Anh xa tuyen tinh P2

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Ngày 27 tháng 4 năm 2010

1

Giá trị riêng, vectơ riêng của ma trận, ánh xạ tuyến

tính

1.1

Vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận

1.1.1 Định nghĩa:

Cho A là ma trận vuông cấp n, λ ∈ _K gọi là giá trị riêng của A nếu như tồn tại vectơ
x= (x1, x2, . . . , xn)6= 0 của Kn sao cho

A







x1
x2
..
.
xn








=λ







x1
x2
..
.
xn








(∗)

Khi đó vectơ x= (x1, x2, . . . , xn)gọi là vectơ riêng của ma trậnA ứng với giá trị riêngλ

Từ (∗) ta có:

[A−λI]








x1
x2
..
.
xn








= 0

1.1.2 Cách tìm vectơ riêng và giá trị riêng
1. Tính det(A−λI)

Chú ý: ĐặtPA(λ) =det(A−λI) gọi là đa thức đặc trưng của ma trậnA

2. Giải phương trìnhPA(λ) = 0

Tất cả các nghiệm của phương trình đều là giá trị riêngcủa ma trận A

3. Ứng với giá trị riêngλ0 (λ0 là một nghiệm của phương trìnhPA(λ) = 0)

Ta giải hệ phương trình

[A−λ0I]







x1
x2
..
.
xn








=









0
0

..
.

0








(∗∗)

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

1.1.3 Ví dụ

Tìm vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận A trên tập số thực _R

A=





0 1 1
1 0 1
1 1 0





Giải:

1. Tìm đa thức đặc trưngPA(λ)

PA(λ) = det(A−λI)

=

−λ 1 1
1 −λ 1
1 1 −λ

= (−λ)3_{+ 3}_λ_{+ 2}
2. Tìm giá trị riêng

−λ3+ 3λ+ 2 = 0

⇔(λ+ 1)(−λ2+λ+ 2) = 0

⇔λ=−1hoặc λ= 2

Ta có 2 vectơ riêng λ=−1, λ= 2

3. Tìm vectơ riêng

• λ=−1

Ta giải hệ phương trình

[A−(−1)I]








x1
x2
..
.
xn








=








0
0

..
.

0












1 1 1 0
1 1 1 0
1 1 1 0





h2→−h1+h2

−−−−−−−→

h3→−h1+h3




1 1 1 0

0 0 0 0
0 0 0 0





Hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc 2 tham số







x1 =−a−b
x2 =a
x3 =b

Ứng với giá trị riêngλ =−1 ta có các vectơ riêng (−a−b, a, b) với a, b∈_R và a, b
không đồng thời bằng 0.

• λ= 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

[A−2.I]






x1
x2
..
.
xn





=





0
0
..
.
0








−2 1 1 0

1 −2 1 0
1 1 −2 0





h1↔h3

−−−−→





1 1 −2 0
1 −2 1 0

−2 1 1 0





h2→−h1+h2

−−−−−−−→

h3→2h1+h3




1 1 −2 0
0 −3 3 0
0 3 −3 0





h3→h2+h3

−−−−−−→





1 1 −2 0
0 −3 3 0
0 0 0 0





Hệ phương trình có vơ số nghiệm phụ thuộc 1 tham số








x1 =−x2 + 2x3 =c
x2 =x3 =c

x3 =c

Ứng với giá trị riêngλ= 2 ta có các vectơ riêng (c, c, c)với c∈_R và c6= 0

1.2

Vectơ riêng và giá trị riêng của phép biến đổi tuyến tính

Ánh xạ tuyến tính f :V →V gọi là phép biến đổi tuyến tính trên V

1.2.1 Định nghĩa

Cho f :V →V là phép biến đổi tuyến tính.λ∈K gọi là giá trị riêng của f nếu tồn tại vectơ

x∈V(x6= 0) sao cho f(x) = λx.

Khi đó ta nói xlà một vectơ riêng của f đối với giá trị riêng λ

1.2.2 Cách tìm giá trị riêng và vectơ riêng của phép biến đổi tuyến tính
f :V →V là phép biến đổi tuyến tính.

E ={e1, e2, . . . , en} là một cơ sở bất kì của V.

A =Af /E là ma trận của phép biến đổi tuyến tính f trong cơ sở E

Giả sử u là vectơ riêng củaf ứng với giá trị riêng λ, khi đó ta có
f(u) =λu

với [u]/E =






x1
x2
..
.
xn






(tọa độ của u đối với cơ sởE). Do đó [f(u)]/E =






λx1

λx2
..
.
λxn





Hay

[f(x)]/E =A.[u]/E

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

• Ta có (x1, x2, . . . , xn) là vectơ riêng của ma trậnA ứng với giá trị riêng λ của A

• λ là giá trị riêng của f ⇐⇒λ là giá trị riêng của A

• (x1, x2, . . . , xn)là vectơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng λ⇔u=x1e1+x2e2+

· · ·+xnen là vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng λ

2

Chéo hóa ma trận, chéo hóa ánh xạ tuyến tính

2.1

Điều kiện chéo hóa

Định nghĩa 1: Cho phép biến đổi tuyến tính f :V →V, f gọi là chéo hóa được nếu tồn tại
một cơ sở B sao cho Af /B là ma trận chéo.

Chéo hóa phép biến đổi tuyến tính f tức là tìm cơ sở B sao cho ma trận Af /B là ma trận

chéo.

Định nghĩa 2: Cho A, B là các ma trận vuông cấp n. Ma trận A đồng dạng với ma trận B
nếu tồn tại ma trận C vuông cấpn không suy biến sao cho B =C−1.A.C

Hai ma trận đồng dạng thì có cùng đa thức đặc trưng.

Định nghĩa 3: Cho ma trận vuông A cấp n. Ma trận A gọi là chéo hóa được nếu A đồng
dạng với ma trận chéo. Tức là tồn tại một ma trậnT sao cho T−1AT là ma trận chéo

Nhận xét: Phép biến đổi tuyến tính f chéo hóa được khi và chỉ khi Af /B chéo hóa được.

Định lí 1 Phép biến đổi tuyến tính f : V → V chéo hóa được khi và chỉ khi trong V có một
cơ sở là các vectơ riêng của f

Hay ta có thể nói cách khác như sau: Phép biến đổi tuyến tính f chéo hóa được khi và chỉ khi
f có đủ n vectơ riêng độc lập tuyến tính (vớin=dimV)

Định lí 2 Ma trận vng A cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi A có đủ n vectơ riêng độc lập
tuyến tính.

Định lí 3 Nếu ma trận A có n giá trị riêng khác nhau từng đơi một thì nó có n vectơ riêng
độc lập tuyến tính

2.2

Cách chéo hóa ma trận và phép biến đổi tuyến tính

2.2.1 Chéo hóa ma trận

Để chéo hóa ma trận A cấp n ta làm như sau:

1. TìmPA(λ), giải phương trình PA(λ) = 0 tìm các nghiệmλ là tất cả các giá trị riêng của

A.

Giả sử ta có các giá trị riêng λ1, λ2, . . . , λk. Ta kí hiệu mi là số bội của λi (tức là nếu λ1
là nghiệm kép thìm1 = 2, nếu λj là nghiệm bội 3 thìmj = 3)

• Nếum1 +m2+· · ·+mk < n thì ma trậnA khơng chéo hóa được

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

2. Tìm các vectơ riêng độc lập tuyến tính.
Với mỗi i ta giải hệ phương trình

[A−λiI]








x1
x2
..
.
xn









= 0 (∗∗)

Với mọi giá trị1≤i≤k, hệ phương trình có vơ số nghiệm và phụ thuộcmi tham số thì

ma trận A chéo hóa được. Ngược lại thì khơng chéo hóa được

Với mỗi giá trị i, chọn ra mi vectơ là hệ nghiệm cơ bản của (∗∗) là các vectơ riêng củaA

Gộp lại ta đượcn vectơ riêng độc lập tuyến tính củaA là a1, a2, . . . , an

3. Lập ma trận T sao cho các cột của T lần lượt là các vectơ riêng độc lập tuyến tính
a1, a2, . . . , an. Khi đó T−1AT là ma trận chéo có các phần tử trên đường chéo chính là

các giá trị riêng. (Nếu ta xét các giá trị riêng theo thứ tự λ1, λ2, . . . , λk thì các phần tử

trên đường chéo chính cũng theo thứ tự λ1, λ2, . . . , λk)

Ví dụ: Chéo hóa ma trận

A =





15 −18 −16
9 −12 −8

4 −4 −6





Giải:

1. Tìm đa thức đặc trưngPA(λ)

PA(λ) = det(A−λ.I) =

15−λ −18 −16
9 −12−λ −8
4 −4 −6−λ

=−λ3−3λ2+ 4λ+ 12

Giải phương trìnhPA(λ) = 0

−λ3 ₋₃_λ2_{+ 4}_λ_{+ 12 = 0}

⇔ −(λ+ 3)(λ+ 2)(λ−2) = 0

Vậy ma trậnA có các vectơ riêng là λ1 =−3;λ2 =−2;λ = 2

(theo định lí 3 thì ma trận A có 3 giá trị riêng khác nhau nên A chéo hóa được)
2. Tìm các vectơ riêng độc lập tuyến tính

• Với λ1 =−3ta giải hệ phương trình A−λ1I = 0





18 −18 −16 0
9 −9 −8 0
4 −4 −3 0





h1→−2h2+h1

−−−−−−−−→

h3→−₉4h2+h3




0 0 0 0
9 −9 −8 0
0 0 5₉ 0





Hệ phương trình có vơ số nghiệm phụ thuộc 1 tham số: x3 = 0;x2 =a;x1 =a
Nghiệm tổng quát của hệ phương trình (a, a,0)với a∈_R

Nghiệm cơ bản của hệ phương trình là(1,1,0)

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

• Với λ2 =−2ta giải hệ phương trình A−λ2I = 0




17 −18 −16 0
9 −10 −8 0
4 −4 −4 0





h1→−2h2+h1

−−−−−−−−→





−1 2 0 0
9 −10 −8 0
4 −4 −4 0





h2→9h1+h2

−−−−−−−→

h3→4h1+h3




−1 2 0 0
0 8 −8 0
0 4 −4 0





h2→−2h3+h2

−−−−−−−−→





−1 2 0 0
0 0 0 0
0 4 −4 0





Hệ phương trình có vơ số nghiệm phụ thuộc 1 tham số:x3 =b;x2 =b;x1 = 2x2 = 2b
Nghiệm tổng quát của hệ phương trình (2b, b, b)với b ∈_R

Nghiệm cơ bản của hệ phương trình là(2,1,1)

Chọn 1 vectơ riêng củaA ứng với giá trị riêng λ2 =−2là a2 = (2,1,1)

• Với λ3 = 2 ta giải hệ phương trình A−λ3I = 0




13 −18 −16 0
9 −14 −8 0
4 −4 −8 0





h1→−3h3+h1

−−−−−−−−→





1 −6 8 0
9 −14 −8 0
4 −4 −8 0





h2→−9h1+h2

−−−−−−−−→

h3→−4h1+h3




1 −6 8 0
0 40 −80 0
0 20 −40 0





h2→−2h3+h2

−−−−−−−−→





1 −6 8 0
0 0 0 0
0 20 −40 0





Hệ phương trình có vơ số nghiệm phụ thuộc 1 tham số: x3 =c;x2 = 2x3 = 2c;x1 =

6x2−8x3 = 4c

Nghiệm tổng quát của hệ phương trình (4c,2c, c)với c∈_R

Nghiệm cơ bản của hệ phương trình là(4,2,1)

Chọn 1 vectơ riêng củaA ứng với giá trị riêng λ3 = 2 là a3 = (4,2,1)
3. Lập ma trận T (có các cột là các vectơ riêng a1, a2, a3)

T =





1 2 4
1 1 2
0 1 1





Khi đó ta có ma trận chéo T−1AT =





−3 0 0
0 −2 0
0 0 2





Chú ý: Nếu ta xét các giá trị riêng theo các thứ tự khác nhau thì ta sẽ được các ma trận
T khác nhau, khi đó ma trận chéo cũng khác nhau. Đối với ví dụ phía trên ta xét các giá trị
riêng theo thứ tự−3;−2; 2thì ta được ma trận chéo có các phần tử trên đường chéo cũng theo
thứ tự −3;−2; 2 này. Nếu ta xét theo thứ tự λi;λj;λk thì ma trận chéo thu được có các phần
tử nằm trên đường chéo cũng theo thứ tự λi;λj;λk

2.2.2 Chéo hóa phép biến đổi tuyến tính

Cho phép biến đổi tuyến tínhF :V →V. Lấy B là một cơ sở bất kì của V và dimV =n, khi
đó ta có ma trận của ánh xạ tuyến tính là A=Af /B

Ta tiến hành chéo hóa ma trận Af /B. NếuAf /B là ma trận chéo hóa được thì ta có n vectơ

riêng độc lập tuyến tính. Chọn n vectơ này lập thành một cơ sở của V, khi đó ma trận của
phép biến đổi tuyến tính trong cở sở vừa lập được chính là ma trận chéo.

</div>

<!--links-->