chuyen de chia het chia co du

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<i><b>Trêng THCS VINH THANH </b></i>

Chia hÕt , chia có d trong toán 6
I- lý thuyết cần nhớ.

<b>1. Định nghĩa.</b>

Vi mi a, bN (b0) ta luụn tỡm đợc số tự nhiên r sao cho
a = bq + r (0 r < b)

a là số bị chia, b là số chia, q là thơng, r là sè d

- Nếu r = 0 ta đợc phép chia hết, tanói rằng a chia hết cho b (a: b), hay a là
bội của b, hay b chia hết a, hay b là ớc của a (b/a).

- Nếu r > 0,ta đợc phép chia có d, ta nói rằng a khơng chia hết cho b (a:b).

<b>2. C¸c tÝnh chÊt vỊ phÐp chia hÕt </b>.<b> </b> <b> </b> (10 tÝnh chÊt)
1) Sè 0 chia hÕt cho mäi sè b0.

2) Sè a chia hÕt cho mäi a0.
3) NÕu a: b, b: c th× ac.

4) Nếu a và b cùng chia hết cho m thì a+b và a-b đều chia hết cho m.
5) - Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia khơng chia hết
cho m thì a+b và a-b đều khơng chia hết cho m.

- NÕu tỉng hoặc hiệu hai số chia hết cho m và một trong hai sè
Êy chia hÕt cho m th× sè còn lại cũng chia hết cho m.

6) Nếu một thừa sè cđa tÝch chia hÕt cho m th× tÝch chia hÕt cho m. Suy ra a

: m th× an : m (nN*).

7) NÕu a: m, b: n th× ab :  mn
Suy ra nÕu a :  b th× an :  bn.

8) Nếu một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó chia hết cho
tích của hai số đó.

9) Nếu tích ab chia hết cho m, trong đó b và m là hai số nguyên tố cùng
nhau thì a chia hết cho m.

10) NÕu mét tÝch chia hÕt cho số nguyên tố p thì tồn tại một thừa số cña tÝch
chia hÕt cho p. Suy ra nÕu an

p, p là ngyên tố thì a p.

<b>3. C¸c dÊu hiƯu chia hÕt .</b> (9 dÊu hiƯu)
Cho sè tù nhiªn M = anan-1...a2a1a0.

1) M 2  a0 0; 2; 4; 6; 8
2) M5  a0 0; 5

3) M3  (an-1 + an-1 +...+ a1 + a0)  3
4) M9  (an-1+ an-1 +...+ a1 + a0)  9
5) M4  a1 a0  4

6) M25  a1 a0 25
7) M8  a2 a1 a0  8
8) M125  a2 a1 a0 125

9) M11  (a0 + a2 +...) - (a1 + a3 +...)  11

 (a1 + a3 +...) - (a0 + a2 +...) 11

<b>4. Các ph ơng pháp giải các bài toán về chia hết.</b>

Có các phơng pháp chính sau:

Phơng pháp 1.Để chứng minh A(n) chia hÕt cho mét sè nguyªn tè p,cã
thĨ xÐt mäi trêng hỵp vỊ sè d khi chia n cho p

<b>VÝ dô1: </b>Chøng minh r»ng A(n)= n(n2_-+1)(n2₊₄₎__{5 víi mäi sè nguyªn n.}

<b> </b>

<b> Gi¶i: </b> Xét mọi trờng hợp:
Với n5 ,rõ ràng A(n) 5

Víi n=5k 1  n2_{= 25k}2_10_₅_ _A(n)_₅
Víi n= 5h2  n2_{= 25k}2

20k+4  5 n2+1 5  A(n) 5

A(n) là tích của ba thừa số trong mọi trờng hợp đều có một thừa số chia hết
cho 5 vậy A(n) 5

<b> </b>Phơng pháp 2. .Để chứng minh A(n) chia hết cho một hợp số m,ta phân tích
m ra thừa số.Giả sử m=p.q.Nếu p và q là số nguyên tố,hay p và q nguyên tố
cùng nhau thì ta tìm cách chứng minh A(n)p và A(n)q(từ đó suy ra A(n)

p.q=m).

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i><b>Trêng THCS VINH THANH </b></i>

<b>VÝ dô2: </b>Chøng minh tÝch cđa ba sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 6

<b> </b>

<b> Gi¶i: </b> Ta cã A(n) = n(n+1)(n+2) và 6=2.3(2 và 3 là số nguyên tố),ta tìm
cách chøng minh A(n)  2 vµ A(n) 3

Trong hai sè tù nhiªn liªn tiÕp bao giê còng cã mét sè chia hÕt cho 2
vËy A(n)  2

Trong ba sè tù nhiªn liªn tiÕp bao giê cịng cã mét sè chia hÕt cho 3
vËy A(n)  3

A(n)  2 vµ A(n) 3 vËy A(n)  2.3=6

<b> </b>

<b> NÕu q và p không nguyên tố cùng nhau </b> thì ta phân tích A(n) ra thừa
số,chẳng hạn A(n)=B(n).C(n) và tìm cách chứng minh B(n) p và C(n)q
(suy ra A(n) =B(n).C(n)  p.q = m )

<b>VÝ dô 3 </b>Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiÕp chia hÕt cho 8

<b> Gi¶i: </b> Gọi số chẵn đầu tiên là 2n,số chẵn tiếp theo lµ 2n+2,tÝch cđa chóng
sÏ lµ A(n) = 2n(2n+2) ta có 8=4.2 và A(n) = 2n(2n+2)=4.n(n+1) đây là tích
của hai thõa sè mét thõa sè lµ 44 vµ thõa số kia là n(n+1) là tích hai số tự

nhiên liªn tiÕp chia hÕt cho 2

<b> </b>V× vËy A(n) = 2n(2n+2)=4.n(n+1) 2.4 =8

Phơng pháp 3.Để C/M A(n) m, có thể biến đổi A(n) thành tổng của nhiều
số hng v

C/M mỗi số hạng chia hết cho m.

<b>Ví dụ </b>4: Chøng minh r»ng n3_-13n

6 víi mäi n thuéc Z

<b>Gi¶i: </b> Ta ph¶i chøng minh A(n) = n3_-13n_₆

Chú ý rằng 13n=12n+n mà 12n6 ,ta biến đổi A(n) thành
A(n) = (n3_{-n)-12n = n(n}2_{-1)-12n=(n-1)n(n+1)-12n}

Mµ (n-1)n(n+1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên (n-1)n(n+1) 6
(VÝ dụ 2)

Và 12n6

Vì vậy (n-1)n(n+1)-12n6 hay A(n) = n3-13n 6

Phơng pháp 4.Để C/M một tổng kh«ng chia hÕt cho m,cã thĨ chøng minh
mét sè hạng của tổng không chia hết cho m còn tất cả các số hạng còn lại
chia hết cho m

<b>v</b>

<b> Ý dô 5 : </b>Chøng minh r»ng víi mäi sè n lỴ :
n2_{+4n+5 không chia hết cho 8}

<b>Giải: </b> Đặt n=2k+1 (nlẻ) ta cã :

n2_+4n+5=(2k+1)2_{+4(2k+1) +5}
= (4k2_{+4k+1+)+ (8k+4)+5}
= (4k2_{+4k) +(8k+8)+2}

Đây là tổng của ba số hạng số hạng đầu bằng (4k2_+4k)=4k(k+1)
8
(ví dụ 3),Số hạng thứ hai chia hết cho 8 số hạng thứ ba không chia hết cho 8
vậy tổng trên không chia hết cho 8

Phơng pháp 5.Phơng pháp phản chứng.

<b>v</b>

<b> Ý dô 6: </b> Chøng minh r»ng a2_{- 8 kh«ng chia hÕt cho 5 víi a}__N.

<b>Gi¶i: </b> Chøng minh bằng phơng pháp phản chứng.

Giả sử A(n)=a2_{- 8}_{5,nghĩa là A(n) phải có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5,}
suy ra a2 _{(là một}_{số chính phơng) phải có chứ số tận cùng là một trong các}
chữ số 3;8 - Vô lý(vì một số chính phơng bao giờ cũng có các chữ số tận
cùng là:0;1;4;6;9)

Vậy a2_{- 8 không chia hết cho 5.}

Ph¬ng pháp 6.Phơng pháp qui nạp.

<b> Ví dụ7: </b>Chøng minh r»ng 16n_-15n-1_₂₂₅

<b> Giải: </b>

Với n=1 thì 16n_{-15n-1=16-15-1=0}₂₂₅
Giả sử 16k_-15k-1_₂₂₅

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i><b>Trêng THCS VINH THANH </b></i>

Ta chøng minh 16k+1_-15(k+1)-1_₂₂₅

Thùc vËy: 16k+1_{-15(k+1)-1=16.16}k_-15k_-15-1

=(16k_{-15k-1)+15.16}k_-15
Theo giả thiết qui nạp 16k_-15k-1₂₂₅

Còn 15.16k_-15=15(16k_-1)__15.15=225
VËy 16n_-15n-1_₂₂₅

II- Mét sè bµi tËp vỊ phÐp chia hÕt vµ chia cã d .

<b>Bài 1: </b> Khi chia số a cho số b ta đợc thơng là 18 và số d là 24. Hỏi thơng và
số d thay đổi thế nào nếu số bị chia và số chia giảm đi 6 lần.

<b>Giải: </b> Theo định nghĩa của phép chia và theo đề bài ta có:
a = b18 + 24 (1)_{(b > 24)}

Nếu số bị chia và số chia b giảm đi 6 lần thì từ (1) ta cã:
a: 6 = (b18 + 24)  6

= b18  6 + 24  6

= (b 6) 18 + 4 (b 6 > 4)

Vậy nếu số bị chia và số chia giảm đi 6 lần thì thơng khơng thay đổi cịn số
d giảm 6 lần.

<b>Bài 2: </b> Khi chia một số tự nhiên a cho 4 ta đợc số d là 3 còn khi chia a cho 9
ta đợc số d là 5. Tìm số d trong phép chia a cho 36.

<b>Giải: </b> Theo đề bài ta có: a = 4q1 + 3 = 9q2 + 5
(q1 và q2 là thơng trong hai phép chia)

Suy ra a + 13 = 4q1 + 3 + 13 = 4(q1 + 4) (1)
a + 13 = 9q2 + 5 + 13 = 9(q2 + 2) (2)

Tõ (1)(2) ta nhËn thÊy a + 13 lµ béi cđa 4 và 9 mà (4; 9) = 1 nên alà béi cña
4.9 = 36.

Ta cã a + 13 = 36k (kN*₎

 a = 36k - 13 = 36(k - 1) + 23
VËy a chia hÕt cho 36cã sè d lµ 23.

<b>Bài 4: </b> Tìm các chữ số x, y, z, để số 579xyz chia hết cho 5;7 và 9.

<b>Giải: </b> Vì các số 5; 7; 9 đơi một nguyên tố cùng nhau nên ta phải tìm các chữ

số x, y, z sao cho 579xyz chia hết cho 5.7.9 = 315.

Ta cã 579xyz= 579000 + xyz = 1838.315 + 30 + xyz
Suy ra 30 + xyz chia hÕt cho 315

V× 30  30 + xyz < 1029 nªn:

NÕu 30 + xyz = 315  xyz = 315 - 30 = 285
NÕu 30 + xyz = 630  xyz = 630 - 30 = 600
NÕu 30 + xyz = 945  xyz = 945 - 30 = 915
VËy x = 2; y = 8; z = 5

x = 6; y = 0; z = 0
x = 9; y = 1; z = 5

<b>Bài 5: </b> Tìm nN biÕt 2n + 7 chia hÕt cho n + 1.

<b>Giải: </b>

Vì (2n + 7) _{(n + 1)} _ __{2n + 7 - 2(n + 1)}_ _{n + 1}

 5 _{n + 1}__{n + 1 lµ íc cđa 5}
Víi n + 1 = 1  n = 0

Víi n + 1 = 5  n = 4
Đáp số: n = 0; n = 4

Bµi tËp:
1.CMR:
a) 8926_-4521

2 ; 20092008-20082009 kh«ng chia hÕt cho 2
b) 10n_-4__{3 ; 9.10}n_{+ 18}_₂₇

c) 4110_-1__{10 ;9}2n_-14_₅

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i><b>Trêng THCS VINH THANH </b></i>

2.CMR

a) (a2_-1)a2__{12 víi a >1}

b) (n-1)(n+1)n2_(n2₊₁₎__{60 víi mäi n}

( Sư dơng PP 2 )

3 CMR víi mäi n lỴ:
a) 4n_+15n-1₉
b)10n_+18n-28

27
(Gợi ý: dùng qui nạp)

4. Tìm số d trong phép chia sau:
a)bình phơng của mét sè lỴ cho 8
b) 21000_{cho 5}

c) 21000_{cho 25}

5.Chøng minh r»ng víi mäi n

_

Z :
a) n2_-n

2 ; b)n3-n3 ; c) n5 -n5

(phân tích thành các tích và áp dông PP1)

</div>

<!--links-->