He thong bai tap giai tich 12 on thi DH phan 1

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (194.53 KB, 19 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Hệ thống bài tập giải tích 12

(Phn 1)

Đạo hàm

I) nh ngha o hm:

Bi1: Da vào định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại điểm x0 đã chỉ ra:

a) y = x2 + x x
0 = 2

b) y = 
x

1

x0 = 2

c) y =

1
1



x
x

x0 = 0

Bài2: Dựa vào định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau đây (tại điểm x  R)
 a) y = x - x b) y = x3 - x + 2

c) y = x3 + 2x c) y =

1
1
2



x

x

Bµi3: TÝnh f'(8) biÕt f(x) = 3 x

Bài4: Cho đờng cong y = x3. Viết phơng trình tiếp tuyến với đờng cong đó, biết:

a) Tiếp điểm là A(-1; -1).
b) Hoành độ tiếp điểm bằng 2.

c) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 3x + 5.
d) Tiếp tuyến vng góc với đờng thẳng y =

-12

x
 + 1 
 Bµi5: Cho f(x) = x(x + 1)(x + 2)…(x + 2004).

Dùng định nghĩa đạo hàm tính đạo hàm f'(-1000)
II) các phép tính đạo hàm:

Bài1: Tính các đạo hàm của các hàm số sau:

1) y =



x2 3x4





x3  2x2 5x 3



2) y = 2x13x24x35x4
3) y =



3 3 2 3 1



2 2 13






 x x x

x

4) y = 2x143x24 



x2  4x3



3

5) y = x1 2 x2 3 x34 6) y =

4
3

6
5
2 2








x
x
x

7) y =

1

3
3





x
x

x

x 8) y =  

1
1

2
3





x
x

x

9) y = 4 4

1
1
1

1
2























x
x
x

x 10) y =

2
2
2

2

1
1
1

1

x
x













11) y = 1  2 233 3

x
x

x  

 12) y = 3

3

1
1

x
x



13) y =

6
4

5
3

6
2

3
1




x
x

x

x 14) y =

x
cos
x
sin




15) y = sin



sin



sinx





16) y = x sinx



x



cosxex






 




2
1
2

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

17) y = 






  






1 31 2 2 3 1 31 2

2
3

x
ln

x

Bài2: Tính các đạo hàm của các hàm số sau:
1) y = lnx

x 2) y = sinxcosx

3) y = x x

2
2

1 







  4) y = x xx

x
x
x

x
x

x  

5) y =

7
5

4
3

5
4

2
3
1








x
x

x
x
x

III) đạo hàm một phía và điều kiện tồn tại đạo hàm:
 Bài1: Cho f(x) =

x
x


1 . TÝnh f'(0)

Bµi2: Cho f(x) = xx 2. TÝnh f'(0)

Bµi3: Cho f(x) =















0

x

nÕu

0

x

nÕu

x

cos

1

1) XÐt tÝnh liªn tục của f(x) tại x = 0.
2) Xét tính khả vi của f(x) tại x = 0.
 Bài4: Cho hµm sè: f(x) =

1
3

3
2

2





x
x

x .

Chứng minh rằng f(x) liên tục tại x = -3 nhng không có đạo hàm tại x = -3.

Bµi5: Cho f(x) =























0

x

nÕu

1

ax

-x

-0

x

nÕu

e

x

2

x

1

. Tìm a để f'(0)

Bµi6: Cho f(x) =















0

1

0

x

nÕu

b

ax

x

nÕu

x

sin

b

x

cos

a

IV) đạo hàm cấp cao:
 Bài1: Cho f(x) =

1
2

2
3

2
2







x
x

x

x . TÝnh: f(n)(x)

Bµi2: Cho f(x) =

6
11
6

8
4
3

2
3

2










x
x

x

x . TÝnh: f(n)(x)

Bµi3: Cho f(x) =

10
7

9
4
2

2
4

2
3








x
x

x . TÝnh: f(n)(x)

Bµi4: Cho f(x) =

18
9

11
5
3

2
4

2








x
x

x

x . TÝnh: f(n)(x)

Bµi5: Cho f(x) = cosx. TÝnh: f(n)(x)

Bµi6: Cho f(x) = cos(ax + b). TÝnh: f(n)(x)

Bµi7: Cho f(x) = x.ex. TÝnh: f(n)(x)

Bµi8: Cho f(x) = x3lnx. TÝnh: f(n)(x)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

V) đẳng thức, ph ơng trình, bất ph ơng trình với các phép toán đạo hàm:
 Bài1: Cho y =

x
ln



1
1

. CMR: xy' + 1 = ey

Bµi2: Cho y = exsinx. CMR: y'' + 2y' + 2y = 0

Bµi3: Cho y = sin(lnx) + cos(lnx). CMR: y + xy' + x2y" = 0

Bµi4: Cho f(x) = sin32x ; g(x) = 4cos2x - 5sin4x. Giải phơng trình: f'(x) = g(x)

Bµi5: Cho f(x) = 52 1
2
1 x

; g(x) = 5x 4xln5

 . Giải bất phơng trình: f'(x) < g'(x)

Bµi6: Cho y = 1 1

2
2

2







x x ln x x
x

CMR: 2y = xy' + lny'

IV) dùng đạo hàm tớnh gii hn:

Tìm các giới hạn sau:
1) A =

x
x
x

x
lim

x

3 3
3 2

0

1

1 






2)

2
0

2

3

x
x
cos
lim

x
x





3)

23

0

2
1
2
1

x

x
x

lim

x







4)

x x

x
sin
x

lim

x   






 3 4 2

1
2
1

0

Khảo sát hàm số và các ứng dụng

I) Tính đơn điệu của hàm số:

1) Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu:

Bài1: Tìm m để hàm số: y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m nghịch biến trên (-1; 1)

Bài2: Tìm m để hàm số: y = x3 - 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2

đồng biến trên (-



; -1]  [2; +



)

Bài3: Tìm m để hàm số: y = mx 2m 1x m 1xm

3

2
3

đồng biến trên (-



; 0)  [2; +



)

Bài4: Tìm m để hàm số: y = m x mx 3m 2x

3

1 3 2






đồng biến trên R

Bài5: Tìm m để hàm số: y = x3 - 3(m - 1)x2 + 3m(m - 2)x + 1 đồng biến trong các khoảng thoả

m·n: 1  x  2

2) Ph ơng pháp hàm số giải quyết các bài toán chứa tham số:

Bài1: Cho phơng tr×nh: x2 - (m + 2)x + 5m + 1 = 0

1) Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm thoả mãn: x > 1.
2) Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm thoả mãn: x > 4.
3) Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm thoả mãn: x < 2.
4) Tìm m để phơng trình có nghiệm  (-1; 1).

Bài2: Tìm a để phơng trình: (a + 1)x2 - (8a + 1)x + 6a = 0 có đúng 1 nghiệm  (0;1)

Bài3: Tìm m để phơng trình: 92x2x  m.62x2x 3m 842x2x 0 có nghiệm thoả mãn: x 

2
1

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài5: Tìm m để phơng trình: cos2x - (2m + 1)cosx + m + 1 = 0 có nghiệm

x  







 

2
3
2;

Bài6: Tìm m để phơng trình: log23x log23x1 2m 10 có ít nhất một nghiệm

x 



1;3 3



Bài7: Tìm m để các phơng trình sau có nghiệm:
1) x 1x 2



x2 3xm



2

2) x4  2mx3m4x2 2mx10 
 Bài8: Tìm a để: 2 1

1

2

1
3 2






x
x

x + ax cã nghiƯm duy nhÊt

Bài9: Tìm m sao cho: (x + 3)(x + 1)(x2 + 4x + 6)  m nghiệm đúng với x

Bài10: Xác định a để bất phơng trình: -4 4 x2x  x2 - 2x + a - 18 nghiệm đúng với x 

[-2; 4]

Bài11: Tìm m để:

m  m

x
x

x
sin

x

cos

2
2

2
1
1

3
3

2
2

1
2


















 < 0 x

Bài12: Tìm m để x x   x x x x

m
.

m  








2
2

2 2 2

2 2 1 6 4

9  0 nghiệm đúng với x thoả mãn:

2
1



x
 Bài13: Tìm m để bất phơng trình: mx x 3  m + 1 có nghiệm

3) Sử dụng ph ơng pháp hàm số để giải ph ơng trình, bất ph ơng trình, hệ ph ơng
trình, hệ bất ph ng trỡnh:

Bài1: Giải các phơng trình và các bất phơng trình sau: 
1) x95 2x4

2) 2 2 5 5 1 3



2  5 7









 x  x  log x x

log  2

Bài2: Giải hệ bất phơng trình:

0

1

3

0

1

2

3

2

x

Bài3: Giải hệ bất phơng trình:

0

9

5

3

1

0

2

3

2

x

log

x

log

Bài4: Giải hệ phơng trình:





























2

2
3

x

z

x

y

x

4) Chứng minh bất đẳng thức:

Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1)

24
2
1
2

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

2)

!
n
x

...
x
x
e

n
x







2

1 2 x > 0; n  N*

3) 1 - x  x

e  1 - x +

2

x x  [0; 1]
4) 1 - x 

x

e x





1

2

 1 - x +

 x

x


1
2

4

x  [0; 1]
5)  

2
1

2

x
x
x

ln    x > 0

6)

x
x
x

ln   1 x > 1

II) cực trị và các ứng dụng:

Bài1: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau đây:
1) y = x3 + 4x2) y =

2
5
4

2




x

x

x 3) y =

2

x
x e

e   4) y = x3(1 - x)2

Bài2: Tìm cực trị nếu có của mỗi hàm số sau đây (biện luận theo tham số a)
1) y = x3 - 2ax2 + a2x 2) y = x - 1 +

1


x

a
 
 Bµi3: Chøng minh r»ng hµm sè: y =

2
2





x

m
x

x ln có một cực đại và một cực tiểu với mọi m.

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Bài1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các hàm số:

1) y = sinx(1 + cosx) 2) y = sin4x + cos4x + sinxcosx + 1

3) y = 5cosx - cos5x víi x 





  
4

4; 4) y = sin x cos x
x
cos
x
sin

4
4

6
6

1
1




Bµi2: Cho phơng trình: 12x2 - 6mx + m2 - 4 +

2

12

m = 0

Gäi x1, x2 lµ nghiệm của phơng trình. Tìm Max, Min của: S = x13 x32

Bµi3: Cho a.b  0. T×m Min cđa: y =

a
b
b

a
a
b
b
a
a
b
b
a
















 2

2
2
2

4
4
4
4

Bµi4: Cho x, y  0; x + y = 1. T×m Max, Min cđa: S =

1
1 

 x

y
y

x

Bµi5: Cho x, y  0; x + y = 1. T×m Min cđa: S =

y
y
x
x




 1

1

Bài6: Tuỳ theo a tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y = sin6x + cos6x + asinx.cosx

IV) tiÖp cận:

Bài1: Tìm tiệm cận của các hàm số:
1) y =

1
2

2
3

2
2







x
x

x

x 2) y =

1
1

2
3




x

x

x 3) y =

x
x


2

4) y = 2

9
2

x




5) y =  

2 2

1
2

x
x
x




6) y = 21

x

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

1) y =

1
4

2
2





mx
x

x 2) y =

3
2

2






mx
x

x

Bµi3: Cho (C): y =  

2

3
1

2








x

a
x
a

ax , a  -1; a  0. Chứng minh rằng tiệm cận xiên của (C)
luôn đi qua một điểm cố định

Bài4: Cho đồ thị (C): y = f(x) =

1
2
3

2 2




x

x
x

1) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M  (C) đến hai tiệm cận luôn không đổi.
2) Tìm M  (C) để tổng khoảng cách từ M  (C) đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất. 
V) Khảo sát và vẽ đồ thị:

Bài1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1) y = 2x3 + 3x2 - 1 2) y = x3 + 3x2 + 3x + 5

3) y = x3 - 3x2 - 6x + 8 4) y = -x3 + 3x2 - 4x + 3

5) y =

-3

3

x - x2 + 3x - 4

Bài2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 
1) y = x4 - 2x2 2) y = -x4 + 2x2 - 1

3) y = x4 +

10
3

x2 + 1 4) y =

2

4

x

 - x2 + 1

Bài3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 
1) y =

1
4
2





x
x

2) y =

3
1
2



x

x
 
 Bài4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

1) y =

2
3
3

2




x

x

x 2) y =

1

2


x

x

3) y =

1
2

2



x

x

x 4) y =

1
2

13
6

2






x
x

x

Bài5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 
1) y =

3
5
3

1
4

1 4 3 2

x
x

x 2) y =

5

4

11
8
2 2






x
x

3) y =

1
5
4
2

2
2




x

x

x 4) y =

50
15

14
9

2
2




x
x

5) y =

x
x

2
2

1
2

2
2





6) y = x + 2 2 1



x

VI) phép biến đổi đồ thị:

Vẽ đồ thị của các hàm số:

1) y = 2 1 1






x
x
x

2) y =

2
9
2

2





x
x
x

3) y =

2

3
3
2




x

x

x 4) y =

1
5
5

2





x
x
x

5) y =

1

2




x
x

x 6) y =

1
1



x
x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

VII) tiÕp tuyÕn:

1) Phơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị

Bµi1: Cho hµm sè: y = x3 - 1 - k(x - 1) (1)

1) Tìm k để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành;

2) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (1) tại giao điểm của nó với trục tung. Tìm k để tiếp
tuyến đó chắn trên các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 5

Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến của (C): y = x22x4cosx tại giao điểm của đờng cong với

trôc tung.

Bµi3: Cho (Cm): y = f(x) = x3 + 3x2 + mx + 1

a) Tìm m để (Cm) cắt đờng thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E.

b) Tìm m để các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vng góc với nhau.

Bài4: Cho 2 đồ thị

  

 



 



















m

x

g

y

:)

P

(

x

f

y

:)

C

(

2

1

1) Tìm m để (C) và (P) tiếp xúc với nhau.

2) Viết phơng trình tiếp tuyến chung tại các tiếp điểm chung của (C) với (P).

Bài5: Cho đồ thị (C): y = f(x) =

2
1

x4 - 3x2 +

2
5

1) Gọi t là tiếp tuyến của (C) tại M có xM = a. CMR: hồnh độ các giao điểm của t với (C) là

nghiƯm của phơng trình: x a2

x2 2ax3a2 6

0

2) Tỡm a để t cắt (C) tại P và Q phân biệt khác M. Tìm quỹ tích trung điểm K của PQ. 
 Bài6: Tìm m để tại giao điểm của (C): y =  

m
x

m
m
x
m





1 2

3 víi trơc Ox tiÕp tun cđa (C) song

song với (): y = x - 10. Viết phơng trình tiếp tuyến đó. 
 Bài7: Cho (C) : y =

1
1
2



x

x

vµ M bÊt kú thuéc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. tiếp tuyến
tại M cắt hai tiệm cận tại A và B.

1) CMR: M là trung điểm của A và B.
2) CMR: SIAB khơng đổi

3) Tìm m để chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất. 
 Bài8: Cho (C): y =

m
x

x



 3

2 2 (m  0, 1)

Chứng minh rằng tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Oy cắt tiệm cận đứng tại điểm có
tung độ bằng 1

Bµi9: Cho (C): y =

m
x

mx
x






4

4
3 2

Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ x = 0 vng góc với tiệm cận của đồ thị (C).

Bài10: Cho đồ thị (C): y =

1
2
2

2




x

x
x

1) §iĨm M  (C) với xM = m. Viết phơng trình tiếp tuyến (tm) t¹i M.

2) Tìm m để (tm) qua B(1; 0). CMR: có hai giá trị của m thoả mãn u cầu bài tốn và hai

tiÕp tun t¬ng øng vuông góc với nhau.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

2) Phơng trình tiÕp tun cã hƯ sè gãc cho tríc

Bài1: Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = x3 - 3x2 biết tiếp tuyến vuông góc với đờng

th¼ng: y =

3
1

x.

Bµi2: Cho hµm sè (C): y = f(x) =

2

4

x - x3 - 3x2 + 7

Tìm m để đồ thị (C) ln có ít nhất hai tiếp tuyến song song với đt: y = mx 
 Bài3: Cho (C): y =

2
3
3

2




x

x

x . Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) vng góc với đờng thẳng ():
3y - x + 6 = 0

Bài4: Viết phơng trình tiếp tuyến của (C): y =

3
4

1
3
2 2




x

x

x vng góc với đờng thẳng: y = -

3

x
 +
2

Bài5: Cho đồ thị (C): y =

1
1
2

2




x

x
x

Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với tiệm cận xiên của nó. Chứng minh rằng
tiếp điểm là trung điểm của đoạn tiếp tuyến bị chắn bởi hai tiệm cận.

Bµi6: Cho (Cm): y = x4 + mx2 - m - 1

Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đờng thẳng y = 2x với A là điểm cố định
của (Cm) có hồnh độ dơng.

Bài7: Cho đồ thị (Ca): y =

1
3

2




x

a
x
x

Tìm a để (Ca) có tiếp tuyến vng góc với đờng phân giác của góc phần t thứ nhất của hệ

toạ độ.

Bµi8: Cho (C): y =

1
1
2 2




x

x

x . CMR: trên đờng thẳng y = 7 có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó có
thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến lập với nhau góc 450.

3) Phơng trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trớc đến đồ thị

Bµi1: ViÕt phơng trình tiếp tuyến đi qua A

4

12
19

; đến đồ thị (C): y = f(x) = 2x3 + 3x2 + 5

Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(0; -1) đến (C): y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x - 1

Bµi3: Cho hµm sè (C): y = f(x) = x3 + 3x2 + 2

1) Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A 






 2
9
23

; đến (C).

2) Tìm trên đờng thẳng y = -2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vng góc với nhau. 
 Bài4: Cho (C): y = -x3 + 3x + 2

Tìm trên trục hoành các điểm kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) 
 Bài5: Cho đồ thị (C): y = f(x) = x4 - x2 + 1

Tìm các điểm A  Oy kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Bài6: Tìm trên đờng thẳng x = 3 các điểm kẻ đợc tiếp tuyến đến (C): y =

1
1
2



x

x

ViiI) ứng dụng của đồ thị:

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bµi1: BiƯn ln theo m sè nghiệm của phơng trình: 3x - 4x3 = 3m - 4m3

Bài2: Tìm m để phơng trình: x3 - 3x + 2 + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Bài3: Tìm a để phơng trình: x3 - 3x2 - a = 0 có ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng 2 nghiệm

lín h¬n 1.

Bµi4: BiƯn ln theo b sè nghiƯm của phơng trình: x4 -2x2 - 2b + 2 = 0

Bµi5: BiƯn ln theo a số nghiệm của phơng trình: x2 + (3 - a)x + 3 - 2a = 0 và so sánh c¸c nghiƯm

đó với -3 và -1

Bài6: Tìm m để  2x2 10x 8 = x2 - 5x + m có 4 nghiệm phân biệt.

2) Sự tơng giao của hai đồ thị hàm số:

Bài toán về số giao điểm
 Bài1: Tìm k để đờng thẳng y = kx + 1 cắt đồ thị: y =

2
3
4

2




x

x

x tại hai điểm phân biệt. 
 Bài2: Tìm m để đồ thị: y = x3 + 3x2 + mx + 1 cắt đờng thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt.

Bµi3: Cho (Cm): y = x3 - 2mx2 + (2m2 - 1)x + m(1 - m2)

Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ dơng

Bµi4: Cho (Cm): y = f(x) = x3 - 3mx2 + 3(m2 - 1)x - (m2 - 1)

Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ dơng

Bµi5: Cho (Cm): y = f(x) = x3 - 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x - (m3 + 1)

Tìm m để (Cm) cắt Ox tại đúng một điểm.

Bài6: Tìm m để (Cm): y = x3 + m(x2 - 1) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

Bài7: Tìm m để (Cm): y = 3

1

3 x

- x + m c¾t Ox tại ba điểm phân biệt

Bi8: Tỡm m để (Cm): y = x3 + 3x2 - 9x + m cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

Bài9: Tìm m để (Cm): y = x3 - 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x - m3 - 1 ct Ox ti ỳng 1 im

Bài toán về khoảng cách giữa các giao điểm

Bi1: Tỡm m để (Cm): y = f(x) = x3 - 3mx2 + 4m3 cắt đờng thẳng y = x tại ba điểm phân biệt lập

thµnh cÊp sè céng.

Bài2: Tìm m để (Cm): y = f(x) = x3 - (2m + 1)x2 - 9x cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt lập thành

cÊp sè céng.

Bài3: Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (C): y = x4 - 5x2 + 4 tại A, B, C, D phân biệt

mµ AB = BC = CD

3) Các điểm đặc biệt:

Bài1: Tìm điểm cố định của (Cm): y = x3 - (m + 1)x2 - (2m2 - 3m + 2)x + 2m(2m - 1)

Bài2: CMR: (Cm): y = (m + 2)x3 - 3(m + 2)x2 - 4x + 2m - 1 có 3 điểm cố định thẳng hàng. Viết

ph-ơng trình đờng thẳng đi qua ba điểm cố định đó.

Bài3: CMR: (Cm): y = (m + 3)x3 - 3(m + 3)x2 - (6m + 1)x + m + 1 có 3 điểm cố định thẳng hàng.

Viết phơng trình đờng thẳng đi qua ba điểm cố định đó. 
 Bài4: Cho họ đồ thị (Cm): y =

m
x

m
mx
x






 2 2

2

Tìm các điểm trên Oy mà khơng có đồ thị nào của (Cm) đi qua.

Bµi5: Cho hä (Cm): y =

m
x

m
mx
x






 2 2

2

Tìm các điểm  Oxy mà khơng có đồ thị nào của (Cm) đi qua

Bµi6: Cho (Cm): y = 2x3 - 3(m + 3)x2 + 18mx + 6. CMR: trªn Parabol (P): y = x2 + 14 có 2 điểm mà

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bài7: Cho họ đồ thị (Cm): y =

m
x

m
mx
x





 2 2

Tìm các điểm  Oxy có đúng 2 đờng cong của họ (Cm) đi qua.

Bài8: Tìm M (C): y =

2
1

2




x

x

x có toạ độ là các số nguyên.

4) quỹ tích đại số:

Bµi1: Cho (Cm): y = x3 + 3x2 + mx + 1 (C): y = x3 + 2x2 + 7

CMR: (Cm) luôn cắt (C) tại A, B phân biệt. Tìm q tÝch trung ®iĨm I cđa AB

Bµi2: Cho (C): y =

2
3
4

2




x

x

x và đờng thẳng (D): y = mx + 1.

Tìm m để (D) cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB. 
 Bài3: Tìm m để (Cm): y =  

2
6

3
2

2







x
x
m

x có cực đại, cực tiểu và tìm quỹ tích cực đại, cực tiểu.

Bài4: Cho họ đồ thị (Cm): y =

5
4
1
2

2
2

m
m
x

m
m
x
m

x . Tìm quỹ tích giao điểm cđa (C

m) víi c¸c trơc

Ox, Oy khi m thay đổi.

Bài5: Cho (C): y = x3 - 3x2 và đờng thẳng d: y = mx. Tìm m để d cắt (C) tại ba điểm phâm biệt A,

O, B. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB. 
 Bài6: Tìm quỹ tích cực đại, cực tiểu của y =

1

2






x
m
mx

x

Bài7: Tìm quỹ tích tâm đối xứng của (Cm): y = mx3 - 2(m + 1)x2 + 2(m - 3)x + m - 1 
5) tâm đối xứng, trục đối xứng:

Bài1: Tìm m  0 để (C): y = 
-m

x3 + 3mx2 - 2 Nhận I(1; 0) là tâm đối xứng.

Bài2: Cho (Cm): y = x3 + mx2 + 9x + 4 Tìm m để trên (Cm) có một cặp điểm đối xứng nhau qua

gốc toạ độ.

Bài3: Tìm trên (C): y =

1

2

x

x cỏc cặp điểm đối xứng nhau qua I








2
5
0; 
 Bài4: CMR: đờng thẳng y = x + 2 là trục đối xứng của đồ thị: y =

1
1




x
x

Bµi5: Cho hµm số: y =

1

2

x

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Tích phân

I) nguyên hàm:

1) Xác định ngun hàm bằng cơng thức:

Bµi1: CMR hµm sè: F(x) = x  ln1 x lµ một nguyên hàm của hsố: f(x) = 
x
x

1

Bµi2: CMR hµm sè: y = x x2aalnx x2 a

2

2 víi a 0

là một nguyên hàm của hàm số: f(x) = x2a

Bài3: Xác định a, b, c để hàm số: F(x) =



ax2bxc



2x 3 là một nguyên hàm của hàm số: f(x) =
3

2

7
30
20 2

x
x

x

Bài4: Tính các nguyên hàm sau đây:

1)

dx

x
x

2
3

1 2)

  dx

x
x
x

4
4

5 3 1

4

3)












  dx

x
1
x

3

4) 



x23 x



3dx

5)





3 x1





x- x2



dx 6)










  dx

x
x

3

1

7)











  dx

x
x

4

2 1 8)

  dx

x
x
x2 4

9) 



ax3 b



2dx 10)   



dx
x

x
x4

3
4 2

11)



xxaxbdx 12) 2xexdx

13) 



2x  ex



2dx 14)  exe-x 2dx

15)  ex e-x  2dx 16)   dx

e
e

x
5x

-2 1

17)



 dx

x
1

-x

1 18)



1-cos2xdx

19) 

cosxdx
1

x
4sin2

2) Phơng pháp t n ph:

Tính các nguyên hàm sau đây:
1) 3x14dx 2)








dx
x
x

x

2
4

4
2

2
3)

xlnx
dx



4)






dx
x

x
x

1
2

2

5)



x x1dx 6) 



ex 1



3dx

7)





dx

x
1

x

2 8)








dx
x
x

4
x

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

9) 


 x dx 
x

x

2
3

1

2 10)






dx
x

1
x

2

11)

 



1 3
x

xdx

12) x x2 1dx

13) cos4xdx 14)



x
xcos

sin

dx

2
2

15)



x 2x-1dx 16)







 2

4
3

4

x
dx
x

17) 



2x3 1



3x2dx 18) sin5xcosxdx

19) tg3xdx 20)



e dx

x

1 x

21)  dx
x
cos

etgx

2 22) xdx

x
ln
x
1





 1

1

1 2

23) x331x2dx 24)

 



xlnx.dxln lnx

25)



x x-1dx

3) Ph¬ng pháp nguyên hàm từng phần:

Tính các nguyên hàm sau đây:
1)



2x1cosxdx 2) x2exdx

3)



lnxdx 4) exsinxdx

5)



coslnxdx 6) xe xdx

7)

dx

x
ln
x
ln

1
1

2 8) e2xsin2xdx

9)

dx
x
x
ln
x

1
1

4) Nguyên hàm hàm hữu tỷ:

Bài1: Tính các nguyên hàm sau đây:
1) 


dx
x

x

1

2
2

2)




x 1
x

dx

2

3)





x dx

x
x

2 1 4)



 a2

x

dx

2

5)




 3x 2
x

dx

2 6) 







dx
x
x

x
x

2

2
3

1

7)








0)
(a
 
dx
a
x

x

2 2

1

8)



 1
3

x
dx

9)






dx
x

1
x

3 1 10)




4 2 3

4

x
x

dx

11)

 

  dx

1

-x
x

1
x

2 12)



2x-3
x

dx

2

13) 



dx
x
4x

x

3

3 1

14)





 x 2

x

xdx

2

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

15)









dx
1
x

x

4
7

2

Bµi2: 1) Cho hµm sè y =

2
3

3
3
3

3
2







x
x

a) Xác định các hằng số A, B, C để:
y =

  12   1x2

C
x

B
x

A

b) Tìm họ nguyên hàm của hàm y
 Bài3: a) Xác định các hằng số A, B sao cho

 13  13  12
1

3









x
B
x

A
x

x

b) Dựa vào kết quả trên để tìm họ nguyên hàm ca hm s : f(x) =

13
1
3

x

5) Nguyên hàm hàm lợng giác:

Tính các nguyên hàm sau đây:
1)

x
cos
.
x
sin

dx

2) sin2xdx

3)



cosx

dx

4)



dx

2
x
cos
.
x
cos

5)




2cosx 5
4sinx

dx

6)



2sinxcosx-cos x
x

sin

dx

2
2

7) cos6xdx 8) tg5xdx

9)



x
cos

dx

6 10)



x
sin

dx

6

11)



dx

x
x.sin
cos

cos2x

2

2 12)



x
cos
.
x
sin

dx

2
2

13)



sin2x.cos3xdx 14)



cosx.cos2x.sin4xdx
15) cos3x.sin8xdx 16) cos2xdx

17) sin3xdx 18) tg2xdx

19) sin2x.cosxdx 20)



dx

x
cos

tgx

3

21)

x
cos
x

sin

x
cos

3
1
4 2

6) Nguyên hàm hàm vô tỷ:

Tính các nguyên hàm sau đây:
1)

2

4 x

dx

2)

1 x 1

x
dx

3)

xdxx2 4)



x

-1
x

dx

5)






1
x

dx
1

-x

1
x

3 6)

 










dx
x
x

1
x

1
1

2

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

7)






 3x

x
dx

1

1 8)



x1 x1

dx

9)  4 x2dx 10)   4x x2dx

11)






 3x2 4x 1
dx

II) tÝch ph©n :

1) Dùng các phơng pháp tính tích phân:

Bài1: Tính các tích phân sau:
1)

0
4

xdx

cos 2)

2
0

4
4

2xcos x sin xdx
cos

3)








2

04 3 5

6
7

dx
x
cos
x

sin

x
cos
x

sin 4)





0

3 5

xdx
cos
x
cos
x

5)





2
0

2
3

xdx
sin
x

cos 6)

4
0

4

xdx
sin

Bài2: Cho f(x) =

x
cos
x
sin

x
sin

1) Tìm A, B sao cho f(x) = A + B 










x
sin
x
cos

2) TÝnh: I =  





3
0

dx
x
f

Bµi3: Cho hµm sè: h(x) =

2 2
2

x
sin

x
sin


1) Tìm A, B để h(x) =

  sinx

B
x

sin
x
cos
A




 2

2 2

2) TÝnh: I =



 



0
2

dx
x
h

Bài4: Cho hàm số: f(x) = 4cosx + 3sinx ; g(x) = cosx + 2sinx
1) Tìm A, B để g(x) = A.f(x) + B.f'(x)

2) TÝnh: I =

4
0

dx
x
f

x
g

Bài5: Tính các tích phân sau:
1)





1

0x2 1

xdx

2)









1
0

5
4

3 1

dx
x

x

3)





2
0

2

4 x dx

x 4)





e
x

x

e
dx
e

1 1

5) 

4
1

dx
x
e x

6) dx

x

x
ln

e





1

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Bài6: Tính các tích phân sau:
1)









2

0 1 4

dx
x
sin

x

cos 2)





2
0

3

xdx
cos
x
sin

3)





2
0

5

xdx

cos 4)





4
0

6

xdx
tg

5)







4

01 sin2x

dx 6)







2

02 sinx

dx

7)







4

0a2cos2x b2sin2x

dx 8)





2
0

2

4 x dx

9)  

1
2

2 2

2

1

dx
x

x

10)







2

0 2 cos2x

xdx
cos 
 Bài7: Tính các tích phân sau:

1)











4
0

2 1

2cos x dx

x 2)





2
0

2 3

xdx
sin
e x

3)



  

1
0

2
2

1 e dx

x x 4)



 

e

dx
x
ln
x

1

2

5)









1
0

2

1dx
x

ln

x 6)  







2
0

1 cosx dx
ln

x
cos

7)



  

e

dx
x

x

ln

1 1 2 8)

 


















9
1

0 2 5

3

1
4

1
1

2

5 dx

x
x

sin
x

x

2) Tính phân và đẳng thức:

Bài1: CMR: Nếu f(x) là hàm lẻ liên tục trên [-a; a] thì: I =

a
a

dx
x

f = 0

VD: TÝnh: I =



 




 







  

1
1

3
2 1

dx
x

x

ln

Bài2: CMR: Nếu f(x) là hàm chẵn liên tục trên [-a; a] thì: I =

 



 



a
a

a

dx
x
f
dx
x
f

0

2

Bài3: CMR: Nếu f(x) là hàm chẵn liên tục trên R th×: I =



  



 





a
a

a x

dx
x
f
b

dx
x
f

0

1

VD: TÝnh: I =



 




2
2

2
4

1
2

dx
x

x

x

Bµi4: Cho f(x) là hàm số liên tục trên [0; 1]. CMR:



 



 







0

0 2

dx
x
sin
f
dx

x
sin

xf

VD: TÝnh: I =







09 4 2

dx
x
cos

x
sin
x

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Bài5: (Tổng quát hoá bài4)

Nếu f(x) liên tục và f(a + b - x) = f(x) th× I =



   



 

b
a
b

a

dx
x
f

b
a
dx
x
xf

2

Bµi6: NÕu f(x) liên tục và f(a + b - x) = -f(x) th×: I =



  0

b
a

dx
x
f

VD: TÝnh: I =
















2

0 1

1

dx
x
cos

x
sin

ln J =



 





4
0

1 tgx dx

ln

Bài7: Nếu f(x) liên tục trên

2

0; thì:  





2
0

dx
x
sin

f =



 



2
0

dx
x
cos
f

VD: TÝnh: I =







2

0cos x sin x

xdx
cos

n
n

n

J =







2

0cos x sin x

xdx
sin

n
n

n

Bài8: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn víi chu kú T th×:



  



 

T T

a
a

dx
x
f
dx
x
f

0
 VD: TÝnh: I =







2004
0

2

1 cos xdx

3) Tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối:

Bµi1: Cho các hàm số: f(x) = 3x3 - x2 - 4x + 1 ; g(x) = 2x3 + x2 - 3x - 1

1) Giải bất phơng trình: f(x) g(x).
2) Tính: I =



   



2
1

dx

x
g
x

f

Bài2: Tính các tích phân sau:
1)



 

3
0

2
3 2

dx
x
x

x 2)







2
0

1 sinxdx

Bµi3: Cho I(t) =





1
0

dx
t

ex víi t  R.
1) TÝnh: I(t).

2) T×m minI(t).



 

2
0

2 2 3

dx
x

x 2)





   



5
0

2

2 4 3 4

dx
x
x
x

x

Bài5: Tính các tích phân sau:
1) I =



 

2
0

2 4 4

dx
m
x

x 2)



    

2
1

2 2 2

dx

m
x
m

x

4) Bất đẳng thức tích phân:

Bài1: Chứng minh các bất đẳng thức tích phân sau:
1)

8
2

1

0 2








x
x
dx

2)

8
2
1

6

2
1

0 2 3










</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

2)

3
3
2
1
3

3

0 2













x
cos
x
cos

dx

Bµi2: CMR: 4

2
0

2 2

e
dx
e
e

x
x



 

Bµi3: Cho hµm sè: f(x) =

1

2
2


x

x

. CMR:  

4

2
9
2

5 3

2





f x dx

Bµi1: Cho In = tg nxdx





4
0

2

1) CMR: In > In + 1

2) Thiết lập hệ thức liên hệ giữa In vµ In - 1

3) TÝnh In theo n.

Bµi2: Cho In =





2
0

xdx
sinn

1) ThiÕt lập hệ thức liên hệ giữa In và In - 2

2) TÝnh In. ¸p dơng tÝnh I11 =





2
0

11

xdx
sin 
 Bµi3: Cho In =









1
0

2

1 x ndx

1) ThiÕt lËp hƯ thøc liªn hệ giữa In và In - 1

2) Tính In.

Bµi4: Cho In =





1
0

1 xdx
xn

1) ThiÕt lËp hệ thức liên hệ giữa In và In - 1

2) TÝnh In.

Bài5: Tính các tích phân sau:
1) In = tg nxdx





4
0

2 2) In =





2
0

xdx
cos

xn 
III) ứng dụng của tích phân:

1) Tính diện tích hình phẳng:

Bài1: Tính diện tích hình giới hạn bởi các đờng sau đây:

1) x = -1; x = 2; y = 0; y = x2 - 2x 2)















2

x

0;

x

0

y

;

x

cos

x

sin

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

3)













2

y

x

y

4)













x

y

x

y

;

x

y

2

8

2

5)

















0

2

0

2

y

x

y

x

6)

















5

1

2

x

y

x

y

Bài2: Vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) = x3 - 3x + 2 (C)

1) Viết phơng trình tiếp tuyến (d1) với (C) tại A có xA = 2. Viết phơng trình tiếp tuyến (d2)

với (C) tại điểm uốn của (C).

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

1

x

)

d

(

),

C

(

3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

)

d

(

và

)

d

(

)

C

(

2

1

Bµi3: Cho hµm sè: y =

1

2
2


x

x

(C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2) Tìm b sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đờng thẳng y = 1, x = 0, x = b
bằng

4



.

Bài4: Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi:
1) Elíp (E): 2 1

2
2
2

b
y
a
x

2) Hypebol (H): 2 1

2
2
2




b
y
a
x

ElÝp (E1): 2 1

2
2
2




b
y
a
x

vµ ElÝp (E2): 2 1

2
2
2

c
y
b
x

Bài5: Tính diện tích phần chung của hai ElÝp:
 (E1): 2 1

2
2
2




b
y
a
x

vµ (E2): 2 1

2
2
2




a
y
b
x

2) TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ:

Bµi1: TÝnh thĨ tÝch vËt thể tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh Ox một hình phẳng giới hạn bởi

cỏc ng:

1

0

x

;

x

y

;

e.

x

y

x

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Bài2: Gọi (D) là miền giới hạn của các đờng:











2

0

x

y

. Tính thể tích vật thể trịn xoay đợc tạo

thµnh do ta quay D

1) Quanh Ox b) Quanh Oy

Bài3: Gọi (D) là miền giới hạn của các đờng:















2

1

10

3

x

y

;

y

x

y

. Tính thể tích vật thể trịn xoay đợc tạo

thµnh do ta quay D quanh Ox.

Bài4: Cho miền D giới hạn bởi các đờng tròn (C): x2 + y2 = 8 và Parabol (P): y2 =2x

1) TÝnh diƯn tÝch S cđa miỊn D.

2) TÝnh thĨ tÝch V sinh ra bëi A khi quay quanh Ox.

Bài5: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi ta quay ElÝp (E): 2 1

2
2
2




b
y
a

x

</div>

He thong bai tap giai tich 12 on thi DH phan 1

<b>Hệ thống bài tập giải tích 12 </b>

<b>(Phn 1)</b>

Đạo hàm









<sub></sub>

<sub></sub>































<b>0</b>

<b>x </b>

<b>nÕu</b>

<b> </b>

<b> </b>

<b>0</b>

<b>0</b>

<b>x </b>

<b>nÕu</b>

<b> </b>

<b>x</b>

<b>x</b>

<b>cos</b>

<b>1</b>























<b>0</b>

<b>x </b>

<b>nÕu</b>

<b> </b>

<b>1</b>

<b>ax</b>

<b></b>

<b>-x</b>

<b></b>

<b>-0</b>

<b>x </b>

<b>nÕu</b>

<b> </b>

<b>e</b>

<b>x</b>

<b>2</b>

<b>x</b>

<b>1</b>

















<b>0</b>

<b>1</b>

<b>0</b>

<b> x</b>