Thi hsg 10

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Đề thi học sinh giỏi lớp 10</b>

<b>Môn Toán</b>
<b>Thời gian: 150 phút</b>
<b>Câu 1</b>(3 điểm) : Cho hµm sè: f(x) = x2_{– 2x -1}

a) Vẽ đồ thị hàm số y= f(x) từ đó suy ra đồ thị hàm số <i>y</i> <i>f x</i>( )

b) Tìm m để phơng trình <i>x</i>2 2<i>x</i>1  <i>m</i> 1 có 4 nghiệm phân biệt

<b>C©u 2</b> (2 ®iĨm):

a) Chøng minh r»ng: <i>A</i>(<i>B C</i> ) ( <i>A B</i> ) ( <i>A C</i> )

b) Cho: <i>A</i><i>x</i>víi x lµ béi cđa 2 vµ 3



 

 <i>x</i>

<i>B</i> víi x lµ béi cđa 6



Chøng minh r»ng: A = B

<b>Câu3</b> (2 điểm)

a) Giải phơng trình: <i>_x</i> ₂ <i>_x</i>2 ₂

b) Giải hệ bất phơng trình:



₂<i>x</i><i>_{x y}</i>2<i>y</i>3₄

 

<b>Câu 4</b> (2 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1;1) và điểm
B(3;2). Tìm điểm C trên trục Ox sao cho:

a) Tam giác ABC vng tại A. Tính độ dài đờng cao AH khi đó
b) Chu vi của tam giỏc ABC t giỏ tr nh nht

<b>Câu 5</b> (1 điểm): Chøng minh r»ng víi <i>x</i> 



1;1



ta cã:

3 3

2 2 3 3 4 4 4 4

1<i>x</i>  1 <i>x</i>  1<i>x</i>  1 <i>x</i>  1<i>x</i>  1 <i>x</i> 6

--- <i><b>Hết</b></i>
<b>---Đáp án </b>

<b>Câu 1</b>(3 điểm) :
a.

 Vẽ đúng ĐTHS: <i>_y</i> <i>_{f x}</i>_{( )} <i>_x</i>2 ₂<i>_x</i> ₁

    cã

Đỉnh (1;-2), trục đối xứng là đờng thẳng x=1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2></div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

b. Số nghiệm của phơng trình <i>x</i>2 2<i>x</i>1 <i>m</i> 1 là số giao điểm của §THS

( )

<i>y</i> <i>f x</i> và đờng thẳng y = m+1

Dựa vào đồ thị trên hình vẽ ta có: ĐTHS <i>y</i> <i>f x</i>( ) giao với đờng thẳng
y = m+1 tại 4 điểm phân biệt khi: 0<i>m</i> 1 2  1 <i>m</i>1` <b>1,0 điểm</b>
<b>Câu 2</b> (2 điểm):

a. Chøng minh : <i>A</i>(<i>B C</i> ) ( <i>A B</i> ) ( <i>A C</i> )

Ta cã: <i>x A</i> (<i>B C</i> ) 



<i>x B</i>
<i>x C</i>

<i>x</i> <i>A</i>
















<i>x A</i>
<i>x B</i>

<i>x A</i>
<i>x C</i>














<i>x A B</i>
<i>x A C</i>

 
 

 <i>x</i>(<i>A B</i> ) ( <i>A C</i> )  ®pcm <b>1,0 ®iĨm</b>

b. Cm: Giả sử <i>x A</i> ta có: x là bội của 2 và 3 nên x=2k=3l (<i>k l Z</i>, )
Vì 2 không phải là bội của 3 nên k lµ béi cđa 3 ta cã: k=3k1 (<i>k</i>1<i>Z</i> )

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Tõ (1) vµ (2) suy ra A = B <b>1,0 điểm</b>
<b>Câu3</b> (2 điểm)

c) Giải phơng trình: <i>_x</i> ₂ <i>_x</i>2 ₂

điều kiện <i>x</i>2

Đặt <i>y</i> <i>x</i>2 0 ta có hệ

2
2

2
2

<i>x</i> <i>y</i>

<i>y</i> <i>x</i>

, trừ từng vế của mỗi phơng tr×nh ta

đợc: (<i>x y x y</i> )(  1) 0  x-y=0(*) hoặc x+y+1=0(**)

- Rút x từ phơng trình(*) thay vào 1 trong 2 phơng trình của hệ, kết hợp
với các điều kiện , phơng trình đã cho cú nghim x=2

- Rút x từ phơng trình(**) thay vào 1 trong 2 phơng trình của hệ, kết

hp vi các điều kiện , phơng trình đã cho có nghiệm 1 5

2

<i>x</i> 

Vởy phơng trình đã cho có 2 nghiệm x=2 và 1 5

2

<i>x</i>  <b>1,0 ®iĨm</b>

d) Giải hệ bất phơng trình:



₂<i>x</i><i>_{x y}</i>2<i>y</i>3₄

 

Đa ra miền nghiệm của hệ bpt là miền khơng gạch (kể cả đờng biên)

<b>1,0 ®iĨm</b>

<b>Câu 4</b> (2 điểm): Điểm C trên trục Ox có tọa độ C(c;0) Ta cú:

(2;1)
<i>AB</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

a.Tam giác ABC vuông tại A . 0 2 3 0 3
2

<i>AB AC</i> <i>c</i> <i>c</i>

                     

Vậy điểm C có tọa độ C( ;0)3
2

AH.BC=AB.AC <i>AH</i> <i>AC AB</i>. 1

<i>BC</i>

<b>1,0 điểm</b>

b.Chu vi tam giác ABC: 2p = AB+AC+BC

Gọi A/_{là điểm đối xứng với A qua Ox, khi đó Ox là đờng trung trực của}

AA/_{nên: AC= A}/_{C. Vì AB khơng đổi nên chu vi nhỏ nhất khi A}/_C+CB

nhá nhÊt B,C, A/_{thẳng hàng.}

Ta A/_{(1;-1). Phng trỡnh ng thng BA}/_: _3x-2y-5=0

Tọa độ C là nghiệm của hệ:



3<i>_yx</i>₀2<i>y</i> 5 0

  C

5
( ;0)

3 <b>1,0 ®iĨm</b>

<b>Câu 5</b> (1 điểm): Với <i>x</i> 



1;1



áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có:

2

2 2 1 2 2

1 1.(1 ) (1 1 )

2 2

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 

      

2

2 2 1 2 2

1 1.(1 ) (1 1 )

2 2

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 

      

3
3₁ 3 3_.1.1.(1 3₎ 1_{(1 1 1} 3₎ 3

3 3

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 

       

3
3₁ 3 3_.1.1.(1 3₎ 1_{(1 1 1} 3₎ 3

3 3

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 

       

4

4 4 4

4₁ 4_1.1.1.(1 ₎ 1_{(1 1 1 1} ₎ 4

4 4

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 

        

4

4 4 4

4₁ 4_1.1.1.(1 ₎ 1_{(1 1 1 1} ₎ 4

4 4

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 

        

Cộng từng vế của các bất đẳng thức  đpcm. Dấu “=” xảy ra khi x=0

<b>1,0 ®iĨm</b>

</div>

<!--links-->