Dap an de thi CD Toan 12 lan 1 nam hoc 2010 2011

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (322.01 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

2 2 2

x xy y yz z zx

x y y z z x

− − −

+ + ≥

+ + +

---Hết---

HƯỚNG DẪN CHẤM ðÊ THI CHUYÊN ðỀ LẦN I- KHỐI 12 
 NĂM HỌC : 2010 - 2011

C

âu Ý

Nội dung

ðiểm 
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số : y= − +x3 3x2−4 (1) 1

.TXD: D = ℝ

lim lim

x→−∞= +∞ x→+∞= −∞

0.25
.Sự biến thiên

' 3 6 ' 0 0 2

y = − x + x y = ⇔ =x ∨ x=

.Hàm sốñồng biến trên khoảng (0; 2) và nghịch biến trên mỗi khoảng :

(

−∞;0

)

và

(

2;+∞

)

. Hàm số ñạt cực tiểu tại xCT = 0 ; yCT = y(0) = -4

.Hàm sốñạt cực ñại tại xCð = 2 ; yCð = y(2) = 0

0.25

BBT

x −∞ 0 2 +∞

y’ - 0 + 0 -

y +∞

-4

−∞

0.25

I

ðồ thị

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

-2

-4

-5 5

2

Chứng minh rằng mọi ñường thẳng ñi qua I(1;-2) với hệ số góc k

( k < 3 ) ñều cắt ñồ thị hàm số (1) tại 3 ñiểm phân biệt I, A, B ñồng thời I là
trung ñiểm của ñoạn thẳng AB.

1

Gọi (C) là ñồ thị hàm số (1). Ta thấy I(1;-2)∈ (C).

ðường thẳng (d) ñi qua I(1;-2) với hệ số góc k ( k < 3 ) có phương trình: y =
k(x-1) – 2

0.25
Hồnh ñộ giao ñiểm của (C) và (d) là nghiệm của phương trình:

3 2 2

3 4 ( 1) 2 ( 1)( 2 2 ) 0

2 2 0 (*)

x x k x x x x k

x

x x k

− + − = − − ⇔ − − − + =

 =

⇔

− − + =



0.25

Do k <3 nên pt(*) có ∆ = − >' 3 k 0 và x = 1 không là nghiệm của (*)
Suy ra (d) luôn cắt (C) tại ba ñiểm phân biệt I(xI;yI) A(xA;yA) B(xB;yB)

với xA, xB là nghiệm của phương trình (*)

0.25
Vì xA+ xB =2 = 2xI và I,A,B cùng thuộc (d) nên I là trung ñiểm của AB 0.25

1 Giải phương trình: 3 cos 3x−2sin 2 .cosx x−s inx = 0 1

Phương trình đã cho tương đương với:

3 cos 3 (sin 3 sin ) s inx = 0

3 1

os3 sin 3 s inx

2 2

x x x

c x x

− + −

⇔ − = 0.25

II

3 2

3
sin( 3 ) sinx

3 2

x x k
x

x x k

π

π
π

π

π π



− = +




⇔ − = ⇔ 



− = − +




</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Vậy ( )

12 2 3

k

x= π + π ∨ x=−π+kπ k∈ℤ

0.25

2 Giải hệ phương trình:

2 6 2

2 3 2

x

y x y

y

x x y x y



 + = − −





 + − = + −



1

ðK: y≠0; x−2y≥0;x+ x−2y≥0

2
2

(1) 2 2 6 0 x y x y 6 0

PT x y y x y y

y
y

−
−

⇔ − − − − = ⇔ − − = 0.25

x y

y
−

⇒ = − hoặc x 2y 3

y
−

⇒ = 0.25

0.5
Với

0
2

4 2

y

x y

y x y y

 <


− 

= − ⇔ 

 = +



thay vào pt (2) ta ñược nghiệm 12
2
x
y
 =


 = −


Với

0
2

9 2

y

x y

y x y y

 >


− 

= ⇔ 

 = +



thay vào pt (2) ta ñược nghiệm

24
9
4
9
x
y

 =


 =


III

1

Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy, mặt phẳng (SAB)
vng góc với mặt phẳng (SBC), SB = a , BSC=60 ,0 ASB=α.

Xác ñịnh tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

C
S

B
A

H
I

Trong mặt phẳng (SAB) kẻ AH ⊥SB

Do giả thiết (SAB) ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥(SBC)⇒ AH ⊥BC (1)

0.25

Giả thiết SA⊥(ABC) ⇒SA⊥BC (2)
Từ (1)(2) suy ra BC (SAB) BC SB

BC AB

 ⊥



⊥ ⇒ 

 ⊥



0.25
Tam giác ASC vuông tại A; tam giác SBC vuông tại B.Gọi I là trung điểm của

SC, ta có :IS = IA = IC = IB.

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

0.25
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp R = IS = IC = SC/2

Trong SBC△ có SB = a; BSC=600 suy ra

0 2

os60
SB

SC a

c

= =

Vậy R = a.

0.25

2 Với giá trị nào của α thì thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị lớn nhất. 1

Trong tam giác vuông SAB, tacó: sin a sin

os os

AB SB

SA SBc ac

α α

 = =




 = =



Trong tam giác vuông SBC: BC = SB.tan600 = a 3

0.25

3 3

1 1 1

. os . . sin . 3

3 3 2

1 3

3 sin . os sin 2

6 12

S ABC ABC

V SA S ac a a

a c a

α α

α α α

= =

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Ta thấy:

3 3

sin 2

12 12

S ABC

V = a α≤ a

Dấu “=” xảy ra khi sin 2 1

π
α= ⇔α=

Vậy thể tích khối chóp SABC đạt giá trị lớn nhất khi

π
α=

0.5

1

Cho phương trình: x+ 1− +x 2m x(1−x)−24 x(1−x)=m3

Tìm m để phương trình có một nghiệm duy nhất. 1 
Phương trình: x+ 1− +x 2m x(1−x)−24 x(1−x)=m3 (1)

ðK: 0≤ ≤x 1.

Nếu x∈

[

0;1

]

thoả mãn (1) thì 1- x cũng thoả mãn (1) nên để (1) có nghiệm
duy nhất thì cần có điều kiện: 1 1

x= − ⇔ =x x . Thay 1
2

x= vào (1), ta ñược:

3 0

1 1

2. 2.

2 2

m

m m

m
 =


+ − = ⇔

 = ±


0.25

*) Với m=0 pt (1) trở thành

(

4 41

)

2 0 1

2
x− −x = ⇔ =x
Pt có nghiệm duy nhất.

0.25
*) Với m=-1 pt (1) trở thành

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

2 2

4 4

1 2 1 2 1 1

1 2 1 1 2 1 0

1 1 0

x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x

+ − − − − − = −

⇔ + − − − + + − − − =

⇔ − − + + − =

Pt có nghiệm duy nhất.

0.25

IV

*) Với m=1 pt (1) trở thành:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

2 2

4 4

1 2 1 2 1 1

1 2 1 1 2 1

1 1 0;

x x x x x x

+ − − − − − =

⇔ + − − − = − −

⇔ − − = + − ⇔ = =

Kết luận: m=0 thì phương trình có nghiệm duy nhất.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

2

Cho khai triển (1+3 )x n =a0+a x1 + +... a xn n trong đó n∈ℕ∗và các hệ số

0, ,...,1 n

a a a thoả mãn hệ thức: 1

0 ... 1024

3 3

n
n

a
a

a + + + = .

Tìm số lớn nhất trong các số a a0, ,...,1 a n

1

ðặt 1

0 1 0

( ) (1 3 ) ... ... 1024 ( )

3 3 3

n n n

n n

a
a

f x = + x =a +a x+ +a x ⇒a + + + = = f

Từ giải thiết suy ra 2 n = 1024 = 210 ⇔ n= 10 0.25

Với mọi k∈

{

0,1, 2,...,9

}

Ta có ak =3k

C

10k; ak+1=3k+1

C

10k+1

1 1

10
1

3 1 29

1 1 1

3(10 ) 4

3
7
k k
k
k k
k
a k
k
a k
k k

C

+ +
+
+

< ⇔ < ⇔ < ⇔ <

−
∈ ⇒ ≤ℤ

0.25

Do đó a0<a1< <... a8.Tương tự ta cũng có: 8 9 10

1 7

k
k

a

k a a a

a + > ⇔ > ⇒ > > 0.25
Vậy số lớn nhất trong các số a a0, ,...,1 a là n a8=38

C

108 0.25

1 Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A(1;3) và hai trung tuyến

BM: x – 2y + 1 =0 ; CN: y = 1. Tìm toạđộ B và C. 1 
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, A(1;3). Toạñộ của G là nghiệm của hệ

2 1 0 1

(1;1)

1 1

x y x

G
y y
 − + =  =
 
 ⇔ ⇒
 
 =  =
 
 
0.25
BM: x – 2y + 1 = 0 ⇒B(-1+2t;t) CN: y = 1⇒C(s;1) 0.25 
Theo tính chất toạđộ trọng tâm ta có : 1 1 2 3 5

3 1 3 1

t s s

t t
 − + + =  =
 
 ⇔
 
 + + =  = −

 
 
0.25

Vậy B(-3;-1) C(5;1) 0.25

2

Cho các số thực dương x,y,z thay ñổi luôn thoả mãn x+ y+ z=1.
 Chứng minh rằng:

2 2 2

x y y z z x

y z z x x y

+ + +

+ + ≥

+ + + 1

Va

Ta có:

(

)

2 x 1 y z y

x y x y

x

y z y z y z

− − +

+ +

= = −

+ + +

Tương tự, BðT ñã cho trở thành:

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

2 3

x y y z x z x y y z x z

x y z

y z z x x y y z z x x y

+ + + + + +

− + − + − ≥ ⇔ + + ≥

+ + + + + +

0.25

Áp dụng BðT Cơsi ta có x y y z x z 33 x y y. z x. z 3

y z z x x y y z z x x y

+ + + + + +

+ + ≥ =

+ + + + + +

0.25

Dấu ''='' xảy ra khi 1
3

x= = =y z (ñpcm)

. Trong mặt phẳng cho đường trịn (C) và đường thẳng ∆có phương trình
( ) :C x2+y2−4x−2y=0;( ) :∆ x+2y−12=0. Tìm điểm M trên ∆

sao cho từ M vẽñược với (C) hai tiếp tuyến lập với nhau góc 60 . 0 1.0

ðường trịn (C) có tâm I(2;1) và bán kính R= 5.

Gọi A,B là 2 tiếp điểm của đường trịn (C) với hai tiếp tuyến kẻ từ M. Nếu 2
tiếp tuyến này lập với nhau một góc 60 thì tam giác IAM là tam giác vng 0
có ∠AMI =300 nên IM =2R= 5. Do đó M nằm trên đưịng trịn (T) có

phương trình

(

x−2

)

(

y−1

)

2=20

0.25

Mặt khác, điểm M nằm trên ñường thẳng ∆, nên toạñộ của M nghiệm ñúng hệ

phương trình

(

)

(

)

2 2

2 1 20 (1)

5 42 81 0 27

2 12 0 (2)

5
y

x y

y y

y

x y

 =

 − + − = 

 ⇒ − + = ⇔ 



 + − =  =

 

0.5

1

Vậy có hai điểm M thoả mãn ñề bài là

(

6;3 ,

)

6 27;
5 5
M M 



  0.25

2

Cho các số thực dương x,y,z, Chứng minh rằng:

2 2 2

x xy y yz z zx

x y y z z x

− − −

+ + ≥

+ + + 1.0

Ta có:

(

)

2 2

2
x x y xy

x xy xy

x

x y x y x y

+ −

−

= = −

+ + + . Do x,y>0 nên

2
xy x y
x y

+
≤

+ 0.5

Vb

Suy ra
2

2 2

x xy x y x y

x
x y

− + −

≥ − =

+ .

Tương tự ta cũng có:
2

2
y yz y z

y z

− −

≥

+ ,

2
z zx z x

z x

− −

≥
+

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Từđó suy ra:

2 2 2

x xy y yz z zx x y y z z x

x y y z z x

− − − − − −

+ + ≥ + + =

</div>

Dap an de thi CD Toan 12 lan 1 nam hoc 2010 2011

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

{

}

<i><sub>C</sub></i>

<i><sub>C</sub></i>

<i>C</i>

<i>C</i>

<i><sub>C</sub></i>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về