GaHSG9Cd5 Phuong trinh vo ti

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (177.6 KB, 13 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Ngày tháng .. năm 2008

Chun đề V : Phơng trình vơ tỉ

Sè tiÕt dạy

:3

Phơng trình vô tỉ là phơng trình có chứa ẩn trong dấu căn

Cỏc phng phỏp thng dựng để giải phơng trình vơ tỉ

Bi 15 :

I. Ph ơng pháp biến đổi t ơng đ ơng:

D¹ng1: f x( ) g x( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

x TXD

f x g x




    



 (*)

Chú ý: Điều kiện (*) đợc lựa chọn tuỳ theo độ phức tạp của f(x)0 và g(x) 0

VD: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: x2 3x 2 2m x x2

     

2 2 3 2 0 1 2

3 2 2 0

1
1

x

x x

x x m x x

x m
x m

 

    

           

 



Để phơng trình có nghiệm thì 1 m 1 2 0m1

D¹ng2: ( ) ( ) ( ) 2& ( ) 0

( ) ( )

g x conghia g x

f x g x




  




Chú ý:Không cần đặt điều kiện f x( ) 0

VD: Giải phơng trình: 2 1 1 2 1 1 2 1 0 2 1 1

2 2

1 ( 1)

x x

x x x x x

x

x x

  

 

       

Vậy phơng trình cã nghiƯm x=-1

D¹ng3:

( ) & ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( ) & ( ) 0

( ( ) ( )) ( )

f x co nghia f x

f x g x h x g x co nghia g x

f x g x h x

 



    

  



Chú ý:Không cần đặt điều kiện h x( ) 0

VD: Giải phơng trình:

4 1 1 2

1 0

1 1 2 4 1 2 0

1 1 2 2 (1 )(1 2 ) 4 (1 )(1 2 ) 2 1

x x x

x
x

x x x x x

x x x x x x x x

    

 

   

 

            

 

       

     

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2
2

1 1

1 1 2 2

2 1 0 2 2 0 0

2 7 0 7

(1 )(1 2 ) (2 1)

x
x

x

x x x

x x

x x x x




  

 

 

   

 

       

  



    

     

  



 

Hoặc có thể trình bày theo cách khác nh sau: - Tìm điều kiện để các bt có nghĩa
- Bin i phng trỡnh

Cỏc bi tp ngh:

Bài1: Giải các phơng trình sau:

a/ x 2x 3 0 e/ x1 x 1 2

b/ x2 x 1 1

   g/ 15 x 3 x6

c/ x 3 x 4 1 h/ 4x 1 3x4 1

d/ 10 x x 3 5 k/ 3x 2x2 x2

Bài2: Giải các phơng trình sau:

2 2

/ 4 1 1 2

/ 3 4 2 1 3

/( 3) 10 12

a x x x

b x x x

c x x x x

    

    

    

/ 2 1 1 1

/ 2 1 2 1 2

/ 6 9 6 9 6

d x x x

e x x x x

g x x x x

    

     

Bµi3: Cho phơng trình: x2 1 x m

a/ Giải phơng trình với m=1
b/ Giải và biện luận phơng trình

Bài4: Cho phơng trình: 2x2 mx 3 x m

   

a/ Giải phơng trình với m=1

b/ Với giá trị nào của m thì phơng trình có nghiệm

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

/ 3 2

/ 1 1

a m x x x

b x x a

   

   

II. Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 1:

 Phơng pháp đặt ẩn phụ dạng 1 là sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phơng trình 
ban đầu thành 1 phơng trình với 1 ẩn phụ

 Các phép thởng đặt là:

- Nếu bài tốn có chứa f x( ) và f(x) thì đặt t= f x( ) , t0. Khi đó f(x)=t2

- Nếu bài tốn có chứa f x( ) , g x( )và f x( ). g x( )=k(hằng số) thì đặt t=
( )

f x , t0

- Nếu bài toán chứa f x( ) g x( ), f x g x( ). ( ), f x( ) g x( ) k thì đặt t=

( ) ( )

f x  g x

Chú ý: Với các phơng trình căn thức chứa tham số sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ
, nhất thiết phải tìm iu kin ỳng ca n ph.

Cách tìm ĐK:

- Sư dơng tam thøc bËc hai : VD: t= x2 2x 5 (x 1)2 4 2

     

- Sư dơng B§T: VD: t= 3x 6 x

+ T2=( 3 x 6 x

   )2 (3+x+6-x)(1+1)=18  t 3 2

+ T2=( 3 x 6 x

   )2 =3+x+6-x+2 (3x)(6 x) 9 t3

VD1: Giải phơng trình:

2 2

1 31

11 11 42 0

x x

  

     

Đặt t= 2

11 11

x  t . Khi đó phong trình có dạng:

t2 +t – 42 =0 6
7

t
t

Vì t 11 nên t=6 x211 6 x211 36 x2 25 x5

Vậy phơng trình có 2 nghiệm x=-5; x=5

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Vì x=1 không là nghiệm của phơng trình nên chia 2 vế của phơng trình cho

4 1 x 0, ta c: 241 41 4 0

1 1

x x

Đặt t=41 0 41 1

1 1

x x

x x t

 

 

   , Khi đó phơng trình trở thành:

2t+ 2

1 0
1

3 0 2 3 1 0 1

0
2

t

t t

 



      

 

(không thoả mÃn ĐK)

Vậy phơng trình vô nghiệm.

VD3: Giải phơng trình : m

3x 2 x 1

4x 9 2 3x2 5x 2

       

a) Giải phơng trình với m=1
b) Tìm m để PT cú nghim.

Giải:

Điều kiện: 3 2 0 1
1 0

x

x
x

Phơng trình viết lại dới dạng: m

3x 2 x1

3x 2 x1

2 6

Đặt t= 3x 2 x1 t1
a) x=2

b) m5

Buæi 16 :

III. Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 2:

- Là phơng pháp sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phơng trình ban đầu thành 1 phơng trình 
với 1 ẩn phụ nhng các hệ số vẫn còn chứa x- Phơng pháp này đợc sử dụng đối với 
những phơng trình khi lựa chọn ẩn phụ cho 1 BT thì các BT cịn lại khơng biểu diễn 
đ-ợc triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu biểu diễn đđ-ợc thì cơng thức biểu diễn lại q phức 
tạp.

- Khi đó ta thờng đợc 1 PT bậc 2 theo ẩn phụ hoặc vẫn theo ẩn x có biệt thức là 1 số 
chính phơng

VD: Gi¶i PT:



4x 1



x3 1 2x3 2x 1

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Giải:

Đặt t= x3 1,t 0 t2 x3 1

     . Khi đó PT có dạng:

(4x-1)t=2(x3+1) + 2x – 1











 







2 2

2 4 1 2 1 0

4 1 8 2 1 4 3

2 1

4 1 4 3

1
4

t x t x

x x x

t x
x x
t
t
     
      
 

   
  
 



Thay trở lại ẩn x, ta đợc:





2
3
3
3
3
1

2 1 0 2

2
0

1 2 1

3
2
1 4
1
3
4
4
x
x
x
x
x x
x x

x
x
 

 
   
  
    
    
     


   
 
   

  

VËy PT cã 2 nghiƯm ph©n biƯt

IV. Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 3:

- Là phơng pháp sử dụng k ẩn phụ chuyển pt ban đầu thành 1 hệ Pt với k ẩn phụ. 
Trong hệ mới thì k-1 pt nhận đợc từ các mối liên hệ giữa các đại lợng tơng ng.

Chẳng hạn với PT : ma f x ( )mb f x ( )c

Đặt ( )

( )

m

m m

m

u a f x

u v a b

v b f x

  

   

 



. Khi đó ta có hệ PT:

m m

u v a b

u v c

   



 


VD: Gi¶i PT: 32 x 1 x 1

Giải:

Điều kiện : x-10 x1

Đặt
3
3 2
2
1
1, 0
u x
u v

v x v

  

  

  




. Khi đó ta có hệ:

3 2 1

1
u v
u v
  

 


Giải hệ ta tìm đợc u=0,1,2 , thay trở lại ẩn x ta đợc: x=2,1,10
Vậy pt đã cho có 3 nghiệm 1,2,10

V. Phơng pháp đặt n ph - Dng 4:

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Dạng1: Phơng trình chứa căn bậc 2 và luỹ thừa bậc 2
 ax b c dx e( )2 x ,d ac ,e bc

   

         (*)

Cách giải: Điều kiện ax+b0

t dy+e= ax b dy e ,  0. Khi đó chuyển phơng trình về hệ 2pt 2ẩn x,y

Nhận xét: Để sử dụng phơng pháp trên cần khéo léo biến đổi phơng trình ban đầu về 
dạng thoả mãn ĐK(*)

VD: Gi¶i PT: x 1 x2 4x 5

  

Giải:

Điều kiện: x+1 0 x1.

PT c vit i dng: x 1 (x 1)2 1

   

ở đậy a=b=c=d= 1;e2; 0. Thoả mãn điều kiện d=ac+;e bc 
Đặt y+2= x1,y  2 0 y2. Khi đó phơng trình đợc chuyển thành hệ

2 2

2 ( 2) 1 1 ( 2)

( )( 4) ( )( 5) 0

( 2) 1 1 ( 2)

y x y x

x y x y x y x y x y

y x x y

        

 

           

 

     

 

 

Do x1;y2 nªn x+y+5>0 x y  0 xy

Thay x=y vµo PT(1), ta cã x2+3x+3=0: PT vô nghiệm

Vy PT ó cho vụ nghim.

Dạng2: PT có chứa căn bậc 3 và luỹ thừa bậc 3
 3b ay c dy e( )3 y ,d ac ,e bc

   

        

Cách giải: Đặt dx+e=3 ay b . Khi đó chuyển PT về hệ 2ẩn 2 PT

VD: Gi¶i PT: x3 2 3 33 x 2

 

Đặt y=33x 2

. Khi ú phng trỡnh chuyn thnh hệ

3
3

2 3

3 2

x y

y x

  


 



 




Từ đó tìm đợc x=1; x=-2

Bài tập đề nghị:

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

2 2

/ 3 3 3 6 3

/ 2 5 2 2 2 5 6 1

/ 3 2 2 2 6 2 2

/( 5)(2 ) 3 3

a x x x x

b x x x x

c x x x x

d x x x x

     

     

     

   

















4 4 4

2 2 2

/ ( 1) 2 1 2 2

/ 1 1

/ 2 1n 3 1n n 1 0

e x x x x

g x x x x

h x x x

    

   



Bài2: Cho phơng trình: 1 x 8 x (1x)(8 x)m

a/ Giải phơng trình với m=3
b/ Tìm m để pt có nghiệm

c/ Tìm m để pt cú nghim duy nht

Bài3: Cho phơng trình: 2

x2 2x

x2 2x 3 m 0

     

a/ Gi¶i pt víi m=9

b/ Tìm m để phơng trỡnh cú nghim

Bài4: Cho phơng trình :







x

x x x m

x



    


a/ Gi¶i pt víi m=-3

b/ Tìm m để pt cú nghim

Bài 5:Giải các pt sau:







 







2 1

, 1 3 2 2 3

/ 2 2 4 2 3

x

a x x x x

x
x

b x x x

x



  

Bài6:Giải các phơng tr×nh sau:





2 2

/ 1 2 2

/ 4 2 2 4

a x x x x

b x x x x x

  

    





2 2

3 3

/ 1 2 2

/ 4 1 1 2 2 1

c x x x x

d x x x x

Bài 7: Giải các phơng trình sau:



3
3

/ 9 2 1

/ 2 1 1

/ 1 1 0

a x x

b x x

c x x x x x x

   
   

    

Bài8:Với giá trị nào của a thì các pt sau cã nghiÖm:

a/ 13 x 31 x a

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài9:Giải và biện luận các phơng trình sau:

a/ x 4 x m b x/ 1 x2 m
Bài10:Giải các phơng trình sau:

3 3

/ 1 7 2

/ 25 3 4

/1 16 3

/ 4 6 1

a x x

b x x

c x x

d x x

   
   
   
   

3
3
3
3

/ 2 1 1

/ 24 12 6

/ 2 1 1

/ 2 1 3

e x x

g x x

h x x

i x x

   

   

   
  

Bài11: Giải các phơng trình sau:

   

3 3 3

2 2 3 2

3 3

3 3 3

3 3

/ 1 1 5

/ 1 1 1 1
/ 1 2 3 0

7 5
6
7 5

a x x x

b x x x

c x x x

x x
d x
x x
   
     
     
  
 
  
2 2

/ 2 3 2 2 2 2 1 2 2

/ 2 9 4 3 2 1 2 21 11

2 2

/ 2

2 2 2 2

e x x x x x

g x x x x x

x x
h
x x
         
      
 
 
   

Bài12:Giải các phơng trình sau:

2
2

3 3

/ 1 4 5

/ 3 1 4 13 5

/ 2 3 3 2

a x x x

b x x x

c x x

   
   
  





2
3 3

3 3 3 3

4 9

/ 7 7 , 0

/ 1 2 2 1

/ 35 35 30

x

d x x x

e x x

g x x x x



  

  

   

VI. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
* Hớng1:

- Đa pt về dạng f(x)=k
- Xét hàm số y=f(k)

Dựng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu(đb)

- NhËn xÐt: + Với x=x0 thì f(x)=f(x0)=k nên x=x0 là nghiệm

+ Víi x>x0 th× f(x)>f(x0)=k : ptvn

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

VËy x=x0 lµ nghiƯm duy nhÊt cđa pt

* Híng 2:

- §a pt về dạng f(x)=g(x).
- Xét hàm số y=f(x) vµ y=g(x)

Dùng lập luận khẳng định hàm số y=f(x) là hàm đồng biến còn hàm y=g(x) là hàm
hằng hoặc nghịch biến. Xác định x0 sao cho f(x0)=g(x0).

- x=x0 là nghiệm duy nhất.
*Hớng3:

- Đa pt về dạng f(u)=f(v)

- Xét hàm số y=f(x). Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu
- Khi đó u=v với mọi u,v thuc TX

Bi tp ngh:

Bài1:Giải các phơng trình sau:

3
2
2 3

/ 1 4 5

/ 1 3

/ 1 2 2

a x x x

b x x x

c x x x x

   
  

Bài2:Giải và biện luận pt: x2 1



2m 1



x m2 m 1

      , víi x-m

Bi 17 :

VII. Ph ơng pháp điều kiện cần và đủ:
*Thờng áp dụng cho các dạng tốn.

Tìm điều kiện của tham số để: - Pt có nghiệm duy nhất

- Pt có nghiệm với mọi giá trị của 1 tham số

- Pt nghiệm đúng với mọi x thuộc D

- Pt tong đơng với 1 pt hoặc 1 bất ph khác

* Cách làm: - Đặt ĐK để các biểu thức trong pt có nghĩa
- Tìm ĐK cần

- Tìm ĐK đủ

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

1 x2 2 13 x2 m

Giải:

Điều kiện: 2

1 x     0 1 x 1

 ĐK cần: Nếu pt có nghiệm x0 thì -x0 cũng là nghiệm của pt. Do đó để pt có

nghiệm duy nhất thì x0=-x0  x0  0 m3
 ĐK đủ: Với m=3 thì pt: 1 x2 2 13 x2 3

   

V×

2 2

3 2

1 1

1 2 1 3

1 1

x

x x

x

  



    



 




Do đó phơng trình có nghiệm

3 2

1 1

x

x
x

 

Vởy với m= 3 thì phơng tr×nh cã nghiƯm duy nhÊt

VD2: Tìm m để phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x0

2 2

2 2 4 2

x  x m  m  x m (1)

Gi¶i:

*ĐK cần: G/s (1) có nghiệm với mọi x0 thì x=0 là nghiệm của (1), khi đó

(1):





2
2

2 0

2 4 2 3

2 4 2

m

m m m m

m m m

 




        

    



* ĐK đủ:

Với m=3 thì (1) có dạng: x2 2x 1 x 1 x 0

     

Vởy với m=3 thì (1) có nghiệm đúng với mội x0

VD3: Tìm a,b để phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x

2 2

1 1 0

a x  x bx 

Gi¶i:

*ĐK cần: giả sử pt có nghiệm với mọi x thì x=0 là nghiệm của pt . khi đó thay vào
tìm đợc a=1; b=0

*ĐK đủ: Với a=1; b=0 thay vào pt ta có pt luôn đúgn với mọi x
Vởy với a=1; b=0 thì phơng trình nghiệm đúng với mọi x

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>



 



5 2 3 3 1

x  x  m x  x m  (1)

X4 +6x3+9x2-16 =0 (2)
Giải:

Giải (2): x=1 hoặc x=4

 ĐK cần: G/s (1) tơng đơng với (2) thì x=1 là nghiệm của (1) .Thay vào tìm đợc
m=1

 ĐK đủ: với m=1, thay vào (1) Tìm đợc nghiệm là 1 và -4
Vởy với m=1 thì (1) tơng đơng với (2)

Bài tập đề nghị:

Bài1:Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất:

2 2

/ 1 1

/ 1 2 1

/ 1 8

/ 4 5

a x x m

b x x m

c x x m

d x x m

   

   

   

4 4

/ 2

/ 1 3 1 3

/ 3 1 ( 3 1)

/ 2 2

e x x m

g x x x x m

h x x m x x

i x x x x m

  

       

      

     

Bài2:Tìm a,b để pt sau có gnhiệm duy nhất:

3(ay b )2 3



ay b



2 3



a y2 2 b2



3b

Bài3:Tìm m để phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x1
x2 2x m2 3m 3 mx 1

     

Bài4:Tìm m để pt sau nghiệm đúng với  x



0, 2



2 2
2x x  1 m(m1)x x

Bài5:Tìm a,b để pt sau nghiệm đúng với mọi x

2 2





1 1 0

x a bx b x

Bài6:Cho phơng trình và bất phơng trình :

2 2

1 2 2 1 2 2 2

3 2 2 5

x m x x m x

x x x x

       

    

Tìm m để phơng trình và bất phơng trình tơng đơng với nhau.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Đánh giá dựa trên tam thức bậc hai, BĐT, GTTĐ,.

VD1: Giải phơng trình: x2 2x 5 x 1 2

    

Giải: Từ ĐK đánh giá VT luôn lớn hơn hoặc bằng 2 dựa trên tam thc bc hai

VD2: Giải phơng trình: 2 2

1 1 2

x x x x

Giải:
ĐK: x1

đánh giá VT2 dựa trên BĐT Cosi, dấu = xảy ra khi x=1,-1
Do x1 nên x=1

VD3: Gi¶i pt:



 





 



2 1 3 4 1 1

1 1 2 1 1 1 2 1

1 1 2 1 0 2 5

x x x x

x x x

      

           

 

Bi tp ngh:

Bài1:Giải các phơng trình sau:

3 2 2

3 3

2 2 3 3 4 4 4 4

/ 2 7 11 25 12 6 1

1 1

/ 2 2 4

/ 1 2 2 1 2 2 1

/ 2 1 2 1

/ 2 5 3 3 2 6 1

/ 1 1 1 1 1 1 6

a x x x x x

b x x

x x

c x x x x

y

d y y y y

e x x x x x

f x x x x x x

     

 

       

 

       



     

     

           

4 4 4

4 2

24 4 4 3

2 4

4 4

/ 1 1 2 8

/ 2 3 4

/ 2 1 19 2

10 24

/ 2 1

/ 2 2 4

g x x x x

h x x x

i x x

x x

k x x x x

l x x x x

      

   

   

  

   

     

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

2 2

/ 4 4 6 9 1

/ 4 4 9 6 1

/ 6 4 2 11 6 2 1

a x x x x

b x x x x

c x x x x

     

     

       

2 2

/ 2 4 2 7 6 2 1

/ 6 2 1

/ 7 9 16 66

d x x x x

e x x x

g x x x x

      

Bài3:Giải các phơng trình sau:







/ 1 10 2 5

/ 1 3 2 1 3 5 4 2

a x x x x

b x x x x x x

      

        

</div>

GaHSG9Cd5 Phuong trinh vo ti

Sè tiÕt dạy

<sub></sub>

<sub> </sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>











 



























<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub> </sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>







 





















<sub></sub>

<sub></sub>







 



<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>





<sub></sub>

<sub></sub>



 





 





<sub></sub>

<sub></sub>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về