Đối với dạng toàn phương cơ bản thứ nhất ta thường quen nhìn ở dạng

( )

I a =E du + Fdudv+G dv .

7. Cơng thức tính độ dài cung trên mặt. 
Cho mặt

( )

S chính qui có tham số hóa

( )

3
:

, ,

r U

u v r u v

®¡

a và đường cong

( )

x có tham số

( )

t r u t v t

(

( ) ( )

)

,t

[ ]

a b,

j = Ỵ . Khi đó cơng thức tính độ dài cung trên mặt là

( )

' 2 ' ' '

b

t t t t

a

l =

ò

E u + Fu v +G v dt, với , , E F G được xác định như trên.
8. Cơng thức góc giữa hai đường cong trên mặt.

Cho mặt

( )

S chính qui có tham số hóa

( )

, ,

r U

u v r u v

®¡

a và hai đường cong

( )

x1 có j1

( )

t =r u t v t

(

( ) ( )

, 1

)

, 'j 1

( )

t =r'u1u'1+r'v1v'1

( )

x2 có j2

( )

t =r u t v t

(

( ) ( )

, 2

)

, 'j 2

( )

t =r'u2u'2+r'v2v'2
(u u v v1, 2, ,1 2 đều lấy đạo hàm theo biến t).

Khi đó cơng thức tính góc giữa 2 đường cong

( )

x1 và

( )

x2 là

( )

(

)

( )

1 2 1 2 2 1 1 2

1, 2 2 2 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

' ' ' ' ' ' ' '

' 2 ' ' ' ' 2 ' ' '

Eu u F u v u v Gv v

c

E u Fu v G v E u Fu v G v

x x = + + +

+ + + + .

Trong trường hợp đặc biệt.

Nếu

( )

x1 có j1

( )

t =r u t v

(

( )

, 0

)

( )

x2 có j2

( )

t =r u v t

(

0,

( )

)

thì j'1

( )

t =r u'u 't,

( )

' t r v'v 't

j = . Khi đó cos

( )

·1, 2 F
EG
x x = .
9. Ánh xạ Weingarten.

Xét ánh xạ h T: M

( )

S ®TM

( )

S thỏa mãn

( )

' ' '

h

u u u

h

v v v

r h r n

ì ắắđ =
-ù

ớ

ắắđ =
-ùợ

v aẻTM S( ):a=a ru 'u+a rv 'vắắhđ =a au

(

-n'u

)

+av

(

-n'v

)

= -a nu 'u-a nv 'v.

ta gọi ánh xạ h được xác định như trên là ánh xạ Weingarten (ánh xạ định dạng của

( )

S ). Khi đó

[ ]

det h là độ cong Gauss của

( )

S và các giá trị riêng của ma trận

[ ]

h gọi là độ cong chính.

Nhận xét. h là ánh xạ tuyến tính, cách xác định ánh xạ tuyến tính h khơng phụ thuộc vào
tham số. Ma trận của ánh xạ tuyến tính h là ma trận cấp 2, llà giá trị riêng của ma trận h nếu

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

10.Dạng toàn phương cơ bản thứ hai. 
Cho mặt

( )

S chính qui có tham số hóa

( )

3
:

, ,

r U

u v r u v

®¡
a

Ánh xạ

( )

, , . .

M M

II T S T S

a b I a b h a b a h b

= =

a là dạng song tuyến tính đối xứng. Khi đó

( )

, .

( )

II a a =a h a =h a a là dạng toàn phương cơ bản thứ hai có công thức dạng

( )

u u v v

II a = L a + Ma a +N a , với L M N, , được tính bởi L= -n'u

( ) ( )

u v r, 'u u v, ,

( ) ( )

'u , 'v , 'v , 'u ,

M = -n u v r u v = -n u v r u v , N = -n'v

( ) ( )

u v r, 'v u v, .

Nếu mặt

( )

S có tham số hóa dạng r u v

( )

, =

(

x u v

( ) ( ) ( )

, ,y u v z u v, , ,

)

thì L M N, , được tính

'' '' ''
1

' ' '

uu uu uu

u u u

v v v

x y z

L x y z

EG F x y z

- , 2

'' '' ''
1

' ' '

uv uv uv

u u u

v v v

x y z

M x y z

EG F x y z

- ,

'' '' ''
1

' ' '

vv vv vv

u u u

v v v

x y z

N x y z

EG F

x y z

-11.Độ cong pháp dạng.

Lấy aỴTM

( )

S :a=a ru 'u+a rv 'v. Độ cong pháp dạng của

( )

S tại điểm M theo phương a
được ký hiệu KM

( )

a và

( )

( )

( )

2 2

2
2

u u v v

M

u u v v

L a Ma a N a

II a

K a

I a E a Fa a G a

+ +
= =

+ + .

Lưu ý. KM

( )

l =a KM

( )

a
12.Phương chính.

Giả sử h là ánh x Weingarten ca mt

( )

S , aẻTM

( )

S ,aạ0. Ta nói alà phương chính của
mặt

( )

S nếu a là véctơ riêng của ma trận ánh xạ tuyến tính h hay h a

( )

=la với llà độ cong
chính.

Thấy rằng aỴTM

( )

S :a =a ru 'u

( )

u v, +a rv 'v

( )

u v, ta sẽ xác định a au, v dựa vào định thức

2 2

v u v u

a a a a

E F G

L M N

-= .

Khi đó

LN M

K

EG F

- là độ cong Gauss,

(

)

2
2

EN GL FM
H

EG F

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Lưu ý. Việc tính độ cong chính của mặt

( )

S ta có thể dựa vào phương trình

(

)

(

)

(

)

2 0

EG-F l - EN+LG- MF l+ LN -M = để ý rằng 1 2
1. ,2

K =l l H = l l+ .

13.Phân loại điểm trên mặt.

Cho mặt

( )

S chính qui có tham số hóa

( )

3
:

, ,

r U

u v r u v

®¡

a và độ cong Gauss tại điểm

( ) ( )

A=r u v Ỵ S có cơng thức

LN M

K

EG F

- , độcong chính tương ứng là l l1, 2.

Nếu K >0 thì A là điểm Eliptic. Nếu K<0 thì A là điểm Hyperbolic. Nếu K =0 thì A là 
điểm Parabolic.

Nếu l1 =l2 thì A là điểm rốn. Nếu l1=l2 ¹0 thì A là điểm cầu. Nếu l1=l2 =0thì A là
điểm dẹt.

BÀI TẬP MINH HỌA

Bài 1. Viết phương trình tham số hóa của các mặt trịn xoay sau trong ¡3.
a) Mặt Elipxoit tròn xoay.

b) Mặt Hyperboloit 1 tầng tròn xoay.
c) Mặt Hyperboloit 2 tầng tròn xoay.
d) Mặt Paraboloit trịn xoay.

Giải.

a) Phương trình Elipxoit trịn xoay quay quanh trục

( )

0x có dạng

2 2 2

2 2 2 1

x y z

a + b +b = .

Đặt

2 2

2
2

2
cos

sin

x y

u

a b

z
u

b

= +
ïï

ï =
ïỵ

. Khi đó ta được

.cos .cos
.cos .sin
.sin

x a u v

y b u v

z b u

=
ì
ï =
í
ï =
ỵ

Do vậy phương trình tham số hóa của mặt Elipxot trịn xoay quay quanh trục

( )

0x là

( ) (

, .cos .cos , .cos .cos , .sin

)

r u v = a u v b u v b u .

Phương trình Elipxoit trịn xoay khi quay quanh trục

( )

0y có dạng

2 2 2

2 2 2 1

x y z

a +b + a = . Tương
tự như trên cho ta phương trình tham số hóa của mặt Elipxoit trịn xoay quay quanh trục

( )

0y là r u v

( ) (

, = a.cos .cos , .cos .cos , .sinu v b u v a u

)

.
b) Phương trình Hyperboloit 1 tầng trịn xoay có dạng

2 2 2

2 2 2 1

x y z

a -b + a = .

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Đặt

2 2

2
2

2
os

sin

x y

c u

a b

z
u

a

-ïï

ï =
ïỵ

. Khi đó ta được

.cos .
. os.
.sin

x a u chv

y b c shv

z a u

=
ì
ï =
í
ï =
ỵ

. Do vậy phương trình tham số hóa

của Hyperboloit 1 tầng tròn xoay là r u v

( ) (

, = a.cos .u chv b, .cos .u shv a, .sinu

)

.
c) Phương trình Hyperboloit 2 tầng trịn xoay có dạng

2 2 2

2 2 2 1

x y z

a -b -b = .

Đặt

2 2

2
2

x y
ch u

a b
z
sh u

a

-ïï
í

ï =

ïỵ

. Khi đó ta được

. .
. .
.

x a chu chv

y b chu shv

z b shu

=
ì
ï =
í
ï =
ỵ

. Do vậy phương trình tham số hóa của

Hyperboloit 2 tầng tròn xoay là r u v

( ) (

, = a chu chv b chu shv a shu. . , . . , .

)

.
d) Phương trình Parabolit trịn xoay có dạng x2+ y2 =2pz.

Đặt

2
1
2

os
.c
.sin

y u

z u

p

x u

v
v

ì
ï
ïï
í

ï ==
ỵ

ï
ï

. Khi đó phương trình tham số hóa của Paraboloit trịn xoay là

( )

1 2

.c , sin ,
,

2
os .

r u v u v u v u
p

ổ ử

= ỗ ữ

ố ứ.

Bi 2. Cho U =

[

0, 2p

] [

´ 0, 2p

]

và hai hàm véctơ r U: ® ÌI ¡3, :r U~ ~ = ®U ¡3 xác định bởi

công thức

( ) (

(

)

(

)

( )

~ ~ ~ ~

~ ~

, 2 cos cos , 2 cos sin ,sin
, 2 cos cos , 2 cos sin ,sin

r u v u v u v u

r u v v u v u v

ì = + +

ớ ổổ ử ổ ử ử

= + +

ù ỗốỗố ữứ ỗố ữứ ữứ
ợ

a) Chng minh rng rv r~l cỏc mt tham s húa v r U

( )

= ỗ ữr U~ỉ ư~

è ø.

b) rvà r~ có tương đương khơng? Vì sao?

Giải.

a) Dễ dàng kiểm tra được r, r~ là 2 ánh xạ khả vi vì các hàm cos, sinulà các hàm số sơ cấp.
Do U =U~nờn r U

( )

= ỗ ữr U~ổ ử~

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

b) Giả sử r và r~ tương đương tức là tồn tại phép biến đổi tham số j:U~ ®U sao cho ~r=r0j.

Khi đó j là vi phơi bảo toàn hướng từ U~lên Utức là detJj >0 với

1 1

2 2

~ ~

u v
J

u v

j j

ỉ ¶ ả ử

ỗả ả ữ

ỗ ữ

ỗ ả ả ữ

ỗả ả ữ

ố ứ

Ta li cú r u v~ổỗ ~ ~, ửữ=

( )

r0j ổỗu v~ ~, ửữr u v~ổỗ~ ~, ữử=rỗổj1ỗổu v~ ~, ửữ,j2ổỗu v~ ~, ửữửữ

ố ứ ố ứ ố ứ è è ø è øø

~ ~ 1 ~ ~ 2 ~ ~

~ 1 ~ ~

2 cos cos 2 os , os ,

2 cos sin 2 os , sin ,

sin sin ,

v u c u v c u v

v u c u v u v

u u v

j j

ìỉ + ư =ỉ + ỉ ửử ổ ử

ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ

ùố ứ ỗố è ø÷ø è ø
ï

ï ỉ ư

ïỉ ư ỉ ư ỉ ử

ớỗ + ữ =ỗ + ỗ ữữ ỗ ữ
ố ứ ố ố ứứ ố ứ
ù

ù ổ ử
=

ù ỗ ữ
ố ứ
ùợ

. Suy ra

~ ~ ~

2
,

u v v

u v u

j
j

ỡ ổ ử =
ỗ ữ
ùù ố ứ
ớ

ổ ử

ù ỗ ữ=
ù ố ứ
ợ

Do ú 1 1

1 0
Jj = ỗổ ửữ

ố ø có detJj = - <1 0(mâu thuẫn).

Vậy ta có điều cần chứng minh.

Bài 3. Cho Umở trong ¡, mặt

( )

S có r U: ®¡3 xác định bởi r u v

( )

, =

(

u v u, , 2-v2

)

, với mọi

( )

u v, ỴU.

a) Chứng minh rlà tham số hóa chính qui.

b) Tìm giao tuyến giữa mặt phẳng tiếp xúc

( )

p tại điểm A=r

( )

0,1 với mặt

( )

S .
Giải.

a) Xét tại điểm tùy ý A=r u v

( )

, ỴU.

Lấy đạo hàm theo biến , u v cho ta r'u

( ) (

u v, = 1, 0, 2u r

)

, 'v

( ) (

u v, = 0,1, 2- v

)

.
Suy ra

(

r'uÙr'v

)

( ) (

u v, = -2 , 2 ,1u v

)

Theo trên ta lại được

(

r'uÙr'v

)( )

u v, = 4u2+4v2+ ¹ "1 0,

( )

u v, ÎU.
Do đó 2 véctơ r'u

( )

u v r, , 'v

( )

u v, độc lập tuyến tính.

Vậy rlà tham số hóa chính qui hay

( )

S là mặt chính qui.

b) Phương trình mặt phẳng tiếp xúc

( )

p tại A=r

( ) ( )

0,1 Ỵ S có dạng là

( )

0 0 0

' 0,1 ' 0,1 ' 0,1 0
' 0,1 ' 0,1 ' 0,1

u u u

v v v

x x y y z z

x y z

- -

-= (3.1), trong đó

( )

(

) (

)

( )

0 0 0

0,1 , , 0,1, 1
' 0,1 1, ' 0,1 0, ' 0,1 0
' 0,1 0, ' 0,1 1, ' 0,1 2

u u u

v v v

A r x y z

x y z

ì = = =
-ï

= = =

ï = = =

-ỵ

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Thế vào (3.1) ta được

1 1

1 0 0 0

0 1 2

x y- z+

hay 2y+ - =z 1 0.
Do vậy phương trình mặt phẳng tiếp xúc

( )

p là 2y+ - =z 1 0.
Lấy

(

) ( )

2 2

, , ,

x u

M x y z r u v y v

z u v

ì =
ï
Ỵ Ûí =

ï =
-ỵ

. Khi đó mặt

( )

S :z= x2- y2.

Từđó cho ta

2 2

2 1 0

z x y
y z
ì =
-í

+ - =

ỵ suy ra

1 0

2 1 0

1 0

2 1 0

x y

y z

x y

y z

éì + - =
í

ê + - =
ỵ

êì - + =
êí + - =
êỵ

Do vậy giao tuyến giữa mặt phẳng tiếp xúc

( )

p với

( )

S là cặp đường thẳng có phương trình
1 0

2 1 0

1 0

2 1 0

x y

y z
x y

y z
éì + - =

ê + - =
ỵ

êì - + =
êí + - =
êỵ

Bài 4. Trong ¡3với mục tiêu trực chuẩn 0xyz cho

( )

P :y =0,z =ax2
a) Viết phương trình mặt trịn xoay sinh ra khi

( )

P quay quanh trục 0z.
b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc tại điểm tùy ý của mặt tròn xoay.
Giải.

a) Quay

( )

2 1

x z

P a

y

ì =
ï
í
ï =
ỵ

quanh trục 0z cho ta mặt trịn xoay

( )

S có phương trình x2 y2 1z
a

+ = .
b) Phương trình tham số hóa của mặt

( )

S là r u v

( )

, =

(

ucos , sin ,v u v au2

)

Phương trình mặt phẳng tiếp xúc

( )

p tại điểm A=r u v

(

0, 0

) ( )

Ỵ S có dạng

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0 0

0 0 0 0 0 0

' , ' , ' , 0

' , ' , ' ,

u u u

v v v

x x y y z z

x u v y u v z u v

- -

-= (4.1).

Với A=r u v

(

0, 0

) (

= x y z0, 0, 0

)

(

u0cosv u0, 0sinv au0, 02

)

(

0 0

) (

0 0 0

)

'u , ' , ' , 'u u u cos ,sin , 2
r u v = x y z = v v au

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bài 5. Cho f là hàm trơn trên tập mở U Ì¡2và mặt

( )

S có tham số hóa r U: ®¡3 xác định

bởi r u v

( )

, =

(

u v f u v, ,

( )

)

, với mọi

( )

u v, ỴU.

a) Tìm dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai của r.

b) Tính độ cong Gauss Kcủa

( )

S tại một điểm tùy ý.
Giải.

a) Dạng cơ bản thứ nhất của r có dạng I a

( )

=E a

( )

u 2+2Fa au v +G a

( )

v 2 (5.1)
Với E=

(

r'u

( )

u v,

)

2 = +1

( )

f 'u 2, F =r'u

( ) ( )

u v r, 'v u v, = f ' . 'u f v

( )

(

)

( )

'v , 1 'v

G= r u v = + f .

Thế vào (5.1) ta được I a

( )

= +ëé1

( ) ( )

f 'u 2ûù au 2+2 'f u f 'va au v + +éë1

( ) ( )

f 'v 2ùû av 2.
Dạng cơ bản thứ hai của r có dạng II a

( )

= L a

( )

u 2+2Ma au v +N a

( )

v 2(5.2). 
Với

( ) ( )

2 2 2

'' '' ''

''
1

' ' '

1 ' '

' ' '

uu uu uu

u

u u u

u v

v v v

x y z

f

L x y z

EG F x y z f f

= =

- + +

( ) ( )

2 2 2

'' '' ''

''
1

' ' '

1 ' '

' ' '

uv uv uv

uv

u u u

u v

v v v

x y z

f

M x y z

EG F f f

x y z

= =

- + +

( ) ( )

2 2 2

'' '' ''

''
1

' ' '

1 ' '

' ' '

vv vv vv

vv

u u u

u v

v v v

x y z

f

N x y z

EG F x y z f f

= =

- + +

Thế vào (5.2) ta được

( )

( ) ( )

(

( )

)

2 2

'' 2 '' ''

1 ' '

u u uv u v v v

u v

II a f a f a a f a

f f

= + +

+ + .

b) Độ cong Gauss tại một điểm tùy ý được tính theo cơng thức

LN M
K

EG F

-=

- theo câu a) ta

được

(

)

( ) ( )

2 2

'' '' ''

1 ' '

u v uv

u v

f f f

K

f f

+ + .

Bài 6. Cho U =

[

0, 2p

] [

´ 0, 2p

]

và mặt xuyến

( )

S có r U: ®¡3 xác định bởi cơng thức

( ) (

(

2 cos

)

cos , 2 cos

(

)

sin ,sin

)

r u v = + u v + u v u

a) Xác định các đường tọa độ r u v

(

, 0

) (

, r u v0,

)

của r.

b) Lập phương trình tổng quát của các mặt phẳng tiếp xúc tại 2 điểm

( )

0, 0 , , 0

A=r B= ỗrổp ửữ

ố ứ.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

a) Vi v=v0tương ứng với đường

( )

r

u u t

v v x

ỡ =

ù ắắđ
ớ

ùợ . Vi mi im Mẻ

( )

x cho ta

(

)

(

)

0 0

0
2 cos cos

sin cos 0

2 cos sin suy ra

sin 0
sin

x u v

x v y v

y u v

z u

ì = +

- =

ï ì

= +

í í - =

ỵ
ï =

ỵ

Do vậy họ tham số v=v0là những đường thẳng có phương trình sin 0 cos 0 0
sin 0

x v y v

z u

- =
ì

í - =

ỵ . Khi

v thay đổi các đường thẳng này tạo thành lưới tọa độ thứ nhất.
Với u =u0tương ứng với đường

( )

0 r

u u

v v t x

ỡù ắắđ
ớ =

ùợ . Vi mi im Mẻ

( )

x cho ta

(

)

(

)

2 cos cos
2 cos sin
sin

x u v

y u v

z u

ì = +
ï

= +
í

ï =
ỵ

suy ra

(

)

2 2

2 cos
sin 0

x y u

z u

ì + = +
ï

- =

ïỵ . Do vậy họ tham số u =u0là những

đường tròn giao giữa mặt phẳng z-sinu0 =0 và mặt trụ. Khi u0thay đổi các đường thẳng
này tạo thành lưới tọa độ thứ hai.

b) Phương trình mặt phẳng tiếp xúc

( )

pA tại điểm A=r

( ) ( )

0,0 Î S có dạng

( )

0 0 0

' 0, 0 ' 0, 0 ' 0, 0 0
' 0, 0 ' 0, 0 ' 0, 0

u u u

v v v

x x y y z z

x y z

- -

-= (6.1) với

(

) (

)

( ) (

)

( ) (

)

0, 0, 0 3, 0, 0
' 0, 0 0, 0,1
' 0, 0 0,3, 0

u

v
x y z
r

r

ì =

=
í

ï =

ỵ

Thế vào (6.1) cho ta phương trình mặt phẳng là x- =3 0.

Tương tựphương trình mặt phẵng tiếp xúc

( )

pB tại điểm , 0

( )

B=rổỗp ửữẻ S

ố ứ l x+ - =z 3 0.

Bài 7. Cho U =

[

0, 2p

] [

´ 0, 2p

]

Ì¡2 và mặt giả cầu

( )

S có r U: ®¡3 xác định bởi cơng thức

( )

, sin cos , sin sin , cos ln tan

2
u
r u v =ỗổa u v a u v aổỗ u+ ửữửữ

ố ø

è ø.

a) Xác định dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai của mặt

( )

S .

b) Tính độcong Gauss, độ cong trung bình, độ cong chính của

( )

S .
c) Xác định các điểm Hyperbolic, Eliptic và Parabolic của

( )

S .
Giải.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Thế vào (7.1) cho ta I a

( )

=a2cotan u a2

( )

u 2+a2sin2u a

( )

v 2.

Dạng cơ bản thứ hai của mặt

( )

S có dạng II a

( )

= L a

( )

u 2+2Ma au v +N a

( )

v 2(7.2). 
Với L= -n'u

( ) ( )

u v r, 'u u v, = -acot an , u M = -n'u

( ) ( )

u v r, 'v u v, =0

( ) ( )

' , ' , sin 2

v v

N = -n u v r u v = a u.

Thế vào (7.2) cho ta

( ) (

cot an

)( )

2 1 sin 2

( )

2
2

u v

II a = -a u a + ỗổ a uửữ a

ố ứ .

b) Độ cong Gauss được tính theo cơng thức

LN M

K

EG F

- theo câu a) ta tính được

1
K

a

= - .
Độ cong trung bình được tính theo cơng thức

(

)

2
EN LG FM
H

EG F

- theo câu a) ta tớnh c
1

cot an sin 2

2 2

a

H = ổỗ- u+ uư÷

è ø.

Độ cong chính l của mặt

( )

S tại một điểm tùy ý là nghiệm của phương trình

(

)

(

)

(

)

2 0

EG-F l - EN +LG- MF l+ LN -M = (7.3) theo câu a) ta thế vào (7.3) cho
ta phương trình a c u2 os l2-a

(

sinu-cos cot anu u

)

l-c uos =0 điều kiện cosu¹0.

Với

2 0

sin

a

u

D = > khi u¹0,p p, 2 cho ta 2 nghiệm

(

)

(

)

1 2

2 2

sin cos cot an

sin
2 cos

sin cos cot an

sin
2 cos

a

a u u u

u

a u

a

a u u u

u

a u

l
l

é - +

ê
ê =
ê
ê

-ê
ê =
êë

Vậy độ cong chính của mặt là

(

)

(

)

1 2

2 2

sin cos cot an

sin
2 cos

sin cos cot an

sin
2 cos

a

a u u u

u

a u

a

a u u u

u

a u

l
l

é - +

ê
ê =
ê
ê

-ê
ê =
êë

khi 0, , 3
2
2 , , 2

u ¹ p p p p .

c) Vì K 1 0

a

= - < với mọi

( )

u v, ỴU nên điểm nào của mặt

( )

S ln là điểm Hyperbolic.
Bài 8. Cho mặt trịn xoay

( )

S có tham số hóa r u v

( )

, =

(

( )

u cos ,v j

( )

u cos ,u x

( )

u

)

, với j x, là

các hàm một biến trơn thỏa j >0,

( ) ( )

j' 2+ x' 2 ¹0.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Giải.

a) Dạng cơ bản thứ nhất có cơng thức dạng I a

( )

= E a

( )

u 2+2Fa au v +G a

( )

v 2(8.1). 
Ta lại có r'u

( )

u v, =

(

j'cos , 'cosv j u-j

( )

u sin , 'u x

)

, r'u

( )

u v, = -

(

( )

u sin , 0, 0v

)

Suy ra E =

(

r'u

( )

u v,

)

(

j'cosv

)

(

j'cosu-j

( )

u sinu

)

( )

x' 2

( ) ( )

( )

'u , 'v , ' sin cos

F =r u v r u v = -j j u v v, G=

(

r'v

( )

u v,

)

(

( )

u sinv

)

2
Thế vào (8.1) ta được I a

( ) (

=ëé j'cosv

)

(

j'cosu-j

( )

u sinv

)

( )

x' 2ûù

( )

au 2+

( )

(

)

2 -j j' u sin cosv v a au v +

(

( )

u sinv

)

( )

av 2

Dạng cơ bản thứ hai có cơng thức dạng II a

( )

=L a

( )

u 2+2Ma au v+ N a

( )

v 2(8.2). 
Hơn nữa r''u

( )

u v, =

(

j''cos , ''cosvj u-j' sin

(

u+cosu

) ( )

-j u cos , ''u x

)

( ) (

)

( )

(

( )

)

''uv , 'sin , 0, 0 , ''v , sin , 0, 0

r u v = -j v r u v = -j u v

Suy ra M =0,N =0 thế vào (8.2) cho ta II a

( )

=L a

( )

u 2, với Lđược tính như trên.
b) Độcong Gauss được tính theo cơng thức

LN M

K

EG F

- theo câu a) ta được K =0.

Bài 9. Cho U =

[

0, 2p

] [

´ 0, 2p

]

Ì¡2 và mặt xuyến

( )

S có r U: ®¡3 xác định bởi công thức

( ) (

(

2 cos

)

cos , 2 cos

(

)

sin ,sin

)

r u v = + u v + u v u , với mọi

( )

u v, ỴU.

a) Xác định các dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai của

( )

S .

b) Tìm phương chính, độcong Gauss và độ cong chính của

( )

S .
c) Xác định các điểm Hyperbolic, Eliptic và Parabolic của

( )

S .
d) Trên

( )

S có điểm rốn không? Tại sao?

Giải.

a) Dạng cơ bản thứ nhất có cơng thức dạng I a

( )

= E a

( )

u 2+2Fa au v +G a

( )

v 2 (9.1).
Với E=

(

r'u

( )

u v,

)

2 =1,F =r'u

( ) ( )

u v r, 'v u v, =0,G=

(

r'v

( )

u v,

)

2 =

(

2 cos+ u

)

Thế vào (9.1) cho ta công thức dạng cơ bản thứ nhất là I a

( )

au 2+

(

2+c uos

)

( )

av 2.
Dạng cơ bản thứ hai có công thức dạng II a

( )

=L a

( )

u 2+2Ma au v+ N a

( )

v 2 (9.2)

Với r''u

( ) (

u v, = -cos cos , cos sin , sinu v - u v - u r

)

, ''uv

( ) (

u v, = sin sin , sin cos , 0u v - u v

)

( )

(

)

(

)

''v , 2 cos cos , 2 cos sin , 0

r u v = - + u v - + u v nên theo công thức tính L M N, , cho ta
2

1, 0, 2cos cos

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

b) Độ cong Gauss được tính theo công thức

LN M

K

EG F

- theo kết quả câu a) ta được

cos

K = u.

Theo lý thuyết ta biết rằng độ cong chính của mặt

( )

S là nghiệm của phương trình

(

)

(

)

(

)

2 0

EG-F l - EN +LG- MF l+ LN -M = theo kết quả câu a) cho ta phương

trình

(

2+cosu

)

l2-

(

2 cosu+2

)

l+cosu =0 suy ra

1
cos
2 cos

u
u
l

é
ê
ê =

+
ë

. Do vậy độ cong chính

của mặt

( )

S tại điểm bất kỳ là
1

cos
2 cos

u
u
l

=
é
ê
ê =

+
ë

Gọi phương chính của mặt

( )

S tại điểm bất kỳ là a =a ru 'u

( )

u v, +a rv 'v

( )

u v, (9.3).
Dựa vào

( )

v u v u

a a a a

E F G

L M N

-= và kết quảcâu a) ta được a au v =0.

Trường hợp 1. au =0 suy ra a = -

(

av

(

2 cos+ u

)

sin ,v av

(

2 cos+ u

)

cos , 0v

)

nên ta có thể
chọn phương chính tại điểm bất kỳ là a= - +

(

2 cosu

)

sin , 2 cosv

(

+ u

)

cos , 0v

)

Trường hợp 2. av =0 suy ra a = -

(

ausin cos ,u v -ausin sin ,u v aucosu

)

nên ta có thể chọn
phương chính tại điểm bất ký là a= -

(

sin cos , sin sin , cosu v - u v u

)

c) Nếu 0 cos 0 ,

2 2
K > Û u > ẻ -u ổỗ p p ửữ

ố ứ thì tại mọi điểm A= r u v

( )

, thỏa u 2 2,
p p

ỉ ư
Ỵ -ỗ ữ

ố ứ l

im Eliptic.

Nu 0 cos 0

2 2
3
,
K < u< ẻỗu ổp p ư÷

è ø thì tại mọi điểm A=r u v

( )

, tha

3
,
2 2
uẻỗổp p ư÷

è ø là

điểm Hyperbolic.

Nếu 0 cos 0 ,

K = Û u = Û = +u p kp kẻÂ thỡ ti mi điểm A=r u v

( )

, thỏa

2 ,

u= +p kp kẻÂ l im Parabolic

d) Gi sử mặt

( )

S có điểm rốn tức là 1 2 1 cos
2 cos

u
u
l =l Û =

+ (vơ lí). Vậy mặt

( )

S khơng có

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Bài 10. Cho mặt

( )

S trong ¡3 được tham số hóa sao cho dạng cơ bản thứ nhất có dạng

( )

u v

I a = a +G a . Chứng minh rằng độ cong Gauss của

( )

S cho bi

1
2
1
2
1

uu

K G

G

ổ ử
= - ỗ ữ

ố ứ .

Giải. Như ta đã biết độ cong Gauss tại một điểm tùy ý được tính theo công thức

1 1 1

.
2

E G

K

v v u u

EG EG EG

ỉ ¶ ỉ ¶ ư ¶ ổ ả ửử
= ỗ ỗ ữ+ ỗ ữữ
ả ố ả ø ¶ è ¶ ø

è ø.

Theo giả thiết ta có E=1 nên

( )

1
2

1 1 1 1 1

2 4

uu

uu u

G
G

K G G

u u G G

G G

G

ổ ử
ỗ ữ
ổ ả ổ ả ửử ổ ử ố ứ
= - ỗ ỗ ữữ= ỗ- + ữ=

-ả ố ả ứ ố ø

è ø .

Bài 11. Mặt trong ¡3gọi là mặt tối tiểu nếu độ cong trung bình triệt tiêu tại mọi điểm. Chứng
minh rằng mặt

( )

S có tham số hóa r u v

( )

, a ch. u.cos , .v a chu.sin ,v u

a a

ổ ử

= ỗố ữứ l mt ti tiu.
Gii. cong trung bình tại một điểm bất kỳ có cơng thức là

(

)

2
2

EN LG FM
H

EG F

- (11.1).
Ta lại có r'u

( )

u v, shu.cos ,v shu.sin ,1v

a a

ổ ử

= ỗố ứữ, r'v

( )

u v, a ch. u.sin , .v a chu.cos , 0v

a a

ổ ử

= -ỗ ữ

ố ø

( )

1 1

''u , u.cos , u.sin , 0

r u v ch v ch v

a a a a

ỉ ư

= çè ø÷, r''uv

( )

u v, shu.sin ,v shu.cos , 0v

a a

ổ ử

= -ỗ ữ

ố ứ

( )

''v , . u.cos , . u.sin , 0

r u v a ch v a ch v

a a

ổ ử

= -ỗ - ữ

ố ứ

Suy ra

2 2

2
1, 0,

u u

E sh F G a ch

a a

ỉ ư ổ ử

=ỗ ữ + = = ỗ ữ
ố ứ ố ø và

2
1

, 0, a

L M N

a a

= - = =

Thế vào (11.1) ta được H =0 tức là mặt

( )

S là mặt tối tiểu.

Bài 12. Cho mặt tham số hóa

( )

S trong ¡3 có r u v

( ) (

, = ucos , sin ,v u v u+v

)

a) Xác định các dạng cơ bản thứ nhất, thứhai và độ cong Gauss của

( )

S .
b) Tìm độcong chính và phương chính của

( )

S tại điểm A

( )

0, 0 .

Giải.

a) Dạng cơ bản thứ nhất có cơng thức dạng I a

( )

= E a

( )

u 2+2Fa au v +G a

( )

v 2 (12.1).
Với E=

(

r'u

( )

u v,

)

2 =2,F =r'u

( ) ( )

u v r, 'v u v, =1,G=

(

r'v

( )

u v,

)

2 =u2+1.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Với r''u

( ) (

u v, = 0, 0, 0 , ''

)

r uv

( ) (

u v, = -sin , cos , 0 , ''v v

)

r v

( ) (

u v, = -ucos ,v -usin , 0v

)

nên
theo công thức tính ,L M N, cho ta

2 2

0, ,

2 1 2 1

u

L M N

u u

= = - =

-+ + .

Thế vào (12.2) công thức dạng cơ bản thứ hai là

( )

2 2

2 1 u v 2 1 v

u

II a a a a

u u

= -

-+ + .

b) Theo lý thuyết ta biết rằng độ cong chính của mặt

( )

S tại điểm A=r

( )

0, 0 là nghiệm của
phương trình

(

EG-F2

)

l2-

(

EN+LG-2MF

)

(

LN -M2

)

=0 (12.3).

Tại điểm A=r

( )

0,0 cho ta E =2,F =1,G=1 và L=0,M = -1,N =0
Thế vào (12.3) cho ta phương trình l2+2l- =1 0 suy ra 1

1 2

é = - +
ê

=
-êë .

Gọi phương chính của mặt

( )

S tại điểm A=r

( )

0, 0 là a=a ru ' 0, 0u

( )

+a rv ' 0, 0v

( )

(12.4).
Với r' 0,0u

( ) (

= 1,0,1 , ' 0,0

)

r v

( ) (

= 0,0,1

)

, tại điểm A=r

( )

0,0 ta được E=2,F =1,G=1 và

0, 1, 0

L= M = - N = dựa vào

( )

v u v u

a a a a

E F G

L M N

-= ta được 2

( ) ( )

au 2- av 2 =0.

Suy ra 2
2

v u

a a

é =
ê

=
-êë

Trường hợp 1. av = 2au suy ra phương chính a=

(

au, 0, 1

(

+ 2

)

au

)

nên ta có thể chọn
phương chính là a=

(

1, 0,1+ 2

)

Trường hợp 2. av = - 2au suy ra phương chính a=

(

au, 0, 1

(

- 2

)

au

)

nên ta có thể chọn
phương chính là a=

(

1, 0,1- 2

)

Bài 13. Chứng minh rằng các mặt phẳng tiếp xúc

( )

p với mặt

( )

S : z x f. y
x

ổ ử
= ỗ ữ

ố ứ luụn i qua mt

im cốđịnh.

Giải. Đặt

x u

y v

v

z u f

u

ì
ï =
ïï =
í

ï ổ ử
ù = ỗ ữ
ù ố ứ
ợ

cho ta tham s hóa của mặt

( )

S là r u v

( )

, u v u f, , . v
u

ổ ổ ửử

=ỗ ỗ ÷÷
è ø

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Phương trình mặt phẳng tiếp xúc

( )

p tại điểm M =r u v

(

0, 0

) ( )

Ỵ S có dạng là

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0 0

0 0 0 0 0 0

' , ' , ' , 0

' , ' , ' ,

u u u

v v v

x x y y z z

x u v y u v z u v

- -

-= (13.1).

Với

(

)

0 0 0 0 0 0

, , , , . v

x y z u v u f

u

ổ ổ ửử
= ỗỗ ỗ ữữữ
ố ứ

ố ứ,

(

) (

)

0 0 0

0 0

0 0 0

'u , ' , ' , 'u u u 1, 0, v v ' v

r u v x y z f f

u u u

ổ ổ ử ổ ửử
= =ỗỗ ỗ ữ- ç ÷÷÷
è ø è ø

è ø

(

) (

)

0 0

0
'v , ' , ' , 'v v v 0,1, ' v

r u v x y z f

u

ỉ ỉ ưư
= = ỗỗ ỗ ữữữ
ố ứ
ố ứ.

Th vo (13.1) cho ta 0 0 0 0

0 0 0 0

' ' 0

v v v v

f f x f y z

u u u u

é ỉ ư ỉ ứ ỉ

- - + =

ờ ỗ ữ ỗ ữỳ ỗ ữ
ố ø è ø è ø

ë û . Dễ thấy rằng mặt phẳng tiếp

xúc

( )

p luôn đi qua điểm cốđịnh 0 .

Bài 14. Cho mặt

( )

S có phương trình tham số

(

)

3 3

2 2 2

sin
os

x u v

y u c v

z a u

ì
=
ï
ï =
í
ï

ï =
-ỵ

. Chứng minh rằng tổng bình

phương các đoạn chắn tạo bởi mặt phẳng tiếp xúc

( )

p của

( )

S với các trục tọa độ là khơng đổi,
với aỴ¡.

Giải. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc

( )

p tại điểm M =r u v

(

0, 0

) ( )

Ỵ S có dạng là

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0 0

0 0 0 0 0 0

' , ' , ' , 0

' , ' , ' ,

u u u

v v v

x x y y z z
x u v y u v z u v
x u v y u v z u v

- -

-= (14.1).

Với

(

)

(

)

3 3 3 3 2 2 2

0, 0, 0 0 sin 0, 0 os 0, 0

x y z =ổỗu v u c v a -u ö÷

è ø

(

) (

)

2 3 2 3

(

2 2

)

12

0 0 0 0 0 0 0 0

'u , ' , ' , 'u u u 3 sin ,3 os , 3

r u v = x y z =ỗổ u v u c v - u a -u ư÷

è ø

(

) (

)

(

3 2 3 2

)

0 0 0 0 0 0 0 0

'v , ' , ' , 'v v v 3 sin cos , 3 os sin , 0
r u v = x y z = u v v - u c v v

Thế vào (14.1) cho ta

(

)

(

)

1 1

4 2 2 2 2 4 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0 0 0

9u a u cos v sinv x 9u a u cosv sin v y

ỉ ư ỉ ử

- +

-ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Ta lại có

( ) ( )

(

)

( ) ( )

(

)

( ) ( )

(

)

0 0

2 2 2 2

0
0 sin , 0, 0

0 0, cos , 0

0 0, 0,

x A a u v

y B a u v

z C a a u

p
p
p

ï Ç =
ï

ï Ç =
ớ

ổ ử

ù ầ =

-ỗ ữ

ù ố ứ

ợ

. Do ú u cầu của bài tốn tương đương với việc

tính OA2+OB2+OC2 =u a02 4sin2v0+u a c02 4 os2v0+a6-a u4 02=a6.

Bài 15. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc

( )

p và pháp tuyến của mặt

( )

S có tham số hóa

( ) (

, cos , sin ,

)

r u v = v u v u ku tại một điểm bất kỳ, với kỴ¡.

Giải. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc

( )

p tại điểm M =r u v

(

0, 0

) ( )

Ỵ S có dạng là

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0 0

0 0 0 0 0 0

' , ' , ' , 0

' , ' , ' ,

u u u

v v v

x x y y z z

x u v y u v z u v

- -

-= (15.1).

Với

(

x y z0, 0, 0

) (

= v0cosu v0, 0sinu ku0, 0

)

, r'u

(

u v0, 0

) (

= x' , ' , 'u y u z u

) (

= -v0sinu v0, 0cosu k0,

)

(

0 0

) (

0 0

)

'u , ' , ' , 'v v v cos ,sin , 0

r u v = x y z = u u .

Thế vào (15.1) cho ta mặt phẳng tiếp xúc

( )

p là

(

-ksinu0

) (

x+ kcosu0

)

y-v z0 +kv u0 0 =0.
Phương trình pháp tuyến tại điểm M =r u v

(

0, 0

) ( )

Ỵ S có dạng x x0 y y0 z z0

a b c

- = - =

(15.1)

Với

(

)

(

)

(

0 0

)

(

0 0

)

0 0 0

0 0 0 0

cos

' , ' ,

sin

sin 0

' , ' ,

u u

v v

v u k

y u v z u v

a k u

u

y u v z u v

= = =

-(

)

(

)

(

0 0

)

(

0 0

)

0 0 0

0 0 0 0

sin

' , ' ,

cos
0 cos

' , ' ,

u u

v v

k v u

z u v x u v

b k u

u

z u v z u v

-= = =

(

)

(

)

(

0 0

)

(

0 0

)

0 0 0 0 0

0 0

0 0 0 0

sin cos

' , ' ,

cos sin

' , ' ,

u u

v v

v u v u

x u v y u v

c v

u u

x u v y u v

-= = =

-Thế vào (15.1) cho ta phương trình pháp tuyến là 0 0 0 0 0

0 0 0

cos sin

sin cos

x v u y v u z ku

k u k u v

- = - =

-- - .

Bài 16. Chứng minh rằng thể tích của tứ diện tạo bởi từ các mặt phẳng tọa độ và mặt phẳng tiếp
xúc

( )

p của mặt

( )

S có phương trình tham số hóa

( )

3
, , ,a
r u v u v

uv

ổ ử

= ỗ ữ

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Gii. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc

( )

p tại điểm M =r u v

(

0, 0

) ( )

Ỵ S có dạng là

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0 0

0 0 0 0 0 0

' , ' , ' , 0

' , ' , ' ,

u u u

v v v

x x y y z z

x u v y u v z u v

- -

-= (17.1).

Với

(

) (

)

0 0 0 0 0 0 0

0 0

, , , , , a

M r u v x y z u v
u v

ỉ ư

= = = ç ÷

è ø,

(

) (

)

0 0 2

0 0

'u , ' , ' , 'u u u 1, 0, a
r u v x y z

u v

ổ ử

= =ỗ - ÷

è ø

(

0 0

) (

)

0 0
'v , ' , ' , 'v v v 0,1, a
r u v x y z

u v

ổ ử

= =ỗ - ữ

ố ứ.

Thế vào (17.1) cho ta phương trình mặt phẳng tiếp xúc

( )

p là

3 3 3

2 2

0 0 0 0 0 0

3
0

a a a

x y z

u v +u v + -u v = .

Ta lại có

( ) ( )

(

)

( ) ( )

(

)

( ) ( )

0
3
0 0
0 3 , 0, 0
0 0,3 , 0
3
0 0, 0,

x A u

y B v

a
z C
u v
p
p
p
ỡ
ù ầ =
ù
ù ầ =
ớ
ù
ổ ử
ù ầ = ỗ ữ
ù è ø
ỵ

.Do đó

0 0

1 1 3 9

3 3

6 6 2

ABCD A B C

a

V x x x u v a

u v

= = = điều

này chứng tỏ thể tích tứ diện ABCD không phụ thuộc vào việc chọn điểm M =r u v

(

0, 0

) ( )

Ỵ S .
Bài 17. Xây dựng ánh xạ Weingarten của mặt

( )

S có tham số hóa

( )

2 2

, , ,

u v

r u v = ỗổu v + ửữ

ố ø.

Giải. Lấy đạo hàm theo biến ,u vta có r'u

( ) (

u v, = 1,0,u r

)

, 'v

( ) (

u v, = 0,1,v

)

Suy ra

( )

2 2 2 2 2 2

' ' 1

, , ,

' ' 1 1 1

u u

r r u v

n u v

r r u v u v u v

ổ ử

= = -ỗ - ữ

è + + + + + + ø

Nên

( )

(

) (

)

3 3 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2

' , , ,

1 1 1

u

v uv u

n u v

u v u v u v

æ ử
ỗ - - - ữ
= ỗ ữ
ỗ + + + + + + ÷
è ø

( )

(

) (

)

3 3 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2

' , , ,

1 1 1

v

uv u v

n u v

u v u v u v

ổ ử

ỗ - - - ữ

= ç ÷

ç + + + + + + ÷

è ø

Xây dựng ánh xạ h T: M

( )

S ®TM

( )

S thỏa mãn

(

) (

)

3 3 3

'u h 'u v , uv , u

r n

ổ ử

ỗ + ÷

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

(

) (

)

3 3 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2

' ' , ,

1 1 1

h

v v

uv u v

r n

u v u v u v

ổ ử

ỗ - + ữ

ắắđ- = ỗ ữ

ỗ + + + + + + ÷

è ø

Khi đó

(

)

(

)

(

)

(

)

3 3

2 2 2 2 2 2

3 3

2 2 2 2 2 2

1
' ' '
1 1
1
' ' '
1 1

u u v

v u v

v uv

n r r

u v u v

uv v

n r r

u v u v

ì- = + 
-ï
ï + + + +
ï
í
+
ï- = - +
ï
+ + + +
ïỵ

Suy ma trận của phép biến đổi là

(

) (

)

(

) (

)

3 3

2 2 2 2 2 2

3 3

2 2 2 2 2 2

1 1

v uv

u v u v

A

uv u

u v u v

é + - ù
ê ú
ê + + + + ú
ê ú

=
ê - + ú
ê ú
ê + + + + ú
ë û

Do vậy h là ánh xạ Weingarten.

Bài 18. Cho mặt

( )

S có dạng tồn phương cơ bản thứ nhất I =au2+

(

u2+b2

)

av2. Tính góc tại
giao điểm của 2 đường cong

( )

C1 :u+ =v 0,

( )

C2 : u- =v 0.

Giải. Gọi A=

( ) ( )

C1 Ç C2 có tọa độ là nghiệm của hệ 0

( )

0, 0
0
u v
A
u v
+ =
ì
Û =
í - =
ỵ

Dạng tham số của

( )

1 1
1
: u t
C

v t

ì
í =

-ỵ và

( )

1
2

1
: u t
C
v t
=
ì
í =
ỵ

Áp dụng cơng thức tính góc giữa hai đường cong

( ) ( )

C1 , C2 cho ta

2 2
2 2
1
os
1
a u
c
a u

f = -
-+ +

Suy ra góc giữa hai đường cong

( ) ( )

C1 , C2 tại điểm A=

( )

0, 0 là

2
2
1
os
1
a
c
a
f =

-+ .

Bài 19. Cho mặt

( )

S có dạng tồn phương cơ bản thứ nhất I =

( )

au 2+

(

u2+a2

)

( )

av 2. Tìm chu vi
của tam giác cong trên

( )

S xác định bởi

2
1
2
1
u av
v
ì = ±
ï
í
ï =
ỵ
.

Giải. Xét hệ trục tọa độ

( )

0uv cho ta cách xác định các đỉnh của tam giác ABC.
Ta thấy rằng 1 2

u= av giao với đường 1 2
2

u= - av cho ta một điểm A=

( )

0, 0
Tương tựđường 1 2

u= av giao với đường v=1 cho ta mt im ,1
2
a
C = ỗổ ửữ

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Tương tựđường 1 2
2

u= - av giao với ng v =1 cho ta mt im ,1
2
a
B= -ổỗ ửữ

ố ứ

Khi ú:

ằ:

u t

BC
v

=
ỡ
ớ =

ợ , 2 2,
a a
tỴ -éê ùú

ë û

Áp dụng cơng thức tính độdài cung ta được »

( )

2 2

' 2 ' ' '

a a

BC

a a

l E u Fu v G v dt dt a

ò

+ + =

ũ

= .

ằ: u 12at2
AC

v t

ỡ =
ù
ớ
ù =
ợ

, tẻ

[ ]

0,1

Áp dụng cơng thức tính độdài cung ta được »

( )

2 2

' 2 ' ' '

AC

l =

ò

E u + Fu v +G v dt =

(

)

1
2

7
2

2 6

a

t dt a

ị

+ =

Tương tự ta cũng có » 7
6
AB

l = a. Do vậy chu vi tam giác là » » » 10
3
AB AC BC

l +l +l = a.

BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 1. Chứng minh rằng ánh xạ

{

( )

}

( )

(

)

2 3

2 2

: , | 0, 0

, , , ,

r U u v u v

u v r u v u uv v

= Ỵ > > ®

¡ ¡

là tham

số hóa mặt trong ¡3.

Bài 2. Xét tham số hóa

( )

u v, ar u v

( )

, của mặt

( )

S trong ¡3. Chứng minh rằng véctơ

( )

: ' '

M u u v v

aỴT S a =a r +a r xác định một phương chính của

( )

S tại M =r u v

( )

, khi và chỉ khi

2 2

v u v u

a a a a

E F G

L M N

-= , với E F G L M N, , ; , , là hệ số của dạng toàn phương cơ bản thứ nhất, thứ
hai.

Bài 3. Chứng minh rằng điểm thuộc

( )

S trong ¡3 là điểm rốn của

( )

S khi và chỉ khi có một

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

i) Trong mọi tham số hóa

( )

u v, ar u v

( )

, của mặt

( )

S trong một lân cận của điểm M , giá trị
tại M của các hệ số của dạng cơ bản thứ hai tỉ lệ với dạng cơ bản thứ nhất i.e. L M N

E = F = G.

ii) H2= K

Bài 4. Cho mặt trịn xoay

( )

S có tham số hóa r u v

( )

, =

(

( )

u cos ,v j

( )

u sin ,v f

( )

u

)

với

( ) ( )

2 2

' ' 1

j + f = . Chứng minh rằng độ cong Gauss K j''
j

= - .
Bài 5. Cho mặt

( )

S có tham số hóa r u v

( ) (

, = usin , cos ,v u v v

)

a) Tính diện tích của tam giác cong trên

( )

S xác định bởi

0 sin

u v

v v

£ £
ì

í £ £
ỵ .

b) Tính chu vi của tam giác này.
c) Tìm các góc của tam giác.

Bài 6. Tìm những đường cong giao với đường v=const tạo thành một góc khơng đổi f trên mặt

( )

S có tham số hóa r u v

( )

, =

(

ucos , sin , lnv u v a

(

u+ u2-a2

)

Bài 7. Tìm dạng tồn phương cơ bản thứ của các mặt có tham số hóa.
a) r u v

( ) (

, = Rcos cos , cos sin , sinu v R u v R u

)

b) r u v

( ) (

, = acos cos , cos sin , sinu v a u v c u

)

c)

( )

, sin cos , sin sin , ln tan cos
2
u

r u v =ỗổa u v a u v aổỗ + uư÷ư÷

è ø

Bài 8. Tìm dạng tồn phương cơ bản thứ hai của mặt xyz=a3.

Bài 9. Cho mặt

( )

S có tham số hóa r u v

( )

, =

(

( ) ( )

u ,m u cos ,j m

( )

u sinj

)

, với m

( )

u >0.
a) Tìm dạng tồn phương cơ bản thứ hai của mặt

( )

S .

b) Tính độ cong Gauss tại một điểm tùy ý trên mặt

( )

S .
c) Tinh độ cong Gauss với trường hợp đặc biệt

( )

2 2

lna a u

u a a u

u

c = ổỗỗ + - - - ửữữ

ố ứ,

( )

u u
m = .

d) Tính độ cong trung bình của mặt

( )

S .

e) Tìm phương trình m m=

( )

u trong trường hợp c

( )

u =uđể H =0tại mọi điểm trên mặt.
Bài 10. Tìm độ cong chính của trên mặt

(

)

(

)

2 2 2

a b uv

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Bài 11. Véctơ ar là phương tiệm cận nếu II a

( )

=0. Một đường thẳng trên mặt là tiệm cận nếu 
tiếp tuyến tại mọi điểm có phương tiệm cận. Đường tiệm được xác định bởi KM

( )

av =0 hay

phương trình L du

( )

2+2Mdudv+N dv

( )

2 =0. Tìm đường tiệm cận của mặt sau đây.

a) 2 , 3 , 4 2 2

x=u +v y=u +uv z=u + u v.

b) z =xy2

c) z a x y

y x

æ ử

= ỗ + ữ

ố ứ

Li kt !

Hỡnh vi phõn là mơn học khó, địi hỏi người học phải có sự trừu tượng và có kỷnăng tính tốn

tốt mà tài liệu tiếng việt viết về Hình Học Vi Phân rất ít, chủ yếu là tài liệu tiếng anh. Vì thời gian
hoàn thành tài liệu hỗ trợ này rất gấp nên khơng tránh những sai xót mong nhận được ý kiến đóng
góp của các bạn.

Mọi ý kiến đóng góp các bạn gởi vềtheo địa chỉ mail .
Xin chân thành cám ơn!

</div>