Cac dang toan lien quan den duong thang mat phang

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<i>VẤN ĐỀ 4</i>

<b>CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN</b>

<b>CÁC ĐƯỜNG THẲNG &CÁC MẶT PHẲNG</b>

A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:

I) <i>Vị trí tương đối của hai đường thẳng:</i>

1)

 

 &



'



đồng phẳng
<i>u</i>;<i>u</i>'<i>M</i>0<i>M</i>0'0




a)() caét (’)   _{u & u ' kh}&' _ng


 

½ëng phÚng
éng cĨng phõï 
  '

0 0

u; u ' M M 0

a : b : c a ' : b ' : c '










  

II) <i>Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng</i>:

1)

 

 caét

 

  nu 0  Aa Bb Cc 0   4)

 

 

 

  <i>n</i>&<i>u</i>cùng phương
 A : B : C a : b : c

2)

 

 //

 

 

 

0

u n

M


 










0 0 0

Aa Bb Cc 0

Ax By Cz D 0

  

   




 3)

 

 

 

  0  

u n

M


 










* Để tìm <i>giao điểm của hai đường thẳng</i>

 

 &



'



ta giải hệ gồm hai phương trình của

 

 &



'



.

* Để tìm <i>giao điểm của đường thẳng</i>

 

 & <i>mặt phẳng</i>

 

 ta giải hệ gồm hai phương trình của

 



III) <i>Tìm hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng</i>

 

 :

+ Viết phương trình đường thẳng

 

 qua A và vng góc

 

 . + Hình chiếu

 

 

 




<i>H</i>

V) <i>Tìm hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng</i>

 

 :

+ Viết phương trình mặt phẳng

 

 qua A và vuông góc

 

 . + Hình chiếu

 

 

 





<i>H</i>

IV) <i>Tìm điểm </i>A<i> ’đối xứng qua mặt phẳng</i>A

 

 :

+ Tìm hình chiếu H của A lên

 

 . + A’ đối xứng A qua

 

  H là trung điểm AA’. Từ đó
tìm A’.

VI) <i>Tìm điểm </i>A’<i> đối xứng </i>A<i> qua đường thẳng</i>

 

 :

+ Tìm hình chiếu H của A lên

 

 . + A’ đối xứng A qua

 

  H là trung điểm AA’. Từ đó

tìm A’.

VII)<i>Viết phương trình hình chiếu vng góc của đường thẳng d lên mặt phẳng (  ) </i>:

Gọi  là đường thẳng cần tìm thì  = ()  (). Trong đó () là mặt phẳng chứa d và vng góc ()

VIII)<i>Viết phương trình hình chiếu song song của đường thẳng d lên mặt phẳng (  ) theo phương  (d</i>
<i>và </i>

<i>  là hai đường thẳng chéo nhau hay cắt nhau)</i>:

Gọi  là đường thẳng cần tìm thì  = ()  (). Trong đó () là mặt phẳng chứa d và song song  (hay

chứa d và  khi d và  cắt nhau)

IX)<i>Viết phương trình đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau  và  ’ </i> :
*<i>C1</i>: ( và ’ có dạng tham số)

+ LấyM ; M ' '

+ MM’là đường vng góc chung  và ’  MM ' u  & MM ' u '

 _

+ Tìm M; M’. Đường thẳng MM’ chính là đường vng góc chung cần tìm.
*<i>C2</i>: ( và ’ có dạng tổng qt)

+Gọi d là đường vng góc chung của  và ’thì d có VTCP là u 



u;u ' 



.

b) () //(’)  '
0 0

M M kh ng u & u '

u&u' cùng phương
cùng phương







 

 



é 

 0 0  0 0  0 0

a : b : c a ': b': c' x ' x : y ' y : z ' z    

c) () (’)  '
0 0

u; u & M M cùng phương

  





o 0

 

0

 

0 0



a : b : c a ': b':c' x ' x : y ' y : z ' z    

2) () vaø (’) cheùo nhau u; u ' M M 0 '00



 

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

B/ CÁC DẠNG TOÁN CẦN LUYỆN TẬP:

1. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
2. Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

3. Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.

<i>BÀI TẬP</i>

<i>Bài 1</i>: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (trong trường hợp chúng cắt nhau hãy tìm tọa
độ giao điểm):

1)

 

2 3
: 1
4
<i>x</i> <i>t</i>
<i>y</i>
<i>z</i> <i>t</i>
 


 _ 
  


vaø

 























0

17

3

7

0

2

2

:'

<i>z</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>z</i>

<i>y</i>

2)

 

: 8 4

3 3
<i>x t</i>
<i>y</i> <i>t</i>
<i>z</i> <i>t</i>



 _  
  



vaø

 





















0

2

2

0

:'

<i>z</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>z</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

3)

 

9
: 5

3
<i>x</i> <i>t</i>
<i>y</i> <i>t</i>
<i>z</i> <i>t</i>



 _ 
  


vaø

 

























0

3

2

0

9

3

3

2

:'

<i>z</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>z</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

4)

 



















0

3

2

0

3

2

:

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

và

 





















0

8

0

8

2

:'

<i>z</i>

<i>x</i>

<i>z</i>

<i>y</i>

.

<i>Bài 2</i>: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng (trong trường hợp cắt nhau hãy tìm
tọa độ giao điểm của chúng):

1)

 

1
1
1
2
1
:






 <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> vaø

 

 : x + 2y + z - 1 = 0.
2)

 

3
4
2
1
8
13
:     

 <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> vaø

 

 : x + 2y - 4z + 1 = 0.

3)

 

























0

5

0

10

6

3

2

:

<i>z</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>z</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

vaø

 

 :<i>y</i>4<i>z</i>170.

<i>Bài 3</i> : Trong không gian tọa độ cho 3 điểm A(1;4;0) , B(0;2;1) và C(1;0;-4).

1) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

*<i>Đặc biệt</i>: Khi  và ’ chéo nhau nhưng vuông góc ta có thể làm như sau:

+Viết phương trình mặt phẳng () chứa  và vng góc ’.

+Viết phương trình mặt phẳng () chứa ’ và vng góc .

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng () đi qua điểm C và vng góc với đường

thaúng AB.

3) Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng ().

4) Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB. (Đề thi TN THPT Kì II 1996-1997)

<i>Bài 4</i> : Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0;2;3), B(2;0;0), C(0;1;2).

1) Viết phương trình mặt phẳng

 

 đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC.
2) Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng BC và mặt phẳng

 

 .

(Đề thi Thử mơn Tốn của BGD 1996-1997_ Dùng tham khảo cho việc ra đề kiểm tra
cuối năm)

<i>Baøi 5</i> :Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(1;0;-2) , B(0;-4;-4) và mặt phẳng () có phương

trình 3x – 2y + 6z + 2 = 0.

1) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng ().

2) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vng góc với mặt phẳng ().

(Đề thi TN THPT Kì II 1997-1998)

<i>Bài 6</i> :Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(1;0;0), B(1;1;1), C(1/3;1/3;1/3).
1) Viết phương trình tổng qt của mặt phẳng () vng góc với đường thẳng OC tại C.

Chứng minh 3 điểm O,B,C thẳng hàng.

2) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng g là hình chiếu vng góc của đường
thẳng AB trên mặt phẳng ().(Đề thi TN THPT 2000-2001)

<i>Bài 7<b>:</b></i>Trong không gian với hệ tọa độ Đề các vng góc Oxyz, cho điểm D(-3;1;2) và mặt
phẳng () đi qua 3 điểm: A(1;0;11), B(0;1;10), C(1;1; 8).

1) Viết phương trình đường thẳng AC.

2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ().(Đề thi TN THPT Kì I 1998-1999)
<i>Bài 8</i> : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng():x+ y+ z –1 = 0 và đường thẳng

(d): ₁ ₁ ₁1





<i>y</i> <i>z</i>

<i>x</i>

.

1) Viết phương trình chính tắc của các đường thẳng là giao tuyến của mặt phẳng ()

với các mặt phẳng tọa độ.

2) Tính thể tích của khối tứ diện ABCD, biết A, B, C là giao điểm tương ứng của mặt
phẳng

 

 với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz; còn D là giao điểm tương ứng của đường
thẳng (d) với mặt phẳng tọa độ Oxy. (Đề thi TN THPT 2001-2002)

<i>Bài 9</i>: Giải bài toán sau bằng phương pháp toạ độ:

Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh
A’B’, BC, DD’.

1)Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song và tính khoảng cách giữa
chúng.

2)Chứng minh AC’ vng góc với hai mặt phẳng (AB’D’) và (MNP).

3)Tính góc tạo bởi hai đường thẳng AC’ và A’B và hai mặt phẳng (A’CD) và
(ABB’A‘).

4)Chứng minh giao điểm của đường chéo A’C với mặt phẳng (AB’D’) là trọng tâm 

AB’D’.

<i>Bài 10</i>: Cho hai đường thẳng : d:

_







0

4

0

<i>z</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

d’:

_









0

2

0

1

3

<i>z</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

1) Xét vị trí tương đối của d và d’
2) Tính khoảng cách của d và d’.

3) Viết phương trình mặt phẳng

 

 chứa d và song song d’.

4) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2;3;1) đồng thời cắt d và d’.

<i>Bài 11</i>: Cho mặt phẳng (P): <i>x</i> 2<i>y</i> 3<i>z</i>140 và M



1;1;1



.

1) Viết phương trình mặt phẳng qua M và song song mặt phẳng (P).
2) Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên (P).

3) Tìm tọa độ điểm N đối xứng M qua mặt phẳng (P).

<i>Bài 12</i>:

1) Tìm tọa độ hình chiếu của M



4;3;2



lên đường thẳng (d):

1
2

2
3

2






 <i>y</i> <i>z</i>

<i>x</i>

.
2) Tìm tọa độ điểm N đối xứng M qua đường thẳng (d).

<i>Bài 13</i>: Viết phương trình hình chiếu vng góc của đường thẳng d: x y 1 z 1

4 3 2

 

 

 lên mặt

phẳng (P): x – y + 3z + 8 = 0.

<i>Bài 14</i>: Viết phương trình hình chiếu song song của đường thẳng d: 2x y 11 0

x y z 5 0

  




   

 theo

phương đường thẳng :x 5 y 2 z 6

2 1 3

  

 

<i>Bài 15</i>: Viết phương trình đường vng góc chung của hai đường thẳng :x 2 y 3 z 4

2 3 5

  

 



vaø ’:x 1 y 4 z 4

2 2 1

  

 

  .

<i>Bài 16</i>: Cho hai đường thẳng : x y z 3 0

y z 1 0

   




  

 vaø ’:

x 2y 2z 9 0
y z 1 0

   




  

 . Chứng minh ’.

Viết phương trình đường vng góc chung của chúng.

<i>Bài 17</i>: Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vng góc Oxyz cho hai đường thẳng:

1
























0

4

z2

y2

x

0

4

z

y2

x

và 2























t2

1

z

t

2

y

t

1

x

1) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 1và song song với đường thẳng
2

 .

2) Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng 2sao cho đoạn thẳng
MH có độ dài nhỏ nhất. (ĐH KHỐI A 2002)

<i>Bài 18</i>: Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có các cạnh bằng a.

1) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D.

2) Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1, CD, A1D1. Tính góc giữa

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<i>Bài 19</i>: Trong khơng gian với hệ toạ độ Đêcac vng góc Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x-y+2 = 0
và đường thẳng dm :



  

































0

2

m

4

z1

m

2

mx

0

1

m

y

m

1

x1

m

2

(m là tham số). Xác định m để
đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P). (ĐH KHỐI D 2002)

<i>Baøi 20</i>:

1) Cho hình lập phương ABCD. A/_B/_C/_D/_{. Tính số đo của góc phẳng nhị diện [B, A}/_{C, D].}

2) Trong khơng gian với hệ toạ độ Đềcac vng góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật
ABCD.A/_B/_C/_D/_{có A trùng với gốc của hệ toạ độ, B (a;0; 0), D (0;a;0), A}/_(0;0;b)

(a > 0; b > 0). Gọi M là trung điểm cạnh CC/_.

a) Tính thể tích khối tứ diện BDA/_{M theo a và b.}

b) Xác định tỉ số a

b để hai mặt phẳng (A

/_{BD) và}_{(MBD) vuông góc nhau.}

(ĐH KHỐI A 2003)

<i>Bài 21</i>: Trong khơng gian với hệ tọa độ Đềcac vng góc Oxyz cho hai điểm A(2;0;0),
B(0;0;8) và điểm C sao cho AC (0;6;0)  . Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC
đến đường thẳng OA.(ĐH KHỐI B 2003)

<i>Bài 22:</i> Trong khơng gian với hệ toạ độ Đêcac vng góc Oxyz cho đường thẳng
dk:

x 3ky z 2 0
kx y z 1 0

   




   


Tìm k để đường thẳng dk vng góc với mặt phẳng (P): x – y – 2z + 5 = 0.

(ĐH KHỐI D 2003)

<i>Bài 23</i>: Trong khơng gian với hệ toạ độ Đềcac vng góc Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A (2;0; 0), B (0;1;0), S(0;0;2 2).

Gọi M là trung điểm cạnh SC.

1) Tính góc và khoảng cách hai đường thẳng SA, BM.

2) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp
S.ABMN. (ĐH KHỐI A 2004)

<i>Bài 24</i>: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(-4;-2;4) và đường thẳng d:

x 3 2t

y 1 t

z 1 4t

 



 


  


</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6></div>

<!--links-->