Luận văn thạc sĩ tập hút đều đối với một lớp phương trình parabolic suy biến tựa tuyến tính không ôtônôm

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NGUYỄN THỊ NGỌC HÂN

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NGUYỄN THỊ NGỌC HÂN

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p=2

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

L2 (Ω)

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✳✹✳✶

❚➟♣

(L2 (Ω), Lq (Ω))

✷✳✹✳✷

❚➟♣

(L2 (Ω), D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω))

✲ ❤ót ✤➲✉

❑➳t ❧✉➟♥
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✷✼

✸✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

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✹✷

iv


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R = (; +) : t➟♣
Rn : ❦❤ỉ♥❣

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C([a; b], Rn ) : t➟♣
C(Ω) : ❧➔
C k (Ω) :

❝→❝ sè t❤ü❝.

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❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ ♠✐➲♥

Ω.

❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tư❝ ✤➲✉ ❝➜♣ ❦ tr➯♥ ♠✐➲♥

L2 ([a, b], Rm ) :
C ∞ (Ω) : ❧➔

t➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ t➼❝❤ ❜➟❝ ❤❛✐ tr➯♥ ❬❛✱ ❜❪ ✈➔ ❧➜② ❣✐→ trà tr♦♥❣

k∈N
k
Cc (Ω), Cc (), ..., ỵ tr

C(), C k (), ...,

✈ỵ✐ ❣✐→ ❝♦♠♣❛❝t.

❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tư❝ ❝➜♣ ✈ỉ ❤↕♥ tr➯♥ ♠✐➲♥

❱ỵ✐ ❣✐→ ❝♦♠♣❛❝t.

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❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❧ô② t❤ø❛ ❜➟❝ ♣ ❦❤↔ t➼❝❤ ▲❡❜❡s❣✉❡.

:

(Ω)

Lp (Ω)

1
|(Ω)|p dx) p , (1 ≤ p < ∞).

=(
(Ω)

∞

L (u) = {u : u → R|u ❧➔
❚r♦♥❣ ✤â

:

Ω.

C k (Ω).

✣÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜➡♥❣

Lp (Ω) : ❧➔

Ω.

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tư❝ ❝➜♣ ✈ỉ ❤↕♥ tr➯♥ ♠✐➲♥

C0∞ (Ω) : ▲➔

u

Rn .

L∞ (u)

✤♦ ✤÷đ❝ ▲❡❜❡s❣✉❡,

= ❡ss sup |u|.
u

v

u

L∞ (u)

< ∞}.

Ω.

Rm .


L1loc () : tỗ

t

L1 () : ỗ

õ ở ✤♦ ▲❡❜❡s❣✉❡

Ω ⊂⊂ Ω t❤➻ v(x) ∈ L1 (Ω ).

Lploc (u) = {u : u → R|u ∈ Lp (V ),
H k (u), Wpk (u)(k = 1, 2, 3...) ❧➔

✈ỵ✐ ồ

|v(x)| < +.
V u}.

ỵ ổ .

C k,β (u), C k,β (u), (k = 0, 1, ..., 0 < β ≤ 1) ❧➔
u = (ux1 , ..., uxn ) ❧➔

❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍♦❧❞❡r.

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n

u=

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− Φ(u)

❤♦➦❝

−div(Φ(u) (u))

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Φ(0) = 0❀

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t➟♣ ❤ót ✤➲✉ ❝õ❛ q✉→ tr➻♥❤ ✤ì♥ trà ✈➔ t➟♣ ❤ót ✤➲✉ ❝õ❛ ♥û❛ q✉→ tr➻♥❤ ✤❛ trà✳
◆❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❜ê trđ ❝❤♦ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ð ❈❤÷ì♥❣ ✷ ✤÷đ❝ tr➼❝❤ ❞➝♥ tr♦♥❣
❬✺❪✱ ❬✼❪✱ ❬✽❪✱ ❬✶✵❪✱ ❬✶✸❪✱ ❬✶✹❪✱ ❬✶✺❪✳

✶✳✶ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳
✤✐➸♠ ❣è❝

θ✳

❍➔♠

x ≥0

✭✐✮
✭✐✐✮
✭✐✐✐✮

❈❤♦

X

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t t tr trữớ

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ợ ồ

x = || x

xX

ợ ồ

x+y x + y

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X

K

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x = 0 ⇔ x = θ.

x∈X

✈ỵ✐ ♠å✐

✈➔

λ ∈ K✳

x, y ∈ X.

❑❤✐ ✤â ❝➦♣

(X, . )

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d(x, y) = x − y

✳ ❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ tr➯♥ ❣å✐ ❧➔ ❦❤♦↔♥❣

❝→❝❤ s✐♥❤ ❜ð✐ ❝❤✉➞♥✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳

❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥

✹

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❝→❝❤ s✐♥❤ ❜ð✐ ❝❤✉➞♥ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸✳

❈❤♦

X

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R✳ ởt t ổ ữợ tr X

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., . ✿ X × X → R t❤ä❛ ♠➣♥

❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿
✭✐✮
✭✐✐✮

x, y = y, x

✱ ✈ỵ✐ ♠å✐

x, y ∈ X ❀

x + y, z = x, z + y, z

✭✐✐✐✮

λx, y = λ x, y

✭✐✈✮

x, x > 0✱

✱ ✈ỵ✐ ♠å✐

✱ ✈ỵ✐ ♠å✐

✈ỵ✐ ♠å✐

x, y, z ∈ X ❀

x, y ∈ X ❀ λ ∈ R❀

x = 0❀ x, x = 0 ↔ x = 0✳

❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤

X

., .

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x ∈ X✱

❦➼ ❤✐➺✉

|x| =

|x|

✈➔ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤✿

x, x

✭✶✳✶✮

❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t✐➲♥ ❍✐❧❜❡rt ✤➛② ✤õ ✈ỵ✐ ♠❡tr✐❝ s✐♥❤ ❜ð✐ ❝❤✉➞♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
✭✶✳✶✮ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳

✶✳✷ ❈→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❤➔♠
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✳ Lp(Ω), 1 ≤ p < ∞

✱

Ω RN

ỗ tt t s

p

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ữ s

u

Lp ()

1
|u|p dx) p .

:= (
Ω

Lp (Ω)

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L()

ổ ỗ tt ❝↔ ❝→❝

❤➔♠ ✤♦ ✤÷đ❝ ✈➔ ❜à ❝❤➦♥ ❤➛✉ ❦❤➢♣ tr➯♥

u

1 < p < +∞✳

L∞ (Ω)

Ω

✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥

:= ess sup |u(x)|.
x∈Ω

✺


✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✸✳

●✐↔ sû

σ:Ω→R

❧➔ ❤➔♠ ✤♦ ✤÷đ❝ ▲❡❜❡s❣✉❡✱ ❦❤ỉ♥❣

➙♠ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿ ❦❤✐ ♠✐➲♥

(Hα ) σ ∈ L1loc (Ω) ✈➔
Ω

✈➔ ❦❤✐ ♠✐➲♥

∞
(Hα,β

)σ

✈ỵ✐

❜à ❝❤➦♥✱

α ∈ (0, 2), lim infx→z |x−z|−α σ(x) > 0 ✈ỵ✐

♠å✐

z ∈ Ω,

❦❤ỉ♥❣ ❜à ❝❤➦♥✳

t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥

(Hα ) ✈➔ lim inf|x|→∞ |x|−β σ(x) > 0 ✈ỵ✐ β > 2.

❑❤✐ ✤â t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

C0∞ (Ω)

Ω

D01 (Ω, σ)

❧➔ ❜ê s✉♥❣ ✤õ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

✤è✐ ✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥

u
D01 (Ω, σ)

D01 (Ω,σ)

1
σ(x)| u|2 dx) 2 .

:= (


ổ rt ợ t ổ ữợ

(u, v) := (

σ(x) u vdx.
Ω

❑➼ ❤✐➺✉

D− 1(Ω, σ)

2, α ∈ (0, 2)✱

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛

2∗α

●✐↔ sû

N ≥

✈➔


4

 ∈ (2, ∞)
2∗α = α 2N
2N


∈ (2,
)
N −2+α
N −2
❙è ♠ô

D01 (Ω, σ)✳

♥➳✉

N =2
.

♥➳✉

N ≥3

❧➔ sè ♠ơ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ tr♦♥❣ ♣❤➨♣ ♥❤ó♥❣ ❙♦❜♦❧❡✈ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

D01 (Ω, σ)✳

❚r♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② t❛ sû ❞ư♥❣ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❤➔♠ ♣❤ư t❤✉ë❝ t❤í✐
❣✐❛♥ s❛✉✿

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✹✳
C([a, b]; X)
X

❧✐➯♥ tư❝ tø

●✐↔ sû

X

❧➔ ♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳

❧➔ ổ ỗ tt

[a, b]



X

ợ ❝❤✉➞♥

||u||C([a,b];X) = sup ||u(t)||X .
t∈[0,T ]

✻

u : [a, b] →


Lp (a, b; X)

ổ ỗ tt ❝→❝ ❤➔♠

s❛♦ ❝❤♦

b

||u||Lp (a,b;X) := (
a

u : (a, b) → X

1
||u(t)||pX dt) p < +∞.

❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✺✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ Ω ❧➔ ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥ RN , N ≥ 2✱ ✈➔ σ t❤ä❛
♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥

(Hα )✳

❑❤✐ ✤â✿

∗

✭✐✮ P❤➨♣ ♥❤ó♥❣

D01 (Ω, σ) → L2α (Ω)

✭✐✐✮ P❤➨♣ ♥❤ó♥❣

D01 (Ω, σ) → Lp (Ω)

❧➔ ❧✐➯♥ tö❝❀
❧➔ ❝♦♠♣❛❝t ♥➳✉

p ∈ [1, 2∗α )✳

❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✻✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ Ω ❧➔ ♠✐➲♥ ❦❤æ♥❣ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥ RN , N ≥ 2✱ ✈➔
σ

t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
✭✐✮ P❤➨♣ ♥❤ó♥❣

∞
(Hα,β
)✳

❑❤✐ ✤â✿

D01 (Ω, σ) → Lp (Ω)

✭✐✐✮ P❤➨♣ ♥❤ó♥❣

D01 (Ω, σ) → Lp (Ω)

❧➔ ❧✐➯♥ tư❝ ✈ỵ✐ ♠å✐
❧➔ ❝♦♠♣❛❝t ♥➳✉

❚❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ ❝â trå♥❣
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

C0∞ (Ω)

p ∈ [2∗β , 2∗α ]❀

p ∈ (2∗β , 2∗α )✳

D02 (Ω, σ)

❧➔ ❜❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛

✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥

u

D02 (Ω,σ)

1
|div(σ(x) u)|2 dx) 2 .

:= (
Ω

✣â ❧➔ ♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✈ỵ✐ t➼❝❤ ổ ữợ tữỡ ự

(u, v)D02 := (

div((x) u)div((x) v)dx.


t q✉↔ s❛✉ s✉② r❛ trü❝ t✐➳♣ tø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥
✈➔ ♣❤➨♣ ♥❤ó♥❣

D01 (Ω, σ) → L2 (Ω)

❦❤✐

σ

t❤ä❛ ♠➣♥

D01 (Ω, σ), D02 (Ω, σ)

(Hα )✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✼✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ RN (N ≥ 2)✱ ✈➔ σ
t❤ä❛ ♠➣♥

(Hα )✳

❑❤✐ ✤â ♣❤➨♣ ♥❤ó♥❣

D02 (Ω, σ) → D01 (Ω, σ)

✼

❧➔ ❧✐➯♥ tö❝✳


u ∈ C0∞ (Ω)✱

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱ỵ✐ ❜➜t ❦➻ ❤➔♠

||u||2D01 (Ω,σ) =

t❛ ❝â

σ| u)|2 dx
Ω

=−

div(σ u)udx
Ω

1
|div(σ u)|2 dx) 2 (

≤(
Ω

1

|u|2 dx) 2
Ω

= ||u||D02 (Ω,σ) ||u||L2 (Ω) .
||u||L2 (Ω) ≤ C||u||D01 (Ω,σ)

▼➦t ❦❤→❝ t❛ ❝â

✱ ð ✤â

C

✤ë❝ ❧➟♣ ✈ỵ✐

u✱

✈➟② t❛

❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

✶✳✸ ❚➟♣ ❤ót t♦➔♥ ❝ư❝
✶✳✸✳✶ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠
X

●✐↔ sû

❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ t❛ ❝â ❝→❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ s❛✉✿

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✶✳
①↕

▼ët ♥û❛ ♥❤â♠ ✭ ❧✐➯♥ tö❝✮ tr➯♥

S(t) : X → X, t ≥ 0✱
✭✐✮

S(0) = I ✱ I

✭✐✐✮

X

❧➔ ởt ồ

tọ

ỗ t

S(t)S(s) = S(s)S(t) = S(t + s)✱

✭✐✐✐✮

S(t)u0

❧✐➯♥ tư❝ ✤è✐ ✈ỵ✐

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✷✳

(t, u0 ) ∈ [0; +∞) × X ✳

◗✉ÿ ✤↕♦ ❝õ❛

S(t) tr➯♥ I ⊂ R ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ u : I → X

t❤ä❛ ♠➣♥✿

u(t + s) = S(t).u(s),
✈ỵ✐ ♠å✐
◆➳✉

s ∈ I, t ≥ 0
I =R

✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔

✈➔

τ >0

t + s ∈ I✳

uo = z ∈ X ✱

t❤➻

u

❣å✐ ❧➔ q✉ÿ ✤↕♦ ✤➛② ✤õ ①✉②➯♥ q✉❛

z

γ(z)✳

◗✉ÿ ✤↕♦ ✤➛② ✤õ
♥➳✉

s❛♦ ❝❤♦

γ = {u(t)

s❛♦ ❝❤♦

t ∈ R}

❣å✐ ❧➔ q✉ÿ ✤↕♦ t✉➛♥ ❤♦➔♥

s❛♦ ❝❤♦✿

u(t + τ ) = u(t),
✽

✈ỵ✐ ♠å✐

t∈R


u0 ∈ X

P❤➛♥ tû
❤➺ ✤ë♥❣ ❧ü❝

❣å✐ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝è ✤à♥❤✭ ✤✐➸♠ ❞ø♥❣✱ ✤✐➸♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣✮ ❝õ❛

(X, S(t))

♥➳✉✿

S(t)u0 =u0 ,

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✸✳
✭✐✮ ❚➟♣

Y ⊂X

✭✐✐✐✮ ❚➟♣

t ≥ 0.

❈→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❜➜t ❜✐➳♥✿

✤÷đ❝ ồ t ữỡ

Y X



ợ ồ

ữủ ồ ❧➔ ❜➜t ❜✐➳♥ ➙♠ ♥➳✉

Y ⊂X

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜➜t ❜✐➳♥ ♥➳✉

S(t)Y ⊂ Y, ∀t ≥ 0✳

S(t)Y ⊃ Y, ∀t ≥ 0✳

S(t)Y = Y, ∀t ≥ 0✳

❚❛ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ t➼♥❤ t✐➯✉ ❤❛♦ ❝õ❛ ♥û❛ ♥❤â♠✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✹✳

❍➺ ✤ë♥❣ ❧ü❝

(X, S(t))

❣å✐ ❧➔ t✐➯✉ ❤❛♦ ✤✐➸♠✭ t÷ì♥❣

ù♥❣ t✐➯✉ ❤❛♦ tỗ t ởt t

B0 X


(X, S(t))

t t tỗ t ởt t➟♣

✈ỵ✐ ❤➺ ✤ë♥❣ ❧ü❝

✈ỵ✐ ♠å✐

t ≥ T✳

◆û❛ ♥❤â♠

S(t)

❜à ❝❤➦♥✮ ♥➳✉ tỗ t ởt t
t ừ

T = T (B) ≥ 0

B0

s❛♦

♥❤÷ ✈➟② ❣å✐ ❧➔ t➟♣ ❤➜♣ t❤ư ✤è✐

❣å✐ ❧➔ t✐➯✉ ❤❛♦ ✤✐➸♠ ✭ t✳÷✳✱ t✐➯✉ ❤❛♦

B0 ⊂ X

❤ót ❝→❝ ✤✐➸♠ ✭t✳÷✳✱ ❤ót ❝→❝

X✳

S(t) ❧➔ t✐➯✉ ❤❛♦ ❜à t tỗ t ởt t B0 X

t


B0



tỗ t

(X, S(t))




B X

s ợ ồ t➟♣ ❜à ❝❤➦♥

S(t)B ⊂ B0 ✱

❤ót ❝→❝ ✤✐➸♠✭

X✳

t÷ì♥❣ ù♥❣ ❤ót ❝→❝ t➟♣ ❜à ❝❤➦♥✮ ❝õ❛
◆➳✉ ❤➺ ✤ë♥❣ ❧ü❝

B0 ⊂ X

B X

tỗ t

T = T (B) 0

s

s ợ ồ

S(t)B B0 , t T

ữ ❣å✐ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤➜♣ t❤ư ✤è✐ ✈ỵ✐ ♥û❛ ♥❤â♠

S(t)✳

❉➵ t❤➜② ♠ët ♥û❛ ♥❤â♠ t✐➯✉ ❤❛♦ ❜à ❝❤➦♥ t❤➻ t✐➯✉ ❤❛♦ ✤✐➸♠✳ ✣✐➲✉ ♥❣÷đ❝
❧↕✐ ♥â✐ ❝❤✉♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ✤ó♥❣✱ ♥❤÷♥❣ ♥â ✤ó♥❣ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ ♥û❛ ♥❤â♠ tr♦♥❣
❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉✳
❇➙② ❣✐í t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t➼♥❤ ❝♦♠♣❛❝t t✐➺♠ ❝➟♥✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✻✳

●✐↔ sû

X

❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ◆û❛ ♥❤â♠

❣å✐ ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t t✐➺♠ ❝➟♥ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐
❞↕♥❣

✾

t > 0, S(t)

S(t)

❝â t❤➸ ❜✐➸✉ ữợ


S(t) = S (1) (t) + S (2) (t),
S (1) (t)

ð ✤â

✈➔

S (2) (t)

✭✶✳✷✮

t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉✿

B⊂X

✭✐✮✳ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻ t➟♣ ❜à ❝❤➦♥

rB (t) = sup ||S (1) (t)y||X → 0 ❦❤✐ t → +∞;
y∈B
✭✐✐✮✳ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻ t

B

tr

X

[ (2) (t0 )B] = [

t0

tỗ t

s t➟♣ ❤ñ♣

S (2) (t)B]

✭✶✳✸✮

t≥t0
❧➔ ❝♦♠♣❛❝t tr♦♥❣

X ✱ð

✤➙②

[γ]

❧➔ ❜❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ t➟♣

γ✳

▼ët ❤➺ ✤ë♥❣ ❧ü❝ ❣å✐ ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t ♥➳✉ ♥â ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t t✐➺♠ ❝➟♥ ✈➔ t❛ ❝â
t❤➸ ❧➜②

S (1) (t) ≡ 0

tr♦♥❣ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ✭ ✶✳✷✮✳ ❘ã r➔♥❣ r➡♥❣ ❜➜t ❦➻ ❤➺ ✤ë♥❣

❧ü❝ t✐➯✉ ❤❛♦ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ ♥➔♦ ❝ô♥❣ ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t✳
❉➵ ❞➔♥❣ t❤➜② r➡♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭ ✶✳✸✮ ✤÷đ❝ t❤ä❛ tỗ t ởt t
t
s

K

tr

X

s ợ t ❦➻ t➟♣ ❜à ❝❤➦♥

S (2) (t)B ⊂ K, ∀t ≥ t0 (B)

B X

tỗ t

t0 (B)

õ r ởt t ❤❛♦ ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t

♥➳✉ ♥â ❝â ♠ët t➟♣ ❤➜♣ t❤ö ❝♦♠♣❛❝t✳
❇ê ✤➲ s❛✉ ✤➙② r➜t ❤ú✉ ➼❝❤ ❦❤✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t➼♥❤ ❝♦♠♣❛❝t t✐➺♠ ❝➟♥✳

❇ê ✤➲ ✶✳✸✳✼✳ ◆û❛ ♥❤â♠ S(t) ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t t tỗ t ởt t
t

K

s

lim dist(S(t)B, K) = 0,

t→+∞

✈ỵ✐ ♠å✐ t➟♣

B

❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱➻
♣❤➛♥ tû

K

X✳

❧➔ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t ♥➯♥ ✈ỵ✐ ♠å✐

v := S (2) (t)u ∈ K

t>0

s❛♦

dist(S(t)u, K) = ||S(t)u S (2) (t)u||.




u X

tỗ t↕✐


❉♦ ✤â ♥➳✉ ✤➦t

S (1) (t)u = S(t)u − S (2) (t)u✱

❞➵ t❤➜② sü ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✭✶✳✷✮

t❤ä❛ ♠➣♥ t➜t ❝↔ ❝→❝ ②➯✉ ❝➛✉ tr♦♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ t➼♥❤ ❝♦♠♣❛❝t t✐➺♠

t


X

ởt ổ ỗ ỷ ♥❤â♠

B✱

t➟♣ ❤➜♣ t❤ö ❜à ❝❤➦♥
✭✐✮ ◆û❛ ♥❤â♠

S(t)

✭✐✐✮ ◆û❛ ♥❤â♠
tr♦♥❣

X

❝â ♠ët

t❤➻ ❜❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿

❧➔ ❝♦♠♣❛❝t t✐➺♠ ❝➟♥❀

S(t)

✈➔ ♠å✐ ❞➣②

S(t)

t❤✉ë❝ ❧ỵ♣

AK ✱

tù❝ ❧➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❞➣② ❜à ❝❤➦♥

tk → ∞, {S(tk )xk }∞
k=1

{xk }

❧➔ ❝♦♠♣❛❝t t÷ì♥❣ ✤è✐ tr♦♥❣

X❀
✭✐✐✐✮ ỗ t ởt t t

KX

s

dist(S(t)B, K) 0 t → ∞.

✶✳✸✳✷ ❚➟♣ ❤ót t♦➔♥ ❝ư❝
❚➟♣ ❤ót t♦➔♥ ❝ư❝ ố tữủ tr t ừ ỵ tt ✤ë♥❣ ❧ü❝
t✐➯✉ ❤❛♦ ✈æ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✽✳

▼ët t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣

t♦➔♥ ❝ư❝ ✤è✐ ✈ỵ✐ ♥û❛ ♥❤â♠
✭✐✮✳

A

✭✐✐✮✳
✭✐✐✐✮✳

S(t)

A

❝õ❛

X

❣å✐ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ót

♥➳✉✿

❧➔ ♠ët t➟♣ ✤â♥❣ ✈➔ ❜à ❝❤➦♥❀

A
A

❧➔ ❜➜t ❜✐➳♥✱ tù❝ ❧➔

S(t)A = A

❤ót ♠å✐ t➟♣ ❝♦♥ ❜à ❝❤➦♥

B

✈ỵ✐ ♠å✐

❝õ❛

X✱

t > 0❀

tù❝ ❧➔

lim dist(S(t)B, A) = 0,

t→∞
ð ✤â

dist(E, F ) = supa∈E infb∈F d(a, b)

❣✐ú❛ ❤❛✐ t➟♣ ❝♦♥

E

✈➔

F

❝õ❛

❧➔ ♥û❛ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❍❛✉s❞♦r❢❢

X✳

❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉ ✤➙② ❝õ❛ t➟♣ ❤ót t♦➔♥ ❝ư❝ ❧➔ ❤➺ q✉↔ trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛
✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✳

✶✶


▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳✾✳ ●✐↔ sû S(t) ❝â t➟♣ ❤ót t♦➔♥ ❝ö❝ A✳ ❑❤✐ ✤â✿
✭✐✮✳ ◆➳✉

B

❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❜à ❝❤➦♥ ❜➜t ❜✐➳♥ ❝õ❛

X

t❤➻

B⊂A

✭t➼♥❤ ❝ü❝

✤↕✐✮ ❀
✭✐✐✮✳ ◆➳✉

B

❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❤ót ❝→❝ t➟♣ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛

X

t❤➻

A⊂B

✭t➼♥❤ ❝ü❝ t✐➸✉✮ ❀
✭✐✐✐✮✳

A

❧➔ ❞✉② ♥❤➜t✳

❑➳t q✉↔ s❛✉ ✤➙② ♥â✐ ✈➲ ❝➜✉ tró❝ ❝õ❛ t➟♣ út t ử

ỵ



sỷ ỷ õ

S(t)

õ t út t♦➔♥ ❝ö❝

A✳

❑❤✐ ✤â ♠å✐ q✉ÿ ✤↕♦ ✤➛②

✤õ ❜à ❝❤➦♥ ✭ ♥â✐ r✐➯♥❣ ❧➔ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❞ø♥❣ ✈➔ ❝→❝ q✉ÿ ✤↕♦ t✉➛♥ ❤♦➔♥✱ ♥➳✉

❝â✮ ✤➲✉ ♥➡♠ tr➯♥

A✳

❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉

S(t)

❧➔ ✤ì♥ →♥❤ tr➯♥

A

t❤➻

A

❧➔ ❤ñ♣

❝õ❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ q✉ÿ ✤↕♦ ✤➛② ✤õ ❜à
t q ữợ r r ✤ë♥❣ ❧ü❝ ✧tr➯♥ t➟♣ ❤ót t♦➔♥
❝ư❝✧ s➩ q✉②➳t ✤à♥❤ ❝→❝ ❞→♥❣ ✤✐➺✉ t✐➺♠ ❝➟♥ ❝â t❤➸ ❝â ❝õ❛ ❝→❝ q✉ÿ ✤↕♦
r✐➯♥❣ ❧➫✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ s❛✉ ♠ët ❦❤♦↔♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✤õ ợ t ởt q
ừ ữỡ tr ố trỉ♥❣ s➩ ❣✐è♥❣ ♥❤÷ ♠ët q✉ÿ ✤↕♦ ♥➔♦ ✤â tr➯♥
t➟♣ út tr ởt tớ ừ

ỵ
A

sỷ ở ỹ

trữợ ởt q

tớ

v0 ∈ A

T > 0✳

u(t) = S(t)u0 ✱

(X, S(t))

♠ët s❛✐ sè

❑❤✐ õ tỗ t ởt tớ

õ t út t ử

>0

♠ët ❦❤♦↔♥❣

τ = τ( , T)

✈➔ ♠ët ✤✐➸♠

s❛♦ ❝❤♦

||u(τ + t) − S(t)v0 || ≤
✣➸ ①➜♣ ①➾ q✉ÿ ✤↕♦ ✤➣ ❝❤å♥

u(t)

✈ỵ✐ ♠å✐

0 ≤ t ≤ T.

tr♦♥❣ ♠ët ❦❤♦↔♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❞➔✐ ❤ì♥✱

t❛ ♣❤↔✐ ❞ị♥❣ ♥❤✐➲✉ q✉ÿ ✤↕♦ tr➯♥ t➟♣ ❤ót t♦➔♥ ❝ö❝
❧➔ ❤➺ q✉↔ trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✸✳✶✶✳

❍➺ q✉↔ ✶✳✸✳✶✷✳

❬✶✸❪✳

✶✷

A✳

▼➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ✤➙②


trữợ ởt q

u(t)

tỗ t ởt s sè

n

♠ët ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ t❤í✐ ✤✐➸♠

{ n }∞
n=1

✈ỵ✐

→ 0,

{tn }∞
n=1

✈ỵ✐

tn+1 − tn → ∞ ❦❤✐ n → ∞,
✈➔ ♠ët ❞➣② ❝→❝ ✤✐➸♠

{vn }∞
n=1

✈ỵ✐

||u(t) − S(t − tn )vn || ≤
❍ì♥ ỳ ữợ

vn A

s

n ợ ồ tn

||vn+1 S(tn+1 − tn )vn ||

≤ t ≤ tn+1 .
❞➛♥ tỵ✐

n

ỹ tỗ t t út t ❝ư❝
❑➳t q✉↔ s❛✉ ✤➙② ❧➔ ✤à♥❤ ❧➼ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ sỹ tỗ t t út t ử

ỵ
sỷ

S(t)
ừ

S(t)



♥û❛ ♥❤â♠ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

❧➔ t✐➯✉ ❤❛♦ ✈➔ ❝♦♠♣❛❝t t✐➺♠ ❝➟♥✳ ◆➳✉

S(t)

t❤➻

❝ư❝ ✤è✐ ✈ỵ✐

A = ω(B)

S(t)✳

B

X✳

●✐↔ sû

❧➔ ♠ët t➟♣ ❤➜♣ t❤ö ❜à ❝❤➦♥

❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t ❦❤→❝ ré♥❣ ✈➔ ❧➔ t➟♣ ❤ót t♦➔♥

❍ì♥ ♥ú❛✱ t➟♣ ❤ót t♦➔♥ ❝ư❝

A

❧➔ ❧✐➯♥ t❤ỉ♥❣ tr♦♥❣

X✳

❍➺ q✉↔ s❛✉ ✤➙② t❤÷í♥❣ ✤÷đ❝ ❞ị♥❣ ự sỹ tỗ t t út
t ử ố ợ ữỡ tr r tr ữỡ s❛✉✳

❍➺ q✉↔ ✶✳✸✳✶✹✳

❬✶✸❪✳

◆➳✉ ♥û❛ ♥❤â♠

S(t)

S(t)

❧➔ t✐➯✉ ❤❛♦ ✈➔

B

❧➔ ♠ët t➟♣ ❤➜♣ t❤ư ❝♦♠♣❛❝t t❤➻

❝â ♠ët t➟♣ ❤ót t♦➔♥ ❝ư❝ ❝♦♠♣❛❝t ❧✐➯♥ t❤ỉ♥❣

A = ω(B)✳

❇➙② ❣✐í t❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët ✈➔✐ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ❬✶✺❪ s➩ ✤÷đ❝
sû ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉ ✤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t➼♥❤ trì♥ ❝õ❛ t➟♣ ❤ót t♦➔♥
❝ư❝ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤→♥❤ ❣✐→ t✐➯♥ ♥❣❤✐➺♠ t✐➺♠ ❝➟♥✳

✶✸


▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳✶✺✳
●✐↔ sû

❬✶✺❪✳

{S(t)}t≥0

❧➔ ♠ët ♥û❛ ♥❤â♠ tr➯♥

❝â ♠ët t➟♣ ❤➜♣ t❤ö ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣

B ⊂ Lr (Ω)✱

❦➻ t➟♣ ❝♦♥ ❜à ❝❤➦♥

M = M( )

Lr (Ω)

Lr (Ω)

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T = T (B)

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mes(Ω(|S(t)u0 | ≥ M )) ≤ ,
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u0 ∈ B

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Ω(|S(t)u0 | ≥ M ) := {x ∈ Ω||(S(t)u0 )(x)| ≥ M }✳

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t ≥ T✱

X

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✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻

X

{S(t)}t≥0 tr➯♥ X

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{xn }∞
n=1 ⊂ X, xn → x, tn ≥ 0, tn → t

t❛ ❝â

S(tn )xn

S(t)x ∈ X.

❑➳t q✉↔ s❛✉ ❞ò♥❣ ✤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët ♥û❛ ♥❤â♠ ❧➔ ❧✐➯♥ tư❝ ♠↕♥❤ ✲
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●✐↔ sû

X, Y

❬✶✺❪✳

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Y✱

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i:X→Y

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{S(t)}t≥0

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S(t)

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i∗ : Y ∗ → X ∗

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X

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X

X ∗, Y ∗

X × R+

❬✶✺❪✳

✶✹

X

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Y
Y✳

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X✳


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X

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> 0✱

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{P S(t)x|x ∈ B, t ≥ tB }
|(I − P )S(t)x| ≤

tr♦♥❣ õ

B

(C) tr X

P : X X1



tỗ t ởt

X1

ừ

X

s

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t ≥ tB

✈➔

x ∈ B,

❧➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ❝❤➼♥❤ t➢❝✳

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Lr (Ω)

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Lq (Ω)✱

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Lq (Ω)

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Lq (Ω)❀

✈➔ ❜➜t ❦➻ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❜à ❝❤➦♥

M = M ( , B)

T = T ( , B)



B

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Lq ()

tỗ t↕✐

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|S(t)u0 |q < ,

✭✶✳✹✮

{S(t)}t≥0

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Ω(|S(t)u0 |≥M )

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X

t ≥ T✳

X✳

❑❤✐ ✤â

{S(t)}t≥0

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✭✐✮
✭✐✐✮

{S(t)}t≥0
{S(t)}t≥0

❝â ♠ët t➟♣ ❤➜♣ t❤ö ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣
t❤ä❛ ♠➣♥ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥

✶✺

(C)

tr♦♥❣

X✱

X✳


✶✳✹ ❚➟♣ ❤ót ✤➲✉

✶✳✹✳✶ ❚➟♣ ❤ót ✤➲✉ ❝õ❛ q✉→ tr➻♥❤ ✤ì♥ trà
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳✶✳
ε
●✐↔ sû

✭✐✮✳ ▼ët ❤➔♠

❧➔ ♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕✳

ϕ ∈ L2loc (R; ε)

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜à ❝❤➦♥ tà♥❤ t✐➳♥ ♥➳✉

t+1

||ϕ||2L2
b
✭✐✐✮✳ ▼ët ❤➔♠
✤â♥❣ ❝õ❛

ϕ ∈ L2loc (R; ε)

{ϕ(. + h)|h ∈ R}

✭✐✐✐✮✳ ▼ët ❤➔♠
❜➜t ❦➻

=

||ϕ||2L2 (R;ε)
b

> 0✱

η>0

t∈R

t

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t tà♥❤ t✐➳♥ ♥➳✉ ❜❛♦

❧➔ ❝♦♠♣❛❝t tr♦♥❣

ϕ ∈ L2loc (R; )

tỗ t

||||2 ds < .

= sup

L2loc (R; )

ữủ ❣å✐ ❧➔ ❝❤✉➞♥ t➢❝ tà♥❤ t✐➳♥ ♥➳✉ ✈ỵ✐

s❛♦ ❝❤♦

t+η

||ϕ||2ε ds < .

sup
t∈R

❑➼ ❤✐➺✉

t

L2b (R; ε)✱ L2c (R; ε)✱ L2n (R; ε)

t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➔♠ ❜à

❝❤➦♥ tà♥❤ t✐➳♥✱ ❝♦♠♣❛❝t tà♥❤ t✐➳♥ ✈➔ ❝❤✉➞♥ t➢❝ tà♥❤ t✐➳♥ tr♦♥❣

L2loc (R; ε)✳

❚❛ ❝â✿

L2c (R; ε) ⊂ L2n (R; ε) ⊂ L2b (R; ε).
●å✐

Hω (g)

❧➔ ❜❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ t➟♣

{g(. + h)|h ∈ R}

tr♦♥❣

L2b (R; L2 (Ω))

✈ỵ✐ tỉ♣ỉ ②➳✉✳ ❑➳t q✉↔ s❛✉ ữủ ự tr

ờ

ợ ồ

Hω (g), ||σ||2L2 ≤ ||g||2L2
b

✭✐✐✮✳ ◆❤â♠ ❝❤✉②➸♥ ❞à❝❤

{T (h)}

✭✐✐✐✮✳

T (h)Hω (g) = Hω (g)

✭✐✈✮✳

Hω (g)

✈ỵ✐

b

❀

❧➔ ❧✐➯♥ tư❝ ②➳✉ tr➯♥

h∈R

Hω (g)

❀

❀

❧➔ ❝♦♠♣❛❝t ②➳✉✳

❚❛ s➩ sû ❞ư♥❣ ❧➼ t❤✉②➳t t➟♣ ❤ót ✤➲✉ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❦➨♣ ✤è✐ ✈ỵ✐ q✉→
tr➻♥❤ ❧✐➯♥ tư❝ ②➳✉ ữỡ ữợ ữủ t t
❝ù✉ t➼♥❤ trì♥ ❝õ❛ t➟♣ ❤ót ✤➲✉ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔②✳

✶✻


●✐↔ sû

Σ

X, Y

❧➔ ♠ët t➟♣ t❤❛♠ sè ✈➔

❧➔ ❤❛✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈➔

{Uσ (t, τ )|t ≥ τ, τ ∈ R}, σ ∈ Σ

♥❤ó♥❣ ❧✐➯♥ tư❝ ✈➔♦

X✳

❍å

❝→❝ q✉→ tr➻♥❤ tr♦♥❣

X✱

♥➳✉ ợ ồ

ữủ ồ ồ

, {U (t, )|t ≥ τ, τ ∈ R}

q✉→ tr➻♥❤✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔✱ ♠ët ❤å ❝→❝ →♥❤ ①↕ ♣❤ö t❤✉ë❝ ❤❛✐ t❤❛♠ sè tø

X

Y

❧➔ ♠ët

X

✈➔♦

t❤ä❛ ♠➣♥

Uσ (t, s)Uσ (s, τ ) = Uσ (t, τ ), ∀t ≥ s ≥ τ, τ ∈ R,
Uσ (τ, τ ) = Id,
Σ

tr♦♥❣ ✤â

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❜✐➸✉ tr÷♥❣✱

tr÷♥❣✳ ❑➼ ❤✐➺✉

B(X)

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳✸✳
t➟♣

▼ët t➟♣

= t0 (τ, B) ≥ τ

P ⊂Y

s❛♦ ❝❤♦

∪σ∈Σ Uσ (t, τ )B ⊂ B0

{Uσ (t, )}

ỵ

A Y

M

t

R

(X, Y )

✲ ❤ót ✤➲✉

(X, Y )

✲ ❤ót ✤➲✉ ❝õ❛ ❤å ❝→❝

AΣ ⊂ M ✳

t≥τ

X ×Σ

{Uσ (t, τ )}σ∈Σ

♠ët t➟♣ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t

❧➔

Y

t❤♦↔ ♠➣♥✿

❧➔

h ∈ R+

❀

(X × Σ, Y )

→♥❤ ①↕

❧➔ ♠ët ❤å ❝→❝

✲ ❧✐➯♥ tö❝ ②➳✉✱

(u, τ ) → Uσ (t, τ )u

❧➔

❀

(X, Y )

(X, Y )

τ ∈ R✱

X

{T (h)|h 0}

ợ ồ

{U (t, )}

trữợ



tr õ

T (h) = Σ

❧➔ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t ②➳✉ ✈➔

❧✐➯♥ tư❝ ②➳✉ tø

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ t➟♣

❧➔ ❤å ❝→❝ q✉→ tr➻♥❤ tr➯♥

✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥

♥❣❤➽❛ ❧➔✱ ✈ỵ✐ ♠å✐

✭✐✐✐✮

✲ ❤ót ✤➲✉ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐

❝â t➼♥❤ ❝❤➜t

Uσ (t + h, τ + h) = UT (h)σ (t, τ )✱

✭✐✐✮

t ≥ t0 ✳ ▼ët

❬✺❪

{Uσ (t, τ )}σ∈Σ

t♦→♥ tû tr➯♥

(X, Y )

✈ỵ✐ ♠å✐

{Uσ (t, τ )}σ ∈ Σ ♥➳✉ ♥â ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t (X, Y ) ✲ ❤ót

✤➲✉ ✈➔ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻ t➟♣ ✤â♥❣

✭✐✮

X✳

Uσ (t, τ )σ∈Σ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ τ ∈ R ✈➔ ♠å✐ B ∈ B(X)✱

❚➟♣ ✤â♥❣

✤è✐ ✈ỵ✐ ❤å ❝→❝ q✉→ tr➻♥❤

●✐↔ sû

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜✐➸✉

B ∈ B(X), limt→+∞ supσ∈Σ distY (Uσ (t, τ )B, P ) = 0✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳✹✳
q✉→ tr➻♥❤

σ ∈Σ

B0 ∈ B(Y ) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ t➟♣ (X, Y ) ✲ ❤➜♣ t❤ư

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝â t t

trữợ

R

t tt t ừ

ừ ồ q tr
tỗ t t0

ỗ t ợ

t t ❧➔✱ ♥â ❝â

✲ ❤ót ✤➲✉ ✈➔ ❝♦♠♣❛❝t✳

✶✼