Bài giảng De thi hsg +dap an mon toan 9

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN TOÁN
( Thời gian 150 phút, không kể thời gian phát đề )
Câu 1(4đ): Cho biểu thức:
A =
2
4 4x x x− − +
a. Tìm điều kiện xác định của biểu thức A.
b. Rút gọn biểu thức A.
Câu 2(2đ): Tính giá trị của biểu thức:
A =
3 3
7 5 2 7 5 2+ + −
Câu 3(4đ): Cho hàm số
y =
2 2
2 1 2 1x x x x+ + − − +
a. Vẽ đồ thị của hàm số.
b. Dùng đồ thị tìm giá trị nhỏ của y, giá trị lớn nhất của y.
Câu 4(4đ): Chứng minh bất đẳng thức:
2 2 2 2 2 2
( ) ( )a b c d a c b d+ + + ≥ + + +
Câu 5(6đ): Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Gọi (I) là đường
tròn nội tiếp tam giác. Đường vưông góc với CI tại I cắt AC, AB theo thứ tự
tại M,N. Chứng minh rằng:
a. AM.BN = IM
2
= IN
2
;
b.

2 2 2
1
IA IB IC
bc ca ab
+ + =

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM.
Câu Nội dung Điểm
1 a.Biến đổi biểu thức được:
A =
2
( 2) 2x x x x− − = − −
Điều kiện xác định của A là:

2 2
2
0
4x 4
1
x x
x
x x
x
≥ −
≥

⇔

≥ − +


⇔ ≥
b. Nếu
x 2≥
thì
( 2) 2x x− − =
Nếu
1 x
≤
<2 thì
( ( 2)) 2x 2x x− − − = −
0,75 đ
0,75 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,75 đ
0,75 đ
2

3
3
3
3
7 5 2
1 3 2 6 2 2
(1 2)
1 2
+
= + + +
= +
= +

Tương tự:
3
7 5 2 1 2− = −
Do đó: A = 1+
2 1 2+ −
= 2
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,75 đ
0,5 đ
3
a. y =
2 2
( 1) ( 1)
1 1
x x
x x
+ − −
= + − −
Lập bảng xét dấu
x -1 1
x +1 - 0 + +
x - 1 - - 0 +

Với x
≤
1 thì y = (- x -1) – ( 1- x) = -2
Với -1 < x < 1 thì y = ( x +1) – ( 1- x) = 2x
Với x

≥
1 thì y = ( x +1) – ( x - 1) = 2
Đồ thị của hàm số được vẽ trên hình 1.
0,25 đ
0,25đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ


y
2

-1 o
1 x

-2
b. Trên đồ thị ta thấy:
min y = -2
1x⇔ ≤ −
;
max y = 2
x⇔
> 1
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
4
a

2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ 2
2 2 2 2
( )( )a b c d+ + ≥

a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ 2ac + 2bd
⇔
2 2 2 2
( )( )a b c d+ + ≥
ac + bd. (2)
Nếu ac + bd < 0 thì (2) được chứng minh.
Nếu ac + bd
≥
0 thì (2) tương đương với
(a
2

+ b
2
)(c
2
+ d
2
)
≥
a
2
c
2
+ b
2
d
2
+ 2abcd

⇔
a
2
c
2
+ a
2
d
2
+ b
2
c

2
+ b
2
d
2

≥
a
2
c
2
+ b
2
d
2
+ 2abcd

⇔
(ad – bc)
2
≥
0 (3)
Bất đẳng thức (3) đúng, bất đẳng thức (1) được chứng
minh.
0,5 đ
0,5 đ
0,75 đ
0,75 đ
0,5 đ
0,5 đ

0,5 đ
5
Gt
ABCV
có BC = a, AC = b, AB = c
(I) nội tiếp tam giác. Đường vưông góc với CI tại I
cắt AB, AC theo thứ tự tại M,N.
Kl a. AM.BN = IM
2
= IN
2
;
b.
2 2 2
1
IA IB IC
bc ca ab
+ + =

0,25 đ
A
Vẽ hình. M
â


B N C
a. Ta có
·
·
·

µ
90
2
C
AMI INB AIB
 
= = = +
 ÷
 ÷
 
o
AMIV

( . ),AIB g g AIBV V

INBV
(g.g)
Nên các tam giác AMI và INB đồng dạng.
Suy ra:

IM AM
BN IN
=
Do đó: AM.BN = IM.IN = IN
2
= IM
2
b. Đặt AM = m, BN = n, IN = IM = x.
Do
AMIV

AIBV
nên:

AM AI
AI AB
=

⇒
IA = AM.AB = m.c
2
AI m
bc b
⇒ =
(1).
Tương tự
2
IB n
ca a
=
(2)
Xét tam giác MIC vuông tại I, ta có IC
2
= CM
2
– IM
2
.
Do IM
2

= m.n (câu a) và CM = CN nên
IC
2
= ( b – m )( a – n) – mn = ab – bn – am + mn - mn
= ab – bn – am.
Do đó
2
1
IC n m
ab a b
= − −
(3).
Từ (1), (2), (3) suy ra .
2 2 2
1
IA IB IC
bc ca ab
+ + =
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ

0,5 đ
0,5 đ

I