Luận văn thạc sĩ ánh xạ và đẳng cự giữa một số không gian mêtric compact

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Hải Hà

ÁNH XẠ VÀ ĐẲNG CỰ GIỮA MỘT SỐ
KHÔNG GIAN MÊTRIC COMPACT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Hải Hà

ÁNH XẠ VÀ ĐẲNG CỰ GIỮA MỘT SỐ
KHÔNG GIAN MÊTRIC COMPACT

Chuyên ngành : Hình học và tơpơ
Mã số

: 8460105

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN HÀ THANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2019


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là một cơng trình nghiên cứu, những trích
dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực.
Trần Thị Hải Hà


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin dành những lời đầu tiên của luận văn này để bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hà Thanh, người đã tận tâm hướng dẫn,
giúp đỡ và động viên tơi trong suốt q trình thực hiện luận văn.
Tôi cũng xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô của Trường
Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, những thầy cơ tham gia
giảng dạy lớp Cao học khóa 27 đã cho tơi những kiến thức tốn học về
Đại số, Giải tích và Hình học tơpơ.
Xin kính chúc q thầy cơ thật nhiều sức khỏe và thành công!
Tôi xin chân thành cảm ơn Phịng Sau đại học, Khoa Tốn – Tin của
Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh vì đã tạo điều kiện
học tập tốt nhất cho chúng tôi. Tôi cũng xin cảm ơn quý thầy cô trong
Hội đồng về những góp ý q báu để tơi có thể hồn thiện luận văn hơn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn, các anh chị cùng lớp Hình
học và tơpơ khoa Tốn khóa 26, 27 về những sẻ chia và giúp đỡ trong
thời gian học tập và làm luận văn.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và những người bạn vì
những sự quan tâm và động viên giúp tơi hồn thành thật tốt khóa học.
Trần Thị Hải Hà

MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................. 4
1.1. Không gian tôpô .......................................................................................... 4
1.1.1. Định nghĩa ............................................................................................ 4
1.1.2. Định nghĩa ............................................................................................ 4
1.1.3. Tập mở ................................................................................................. 4
1.1.4. Không gian tôpô con ............................................................................ 4
1.1.5. Không gian tôpô tổng ........................................................................... 4
1.1.6. Không gian tơpơ tích ............................................................................ 5
1.1.7. Khơng gian tơpơ thương ...................................................................... 5
1.1.8. Cơ sở không gian tôpô ......................................................................... 5
1.1.9. Phần trong, bao đóng, biên ................................................................... 6
1.2. Các tiên đề tách ........................................................................................... 6
1.2.1. Không gian T0 ...................................................................................... 6
1.2.2. Không gian T1 ...................................................................................... 6
1.2.3. Không gian T2 ...................................................................................... 7
1.2.4. Không gian T3 ...................................................................................... 7
1.2.5. Không gian T4 ...................................................................................... 7
1.3. Ánh xạ liên tục ............................................................................................ 7
1.3.1. Định nghĩa ............................................................................................ 7
1.3.2. Định lý .................................................................................................. 8
1.3.3. Định lý .................................................................................................. 8
1.4. Ánh xạ đóng, ánh xạ mở ............................................................................. 8
1.4.1. Định nghĩa ............................................................................................ 8
1.4.2. Định lý .................................................................................................. 8

1.5. Phủ, phủ con, lọc ......................................................................................... 9
1.5.1. Phủ........................................................................................................ 9
1.5.2. Phủ con ................................................................................................. 9
1.5.3. Lọc........................................................................................................ 9
1.6. Không gian compact ................................................................................... 9


1.6.1. Định nghĩa ............................................................................................ 9
1.6.2. Tập compact ....................................................................................... 10
1.6.3. Định lý ................................................................................................ 10
1.6.4. Định lý ................................................................................................ 10
1.6.5. Định lý Tychonoff .............................................................................. 10
1.6.6. Định lý ................................................................................................ 11
1.6.7. Compact dãy....................................................................................... 11
1.7. Không gian mêtric ..................................................................................... 11
1.7.1. Mêtric trên một tập hợp...................................................................... 11
1.7.2. Khơng gian mêtric con ....................................................................... 12
1.7.3. Khơng gian mêtric tích ....................................................................... 12
1.7.4. Sự hội tụ trong không gian mêtric ..................................................... 12
1.7.5. Không gian mêtric đầy đủ .................................................................. 13
1.7.6. Không gian mêtric compact ............................................................... 14
1.7.7. Mở rộng đầy đủ của một không gian mêtric ...................................... 14
1.7.8. Tôpô sinh bởi mêtric .......................................................................... 15
1.7.9. Khơng gian mêtric hóa ....................................................................... 15
1.7.10. Bổ đề về số Lebesgue....................................................................... 15
1.7.11. Ánh xạ liên tục giữa các không gian mêtric..................................... 15
1.7.12. Đường kính của một tập hợp, tập hợp trù mật. ................................ 16
1.8. Không gian khả ly ..................................................................................... 16
1.8.1. Định nghĩa .......................................................................................... 16
1.8.2. Mệnh đề .............................................................................................. 17

1.9. Không gian phổ dụng, phần tử phổ dụng .................................................. 17
1.9.1. Phép đồng phôi – Phép nhúng............................................................ 17
1.9.2. Định nghĩa .......................................................................................... 17
1.9.3. Không gian phổ dụng Urysohn .......................................................... 18
1.9.4. Phần tử phổ dụng ............................................................................... 18
1.10. Số chiều ind ............................................................................................. 18
1.10.1. Hàm số chiều .................................................................................... 19
1.10.2. Định nghĩa ........................................................................................ 19
1.11. Lớp tương đương, quan hệ tương đương ................................................ 20
1.11.1. Quan hệ tương đương....................................................................... 20
1.11.12. Lớp tương đương ........................................................................... 20
Chương 2. PHÉP NHÚNG ĐẲNG CỰ TRÊN CÁC KHƠNG GIAN
MÊTRIC COMPACT CĨ SỐ CHIỀU ĐẾM ĐƯỢC ................ 21
2.1. Không gian tôpô   M , R  ....................................................................... 22


2.1.1. Lọc cuối cùng ..................................................................................... 22
2.1.2. Không gian bao hàm    ( M , R ) ...................................................... 23
2.2. Không gian mêtric  (M , R, P) ................................................................ 25
2.3. Phủ cnX ....................................................................................................... 29
2.4. Số u ( X , n) và số đếm  ( X , n ) ................................................................. 29
2.5. Họ R* ........................................................................................................ 29
2.6. Số u ( E , n) và số đếm  ( E , n) ................................................................... 29
2.7. Tập hợp V( nX,i ) ............................................................................................. 30
2.8. Cơ sở đánh chỉ số B0 ................................................................................ 30
2.9. Cơ sở ban đầu M Q ( n,i ,E ) . ........................................................................... 30
2.10. Họ RQM( n ,i , E ) ............................................................................................... 31
2.11.1. Số d1 ( X , j , s ), d 2 ( X , j , s ) và d ( X , j, s) ............................................... 31
2.12. Họ R M ..................................................................................................... 31
2.13. Số u ( L, n) và số đếm

 (L, n) ................................................................. 32

2.14. Họ R. ...................................................................................................... 33
2.15. Quan hệ tương đương


R

...................................................................... 33



2.16. Tập U j ( H ) ............................................................................................. 33
2.17. Bổ đề cơ sở B* . ..................................................................................... 33
2.18. Tập H s ................................................................................................... 34
2.19. Số n  0  và q. ....................................................................................... 35
2.20. Bổ đề ....................................................................................................... 35
Chương 3. ÁNH XẠ VÀ ĐẲNG CỰ CỦA CÁC KHÔNG GIAN
MÊTRIC COMPACT .................................................................. 40
3.1. Định lý ....................................................................................................... 40
3.2. Định lý ....................................................................................................... 50
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 52


1

MỞ ĐẦU
1. Giới thiệu đề tài

Trong tài liệu này chúng ta nghiên cứu về ánh xạ đẳng cự giữa những
không gian mêtric compact. Trong bài báo [5] vào năm 2013 của tác giả
S.D.Iliadis ta có rằng “Với bất cứ n  , một không gian mêtric khả ly đầy đủ
n chiều bao hàm tất cả các không gian mêtric compact n chiều được xây
dựng”. Và vấn đề được đưa ra cho việc nghiên cứu sau này là kết quả này có
được giữ trong khơng gian có số chiều siêu hạn hay không. Chúng ta giải
quyết những vấn đề sau trong tài liệu này:
Vấn đề 1: Ta xây dựng không gian mêtric compact khả ly đầy đủ có số
chiều siêu hạn thỏa điều kiện trên.
Vấn đề 2: Ta nhắc lại rằng ánh xạ F : X  Y từ X vào Y được gọi là
phổ dụng trong lớp 𝔽 của ánh xạ nếu
i. F  𝔽
ii. Với mỗi f : X  Y trong 𝔽, tồn tại một phép nhúng i từ X vào X và
một phép nhúng j từ Y vào Y sao cho F i  j f .
Nếu điều kiện (ii) thỏa mãn thì khi đó F được gọi là ánh xạ bao hàm cho lớp
F. Trong trường hợp tất cả các không gian được xét là mêtric và ánh xạ i và j
là đẳng cự, F được gọi là ánh xạ đẳng cự phổ dụng.
Trong phần này, kết hợp những kết quả ở tài liệu tham khảo, chúng ta khẳng
định sự tồn tại và xây dựng ánh xạ bao hàm đẳng cự cho lớp các ánh xạ liên
tục giữa các tập mêtric compact thông qua các định lý trong bài.
2. Cơ sở khoa học và thực tiễn của đề tài
Trong tốn học, khơng gian mêtric là một tập hợp mà một khái niệm
của khoảng cách (được gọi là mêtric) giữa các phần tử của tập hợp đã được
định nghĩa.


2

Chúng ta có định nghĩa về đẳng cự của hai không gian mêtric như sau:
Hai không gian mêtric X và Y được trang bị hai mêtric tương ứng d X

và dY . Một ánh xạ f : X  Y được gọi là đẳng cự hoặc bảo toàn khoảng cách
nếu với mọi a, b  X ta có: dY ( f (a), f (b))  d X (a, b) .
Trong tài liệu [5], Stavros Iliadis khẳng định rằng “Tồn tại một không
gian mêtric compact khả li số chiều n  bao hàm tất cả các không gian
mêtric compact đẳng cự số chiều n” và ông đã nêu lên một số vấn đề cần giải
quyết như sau:
1. Cho     \  . Có tồn tại một phần tử phổ dụng trong lớp tất cả các
không gian mêtric compact khả li số chiều siêu hạn ind   ?
2. Cho     \  . Có tồn tại một phần tử phổ dụng trong lớp tất cả các
không gian mêtric compact khả li số chiều siêu hạn Ind   ?
3. Cho     \  . Có tồn tại một khơng gian mêtric compact khả li
đầy đủ với số chiều siêu hạn ind   bao gồm tất cả các không gian compact
mêtric đẳng cự với số chiều siêu hạn ind   hay khơng?
4. Cho     \  . Có tồn tại một không gian mêtric compact khả li
đầy đủ với số chiều siêu hạn Ind   bao gồm tất cả các không gian compact
mêtric đẳng cự với số chiều siêu hạn Ind   hay không?
Ở đây trong đề tài này ta sẽ đi nghiên cứu và trả lời về những vấn đề trong
câu hỏi 3 và xây dựng những sơ đồ ánh xạ đẳng cự giữa một số khơng gian
mêtric compact.
3. Mục đích của đề tài
Nghiên cứu ánh xạ và đẳng cự của một số không gian mêtric compact.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm: phân tích, tổng hợp
một số kết quả đã có liên quan đến nội dung luận văn làm cơ sở lý luận và sử


3

dụng các kết quả nghiên cứu đã có để chứng minh một số định lý và tính chất
trong bài.

5. Nội dung của đề tài
Chương 1: Giới thiệu tổng quan. Các kiến thức chuẩn bị về đại số,
nhóm tơpơ, tính compact, tính liên thơng và khơng gian mêtric.
Chương 2: Phép nhúng đẳng cự giữa những khơng gian mêtric
compact có số chiều đếm được.
Chương 3: Ánh xạ và đẳng cự giữa một số không gian mêtric compact.


4

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian tôpô
1.1.1. Định nghĩa
Cho X là tập hợp khác rỗng và  là một họ các tập con của X sao cho:
i. , X 
ii. U , V   U  V 
iii. Ui   , i  I 

iI

Ui 

Khi đó ta có  là một tơpơ trên X và  X ;   là một không gian tôpô.
1.1.2. Định nghĩa
Cho không gian tôpô  X ;   và điểm x  X , U  X được gọi là một
lân cận của x nếu tồn tại một tập mở V   sao cho x  V và V  U .
1.1.3. Tập mở
Tập A  X được gọi là tập mở nếu và chỉ nếu với mỗi x  A thì có một
lân cận U x của x được chứa trong A .
Tập B  X được gọi là tập đóng nếu X \ B là tập mở.

1.1.4. Không gian tôpô con
Cho không gian tôpô  X ;   và A  X . Trên A ta xét họ tập mở

 A   A  U :U mở trong X là họ các tập mở trong A . Dễ thấy  A là tôpô
được cảm sinh từ tơpơ  . Khi đó  X ,  A  được gọi là không gian tôpô con của
không gian tôpô  X ,   .
1.1.5. Không gian tôpô tổng

 

Cho họ các không gian tôpô đôi một rời nhau Xi
Đặt X 
iI



iI

.

Xi và   U  X :U  Xi mở trong Xi , i  I




5

Khi đó  là một tơpơ trên X và  X ,   được gọi là tôpô tổng của các

 

khơng gian tơpơ Xi

iI

. Kí hiệu: iI Xi .

1.1.6. Khơng gian tơpơ tích



Cho họ các khơng gian tơpơ Xi , i

 

họ các phép chiếu pi
chiếu

p 

i iI

iI



iI

. Xét tích Descartes

X
iI

i

và

từ X lên Xi . Khi đó tơpơ cảm sinh từ các phép

được gọi là tơpơ tích trên X , kí hiệu

 .
iI

i

Khơng gian



  Xi ,  i  được gọi là khơng gian tơpơ tích.
iI
 iI


1.1.7. Khơng gian tôpô thương
Cho không gian tôpô  X ,   và R là một quan hệ tương đương trên X.
Ta đặt:

q: X  X/ R

x

[x]

với X / R là tập các lớp tương đương của R .





Họ  / R  U  X / R : q 1 (U )   là một tôpô trên X / R và được gọi
là tôpô thương.
1.1.8. Cơ sở không gian tôpô
Cho không gian tôpô  X ,   , một họ    được gọi là cơ sở của không
gian  X ,   nếu mọi tập con khác rỗng của X được biểu diễn qua hợp của một
họ con của  .
Như vậy, một họ các tập con (trên X )    gọi là cơ sở của không
gian  X ,   nếu với mọi x  X và lân cận V bất kì của x thì tồn tại tập mở

U  sao cho x U  V .


6

Một khơng gian tơpơ  X ,   có thể có nhiều cơ sở khác nhau.
Một họ   x  các lân cận của x được gọi là cơ sở lân cận tại x nếu với
lân cận V bất kì của x thì có một U   x  sao cho x U  V .
1.1.9. Phần trong, bao đóng, biên
a. Phần trong
Tập mở lớn nhất được chứa trong A được gọi là phần trong của tập A .

Ký hiệu: int A hoặc A o .
b. Bao đóng
Tập đóng bé nhất trong X chứa A được gọi là bao đóng của tập A .
Ký hiệu:  A  , A , hoặc Cl  A
c. Biên
Cho  X ,  là một không gian tôpô và A  X . Một điểm x  X được
gọi là điểm biên của A nếu x thuộc bao đóng của A nhưng không thuộc phần
trong của A, tức là x  A \ int  A  . Tập hợp tất cả các điểm biên của A thì
được gọi là biên của A .
1.2. Các tiên đề tách
1.2.1. Không gian T0
Không gian tôpô  X ;   được gọi là T0  không gian nếu với hai điểm
phân biệt bất kì x, y của X thì tồn tại một lân cận U1 của x sao cho y  U1
hoặc một lân cận U 2 của y sao cho x U2 .
1.2.2. Không gian T1


7

Không gian tôpô  X ;   được gọi là không gian T1 nếu với hai điểm
phân biệt bất kì x, y của X có một lân cận U1 của x sao cho y  U1 và một
lân cận U 2 của y sao cho x U2 .
1.2.3. Không gian T2
Không gian tôpô  X ;   được gọi là không gian T2 (hay không gian
Hausdorff) nếu với hai điểm phân biệt bất kì x, y của X có các lân cận U1 , U2
sao cho x U1 , y U2 và U1  U2  
1.2.4. Không gian T3
Không gian tôpô  X ;   được gọi là khơng gian T3 (hay khơng gian
chính qui) nếu X là T1  không gian và với mọi x  X và với tập đóng A  X
sao cho x  A thì tồn tại các tập mở U1 ,U2 sao cho x U1 , A  U2 và

U1  U2   .
1.2.5. Không gian T4
Không gian tôpô  X ;   được gọi là không gian T4 (hay không gian
chuẩn tắc) nếu X là T1  khơng gian và với hai tập đóng A, B bất kì phân biệt
trong X, thì tồn tại các tập mở U và V sao cho A  U , B  V và U  V   .
1.3. Ánh xạ liên tục
1.3.1. Định nghĩa
Cho hai không gian tôpô  X , X  , Y , Y  và ánh xạ f : X  Y .
f được gọi là liên tục tại điểm xo  X nếu với mỗi lận cận W của
f  x0  trong Y luôn tồn tại một lân cận V của xo trong X sao cho
f V   W .


8

f được gọi là liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi điểm x  X .

1.3.2. Định lý
Cho X ,Y là hai không gian tôpô và ánh xạ f : X  Y . Khi đó ánh xạ
f liên tục tại điểm xo  X khi và chỉ khi với mỗi lân cận W của f  xo  trong
1
Y thì f W  là lân cận của xo trong X .

1.3.3. Định lý
Giả sử

 X , X  , Y , Y 

là hai không gian tôpô và f : X  Y . Các

mệnh đề sau tương đương:
i. Ánh xạ f liên tục trên X .
ii. Nghịch ảnh của mỗi tập mở là một tập mở.
iii. Nghịch ảnh của mỗi tập đóng là một tập đóng.

 

iv. A  X  f A  f  A .
v. B  Y  f 1  B0    f 1  B  

0

1.4. Ánh xạ đóng, ánh xạ mở
1.4.1. Định nghĩa
Cho hai khơng gian tôpô X và Y .
Ánh xạ f : X  Y được gọi là ánh xạ đóng (mở) nếu mọi tập A đóng
(mở) trong X đều có f  A là tập đóng (mở) trong Y .
1.4.2. Định lý
Giả sử f : X  Y là một song ánh liên tục. Các mệnh đề sau là tương
đương:
i. f là một phép đồng phơi.
ii. f là ánh xạ đóng.
iii. f là ánh xạ mở.


9

1.5. Phủ, phủ con, lọc
1.5.1. Phủ

Cho tập hợp X tùy ý khác rỗng, A là tập con nào đó của X . Một họ

 Bi iI

các tập con của X được gọi là một phủ của tập con A nếu A 

iI

Bi .

Khi đó ta cũng nói họ  Bi iI phủ tập A .
1.5.2. Phủ con
Nếu  Bi iI là một phủ của tập A , họ con  B j  jK  K  I  của họ

 Bi iI

được gọi là phủ con của phủ trên nếu bản thân họ  B j  jK cũng là một

phủ của A.
Nếu I là tập hợp hữu hạn thì ta nói  Bi iI là phủ hữu hạn của A.
1.5.3. Lọc
Cho S là một tập. Cho
Khi đó ta nói
Nghĩa là

là một lọc của

là một lọc của

vài phần tử của

Nếu

 U  và

 V  là phủ của S .

khi V  : U  : V  U

khi mọi phần tử của

là tập con của một

.

là một lọc của

thì

mịn hơn

hay

thơ hơn

.

1.6. Khơng gian compact
1.6.1. Định nghĩa
Khơng gian tơpơ ( X , ) được gọi là không gian compact nếu mọi phủ
mở của X đều tồn tại một phủ con hữu hạn.

Ta có ( X , ) là khơng gian compact
 G I ,



G  X


10

 U i (i  1, 2,..., n) :

n

U i  X

i 1

1.6.2. Tập compact
Cho ( X , ) là một không gian tôpô, A  X , A   , A là tập compact
trong X nếu A với tôpô cảm sinh trên A bởi tôpô trên X là không gian
compact.
A được gọi là tập compact tương đối nếu A là tập compact.

Ví dụ:
1. Tập X tùy ý với tôpô thô là không gian compact.
2.

với tôpô tự nhiên là không gian compact.

3. Không gian tôpô
mọi phủ mở đếm được của
4. Không gian tôpô
với mỗi điểm x thuộc

X

X

được gọi là khơng gian compact đếm được nếu

X

ln có một phủ con hữu hạn.

X

được gọi là khơng gian compact địa phương nếu

có một lân cận U   của x sao cho U là compact.

1.6.3. Định lý
Cho không gian tôpô  X,  ,

A

là một tập con của

X. A

khi và chỉ khi với mỗi họ  Fi iI các tập con  A  đóng của
hữu hạn, tức là

iJ

A

là tập compact

có tính chất giao

Fi  

1.6.4. Định lý
Nếu một không gian con

A

của khơng gian tơpơ

X

là khơng gian

compact thì với mọi họ Ui iI các tập con mở của

X

sao cho A 

tồn tại một tập hữu hạn i1 , i2 ,..., ik   I sao cho A 

k
j 1

Ui .

iI

Ui ,

j

1.6.5. Định lý Tychonoff
Cho  Xi , i iI là một họ các không gian tôpô, ( X , ) là không gian tích
của chúng.


11

Nếu tất cả các không gian  Xi , i  compact thì ( X , ) cũng compact.
Nếu tất cả các tập Xi là khác rỗng và ( X , ) là compact thì tất cả các
khơng gian  Xi , i  cũng compact.
1.6.6. Định lý
Cho không gian tôpô ( X , ) . Các mệnh đề sau tương đương.
i. ( X , ) là compact đếm được.
ii. Mỗi họ đếm được các tập đóng của

X

có tính giao hữu hạn thì có

giao khác rỗng.
iii. Với mỗi dãy giảm F1  F2  ... các tập con đóng khác rỗng của X ,
giao

F khác rỗng.


i 1 i

1.6.7. Compact dãy
Định nghĩa:
Không gian tôpô ( X , ) được gọi là compact dãy nếu mỗi dãy

x 

n n

 X thì có dãy con hội tụ về một điểm trong

X.

Tính chất:
Nếu

X

là khơng gian compact dãy thì

X

cũng là khơng gian compact

đếm được.
Trong khơng gian thỏa tiên đề đếm được thứ nhất, tính compact dãy và
tính compact đếm được là tương đương nhau.
Định lý:
Nếu A là tập con đóng của khơng gian compact dãy thì A cũng là tập
compact dãy.
1.7. Khơng gian mêtric
1.7.1. Mêtric trên một tập hợp
Định nghĩa:


12

Cho tập tùy ý X  0 . Ánh xạ  : X  X 

được gọi là một mêtric

(khoảng cách) trong X nếu:
i.  ( x,y)  0

x, y  X

ii.  ( x, y)  0  x  y

(tiên đề đồng nhất)

iii.  ( x, y)   (y, x)

x, y  X

iv.  ( x,y)   ( x, z)   (z, y)

x, y, z  X (tiên đề tam giác)

(tiên đề đối xứng)

Tập X với mêtric  trang bị trên X được gọi là một không gian
mêtric.
Ký hiệu ( X ,  )
1.7.2. Không gian mêtric con
Cho không gian mêtric ( X ,  ) và E  X , E   .
Với mỗi x, y  E , đặt  E ( x, y)   ( x, y) .
Khi đó E là một mêtric trên E . E được gọi là mêtric cảm sinh trên

E bởi mêtric  .
Không gian mêtric (E ,  E ) được gọi là không gian mêtric con của
không gian mêtric ( X ,  ) .
1.7.3. Khơng gian mêtric tích
Cho hai khơng gian mêtric ( X ,  X ) , (Y , Y ) .
Xét X  Y   x , y  : x  X , y  Y  . X  Y là một không gian mêtric với
2
2
mêtric  (( x1, y1),( x2 , y2 ))   X ( x1, x2 )  Y ( y1,y2 )

Với ( x1, y1)  X  Y , ( x2 , y2 )  X  Y
Không gian mêtric ( X  Y ,  ) được gọi là không gian mêtric tích của

các khơng gian mêtric X và Y .
1.7.4. Sự hội tụ trong không gian mêtric
Định nghĩa:


13

Cho không gian mêtric  X ,   . Dãy  xn n  X được gọi là hội tụ về
một điểm a  X nếu lim   xn , a   0 .
n

Ký hiệu lim xn  a hay xn  a
n

Khi đó a được gọi là giới hạn của dãy x n .
Ta có lim xn  a    0, N : n  N :   xn , a    .
n

Nhận xét (tính chất):
Cho khơng gian mêtric  X ,   .
i) Giới hạn của một dãy (nếu có) là duy nhất.
Chứng minh:

 xn n

Cho dãy

trong khơng gian mêtric

 X , .

Giả sử xn  x , và

xn  x '. Ta có: 0    x, x '    x, xn     x n , x '

Cho n   ta được   x, x '  0  x  x '.
Vậy giới hạn của  xn n là duy nhất.
ii) Nếu dãy  xn n hội tụ về điểm a thì mọi dãy con của dãy này cũng
hội tụ về a.
iii) Nếu xn  a và yn  b thì   xn , yn     a, b  .
Chứng minh:
Thật vậy, ta có: 0    xn , yn     a, b     xn , a     yn , b 
Cho n   ta được   xn , yn     a, b .
1.7.5. Không gian mêtric đầy đủ
Dãy  xn 


n 1

trong không gian mêtric ( X ,  ) được gọi là dãy Cauchy,

(hoặc dãy cơ bản), nếu với mỗi   0 , tồn tại số no 

i, j  no ln có d ( xi , x j )   .

sao cho với mọi số


14

Không gian mêtric ( X ,  ) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy
trong X đều hội tụ.
1.7.6. Không gian mêtric compact
Cho không gian mêtric ( X ,  ) .
Ta nói X là khơng gian compact nếu mọi dãy điểm  xn  trong X đều

  hội tụ về một điểm x  X .

chứa một dãy con xn

k

Cho A  X , ta nói A là tập con compact của không gian mêtric ( X ,  )
nếu mọi dãy

xnn  A

  hội tụ về một điểm

đều chứa một dãy con xn

k

xA
Nếu A là tập compact thì A được gọi là compact tương đối.
1.7.7. Mở rộng đầy đủ của một không gian mêtric
Cho không gian mêtric bất kỳ , ta xây dựng một không gian mêtric M
chứa không gian M sao cho M là không gian con trù mật của M . Khi đó ta
có tính chất như sau:
Cho N là một khơng gian mêtric đầy đủ bất kỳ, f là một hàm liên tục

từ M vào N , khi đó tồn tại duy nhất một hàm liên tục f từ M vào N là mở
rộng của f .
Không gian M đẳng cự với M bởi tính chất trên, và M được gọi là
mở rộng đầy đủ của M .
Ví dụ với mêtric khoảng cách, tập hữu tỉ khơng hội tụ vì tồn tại những
dãy Cauchy khơng hội tụ. Ví dụ ta có dãy x1  1, xn1 
mà

xn 1
hội tụ về

2 xn

2

2 không phải là hữu tỉ nên dãy này không hội tụ trong tập số hữu tỉ. Mở

rộng đầy đủ của tập hữu tỉ là tập số thực. Chú ý rằng mở rộng đầy đủ phụ
thuộc vào mêtric.


15

1.7.8. Tôpô sinh bởi mêtric
Cho  X ,   là một không gian mêtric, tôpô sinh bởi cơ sở gồm các hình
cầu mở B = Bd  a, r  : a  X , r  0 được gọi là tôpô sinh bởi mêtric (hay
tôpô mêtric).
1.7.9. Không gian mêtric hóa
Khơng gian tơpơ X được gọi là khơng gian mêtric hóa nếu trên X có
một mêtric  : X  X 

sao cho tôpô sinh bởi mêtric  trùng với tôpô ban

đầu trên X .
1.7.10. Bổ đề về số Lebesgue
Nếu một không gian mêtric  X ,   là compact và có một phủ mở của
khơng gian X, thì khi đó tồn tại một số   0 sao cho mọi tập con của X có
đường kính bé hơn  được chứa trong một vài phần tử của phủ.
Số  được gọi là số Lebesgue của phủ này.
1.7.11. Ánh xạ liên tục giữa các không gian mêtric
Định nghĩa:
Cho  X ,  X  và Y , Y  là hai không gian mêtric, ánh xạ f : X  Y
được gọi là liên tục tại điểm x0  X nếu với mỗi số dương  đều tồn tại một
số

dương



sao

cho

với

mọi

x  X , nếu

 X  x, x0   

thì

Y  f  x  , f  x0     .
Ta nói ánh xạ f là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm x  X .
Định lý:
Cho ánh xạ f : X  Y từ không gian mêtric  X ,  X  vào không gian
mêtric Y , Y  . Khi đó ta có các mệnh đề sau là tương đương:
i) Ánh xạ f là liên tục tại mọi điểm x  X .


16

ii) Với mọi dãy

 xn n1


trong X , nếu lim xn  x trong X thì
n

lim f  xn   f  x  trong Y .
n

Định nghĩa:
Ánh xạ f :  X ,  X   Y , Y  được gọi là một phép đẳng cự nếu
x, y  X ta có  X  x, y   Y  f  x  , f  y   . Hai không gian mêtric X ,Y gọi

là đẳng cự nếu tồn tại một phép đẳng cự từ X lên Y .
1.7.12. Đường kính của một tập hợp, tập hợp trù mật.

a. Đường kính
Cho ( X ,  ) , đường kính của một tập A  X kí hiệu là Diam  A định
nghĩa như sau:
Diam  A  sup   x, y  | x, y  A

nếu sup   x, y  | x, y  A tồn tại.
Nếu

A là compact thì khi đó tồn tại a1 , a2  A sao cho

Diam  A    a1, a2 

b. Trù mật
Cho ( X ,  ) , A  X , B  X .

A được gọi là trù mật trong B nếu B  A .
Nếu A  X thì A được gọi là trù mật khắp nơi trong X .
1.8. Không gian khả ly
1.8.1. Định nghĩa
Không gian mêtric ( X ,  ) được gọi là không gian khả ly (tách được) nếu
tồn tại một tập con đếm được trù mật trong X .
Ta có:

X khả ly



A  X : A đếm được và A  X .

17

1.8.2. Mệnh đề
Không gian thỏa tiên đề đếm được thứ hai là không gian khả ly.
Chứng minh: Gọi   Un n là cơ sở đếm được của X . Ta đặt:
A   xn nN

trong đó mỗi xn được lấy ra tương ứng trong một tập U n .
Giả sử V là một tập mở bất kỳ trong X

V 

U : U 
i

i

 Ui  V  xi  A sao cho xi Ui  V .
0

0

0

0

 A  V    A  X hay A là trù mật.
Vậy ta có X là khơng gian khả ly.
1.9. Không gian phổ dụng, phần tử phổ dụng, ánh xạ phổ dụng
1.9.1. Phép đồng phôi – Phép nhúng

Phép đồng phôi: Cho hai không gian tôpô X và Y . Ánh xạ f : X  Y
được gọi là một phép đồng phôi nếu f là một song ánh, f liên tục và f 1
liên tục.
Khi đó hai khơng gian X và Y được gọi là đồng phôi với nhau hay là
tương đương tôpô.
Phép nhúng: Phép nhúng của X trong Y là một ánh xạ f : X  Y sao
cho f là phép đồng phôi giữa X và không gian con f  X  của Y .
1.9.2. Định nghĩa
Không gian T được gọi là phổ dụng trong lớp các không gian

nếu:

i. T 
ii. với mọi X  , tồn tại một phép nhúng từ X vào T .
Nếu chỉ điều kiện (ii) được thỏa mãn thì khi đó T được gọi là không
gian bao hàm của


18

1.9.3. Không gian phổ dụng Urysohn
Không gian mêtric U , d  được gọi là phổ dụng Urysohn nếu nó khả ly
và đầy đủ, với những tính chất sau:
Cho một không gian mêtric hữu hạn X bất kỳ, điểm x bất kỳ trong X và
một phép nhúng đẳng cự tùy ý f : X \  x  Y thì tồn tại một phép nhúng đẳng
cự F : X  Y mở rộng của f sao cho F  y   f  y  với mọi y thuộc X \ x .
1.9.4. Phần tử phổ dụng
Với mọi ánh xạ f ta kí hiệu D f , R f lần lượt là tập xác định và tập giá
trị của f .
Cho f và g là hai ánh xạ. Cặp  i, j  , với i là một phép nhúng từ Dg

vào D f và j là một phép nhúng từ Rg vào R f sao cho f i  j g , được gọi
là một phép nhúng từ g vào f .
Cho
mọi g 

là lớp các ánh xạ. Một phần tử f là phổ dụng trong

nếu với

tồn tại một phép nhúng từ g vào f .

1.9.5 Ánh xạ phổ dụng
Ánh xạ F : X  Y từ X vào Y được gọi là phổ dụng trong lớp 𝔽 của
ánh xạ nếu
i. F  𝔽
ii. Với mỗi f : X  Y trong 𝔽, tồn tại một phép nhúng i từ X vào X và
một phép nhúng j từ Y vào Y sao cho F i  j f .
Nếu điều kiện (ii) thỏa mãn thì khi đó F được gọi là ánh xạ bao hàm cho lớp
F. Trong trường hợp tất cả các không gian được xét là mêtric và ánh xạ i và j
là đẳng cự, F được gọi là ánh xạ đẳng cự phổ dụng.
1.10. Số chiều ind