Let's go 5B-53

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1></div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

số thực (phức) được viết thành m hàng và
n cột như sau:

11 12 1

21 22 2

1 2

...
...

... ... ... ...
...

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>m n</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

 

 

 

 

 

 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2
1 2
... ...
... ...
... ... ... ... ... ...
... ...
... ... ... ... ... ...
... ...
<i>j</i> <i>n</i>
<i>j</i> <i>n</i>

<i>i</i> <i>i</i> <i>ij</i> <i>in</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>mj</i> <i>mn</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

<i>Hàng thứ i</i>

<i>Cột thứ 2 Cột thứ j</i> <i>aij: Phần tử nằm ở hàng i cột j</i>

aij

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

1

0

2

3 1.5

5

<i>A</i>

_





_







2 8

6

2 9

0

0

7

2

<i>B</i>



















_

_







23

33

đường chéo chính

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<i><b>1. Ma trận không: </b></i>

<i>a</i>

_ij

 

0, , .

<i>i j</i>

<b>Ví dụ:</b>

0 0 0

0 0 0

<i>O</i>

_





_





</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i><b>2. Ma trận vng: m = n.</b></i>

<b>Ví dụ:</b>

0 7 8

1 3

;

4

2 0

2 7

5 0 2









_

_







_

_







_

_





</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<i><b>3. Ma trận chéo:</b></i> là ma trận vuông có:

ij

0,

.

<i>a</i>

  

<i>i</i>

<i>j</i>

(các phần tử ngồi đường chéo chính = 0)

<b>Ví dụ:</b>

2 0 0
0 4 0
0 0 9

 

 

 

 

 

11

22

0 ... 0

0 ... 0

... ... ... ...

0 0 ... <i>_nn</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

 

 

 

 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<i><b>4. Ma</b></i>

<i><b> tr</b></i>

<i><b>ận đơn vị: là ma trận chéo có:</b></i>

1,

1, 2,..., .

<i>ii</i>

<i>a</i>

  

<i>i</i>

<i>n</i>

Ký hiệu: I, I_n.

<b>Ví dụ:</b>

2 3

1 0 ... 0
1 0 0

1 0 0 1 ... 0

, 0 1 0 ,

0 1 .. .. ... ..

0 0 1

0 0 ... 1

<i>n</i>

<i>I</i> <i>I</i> <i>I</i>

 

  _ _

  _ _ _ _

_ _  

  _ _

  _ _

 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<i><b>5. Ma</b></i>

<i><b> tr</b></i>

<i><b>ận tam giác: là ma trận vng có</b></i>

0,

.

<i>ij</i>

<i>a</i>

  

<i>i</i>

<i>j</i>

<b>Ví dụ:</b> _{1 2} ₅ ₄

0 3 1 0

0 0 2 6

0 0 0 9

 

 _ 

 

 

 

 

(tam giác trên)

0,

.

<i>ij</i>

<i>a</i>

  

<i>i</i>

<i>j</i>

_{(tam giác dưới)}

2 0 0 0
7 1 0 0
0 8 2 0
2 9 1 5

 

 

 

 

 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<i><b>6. Ma</b></i>

<i><b> tr</b></i>

<i><b>ận hình thang: là ma trân cấp mn có:</b></i>

0,

.

<i>ij</i>

<i>a</i>

  

<i>i</i>

<i>j</i>

có dạng như sau:

11 12 1 1

22 2 2

... ...
0 ... ...

.. .. ... .. ... ..
0 0 ... ...

0 0 ... ₀ ... ₀

<i>r</i> <i>n</i>

<i>r</i> <i>n</i>

<i>r r</i> <i>r n</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i>

 

 

 

 

 

 

 

Khi: <i>a a a</i>11 22 33...<i>a r r</i> 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

1 3 2 0 1 4
0 3 3 4 0 1
0 0 5 8 9 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0



 

 

 

 _ 

 

 

 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<i><b>7. Ma trận cột:là ma trận có n=1.</b></i>

Ma trận cột có dạng:

 

11
21

1

:

.. <i>i m</i>

<i>m</i>

<i>a</i>
<i>a</i>

<i>a</i>
<i>a</i>

 

 

 _{ }

 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<i><b>8. Ma trận hàng: là ma trận có m=1.</b></i>

Ma trận hàng có dạng:

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<i><b>9. Ma trận bằng nhau:</b></i>

ij <i>_{m n}</i> ij <i>_mn</i> <i>ij</i> <i>ij</i> , , .

<i>A</i> _ <i>a</i> _ _<i>b</i> _  <i>B</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>i j</i>

<i><b>10. Ma trận chuyển vị: cho ma trận </b></i>

<i>A=[a_ij]_mn, ma trận chuyển vị của ma trận A </i>
<i>ký hiệu: AT và xác định AT=[b</i>

<i>ij]nm</i> với

<i>b_ij=a_ji với mọi i,j. </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>Ví dụ:</b>

11 12 1 11 21 1

21 22 2 12 22 2

1 2 1 2

... ...

... ...

.. .. ... .. .. .. ... ..

... ...

<i>n</i> <i>m</i>

<i>n</i> <i>_T</i> <i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>mn</i> <i>_{m n}</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n m</i> <i>_{n m}</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>A</i> <i>A</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

   
   
   
  
   
   
   
   
1 6
1 2 5

2 7
6 7 9

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<i><b>11. Đa thức của ma trận:</b></i>

Cho đa thức

và ma trân vng

Khi đó:

<i>(trong đó là ma trận đơn vị cùng cấp với ma trân A)</i>

[ ]<i>_{ij n}</i>

<i>A</i>  <i>a</i>

1

0 1

( ) <i>n</i> <i>n</i> ...

<i>n</i> <i>n</i>

<i>P x</i> <i>a x</i> <i>a x</i>  <i>a</i>

   

1

0 1

( ) <i>n</i> <i>n</i> ...

<i>n</i> <i>n n</i>

<i>P A</i> <i>a A</i> <i>a A</i>  <i>a I</i>

   

<i>n</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>Ví dụ:</b>

Cho 2

2( ) 3 5

<i>P x</i> <i>x</i>  <i>x</i> 

và ma trận 1 2

0 3
<i>A</i> _ _



 

Khi đó: 2

2 2

2

( ) 3 5

1 2 1 2 1 0

3 5

0 3 0 3 0 1

<i>P A</i> <i>A</i>  <i>A</i> <i>I</i>

     

_ _  _ _  _ _

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<i><b>1. Phép cộng hai ma trận:</b></i>

ij <i>_{m n}</i> ij <i>_mn</i> ij ij <i>_mn</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>































1 2 0 3

3 5 2 4

     

     

   

     

<b>Ví dụ:</b>

1 0

1+ 0=1₁

2 3

2+3=55
-1 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

2

3

3

3

4 2

1

4

6

1 7 2

4

2

0

6 3 2



















_{ }





_













































?

5 7

?

?
-1
0

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

)
)

) ( ) ( )

<i>i A B B A</i>
<i>ii A O A</i>

<i>iii A</i> <i>B C</i> <i>A B</i> <i>C</i>

  

 

    

trận cùng cấp, khi đó:

<b>Ví dụ:</b> 1 2 3 5 4 7

4 7 2 0 6 7

3 5 1 2 4 7

     

 

     

     

     

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<i><b>2. Phép nhân một số với một ma trận:</b></i>

ij <i>_mn</i>

.

ij <i>_mn</i>

,

<i>a</i>

<i>a</i>



 

_{ }





_





_





<b>R.</b>

<b>Ví dụ:</b>

3 2 0
2 7 4 5
0 2 1



   

  _ 

   

    

   

2
3

2.3=66 2.(-2)=-4
-2

2

-4

0

14

2.0=0
8 10

0 -4 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

2

3

3 4

0

5

1















_















_















?
6

0

15

-9
12

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

cùng cấp, khi đó

) ( )

) ( )

) ( ) ( )

) 1

<i>i</i> <i>A B</i> <i>A</i> <i>B</i>

<i>ii</i> <i>A</i> <i>A</i> <i>A</i>

<i>iii</i> <i>A</i> <i>A</i>

<i>iv</i> <i>A A</i>















 



  

  




</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

1 3

3 9

6 18

2 3

2

5 2

15 6

30 12

1 3

1 3

6 18

(2.3)

6

5 2

5 2

30 12



_

_



_

_

_

_







_

_



_

_

_

_













































</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

1 3 6 5 1 3 6 5
( 1)

4 5 1 3 4 5 1 3

       

   

       

       

( 1)

<i>A B</i>



  

<i>A</i>

<i>B</i>

1 3 6 5 5 2

4 5 1 3 3 2

   

     

_ _  _ _ _ _

 

     

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

2 4

1

3

2

3 7

2 4























_



















2+(-2).1=0

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

<i><b>3. Phép nhân hai ma trận: Cho hai ma trận </b></i>

Khi đó ma trận gọi là tích của
<i>hai ma trận A, B. Trong đó: </i>

; ,

<i>mp</i> <i>pn</i>

<i>A</i> <i>B</i>

[ ]

<i>mp</i> <i>pn</i> <i>ij mn</i>

<i>A B</i>  <i>c</i>

1 1 2 2 ... , 1, ; 1, .

<i>ij</i> <i>i</i> <i>j</i> <i>i</i> <i>j</i> <i>ip pj</i>

<i>c</i> <i>a b</i>  <i>a b</i>   <i>a b</i>  <i>i</i> <i>m j</i>  <i>n</i>

1

<i>i</i>

<i>a</i> <i>a_i</i>₂ <i>a_ip</i> <i>_{Hàng thứ i của ma}</i>_trận<i>_A.</i>

<i>1 j</i>

<i>b</i> <i>b_{2 j}</i> <i>b_pj</i> <i>Cột thứ j của ma tr</i>ận<i> B.</i>
<i>Như vậy = hàng thứ i của ma trận A nhân tương ứng </i>
<i>với cột thứ j của ma trận B rồi cộng lại.</i>ij

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

33 32 32

3

2

1

1

2

0

1 4

3

0

2

3

0

4

1











































_





_



















3. 1

.3
+2 +1

.4

=1313

=

=3.2+2.0+1.(-1)=55

3 2 1 0

-1

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

33 32 32

3 2 1 1 2 13 5

0 1 4 3 0

2 3 0 4 1

     

 _    _ 

     

       

     

=0.1+(-1).3+4.4=13

Hàng 2

Cột 1

13

Hàng 2 =0.2+1.0+4.(-1)=-4-4

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

2

4

1

1

4 2

2

3 0

1 0 4

3

5

1









_

_











_



_

_









_

_









23

33

23

16 2 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

1

2

3

3

1

0

4

2

2

0

5

1

1 6

3





 





_

 





 





_

 

_



</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

1 4
5 2
1 4
3 1
4 0
3 1
4
2 10
4
5 2
1 1
6
3
1
2

0
9
5
<i>AB</i>
<i>BA</i>

 
 
 
_ _ 
 
 
 _ _ 
 

 
 
 





 


 
 






</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

<i><b>phù hợp để tồn tại ma trận tích </b></i>

) (

) (

)

) (

)

) (

)

)

(

)

<i>i A BC</i>

<i>AB C</i>

<i>ii A B C</i>

<i>AB AC</i>

<i>iii A B C</i>

<i>AC BC</i>

<i>iv AI</i>

<i>A IA A</i>















</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

1 5 2 1 5 0 1 5 7 1

7 2 3 4 1 3 7 2 4 1

1 5 2 1 5 0 1 5 2 1 1 5 5 0

7 2 3 4 1 3 7 2 3 4 7 2 1 3

17 19 10 15

20 1 37

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

1 5 7 1 0 0 1 5 7

8 4 2 0 1 0 8 4 2

3 1 0 0 0 1 3 1 0

1 0 0 1 5 7 1 5 7

0 1 0 8 4 2 8 4 2

0 0 1 3 1 0 3 1 0

<i>AI</i> <i>A</i>

<i>IA</i> <i>A</i>

     

     

  

     

     

     

     

     

  

     

     

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

Tính f(A)? _1 4_

 Ta

có:

2

2
2

( ) 3 5

3 5 3 5 1 0

3 5

1 4 1 4 0 1

3 5 3 5 9 15 5 0

1 4 1 4 3 12 0 5

14 35 4 15 18 50

<i>f A</i> <i>A</i>  <i>A</i> <i>I</i>

     

_ _  _ _  _ _

     



       

_ _{ } _  _ _  _ _


       

     

 _ _  _ _ _ _

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

và ma trận
Tính f(A) =?

1 2 3
0 3 4
0 0 2

<i>A</i>

 

 



 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 0 0
0 3 4 0 3 4 3 0 3 4 4 0 1 0
0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 1

       

       

  

       

       

       

3

0 14 26
0 14 32
0 0 6

 

 



 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

( )

2

3

1 5

, ( ) ?

0 4

<i>f x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>A</i>

<i>f A</i>













_

_







2

2

( )

2

3

<i>f A</i>



<i>A</i>



<i>A</i>



<i>I</i>

1 5 1 5 1 5 1 0

( ) 2 3

0 4 0 4 0 4 0 1
<i>f A</i>  _  _{ } _  _ _  _ _

       

4 15

0 5



 

 _ 

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

2 0 0 2 0

3 1 0 ; 1 3

4 2 5 4 5

<i>A</i> <i>B</i>

   

   

   

   

    

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

1. Nhân một số khác không với một hàng

(cột) của ma trận. Ký hiệu:

2. Đổi chỗ hai hàng (cột) của ma trận. Ký

hiệu:

3. Cộng vào một hàng (cột) với một hàng

(cột) khác đã nhân thêm một số khác
không. Ký hiệu:

<i>i</i>

<i>h</i>

<i>A</i>



<i>B</i>

 

<i>i</i> <i>j</i>
<i>h</i> <i>h</i>

<i>A</i>    <i>B</i>

<i>i</i> <i>j</i>

<i>h</i> <i>h</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

thang.

2 ( 2) 1

1 1 2 0 1 1 2 0

2 1 1 3 0

4 5 2 1

1 7 3 2

<i>h</i>   <i>h</i>

   

 _   

  _{   }  

    

   



   

?=1+(-2)1=-1
-5 3

?
-1

 Ta làm cho phần dưới

đường chéo chính = 0.

0

3 4 1

<i>h</i>  <i>h</i> _{9 10 -1}

0

4 1 1

<i>h</i>  <i>h</i>

8 5 2

 Ta lặp lại như trên cho

phần ma trận này

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

2 1
3 1
4 1
( 2)
4

1

2 1 1 3 0 1 5 3

4 5 2 1 0 9 10 1

1 7 3 2 0 8 5 2

<i>h</i> <i>h</i>
<i>h</i> <i>h</i>
<i>h</i> <i>h</i>
 


 _   _ _ 
  _{   }  
     
   

   

1 1 2 0
0 1 5 3
0 0
0
 
 
 
 
 

 
 
 

3 9 2

<i>h</i>  <i>h</i>

-35 26
0

4 8 2

<i>h</i>  <i>h</i>

-35 26

4 ( 1) 3

1 1 2 0

0 1 5 3

0 0 35 26

0 0 0 0

<i>h</i>   <i>h</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

thang:

0 2 1
2 1 3
3 0 5


 
 
 
 
 
1 2

2 1 3
0 2 1
3 0 5

<i>h</i> <i>h</i>

 
 
   
 
 
 
3 1

2<i>h</i>  ( 3)<i>h</i>

   

2 1 3

0 2 1

0

 

 



 

2 1 3

0 2 1

0 0
 
 
   
 
3 2

2<i>h</i> 3<i>h</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

thang:

3 4 1

<i>h</i>  <i>h</i>

1 2 1 0

2 3 0 5

4 1 2 0

3 0 5 7


 
 
 
 
 

 

1 2

1 0

0

0

0















 













2 2 1

<i>h</i>  <i>h</i>

4 3 1

<i>h</i>  <i>h</i>

-1 2 5

-7 6 0

6 2 7

3 7 2

<i>h</i>  <i>h</i>

4 6 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>

1 2 1 0
0 1 2 5
0 0 8 35
0 0 14 37



 

 _ 

 

 _ _ 

 

 

4 3
8<i>h</i> 14<i>h</i>

1 2 1 0

0 1 2 5

0 0 8 35

0 0 0 194



 

 _ 

 

   

 



 

</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47>

thang:

3 2 1

<i>h</i>  <i>h</i>

1 1 2 3

3 4 0 1

2 4 3 2

0 2 1 4

  

 

 



 

  

 

 

 

1

1

2 3

0

0

0



















 













2 3 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(48)</span><div class='page_container' data-page=48>

2

6

3

2

1

4

3

5

5

<i>x</i>

<i>y z</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>z</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>z</i>





















_

_

_



1 2 1 6

3 1 2 1

4 3 5 5


 
 
  
 
 
 

1 2 1 6

0 7 5 19

0 0 38 38

</div>
<span class='text_page_counter'>(49)</span><div class='page_container' data-page=49></div>

<!--links-->