Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Nghĩa Hồ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (660.64 KB, 17 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 1
TRƯỜNG THCS NGHĨA HỒ ĐỀ THI HSG LỚP 8

MƠN: TỐN

(Thời gian làm bài: 150 phút)

Đề số 1

Bài 1 (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1) 2

2014 2013

x + x+

2) 2

( 2)( 2 2) 1

x x+ x + x+ +

Bài 2 (4 điểm)

1) Tìm a b, biết 1 2 3 7 3

15 23 7 20

a b a

a

+ = = −

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x2+2y2+2xy+2x−4y+2013

Bài 3 (4 điểm)

1) Cho a a1, 2,...a2013 là các số tự nhiên có tổng bằng

2014
2013 .
Chứng minh rằng: B=a13+a23+ +... a20133 chia hết cho 3.

2) Cho a và b là các số tự nhiên thoả mãn 2a2+ =a 3b2 +b.
Chứng minh rằng: a b− và 3a+ +3b 1 là các số chính phương.
Bài 4 (6 điểm)

Cho tam giác ABC. Gọi I là một điểm di chuyển trên cạnh BC. Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh
AC cắt cạnh AB tại M. Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC tại N.

1) Gọi O là trung điểm của AI. Chứng minh rằng ba điểm M, O, N thẳng hàng.
2) Kẻ MH, NK, AD vng góc với BC lần lượt tại H, K, D.

Chứng minh rằng MH + NK = AD.

3) Tìm vị trí của điểm I để MN song song với BC.

ĐÁP ÁN

Bài 1

1) 2

2014 2013

x + x+ = 2

2013 2013

x + x+ +x

( 2013) ( 2013)

x x x

= + + +

(x 1)(x 2013)

= + +

( 2)( 2 2) 1

x x+ x + x+ + =(x2+2 )(x x2+2x+ +2) 1

2) =(x2+2 )x 2+2(x2+2 ) 1x +

2 2

(x 2x 1)

= + +

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 2

1) Từ 1 2 7 3

15 20

a a

+ = −

có20(1 2 )+ a =15(7 3 )− a

a

 =

Thay a=1 vào tỉ lệ thức 1 2 3

15 23 7

a b

a

+ =

+ ta được

1 2.1 3
15 23 7.1

b

+ =

+ . Suy ra b=2

Vậy a=1, b=2.

2) Ta có A=x2+2y2+2xy+2x−4y+2013=x2+2 (x y+ +1) y2+2y+ +1 y2−6y+ +9 2003

2 2

(x y 1) (y 3) 2003

= + + + − +

Nhận thấy với mọi x,y ta có (x+ +y 1)2 0;(y−3)20.
Suy raA2003

Dấu “=” xảy ra khi x= −4,y=3

Vậy Giá trị nhỏ nhất của A là 2003 đạt được khi x= −4,y=3
Bài 3

1) Dễ thấy a3− =a a a( +1)(a−1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3
Xét hiệu B−(a1+a2+ +... a2013)=(a13+a23+ +... a20133 ) (− a1+a2+ +... a2013)

3 3 3

1 1 2 2 2013 2013
(a a) (a a ) ... (a a )

= − + − + + − chia hết cho 3

Mà a a1, 2,...a2013 là các số tự nhiên có tổng bằng 20132014 3.
Do vậy B chia hết cho 3.

2) Từ 2a2+ =a 3b2 +b có(a b− )(3a+3b+ =1) a2

Cũng có 2

(a b− )(2a+2b+ =1) b . Suy ra (a b− ) (22 a+2b+1)(3a+3b+ =1) (ab)2

Gọi (2a+2b+1, 3a+3b+ =1) d. Chứng minh được d=1

3a+ +3b 1 là số chính phương a b− là số chính phương (đpcm)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 3

1) Ta có IM//AC, IN//AB AMIN là hình bình hành

 MN cắt AI tại trung điểm mỗi đường . Mà O là trung điểm AI

 M, O, N thẳng hàng (đpcm)

2) Kẻ OE vng góc với BC. Chứng minh MHKN là hình thang vng.

Ta có O là trung điểm MN mà OE//MH//NK. Suy ra OE là đường trung bình của hình thang vng
MNKH nên MH + NK = 2OE (1)

Xét ΔADI có O là trung điểm của AI và OE//AD. Suy ra OE là đường trung bình của ΔADI nên AD =
2OE (2)

Từ (1) và (2) ta có MH + NK = AD (đpcm).

3) Ta có MN // BC khi và chỉ khi MN là đường trung bình củaABC(Do O là trung điểm AI)

I là trung điểm BC (Vì MI // AC, MA=MB)

Vậy để MN song song với BC thì I là trung điểm BC

Xét hiệu x− =y (a+b c)( +d) (− a+c b)( +d)=(d−a b c)( − )

Vì d a b, c nên (d−a b c)( − ) 0. Suy ra x y(1)
Xét hiệu y− =z (a+c b)( +d) (− a+d b)( +c)=(a b d− )( −c)

Vì ba c, d nên (a−a d)( − c) 0. Suy ra yz(2)
Từ (1) và (2) ta sắp xếp theo thứ tự giảm dần là z y x

Đề số 2

D

H E K

O
M

N
A

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 4

Câu 1. Cho phân thức

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

2 2

2 2 2

5 5 5 5

5 5 5 25 25 25

x y z x y z xy yz xz

A

x y z xy yz xz

+ + + + + + +

+ + − + +

a) Tìm các giá trị của x, y, z để phân thức xác định
b) Rút gọn A

Câu 2 (2 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử 10 5
1
a +a + .

b) Cho x+ =y 1 và xy0. Chứng minh rằng

(

)

3 3 2 2

1 1 3

x y

y x x y

−

− + =

− − + .

Câu 3 (2 điểm)

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song
song với hai đáy cắt BC ở I, cắt AD ở J. Chứng minh:

a) 1 1 1

OI = AB+CD.

b) 2 1 1

IJ = AB+CD.

Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ các tia

Bx⊥AB, Cy⊥CA chúng cắt nhau tại D.
a) Tứ giác BHCD là hình gì? Vì sao?

b) Gọi E là điểm sao cho BC là đường trung trực của EH. Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân.
c) BD cắt EH tại K. Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì để tứ giác HCDK là hình thang cân

ĐÁP ÁN

Câu 1 (2 điểm)

a) Ta có

(

5x+5y+5z

) (

2− 25xy+25yz+25xz

)

=25

(

x+ +y z

) (

2− xy+yz+xz

)



Xét

(

x+ +y z

) (

2− xy+yz+xz

)

(

) (

)

2 2 2

0
0
0

x y z xy yz xz

x y y z z x

x y z

 + + + + + =

 + = + = + =
 = = =

Để phân thức xác định thì x, y, z khơng đồng thời bằng 0

b) Đặt 2 2 2

x +y +z =a và xy+yz+xz=b thì

(

x+ +y z

)

2 = +a 2b

Khi đó

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2

2 2

5 2 5 5 5

a a b b a ab b a b a b

A

a b b a b a b

+ + + + + +

= = = =

+ − + +

Vậy

2 2 2
5

x y z xy yz xz

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 5

Câu 2 (2 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử 10 5
1
a +a + .

b) Cho x+ =y 1 và xy0. Chứng minh rằng 3 3 2

(

2 2

)

1 1 3

x y

y x x y

−

− + =

− − + .

Hướng dẫn
a) a10+a5+1

(

10 9 8

) (

9 8 7

) (

7 6 5

)

a a a a a a a a a a

= + + − + + + + + − −

(

)

(

)

(

) (

)(

)

8 2 7 2 5 2 3 3

1 1 1 1 1

a a a a a a a a a a a

= + + − + + + + + − − +

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

8 2 7 2 5 2 2 3

1 1 1 1 1 1

a a a a a a a a a a a a a

= + + − + + + + + − − + + +

(

)(

8 7 5 4 3

)

1 1

a a a a a a a a

= + + − + − + − + .

b) Ta có:

3 3

1 1

x y

y − − x −

(

)(

)

4 4

3 3

1 1

x x y y

y x
− − +
=
− −

(

)

(

)

(

)(

)

4 4
3 3
1 1

x y x y

y x
− − −
=
− −

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2
2 2

1 1 1 1

x y x y x y x y

y y y x x x

− + + − −

− + + − + +

Vì x+ =y 1 − = −y 1 x và x− = −1 y, do đó ta có:

(

)(

)

(

)

(

)

(

)(

)

2 2

1 1

x y x y x y x y

xy y y x x

− + + − −
=
+ + + +

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

2 2 2 2 2 2

x y x y x y

xy x y y x y yx xy y x x

− + − −

+ + + + + + + + (vì x+ =y 1)

(

)

(

)

(

)

2 2

2 2 2 2

x y x y

xy x y xy x y x y xy

− + −
=
 + + + + + + 
 

(

)

(

)

(

)

2 2
2
2 2
2

x y x x y y

xy x y x y

− − + −
=
 + + + 
 

(

) (

)

2 2
1 1
3

x y x x y y

xy x y

−  − + − 

=
 + 
 

(

) ( ) ( )

2 2
3

x y x y y x

xy x y

−  − + − 
=
 + 
 

(

)(

)

(

)

2 2
2 2
2 2
3
3

x y xy x y

x y
xy x y

− − − −

= =

 + 

 

Do đó 3 3 2

(

2 2

)

1 1 3

x y

y x x y

−

− + =

− − + .

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 6

a) Ta có:

OI // AB, xét tam giác OIC ta có: OI CI

AB =CB (1).

OI // CD, xét tam giác BDC ta có: OI BI

CD = BC (2).

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có:

OI OI CI BI BC

AB+CD = BC+ BC = BC = 

1 1 1

OI = AB+CD (3).

b) Chứng minh tương tự ta có 1 1 1

OJ = AB+CD (4).

Cộng vế với vế của (3) và (4) ta có: 1 1 2 1 1

OI OJ AB CD

 

+ =  + 

 

Lại có OJ DO OI OJ OI

AB= DB = AB = , do đó ta có:

2 1 1

IJ = AB+CD.

Câu 4

a) HS tự làm

b) Gọi I là giao điểm của AE và BC, K là giao điểm của EH và BD
Ta có IM/ /DE nên BC/ /DE, do đó tứ giác BCDE là hình thang

Lại có CE=CH mà CH =BD nên BD=CE, vậy tứ giác BDCE là hình thang cân
c) BH cắt AC tại F, ta có F=900

I
J

D C

B
A

K
I

y x

D
H

C
B

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 7

Hình thang HKDC là hình thang cân

KHC =HCDKHC=CHF (vì CHF =HCD (so le trong))

HIC HFC HCI HCF

 =   =

CH là phân giác của góc ACB

ABC

  cân tại C.

Vậy HKDC là hình thang cân khi và chỉ khi ABC là tam giác cân tại C.
Câu 5

Từ 0x y z, , 1 suy ra xxz; yyz và zzx nên x+ + −y z xy−yz−xz0 (1)
Xét

(

1−x

)(

1−y

)(

1− =z

) (

x+ + −y z xy−yz− − −xz 1 xyz

)

0

1 1

x y z xy yz xz xyz

 + + − − −  −  (2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 + + −x y z xy−yz−xz1

Đề số 3

Câu 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

(

x2+y2+z2

)

(

x+ +y z

) (

2+ xy+yz+xz

)

Câu 2 (2 điểm)

a) Một số điện thoại có 10 chữ số là 098716abcd. Hãy tìm bốn số cuối của bốn số điện thoại đó, biết rằng
bốn số này tạo thành một số chính phương và nếu ta thêm vào mỗi chữ số của nó một đơn vị thì cũng được
một số chính phương.

Câu 3 (3 điểm)

1) Cho tam giác vng ABC có độ dài các cạnh góc vng AB=6cm, AC=8cm. M là điểm di chuyển trên
cạnh huyền BC. Gọi D và E là chân các đường vng góc kẻ từ M đến AB và AC. Khi đó tứ giác ADME
có thể đạt được diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

2) Cho hình vng ABCD và một tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh của hình vng.
Chứng minh rằng:

(

)

4
ABCD

AC

S = MN+NP+PQ QM+

b) Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất
c) Xác định vị trí của M, N, P, Q để diện tích tứ giác MNPQ nhỏ nhất
Câu 4 (2 điểm)

a) Tìm các số nguyên x, y, z biết x2+y2+z2 xy+3y+2z−3

b) Phân tích đa thức 2

2015.2016
x − −x

ĐÁP ÁN

Câu 1 (2 điểm)

b) Đặt 2 2 2

x +y +z =a; xy+yz+zx=b, ta có B=a a

(

+2b

)

+b2 =

(

a+b

)

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 8

a) Theo đề bài ta có:

(

)(

)

1 1 1 1

abcd n

a b c d m

 =




+ + + + =

 (31m n, 100)

2 2 11 56

1111 11.101 1111.1

101 45

m n m

m n

m n n

− = =

 

 − = = =  

+ = =

 

Vậy số điện thoại cần tìm là 0987162025
b) Ta có

(

)

2 2

(

)

1 1 1 1 1 1

2 2 1 2 1 2 1

1 n n n n n n

n n

 

=  =  − 

+ + +  + 

+ +

2 2

1 1 1 1 1

13 2 3 2 2 3

 

=   − 

+  

2 2

1 1 1 1 1

25 3 4 2 3 4

 

=   − 

+  

………

(

)

2 2

1 1 1 1 1

2 2 1 2 1

1 n n n n

n n

 

=   − 

+ +  + 

+ +

(

)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9

... ....

5 13 25 n n 1 5 2 2 3 3 4 n n 1 5 4 20

 

+ + + +  +  − + − + + −  + =

 

+ +
Câu 2 (2 điểm)

a) Giải phương trình 2x

(

8x−1

) (

2 4x− =1

)

b) Với mọi n thì n5 và n ln có chữ số tận cùng giống nhau.
Hướng dân

a) 2x

(

8x−1

) (

2 4x− =1

)

(

)

(

)

(

)(

)

2 2

2 2

8 1 8 2 9

16 16 1 64 16 72

x x x

x x x x

 − − =

 − + − =

Đặt 2

64x −16x=t, ta có:

( )

1 72

t t+ = , do đó 8

9
t
t

=


 = −


Từ đó tìm được các giá trị của x.
b) Xét hiệu:

5
n −n

(

)

1
n n

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 9

(

)(

)

1 1

n n n

= − +

(

) (

)

(

)

1 1 4 5

n n n n

= − + − +

Vậy

(

n−1

) (

n n+1

)

(

n2− +4 5 2

)

(1)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

1 1 4 5 1 1

n n n n n n n

= − + − − − +

(

n 2

)(

n 1

) (

n n 1

)(

n 2

) (

5 n 1

) (

n n 1

)

= − − + + − − +

Vì

(

n−2

)(

n−1

) (

n n+1

)(

n+2

)

chia hết cho 5, 5

(

n−1

) (

n n+1

)

chia hết cho 5.
Vậy

(

n−2

)(

n−1

) (

n n+1

)(

n+ −2

) (

5 n−1

) (

n n+1 5

)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra n5−n chia hết cho 2, 5 mà

( )

2,5 = 1 5

10
n −n

Vậy 5

n và n ln có chữ số tận cùng giống nhau.
Câu 3 1)

Đặt AE=x (0 x 6)

Ta có 6 4

(

)

6 8 3

BE EM x EM

EM x

AB AC

−

=  =  = −

(

)

(

2

)

(

2

)

(

)

(

)

4 4 4 4 4 4

. . 6 6 6 3 9 9. 3

3 3 3 3 3 3

ADME

S =AE AD=x −x = x−x = − x + x = −  x+ −  − x+ Vậy

12 3

ADME

minS =  = x M là trung điểm của BC
2)

a) Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của QN, MN, PQ ta có

x
E

M C

P
K

N
J

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10
1

BJ = MN; 1

IJ = QM ; 1

KI = PN; 1

DK = PQ

(

)

(

)

4 2 2 ABCD

AC AC AC BD

MN NP PQ QM BJ JI IK KD S

 + + + = + + +  =

b) Theo phần a) chu vi tứ giác MNPQ đạt giá trị nhỏ nhất khi đường gấp khúc BJIKD trùng với đoạn BD,
tức là khi MN/ /AC/ /PQ và MQ/ /BD/ /NP lúc đó tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Vậy với mọi hình chữ nhật nội tiếp hình vng đã cho đều có chu vi bằng nhau và chu vi đó nhỏ nhất so
với chu vi tất cả các tứ giác nội tiếp hình vng này.

Từ các đỉnh M, N, P, Q ta dựng các đường thẳng song song với các cạnh của hình vng. Các đường thẳng
đó hoặc trùng nhau hoặc song song.

Nếu chúng song song từng đơi thì giao điểm của chúng sẽ tạo thành hình chữ nhật. Ta có

MNPQ MHQ QGP PFN MEN EFGH

S =S +S +S +S +S

(

)

1 1 1 1

2 2 2 2

MNPQ AMHQ QGPD PFNC EFGH MEBN ABCD EFGH ABCD

S = S +S +S +S +S = S + S  S

Do đó SMNPQ đạt giá trị nhỏ nhất SEFGH = 0 EF HG hoặc HEFG

Vậy tứ giác nội tiếp hình vng có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai đường chéo

của nó song song với cạnh của hình vng

Câu 4 (2 điểm)

a) 2 2 2

3 2 3

x +y +z xy+ y+ z−
2 2 2

3 2 3 0

x y z xy y z

 + + − − − + 

2 2 2

3 2 3 1

x y z xy y z

 + + − − − +  − (vì x, y, z là các số nguyên)

(

)

2 2

3 1 1 0

2 2

y y

x z

   

 −  +  −  + − 

   

1
2
1

x
y
z

=



 =

 =



b) x2− −x 2015.2016=x2−2016x+2015x−2015.2016
G
Q

P
H

F N

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11

(

2016

)

2015

(

2016

) (

2016

)(

2015

)

x x x x x

= − + − = − +

Đề số 4

Câu 1. Cho a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng ab a b− − +1 chia hết
cho 48.

Câu 2

a) Giải phương trình:

(

) (

2 2

)

(

)(

)

2x + −x 2016 +4 x −5x−2015 =4 2x + −x 2016 x −5x−2015

b) Cho các số a, b, c, d thỏa mãn abcd =1. Tính giá trị của biểu thức

1 1 1 1

M

abc ab a bcd bc b acb cd c abd ad d

= + + +

+ + + + + + + + + + + +

Câu 3. Cho đa thức P x

( )

thỏa mãn khi chia cho x−3 thì dư 17 ; khi chia cho x−1 dư 3. tìm dư của
phép chia P x

( )

cho 2

4 3
x − x+

Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA; BB; CC, trực tâm H

a) Tính tổng AH BH CH

AA+BB+CC

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN theo thứ tự là phân giác của các góc AIC; AIB (

MAC, NAB). Chứng minh AN BI CM. . =BN IC AM. .

c) Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì thì biểu thức

(

)

2 2 2

AB BC CA

AA BB CC

+ +

 +  +  đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 5. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 1 1 1 2016

x+ + =y z .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x2 y2 y2 z2 z2 x2

x y y z z x

+ + +

= + +

+ + +

ĐÁP ÁN

Câu 1

Ta có ab a b− − + =1

(

a−1

)(

b−1

)

Vì a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên a=

(

2n+1

)

2, b=

(

2n+3

)

2, (n ), suy ra

(

)(

)

(

) (

)

1 1 1 16 1 2

ab− − + =a b a− b− = n n+ n+

Vì n,

(

n+1

)

(

n+2

)

là tích của ba số nguyên liên tiếp nên n n

(

)(

n+2

)

chia hết cho 3, mà

(

16,3

)

=1
nên 16n n

(

) (

2 n+2 48

)

nên ab a b− − +1 48.

Câu 2

a) Đặt 2

2x + −x 2016=a; 2

5 2015

x − x− =b, ta có

(

)

2 2

4 4 2 0 2

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12

Câu 3

Vì đa thức chia là 2

4 3

x − x+ có bậc hai nên đa thức dư có dạng ax b+

Ta có P x

( ) (

= x−1

)(

x−3 .

) ( )

Q x +ax b+

( )

3 17 3 17

P =  a b+ = và P

( )

1 =  + =3 a b 3
Do đó a=7; b= −4 nên đa thức dư có dạng 7x−4
Câu 4

a) Ta có

1
.
2

ABC

S = AA BC ; 1 .

2
BHA

S = BA AH ; 1 .

2
CHA

S = CA AH

(

)

2
.
2

AHB AHC
ABC

A B A C AH

S S AA

AA BC

S AH

 + 


+

 =  =

Chứng minh tương tự ta có:

(

)

2
.
2

AHB BHC
ABC

AB B C BH

S S BH

BB AC

S BB

+ 
+

=  =

;

(

)

2
.
2

BHC AHC
ABC

BC AC CH

S S CH

CC AB

S CC

+ 
+

=  =



2
AHB AHC AHB BHC BHC AHC ABC

ABC ABC

S S S S S S S

AH BH CH

AA BB CC S S

+ + + + +

+ + = = =

  

b) Theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có:

AN AI

BN = BI ;

BI AB

IC = AC ;

CM IC

AM = AI , từ đó suy ra

. . . 1 . . . .

AN BI CM AI AB IC AB IC AB AC

AN BI CM BN IC AM

BN IC AM = BI AC AI = AC BI = AC AB =  =

c) Vẽ Cx⊥CC, gọi D là điểm đối xứng với A qua Cx
Ta có tam giác BAD vng tại A và CD=CA; AD=2CC

Xét ba điểm B, C, D, ta có BDBC CD+

x
N

D
H

A' C

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 13
BAD

 vuông tại A nên AB2+AD2 =BD2

(

)

2 2

AB AD BC CD

 +  +

(

)

2 2

AB CC BC AC

 +  +

(

)

2 2

4CC BC AC AB

  + −

Chứng minh tương tự ta có:

(

)

2 2

4AA  AB+AC −BC

(

)

2 2

4BB  AB+BC −AC

(

2 2 2

)

(

)

(

)

2 2 2

4 AA BB CC AB BC CA AB BC CA 4

AA BB CC

+ +

  

 + +  + +  

 +  + 

Đẳng thức xảy ra BC= AC AC; = AB AB; =BC ABC đều
Câu 5

Áp dụng các bất đẳng thức 2

(

a2+b2

)



(

a b+

)

2; 1 1 4

a+ b a b+

Ta có

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

x y y z z x

P

x y y z z x x y y z z x

+ + +

= + + = + +

+ + + + + +

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2.

x y y z z x

P

x y y z z x x y y z z x

x y y z z x

+ + +    

 + + =  + +   + + + + + 

+ + +

+ + +    

2 1 1 1

2. 2016

4
P

x y z

 

  + + 

 

Vậy 2016 3

2016
minP=  = = =x y z

Đề số 5

Câu 1. Chứng minh rằng:

a) Nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9.
b) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 ln là số chính phương.

Câu 2. Cho biểu thức

3 2

2 3

1 1

x x

B x

x x x x

 −  −

= − 

− − − +

 

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tính giá trị của biểu thức B tại 12

3
x= −

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 14

Câu 3

a) Giải phương trình

(

) (

3 2

)

(

)

5 6 1 7 5

x − x+ + −x = − x

b) Cho x y z 1

a+ + =b c và 0

a b c

x+ + =y z . Chứng minh rằng

2 2 2
2 2 2 1

x y z

a +b +c = .

Câu 4.Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C
qua P.

a) Tứ giác AMDB là hình gì? Tại sao?

b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lên AB và AD. Chứng minh EF/ /AC và ba điểm E, F,
P thẳng hàng.

c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm P.

d) Giả sử CP⊥BD và CP=2, 4cm, 9

16
PD

PB = . Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật ABCD.

Câu 5. Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thoả mãn đồng thời các điều kiện:

x+ + y z và 8x+9y+10z=100

ĐÁP ÁN 
Câu 1

Vì n



N nên n2 + 3n + 1



N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương

Câu 2

a, ( 2 điểm ) Với x khác -1 và 1 thì:

A =
=
=
)
1
(
)
1
)(
1
(
)
1
)(
1
(
:
1
1
2
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x

x
x
x
+
−
+
−
+
+
−
−
+
−
−
)
2
1
)(
1
(
)
1
)(
1
(
:
1
)
1
)(

1
(
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
−
+
+
−
−
−
+
+
−
)
1
(
1
:
)

1
( 2
x
x
−
+
)
1
)(
1

( +x2 −x

a) Gọi 2 số phải tìm là a và b, ta có a + b chia hết cho 3. 0,25

Ta có a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = (a + b) =

= (a + b) 0,5

Vì a + b chia hết cho 3 nên (a + b)2 - 3ab chia hết cho 3;

Do vậy (a + b) chia hết cho 9

b) Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là: n, n + 1, n + 2, n + 3 (n



N).
Ta có n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1
= (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*)
Đặt n2 + 3n = t (t



N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2 
= (n2 + 3n + 1)2



(a2 +2ab+b2)−3ab



</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 15

b, (1 điểm) Tại x = = thỡ A =

c, (1 điểm) Với x khác -1 và 1 thì B < 0 khi và chỉ khi (1)

Vì với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi

KL: B < 0 khi và chỉ khi x > 1

Câu 3

a) Đặt x2 - 5x + 6 = a, 1 - x2 = b thì a + b = 7 - 5x
Phương trình trở thành a3 + b3 = (a + b)3 
Biến đổi thành ab(a + b) = 0

<=> a = 0 hoặc b = 0 hoặc a + b = 0
Từ đó tìm được S =

b) Từ :

ayz+bxz+cxy

0 a

b

c

x

+

y

+

z

= 

xyz

=

ayz + bxz + cxy = 0

Ta có :

x

y

z

1 (

x

y

z

)

1 a

+ + = 

b

c

a

+ +

b

c

=

2 2 2

2(

)

1 x

y

z

xy

xz

yz

a

b

c

ab

ac

bc



+

=

2 2 2

2

1 x

y

z

cxy

bxz

ayz

a

b

c

abc

+



+

=

2 2 2

1(

)

x

y

z

dfcm

a

b

c



+

=

Câu 4

a) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD.
PO là đường trung bình của tam giác CAM (... )

3
2
1
−

3
5

−  + − − − − )
3
5
(
1

)

3
5
(

1 2

)
3
5
1
)(
9
25
1

( + +

27
2
10
27

272
3

8
.
9

34 = =

0
)
1
)(
1

( +x2 −x 
0

1+x2  1−x0x1



2; 3; -1; 1; 1,2



A B

C
D

O
M

I
E

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 16

AM//PO

Tứ giác AMDB là hình thang.

b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị)
Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB

Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên góc IAE = góc
IEA.

Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1)
Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng.

c) Chứng minh MAF ~ DBA (g-g) nên =>

AD
AB
FA
MF =

khơng đổi.

d) Nếu thì

Nếu thì CBD ~ DCP (g-g) =>

CP
PB
PD
CP =

do đó CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 
PD = 9k = 1,8(cm); PB = 16k = 3,2 (cm => BD = 5 (cm)

C/m BC2 = BP.BD = 16 do đó BC = 4 (cm); CD = 3 (cm)

Câu 5

Ta có: 8x + 8y + 8z < 8x + 9y + 10z = 100 => x + y + z <

8
100

< 13

cùng với giả thiết, có 11 < x + y + z < 13, nhưng x + y + z  Z => x + y + z = 12
Ta có hệ: x + y + z = 12 (1); 8x + 9y + 10z = 100 (2).

Nhân 2 vế của (1) với 8 rồi trừ vế-vế của (2) cho (1), được: y + 2z = 4 (3)
Từ (3) suy ra z = 1 (vì nếu z ≥ 2 thì do y ≥ 1 => y + 2z ≥ 4, mâu thuẫn)
Với z = 1, tìm được y = 2 và x = 9.

Thử lại, thấy đúng. Vậy có duy nhất bộ x = 9, y = 2 và z = 1 thoả mãn.



9
16
PD
PB =

9 ,

16

9

16 PD

PB

k

PD

k PB

k

=

= 

=

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 17

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng.

I.Luyện Thi Online

-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

-Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II.Khoá Học Nâng Cao và HSG

-Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

-Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS.
Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng
đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III.Kênh học tập miễn phí

-HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng
Anh.

V

ữ

ng vàng n

ề

n t

ảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>