Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Nam Dương

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (718.04 KB, 20 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 1

TRƯỜNG THCS NAM DƯƠNG ĐỀ THI HSG LỚP 8

MƠN: TỐN

(Thời gian làm bài: 150 phút) 
Đề số 1

Câu 1. (4,0 điểm). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 2x2+5x−3.

b) x4+2009x2+2008x+2009.

(

x+2

)(

x+4

)(

x+6

)(

x+ +8

)

16.

Câu 2. (3,0 điểm).

a) Rút gọn biểu thức:

(

x− +y z

) (

2+ z−y

) (

2+ x− +y z

)(

2y−2z

)

b) Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 5

. .

3 2 5 6 7 12 9 20 5

x x

x x x x x x x x x x

 + + + + 

 + + + + + + + + + 

 

Câu 3

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC của hình vng ABCD. Các đường thẳng DN và
CM cắt nhau tại I. Chứng minh tam giác AID là tam giác cân.

Câu 4

Tìm cặp số nguyên

(

x y z; ;

)

thỏa mãn phương trình:

(

)

2 2 2

4064497 2 15 4 2014

x +y + +z = x+ y+ z

Câu 5. Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính phương thì n là
bội số của 24.

ĐÁP ÁN 
Câu 1

a) 2x2+5x− =3 2x2+6x− −x 3

(

) (

)(

)

2x x 3 x 3 x 3 2x 1

= + − + = + −

b) x4+2009x2+2008x+2009=x4+x2+ +1 2008x2+2008x+2008

2 2 2

2 2 2 2

( 1)( 1) 2008( 1)

( 1)( 1 2008) ( 1)( 2009)

x x x x x x

x x x x x x x x

= + + − + + + +

= + + − + + = + + − +

(

x+2

)(

x+4

)(

x+6

)(

x+ + = +8

)

(

x 2

)(

x+8

)(

x+4

)(

x+ +6

)

(

)(

)

10 16 10 24 16

x x x x

= + + + + +

Đặt x2+10x+20=t

(

)(

)

2 2

4 4 16 16 16

t t t t

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 2

(

2

)

10 20

x x

= + +

Câu 2

(

x− +y z

) (

2+ z−y

) (

2+ x− +y z

)(

2y−2z

)

(

)

(

)(

) (

)

(

)

2 2

2
2

x y z x y z y z y z

x y z y z

x

= − + + − + − + −

= − + + −

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 5

3 2 5 6 7 12 9 20 5

x x

x x x x x x x x x x

 + + + + 

 + + + + + + + + + 

 

(

) (

)(

) (

)(

) (

)(

) (

)(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 1 5

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

1 1 5

5 5

5
5

. 1

5 5

x x

x x x x x x x x x x

x x

x x x x x x x x x x

x x

x x
x x
x x

  +

= + + + + 

+ + + + + + + + +

 

 

= − + − + − + − + − 

+ + + + + + + + +

 

 

= − 

 

= =

Câu 3.

0 0

à 90 90

DCN CBM NDC CBN

M MCB MCD NDC MCD

DIC DN MC

 =   =

+ =  + =

 =  ⊥

goi K là trung điểm của DC nên AM=KC, AM KC

Nên AMCK là hình bình hành

à DN MC AK DN

AK MC
M



⊥  ⊥

Hay AK⊥DI (1)

I
L

N
M

A B

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 3

Goi L là giao điiểm của DN và AK. K là trung điểm của DC và AK MC

suy ra AK đi qua trung điểm của DI nên L là trung điểm của DI (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác AID cân tại A

Câu 4.

Đặt x− =  = +1 y x y 1. Ta có:

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

2 2

3 1 8 1 6 3 2 1

1 2 1 1

y y y y

A

y

y y

+ − + + − +

= =

+ − + +

2 1

A

y y

= − +

Đặt 1 z

y =

3 2

A z z

 = − +

2 1 2

A=z − z+ +

(

)

1 2 2

A= z− + 

Vậy min A=  =  =  =2 z 1 y 1 x 2.

Đề số 2

Câu 1

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 2

2 4 4 5

x − xy+y + x− y−

b) Chứng minh *

n N

  thì 3

n + +n là hợp số.

c) Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một
số chính phương lẻ.

Câu 2. Cho phân thức:

3 2 2

3 3 1 1 1

1 1 1 2 5 5

x x x

P

x x x x x x

 + −  −

= − − 

− + + − − +

 

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị lớn nhất của P

Câu 3.

1) Giải phương trình:

a) 1 3 5 2 4 968 6

99 97 95 98 96 975 94

x− +x− + x− = x− + x− +x− +x−

5
6
40
13

3
15

8
2
6

5
1

2
2

2 − + + − + + − + =−

x
x
x

x
x

x

Câu 4. Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F; G; H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,
BC; CD; DA. M là giao điểm của CE và DF.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 4

c) Tính diện tích MDC theo a.

ĐÁP ÁN

Câu 1.

a) (x - y)2 +4(x - y) - 5 = (x - y)2 + 4(x - y)2 + 4 -9

= (x - y + 2)2 - 32 = ( x - y + 5)(x - y -1)

b) Ta có: n3 + n + 2 = n3 + 1+ n+1= (n + 1)( n2 - n + 1) + (n + 1)
=(n+1)( n2 - n + 2)

Do  n N* nên n + 1 > 1 và n2 - n + 2 >1 Vậy n3 + n + 2 là hợp số
c) Gọi hai số lần lượt là a2 và (a+1)2

Theo bài ra ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + 1

= (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + 1 = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + 1

= ( a2 + a + 1)2 là một số chính phương lẻ vì a2 + a = a(a + 1) là số chẵn  a2 + a + 1 là số lẻ

Câu 2.

(

x− +y z

) (

2+ z−y

) (

2+ x− +y z

)(

2y−2z

)

(

)

(

)(

) (

)

(

)

2 2

2
2

x y z x y z y z y z

x y z y z

x

= − + + − + − + −

= − + + −

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 5

3 2 5 6 7 12 9 20 5

x x

x x x x x x x x x x

 + + + + 

 + + + + + + + + + 

 

(

) (

)(

) (

)(

) (

)(

) (

)(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 1 5

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

1 1 5

5 5

5
5

. 1

5 5

x x

x x x x x x x x x x

x x

x x x x x x x x x x

x x

x x
x x
x x

  +

= + + + + 

+ + + + + + + + +

 

 

= − + − + − + − + − 

+ + + + + + + + +

 

 

= − 

 

= =

+
Câu 3

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 5

(

)

(

)

(

)(

) (

)

(

) (

)

(

)(

)

2
2

3 6 2 0

3 2 2 0

3 2 2 2 0

2 3 2 1 0

2 3 3 2 1 0

x x

x x x

x x

 − + − =

 − + + − =

 

 −  + + =

 − + + =

2 0

3 3 2 1 0

2
3 2 1

x
x
x

x

 − =

 

+ + =


 =


 − −

 =


Vậy tập nghiệm của phương trình là 2; 3 2 1

S=  − − 

 

 

b) 2 2 1 23 1

1 1 1

x

x x x x

−

= +

− + + +

ĐKXĐ: x −1

(

)

(

)(

)

 

2
2
2

2 1 1 2 1

2 2

2 0

1 2 0

1( )
2( )
2

x x x x

x x x

x x

x l

x n

S

+ = − + + −

 + = +

 − − =

 + − =

= −


  =


=
Câu 4

F
E

C
B

H
A

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 6

a) Chứng minh: EFGH là hình thoi
Chứng minh có 1 góc vng.

Kết luận Tứ giác EFGH là Hình vng

b) BEC= CFD c g c( . . )ECB=FDC mà CDF vuông tại C

0 0

90 90

CDF DFC DFC ECB CMF

 + =  + =  vuông tại M

Hay CE ⊥ DF.

Gọi N là giao điểm của AG và DF. Chứng minh tương tự: AG ⊥ DF GN//CM mà G là trung điểm DC

nên  N là trung điểm DM. Trong MAD có AN vừa là đường cao vừa là trung tuyến  MAD cân
tại A.

c) CMD FCD g g( . ) CD CM

FD FC

 =

Do đó :

2 2

CMD

CMD FCD

FCD

S CD CD

S S

S FD FD

   

=   = 

   

Mà : 1 . 1 2

2 4

FCD

S = CF CD= CD .

Vậy :

2
2

1
.

4
CMD

CD

S CD

FD

= .

Trong DCF theo Pitago ta có :

2 2 2 2 1 2 2 1 2 5 2

2 4 4

DF =CD +CF =CD + BC =CD + CD = CD

  .

Do đó :

2 2 2

1 1 1

5 4 5 5

4
MCD

CD

S CD CD a

CD

= = =

Đề số 3

Câu 1 (2 điểm)
Cho

2 2

3 +2 1 1

2 1 1 1

a a a a

M

a a a a a

 + +   

= −   + 

+ − −  + − 

 

a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn M.

b) Tìm a sao cho 1 1 1

8 4

a
M

+ −

−  .

Câu 2 (2 điểm)

a) Giải phương trình 2x

(

8x−1

) (

2 4x− =1

)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 7

Cho hình thang ABCD (AB // CD), O là giao điểm hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với
AB cắt DA tại E, cắt BC tại F.

a) Chứng minh SAOD=SBOC.
b) Chứng minh:

EF
CD
AB
2
1
1
=
+

c) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và chia đơi diện tích tam giác
DEF.

Câu 4 (2 điểm)
Cho

2 2
4 4
1
1
x y
x y

a b a b

 + =


+ =
 +


Chứng minh rằng

(

)

2014 2014
1007
1007 1007
2
x y

a +b = a b+ .

Câu 5 (1 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B

(

x 4

)(

x 9

)

x

+ +

= với

(

x0

)

ĐÁP ÁN

Câu 1 (2 điểm)
Cho

2 2

3 +2 1 1

2 1 1 1

a a a a

M

a a a a a

 + +   

= −   + 

+ − −  + − 

 

a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn M.

b) Tìm a sao cho 1 1 1

8 4
a
M
+ −
−  .
Hướng dẫn
a) ĐKXĐ
2
2 0
1 0
1 0
a a
a
a
 + − 
 − 

 + 

1
1

a
a


   −

Ta có
2 2
2

3 +2 1 1

2 1 1 1

a a a a

M

a a a a a

 + +   
= −   + 
+ − −  + − 
 

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

1 2 1 1

1 2 1 1 1

a a a a a a

M

a a a a a

 + + +   − + + 
= −   
− + − + −
   

(

)(

)

2
1 2
.

1 1 1

a a a a

M

a a a

+ − −

− + −

(

)(

)

(

)(

)

1 1 2

1 1 1

a a a

M

a a a

− + −

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 8

2 2

1 1

a a

M

a a

−

= =

− −

b) Ta có 1 1 1

8 4

a
M

+ −

−  a0

1 1 1

2 8 4

a

+ −

 − 

−

1 1 1

2 8 4

a a

a

− + −

 − 

4 4 1

8 4

a a a

a

− − − −

 

5 4 1

8 4

a a

a

− − + −

 

4a 20a 16 8a

 − − +  −

4a 12a 16 0

 − − + 

(

)

4 a 3a 4 0

 − + − 

3 4 0

a a

 + − 

(

a 1

)(

a 4

)

 − + 

4 a 1

 −   vì a1,a0 nên −  4 a 0, 0 a 1

Câu 2 (2 điểm)

a) Giải phương trình 2x

(

8x−1

) (

2 4x− =1

)

b) Với mọi n thì 5

n và n ln có chữ số tận cùng giống nhau.
Hướng dân

a) 2x

(

8x−1

) (

2 4x− =1

)

(

)

(

)

(

)(

)

2 2

2 2

8 1 8 2 9

16 16 1 64 16 72

x x x

x x x x

 − − =

 − + − =

Đặt 2

64x −16x=t, ta có:

( )

1 72

t t+ = , do đó 8

t
t

=

 = −


Từ đó tìm được các giá trị của x.
b) Xét hiệu:

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 9

(

)

n n

= −

(

)(

)

1 1

n n n

= − +

(

) (

)

(

)

1 1 4 5

n n n n

= − + − +

Vậy

(

) (

)

(

)

1 1 4 5 2

n− n n+ n − + (1)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

1 1 4 5 1 1

n n n n n n n

= − + − − − +

(

n 2

)(

n 1

) (

n n 1

)(

n 2

) (

5 n 1

) (

n n 1

)

= − − + + − − +

Vì

(

n−2

)(

n−1

) (

n n+1

)(

n+2

)

chia hết cho 5, 5

(

n−1

) (

n n+1

)

chia hết cho 5.
Vậy

(

n−2

)(

n−1

) (

n n+1

)(

n+ −2

) (

5 n−1

) (

n n+1 5

)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra 5

n −n chia hết cho 2, 5 mà

( )

2,5 = 1 5

n −n

Vậy n5 và n ln có chữ số tận cùng giống nhau.
Câu 3 (3 điểm)

Cho hình thang ABCD (AB // CD), O là giao điểm hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với
AB cắt DA tại E, cắt BC tại F.

a) Chứng minh SAOD=SBOC.
b) Chứng minh:

EF
CD
AB

2
1
1

=
+

c) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và chia đơi diện tích tam giác
DEF.

Hướng dẫn

a) Ta có SADB =SABC vì có cùng chiều cao hạ từ D và C xuống AB (do AB // CD) và cạnh đáy AB.

ABD AOB ABC AOB

S −S =S −S hay SAOD=SBOC.

b) V× EO DC// 

AC
AO
DC
EO

= . Mặt khác AB CD// AB AO

DC OC

= .

AB AO AB AO EO AB

AB BC AO OC AB BC AC DC AB DC

 =  =  =

+ + + +

I
N

M
K

F
E

D C

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10


EF
AB
DC
EF

DC
AB

DC
AB
DC

AB
AB
DC

EF 2 1 1 2

2 =  + =

+

+

= .

c) Dụng trung tuyến EM M

(

DF

)

.
Dựng EN//MK N

(

DF

)

, nối K với N.
KN là đường thẳng phải dựng.

Chứng minh

Ta có SEDM =SEMF (1).

Gọi giao điểm của EM và KN là I thì SIKE =SIMN (chứng minh phần a).
Từ (1) và (2) suy ra SEDNI +SIMN =SKIMF+SIKE SEDNI +SIKE =SKIMF +SIMN

Vậy SEDNK =SKNF.
Câu 4 (2 điểm)

Cho

2 2
4 4

1
1

x y

a b a b

 + =




+ =

 +



Chứng minh rằng

(

)

2014 2014

1007
1007 1007

x y

a +b = a b+ .

Hướng dẫn
Ta có:

(

2 2

)

4 4 4 4

1 x y

x y x y

a b a b a b a b

+ =  + =

+ + (vì

2 2

x +y = )

(

)

(

4 4

)

(

4 2 2 4

)

a b bx ay ab x x y y

 + + = + +

4 2 4 2 4 4 4 2 2 4

abx a y b x aby abx abx y aby

 + + + = + +

2 4 2 2 2 4

2 0

a y abx y b x

 − + =

(

2 2

)

ay bx

 − =

2 2

2 2 x y

ay bx

a b

 =  =

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 2 2 2

x y x y

a b a b a b

= = =

+ +

2 2

1 1

x y

a a b b a b

 = =

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11

Vậy

(

)

1007 1007 1007 1007

2014 2014 2 2

1007
1007 1007

1 1 2

x y x y

a b a b a b a b a b

       

+ =  +  =  +  =

+ +

    +

    .

Câu 5 (1 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B

(

x 4

)(

x 9

)

x

+ +

= với

(

x0

)

Hướng dẫn
Ta có:

(

16

)(

9

)

25 144 144

x x x x

C x

x x x

+ + + +

= = = + +

Vì x và 144

x là các số dương có tích khơng đổi nên có tổng nhỏ nhất

144

x x

x

 =  =

Vậy min C=49 =x 12.

Đề số 4

Câu 1. Giải phương trình:

18
1
42
13

1
30

11
1
20

9
1

2
2

2 + + + + + + + + =

x
x

x
x
x

x

Câu 2.

a. Chứng minh rằng: n3 + 2012n chia hết cho 48 với mọi n chẵn.

b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 1

x
x

− với x là số nguyên.

Câu 3. Cho a, b, c khác nhau đôi một và 1 1 1 0

a+ + =b c . Rút gọn biểu thức:

2 2 2

1 1 1

2 c 2ac 2ab

M

a b b c

= + +

+ + +

Câu 4. Cho hình bình hành ABCD, lấy điểm M trên BD sao cho MB  MD. Đường thẳng qua M và song

song với AB cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Đường thẳng qua M và song song với AD cắt AB và CD
lần lượt tại K và H.

a. Chứng minh: KF // EH.

b. Chứng minh: các đường thẳng EK, HF, BD đồng quy.
c. Chứng minh: SMKAE = SMHCF

Câu 5. Tìm GTNN của

2
2

3 8 6

2 1

x x

A

x x

− +

ĐÁP ÁN

Câu 1. Giải phương trình:

18
1
42
13

1
30

11
1
20

9
1

2
2

2 + + + + + + + + =

x

x
x
x

x

(

)(

)

9 20 4 5

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12

(

)(

)

2 11 30 5 6

x + x+ = +x x+

(

)(

)

13 42 6 7

x + x+ = x+ x+

ĐKXĐ: x−4;x−5;x−6;x−7

Giải phương trình:

1 1 1 1

(x+4)(x+5)+(x+5)(x+6)+(x+6)(x+7) =18
18

1
7
1
6
1
6
1
5
1
5
1
4
1

=
+
−
+
+
+
−

+
+
+
−

+ x x x x x

x

18
1
7
1
4
1

=
+
−

+ x

x

(

)

(

) (

)(

)

18 x+ −7 18 x+ = +4 x 7 x+4

(

x+13

)(

x− =2

)

13
2

x
x

= −

  =



Câu 2. a) Vì n chẵn nên n = 2k (k  Z)
Do đó n3 + 2012n = (2k)3 + 2012.2k

= 8k3 + 4024k
= 8k3 - 8k + 4032k

= 8k(k2 - 1) + 4032k
= 8k(k + 1)(k - 1) + 4032k
và lập luận suy ra điều phải chứng minh

b) Nhận xét : B = 1

x
x

− với x2 mà x−2 > 0 với mọi x2 nên:

Nếu x + 1 < 0 x < -1 thì B < 0
Nếu x + 1 = 0 x = -1 thì B = 0
Nếu x + 1 > 0 x > -1 thì B > 0
Suy ra B đạt giá trị lớn nhất nếu x > -1
Do x là số nguyên, x2, x > -1

Nên ta xét các trường hợp sau

x = 0 thì B = 1

2 (1)

x = 1 thì B = 2 (2)

x > 2 thì B = 1

x
x

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 13

Với x > 2 ta có B = 1

x
x

+
− =

3
1

x
+

−

B lớn nhất khi 3

x− lớn nhất

mà 3 > 0 và x > 2  x - 2 > 0
nên: 3

x− lớn nhất khi x - 2 nhỏ nhất và x - 2 nguyên  x - 2 = 1 

x = 3 B = 4 (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: B lớn nhất bằng 4 khi x = 3
Câu 3.

Theo đề bài ta có:

1 1 1

a+ + =b c

bc ac ab

abc

+ +

 =

ab ac bc

 + + =

bc ab ac

 = − −

Ta có:

2 2

a + bc=a +bc+bc

(

) (

)

(

)(

)

a bc ac ab
a a c b a c

a c a b

= + − −

= − − −

= − −

Tương tự ta có:

(

)(

)

2 =

b + ac b a b c− −

(

)(

)

2 =

c + ab c a c b− −

Vậy 2 1 2 1 2 1

2 c 2ac 2ab

M

a b b c

= + +

+ + +

(

)(

) (

)(

) (

)(

)

M

a c a b b a b c c a c b

= + +

− − − − − −

(

)(

) (

)(

) (

)(

)

M

a c a b a b b c a c b c

= − +

− − − − − −

(

b c a c a b

)(

)

M

a b a c b c
− − + + −
=

− − −

(

)(

)

M

a b a c b c

= =

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 14

Câu 4.

a) Chứng minh: KF // EH

Chứng minh được: BK MF

AK = ME

Chứng minh được: MF BF BF

ME = DE = FC (hệ quả định lý Ta - lét)

Suy ra BK BF

AK = FC  KF // AC (Định lý Ta - lét đảo)

Chứng minh tương tự ta có EH // AC
Kết luận KF // EH

b) Chứng minh: các đường thẳng EK, HF, BD đồng quy

Gọi giao điểm của BD với KF và HE lần lượt là O và Q. N là giao điểm của AC và BD

Chứng minh được OK QE 1

OF =QH =

Gọi giao điểm của đường thẳng EK và HF là P, giao điểm của đường thẳng EK và DB là P’.
Chứng minh được P và P’ trùng nhau

Kết luận các đường thẳng EK, HF, BD đồng quy
c) Chứng minh: SMKAE = SMHCF

Kẻ EG và FI vng góc với HK, I và G thuộc HK
Chỉ ra được : SMKAE = MK.EG; SMHCF = MH.FI

Chứng minh được: MK KB

MH = HD

Suy ra MK MF

MH = ME

Chứng minh được: MF FI

ME = EG

Suy raMK FI

MH = EG, suy ra MK.EG = MH.FI

Suy ra điều phải chứng minh

G
M

F
E

D C

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 15

Câu 5.

Đặt x− =  = +1 y x y 1. Ta có:

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

2 2

3 1 8 1 6 3 2 1

1 2 1 1

y y y y

A

y

y y

+ − + + − +

= =

+ − + +

2 1

A

y y

= − +

Đặt 1 z

y =

3 2

A z z

 = − +

2 1 2

A=z − z+ +

(

)

1 2 2

A= z− + 

Vậy min A=  =  =  =2 z 1 y 1 x 2.

Đề số 5

Câu 1.(2,0 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4 2

2013 2012 2013

x + x + x+ .

b) Rút gọn biểu thức sau

2 2

2 2 3 2

2 2 1 2

2 8 8 4 2

x x x

A

x x x x x x

 −  

= −  − − 

+ − + −  

  .

Câu 2.(2,0 điểm)

a) Giải phương trình sau:

2 2 2 2 2 2

(2x + −x 2013) +4(x −5x−2012) =4(2x + −x 2013)(x −5x−2012)

b) Chứng minh với mọi m, n, p, q ta đều cóm2+n2+p2+q2+ 1 m n

(

+ + +p q 1

)

Câu 3.(2,0 điểm)

Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x+2 dư 10, f(x) chia cho x−2dư 24, f(x) chia cho x2−4 được
thương là 5− x và còn dư.

Câu 4.(3,0 điểm)

Cho hình vng ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH
vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.

a) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.

b) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng AC=2EF.

d) Chứng minh rằng 12 1 2 1 2

AD = AM + AN .

Câu 5. Cho a b c, , là ba số dương thoả mãn abc=1. Chứng minh rằng :

3 3 3

1 1 1 3

( ) ( ) ( ) 2

a b c+ +b c+a +c a b+  .

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 16
Câu 1

a) Ta có x4+2013x2+2012x+2013

(

x4−x

)

+2013x2+2013x+2013
= x x

(

−1

)

(

x2+ + +x 1

)

2013

(

x2+ +x 1

)

(

x2+ +x 1

)(

x2− +x 2013

)

Kết luận x4 +2013x2+2012x+2013=

(

x2+ +x 1

)(

x2− +x 2013

)

b) ĐK: 0

x
x



 


Ta có

2 2

2 2 3 2

2 2 1 2

A 1

2 8 8 4 2

x x x

x x x x x x

 −  

= −  − − 

+ − + −  

 

2 2 2

2( 4) 4(2 ) (2 )

x x x x x

 −  − − 

= −  

+ − + −

  

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 ( 1)( 2) ( 2) 4 ( 1)( 2)

2( 4) ( 4)(2 ) 2( 2)( 4)

x x x x x x x x x x

x x x x x x x

 −  + −   − +  + − 

= −  =  

+ + −   − +  

   

3 2 2 2

2 2 2 2

4 4 4 1 ( 4)( 1) 1

2( 4) 2 ( 4) 2

x x x x x x x x x

x x x x x

− + + + + + +

= = =

+ +

Vậy A 1

x
x
+

= với 0

x
x



 
 .
Câu 2.

a) Đặt:

2
2

2 2013

5 2012

a x x

b x x

 = + −




= − −



Phương trình đã cho trở thành:

a2+4b2 =4ab(a−2 )b 2 =  −0 a 2b=  =0 a 2b

Khi đó, ta có: 2 2 2 2

2x + −x 2013=2(x −5x−2012)2x + −x 2013=2x −10x−4024
2011

11 2011

x x −

 = −  = .

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 2011

x=− .

b) Ta có

3 3 2 3 7

y x 2x 3x 2 2 x 0 x y

4 8

 

− = + + =  +  +   

  (1)

3 3 2 9 15

(x 2) y 4x 9x 6 2x 0 y x 2

4 16

 

+ − = + + = +  +    +

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 17

Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1
Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được
x = -1; từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là: (-1 ; 0)

Câu 3.

a) Giả sử f(x) chia cho x2−4 được thương là −5x và còn dư là ax b+ .

Khi đó: 2

f ( )x =(x −4).( 5 ) ax+b− x +

Theo đề bài, ta có:

(2) 24 2 24

( 2) 10 2 10

f a b a

f a b

b


= + = =

  

 − = − + = 

   =

Do đó: 2 7

f ( ) ( 4).( 5 ) x+17
2

x = x − − x +

Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: f ( ) 5 3 47 17.

x = − x + x+

b) Ta có: a b c b c a( − )( + − )2+c a b a b c( − )( + − )2−b a c a c b( − )( + − )2 =0 (1)

Đặt:

x z
a

a b c x

x y

b c a y b

a c b z

y z
c

+
 =

+ − =

 

+
 + − = = =

 

 + − = 

  = +



Khi đó, ta có:

VT(1) . 2 . 2 1( )( ). 2

2 2 2 2 2 2 4

x z x y y z y z x z x y

y x x y x y z

+  + +  +  + + 

=  −  +  −  − + −

   

. . 2 . . 2 1( 2 2) 2

2 2 2 2 4

x z x z y z z y

y x x y z

+ − + −

= + − −

1( 2 2). 2 1( 2 2). 2 1( 2 2). 2

4 x z y 4 z y x 4 x y z

= − + − − −

2 2 2 2 2 2 (1)

1 1

( ). ( ). 0 VP

4 x y z 4 x y z

= − − − = = (đpcm)

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 18

a) Ta có DAM = ABF (cùng phụ BAH )

AB = AD ( gt)

BAF = ADM = 900 (ABCD là hình vng)
ΔADM = ΔBAF(g.c.g)

=> DM=AF, mà AF = AE (gt)
Nên. AE = DM

Lại có AE // DM ( vì AB // DC )
Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành

Mặt khác.DAE = 900 (gt)
Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật

b) Ta có ΔABH ΔFAH (g.g)

AB BH

AF AH

= hay BC= BH

AE AH ( AB=BC, AE=AF)

Lại có HAB = HBC (cùng phụ ABH )
ΔCBH ΔEAH

 (c.g.c)

2
ΔCBH

ΔEAH

S BC

S AE

 

  

  , mà

ΔCBH
ΔEAH

= 4

S (gt)

BC
= 4
AE

 

   nên BC2 = (2AE)2

 BC = 2AE  E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD
Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm)

c) Do AD // CN (gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:

 AD= AM

CN MN

AD CN

AM MN


Lại có: MC // AB ( gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:

N
M
H

F

E

D C

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 19

MN = MC AB = MC

AN AB AN MN

  hay AD= MC

AN MN



2 2 2 2 2 2 2

2 2

AD AD CN CM CN + CM MN

+ = + = = = 1

AM AN MN MN MN MN

       

       

       

(Pytago)



2 2

AD AD

+ = 1

AM AN

   

   

    2 2 2

1 1 1

AM AN AD

= + = (đpcm)

Câu 5

Ta có:

2 2 2

3 3 3

1 1 1

( ) ( ) ( )

a b c

a b c+ +b c a+ +c a b+ =ab ac+ +bc ab+ +ac bc+

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có

2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 1

1 1 1

2( )

a b c a b c

a b c

ab ac bc ab ac bc ab bc ac

a b c

 + +   + + 

   

   

+ +  =

+ + + + +  + + 

 

 

(Vì abc=1)

Hay

2 2 2

1 1 1

1 1 1 1

a b c

ab ac bc ab ac bc a b c

 

+ +   + + 

+ + +  

Mà 1 1 1 3

a+ + b c nên

2 2 2

1 1 1

3
2

a b c

ab+ac+bc+ab+ac bc+ 

Vậy 3 1 3 1 3 1 3

( ) ( ) ( ) 2

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 20

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng.

I.Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II.Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS.
Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng
đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III.Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng
Anh.

V

ữ

ng vàng n

ề

n t

ả

ng,

Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>