Nghiên cứu về một số phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƢỜNG ĐẠI HOC SƢ PHẠM ĐÀ NẴNG

BÙI QUANG CƢỜNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ
NGHIÊN CỨU VỀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM
GẦN ĐÚNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

CHUYÊN NGÀNH: PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 8460113

ĐÀ NẴNG - NĂM 2020


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƢỜNG ĐẠI HOC SƢ PHẠM ĐÀ NẴNG

BÙI QUANG CƢỜNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ
NGHIÊN CỨU VỀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM
GẦN ĐÚNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

CHUYÊN NGÀNH: PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 8460113
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Lê Hải Trung

ĐÀ NẴNG - NĂM 2020

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... ii
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................... 1
2. Mục tiêu nghiên cứu .......................................................................................... 1
3. Đối tƣợng nghiên cứu........................................................................................ 1
4. Phạm vi nghiên cứu ........................................................................................... 1
5. Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................................ 2
6. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................... 2
7. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài .......................................................... 2
CHƢƠNG I. KIẾN THỨC CƠ SỞ ....................................................................... 3
1.1. Phƣơng trình nhƣ thế nào là phƣơng trình phi tuyến ..................................... 3
1.2. Giới thiệu các phƣơng pháp giải phƣơng trình phi tuyến .............................. 4
1.2.1. Các phƣơng pháp giải nghiệm đúng. .......................................................... 4
1.2.2. Các phƣơng pháp giải nghiệm gần đúng..................................................... 4
1.3. Các bất đẳng thức thơng dụng trong chƣơng trình phổ thơng ....................... 4
1.4. Sai số và các tính chất của sai số.................................................................... 6
1.5. Đánh giá sai số nghiệm của phƣơng trình phi tuyến...................................... 7
1.6. Nghiệm và khoảng phân li nghiệm ................................................................ 8
1.7. Hàm số đồ thị lồi, lõm .................................................................................. 13
CHƢƠNG II. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM ................................ 14
CỦA PHƢƠNG PHI TUYẾN ........................................................................... 14
2.1. Một số phƣơng pháp tìm nghiệm đúng của các phƣơng trình phi tuyến trong
trƣờng phổ thơng ................................................................................................. 14
2.1.1. Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng .......................................................... 14

2.1.2. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ đƣa về phƣơng trình ........................................ 15
2.1.3. Phƣơng pháp hàm số ............................................................................... 18
2.1.4. Phƣơng pháp đánh giá hai vế .................................................................. 19
iii


2.1.5. Phƣơng pháp lƣợng giác giác hóa. ........................................................... 22
2.2. Một số phƣơng pháp giải gần đúng nghiệm của phƣơng trình phi tuyến một
ẩn ......................................................................................................................... 24
2.2.1. Phƣơng pháp chia đôi ................................................................................ 24
2.2.2 Phƣơng pháp lặp đơn.................................................................................. 29
2.3. Phƣơng pháp Newton (tiếp tuyến). .............................................................. 39
2.4. Phƣơng pháp dây cung ................................................................................. 46
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 56

iv


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phƣơng trình phi tuyến là một dạng tốn hay và rất khó đối với giáo
viên cũng nhƣ học sinh trong trƣờng phổ thơng, nó là sự tích hợp lồng ghép các
hàm số nhƣ: Hàm đa thức, hàm lƣợng giác, hàm logarit, hàm mũ, hàm vô tỉ,…
việc biến đổi sơ cấp để đƣa về các phƣơng trình thƣơng gặp khơng hề đơn giản,
nghiệm của chúng nhiều khi là nghiệm vô tỉ, nghiệm gần đúng hay phải biểu
diễn theo các số siêu việt nhƣ  , e. Việc giải các phƣơng trình phi tuyến có thể
tìm đƣợc nghiệm đúng chính xác. nhƣng hầu nhƣ là rất khó và thơng thƣờng rất
hiếm có thể tìm đƣợc nghiệm chính xác, do đó hƣớng tập trung cho việc giải
một phƣơng trình phi tuyến thƣờng đƣợc đƣa về tìm nghiệm gần đúng với một

sai số cho trƣớc nào đó. Đƣợc sự gợi ý của thầy giáo TS. Lê Hải Trung tôi chọn
đề tài: “Nghiên cứu về một số phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương
trình phi tuyến” cho luận văn thạc sĩ của mình.
2. Mục tiêu nghiên cứu
- Hệ thống lại các kiến thức về Phƣơng trình đa thức, Phƣơng trình vơ tỉ,
Phƣơng trình lƣợng giác, Phƣơng trình mũ, Phƣơng trình logarit.
- Hệ thống lại kiến thức về cơng thức nghiệm gần đúng, các định lý về hàm số
liên tục, định lý Lagrange…
- Nghiên cứu về phƣơng pháp giải (nghiệm đúng và gần đúng) phƣơng trình
phi tuyến.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
- Nghiên cứu về phƣơng trình phi tuyến một biến thực.
4. Phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu về phƣơng trình phi tuyến một biến thực, nghiên cứu về các
phƣơng pháp giải phƣơng trình phi tuyến một biến thực.

1


5. Nhiệm vụ nghiên cứu
-Trình bày một số phƣơng pháp giải các dạng phƣơng trình đa thức, phƣơng
trình vơ tỉ, phƣơng trình lƣợng giác, phƣơng trình mũ, phƣơng trình logarit và
một số phƣơng trình hỗn hợp.
- Đề xuất và đƣa ra các phƣơng pháp giải các dạng phƣơng trình phi tuyến.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Tìm kiếm, tổng hợp các tài liệu liên quan đến phƣơng trình phi tuyến.
- Vận dụng các kiến thức liên quan đến phƣơng trình phi tuyến và các phƣơng
pháp giải hệ đã học.
- Trong luận văn có sử dụng các kiến thức thuộc các lĩnh vực nhƣ: Giải tích,
Đại số, phần mềm tốn Mathematica…

7. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài cung cấp những thơng tin cần thiết để có thể áp dụng vào giải các bài
tốn về phƣơng trình phi tuyến. Đề tài có thể đƣợc sử dụng để làm tài liệu tham
khảo cho học sinh, sinh viên, giáo viên dạy Tốn trong chƣơng trình THPT và
các đối tƣợng quan tâm đến phƣơng trình phi tuyến .

2


CHƢƠNG I. KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Phƣơng trình nhƣ thế nào là phƣơng trình phi tuyến
Trong chƣơng trình phổ thơng, phƣơng trình phi tuyến chƣa đƣợc định nghĩa
một cách cụ thể, vậy làm thế nào trả lời đƣợc câu hỏi: Phƣơng trình nhƣ thế nào
là phƣơng trình phi tuyến ? Trƣớc tiên ta tìm hiểu khái niệm về phƣơng trình
tuyến tính.
Định nghĩa 1.1. Một mối quan hệ (biểu thức) nhƣ sau đƣợc gọi là phƣơng trình
tuyến tính:
a) Phƣơng trình tuyến tính bậc nhất một ẩn:
f x1

a0

a1x1

0.

b) Phƣơng trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn:
f x1, x2

a0

a1x1

a2 x2

0.

c) Trƣờng hợp tổng q ta có phƣơng trình tuyến tính bậc nhất n ẩn là:

f  x1; x2 ;...; xn   a0  a1 x1  ...  an xn .
Đồ thị của hàm số là một siêu phẳng.
Ví dụ 1.1. Phƣơng trình tuyến tính 1 ẩn:
3x

2

0.

Tập nghiệm của phƣơng trình có một phần tử biểu diễn trên trục số.
Ví dụ 1.2. Phƣơng trình tuyến tính 2 ẩn:
3x

2y 1

0.

Tập nghiệm của phƣơng trình biểu diễn hình học là đƣờng thẳng trong mặt
phẳng tọa độ Oxy.
Ví dụ 1.3. Phƣơng trình tuyến tính 3 ẩn:
3x

2y

4z 1

0.

Tập nghiệm của phƣơng trình biểu diễn hình học là mặt phẳng trong không
gian Oxyz .

3


Tất cả các dạng phương trình khơng phải là tuyến tính ta gọi chúng là
phương trình phi tuyến.
1.2. Giới thiệu các phƣơng pháp giải phƣơng trình phi tuyến
Trong chƣơng trình THPT chủ yếu chúng ta tập trung nghiên của về phƣơng
pháp giải các phƣơng trình phi tuyến một ẩn số. Khi tiếp cận với phƣơng trình
phi tuyến ta có các phƣơng giải thƣờng gặp:
1.2.1. Các phƣơng pháp giải nghiệm đúng.
Đối với phƣơng trình giải đƣợc nghiệm đúng thì ta thƣờng dùng các phƣơng
pháp biến đổi sơ cấp nhƣ: biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, biến đổi thành
phương trình tích, dùng phương pháp hàm số, dùng các bất đẳng thức đƣa về
dạng đơn giản và ta giải đƣợc nghiệm đúng của phƣơng trình.
1.2.2. Các phƣơng pháp giải nghiệm gần đúng.
Có những phƣơng trình phi tuyến phức tạp mà nghiệm là số vơ tỉ, số siêu việt thì
ta khơng thể áp dụng đƣợc các phƣơng pháp thông thƣờng nhƣ trên, ta có thể
giải nghiệm gần đúng bằng các phƣơng pháp sau đây:
+ Phƣơng pháp chia đôi
+ Phƣơng pháp lặp đơn

+ Phƣơng pháp Newton (tiếp tuyến).
+ Phƣơng pháp dây cung
1.3. Các bất đẳng thức thơng dụng trong chƣơng trình phổ thơng
Bất đẳng thức Cauchy (xem [1]) đƣợc biểu diễn dƣới các dạng sau đây:
Cho x1, x2, x3 ,..., xn là các số thực khơng âm, khi đó ta có:
Dạng 1:
x1  x2  ...  x n



x1 .x2 ...x n .

(1.1)

x1  x2  ...  x n  n. n x1.x 2...x n .

(1.2)

n

n

Dạng 2:

4


Dạng 3:
n

 x1  x2  ...  x n 

  x1.x2 ...x n .
n



(1.3)

Dấu bằng của (1.1), (1.2) và (1.3) xảy ra khi và chỉ khi:
x1  x2  ...  x n .

Ngồi ra ta cũng có một số biến thể của bất đẳng thức Cauchy nhƣ sau: cho
x1, x2, x3 ,..., xn là các số thực dƣơng, khi đó ta có:
Dạng 1:
1
1
1
n2

 ... 

.
x1 x 2
xn
x1  x2  ...x n

(1.4)

Dạng 2:

x

1

 1
1
1 
2
 x2  ...x n  
 ... 
  n .
x
xn 
 1 x2



1.5

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1  x2  ...  xn .
Bất đẳng thức Bunhiacopxki và các dạng biểu diễn của bất đẳng thức
Bunhiacopxki đƣợc biểu diễn bằng các biểu thức sau đây:
Cho hai dãy số tùy ý a1; a2; a 3; ...; a n và b1; b2 ; b3; ...; bn . Khi đó ta có:
Dạng 1:

a

2
1

 a22  ...  a 2n

b

 



2

 b22  ...  b2n  a 1b1  a 2b2  ...  a nb n .

2
1

1.6 

Dạng 2:

a

2
1

 a22  ...  a 2n

b



 b22  ...  b2n  a 1b1  a 2b2  ...  a nb n .

2
1

1.7 

- Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 1 và dạng 2 khi:
a1
b1



a2
b2

 ... 

an
bn

.

Dạng 3:

a

2
1

 a22  ...  a 2n

b

2
1



 b22  ...  b2n  a 1b1  a 2b2  ...  a nb n .

5

1.8 


- Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 3 khi:
a1
b1



a2
b2

 ... 

an
bn

 0.

Dạng 4: Cho hai dãy số tùy ý a1; a2 ; ...; a n và x1 ; x2 ; ...; x n ,
với x1; x2 ; ...; xn  0.
Khi đó ta có:





2

a1  a 2  ...  a n
a12 a 22
a 2n

 ... 

.
x1 x 2
xn
x1  x2  ...  x n

1.9

Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 4 khi:
a1
x1



a2
x2

 ... 

an
xn

 0.

1.4. Sai số và các tính chất của sai số
Định nghĩa 1.2 (xem [4]). Nếu a là số gần đúng của số đúng a thì
a  a  a

đƣợc gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.
Định nghĩa 1.3. Nếu a  a  a  d thì a  d  a  a  d . Ta nói a là số gần
đúng của a với độ chính xác d, và quy ƣớc viết gọn là a  a  d .
Định nghĩa 1.4. Sai số tƣơng đối của số gần đúng a là tỉ số giữa sai số tuyệt
đối và a , kí hiệu a 

a
.
a

 a càng nhỏ thì độ chính xác của phép đo đạc hoặc tính tốn càng lớn.
 Ta thƣờng viết a dƣới dạng phần trăm.
Trong thực hành ta thƣờng cần làm tròn số, việc làm đó đƣợc gọi là phép
tính quy trịn. Việc quy tròn số đƣợc thực hiện theo quy tắc sau đây:

 Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó
và các chữ số bên phải nó bởi số 0.
 Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay thế chữ số

6


đó và các chữ số bên phải nó bởi số 0 và cộng thêm một đơn vị vào chữ số ở
hàng qui tròn.
Nhận xét 1.1. Khi thay số đúng bởi số qui trịn đến một hàng nào đó thì sai số
tuyệt đối của số qui trịn khơng vƣợt q nửa đơn vị của hàng quy trịn. Nhƣ
vậy, độ chính xác của số qui tròn bằng nửa đơn vị của hàng quy tròn.
Định nghĩa 1.5. Cho số gần đúng a của số a với độ chính xác d. Trong số a,
một chữ số đƣợc gọi là chữ số chắc (hay đáng tin) nếu d không vƣợt quá nửa
đơn vị của hàng có chữ số đó.
Nhận xét 1.2. Tất cả các chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc.
Tất cả các chữ số đứng bên phải chữ số không chắc đều là chữ số không chắc.
1.5. Đánh giá sai số nghiệm của phƣơng trình phi tuyến
Khi tìm nghiệm gần đúng của phƣơng trình phi tuyến ta thƣờng thiết lập
một dãy các số: x0 , x1 ,..., xn ,... sao cho khi n

thì xn

, trong đó

là nghiệm đúng của phƣơng trình:

f x

0.

1.10

Do giả thuyết liên tục của hàm số f(x) nên ta có:

lim
xn

nghĩa là khi xn khá gần

f xn

f

0,

thì f xn khá gần f

hay xn thực sự có thể xem là xấp xỉ với nghiệm

có thể xem f xn

.

Trong thực tế khi tính tốn xấp xỉ ngƣời ta thƣờng cho trƣớc số
nhỏ để

xn

0,

0 đủ

thì chọn xn làm nghiệm xấp xỉ và dừng lại q trình tính

tốn.
Định lí 1.1. (xem [2]). Xét phương trình (1.10) và có nghiệm là   a, b , và
xn  a, b  được xem là giá trị gần đúng của  . Khi đó ta có:

xn   

 

f xn

m

trong đó m là một số dương thỏa mãn:
f '  x   m  0,  x  a, b  .

7


1.6. Nghiệm và khoảng phân li nghiệm
Xét phƣơng trình phi tuyến 1.10
trong đó hàm y

f x là hàm số một ẩn x cho trƣớc, nghiệm thực của phƣơng

trình (1.10) là số thực

sao cho f

0.

Ý nghĩa hình học của nghiệm.
Nghiệm thực của phƣơng trình là hồnh độ giao điểm của đồ thị (C) của
hàm số y

f x với Ox.

Đồ thị:
y

(C)

a

b

O

x

Định lí 1.2. (Xem [1]).Cho hàm số f liên tục trên đoạn a; b  . Nếu f(a) f(b)  0
thì tồn tại ít nhất một số c   a; b  sao cho f(c)  0 . Khi đó số c là nghiệm của
phƣơng trình.
Hình vẽ:

c

Chú ý : Ta có thể phát biểu định lí theo cách khác nhƣ sau:
Cho hàm số f liên tục trên đoạn a; b  . Nếu f(a) f(b)  0 thì phƣơng trình
f(x)  0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b) .

Khoảng phân li nghiệm (Còn gọi là khoảng tách nghiệm).
8


Định nghĩa 1.6. Khoảng
trình f x

a; b

nào đó gọi là khoảng phân li nghiệm của phƣơng

0 1 nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phƣơng trình đó.

Định lí 1.3. (xem [3]). Nếu

a; b

là một khoảng trong đó hàm số y

và đơn điệu đồng thời f a . f b

f x liên tục

0 thì a; b là khoảng phân li nghiệm của

phƣơng trình.
Đồ thị.
f b

a

b

f a

Chú ý: Nếu hàm số y

f x có đạo hàm thì ta thay điều kiện đơn điệu bằng điều

kiện đạo hàm không đổi dấu .
Phƣơng pháp tìm khoảng phân li nghiệm.
Phương pháp đồ thị.
+ Trƣờng hợp 1: Nếu y

f x hàm là hàm đơn giản, dễ vẽ đồ thị thì thực hiện

các bƣớc:
1. Vẽ đồ thị hàm y

f x

2. Dựa vào số giao điểm của đồ thị của hàm số với trục hoành ta suy ra số
nghiệm và khoảng phân li nghiệm.
+ Trƣờng hợp 2: Nếu y

f x hàm là hàm phức tạp không vẽ đƣợc đồ thị thì

ta thực hiện các bƣớc sau:
1. Biến đổi: f x

0

2. Vẽ đồ thị hàm y

g x

h x

g x và y

h x

3. Dựa vào số giao điểm của hai đồ thị hàm số y
ra số nghiệm và khoảng phân li nghiệm.

9

g x và y

h x ta suy


y

y

h x

x

y

g x

Chú ý: Nếu không vẽ được đồ thị ta thực hiện cách khác.
Giả sử ta phải tìm nghiệm phƣơng trình f x

0 1 trên (a; b) ta tính giá

trị f a ; f b và các giá trị f xi của hàm số tại các điểm xi

a; b , i

f x đơn điệu chặt trên

1

Nếu hàm y

xi ; xi

1

và f xi f xi

1, n
0.

thì xi ; xi 1 là một khoảng phân li nghiệm.
Nhận xét 1.3.
1. Một đa thức bậc n có khơng q n nghiệm vì vậy phƣơng trình đa thức có
khơng q n khoảng cách li.
f x có thể tính đạo hàm và xét dấu đơn giản thì ta lập bảng

2. Nếu hàm y

biến thiên để dị các khoảng cách li nghiệm.
x5

Ví dụ 1.3. Chứng minh phƣơng trình: f x

x2

2x 1

nghiệm thực và tìm khoảng phân li nghiệm.
Lời giải

x5
Từ vế phải:

x
x

1

2

1

2

x2
0
1

2x 1

x5

0

x5

0

x

x5

1

x 1.

10

2

x 1 .

0 ngƣợc lại :

0 có đúng 1


Vì vậy ta chỉ xét trên 1;

5x4

f' x

.

2 = 2x x3 1

2x

f đồng biến trên 1;

2 x4 1

x4

, mặt khác f 1 . f 2

0, x

1;

0.

Vậy phƣơng trình đã cho có đúng một nghiệm thực và khoảng phân li
nghiệm là 1;2 .
Ví dụ 1.4. Cho phƣơng trình:
f x

x3

2x

5

0.

Chứng minh phƣơng trình có nghiệm thực và tìm khoảng phân li nghiệm.
Lời giải

x3

Hàm số: f x

5 xác định và liên tục trên tập số thực.

2x
3x 2

f' x

2; f ' x

0

2
.
3

x

Bảng biến thiên:

x



y

+

2

2

3

3

0

–



0

+



y

f

2
3



Vì

f

2
3

45 4 6

9

0

nên đồ thị hàm số chỉ cắt Ox tại một điểm duy

nhất.

Suy ra phƣơng trình đã cho chỉ có một nghiệm thực duy nhất.
Đồng thời: f

3 .f

2

16

0 nên khoảng (-3; -2) chứa nghiệm của phƣơng

trình. Vậy 
 3; 2 là khoảng phân li nghiệm.
11


3x

Ví dụ 1.5. Cho phƣơng trình: f x

2x

3

0.

Chứng minh phƣơng trình có nghiệm thực và tìm khoảng phân li nghiệm (*).
Lời giải
Ta có : 3

x

2x

Vẽ đồ thị hàm y

3

0

y

3x

y

3 2 x.

3x và y

3 2 x.

Đồ thị:
8

6

x2 = 2.04
4

x1 = 1.00
xO = 0.00

2

2
10

O

5

5

1

10

15

20

2

4

6

8

Từ đồ thị ta suy ra đƣợc giao điểm của hai đồ thị thuộc khoảng (0;1)
hàm y

3x đồng biến , y

3 2x

nghịch biến nên phƣơng trình (*) có nghiệm

duy nhất thuộc khoảng (0;1).
Vậy khoảng phân li nghiệm của phƣơng trình (2) là 0;1 .
Ví dụ 1.6. Tìm các khoảng phân li nghiệm của phƣơng trình :
x cosx 2 x2

3x 1

0.

Lời giải
Hàm số f x

f' x

f' x

x cosx 2 x 2
cosx x sin x
0 x

3x 1 xác định và liên tục trên tập số thực.
4x

3.

1;0 ; f ' x

0 x

12

1;2 .


Bảng dấu:
x
f(x)

-

-2

-1

0

1

2

-

-

+

+

-

Kết
-

luận:
các

khoảng phân li nghiệm là (-1; 0) và (1; 2).
1.7. Hàm số đồ thị lồi, lõm
Định nghĩa 1.7. Cho hàm số y

f x

có đạo hàm trên khoảng

a; b .

+ Đồ thị của hàm số là lõm trên a; b nếu f ' x tăng trên khoảng a; b .
Tại mọi điểm trên đồ thị tiếp tuyến d luôn nằm dưới đồ thị ( xem hình vẽ).
+ Đồ thị của hàm số là lồi trên a; b nếu f ' x giảm trên khoảng a; b .
Tại mọi điểm trên đồ thị tiếp tuyến d luôn nằm trên đồ thị (xem hình vẽ).
y

y

f x

d

y
d
y

f x

x
x
O

a

O

b

Định lí 1.4. Cho hàm số y

a

b

f x có đạo hàm cấp 2 trên khoảng

+ Nếu f '' x

0, x

a; b thì đồ thị hàm số lõm trên khoảng

+ Nếu f '' x

0, x

a; b thì đồ thị hàm số lồi trên khoảng

13

a; b .

a; b .
a; b .


CHƢƠNG II. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM
CỦA PHƢƠNG PHI TUYẾN

2.1. Một số phƣơng pháp tìm nghiệm đúng của các phƣơng trình phi tuyến
trong trƣờng phổ thơng
2.1.1. Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng
Dùng các phép biến đổi tương đương đưa phương trình phức tạp thành dạng
đơn giản đã học.
Ví dụ 2.1. Giải phƣơng trình:







e2x  x2  2016 ex  3 x2  2019



 2.1

Lời giải

 2.1  e2x  3ex   x2  2019  ex  3 x2  2019  = 0



 







 ex ex  3  x2  2019 ex  3 = 0  ex  3

e

x



 x 2  2019  0

ex  3  0

 x  ln3.
ex  x2  2019  0  vn 


Ví dụ 2.2. Giải phƣơng trình:

 2.2

x2  x  1  x2  x  1  4  x.
Lời giải
Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với:

2
4


x

x
 x 1  0

x2  x  1  x 2  x  1  4  x  
2
4  x  2  4  x  x  x  1




3  x  1
x  0
x2  2x  3  0



 x  0
 x  11  185
3
2
4x  11x  4x  0   2

8
  4x  11x  4  0
 11  185 

 .
8






- Kết luận: Tập nghiệm của phƣơng trình đã cho là T  0;

14




2.1.2. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ đƣa về phƣơng trình
Ví dụ 2.3. Giải phƣơng trình:







2



2

3 x 2  2 x  1  2 x 2  3x  1  5 x 2  0

 2.3

Lời giải
Do x  0 khơng là nghiệm của phƣơng trình, chia hai vế của phƣơng
2

2

1
1




trình cho x ta đƣợc : 3 x   2   2  x   3   5  0 .
x
x




2

1
Đặt y  x  , phƣơng trình đã cho trở thành:
x

3  y  2   2  y  3  5  0
2

2

y 1
.
 y2  1  0  
y


1


1
1  5

x


1
x



x
2


.
1

1


5
 x   1
x 

x

2


 1  5 1  5 

;
Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là S  
.
2
2





Ví dụ 2.4. Giải phƣơng trình:
x4  9 x3  16 x2  18x  4  0

Lời giải

 2.4   x4  9 x  x2  2   16 x2  4  0 .
Đặt t  x 2  2 thì t 2  x4  4 x2  4 , phƣơng trình trở thành :
t 2  9 xt  20 x2  0.
t  4 x

  t  4 x  t  5 x   0  
t  5 x

15

 2.4 


x  2  6
 x2  2  4 x
 x2  4x  2  0


 
5  33 .
2
2
 x  2  5 x
 x  5 x  2  0
 x 
2

5  33
5  33 

Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là 2  6;
; 2  6;
.



2

2




Ví dụ 2.5. Giải phƣơng trình:

 2.5

2 2x  4  4 2  x  9x 2  16

Lời giải
Điều kiện 2  x  2.

 2.5  8x  16  16







2 4  x 2  32  16x  9x 2  16







 8 4  x 2  16 2 4  x 2  x 2  8x.





Đặt a  2 2 4  x 2  0.
Xét hàm số f  t   t 2  8t có f '  t   2t  8  0 , t  4
Mà a  0, x  2 nên: 1  f  a   f  x   a  x

 2.5  2



2 4x

2







8 4  x 2  x 2
4 2
x

.
x 
3
 x  0

Đối chiếu điều kiện ban đầu ta kết luận x 

4 2
là nghiệm duy nhất của
3

phƣơng trình đã cho.
Ví dụ 2.6. Giải phƣơng trình
2  x2  2 

1


4

x


.
2
x


x
1

 2.6 

Lời giải
1
1
1
1
 2.6   4   x 2  2   2 5  2  x 2  2   16  8  x     x  
x 
x


x 

x 

16

2


2

2

1
1
1




  x    4  x    9  2  x    5  0.
x
x
x




3
1
Đặt t  x  , điều kiện : 2  t 
, khi đó ta có phƣơng trình:
x
2





t 2  4t  9  2t 2  5  0   t  2   1  9  2t 2  0
2

  t  2 
2



2 t2  4




2 t  2 
 0   t  2 t  2 
0
2
2
1  9  2t
1  9  2t 


t  2

2  t  2

t2
 0  2.7.1

2
1  9  2t


- Với t  x 

1
 2  x  1.
x

- Với 2  t 

3
suy ra t  2 và t  2 cùng dấu suy ra phƣơng trình  2.7.1
2

vơ nghiệm. Vậy phƣơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x  1.
Ví dụ 2.7. Giải phƣơng trình

 2.7 

32 x  3x  5  5

Lời giải
Đặt: a  3x  0; b = a  5  5  b2  a  5 , ta đƣợc hệ phƣơng trình:
2

a  b  5
 a 2  b 2    a  b    a  b  a  b  1  0
 2

b  a  5

a  b  0  vn 

b  a  1  0
 b  a  1  a 2    a  1  5
a 
a a40 


 a 
2

17

1 17
2
1 17
2