chuyen de chia het

chuyên đề: Giải bài toán chia hết
I.Lí thuyết liên quan đến chuyên đề:
Các tính chất chia hết
1) 0 chia hết b b 0
2) a chia hết a a 0
3) Nếu a chia hết cho b; b chia hết cho c thì a chia hết cho c
4) Nếu a chia hết cho m; b chia hết cho m thì a b chia hết cho m
5) Nếu a chia hết cho m; b không chia hết cho m thì a b không chia hết cho
m
6) Nếu a b chia hết cho m; a chia hết cho m thì b chia hết cho m
7) Cho tích a
1
.a
2
. . . a
n
.
Nếu a
i
chia hết cho ; i = 1; n thì a
1
.a
2
. . . a
n
chia hết cho m
8) Nếu a chia hết cho m thì a
n
chia hết cho m (n N*)
9) Nếu a chia hết cho m; b chia hết cho n thì ab chia hết cho mn
=> a chia hết cho b thì a

n
chia hết cho b
n
.
10) Nếu a chia hết cho b; a chia hết cho c; (b; c) = 1 thì a chia hết cho bc
11) Nếu ab chia hết cho m; (b; m) = 1 thì a chia hết cho m
12) Nếu ab chia hết cho p, p là số nguyên tố thì a chia hết cho p
b chia hết cho p
13) Cho a, b Z; n N; n 1 thì:
(a
n
- b
n
) chia hết cho a - b nếu a b.
(a
2n + 1
+ b
2n +1
) chia hết cho (a + b) nếu a - b.
Các dấu hiệu chia hết
1) Dấu hiệu chia hết cho 2: Một số chia hết cho 2 <=> chữ số tận cùng của nó
là chữ số chẵn.
2) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9): một số chia hết cho 3 (hoặc 9) <=> tổng
các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9).
* Chú ý: một số chia hết cho 3 (hoặc 9) d bao nhiêu thì tổng các chữ số của
nó chia cho 3 (hoặc 9) cũng d bấy nhiêu.
3) Dấu hiệu chia hết cho 5: Một số chia hết cho 5 <=> chữ số tận cùng của nó
là 0 hoặc 5.
4) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25): Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) <=> số
tạo bởi 2 chữ số tận cùng của nó chia hết cho 4 hoặc 25.

5) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125) <=> số tạo bởi 3 chữ số tận cùng của
nó chia hết cho 8 hoặc 125.
6) Dấu hiệu chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11 <=> hiệu giữa tổng các
chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ số ở hàng chẵn tính từ trái sang phải chia
hết cho
II. Các Phơng pháp giải bài toán chia hết:
(I). Để chứng minh A(n): k có thể sét mọi trờng hợp về số dự khi chia n cho k.
VD: Chứng minh:
a) Tích của hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2
b) Tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3
c) Tổng quát: tích của n số nguyên liên tiếp chia hết cho n

Giải
a) A(n) = n (n+1)
+ Nếu n không chia hết cho 2 thì (n+1) chia hết cho 2 và ngợc lại. Trong mọi trờng
hợp
+ A(n) luôn chứa 1 thừa số chia hết cho 2. Vậy A(n) chia hết cho 2 (đpcm).
b) A(n) = n(n+1)(n+2)
Xét mọi trờng hợp : n chia hết cho 3; n=3q+1; n = 3q+2
+ Nếu n chia hết cho 3, hiển nhiên A(n) chia hết cho 3
+ Nếu n = 3q+1 => n+2 = 3q+3 chia hết cho 3
+ Nếu n= 3q+2 => n+1 = 3q+2+1 = 3q+3 chia hết cho 3
Trong mọi trờng hợp A(n) luôn chứa một thừa số chia hết cho 3.
Vậy A(n) chia hết cho 3 (đpcm)
c) Giả sử dãy số đó là: a; a+1; a+2; . . . ; a+(n-1)
Giả sử trong dãy số không tại số nào chia hết cho n => Khi chia n số của dãy cho n
sẽ có n-1 số d là 1; 2; 3; . . .; n-1
Dãy có n số mà khi chia cho n lại chỉ có n-1 số d. Vậy tồn tại ít nhất 2 số khi chia
cho n có cùng số d. Giả sử 2 số đó là: a+i; a+k (0 i < k)
=> (a+k) - (a+i) chia hết cho n <=> (k-i) chia hết cho n

mà 0 < k-i < n => (k-i) không chia hết cho n (k-i) chia hết cho n là vô
lí.
Vậy trong dãy phải tồn tại một số chia hết cho n
=> tích của cả dãy số chia hết cho n (đpcm)
(II) Để chứng minh A(n) chia hết cho k có thể phân tích k ra thừa số k = p . q
+ Nếu (p ; q) =1 ta tìm cách chứng minh
A(n) chia hết cho p và A(n) chia hết cho q
+ Nếu (p, q) khác 1 ta phân tích A(n)= B(n). C(n) rồi chứng minh B(n) chia hết cho
p; C(n) chia hết cho q
VD1: chứng minh rằng A(n) = n . ( n+1 ).(n+2) chia hết cho 6
Giải
Ta có : 6 = 2.3 ; (2;3) = 1
Theo ví dụ ở phần (I) ta có A(n) chia hết cho 2; A(n) chia hết cho 3
Vậy A(n) chia hết cho 6 (đpcm)
VD2: chứng minh rằng: tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
Giải: A(n) = 2n( 2n + 2 ) = 4n( n+1 )
8 = 2.4; ( 2; 4) 1
Nhận xét : 4 chia hết cho 4 => 4.n(n+1) chia hết cho 4.2
n(n+1) chia hết cho 2 =>A(n) chia hết cho 8 (đpcm)
(III) Để chứng minh A(n) chia hết k có thể viết A(n) dới dạng tổng của nhiều hạng
tử và chứng minh các hạng tử này đều chia hết cho k
Để chứng minh A(n) không chia hết cho k ta có thể viết A(n) dới dạng tổng
của nhiều hạng tử trong đó có duy nhất một hạng tử không chia hết cho k
VD: Chứng minh rằng:
a) A(n) = n
3
- 13n chia hết cho 6
b) B(n) = n
2
+ 4n + 5 không chia hết cho 8 (với mọi n lẻ)

Giải
a) A(n) = (n
3
- n) - 12n = (n-1).n(n+1) - 12n
(n-1).n(n+1) chia hết cho 6 (theo ví dụ phần I)
12n chia hết cho 6
Vậy A(n) chia hết cho 6 (đpcm)
b) B(n) = n
2
+ 4n + 5
với n = 2k + 1 ta có: B(n) = (2k + 1)
2
+ 4(2k +1) + 5
B(n) = 4k(k +1) + 8(k + 1) + 2
Nhận xét: 4k(k +1) chia hết cho 8
8(k + 1) chia hết cho 8 => B(n) = 4k(k +1) + 8(k+1) + 2 chia hết
cho 8
2 không chia hết cho 8
(IV) Để chứng minh A(n) chia hết cho k có thể phân tích A(n) thành nhân tử trong
đó có một nhân tử bằng k.
A(n) = k . B(n).
Trờng hợp này thờng sử dụng các kết quả:
* (a
n
- b
n
) chia hết cho (a - b) với (a b)
* (a
n
- b

n
) chia hết cho (a - b) với (a b; n chẵn)
(a
n
- b
n
) chia hết cho (a - b) với (a - b; n lẻ)
VD: Chứng minh rằng: 2
7
+ 3
7
+ 5
7
chia hết cho 5
Giải
Vì 7 là số lẻ nên (2
7
+ 3
7
) chia hết cho (2 + 3)
hay 2
7
+ 3
7
chia hết cho 5
=> 2
7
+ 3
7
+ 5

7
chia hết cho 5 (đpcm)
mà 5
7
chia hết cho 5
(V) Dùng nguyên tắc Đirichlet:
Nếu nhốt k chú thỏ vào m chuồng ( k > m ) thì phải nhốt ít nhất 2 chú thỏ vào
chung 1 chuồng.
VD: Chứng minh rằng : Trong m+1 số nguyên bất kì bao giờ cũng tồn tại 2 số có
hiệu chia hết cho m .
Giải
Khi chia 1 số nguyên bất kì cho m thì số d là 1 trong m số: 0; 1; 2; . . .; m - 1.
Theo nguyên lí Đirichlet khi chia m + 1 số nguyên cho m thì phải có ít nhất 2 số có
cùng số d. Hiệu của 2 số này chia hết cho m (đpcm).
(VI) Dùng qui nạp toán học:
VD: Chứng minh rằng: 16
n
- 15n - 1 chia hết cho 225
Giải
Đặt A(n) = 16
n
- 15n - 1.
+ Với n = 1 => A(1) = 16 - 15 - 1 = 0 chia hết cho 225 (đúng)
+ Giả sử A(n) với n = k. Tức là:
16
k
- 15k - 1 chia hết cho 225
Ta cần chứng minh A(n) đúng với n = k + 1
Tức là: A(k +1) chia hết cho 225 là đúng.
Xét A(k +1) = 16

k + 1
- 15(k + 1) - 1
= 16.16
k
- 15k - 15 -1
= (16
k
- 15k -1) + (15.16
k
- 15)
= A(k) + 15(16
k
- 1).
Do A(k) chia hết cho 225
16
k
- 1 chia hết cho 16 - 1 (= 15) => 15(16
k
- 1) chia hết cho 225
=> A(k + 1) chia hết cho 225
Khi gp nhng bi toỏn chng minh vi l s t nhiờn, ta vn thng dựng phng
phỏp quy np. C th lc ca cỏch gii ny l:

Gi s , ta chng minh . Nhng ý rng nu thỡ
Vỡ vy cú th xem õy l mt bin dng ca phng phỏp quy np, chng minh ta
qua hai bc:


p dng phng phỏp ny, ta cú th gii c mt lot cỏc bi toỏn chia ht khỏ cng
knh.

Vớ d 1: Chng minh cú chia ht cho 125.
Li gii: Cú .
Xột nhng
nờn (pcm)
Vớ d 2: Chng minh cú chia ht cho 64.
Li gii:Cú
Xột
Li ỏp dng phng phỏp trờn vi
Một số bài tập áp dụng
* Sử dụng phơng pháp (I)
Bài tập 1: Chứng minh rằng(CMR): Trong k số nguyên liên tiếp có một và chỉ một
số chia hết cho k
Bài tập 2: CMR: Trong m số nguyên bất kì bao giờ cũng có 1 số chia hết cho m
hoặc ít nhất 2 số có tổng chia hết cho m.
* Sử dụng phơng pháp (II)
Bài tập 3: CMR: Tích của 1 số chính phơng với số tự nhiên đứng liền trớc nó là số
chia hết cho 12.
Bài tập 4: CMR: A(n) = (n - 1)(n + 1).n
2
(n
2
+ 1) chia hết cho 60 n Z
Bài tập 5: CMR:
a) n
2
+ 4n + 3 chia hết cho 8 ( n lẻ)
b) n
3
+ 4n
2

- n - 3 chia hết cho 48 ( n lẻ)
Bài tập 6: CMR: A(n) = n
4
+ 6n
3
+ 11n
2
+ 6n chia hết cho 24 ( n N)
*Sử dụng phơng pháp (III)
Bài tập 7: Cho a, b N. CMR:
a) Nếu a + 4b chia hết cho 13 thì 10a + b chia hết cho 13 và ngợc lại.
b) Nếu 3a + 2b chia hết cho 17 thì 10a + b chia hết cho 17 và ngợc lại.
Bài tập 8: CMR:
a) Nếu 3
n
+ 1 chia hết cho 10 thì 3
n + 4
+ 1 chia hết cho 10
b) Nếu (mn + pq) chia hết cho (m - p), thì (mq + np) chia hết cho (m - p)
( m, n, p, q Z; m p)
c) Nếu a - b chia hết cho 6 thì: a + 5b chia hết cho 6; a + 17b chia hết cho b;
a - 14b không chia hết cho 6.
Bài tập 9: CMR:
a) Nếu bx + 11y chia hết cho 31 thì k + 7y chia hết cho 31. Điều ngợc lại có đúng
không ?
b) (5x + 2y) chia hết cho 17 <=> 9x + 7y chia hết cho 17.
*Sử dụng phơng pháp (IV)
Bài tập 10: CMR: (1
3
+ 3

3
+ 5
3
+ 7
3
) chia hết cho 2
3
Bài tập 11: CMR: (3 + 3
3
+ 3
5
+ 3
7
+ . . . + 3
2n 1
) chia hết cho 30 (n Z
+
)
Bài tập 12: CMR: (12
2n + 1
+ 11
n +2
) chia hết cho 133 (n Z
+
)
Bài tập 13: CMR: S
1
= (5 + 5
2
+ 5

3
+ . . . + 5
100
) chia hết cho 6
S
2
= (2 + 2
2
+ 2
3
+ . . . + 2
100
) chia hết cho 31
S
3
= (16
5
+ 2
15
) chia hết cho 33