më ®çu s¸ng kiõn kinh nghiöm më ®çu i lý do chän ®ò tµi trong c«ng t¸c d¹y vµ häc trong nhµ tr­êng phæ th«ng ë mþ cêp häc viöc ®æi míi ph­¬ng ph¸p gi¶ng d¹y rêt cçn thiõt t¹o tiòn ®ò cho viöc rìn luy

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Mở đầu</b>

<b>I - Lý do chn tài</b>

Trong công tác dạy và học trong nhà trờng phổ thông ở mị cấp học, việc
đổi mới phơng pháp giảng dạy rất cần thiết tạo tiền đề cho việc rèn luyện tính
tích cực, chủ động tìm ra kiến thức trong học tập cho học sinh theo phơng châm:
"Phát huy tính độc lập suy nghĩ, tự chủ trong học tập và rèn luyện".

Trong thực tế, ở các trờng THCS số học sinh cịn non về mơn tốn chiếm
tỷ lệ đáng kể. Hiện tợng này di do nhiều nguyên nhân, trong đó chủ yếu là do
các học sinh đó cha có điều kiện tốt cho học tập, giáo viên cha khơi dậy đợc
niềm đam mê học toán cho học sinh …Vấn đề này đặt ra cho ngời thầy về phơng
pháp giảng dạy, thông qua từng tiết dạy, từng bài dạy trên lớp thực hiện theo định
hớng là làm thế nào để học sinh phát huy đợc tính tích cực, sáng tạo, giúp các
em biết cách học, cách suy nghĩ, tìm tịi và từng bớc sáng tạo trong học toán.

Với tinh thần đó, nhiệm vụ của giáo viên phổ thơng nói chung, giáo viên
dạy tốn nói riêng phải chủ động tìm ra cách giải hợp lý để khơi dậy niềm đam
mê học toán cho học sinh, giúp cho tất cả các học sinh nắm đợc các kiến thức cơ
bản, từ đó tự khai thác các kiến thức cao hơn, sâu hơn, tạo điều kiện tiếp cận nền
khoa học kỹ thuật hiện đại, tiên tiến. Góp phần thực hiện mục tiêu chiến lựơc của
ngành Giáo dục và Đào tạo hiện nay: "Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi
d-ỡng nhân tài".

Là giáo viên dạy tốn, tơi thấy rằng: mơn Tốn có khả năng to lớn phát
triển trí tuệ học sinh thông qua việc rèn luyện các thao tác t duy (Phân tích, tổng
hợp, khái qt hố, trừu tợng hố và cụ thể hoá). Năng lực lĩnh hội các khái niệm
trừu tợng, năng lực suy luận lôgic và ngôn ngữ nhằm rèn luyện phẩm chất trí tuệ
về t dy độc lập, t duy sáng tạo.

Trong năm qua, đợc phân cơng giảng dạy tốn lớp 7. ở phần đa thức SGK
mới chỉ đề cập đến cộng, trừ đa thức, chứng tỏ một giá trị nào đó của biến là
nghiệm của đa thức (hoặc không phải là nghiệm của đa thức), tìm nghiệm của đa
thức ở mức độ đơn giản…Do dó, cần phải khai thác thêm các dạng toán phức tạp
để tạo cơ hội cho học sinh t duy sáng tạo khi học phần này. Từ đó giúp các em
học tốt chơng trình đại số sau này.

<b>II Mục đích của đề tài.</b>

Đề tài này nghiên cứu nhằm giúp học sinh lớp 7 nắm chắc, đào sâu kiến
thức về phần đa thức thông qua việc:

+ Rèn luyện cho học sinh t duy độc lập, sáng tạo

+ Học sinh biết cách suy luận, lập luận đúng để tìm tịi dự đốn và phát
hiện vấn đề.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i><b>1. Mét sè vÝ dô:</b></i>

XuÊt phát từ bài tập ở SGK:

<b>Ví dụ 1</b>: Cho các ®a thøc
A(x) = 3x3_{- 5x}2_{+ 4x - 2}
B(x) = x3_{+ 4x}2_{+ 8x + 5}

Chứng tỏ rằng: a) x = 1 là một nghiệm của đa thức A(x)
b) x = -1 là một nghiệm của đa thức B(x)
- Học sinh dễ dàng chỉ ra đợc:

A(1) = 3.13_{- 5.1}2_{+ 4.1 - 2 = 3 - 5 + 4 - 2 = 0}

B(-1) = (-1)3_{+ 4. (-1)}2_{+ 8(-1) + 5 = -1 + 4 - 8 + 5 = 0}
Từ đó kết lun

x = 1 là một nghiệm của đa thức A(x)
x = -1 là một nghiệm của đa thức B(x)

Qua vớ dụ này giáo viên có thể nêu câu hỏi gợi mở để học sinh dự đoán,
nhận xét về hệ số các hạng tử của đa thức và đa ra bài tốn mới:

<b>VÝ dơ 2:</b> Cho ®a thøc f(x) = a.x3_{+ b.x}2_{+ c.x + d.}
Chøng minh r»ng:

a) Nếu a + b + c + d = 0 thì x = 1 là một nghiệm của đa thức f(x)
b) Nếu a + c = b + d thì x = -1 là một nghiệm của đa thức f(x)
Với bài toán này cần sử dụng định nghĩa nghiệm của một đa thức:
"x = a là nghiệm của đa thức f(x)  f(a) = 0"

a) x = 1 lµ mét nghiƯm cđa f(x)  f(1) = 0
ThËt vËy, f(1) = a.13_{+ b.1}2_{+ c.1 + d}

 f(1) = a + b + c + d

mµ a + b + c + d = 0 (theo gt)  f(1) = 0

b) x = -1 là một nghiệm của đa thức f(x)  f(-1) = 0
ThËt vËy, f(-1) = a.(-1)3_{+ b.(-1)}2_{+ c.(-1) + d}

 f(-1) = -a + b - c + d (1)

mµ a + c = b + d (gt)  -a - c + b + d = 0 (2)
Tõ (1) vµ (2)  f(-1) = 0

Qua bài toán này, giáo viên có thể tổng quát:

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

" x = -1 là một nghiệm của đa thức f(x) khi và chỉ khi tổng các hệ số của
các hạng tử có luỹ thừa bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử có luỹ thừa
bậc lẻ (xem hạng tử tự do là hệ số của x0_)".

<b>Ví dụ 3</b>: Tìm nghiệm của các đa thức:

M(x) = x2_{+ 3x + 2}
N(x) = x2_{- 4x + 3}

Học sinh dễ dàng nhẩm đợc x = -1 là một nghiệm của đa thức M(x)
(Vì…….1 + 2 = 3). Vấn đề đặt ra là tìm các nghiệm còn lại của đa thức là
nh thế nào ?.

Giáo viên cần gợi ý để học sinh hiểu đợc nếu x = a là nghiệm của f(x) 
f(x) = (x - a).g(x). Từ đó, học sinh tìm ra cách giải:

a) Ta cã M(x) = x2_{+ 3x +2 = x}2_{+ x + 2x + 2 = x(x + 1) + 2.(x + 1)}
= (x + 1) (x + 2)

M(x) = 0  (x + 1) (x + 2) = 0
x + 1 = 0  x = -1
x + 2 = 0  x = -1

VËy, x = -1, x = -2 là nghiệm của đa thức M(x)

b) Ta có: N(x) = x2_{- 4x + 3 = x}2_{- x - 3x + 3 = x(x - 1) - 3(x - 1)}
= (x - 1)(x - 3)

N(x) = 0  (x - 1)(x - 3) = 0
x - 1 = 0  x = 1
x - 3 = 0  x = 3
VËy x = 1, x = 3 là nghiệm của đa thức N(x)

Qua vớ dụ này, giáo viên gợi mở để học sinh nhận xột c:

" Một đa thức với hệ số nguyên và hệ số cao nhất bằng 1 thì moị nghiệm
nguyên của đa thức (nếu có) là ớc của hạng tử tự do"

<b>VÝ dơ 4: </b>

Chøng tá r»ng ®a thøc: P(x) = x2_{- 4x + 3 chia hÕt cho ®a thøc Q(x) = x - 3}

<i><b>Cách 1:</b></i> Sử dụng phép biến đổi ở mục b ví dụ 3:
P(x) = (x- 1) (x - 3)

Học sinh đễ dàng chỉ ra đợc đa thức Q(x) là ớc của đa thức P(x)

Qua đó, giáo viên có thể gợi mở để học sinh hiểu đợc P(x) chia hết cho
Q(x) khi và chỉ khi tất cả các nghiệm của Q(x) cũng là nghiệm của P(x).

<i><b>Ta có cách giải 2</b></i>: Q(x) = 0 x - 3 = 0  x = 3


</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Víi x = 3, ta cã: P(3) = 32_{- 4.3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0}
VËy ®a thøc P(x) chia hÕt cho ®a thøc Q(x)

<b>VÝ dơ 5</b>: Chøng tá r»ng biĨu thøc:
M = x

3_{+ 6x}2_{+ 3x - 10}

nguyªn
x2_{+ x - 2}

( Bài tốn này cha đề cập đến điều kiện có nghĩa của biểu thức)

Dễ thấy M nguyên  đa thức x2_{+ x - 2 là ớc của đa thức x}3_{+ 6x}2_{+3x - 10.}
Do đó, ta có cách giải sau:

§Ỉt f(x) = x3_{+ 6x}2_{+ 3x - 10}
g(x) = x2_{+ x - 2}

g(x) = 0  x2_{+ x - 2 = 0}
 (x - 1) (x + 2) = 0
 x = 1 hc x = 2

Víi x = 1, ta cã: f(1) = 13_{+ 6.1}2_{+ 3.1 - 10 = 0}

Víi x = -2, ta cã: f(-2) = (-2)3_{+ 6(-2)}2_{+ 3 (-2) - 10 = 0}
Do mäi nghiƯm cđa g(x) cịng lµ nghiƯm cđa ®a thøc f(x)
Suy ra: f(x) chia hÕt cho g(x)

VËy: M = x

3_{+ 6x}2_{+ 3x - 10}

nguyªn
x2_{+ x - 2}

<b>Ví dụ 6:</b> Tìm giá trị của m và n, sao cho:

Q = 2x

4_{- 3x}3_{+ 7x}2_{- (m + 1)x - n - 1}

nguyªn
x2_{- 5x + 6}

VËn dụng cách giải ví dụ 5, học sinh giải nh sau:
Đặt M(x) = 2x4_{- 3x}3 _{+ 7x}2_{-(m + 1)x - n - 1}
N(x) = x2_{- 5x + 6}

N(x) = 0  x2_{- 5x + 6 = 0}
 (x - 2)(x - 3) = 0
 x = 2 hoặc x = 3
Q nguyên M(x) chia hÕt cho N(x)

M(2) = 0
M(3) = 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

33 - 2m - n = 0 (1)
130 - 3m - n = 0 (2)

Tõ (1) suy ra: n = 33 - 2m, thay vµo (2) ta cã:
130 - 3m - (33 - 2m) = 0  m = 97

Thay m = 97 vào n = 33 - 2m ta đợc: n = -161

VËy víi m = 97 vµ n = -161 thì biểu thức Q nguyên .

<b>Ví dụ 7:</b> Tim nghiệm nguyên của đa thức:

f(x,y) = (x - y) (x + y) - 5

Học sinh đã đợc làm quen với cách tìm a, b nguyên, biết a . b = k
(kz) đã đợc học ở lớp 6

NÕu k = 0  a = 0 hc b = 0

NÕu k  0; viÕt k = ki . kj (ki, kj lµ íc cđa k), ®a vỊ:
a = kj a = ki

b = ki b = kj

Từ đó đa ra cách giải cho bài tập ở ví dụ 7.
f(x,y) = 0  (x - y) (x + y) - 5 = 0

 (x - y) (x + y) = 5 (1)
Ta cã: 5 = 1.5 = (-1).(-5)

x - y = 5
x + y = 1
x - y = 1
x + y = 5
x - y = -1

x + y = -5
x - y = -5
x + y = -1

Vậy đa thức f(x,y) có nghiệm nguyên là:

(x = 3; y = -2); (x = 3; y = 2); (x = -3; y = 2); (x = -3; y = -2)

<b>Ví dụ 8:</b> Tìm nguyện nguyên của đa thức:

g(x,y) = 3x2_{+ 5xy + 2y}2_{+ 7}

Với bài toán dạng này đa về: 3x2_{+ 5xy + 2y}2_{+ 7 = 0}
 3x2_{+ 5xy + 2y}2_{= -7}

Hc


(1)

 x = 3; y = -2

 x = 3; y = 2

 x = -3; y = 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

(3x + 2y) (x + y) = -7

Đến đây bài toán giải tơng tự nh ví dụ 7
* <i><b>Một số bài toán cần lu ý thêm</b></i>:

1 1. Chứng tá r»ng ®a thøc: f(x) cã Ýt nhÊt hai nghiƯm, biÕt r»ng:
2 xf(x + 1) = (x + 2)f(x)

3 2. Tìm nghiệm của đa thức:

4 f(x) = 4x2_{+ 4x + 1 (đề thi khảo sát học sinh khá, giỏi)}
3. Cho các đa thức:

f(x) = x3_{- 7x}2_{- 9x + 8}
g(x) = ax + b

h(x) = x2_{+ x - 1}

a) Tìm a, b để f(x) = g(x) h(x)

</div>

<!--links-->