Phương pháp giải và sáng tạo các bài toán về dãy số

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ LỆ THUỶ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI
TOÁN VỀ DÃY SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2020


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ LỆ THỦY

PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI
TOÁN VỀ DÃY SỐ

Ngành:
Mã số:

Người hướng dẫn:

Phương pháp toán sơ cấp
8.46.01.13

TS. NGUYỄN THÀNH CHUNG

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

iv

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1

1.2

1.3

1

Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Một số dãy số đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1

Khái niệm giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2

Tính chất cơ bản của dãy số hội tụ . . . . . . . . . . . . . .

5

Một số định lý về sự hội tụ của dãy số . . . . . . . . . . . .

7

1.3.1

Định lý Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.2

Định lý Cauchy và hàm số co . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.3

Định lý Stolz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.4

Định lý Toeplitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Một số phương pháp giải và sáng tạo các bài tốn về dãy số
2.1

2.2

13

Bài tốn xác định cơng thức tổng quát của dãy số . . . . . 13
2.1.1

Dãy số cho bởi phương pháp liệt kê . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.2

Dãy số cho bởi cơng thức truy hồi tuyến tính . . . . . . . . 15

2.1.3

Dãy số cho bởi công thức truy hồi phi tuyến . . . . . . . . 20

Bài tốn về tính chất của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1

Tính chất số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
ii


2.3

2.4

2.2.2

Tính chất tuần hồn, điều hịa . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.3

Tính chất đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.4

Tính chất bị chặn và ước lượng về dãy số . . . . . . . . . . 33

Bài toán về giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.1

Phương pháp dùng công thức tổng quát của dãy số . . . . 37

2.3.2

Phương pháp dùng nguyên lý kẹp . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.3

Phương pháp dùng Định lý Weierstrass . . . . . . . . . . . 43

2.3.4

Phương pháp dùng định lý Cauchy và hàm số co . . . . . . 45

2.3.5

Phương pháp dùng các định lý Stolz, Toeplitz . . . . . . . 48

2.3.6

Phương pháp dùng dãy con . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Một số phương pháp sáng tạo các bài toán về dãy số . . . 54
2.4.1

Phương pháp tương tự hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4.2

Phương pháp đặc biệt hóa, tổng quát hóa . . . . . . . . . . 56

2.4.3

Phương pháp suy diễn ngược lại từ những kết quả đã biết

2.4.4

Phương pháp chuyển đổi mục đích bài tốn . . . . . . . . . 60

58

KẾT LUẬN

64

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

65

iii


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Dãy là một trong những khái niệm cơ bản của tốn học, vừa có ý nghĩa khoa
học vừa có ý nghĩa thực tiễn. Một dãy là một danh sách liệt kê các đối tượng

hay sự kiện (gọi chung là phần tử) được sắp xếp có thứ tự. Khi trừu xuất khỏi
thực tiễn, nếu ta xem mỗi phần tử là một số (thực hoặc phức), khi đó ta nói
rằng ta có một dãy số. Xuất phát từ ý nghĩa và sự hình thành của dãy số, việc
nghiên cứu dãy số và các vấn đề liên quan đến nó đóng vai trị rất quan trọng
trong tốn học. Giải quyết vấn đề về dãy số là tiền đề để nghiên cứu các bài
toán liên quan đến dãy nói chung, từ đó cung cấp cơng cụ để giải quyết các bài
toán trong nhiều ngành toán học khác nhau như đại số, lý thuyết số, lý thuyết
phương trình, lý thuyết xấp xỉ, ...
Khái niệm dãy số được trang bị từ lớp 11 trong chương trình tốn, bậc trung
học phổ thông. Tuy nhiên, khái niệm dãy số và giới hạn dãy số trong chương
trình phổ thơng chủ yếu mang tính chất mô tả, thường công nhận kết quả để
học sinh có thể vận dụng giải bài tập, những vấn đề chi tiết hơn được trình bày
trong chương trình giải tích toán học và được giảng dạy ở bậc đại học. Các vấn
đề liên quan đến dãy số lại là những vấn đề khởi đầu, với những kĩ thuật tinh
tế, đòi hỏi người học phải dành nhiều thời gian nghiên cứu mới có thể hiểu và
vận dụng được. Do đó, các bài toán về dãy số với những cấp độ khác nhau nói
chung thường gây ra nhiều khó khăn cho học sinh và giáo viên trong quá trình
đi tìm lời giải. Cũng chính vì thế, chủ đề dãy số ln được khai thác qua các kỳ
thi, đặc biệt là các kỳ thi học sinh giỏi các cấp, trong nước và quốc tế.
Từ những phân tích, đánh giá ở trên cùng với thực tiễn giảng dạy và sự gợi
iv


ý của thầy giáo TS. Nguyễn Thành Chung, để làm sáng tỏ hơn các vấn đề liên
quan đến dãy số trong chương trình phổ thơng, cung cấp một số cơng cụ nhằm
mục đích định hướng người học tìm lời giải, đồng thời sáng tạo các bài toán mới
về dãy số, tôi đã mạnh dạn chọn đề tài: “Phương pháp giải và sáng tạo các bài
toán về dãy số” để làm luận văn thạc sĩ của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
- Hệ thống lại các khái niệm và tính chất cơ bản về dãy số, giới hạn dãy số,

dãy số hội tụ, dãy số phân kỳ.
- Nghiên cứu một số phương pháp giải các bài toán về dãy số kèm theo phân
tích và bình luận.
- Từ những bài tốn về dãy số đã có, bằng các phương pháp khác nhau, sáng
tạo ra các bài tốn mới và tìm lời giải cho bài toán mới.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Nghiên cứu các khái niệm và tính chất cơ bản về dãy số, giới hạn dãy số,
dãy số hội tụ, dãy số phân kỳ.
- Các phương pháp giải và sáng tạo bài toán về dãy số trong chương trình
phổ thơng.
4. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu các bài toán về dãy số trong chương trình phổ
thơng. Tuy nhiên, để làm sáng tỏ thêm các vấn đề liên quan, chúng tôi cho tham
khảo các tài liệu liên quan về dãy số được trình bày trong giáo trình giải tích
tốn học, được giảng dạy trong chương trình đại học. Những kiến thức này được
chọn lọc để giáo viên và học sinh phổ thơng có thể hiểu và vận dụng.
5. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu được sử dụng ở đây dựa trên việc phân tích và
tổng hợp các tài liệu hiện có về dãy số trong chương trình phổ thơng và chương
trình đại học hiện hành.
- Ngồi ra, để sáng tạo được các bài toán mới dựa trên các bài tốn đã cho
chúng tơi cần sử dụng các kiến thức liên quan để so sánh, đánh giá, tổng quát

v


hóa, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa, ...
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
- Đề tài cung cấp những kiến thức từ cơ bản đến chuyên sâu về dãy số, các
khái niệm và tính chất được trình bày có chọn lọc, giúp người đọc có cách nhìn

đầy đủ bao quát về dãy số và các vấn đề liên quan.
- Đề tài cung cấp một số phương pháp giải các bài tốn về dãy số trong
chương trình phổ thông, đồng thời hướng dẫn người đọc việc sáng tạo một số
bài toán mới về dãy số dựa trên các bài toán đã cho.
7. Tổng quan và cấu trúc luận văn
Luận văn có cấu trúc như sau:
Mở đầu
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Phương pháp giải và sáng tạo các bài toán về dãy số.
Kết luận và kiến nghị
Tài liệu tham khảo

vi


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tơi trình bày các kiến thức cơ bản về dãy số, bao
gồm khái niệm dãy số, giới hạn dãy số và các tính chất cơ bản cũng như một số
tiêu chuẩn hội tụ của dãy số cần cho chương 2. Các tài liệu tham khảo được sử
dụng trong chương này bao gồm [4, 7, 10, 11].

1.1
1.1.1

Dãy số
Định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1. Mỗi hàm số u : N∗ → R, n → u(n) = un được gọi là một

dãy số thực vô hạn (hay dãy số), ký hiệu (un ). Khi đó, un := u(n) được gọi là số
hạng tổng quát của dãy số.
Nhận xét 1.1.1. Bằng cách tương tự, chúng ta có thể định nghĩa cho trường
hợp dãy số phức. Tuy nhiên trong phạm vi của luận văn này, chúng tôi chỉ đề
cập đến dãy số thực và gọi là dãy số.
Có nhiều phương pháp để cho một dãy số, chẳng hạn phương pháp liệt kê,
phương pháp nêu tính chất đặc trưng các số hạng của dãy, phương pháp cho
công thức tổng quát của dãy, ...
Định nghĩa 1.1.2. Dãy số (un ) được gọi là dãy số tăng (giảm) nếu un ≤ un+1

(un ≥ un+1 ) với mọi n ∈ N∗ . Nếu trong khẳng định trên dấu ≤ (≥) được thay

bằng dấu < (>) ta nói dãy số (un ) tăng nghiêm ngặt (giảm nghiêm ngặt). Một
1


dãy số (un ) được gọi là đơn điệu (nghiêm ngặt) nếu nó tăng hoặc giảm (nghiêm
ngặt).
Ví dụ 1.1.1. Xét dãy số (un ) cho bởi un =
√
un+1
1
n + 1 2n
= n+1 √ =
un
2
2
n

√

n

2n

, n ∈ N∗ . Ta có

n+1
< 1,
n

∀n ∈ N∗

nên dãy số (un ) giảm nghiêm ngặt.
Định nghĩa 1.1.3. Dãy số (un ) được gọi là bị chặn trên (dưới) nếu tồn tại
M ∈ R sao cho với mọi n ∈ N∗ ta có un ≤ M (un ≥ M ). Dãy số (un ) được gọi là

bị chặn (hay giới nội) nếu nó bị chặn trên và bị chặn dưới.

Ví dụ 1.1.2. Dãy số (un ) cho bởi un = n3 + 2 bị chặn dưới nhưng khơng bị chặn
trên, trong khi đó dãy số (un ) cho bởi un = (−1)n n2 không bị chặn trên và cũng
không bị chặn dưới.
Định nghĩa 1.1.4. Cho dãy số (un ) và một dãy tăng các chỉ số i1 < i2 < . . ..
Khi đó dãy số xác định bởi (uik )k≥1 được gọi là một dãy con của dãy số (un ).
Ví dụ 1.1.3. Dãy số (un ) cho bởi un = (−1)n n2 có các dãy con u2k = 4k 2 và
u2k+1 = −4k 2 − 4k − 1.

1.1.2

Một số dãy số đặc biệt

Định nghĩa 1.1.5 (Cấp số cộng). Cho d ∈ R, dãy số (un ) thỏa mãn điều kiện

un+1 = un + d với mọi n ∈ N∗ được gọi là một cấp số cộng với công sai d. Nếu

d = 0 ta nói dãy số (un ) là dãy hằng (dãy số khơng đổi).

Ví dụ 1.1.4. Dãy số (un ) với un = 3n − 1 là một cấp số cộng với cơng sai d = 3
vì un+1 − un = 3(n + 1) − 1 − (3n − 1) = 3 với mọi n ∈ N∗ .

Định lý 1.1.1. Cho (un ) là một cấp số cộng với công sai d. Khi đó
(i) un+1 = un + d = u1 + nd.
(ii) un =

un−1 + un+1
với mọi n ≥ 2.
2
2


n(n − 1)d
n(u1 + un )
= nu1 +
, trong đó Sn là tổng của n số hạng đầu
2
2
tiên của (un ).

(iii) Sn =

Định lý 1.1.2. Dãy số (un ) là một cấp số cộng khi và chỉ khi 2um+n = u2m + u2n
với mọi m, n ∈ N∗ .
Định nghĩa 1.1.6 (Cấp số nhân). Cho q ∈ R, dãy số (un ) thỏa mãn điều kiện
un+1 = qun với mọi n ∈ N∗ được gọi là một cấp số nhân với cơng bội q . Nếu q = 1

ta nói dãy số (un ) là dãy hằng (dãy số không đổi).

Ví dụ 1.1.5. Dãy số (un ) với un = 22n+1 là một cấp số nhân với công bội q = 4
vì un+1 = 22(n+1)+1 = 4.22n+1 = 4un với mọi n ∈ N∗ .
Định lý 1.1.3. Cho (un ) là một cấp số nhân với công bội q . Khi đó
(i) un+1 = qun = u1 q n .
(ii) u2n = un−1 un+1 với mọi n ≥ 2.
(iii) Sn = u1

1 − qn
, trong đó Sn là tổng n số hạng đầu tiên của (un ).
1−q

Định lý 1.1.4. Dãy số dương (un ) là một cấp số nhân khi và chỉ khi u2m+n =
u2m u2n với mọi m, n ∈ N∗ .

Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu các dãy số đặc biệt như cấp số
điều hòa, dãy số tuần hoàn và phản tuần hoàn.
Định nghĩa 1.1.7 (Cấp số điều hòa). Dãy số (un ) với các số hạng khác 0 thỏa
mãn điều kiện
un+1 =

2un un+2
,
un + un+2

n≥1

được gọi là một cấp số điều hịa.
Ví dụ 1.1.6. Dãy số (un ) xác định bởi un =

1
với n ≥ 1 là một cấp số điều hòa.
n

Định lý 1.1.5. Dãy số (un ) với các số hạng khác 0 là một cấp số điều hòa khi
và chỉ khi dãy số

1
un

là một cấp số cộng.
3


Định nghĩa 1.1.8 (Dãy số tuần hoàn, phản tuần hoàn).

(i) Dãy số (un ) được

gọi là tuần hoàn (phản tuần hồn) cộng tính nếu tồn tại N ∈ N∗ sao cho
un+N = un (un+N = −un ) với mọi n ∈ N∗ , số N gọi là chu kỳ của dãy số.

(ii) Dãy số (un ) được gọi là tuần hồn (phản tuần hồn) nhân tính nếu tồn tại
S ∈ N∗ , S > 1 sao cho unS = un (unS = −un ) với mọi n ∈ N∗ , số S gọi là chu

kỳ của dãy số.

nπ
là dãy tuần hồn cộng tính chu kỳ 6 và
3
nπ
(n + 6)π
= sin
= un và
phản tuần hồn cộng tính chu kỳ 3 vì un+6 = sin
3
3
(n + 3)π
nπ
un+3 = sin
= − sin
= −un với mọi n ≥ 1.
3
3

Ví dụ 1.1.7.

(i) Dãy số un = sin

(ii) Dãy số un = (−1)n là tuần hoàn nhân tính chu kỳ 3 vì u3n = (−1)3n =
√
1
(−1)n = un với mọi n ≥ 1. Dãy số un = [sin(2π log2 ( 2n)) − sin(2π log2 n)]
√ 2
là phản tuần hồn nhân tính chu kỳ 2 vì u√2n = −un với mọi n ≥ 1.

1.2

Giới hạn dãy số

1.2.1

Khái niệm giới hạn dãy số

Định nghĩa 1.2.1. Ta nói dãy số (un ) có giới hạn là l ∈ R, ký hiệu limn→∞ un = l

khi và chỉ khi

∀ǫ > 0, ∃N = N (ǫ) ∈ N∗ : ∀n ∈ N∗ , n ≥ N → |un − l| < ǫ,

trong đó ký hiệu N (ǫ) để chỉ N phụ thuộc vào ǫ.
n
n
1
, n ∈ N∗ , có giới hạn limn→∞
= .
2n + 1
2n + 1
2
1
∗
Thật vậy, với mọi ǫ > 0, tồn tại N = N (ǫ) =
+1 ∈ N sao cho với mọi n ∈ N∗ ,
4ǫ
n

1
1
n ≥ N (ǫ) ta có
<
−
< ǫ.
2n + 1 2
4N

Ví dụ 1.2.1. Dãy số (un ) với un =

Định nghĩa 1.2.2. Dãy số (un ) được gọi là có giới hạn +∞, ký hiệu là limn→∞ un =
+∞, nếu
∀M > 0, ∃N = N (M ) ∈ N∗ : ∀n ≥ N → un ≥ M.
4


Dãy số (un ) được gọi là có giới hạn −∞, ký hiệu là limn→∞ un = −∞, nếu
∀M > 0, ∃N = N (M ) ∈ N∗ : ∀n ≥ N → un ≤ −M.

Một dãy số có giới hạn hữu hạn được gọi là hội tụ. Ngược lại, dãy số được
gọi là phân kì.
Ví dụ 1.2.2. Dãy số (un ) với un = (−1)n là dãy phân kì. Thật vậy, giả sử dãy
1
2
1 1
|un+1 − l| + |un − l| < + = 1, mâu thuẩn.
2 2

có giới hạn là l. Lấy ǫ = , khi đó, với n đủ lớn |un − l| < ǫ và 2 = |un+1 − un | ≤

Định lý 1.2.1. Giới hạn (nếu có) của một dãy số là duy nhất.
Chứng minh. Giả sử dãy số (un ) hội tụ và có hai giới hạn l1 , l2 ∈ R với l1 = l2 .
1
4

Đặt ǫ = |l1 − l2 | > 0. Vì limn→∞ un = l1 nên tồn tại N1 ∈ N∗ sao cho với mọi

n ≥ N1 ta có |un − l1 | < ǫ. Tương tự, tồn tại N2 ∈ N∗ sao cho với mọi n ≥ N2 ta

có |un − l2 | < ǫ. Khi đó với mọi n ≥ N0 := max{N1 , N2 } ∈ N∗ ta có
1
|l1 − l2 | ≤ |l1 − un | + |un − l2 | < 2ǫ = |l1 − l2 |.
2

Điều này không thể xảy ra. Vậy l1 = l2 .
Định lý 1.2.2 (Các phép toán giới hạn). Giả sử các dãy số (un ), (vn ) hội tụ và
limn→∞ un = u ∈ R, limn→∞ vn = v ∈ R. Khi đó

(i) Dãy số (un ± vn ) hội tụ và limn→∞ (un ± vn ) = u ± v .
(ii) Dãy số (un .vn ) hội tụ và limn→∞ (un .vn ) = u.v .
(iii) Nếu v = 0 thì dãy số

1.2.2

un
vn

hội tụ và limn→∞

u

un
= .
vn
v

Tính chất cơ bản của dãy số hội tụ

Định lý 1.2.3 (Tính bị chặn). Mọi dãy số hội tụ đều bị chặn.

5


Chứng minh. Giả sử (un ) là một dãy số hội tụ và limu→∞ un = l ∈ R. Lấy ǫ = 1,

theo định nghĩa của giới hạn, tồn tại N ∈ N∗ sao cho |un − l| < ǫ với mọi n ≥ N .

Đặt M := max{|u1 |, |u2 |, . . . , |uN |, |l| + 1} ta có |un | ≤ M với mọi n ∈ N∗ . Điều này
chứng tỏ dãy số (un ) bị chặn.

Nhận xét 1.2.1. Điều ngược lại của Định lý 1.2.3 nói chung khơng đúng. Tuy
nhiên, người ta chứng minh được rằng mọi dãy số bị chặn đều có một dãy con
hội tụ.
Định lý 1.2.4. Mọi dãy con của một dãy số hội tụ đều hội tụ. Ngược lại, giả
sử một trong các điều kiện sau xảy ra:
(i) limn→∞ u2n = limn→∞ u2n+1 = l ∈ R.
(ii) limn→∞ u3n = limn→∞ u3n+1 = limn→∞ u3n+2 = l ∈ R.
Khi đó dãy số (un ) hội tụ và limn→∞ un = l.
Định lý 1.2.5 (Tính bảo tồn thứ tự). Giả sử các dãy số (un ) và (vn ) hội tụ
lần lượt đến u và v . Khi đó
(i) Nếu tồn tại N0 ∈ N∗ sao cho un ≥ vn với mọi n ≥ N0 thì u ≥ v .

(ii) Nếu u > v thì tồn tại N0 ∈ N∗ sao cho với mọi n ≥ N0 ta đều có un > vn .
v−u
. Theo định
2
nghĩa giới hạn, tồn tại số tự nhiên N1 > N0 sao cho |un − u| < ǫ và |vn − v| < ǫ

Chứng minh. (i) Giả sử phản chứng u < v . Lấy số dương ǫ <

với mọi n ≥ N1 . Vì u + ǫ < v − ǫ nên từ đó suy ra un < vn với n ≥ N1 . Điều này

mâu thuẫn với giả thiết.

u−v
, ta suy ra u − ǫ > v + ǫ. Theo định nghĩa giới
2
hạn, tồn tại N0 ∈ N∗ sao cho |un − u| < ǫ và |vn − v| < ǫ với mọi n ≥ N0 . Suy ra

(ii) Lấy số dương ǫ <

un > u − ǫ và v + ǫ > vn . Vì u − ǫ > v + ǫ nên un > vn với mọi n ≥ N0 .

Định lý 1.2.6 (Nguyên lý kẹp). Cho các dãy số (un ), (vn ) và (wn ) thỏa mãn
un ≤ wn ≤ vn với mọi n > N0 ∈ N∗ . Khi đó, nếu limn→∞ un = limn→∞ vn = l ∈ R

thì limn→∞ wn = l.

6


1.3

Một số định lý về sự hội tụ của dãy số

1.3.1

Định lý Weierstrass

Định nghĩa 1.3.1 (Cận trên, cận dưới). Giả sử ∅ = E ⊂ R. Số b ∈ R được gọi
là một cận trên (cận dưới) của E nếu x ≤ b (b ≤ x) với mọi x ∈ E .

Số l ∈ R được gọi là cận trên đúng của E , ký hiệu sup E , nếu l là một cận

trên của E và nếu b là một cận trên bất kỳ của E thì l ≤ b. Ta cũng có định
nghĩa tương tự cho cận dưới đúng và ký hiệu inf E .

Ví dụ 1.3.1. Xét tập hợp E = (0; 1] ⊂ R. Ta có sup E = 1 và inf E = 0. Ngoài

ra, mọi số thực r ≤ 0 đều là cận dưới của E và mọi số thực r ≥ 1 đều là cận trên

của E .

Định lý 1.3.1. Mọi tập hợp E ⊂ R khác rỗng, bị chặn trên (dưới) đều có cận
trên (dưới) đúng. Nếu E ⊂ R có phần tử lớn nhất (nhỏ nhất) là l thì l là cận
trên (dưới) đúng của E .

Định lý 1.3.2. Giả sử ∅ = E ⊂ R và l ∈ R. Khi đó ta có các khẳng định sau

đây:

(i) l = sup E nếu và chỉ nếu x ≤ l, ∀x ∈ E và với mọi ǫ > 0, tồn tại x ∈ E sao

cho x > l − ǫ.

(ii) l = inf E nếu và chỉ nếu x ≥ l, ∀x ∈ E và với mọi ǫ > 0, tồn tại x ∈ E sao
cho x < l + ǫ.

Định lý 1.3.3 (Weierstrass). Nếu một dãy số tăng (giảm) và bị chặn trên (dưới)
thì hội tụ.
Chứng minh. Giả sử (un ) là một dãy số tăng và bị chặn trên. Khi đó, theo Định
lý 1.3.1 tồn tại cận trên đúng của tập hợp E = {un } là l = sup E . Với mọi ǫ > 0,

theo Định lý 1.3.2, tồn tại N ∈ N∗ sao cho l − ǫ < uN . Vì (un ) là dãy số tăng nên

l − ǫ < uN ≤ un ≤ l với mọi n ≥ N . Từ đó suy ra l − ǫ < un < l + ǫ hay |un − l| < ǫ

với mọi n ≥ N . Điều này chứng tỏ (un ) hội tụ và có giới hạn là l. Trường hợp

dãy (un ) giảm và bị chặn dưới chứng minh tương tự.
7


1.3.2

Định lý Cauchy và hàm số co

Định nghĩa 1.3.2. Dãy số (un ) được gọi là dãy Cauchy nếu thỏa mãn điều kiện
sau
∀ǫ > 0, ∃N = N (ǫ) ∈ N∗ : |un+p − un | < ǫ, ∀n ≥ N, p ≥ 1.

Ví dụ 1.3.2. Dãy số un =

1
, n ≥ 1 là một dãy Cauchy trong khi dãy số
n

un = (−1)n , n ≥ 1 không là dãy Cauchy.

Định lý 1.3.4 (Cauchy). Một dãy số hội tụ khi và chỉ khi nó là một dãy Cauchy.
Chứng minh. Giả sử (un ) là một dãy hội tụ và limn→∞ un = l. Khi đó với mọi
ǫ > 0, tồn tại N ∈ N∗ sao cho với mọi n > N ta có |un − l| <

n ≥ N , p ≥ 1, ta có

ǫ
. Do đó, với mọi
2

|un+p − un | = |(un+p − l) + (l − un )| ≤ |un+p − l| + |un − l| <

ǫ
ǫ
+ = ǫ,
2 2

suy ra (un ) là dãy Cauchy.
Ngược lại, giả sử (un ) là một dãy Cauchy. Khi đó, với mọi n ≥ N ∈ N∗ và

p ≥ 1, ta có |un+p − un | < 1. Cố định n = N , có thể chứng minh được dãy số (un )

bị chặn. Do đó, theo Nhận xét 1.2.1 có một dãy con (unk ) của (un ) hội tụ và giả
sử limnk →∞ unk = l.

ǫ
2

Với mọi ǫ > 0, tồn tại N1 ∈ N∗ sao cho với mọi nk > N1 ta có |unk − l| < .

Vì (un ) là dãy Cauchy nên tồn tại N2 ∈ N∗ sao cho với mọi n ≥ N2 , p ≥ 1 ta có

ǫ
|un+p − un | < . Đặt N0 = max{N1 , N2 } + 1. Khi đó với mọi n ≥ N0 ta có
2
ǫ
ǫ
|un − l| = |(un − unk ) + (unk − l)| < + = ǫ.
2 2

Điều này chứng tỏ limn→∞ un = l.
Định nghĩa 1.3.3. Cho a, b ∈ R, hàm số f : [a, b] → [a, b] gọi là co trên đoạn

[a, b] nếu tồn tại hằng số C ∈ [0, 1) thỏa mãn |f (x1 ) − f (x2 )| ≤ C|x1 − x2 | với mọi
x1 , x2 ∈ R.

8


Định lý 1.3.5. Giả sử f : [a, b] → [a, b] là một hàm số co và dãy số (un ) xác định
bởi




u1 = α,


un+1 = f (un ),

n ≥ 1.

Khi đó, dãy số (un ) hội tụ đến giới hạn l ∈ [a, b] là nghiệm duy nhất của

phương trình x = f (x).

Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng minh (un ) là một dãy Cauchy. Thật vậy, với
mọi n ≥ 1, ta có
|un+1 − un | = |f (un ) − f (un−1 )| ≤ C|un − un−1 | = C|f (un−1 ) − f (un−2 )|
≤ C 2 |un−1 − un−2 | ≤ ... ≤ C n−1 |u2 − u1 |,

n ≥ 1,

suy ra với mọi n, p ≥ 1,
|un+p − un | ≤ |un+1 − un | + |un+2 − un+1 | + ... + |un+p − un+p−1 |
≤ C n−1 (1 + C + C 2 + ... + C p−1 )|u2 − u1 |
= C n−1

1 − Cp
C n−1
|u2 − u1 | <
|u2 − u1 |.
1−C
1−C

Vì C ∈ [0, 1) nên C n−1 → 0 khi n → ∞. Dùng định nghĩa có thể chứng minh

được (un ) là một dãy Cauchy nên hội tụ đến giới hạn l = limn→∞ un ∈ [1, b].

Lại có f là hàm số co trên [a, b] nên liên tục tại l, suy ra f (l) = f (limn→∞ un ) =

limn→∞ f (un ) = limn→∞ un+1 = l. Cuối cùng, nếu phương trình f (x) = 0 cịn có

nghiệm l′ = l thì |l − l′ | = |f (l) − f (l′ )| ≤ C|l − l′ | hay (1 − C)|l − l′ | ≤ 0, mâu

thuẫn.

1.3.3

Định lý Stolz

Định lý 1.3.6 (Stolz). Cho (un ) và (vn ) là các dãy số thỏa mãn các điều kiện
sau
(i) (vn ) là dãy tăng và limn→∞ vn = +∞.
(ii) limn→∞

un+1 − un
= l ∈ R.
vn+1 − vn
9


Khi đó dãy số

un

vn

un
= l.
vn

hội tụ và limn→∞

Chứng minh. Với mọi ǫ > 0, vì limn→∞
với mọi n ≥ N ta có
Vì vn+1 − vn ≥ 0 nên ta suy ra

un+1 − un
= l nên tồn tại N ∈ N∗ sao cho
vn+1 − vn

un+1 − un
− l < ǫ.
vn+1 − vn

(l − ǫ)(vn+1 − vn ) < un+1 − un < (vn+1 − vn )(l + ǫ).

Giả sử vk+1 > 0 với k > N . Khi đó
(l − ǫ)(vi+1 − vi ) < ui+1 − ui < (l + ǫ)(vi+1 − vi ), ∀ i = N, N + 1, . . . , k,

suy ra
k

i=N

k

(l − ǫ)(vi+1 − vi ) <

i=N

k

(ui+1 − ui ) <

i=N

(l + ǫ)(vi+1 − vi ).

Do vậy
(l − ǫ) 1 −

vN
vk+1

+

Cho k → +∞ ta có limk→∞

uN
uk+1
vN
<
< (l + ǫ) 1 −
vk+1

vk+1
vk+1

+

uN
.
vk+1

uk
= l.
vk

Hệ quả 1.3.1 (Định lý trung bình Cesaro). Nếu dãy số (xn ) có giới hạn là l thì
dãy trung bình cộng

x1 + x2 + · · · + xn
n

cũng có giới hạn l.

Chứng minh. Để áp dụng Định lý Stolz, ta xét các dãy số (un ), (vn ) cho bởi
n

un =
i=1

xi , vn = n với n ∈ N∗ . Khi đó (vn ) là dãy số tăng, limn→∞ vn = +∞ và

vn+1 − vn = (n + 1) − n = 1. Hơn nữa

un+1 − un
= lim xn+1 = l.
n→∞
n→∞ vn+1 − vn
lim

Theo Định lý Stolz ta có limn→∞

1
un
= limn→∞
vn
n

10

n
i=1 xn

= l.


1.3.4

Định lý Toeplitz

Định lý 1.3.7 (Toeplitz). Cho (un ) là một dãy số hội tụ và {cn,k : 1 ≤ k ≤

n, n ≥ 1} là một bảng các số thực thỏa mãn:

(i) limn→∞ cn,k = 0 với mọi k ∈ N∗ .
(ii) limn→∞

n
k=1 cn,k

= 1.

(iii) Tồn tại C > 0 sao cho với mọi n nguyên dương ta có
n

k=1

|cn,k | ≤ C.

n
k=1 cn,k uk ,

Khi đó, dãy số cho bởi vn =
limn→∞ vn .

với n ≥ 1, cũng hội tụ và limn→∞ un =

Chứng minh. Khơng mất tính tổng quát, giả sử dãy số (un ) hội tụ đến 0. Khi
đó với mỗi p > 1 và n ≥ p ta có
p−1

n

|vn | =

k=1

cn,k uk ≤

k=1

n

|cn,k |.|uk | +

k=p

|cn,k |.|uk |.

(1.1)

Vì limn→∞ un = 0 nên (un ) bị chặn, tức là |un | ≤ M , ∀n ∈ N∗ . Hơn nữa, ∀ǫ > 0,

tồn tại N1 ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ N1 ta có |un | <

N2 ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ N2 ta có

N1 −1
k=1

|cn,k | <

ǫ
. Vì limn→∞ cn,k = 0 nên tồn tại

2C

ǫ
.
2M

Trong (1.1), chọn p = N1 . Khi đó với mọi n ≥ N0 := max{N1 , N2 },
|vn | ≤ M

N1 −1
k=1

ǫ
|cn,k | +
2C

n

k=N1

|cn,k | <

ǫ
ǫ
+ = ǫ,
2 2

suy ra dãy số (vn ) hội tụ và limn→∞ vn = 0.
Nhận xét 1.3.1. Nếu cn,k ≥ 0 với mọi 1 ≤ k ≤ n, n ≥ 1 thì điều kiện (iii) được

suy ra từ điều kiện (ii). Hơn nữa, nếu cn,k > 0 với mọi 1 ≤ k ≤ n, n ≥ 1 và

limn→∞ un = +∞ thì limn→∞ vn = +∞.

11


Hệ quả 1.3.2. Giả sử (un ), (vn ) là các dãy số hội tụ và limn→∞ un = u,
limn→∞ vn = v . Khi đó
1
lim
n→∞ n

n

(1.2)

uk vn−k+1 = uv.
k=1

Chứng minh. Nếu v = 0 thì limn→∞ |vn | = 0. Lại có dãy số (un ) hội tụ nên bị

chặn, tức là |un | ≤ M , ∀n ∈ N∗ . Theo Hệ quả 1.3.1 ta có
1
n

suy ra limn→∞
Nếu v = 0,

n

uk vn−k+1
k=1

1
n

n
k=1 uk vn−k+1 =
v
chọn cn,k = n−k+1 ,

nv

1
≤M
n

n

k=1

|vk | → 0, n → ∞,

0.
n ≥ 1, 1 ≤ k ≤ n. Khi đó, các điều kiện (i) và

(iii) của Định lý Toeplitz thỏa mãn. Hơn nữa, theo Hệ quả 1.3.1 ta có
n

lim

n→∞

n

cn,k = lim

n→∞

k=1

k=1

vn−k+1
1
1
= lim
nv
v n→∞ n

n

vn−k+1 = 1
k=1

nên (ii) thỏa mãn. Do đó, áp dụng Định lý Toeplitz,
n

u = lim

n→∞

k=1

1
1
cn,k un = lim
v n→∞ n

suy ra (1.2) đúng.

12

n

vn−k+1 uk ,
k=1


Chương 2
PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG
TẠO CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ
Trong chương này, chúng tơi trình bày phương pháp giải một số dạng toán
về dãy số, bao gồm bài tốn xác định cơng thức tổng qt của dãy số, bài tốn
về tính chất và sự hội tụ của dãy số. Ngồi ra, chúng tơi cũng đề cập phương
pháp sáng tạo các bài toán mới về dãy số dựa trên bài toán gốc. Các tài liệu
tham khảo trong chương này bao gồm [1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13].

2.1

Bài tốn xác định cơng thức tổng qt của dãy
số

Xác định công thức tổng quát của dãy số là bài tốn khá phổ biến trong
chương trình phổ thơng. Biết cơng thức tổng qt của dãy số, chúng ta có thể
biết tính chất, đánh giá ước lượng dãy số hoặc tìm giới hạn của nó. Trong mục
này, chúng tơi trình bày một số dạng tốn xác định cơng thức tổng quát của
dãy số, bao gồm dãy số được cho bởi phương pháp liệt kê, dãy số cho bởi công
thức truy hồi tuyến tính hoặc phi tuyến.

2.1.1

Dãy số cho bởi phương pháp liệt kê

Bài toán: Cho dãy số (un ) với các số hạng là u1 = a1 , u2 = a2 , ..., uk = ak , ...
trong đó ai , i = 1, 2, ..., k là các hằng số đã biết. Xác định công thức tổng quát
của un .
13


Phương pháp giải: Việc tìm ra quy luật biểu diễn của dãy số là không đơn
giản. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp chúng ta có thể tiến hành như sau: Đặt
∆uk = uk+1 − uk , ∆2 uk = ∆uk+1 − ∆uk , ∆3 uk = ∆2 uk+1 − ∆2 uk , . . .

Ta lập bảng các giá trị ∆uk , ∆2 uk , ∆3 uk . . . ∆s uk , ... Nếu ∆s uk có giá trị khơng

đổi thì un có dạng đa thức bậc s của n và ta đi tìm đa thức đó.
Ví dụ 2.1.1. Cho dãy số (un ) với các số hạng là u1 = 1, u2 = −1, u3 = −1, u4 =

1, u5 = 5, u6 = 11, u7 = 19, u8 = 29, u9 = 41, u10 = 55, . . . Tìm un ?

Lời giải. Ta thiết lập bảng giá trị ban đầu
uk
∆uk
∆ 2 uk

1

-1

-1

-2

0

1
2

2

2

5
4

11
6

2

2

19
8

2

29

41

10

12

2

2

55
14

2

Ta thấy ∆2 uk không đổi nên un có dạng đa thức bậc hai un = an2 + bn + c.
Lần lược cho n = 1, 2, 3 ta được hệ phương trình




 a + b + c = 1,




4a + 2b + c = −1,

9a + 3b + c = −1.

Từ đó suy ra a = 1, b = −5, c = 5 và un = n2 − 5n + 5, n ∈ N∗ .
Ví dụ 2.1.2. Cho dãy số (un ) với các số hạng là u1 = −5, u2 = −3, u3 = 11, u4 =
43, u5 = 99, u6 = 185, u7 = 307, u8 = 471, . . .. Tìm un ?

Lời giải. Ta thiết lập bảng giá trị ban đầu
uk
∆uk
∆ 2 uk
∆ 3 uk

-5

-3
2

11
14

12

43
32

18
6

99
56

24
6

185
86

30
6

307
122

36
6

471
164

42
6

Vì ∆3 uk khơng đổi nên un có dạng đa thức bậc ba un = an3 + bn2 + cun + d.
Lần lược cho n = 1, 2, 3, 4 ta được hệ phương trình

14