Luận văn thạc sĩ ánh xạ không gian và vài nét về cấu trúc hình học của không gian banach

B ộ GIÁO D Ụ C VÀ Đ ÀO TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

N G U Y Ễ N HỮU DƯƠNG

ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VÀ VÀI NÉT VỀ CẤư TRÚC
HÌNH HỌC CỦA KHÔNG GIAN BANACH

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C s ĩ T O Á N HỌC

Hà Nội - 2015


B ộ GIÁO D Ụ C VÀ Đ ÀO TẠO
T R Ư Ờ N G Đ ẠI HỌC s ư P H Ạ M H À NỘ I 2

N G U Y Ễ N HỮU DƯƠNG

ẢNH XẠ KHONG GIAN VÁ VÁI NÉT VÊ CÄU TRÚC
HÌNH HỌC CỦA KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên nghành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C s ĩ T O Á N HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Quốc Bình

Hà Nội - 2015

i

Lời cảm ơn

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS. Trần Quốc
Bình. Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn em trong quá trình
hoàn thành luận văn này.

Nhân dịp này em xin gửi lời cám ơn của mình tới toàn bộ các thầy
cô giáo trong Khoa Toán và Phòng Sau Đại học đã giảng dạy và giúp đỡ
chúng em trong suốt quá trình học tập tại đây đồng thời, tôi xin cảm
ơn các bạn trong lớp cao học K17 Toán Giải Tích đợt 2 đã nhiệt tình
giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp.

Hà Nội, tháng 8, năm 2015
Tác giả

N guyễn Hữu Dương


il

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Trần Quốc Bình.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 8, năm 2015

Tác giả

N guyễn Hữu Dương


M uc luc
Lời cảm ơn

i

Lời cam đoan

ii

Mục lục

iii

M ở đầu

3

Chương 1 K iến thứ c chuẩn bị

6

1 . 1. Các khái niệm về đường kính

6

1 . 2 . Tính lồi

7

1.3. Cấu trúc chuẩn tắc

8

1.4. Không gian liên hợp và tính phản xạ

8

1.5. Tôpô yếu và tôpô yếu’"

9

1.6. Một số tính chất cơ bản của tôpô yếu và tôpô yếu’"

9

1 . 6 . 1 . Tính chất 1

9

1 . 6 . 2 . Tính chất 2

9

1.6.3. Tính chất 3 (Định lý Alaoglu’s)

10

1.6.4. Tính chất 4

10

1.6.5. Tính chất 5 (Định lý Eberlin-Smulion)

10

1 . 6 . 6 . Tính chất 6

10

1.7. Nguyên lí điểm bất động của ánh xạ co

11

1.8. Tập bất biến

11

iii


IV

Chương 2. Các định lý cơ bản về ánh x ạ không giãn
2 . 1 . Các khái niệm cơ bản

12
12

2 . 2 . Định lý cơ bản về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong

không gian Banach

15

2.3. Định lý cơ bản về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong
không gian metric

19

2.4. Định lý cơ bản về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong
không gian Hilbert

25

2.5. Tính chất của tập điểm bất động và tập cực tiểu

27

Chương 3. Vài nét về cấu trúc hình học của không gian Banach
31
3.1. Cấu trúc chuẩn tắc

31

3.2. Môđun lồi và đặc t]rưng lồi

39

3.3. Mối quan hệ giữa môđun lồi và cấu trúc chuẩn tắc

43

3.4. Mối quan hê giữa cấu trúc chuẩn tắc và tính trơn

46

K ết luận
Tài liệu tham khảo

50
51


3

M ở đầu
1. Lý do chọn đ ề tà i
Khi hệ số co của ánh xạ co Banach bằng 1, tức là khi:
IITa; —TyII < \\x — y\\ ,V x ,y £

c

thì T gọi là ánh xạ không giãn. Nói chung, ánh xạ không giãn không
nhất thiết có điểm bất động (chẳng hạn T là phép quay hình tròn đơn
vị quanh tâm đi một góc), mà nếu có thì điểm bất động cũng không duy

nhất (chẳng hạn T là ánh xạ đơn vị).
Để ánh xạ không giãn T có điểm bất động ta phải áp các điều kiện
lên miền

c và nhất

là không gian X. Năm 1965 xuất hiện

3 bài

báo có

tính chất mở đường về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn
trong không gian Banach lồi đều với

c

lồi đóng bị chặn (hay giảm nhẹ

đi một chút là lồi, compact yếu, có cấu trúc chuẩn tắc trong không gian
định chuẩn X (chú ý rằng không gian Banach lồi đều có cấu trúc chuẩn
tắc). Từ đó đến nay, lý thuyết ánh xạ không giãn và song hành với nó
là nghiên cứu cấu trúc hình học của không gian Banach đã phát triển
mạnh mẽ.
Trong luận văn này, tôi không chỉ nghiên cứu về điểm bất động của


4

ánh xạ không giãn, về cấu trúc tập điểm bất động của ánh xạ không

giãn mà còn đề cập sâu đến các vấn đề về cấu trúc hình học của không
gian Banach có liên quan.
Tài liệu được tôi chọn là một số bài báo và tài liệu chính là cuốn sách
"Các vấn đề về lý thuyết điểm bất động mêtric" của hai tác giả Goebel
K. và Kirk

w.

A. [4]. Trong đó Kirk

w.

A. chính là tác giả của một

trong 3 bài báo được nhắc tới năm 1965 ở trên và đến nay vẫn là một
trong những người có uy tín nhất trong lĩnh vực điểm bất động. Quyển
sách của ông được hầu hết những người làm việc trong lĩnh vực này sử
dụng.
Qua các kết quả nghiên cứu trên, để góp phần giúp người đọc muốn
tìm hiểu về lý thuyết ánh xạ không giãn nói chung và bản thân nói riêng
hiểu sâu hơn về vấn đề này. Vì vậy, dưới sự hướng dẫn và giúp đỡ của
TS. Trần Quốc Bình, tôi chọn đề tài: “Á nh xạ không giãn và vài nét
về cấu trúc hình học của không gian Banach ” làm luận văn tốt
nghiệp của mình.

2. M ụ c đích n gh iên cứu
Nắm được lý thuyết điểm bất động của ánh xạ không giãn và cấu
trúc hình học của không gian Banach.

3. N h iệm vụ n gh iên cứu

Nghiên cứu các kiến thức cơ sở của ánh xạ không giãn, lý thuyết điểm
bất động, cấu trúc hình học của không gian Banach và các sách, tài liệu


5

CÓ liên quan đến các vấn đề đã nêu. Từ đó áp dụng vào việc hệ thống
và trình bày luận văn.

4. Đ ố i tư ợ n g và p h ạm vi n gh iên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Ảnh xạ không giãn, điểm bất động của ánh xạ
không giãn và cấu trúc hình học của không gian Banach.
Phạm vi nghiên cứu: Các cuốn sách và tài liệu liên quan đến đối tượng
nghiên cứu.

5. P h ư ơ n g pháp n gh iên cứu
Sử dụng kiến thức cơ bản của lý thuyết ánh xạ không giãn, lý thuyết
điểm bất động.

6. D ự kiến kết quả n gh iên cứu
Luận văn là tài liệu tổng quan về lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết ánh
xạ không giãn và cấu trúc hình học của không gian Banach.


6

Chương 1
K iến thứ c chuẩn bị
1.1. C ác khái n iệm về đường kính
Đ ịnh nghĩa 1.1. Nếu A là tập con của không gian metric (M ,p ) và

nếu X € M thì diamẢ và dist (x, A) được gọi là đường kính của tập A
và khoảng cách từ X đến tập A. Được xác định bởi:
diamẢ = sup {p (x, y ) : X, y € A}
dist (x, A) = inf {p (x, y) : y € A} .
Đ ịnh nghĩa 1.2. Mọi tập con D , H của X; u € X:
ru (D ) = sup {||u

—

u|| : V € D }

rH (D ) = inf {ru (D) : u e H }
CH (D) = { u e H : ru (D ) = rH (D)} .
Khi đó:
+SỐ ru (D ) được gọi là bán kính của D so với u.
+SỐ rH (D ) được gọi là bán kính chebysher của D so với H.
+SỐ C ịj (D ) được gọi là tâm chebysher của D so với H.


7

Một điểm u € D được gọi là điểm đường kính nếu ru (D ) = diamD.
Nếu u không là điểm này thì được gọi là điểm phi đường kính.

1.2. T ín h lồi
Đ ịnh nghĩa 1.3. Giả sử X là không gian tuyến tính, K là tập số thực.
Khi đó tập A

c

X được gọi là lồi, nếu với mọi X\,X 2 G A, A € K và

0 < A < 1 ta có:
\ x i -\- (1 —A) X2 E A.
Đ ịnh nghĩa 1.4. Cho A

c

X; convA là tập con lồi nhỏ nhất của X

chứa A được gọi là bao lồi của A:
convA =

n { K c X : K D A}; với K

lồi.

Nếu convẢ là tập đóng thì convA được gọi là bao lồi đóng của A:
convA = Pl { K

c X :K

D A} ; K là đóng và lồi.

Đ ịnh lý 1.1 (M azur’s). Nếu A là compact thì convA cũng compact.
Đ ịnh nghĩa 1.5. Không gian Banach (X, ||.||) được gọi là lồi ngặt (lồi
chặt). Nếu với mọi X Ỷ y mà \\x\\ < 1; ||y|| < 1 ta có: ll^^ll < 1Điều kiện này tương đương với: Nếu 11rr + y II = ||a;|| + ||y|| và y Ỷ 0 'thì
X = Ay\ với một A > 0 nào đó.
Đ ịnh nghĩa 1.6. Không gian Banach (X, ||.||) được gọi là lồi đều nếu
với mọi £ > 0 đều tồn tại ố(c) > 0 sao cho với mọi x ,y e X mà:

\\x\\ < 1; ||y|| < 1; 11rr — y II > £ ta luôn có: ll^^ll < 1 —ở(e)-


8

Đ ịnh nghĩa 1.7. Không gian mêtric (x , d ) được gọi là siêu lồi nếu
với mỗi họ điểm {a;Q} trong X và mọi số thực không âm {rQ} sao cho
d ( x a, X ạ )

<

ra +

Tp

ta có:
Ọ \B {xa,r a) Ỷ 0-

1.3. C ấu trú c chuẩn tắ c
Cho X là không gian định chuẩn khi đó ta có các định nghĩa sau:
Đ ịnh nghĩa 1.8. Tập hợp con K của X được gọi là có cấu trúc chuẩn
tắc nếu mọi tập con lồi bị chặn

s của K

với dỉam S > 0 đều có chứa

một điểm không là điểm đường kính.
Đ ịnh nghĩa 1.9. Một tập lồi D trong không gian đối ngẫu X* gọi là có
cấu trúc chuẩn tắc yếu * nếu mọi tập con đóng, bị chặn, lồi

s của D với

dỉam S > 0 có một điểm không là điểm đường kính.

1.4. K h ôn g gian liên hợp và tín h p h ản x ạ
Cho hai không gian Banach X và Y . £(X , Y ) là kí hiệu tập các toán tử
tuyến tính bị chặn từ X vào Y , với chuẩn ||T|| của toán tử T € £(X , Y )
được cho bởi:
||T|| = sup

: a; e X; a; 7^ o| = sup {||Ta:|| : X € X; ||a;|| = 1}.

Đ ịnh nghĩa 1.10. Không gian liên hợp X* của X; X* = £(X,M ) là
không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X:
X*

(s) =

( x , X*)

; X € X, X* € X*.


9

Đ ịnh nghĩa 1.11. Không gian X** = £(X *,K ) gọi là không gian liên
hợp thứ hai của X.
Ánh xạ X I—> X** gọi là ánh xạ chính tắc hay phép nhúng chính tắc
của X trong X**.

Đ ịnh nghĩa 1.12. Nếu phép nhúng chính tắc X !-»■ X** là toàn ánh thì
X gọi là phản xạ: X = X**.

1.5. T ôpô y ếu và tô p ô yếu*
Đ ịnh nghĩa 1.13. Tôpô yếu trên X là tôpô sinh bởi họ các nửa chuẩn
{p x*} với X* € X*, ở đây: p x* (a;) = |(a;, £*)| , X € X.
Đ ịnh nghĩa 1.14. Tôpô yếu* trên X* được sinh bởi các nửa chuẩn {p x}
với X & X, ò đây: p x (a;*) = |(a;, £*)| ]X* € X*.
N hận x ét 1.1. X và X* là các không gian lồi địa phương. Trên X* có
hai tôpô yếu, là tôpô sinh bởi X** và tôpô yếu* sinh bởi X. Nếu X là phản
xạ thì các tôpô này trùng nhau.

1.6. M ột số tín h ch ất cơ bản củ a tô p ô yếu và tô p ô
yếu*
1.6.1. Tính chất 1
Một tập con lồi K của X là đóng khi và chỉ khi nó là đóng yếu.
1.6.2. Tính chất 2
Nếu K là một tập compact yếu của X thì convK cung compact yếu.


10

N hận x ét 1.2. Các tính chất trên không còn đúng trong tôpô yếu *.
1.6.3. T ính chất 3 (Đ ịn h lý A la o g lu ’s)
Hình cầu đơn vị B (0,1) trong không gian đối ngẫu X* luôn là compact
trong tôpô yếu *.
Nếu X là phản xạ thì X = X**, do đó theo định lý Alaoglu’s ta có tính
chất dưới đây.
1.6.4. T ính chất 4
Nếu X là phản xạ thì mỗi hình cầu đóng trong X là compact trong

tôpô yếu.
1.6.5. T ính chất 5 (Đ ịn h lý E b erlin -S m u lio n )
Cho A là tập con của X, thì các điều kiện sau là tương đương:
(a) Mỗi dãy {x n} trong A có một dãy con hội tụ yếu.
(b) Mỗi dãy {x n} trong A có một điểm tụ yếu trong X.
(c) Bao đóng A của A là compact yếu.
1.6.6. T ính chất 6
Một không gian Banach X là phản xạ khi và chỉ khi các điều kiện sau
là tương đương:
(a) X* là phản xạ.
(b) B (0,1) là compact yếu trong X*.


11

(c) Mọi dãy bị chặn trong X đều chứa một dãy con hội tụ yếu.
(d) Mọi

X* G

X* đều tồn tại

X G

B

( 0, 1)

sao cho

(e) Mọi tập con lồi đóng bị chặn K của X và mọi
sao cho:

X*

X* (æ) = \\x*\\.

X* G

X*, tồn tại X

G

K

(æ) G sup {æ* (y) : y G K} .

(f) Mọi dãy bất kỳ {K n} các tập con khác rỗng lồi, đóng và bị chặn của
X đều có giao khác rỗng: r e Kn ¿0 .
BỔ đề 1.1 (Zorn). Nếu mỗi xích trong một tập được sắp thứ tự bộ phận
M đều có cận trên thì trong M tồn tại phần tử cực đại.

1.7. N g u y ên lí đ iểm b ất đ ộn g củ a án h x ạ co
Đ ịnh lý 1.2. Cho không gian Banach H , nếu ánh xạ Ị : H —»■H là ánh
xạ co thì ánh xạ f : H —»■H có duy nhất điểm bất động Xq g H , nghĩa
là f ( x 0) = X q .

1.8. Tập b ất b iến
Đ ịnh nghĩa 1.15. Một tập con D khác rỗng, lồi, đóng của K gọi là tập
bất biến đối với ánh xạ T

: K —>K

( ) c D.

nếu T D


12

Chương 2
Các định lý cơ bản về ánh xạ không
giãn
2.1. C ác khái n iệm cơ bản
Đ ịnh nghĩa 2.1. Ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào không gian
metric (z , p) được gọi là ánh xạ không giãn nếu với mọi

€ X ta có

p { T x , T y ) < d (x, y).
V í dụ 2.1. Cho X = l1 và cho {en} =

là cơ sở trực chuẩn của l1.

Xét: K = conv {en : n > 1, 2...} = {x = {Xị} : Xị > 0; i = 1, 2...; ||a;|| = 1}.
Khi đó diam K = 2 và toán tử
Sx =

s được định nghĩa bởi:

s {xu x 2, ...) =

(0, Xị , x 2, ...)

là một phép đẳng cự từ K vào K không có điểm bất động.
Thật vậy, nếu S x =

X] X

= 0 mâu thuẫn ||a;|| = Y2°°=1 Xị = 1. Ngoài ra

K n+1 = convS (K n) : n = 1, 2... tạo thành một dãy giảm với giao bằng
rỗng, trong khi đó với mọi x ,y e K \ lim IIy — S'na;|| = 2 = d ia m K .

o

n —¥ữ

V í dụ 2.2. Trong không gian c0 (N) phép đẳng cự T được định nghĩa:


13

T( Xị , X2, ...) = (l,Xị,X2, ...)
là ánh xạ trong hình cầu đơn vị mà không có điểm bất động.
T hật vậy, nếu có X* = Tx* thì ta có:
{ x \,x \,x l...) = { l , x \ , x \ , ...).
Nhưng khi đó ta có X* = 1 với mọi i, nên X* không phụ thuộc CoV í dụ 2.3. Cho X =

c [—1; 1] định nghĩa ánh xạ T:

(‘T x ) (t) = min {1, max { —1, X (t) + 21}},
là ánh xạ không giãn biến hình cầu đơn vị lên biên của nó. Hơn nữa vì
(‘T x ) (t ) > X (t) với t > 0 hoặc (T x ) (t ) < X (t ) với t < 0 nên T không có
điểm bất động.
N hận x ét 2.1. Trong các vi dụ trên có thể thấy rằng nếu K không
compact và lồi thì ánh xạ không giãn T : K —»■K là tồn tại nhưng không
có điểm bất động.
Đ ịnh lý 2.1. Giả sử K là tập con khác rỗng, lồi, compact yếu của không
gian Banach. Khi đó với mọi ánh xạ T : K —> K ; tồn tại tập con lồi,
đóng của K là T bất biến.
Chứng m inh. Xét họ M các tập con khác rỗng, lồi, đóng (như vậy là
compact yếu) của K mà là T-bất biến; và thiết lập quan hệ thứ tự trên
tập đó là quan hệ bao hàm của tập hợp: với Kị, K 2 G M, Kị < K 2 nếu
Kị c K 2 - Bởi tính compact yếu, mỗi xích (họ sắp thẳng) các tập con
của M có giao khác rỗng, do đó là chặn trên đối với quan hệ <. Theo
bổ đề Zorn,tồn tại ít nhất một tập D G M là cực đại đối với quan hệ <,
và do đó là cực tiểu và T-bất biến.

■


14

BỔ đề 2.1. Nếu K là khác rỗng, lồi, đóng và là tập cực tiểu và T-bất
biến thì: K = convT (K ).
Chứng m inh. Rõ ràng convT (K ) là lồi, đóng và T -bất biến. Bởi tính
cực tiểu của K nó không thể là tập con thực sự của K .
K = convT (K ).

■

B ổ đề 2.2. Nếu K là tập lồi, đóng của không gian lồi ngặt X và T :
K —»■K là ánh xạ không giãn thì tập các điểm bất động của T là đóng
và lồi.
Chứng m inh. Ta có T là đóng vì T liên tục. Giả sử X = T x vầ y = T y
cho A G (0; 1) và tập

Z

= (1 —A) + Xy thì:

||æ —XT II + 11XT —y\\ = 11XT —XT 11 + 11XT —Ty\\

< |æ—z\\ + \\z — y I
= II® - y I
< ||æ —XT|| + ||XT —æ|| .
Vậy X, TZ va y là tuyến tính trong khi:
11rr —z|| = 11rr —XT|| và IIy — z\\ = Ily — Tz\\.
Khi X lồi ngặt: Z = T z.

m

Đ ịnh nghĩa 2.2. Cho K là tập con lồi, đóng của không gian Banach
X. Tập K được gọi là hầu như có tính chất điểm bất động đối với các
ánh xạ không giãn nếu cho mọi ánh xạ không giãn T : K —> K ta có:
inf ||Ty —y\\ = 0.


15

N hận x ét 2.2. Bất kì tập con lồi, đóng, bị chặn của không gian Banach
đều ỉà tập hầu như có tinh chất điểm bất động đối với họ các ánh xạ
không giãn.

2.2. Đ ịn h lý cơ bản về đ iểm b ất đ ộn g củ a án h x ạ
k h ôn g giãn tro n g k h ôn g gian B an ach
Đ ịnh lý 2.2 (Kirk). Cho K là một tập lồi, compact yếu, có cấu trúc
chuẩn tắc trong không gian định chuẩn X và T : K —>K là ánh xạ không
giãn. Khi đó T có điểm bất động trong K .
Chứng m inh. Đặt: F = { D c K , T ( D ) c D } với D lồi, đóng, khác
rỗng.
Khi ăố F ^ 0 vì K e F. Với quan hệ thứ tự bao hàm thức, (F, c ) trở
thành tập được sắp thứ tự bộ phận.
Đặt 3 = {Da} với các Da € F và lồng nhau. Khi đó Pl Da Ỷ 0 vì K
a

compact yếu và T Ị Pl Da ] c n ^ ữ i vậy Pl Da là cận dưới của 3 • Theo
\ a

/

a

a

bổ đề Zorn, F chứa một phần tử cực tiểu là H .
Ta chứng minh H chỉ gồm một điểm bằng phản chứng.
Giả sử d = diam H

>

0. Do K có cấu trúc chuẩn tắc nên tồn tại

Z E

H

sao cho:
r = sup {||z —æ|| : x G H } < d
Vậy tập hợp M = {z E H \ H c B (^,r)} Ỷ 0; trong đó B (z , r ) là
hình cầu đóng tâm z bán kính r. Lấy z bất kì trong M , do T là
không giãn, ta có T (H ) c B (Tz,r), vì vậy convT (H ) c B (Tz,r). Vì


16

convT (H) là một tập hợp lồi, đóng trong K nên cũng compact yếu và vì

c conv (H ) =

convT (H )

vậy convT (H )

G

T . Vì convT (H )

c

H. Từ đây ta có H
z

H nên X (convT (H ))

c H và H

c

X (H )

c convT (H ),

cực tiểu nên convT (H ) =

B (T z , r ), chứng tỏ XT E M, vậy X (M)

c

M vì

bất kì trong M .
Ta sẽ kiểm tra M lồi và đóng. Cho

với a

Z\

E

M và

z

=

az\

+ (1 —O') Z2

[0,1]. Khi đó ||æ —Zị\\ < r, i = 1,2,..., với mọi X

E

E

H nên

M, vậy M lồi.

Z E

Nếu

Zn E

||æ —z \ \ <

M và

r

với mọi

Tóm lại M
Vì M

c

Zn

c

—^
X E

Z

thì do ||æ — Z n II < r với mọi
H nên

Z E

X E

H, suy ra

M, vậy M đóng.

X, vậy M E x \

H . Khi đó, với mọi u, v E M = H

K là tập lồi, đóng và bất biến đối với

H và H cực tiểu nên M =

ta có ||it —v|| < r, từ đây d = diam H = diam M < r < d, ta gặp mâu
thuẫn. Vậy H chỉ gồm một điểm, tức là XX = {æ*}.
Vì H bất biến đối với X nên ta có Tx* = X*.

u

Đ ịnh lý 2.3 (B row der-G ohbe). Cho K ỉà tập ỉồi đóng bị chặn trong
không gian lồi đều X và X : K —> K là một ánh xạ không giãn. Khi đó
tập các điểm bất động của X là lồi đóng và khấc rỗng.
Chứng m inh. Vì X lồi đều nên phản xạ, do đó K là compact yếu và có
cấu trúc chuẩn tắc. Vậy theo định lý Kirk, tập hợp các điểm bất động
của X khác rỗng ngoài ra nó đóng vì X liên tục. Ta chỉ còn phải chứng
minh tính lồi của tập hợp này.
Cho u = Tu,

V

= T v và m = Xu + (1 —A)u với một A G

đó. Khi đó u — m = (1 —A) (u — v) và

V

[o, 1]

nào

— m = A (v — u). Vì X là ánh


17

xạ không giãn nên ta có:
||it —Trail + IITra — v|| < ||it —m|| + IIra —v|| = ||it —v||.
Do u — V = (u — Tra) + (Tra —v) nên:
||it —v|| < ||it —Trail + ||Tra —v||.
Kết hợp với bất đẳng thức trên ta được:
||it —v|| = II'll —Tra II + IITra —v II.
Đặt x = u — T m , y = T m — V ta có ||a;|| + ||y|| = ||a; + y||.
Vì X lồi đều thì cũng lồi chặt nên đẳng thức trên chứng tỏ tồn tại
a > 0 để cho u — T m = a (Tra —v). Từ đây ta có:
Tm =

= Pu + (1 - /3) V với ạ =

Ta sẽ chứng minh rằng (3 = \ bằng phản chứng. Giả sử /3 > A. Khi
đó ta có:
IIT v — Tm\\ = ||v —Trail = (3 \\u — v|| > A ||it —v|| = ||v —ra||.
Mâu thuẫn với tính không giãn của T.
Hoàn toàn tương tự, nếu /3 < X thì ta cũng gặp mâu thuẫn:
||Tri —Tra|| > ||ri —ra||. Vậy ¡3 = A nên Tra = ra. Vì mọi điểm trên
đoạn nối hai điểm bất động cũng là điểm bất động nên tập hợp các điểm
bất động là tập lồi.

■

N hận x ét 2.3. Browder đã sử dụng định lý trên để chứng minh sự tồn
tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân trong không gian Hilbert
với vế phải là một hàm tuần hoàn.


18

Sau khi xuất hiện định lý của Kirk một câu hỏi được đặt ra là liệu có
thể bỏ được điều kiện có cấu trúc chuẩn tắc được không, hay nói cách
khác: một ánh xạ không giãn trong một tập hợp lồi, compact yếu của
một không gian Banach bất kì có nhất thiết có điểm bất động không?
Alspach đã đưa ra câu trả lời phủ định bằng cách đưa ra phản ví dụ
dưới đây:
V í dụ 2.4. Cho X = L 1 [0; 1], đặt:
K = ị f e X [0; 1] : } ĩ ( t ) d t = 1;0 < / ( * ) < 2 }
và đặt:
_
I min { 2 / (2 t), 2} :0 < t < ị
eT f ) (í) =
;
*
[ max { 2 / (2t — 1) —2, 0} : I < t < 1.
Khi đó K là tập lồi, compact yếu, T là ánh xạ đẳng cự trong K (tức là
IIT Ị — T g II = II/ —<7 ||) nhưng không có điểm bất động.
Vì L 1 [0; 1] là không gian Banach không phản xạ nên một câu hỏi nữa
lại xuất hiện. Một ánh xạ không giãn trong một tập lồi, đóng, bị chặn
của một không gian Banach phản xạ có nhất thiết có điểm bất động
không? Hiện nay câu hỏi này vẫn chưa có lời giải.

N h ậ n x é t 2.4. Trong khi việc tồn tại điểm bất động cho ánh xạ không
giãn đòi hỏi những điều kiện ngặt nghèo trên miền xác định của ánh xạ,
việc tồn tại điểm bất động "xấp xỉ" tức ỉà với mọi e > 0 tồn tại x E sao
cho \\Txí — x £\\ < e, ỉại đòi hỏi những điều kiện rất tự nhiên. Cụ thể
ỉà: ánh xạ không giãn trong một tập ỉồi, đóng, bị chặn luôn có điểm bất
động xấp xỉ. Thật vậy lấy Xq tùy ý trong K và với mỗi n đặt:


19

Tnx = ^X q + (1 - ì ) T x, X G K.
Do K lồi nên: Tn : K —»■K và do T không giãn nên Tn là ánh xạ co:
\\Tnx - Tny\\ = (l - ì ) \\Tx - Ty\\ < (l - i ) ||x - y\\
Theo nguyên lý ánh xạ co, tồn tại x n sao cho x n = Tnx n. Khi đó:
x n = Tnx n = ^X q + (1 - ^) T x n + £ (x0 - T x n)
Do đó \\xn — T x n\\ = - ||íCo —Ta;n|| < -d ia m K . Vì K bị chặn nên:
\\Txn — x n\\ —> 0 khi n —> 00 . Với n đủ lớn, x n là một điểm bất động
"xăp xỉ" cua I .

2.3. Đ ịn h lý cơ bản về đ iểm b ất đ ộn g củ a án h x ạ
k h ôn g giãn tro n g k h ôn g gian m etric
Đ ịnh nghĩa 2.3. Cho X là không gian metric và

c là họ các tập

con

của X. Cặp (X,C) được gọi là cấu trúc lồi metric nếu:
a) Cả X và 0 thuộc

c.

b) Giao của một họ các phần tử trong
c)

c là thuộc c.

c chứa các hình cầu đóng trong X.
Một tập con trong X được gọi là chấp nhận được nếu nó là giao của

một họ các hình cầu đóng trong X chứa nó. Ký hiệu A (X) là họ các tập
chấp nhận được trong X.
Khi đó, cặp (X,M (X)) là một cấu trúc lồi metric. Cặp (X,M (X))
được gọi là cấu trúc lồi chấp nhận được.


20

Đ ịnh nghĩa 2.4. c ấ u trúc lồi metric (X,C) được gọi là compact nếu
mỗi họ của c có tính chất giao hữu hạn thì họ đó có tính chất giao toàn
thể.
Cấu trúc lồi metric (X,C) được gọi là chuẩn tắc nếu r (D ) < diamD
với mọi D £ c có diamD > 0.
Cấu trúc lồi metric (X,C) được gọi là chuẩn tắc đều nếu tồn tại
c £ (0; 1) sao cho r (D ) < c.diamD với mọi D £ c có diamD > 0.
B ổ đề 2.3. Cho cấu trúc lồi compact (X,C) và ánh xạ T : X —> X . Khi
đó tồn tại D £ c sao cho D là tập khác rỗng bé nhất, bất biến qua T và
conv (T (D )) = D .
Chứng m inh. Đặt T = {L £ c : L Ỷ 0, T (L) c L}. Vì X G T nên
Ĩ Ỷ 0- Với quan hệ thứ tự là bao hàm thức, tập T được sắp thứ tự bộ

phận.
Gọi c là một xích trong F . Vì quan hệ thứ tự bao hàm thức nên c
là họ các tập lồng nhau, vì vậy c có tính chất giao hữu hạn. Do (X,C)
có cấu trúc lồi compact nên Pl L Ỷ 0; do đó c có phần tử bị chặn dưới.
Lee

Theo bổ đề Zorn, T có phần từ cực tiểu D. Ta có conv (T (D)) c T,
conv (T (D )) c conv (D ) = D. Vì D là phần tử cực tiểu trong T nên có
conv (T (D )) c D.

■

Đ ịnh lý 2.4. Cho X là không gian metric bị chặn và cặp (X,C) có cấu
trúc lồi metric compact, chuẩn tắc. Khi đó ánh xạ không giãn T : X —> X
có điểm bất động.
Chứng m inh. Theo bổ đề 2.3 tồn tại tập bé nhất khác rỗng D £ c sao
cho T (D ) c D.


21

Với mỗi n ta đặt: Cn (D ) = Pi B (x, r (D ) + - ) f l D . Khi đó Cn (D ) Ỷ 0
X&D
do định nghĩa của r (D) và Cn (D) G do chứa tấ t cả các hình cầu

c

c

đóng và kín với phép giao.

Ta có:

n
00

C( D) =
Do đó

c (D )

compact nên
Lấy X G

G

c. Vì

c (D ) Ỷ

c (D ) ta

n=1

Cn(D).

dãy {Cn (D)} là dãy giảm và

c có cấu

0- Ta chứng minh T bất biến đối với tập

trúc lồi

c (D ).

có rx (D ) = r (D ). Vì T là ánh xạ không giãn nên

T (D) C Ẽ { T x , r { D ) )
Suy ra:
D = conv (T (D ))

c B ( Tx , r (D)).

c (D ). Vì c (D ) c D và D là tập khác rỗng bé nhất
cho T (D ) c D nên c (D ) = D. Khi đó diamD = r (D ).
Do c có cấu trúc chuẩn tắc nên nếu diamD > 0 thì ta có:

Vì vậy T x G

sao

diamD = r (D ) < diamD
vô lý.
Vì vậy diamD = 0, do đó ánh xạ T có điểm bất động.

■

B ố đề 2.4. Cho cấu trúc lồi metric (X,C) trong đó X là không gian
metric bị chặn, T : X —> X là ánh xạ không giãn.
Dặt

T = {D G

c:D Ỷ

0 , T ( D) c D}.

Khi đó với mỗi D G T tồn tại D c D sao cho: