Ứng dụng đạo hàm và tích phân trong một số bài toán kinh tế

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THANH TRUNG

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
TRONG MỘT SỐ BÀI TỐN KINH TẾ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2020


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THANH TRUNG

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
TRONG MỘT SỐ BÀI TỐN KINH TẾ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Ngành: Phương pháp tốn sơ cấp
Mã số: 8.46.01.13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. TRẦN ĐỨC THÀNH

Đà Nẵng - 2020

MỤC LỤC

1

2

Kiến thức chuẩn bị

8

1.1

Phép tính vi phân hàm một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2

Phép tính tích phân hàm một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3

Phép tính vi phân hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

´
Ưng dụng đạo hàm và đạo hàm riêng trong một số bài toán kinh tế 25

2.1 Đạo hàm và giá trị cận biên. Mối quan hệ giữa hàm bình quân và
hàm cận biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2 Đạo hàm và hệ số co dãn. Đạo hàm cấp hai và quy luật lợi ích cận

3

biên giảm dần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3 Bài toán tối ưu một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.4 Đạo hàm riêng cấp hai và quy luật lợi ích cận biên giảm dần . . .

36

2.5 Tính hệ số co dãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.6 Bài toán cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

´
Ưng dụng tích phân trong một số bài toán kinh tế

54

3.1 Hàm tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

3.2 Hàm quỹ vốn và hàm đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.3 Thặng dư của người tiêu dùng và thặng dư của nhà sản xuất

57

Kết luận và kiến nghị

. .

62

4

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Toán học bắt nguồn từ thực tiễn và mọi lý thuyết toán học dù trừu tượng đến
đâu cũng tìm thấy ứng dụng của chúng trong thực tế cuộc sống. Trong những
năm gần đây, theo xu thế mới tiếp cận với giáo dục của các nước tiên tiến, trong
kì thi THPT quốc gia đối với bộ mơn Tốn, số lượng câu hỏi mang tính vận
dụng thực tiễn ngày càng nhiều. Điều này gây ra những khó khăn nhất định cho
các em học sinh khi làm bài thi mơn Tốn, kể cả học sinh khá giỏi. Bởi lẽ, ngồi
việc nắm chắc các kiến thức của mơn Tốn và các mơn học khác, học sinh cịn
phải biết mơ hình hóa tốn học đối với các bài tốn thực tiễn về bài tốn mà
trong chương trình sách giáo khoa hiện hành. Hơn nữa, số lượng các bài toán
mang tính vận dụng thực tiễn đang cịn hạn chế.
Đạo hàm và tích phân và những bài tốn liên quan là một trong những chủ
đề quan trọng trong chương trình tốn ở bậc trung học phổ thơng. Nó được tập
trung trong chương trình lớp 12, là chủ đề được Bộ giáo dục và đào tạo đưa vào
trong các kì thi Quốc gia từ trước đến nay thường chiếm tỉ lệ khá cao của đề thi.
Ngồi ra, rất nhiều bài tốn ở bậc trung phổ thông giải rất hiệu quả nếu chúng
ta ứng dụng đạo hàm và tích phân. Đặc biệt đây là công cụ sắc bén thường được
sử dụng để giải một số dạng tốn trong các kì thi học sinh giỏi các cấp.
Ngồi những ứng dụng thơng thường của đạo hàm và tích phân đã biết trong
chương trình tốn phổ thơng, người ta cịn tìm thấy ứng dụng thực tế của nó,
cụ thể là các ứng dụng của nó trong một số bài tốn kinh tế cơ bản.
Với lí do như trên cũng như dưới sự định hướng của thầy giáo TS.Trần Đức

´
Thành, chúng tôi đã quyết định chọn đề tài: “ Ưng
dụng đạo hàm và tích phân

5


6
trong một số bài tốn kinh tế”. Chúng tơi hy vọng tạo được một tài liệu tham

khảo tốt cho những người quan tâm đến một số ứng dụng của đạo hàm và tích
phân trong một số bài tốn kinh tế cơ bản.
2. Mục tiêu nghiên cứu

Hệ thống lại các kiến thức đạo hàm và tích phân. Vận dụng vào giải một số
bài toán trong kinh tế.
3. Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong q trình thực
hiện đề tài.
• Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức.
• Thu thập các tài liệu của các tác giả liên quan đến ứng dụng của đạo hàm

và tích phân trong một số bài tốn kinh tế.

• Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.
• Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn.
4. Đối tượng nghiên cứu

Giải các dạng toán lợi nhuận trong toán kinh tế, doanh thu tối đa, chi phí tối
thiểu.
5. Phạm vi nghiên cứu

Đề tài khơng bao quát đầy đủ tất cả các nội dung của phép tính vi, tích phân

của hàm một và nhiều biến mà chỉ dừng lại ở những vấn đề cần thiết nhất cho
việc giải quyết một số bài toán kinh tế đơn giản.
6. Đóng góp của đề tài

Đào sâu và tìm hiểu các bài toán tối ưu trong toán kinh tế. Hơn nữa, luận văn
nhằm đưa ra cách nhìn tổng quan hơn về ứng dụng của đạo hàm và tích phân.
Nó giúp các em có thêm nhãn quan khi giải các bài tốn thực tế. Bên cạnh đó,


7

nó là tài liệu tham thảo hữu ích cho những người quan tâm đến ứng dụng đạo
hàm và tích phân trong một số bài toán kinh tế cơ bản.
7. Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn được trình bày trong ba chương.

Chương 1. “Kiến thức chuẩn bị” .
Chương này dành để trình bày một số khái niệm tính chất cơ bản của phép
tính vi phân của hàm một và nhiều biến, phép tính tích phân hàm một biến làm
cơ sở cho việc ứng dụng vào các chương sau.

´
Chương 2. “ Ưng
dụng đạo hàm và đạo hàm riêng trong một số bài tốn kinh
tế” .

Chương này dành để trình bày những ứng dụng của đạo hàm và đạo hàm
riêng trong một số bài tốn kinh tế. Đó là những bài tốn liên quan đến hàm
cận biên, hàm bình qn, bài toán tối ưu kinh tế như lợi nhuận kinh tế, doanh
thu tối đa, chi phí tối thiểu.

´
Chương 3. “ Ưng
dụng tích phân trong một số bài tốn kinh tế” .

Chương này dành để trình bày những ứng dụng của tích phân trong một số
bài tốn kinh tế. Đó là những bài toán liên quan đến hàm tổng, hàm quỹ vốn,
hàm đầu tư, thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng.
Ngồi ra, luận văn cịn có: Lời cam đoan, lời cảm ơn, mục lục, phần mở đầu,
phần kết luận và kiến nghị, tài liệu tham khảo.


CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này dành để trình bày một số khái niệm tính chất cơ bản của phép
tính vi phân của hàm một và nhiều biến, phép tính tích phân hàm một biến làm
cơ sở cho việc ứng dụng vào các chương sau. Nội dung chính của chương này lấy
từ [5]. Ngồi ra các ví dụ trong mục này được chúng tơi tương tự hóa một số ví
dụ trong tài liệu [5].

1.1

Phép tính vi phân hàm một biến

1.1.1 Định nghĩa. 1) Cho hàm số f : (a, b) → R và x0 ∈ (a, b). Ta gọi ∆x = x − x0

là số gia của đối số (với |∆x| đủ nhỏ) và tương ứng

∆y = f (x) − f (x0 ) = f (x0 + ∆x) − f (x0 )
là số gia của hàm số tại x0 . Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
∆y

f (x0 + ∆x) − f (x0 )
f (x) − f (x0 )
= lim
= lim
x→x0
∆x→0 ∆x
∆x→0
x − x0
∆x
lim

thì ta nói hàm f có đạo hàm tại điểm x0 và được ký hiệu là f ′ (x0 ) hay y ′ (x0 ).
2) Hàm f được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a, b) nếu nó có đạo hàm tại mọi
điểm thuộc khoảng đó.
1.1.2 Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số y = f (x) = x3 .
Giải:
Rõ ràng, tập xác định của hàm số: D = R. Lấy tùy ý x0 ∈ R, xét giới hạn:
lim

x→x0

x3 − x30
f (x) − f (x0 )
= lim
= lim (x2 + x.x0 + x20 ) = 3x20 .
x→x0 x − x0
x→x0
x − x0
8

9
Vậy f ′ (x0 ) = 3x20 hay (x3 )′ = 3x2 .
1.1.3 Định nghĩa. Cho hàm số f : (a, b) → R và x0 ∈ (a, b).
1) Hàm f được gọi là có đạo hàm trái tại điểm x0 nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
lim −

∆x→0

f (x0 + ∆x) − f (x0 )
:= f−′ (x0 ).
∆x

2) Hàm f được gọi là có đạo hàm phải tại điểm x0 nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
lim +

∆x→0

f (x0 + ∆x) − f (x0 )
:= f+′ (x0 ).
∆x

3) Hàm số f có đạo hàm trên đoạn [a;b] nếu nó có đạo hàm trên khoảng (a;b) và
có đạo hàm bên phải tại a, đạo hàm bên trái tại b.

Rõ ràng, hàm số có đạo hàm tại điểm x0 khi và chỉ khi hàm số có đạo hàm
trái và đạo hàm phải tại x0 , đồng thời hai đạo hàm này bằng nhau, tức là: f ′ (x0 )
tồn tại ⇔ f−′ (x0 ) = f+′ (x0 ).
1.1.4 Nhận xét. Nếu hàm f có đạo hàm tại điểm x0 thì f liên tục tại x0 , điều này
ngược lại không đúng. Chẳng hạn hàm số f (x) = |x| liên tục tại x0 = 0 nhưng khơng

có đạo hàm tại điểm đó.

1.1.5 Định nghĩa. Cho hàm số f : (a, b) → R và x0 ∈ (a, b). Nếu số gia của hàm số f
tại x0 có thể biểu diễn được dưới dạng

∆f (x0 ) = A.∆x + α(∆x)
trong đó: A là một hằng số, α(∆x) là một vô cùng bé bậc cao hơn ∆x thì ta nói hàm
số f có vi phân (khả vi) tại x0 và giá trị A.∆x được gọi là vi phân của hàm số f tại
điểm x0 , ký hiệu là df (x0 ). Như vậy
df (x0 ) = A.∆x.
1.1.6 Nhận xét. 1) Hàm số f có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi hàm số f có vi phân
tại x0 và ta có df (x0 ) = f ′ (x0 ).∆x.
2) Nếu hàm số khả vi tại mọi điểm trên khoảng (a, b) thì ta nói hàm số khả vi trên
khoảng (a, b). Khi đó, ta có
df (x) = dy = A.∆x = f ′ (x0 ).∆x.


10
Đặc biệt, nếu lấy y = f (x) = x thì dx = ∆x. Do đó, biểu thức vi phân của hàm số
y = f (x) thường được viết dưới dạng: df (x) = f ′ (x)dx.
1.1.7 Định lí. Nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) khả vi tại x0 ∈ (a, b) thì ta có:
a) d(u + v) = du + dv;
b) d(u − v) = du − dv;
c) d(ku) = kdu (k là hằng số);
d) d(uv) = vdu + udv;
u
vdu − udv
e) d( ) =
, (v ̸= 0).

v
v2
1.1.8 Ví dụ. Tính vi phân của các hàm số sau:
a) y = 2x − 3.
b) y = x sin x.
Giải:
a) Ta có dy = d(2x + 3) = (2x + 3)′ dx = 2dx.
b) Ta có dy = d(x. sin x) = (x. sin x)′ dx = (sin x + x. cos x)dx.
1.1.9 Định nghĩa. Cho hàm số f : (a, b) → R. Giả sử f có đạo hàm trên khoảng

(a, b). Khi đó xác định cho ta hàm số f : (a, b) → R. Tiếp tục, giả sử hàm f có đạo
′

′

hàm trên khoảng (a, b). Khi đó, đạo hàm của hàm f được gọi là đạo hàm cấp 2 của
′

hàm số f và được ký hiệu: f ′′ (x) hay y ′′ .
Tiếp tục quá trình này, giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm đến cấp (n − 1) trên khoảng
(a, b). Khi đó xác định cho ta hàm số f (n−1) : (a, b) → R. Tiếp tục, giả sử hàm f (n−1)

có đạo hàm trên khoảng (a, b). Khi đó, đạo hàm của hàm f (n−1) được gọi là đạo hàm
cấp n của hàm số f và được ký hiệu f (n) (x) hay y (n) .
Như vậy:
y (n) = [y (n−1) ]′ .
1.1.10 Ví dụ. Tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số:
a) y = x.(ln 2x + 1).
b) y = x. sin 2x.

Giải:Ta có:


11
a) y = x.(ln 2x + 1).

y ′ = (x)′ .(ln 2x + 1) + x.(ln 2x + 1)′ .
Suy ra
y ′ = (ln 2x + 1) + x.

2
= (ln 2x + 1) + 1.
2x

Vậy
y ′′ = (y ′ )′ = (ln 2x + 2)′ =

2
1
= .
2x
x

b) y = x. sin 2x.
Ta có
y ′ = (x. sin 2x)′ = sin 2x + 2x. cos 2x.
Vậy
y ′′ = (sin 2x + 2x. cos 2x)′ = 2. cos 2x + (2. cos 2x − 4x. sin 2x) = 4. cos 2x − 4x. sin 2x.
1.1.11 Định nghĩa. Cho hàm số f : (a, b) → R và x0 ∈ (a, b). Ta nói rằng hàm số đạt

giá trị cực đại ( tương ứng giá trị cực tiểu) tại điểm x0 ∈ (a; b) nếu tồn tại δ > 0 sao
cho f (x) ≤ f (x0 ) (tương ứng f (x) ≥ f (x0 )) với mọi 0 < |x − x0 | < δ.

Điểm mà tại đó hàm số nhận giá trị cực đại hoặc giá trị cực tiểu được gọi chung là
điểm cực trị của hàm số.
1.1.12 Định lí. [6] Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trong khoảng (a; b). Khi đó:
a) Nếu f ′ (x) > 0, (f ′ (x) < 0) tại mọi điểm x ∈ (a; b) thì hàm số f (x) đơn điệu tăng

(giảm) trong khoảng (a; b).

b) Nếu f ′ (x) = 0 tại mọi điểm x ∈ (a; b) thì hàm số f (x) nhận giá trị không đổi

trong khoảng (a; b).

1.1.13 Định lí. Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f (x) và tại điểm đó hàm số f (x)
có đạo hàm thì f ′ (x0 ) = 0.
1.1.14 Nhận xét. Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm tới hạn, tức là:
a) Điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu (gọi là điểm dừng).
b) Điểm mà tại đó hàm số liên tục nhưng khơng có đạo hàm.


12
1.1.15 Định lí. Giả sử x0 là một điểm tới hạn của f (x) và tồn tại ε > 0 và f ′ (x) có
dấu xác định trong mỗi khoảng (x0 − ε, x0 ), (x0 , x0 + ε). Khi đó:
a) Nếu khi qua điểm x0 đạo hàm f ′ (x) đổi dấu thì hàm số f (x) đạt cực trị tại điểm
đó.
(i) x0 là điểm cực đại nếu f ′ (x) đổi dấu từ dương sang âm.
(ii) x0 là điểm cực tiểu nếu f ′ (x) đổi dấu từ âm sang dương.
b) Nếu khi qua điểm x0 đạo hàm f ′ (x) khơng đổi dấu thì hàm số khơng đạt cực trị
tại điểm đó.

1.1.16 Định lí. Giả sử x0 là một điểm dừng của hàm số f và tồn tại số tự nhiên n ≥ 2
sao cho: f ′ (x0 ) = f ′′ (x0 ) = .... = f (n−1) (x0 ) = 0 và f (n) (x0 ) ̸= 0. Khi đó:
a) Nếu n là số chẵn thì x0 là một điểm cực trị của hàm số f (x) và
(i) x0 là điểm cực đại nếu f (n) (x0 ) < 0.
(ii) x0 là điểm cực tiểu nếu f (n) (x0 ) > 0.
b) Nếu n là số lẻ thì x0 là một điểm cực trị của hàm số f (x).
1.1.17 Ví dụ. Tìm cực trị của hàm số y = (x − 2)4 .

Giải:

Hàm số y = (x − 2)3 có tập xác định D = R.

Ta có y ′ = 4(x − 2)3 và y ′ = 0 ⇔ x = 2. Suy hàm số có điểm dừng x0 = 2.
Đạo hàm cấp hai y ′′ = 12(x − 2)2 ⇒ y ′′ (2) = 0.

Đạo hàm cấp ba y ′′′ = 24(x − 2) ⇒ y ′′′ (2) = 0.

Đạo hàm cấp bốn y (4) = 24 ⇒ y (4) (2) = 24 > 0.

Do đó hàm số y = (x − 2)4 đạt giá trị cực tiểu tại x = 2 với yCT = 0.
1.1.18 Nhận xét. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b]. Khi đó hàm số sẽ đạt giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Muốn tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số f (x), ta tìm tất cả các điểm tới hạn của hàm số trên đoạn [a; b], rồi
tính giá trị của f (x) tại các điểm tới hạn và tại a, b. So sánh các giá trị tính được, từ
đó suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a; b].
1.1.19 Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f (x) = 3x4 − 8x3 − 6x2 + 24x + 1 trên đoạn [-2, 3].


13

Giải:
Ta có: f ′ (x) = 12x3 − 24x2 − 12x + 24 = 12(x2 − 1)(x − 2).
Do đó f ′ (x) = 0 ⇔ x = −1, x = 1, x = 2.

So sánh các giá trị f (−2) = 41, f (−1) = −18, f (1) = 14, f (2) = 9, f (3) = 46 ta tìm

được:

Giá trị lớn nhất: M ax f (x) = f (3) = 46.
[−2;3]

Giá trị nhỏ nhất: M in f (x) = f (−1) = −18.
[−2;3]

1.1.20 Nhận xét. Cho hàm số y = f (x) khả vi trên (a, b).
a) Nếu f (x) có duy nhất điểm cực đại trên (a, b) thì giá trị lớn nhất của hàm số
y = f (x) trên (a, b) chính bằng giá trị cực đại của nó.
b) Nếu f (x) có duy nhất điểm cực tiểu trên (a, b) thì giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = f (x) trên (a, b) chính bằng giá trị cực tiểu của nó.
1.1.21 Ví dụ. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) = x3 − 3x2 + 5 trên khoảng
(1; 3).
Giải:
Ta có y ′ = f ′ (x) = 3x2 − 6x = 3x(x − 2) và y ′′ = f ′′ (x) = 6x − 6.
Do đó, y ′ = 0 ⇔ x1 = 2; x2 = 0 (loại).

Tại x1 = 2, f ′′ (2) = 6 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm này, vì có duy nhất điểm

cực tiểu trên khoảng (1; 3) nên giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên khoảng đó
bằng giá trị cực tiểu f (2) = 1.

1.2

Phép tính tích phân hàm một biến

1.2.1 Định nghĩa. Hàm khả vi F được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trên tập
X ∈ R nếu F ′ (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx, ∀x ∈ X.

Tích phân khơng xác định của hàm f (x) là tập tất cả các nguyên hàm của hàm số
f (x), nó có dạng tổng quát F (x) + C, trong đó F (x) là một nguyên hàm của hàm số
f (x) và C là hằng số bất kì.
∫
Ký hiệu: f (x)dx = F (x) + C.

Sau đây là một số tính chất cơ bản của tích phân khơng xác định.


14
∫
1.2.2 Định lí. a) ( f (x)dx)′ = f (x);
∫
∫
b) f ′ (x)dx = f (x) + C hay df (x) = f (x) + C;
∫
∫
∫
c) [f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx;
∫
∫
d) kf (x)dx = k f (x)dx ( k là hằng số);
∫

∫
e) Nếu f (x)dx = F (x) + C thì f (u)du = F (u), trong đó u = u(x) là hàm số có
đạo hàm liên tục.

1.2.3 Định nghĩa. Cho hàm số y = f (x) xác định và bị chặn trên [a, b].
Chia đoạn [a; b] thành n phần bởi các điểm chia a = x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = b
(phép phân hoạch π).
Đặt △i = xi − xi−1 (i = 1, 2, 3...n) và dπ = max △i . Lấy tùy ý ξi ∈ [xi ; xi−1 ] với
1≤i≤n

i = 1, 2, 3...n.
Lập tổng σ(π) =

n
∑

i=1

△i f (ξi ). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
lim σ(π) = lim

n→∞

dπ →0

n
∑

∆i f (ξi ) = I,

i=1

mà không phụ thuộc phép phân hoạch π, cũng như cách chọn điểm ξi thì ta nói hàm số
y = f (x) khả tích trên [a, b] và I được gọi là tích phân xác định của hàm số y = f (x)
trên [a, b] và được kí hiệu là
I=

∫

b

f (x)dx,
a

trong đó f (x) là hàm dưới dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên.
1.2.4 Định lí. Các lớp hàm sau đây khả tích trên [a; b].
a) Các hàm liên tục trên [a; b];
b) Các hàm số bị chặn và gián đoạn tại hữu hạn điểm trên [a; b];
c) Các hàm số bị chặn và đợn điệu trên [a; b].

Ta có các tính chất của tích phân xác định.
∫a
∫b
1.2.5 Định lí. a) a f (x)dx = − b f (x)dx;
∫b
∫c
∫b
b) a f (x)dx = a f (x)dx + c f (x)dx;
∫b
∫b

∫b
c) a [f (x) ± g(x)]dx = a f (x)dx ± a g(x)dx;


15
d)

∫b
a

kf (x)dx = k

∫b
a

f (x)dx (k là hằng số);

e) Nếu a < b và f (x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a; b] thì:

∫b
a

f (x)dx ≥

∫b
a

g(x)dx;

f) (Định lí giá trị trung bình) Nếu hàm số f liên tục trên [a, b] (hoặc [b, a]) thì tồn

tại ít nhất một số ξ trong khoảng (a, b) sao cho
∫ b
f (x)dx = f (ξ)(b − a);
a

g)

∫a
a

f (x)dx = 0.

1.2.6 Định nghĩa. Giả sử f là hàm số liên tục trên [a, b], khi đó ∀x ∈ [a; b] hàm số
∫ x
Φ(x) =
f (t)dt
a

được gọi là hàm cận trên (hay tích phân xác định với cận trên thay đổi).
1.2.7 Định lí. Nếu f(x) là hàm số liên tục trên [a; b] thì ∀x ∈ [a; b] ta có:
′

Φ (x) = (

∫

x

f (t)dt)′ = f (x).
a

Trường hợp phải tính đạo hàm của hàm số
∫

β(x)

∫ β(x)
α(x)

f (t)dt, ta đặt

f (t)dt = F (β(x)) − F (α(x)),

α(x)

trong đó F(t) là một nguyên hàm của hàm số f(t) rồi sử dụng cơng thức đạo hàm của
hàm hợp.
1.2.8 Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số: f (x) =
Giải:

∫ x2

−2

ln(t3 + 1)dt.

Sử dụng trực tiếp theo công thức
∫ β(x)
(
f (t)dt)′ = f [β(x)]β ′ (x) − f [α(x)]α′ (x).

α(x)

Ta có
′

f (x) = (

∫

x2

ln(t3 + 1)dt)′ .
−2

Suy ra
f ′ (x) = f (x2 ).2x − f (−2).0
= 2x.ln(x6 + 1).


16
1.2.9 Định lí. (Cơng thức Newton - Leibnitz) Giả sử F là nguyên hàm bất kì của
hàm số liên tục f trên đoạn [a, b]. Khi đó ta có
∫

b

f (x)dx = F (b) − F (a) = F (x)

a

1.2.10 Ví dụ. Tính tích phân I =
Giải:
Ta có I =

1.3

∫2
1

2xdx = x2

2

∫2
1

b

.

a

2xdx.

= 3.

1

Phép tính vi phân hàm nhiều biến

1.3.1 Định nghĩa. Cho x, y, w là các biến số, nếu có một quy luật f cho tương ứng
với mỗi cặp giá trị của hai biến (x, y) với một giá trị xác định và duy nhất của một
biến số w thì ta gọi f là hàm số hai biến số.
Coi (x, y) là tọa độ của điểm M (x, y) trong mặt phẳng R2 thì f được coi là hàm với
biến điểm M và được ký hiệu là w = f (x, y) hay w = f (M ).
- Khi x = x0 và y = y0 thì giá trị tương ứng của hàm số ký hiệu là f (x0 , y0 ) và được
coi là giá trị của hàm số tại (x0 , y0 ).
- Miền D gồm tất cả các điểm M(x, y) mà tại đó biểu thức w = f(x, y) có nghĩa được
gọi là miền xác định tại điểm M(x, y) và ký hiệu là f(M) hay f(x, y).
y
y
1.3.2 Ví dụ. Cho hàm số f (x, y) = xy+ . Hãy tìm biểu thức của hàm số: f (y, x), f (1, ).
x
x
Giải:
x
y
Trong biểu thức f (x, y) = xy + thay x bởi y và y bởi x ta được f (y, x) = yx + .
x
y
y
y
y
y y
2y
Trong biểu thức f (x, y) = xy + thay x bởi 1 và y bởi ta được f (1, ) = + = .
x
x
x
x x

x
1.3.3 Ví dụ. Các mơ hình hàm số trong phân tích kinh tế
1. Hàm sản xuất.
Khi phân tích hoạt động sản xuất, các nhà kinh tế quan tâm đến hai yếu tố đầu
vào quan trọng là vốn (capital) và lao động (labor) và chúng được ký hiệu là K và L.
Do đó hàm sản xuất có dạng Q = f (K, L).


17
Điều này có nghĩa hàm sản xuất biểu diễn sự phụ thuộc của sản lượng hàng hóa
vào hai yếu tố đầu vào vốn và lao động. Một hàm sản xuất mà kinh tế học thường sử
dụng là hàm sản xuất dạng Cobb-Douglas: Q = a.K α .Lβ , trong đó a, α, β là các hằng
số dương.
2. Hàm chi phí.
Hàm chi phí phụ thuộc đầu vào C = C(K, L).
Nếu tính theo các yếu tố sản xuất thì hàm chi phí là hàm số của các yếu tố sản xuất
và có dạng
C(K, L) = wK K + wL L + C0 ,
trong đó: wK là giá thuê một đơn vị tư bản.
wL : Giá thuê một đơn vị lao động.
C0 : Chi phí cố định.
Hàm chi phí kết hợp: C = C(Q1 , Q2 ), trong đó
Q1 : Số đơn vị hàng hóa 1;
Q2 : Số đơn vị hàng hóa 2.
3. Hàm doanh thu.
Nếu doanh nghiệp là doanh nghiệp cạnh tranh thì tổng doanh thu của doanh nghiệp
phụ thuộc vào K, L và có dạng
R = p.f (K, L) = R(K, L).
Hàm doanh thu gộp
R = R1 + R2 = p1 Q1 + p2 Q2 = R(Q1 , Q2 ).

4. Hàm lợi nhuận.
π = R − C.
Hàm lợi nhuận phụ thuộc đầu vào
π = p.f (K, L) − (wK K + wL L + C0 ) = π(K, L).
Hàm lợi nhuận phụ thuộc đầu ra
π(Q1 , Q2 ) = R(Q1 , Q2 ) − C(Q1 , Q2 ).


18
5. Hàm lợi ích (hàm thỏa dụng).
Giả sử cơ cấu tiêu dùng của người tiêu dùng gồm có n mặt hàng. Mỗi giỏ hàng là
một bộ phận gồm n số thực X = (x1 , x2 , ......., xn ) trong đó x1 là lượng hàng hóa T1 ,
x2 là lượng hàng hóa T2 ,......,xn là lượng hàng hóa Tn . Hàm lợi ích là hàm số đặt tương
ứng với mỗi túi hàng X = (x1 , x2 , ......., xn ) với một giá trị U nhất định theo quy tắc.
Giỏ hàng nào được ưa chuộng nhiều hơn thì gán giá trị lợi ích lớn hơn. Hàm lợi ích có
dạng tổng quát như sau
U = U (x1 , x2 , ......., xn ).
Hàm lợi ích hay được sử dụng là hàm Cobb - Douglas:
U = axα1 1 xα2 2 ......xαnn ,
trong đó α1 , α2 , ....., αn là các hằng số dương.
6. Hàm cung và hàm cầu trên thị trường n hàng hóa liên quan.
Mức cung và mức cầu đối với một loại hàng hóa trên thị trường khơng những phụ
thuộc vào giá hàng hóa đó mà cịn bị chi phối bởi giá của các hàng hóa liên quan và
thu nhập của người tiêu dùng. Trên thị trường n hàng hóa liên quan hàm cung và hàm
cầu đối với hàng hóa i có dạng (giả thiết thu nhập không thay đổi)
Qsi = Si (p1 , p2 , ...., pi )
Qdi = Di (p1 , p2 , ...., pi )
trong đó Qsi là lượng cung hàng hóa i, Qdi là lượng cầu hàng hóa i, pi là giá của hàng
hóa i với (i = 1, 2, 3, ...., n).
7. Điểm cân bằng.

Mức thu nhập quốc dân cân bằng Y phụ thuộc vào chi tiêu của chính phủ G0 , lượng
đầu tư I0 và xuất khẩu X0 .
Y = f (G0 , I0 , X0 ).
Mức lãi suất cân bằng r phụ thuộc vào chi tiêu của chính phủ G0 và lượng cung
tiền M0
r = g(G0 , M0 ).


19
1.3.4 Ví dụ. 1) Cho các hàm cầu: Q1 = 40 − p1 ; Q2 = 30 − 0, 5p2 . Hãy lập hàm doanh

thu R(Q1 , Q2 ).
Giải:

Ta có Q1 = 40 − p1 ; Q2 = 30 − 0, 5p2 ⇒ p1 = 40 − Q1 ; p2 = 60 − 2Q2 .

Hàm doanh thu

R(Q1 , Q2 ) = p1 Q1 + p2 Q2
= (40 − Q1 )Q1 + (60 − 2Q2 )Q2
= −Q21 − 2Q22 + 40Q1 + 60Q2 .
2) Cho các hàm cầu: Q1 = 1300 − p1 ; Q2 = 675 − 0, 5p2 và hàm chi phí kế hợp

C(Q1 , Q2 ) = Q21 + 3Q1 Q2 + Q22 . Hãy lập hàm lợi nhuận π(Q1 , Q2 ).
Giải:

Ta có Q1 = 1300 − p1 ; Q2 = 675 − 0, 5p2 ⇒ p1 = 1300 − Q1 ; p2 = 1350 − 2Q2 .

Hàm lợi nhuận

π(Q1 , Q2 ) = p1 Q1 + p2 Q2 − C(Q1 , Q2 )
= (1300 − Q1 )Q1 + (1350 − 2Q2 )Q2 − (Q21 + 3Q1 Q2 + Q22 )
= −2Q21 − 3Q22 + 1300Q1 + 1350Q2 − 3Q1 Q2 .
3) Cho hàm sản xuất Q = 10K 0,3 .L0,4 . Giá thuê một đơn vị K là pK = 3, giá thuê
một đơn vị lao động là pL = 2 và giá sản phẩm là p = 4. Hãy lập hàm lợi nhuận π(K, L).
Giải: Ta có:
Hàm chi phí: C(K, L) = 3K + 2L.
Doanh thu: R(K, L) = p.Q = 40K 0,3 L0,4 .
Hàm lợi nhuận:
π(K, L) = R(K, L) − C(K, L)
= 40K 0,3 .L0,4 − 3K − 2L.
4) Cho hàm sản xuất Q = −K 2 − L2 + 25K + 60L. Giá thuê một đơn vị K là

pK = 10, giá thuê một đơn vị lao động là pL = 20 và giá sản phẩm là p = 2 và chi phí
cố định C0 = 150. Hãy lập hàm lợi nhuận π(K, L).
Giải: Ta có:
Hàm chi phí: C(K, L) = 10K + 20L + 150.


20
Doanh thu:
R(K, L) = p.Q = 2(−K 2 − L2 + 25K + 60L)
= −2K 2 − 2L2 + 50K + 120L.
Hàm lợi nhuận:
π(K, L) = R(K, L) − C(K, L)
= −2K 2 − 2L2 + 40K + 100L − 150.
1.3.5 Định nghĩa. Với w = f (M ) = f (x, y) là một hàm số cho trước, mỗi dãy điểm:
M1 (x1 , y1 ), M2 (x2 , y2 ), ...., Mk (xk , yk ), ... (1) cho tương ứng với một dãy giá trị tương
ứng của hàm số w = f (M ) = f (x, y): w1 = f (M1 ), w2 = f (M2 ), ......wk = f (Mk ), ....
(2). Khi đó, với mỗi dãy (1) thuộc miền xác định D của hàm số w = f (M ) và hội tụ

đến điểm A(a, b) mà dãy số (2) ln có giới hạn L thì số L được gọi là giới hạn của
hàm số w = f (M ) khi M → A(x → a, y → b) và được ký hiệu: lim f (M ) = L hoặc
M →A

lim f (x, y) = L.

x→a
y→b

Ta cũng có thể viết gọn khái niệm giới hạn như sau:
lim f (M ) = L ⇔ ∀Mk ⊂ D, lim Mk = A ⇒ lim f (Mk ) = L.

M →A

k→∞

k→∞

Giới hạn như trên cũng được gọi là giới hạn kép.
Rõ ràng để chứng minh một hàm số hai biến số có giới hạn kép tại một điểm
M0 (x0 , y0 ) nào đó ta lấy một dãy điểm bất kỳ mà dãy điểm đó hội tụ đến điểm M0 (x0 , y0 )
và chứng minh dãy hàm số tương ứng hội tụ đến một số L. Khi đó, ta kết luận L là
giới hạn của hàm số.
1.3.6 Ví dụ. Chứng minh hàm số f (x, y) =
Giải:

x2 + y 2
có giới hạn tại điểm M0 (1, 2).
xy

Dễ thấy điểm M0 (1, 2) ∈ D miền xác định của hàm số.

Xét một dãy điểm bất kì Mk (xk , yk ) ⊂ D miền xác định của hàm số và dãy điểm

 lim xk = 1
k→∞
Mk (xk , yk ) hội tụ đến điểm M0 (1, 2) ⇔
.

 lim yk = 2
Dãy giá trị hàm số tương ứng là

k→∞

f (Mk ) =

x2k + yk2
xk y k