nội dung ôn tập luyện thi vào lớp 10 phần i biểu thức đại số 4 tiết 1 các bài toán rèn luyện kĩ năng tính toán cơ bản bài 1 khai triển các hằng đẳng thức 1 2 3 4 bài 2 phân tích thành các lũy th

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (172.45 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHẦN I: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ (4 tiết)

1. Các bài tốn rèn luyện kĩ năng tính tốn cơ bản
Bài 1: Khai triển các hằng đẳng thức

1) ( 2 1)2

 2) ( 2 1) 2 3) ( 3 2) 2 4) ( 3 2) 2

Bài 2: Phân tích thành các lũy thừa bậc hai

1) 8 2 15 2) 10 2 21 3) 5 24 4) 12 140

5) 14 6 5 6) 8 28 7) 9 4 2 8) 28 6 3

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử

1) x2 − 5x + 6 2) x2 − 7x + 6 3) x2 + 9x + 20 4) x2 + 6x + 8
5) 2x2 + 3x − 5 6) 3x2 − 4x + 1 7) 4x2 − 7x + 3 8) 5x2 + 12x − 17
Bài 4: Với x ≥ 0. Phân tích các biểu thức sau thành nhân tử

1) x 5 x 6  2) x 3 x 2  3) x 4 x 3  4) x 7 x 6  5) 2x 3 x 1 

Bài 5: Giải các hệ phương trình
1) x 2y 3

2x y 1

 





 

 2)

3x 4y 2
2x 3y 7

 




 

 3)

x 7y 2

2x y 11
 




 

 4)

2x 3y 10
3x 2y 2

 




 


Bài 6: Tìm giá trị của x để

1) x2 − 2x + 7 có giá trị nhỏ nhất 2) 
2

x 2x 5 có giá trị lớn nhất
3) 2x22 5

2x 1


 có giá trị lớn nhất 4)

2
2

x 2x 1

x 4x 5

 

  có giá trị nhỏ nhất
Bài 7: Tìm các giá trị của x  Z để các biểu thức sau có giá trị nguyên

1) A = 6

x 1 2) B =

2x 3 3) C =

x 5
x 2


 4) D =

4x 3
2x 6


Bài 8: Giải các bất phương trình

1) 5(x − 2) + 3 > 1 − 2(x − 1) 2) 5 + 3x(x + 3) < (3x − 1)(x + 2)
3) 5x 2 1 2x

4 12

 

 4) 11 3x 5x 2

10 15

 


2. Các bài tốn tổng hợp

Các dạng tốn:

1) Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa
2) Rút gọn biểu thức

3) Dạng giải phương trình, bất phương trình
4) Tìm cực trị của biểu thức

5) Xác định giá trị nguyên của biến để biểu thức có giá trị nguyên
Bài 1: Cho biểu thức A = 1 1 : 1 1 1

1 x 1 x 1 x 1 x 1 x

   

  

   

    

   

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 3

c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất
HD: a) ĐK: x ≥ 0, x ≠ 1. Rút gọn ta đượcA 1

x (1 x)



b) x 7 4 3 (2 3) : A2 1(3 3 5)

     

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài 2: Cho biểu thức: A x 1 2 10 5

x 3 x x 6 x 2



  

   

a) Tìm điều kiện của x để A xác định
b) Rút gọn biểu thức A

c) Tìm giá trị của x để A > 0
HD: a) a ≠ −3, a ≠ 2

b) A x 1
x 2





c) A > 0  x > 2 hoặc x < −1

Bài 3: Cho biểu thức C x 3 1 : x 1 1 :x 2

x 1 x 1 x



   

       

 

   

a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C xác định
b) Rút gọn biểu thức C

c) Tính giá trị của biểu thức C khi x 6 20

d) Tìm các giá trị nguyên của x để C có giá trị nguyên
HD: a) x ≠ 1, x ≠ −2, x ≠ 0

b) C x 2
x 2





c) C 5 2

d) x  {−1, −3, −4, −6, 2}

Bài 4: Cho biểu thức: B x 2x x

x 1 x x



 

 

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tính giá trị của B khi x 3  8

c) Với giá trị nào của x thì B > 0? B< 0? B = 0?

HD: a) ĐK x > 0, x ≠ 1: B x 1 b) x 3  8 ( 2 1) : B 2  2

c) B > 0  x > 1 (thỏa); B < 0  x < 1 (Khơng có nghiệm do đk: x > 0); B = 0  x = 1 (loại).
Bài 5: Cho biểu thức H 1 x : 1 2 x

x 1 x 1 x x x x 1

   

     

        

   

a) Rút gọn biểu thức H

b) Tính giá trị của biểu thức H khi x 53
9 2 7




c) Tìm giá trị của x để H = 16

HD: a) x > 1: H x 2 x 1 b) x 9 2 7   H 7 c) H = 16  x = 26
Bài 6: Cho biểu thức N a b a b

ab b ab a ab



  

 

a) Rút gọn biểu thức N

b) Tính giá trị của N khi a  4 2 3, b  4 2 3

c) Chứng minh rằng nếu a a 1

b b 5




 thì N có giá trị khơng đổi.
HD: a) a ≠ 0, b ≠ 0, ab > 0: N a b

b a




b) N 3

c) a a 1 a 1 b 5a

b b 5 b 5

 

   

  

3
N

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

PHẦN II: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH (4 tiết)

Bài 1: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h. Khi đến B, người đó nghỉ 20
phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình 25km/h. Tính qng đường AB, biết rằng thời gian cả
đi lẫn về là 5 giờ 50 phút.

HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 0).
Ta có phương trình: x x 1 55

30 25 3   6. Giải ra ta được: x = 75 (km)

Bài 2: Một ôtô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu ơtơ đi với
vận tốc đó, khi cịn 60km nữa thì đi được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc

10km/h trên qng đường cịn lại, do đó ơtơ đến tỉnh B sớm hơn 1giờ so với dự định. Tính quãng
đường AB.

HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 120)

Ta có phương trình: x 60 : 40 x 60 : 50 x 1

2 2 40

   

    

   

    . Giải ra ta được: x = 280 (km)

Bài 3: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8giờ 20phút. Tính vận tốc
của tàu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4km/h.

HD: Gọi vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là x km/h (x > 0)
Ta có phương trình: 80 80 81

x 4 x 4  3. Giải ra ta được: 1
4
x

 (loại), x2 = 20 (km)

Bài 4: Hai canô cùng khởi hành một lúc và chạy từ bến A đến bến B. Canô I chạy với vận tốc
20km/h, canô II chạy với vận tốc 24km/h. Trên đường đi, canơ II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục
chạy với vận tốc như cũ. Tính chiều dài qng sơng AB, biết rằng hai canô đến bến B cùng 1 lúc.
HD: Gọi chiều dài quãng sông AB là x km (x > 0)

Ta có phương trình: x x 2

20 24 3. Giải ra ta được: x = 80 (km)

Bài 5: Một ca nô và một bè gỗ xuất phát cùng một lúc từ bến A xi dịng sơng. Sau khi đi được 24
km ca nô quay trở lại và gặp bè gỗ tại một địa điểm cách A 8 km. Tính vận tốc của ca nơ khi nước
n lặng biết vận tốc của dòng nước là 4 km / h.

HD: Gọi vận tốc canô khi nước yên lặng là x km/h (x > 4)
Ta có phương trình: 24 16 2

x 4 x 4  . Giải ra ta được x1 = 0 (loại), x2 = 20 (km/h)

Bài 6: Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50 km. Sau đó 1 giờ 30 phút, một người
đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy
gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.

HD: Gọi vận tốc xe đạp là x km/h (x > 0)
Ta có phương trình: 50 50 (1,5 1)

x 2,5x   . Giải ra ta được: x = 12 (thỏa mãn)

Bài 7: Một đội xe cần chun chở 100 tấn hàng. Hơm làm việc, có hai xe được điều đi làm nhiệm
vụ mới nên mỗi xe phải chở thêm 2,5 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu xe? (biết rằng số hàng chở được của

mỗi xe là như nhau)

HD: Gọi x (xe) là số xe của đội (x > 2 và x  N)
Ta có phương trình: 100 100 5

x 2  x 2. Giải ra ta được: x1 = −8 (loại), x2 = 10 (thỏa mãn)

Bài 8: Để làm một chiếc hộp hình hộp khơng nắp, người ta cắt đi 4 hình vng bằng nhau ở 4 góc
của một miếng nhơm hình chữ nhật dài 24cm, rộng 18cm. Hỏi cạnh của các hình vng đó bằng
bao nhiêu, biết rằng tổng diện tích của 4 hình vng đó bằng 2

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Ta có phương trình: 4x2 2(24 2x)(18 2x)
5

   . Giải ra ta được: x1 = −18 (loại), x2 = 4 (thỏa)
Bài 9: Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần,
nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được một số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho
HD: Gọi số phải tìm là xy (0 < x, y ≤ 9 và x, y  Z)

Ta có hệ: 6(x y) 10x y x 5

xy 25 10y x y 4

   

 



 

   

  . Vậy số phải tìm là 54

Bài 10: Hai vịi nước cùng chảy vào một bể thì sau 1 giờ 20 phút bể đầy. Nếu mở vòi thứ nhất chảy
trong 10 phút và vịi thứ hai trong 12 phút thì đầy 2

5 bể. Hỏi nếu mỗi vịi chảy một mình thì phải
bao lâu mới đầy bể.

HD: Gọi thời gian chảy một mình đầy bể của vòi I, II lần lượt là x, y phút (x, y > 80)

Ta có hệ:

80 80
1

x 120

x y

10 12 2 y 240

x y 15



 

  





 




  




Bài 11: Hai người thợ cùng làm một cơng việc trong 16giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3giờ
và người thứ hai làm 6giờ thì họ làm được 25% công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó một
mình thì trong bao lâu sẽ hồn thành cơng việc.

HD: Gọi x, y (giờ) là thời gian người thứ nhất, hai làm một mình xong cơng việc (x > 0, y > 16)

Ta có hệ:

16 16
1

x 24

x y

3 6 1 y 48

x y 4



 

  





 



  




(thỏa mãn điều kiện đầu bài)

Bài 12: Một phịng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế của mỗi dãy đều bằng
nhau. Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy cũng tăng thêm 1 thì trong phịng có 400 ghế.
Hỏi trong phịng họp có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế?

HD: Gọi số dãy ghế trong phòng họp là x dãy (x  Z, x > 0)
Ta có phương trình: (x 1) 360 1 400

 

    

  . Giải ra ta được: x1 = 15, x2 = 24
ĐS: 15 dãy với 24 người/dãy, 24 dãy với 15 người/dãy.

PHẦN III: HÀM SỐ & ĐỒ THỊ − HỆ PHƯƠNG TRÌNH (3 tiết)

Bài 1: Cho hai đường thẳng y = 2x + 3m và y = (2m + 1)x + 2m − 3. Tìm điều kiện của m để:
a) Hai đường thẳng cắt nhau

b) Hai đường thẳng song song với nhau
c) Hai đường thẳng trùng nhau

HD: a) Hai đường thẳng cắt nhau  2m + 1 ≠ 2  m 1
2

b) Hai đường thẳng song song với nhau  m 1

2

c) Không xảy ra.

Bài 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(−1 ; 3) và B(0 ; 5)

HD: Phương trình đường thẳng có dạng: y = ax + b. Vì đường thẳng đi qua hai điểm A và B. Nên
(a, b) là nghiệm của hệ: a b 3 a 2

b 5 b 5

   

 



 

 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài 3: Xác định hệ số a, b của hàm số y = ax + b trong mỗi trường hợp sau:

a) Đồ thị hàm số là một đường thẳng có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm A(−1 ; 3)
b) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm B(2 ; 1) và C(1 ; 3)

c) Đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1 ; 3) và song song với đường thẳng y = 3x − 2
ĐS: a) (a ; b) = (3 ; 6). b) (a ; b) = (−2 ; 5). c) (a ; b) (3 ; 0)

Bài 4: Cho Parabol (P): y = 2x2 và hai đường thẳng: (d1): mx − y − 2 = 0 và (d2): 3x + 2y − 11 = 0
a) Tìm giao điểm M của (d1) và (d2) khi m = 1

b) Với giá trị nào của m thì (d1) song song với (d2)
c) Với giá trị nào của m thì (d1) tiếp xúc với (P).

HD: a) Khi m = 1 thì giao của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ: x y 2 x 3

3x 2y 11 y 1

  

 



 

  

   M(3 ; 1)

b) (d1) song song với (d2)  m 3
2


c) (d1) tiếp xúc với (P)  2x2 − mx + 2 = 0 có nghiệm kép  = 0  m2 = 16  m 4

m 4








Bài 5: Cho đường thẳng (d) y = (m − 2)x + n (m ≠ 2). Tìm các giá trị của m, n trong mỗi trường
hợp sau:

a) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(−1 ; 2) và B(3 ; −4)

b) Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 2 và cắt trục hồnh tại điểm có
hồnh độ bằng 2 2

c) Đường thẳng (d) cắt đường thẳng (d1): −2y + x − 3 = 0
d) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng(d2): 3x + 2y = 1
e) Đường thẳng (d) trùng với đường thẳng (d3): y − 2x + 3 = 0
HD: a) ĐS: m n 1

2
 

b) ĐS: m 1 2 ; n 3 2
2

  

c) ĐS: (d) cắt (d1) khi m ≠ 2,5 và n tùy ý

d) ĐS: (d) song song với (d2)  m = 0,5 và n ≠ 0,5
e) ĐS: (d) ≡ (d3)  m = 4 và n = 3

Bài 6: Tìm khoảng cách giữa hai điểm A và B trên mặt phẳng tọa độ biết:
a) A(1 ; 1) và B(5 ; 4) b) A(−2 ; 2) và B(3 ; 5)
HD: a) AB (5 1)2 (4 1)2 5

    

b) AB (3 2)2 (5 2)2 5,83

    

Bài 7: Tìm giá trị của m để ba đường thẳng sau đồng qui:

a) (d1): 5x + 11y = 8 (d2): 10x − 7y = 74 (d3): 4mx + (2m − 1)y = m + 2
b) 3x + 2y = 13 (d2): 2x + 3y = 7 (d3): (d1): y = (2m − 5)x − 5m
HD: a) ĐS: m = 0 b) m = 4,8

Bài 8: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
a)

1 1 4

x y 5

1 1 1

x y 5



 






  




15 7
9

x y

4 9
35

x y



 





  




1 1 5

x y x y 8

1 1 3

x y x y 8



 

  




  

  



4 5

2
2x 3y 3x y

3 5

21
3x y 2x 3y


 

  




  

  


HD: a) ĐS: (x ; y) 2 ; 10

 

 

  b)

1 1

(x ; y) = ;

2 3

 

 

  c) (x ; y) = (5 ; 3) d)

7 2

(x ; y) ;
66 11

 

 

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

PHẦN IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (3 tiết)

Bài 1: Cho phương trình: x2 – 2mx + m + 2 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm
x1 = 2. Tìm nghiệm x2.

HD: m = 2, x2 = 2

Bài 2: Cho phương trình x2 + 2(m + 1)x + m2 = 0 (1)

a) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và trong hai nghiệm đó có
một nghiệm bằng −2

HD: a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt  m 1
2
 
b) m = 0 hoặc m = 4

Bài 3: Cho phương trình x2 3x 5 0

   và gọi hai nghiệm của phương trình là x1, x2. Khơng

giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau:
a)

1 2

1 1

x x b)

2 2

1 2

x x c) 2 2

1 2

1 1

x x d)

3 3

1 2

x x
HD: Đưa các biểu thức về dạng x1 + x2 và x1x2 rồi sử dụng hệ thức Viét

Bài 4: Cho phương trình (m + 1)x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0 (1)

a) Chứng minh rằng m ≠ −1 phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu

HD: a) Chứng minh ' > 0

b) Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu  m < −1 hoặc m > 3
Bài 5: Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m − 4 = 0 (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = 1

b) Chứng minh rằng phương trình (1) ln có nghiệm với mọi giá trị của m

c) gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Chứng minh rằng A = x1(1 − x2) + x2(1 − x1)
không phụ thuộc vào giá trị của m

HD: a) Khi m = 1: PT có hai nghiệm x  2 2 7

b) A = 2(m + 1) − 2(m − 4) = 10  A không phụ thuộc vào m

Bài 6: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0
a) Khơng giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức P = (x1)2 + (x2)2 theo m
b) Tìm m để P nhỏ nhất

HD: a) P = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 4(m − 1)2 − 2(m − 3) = 4m2 − 10m + 10
c) P = (2m 5)2 15 15

4 4

   . Dấu "=" xảy ra  m 5
2


Bài 7: Cho phương trình x2 − 6x + m = 0 (m là tham số) (1)
a) Giải phương trình (1) với m = 5

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn 3x1 + 2x2 = 20
HD: a) Với m = 5  x1 = 1, x2 = 5

b) Đáp số: m = −16 (x1 = 8, x2 = −2)
Bài 8: Cho phương trình x2 − 4x + k = 0

a) Giải phương trình với k = 3

b) Tìm tất cả các số ngun dương k để phương trình có hai nghiệm phân biệt

HD: a) Với m = 3: x1 = 1, x2 = 3

b) ' = 4 − k > 0  k < 4. ĐS: k  {1 ; 2 ; 3}

Bài 9: Cho phương trình : x2 − (m + 5)x − m + 6 = 0 (1) 
a) Giải phương trình với m = 1.

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = −2.
HD: a) ĐS: x1 = 1, x2 = 5

b) ĐS: m = − 20

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

1) Giải phương trình (*) khi m = 1.

2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.
HD: a) Khi m = 1: x 1

2

b) ĐS: m 2, m 1

  .

PHẦN V: SỐ HỌC (2 tiết)

(

Phép chia hết và phép chia cịn dư)

Tính chất 1: “Trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n (n ≥1)”

Chứng minh: Lấy n số nguyên liên tiếp chia cho n thì được n số dư khác nhau đôi một, trong n số
dư khác nhau đơi một này có duy nhất một số dư bằng 0, tức là có duy nhất một số chia hết cho n.
Khái niệm: a) Số nguyên tố là số chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

b) Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất là 1.
Tính chất 2: a) Nếu a  m, a  n và (m, n) = 1 thì: a  mm

b) Nếu a  m, a  n, a  p và m, n, p là ba số đơi một ngun tố cùng nhau thì a  mnp
Bài 1: Chứng minh rằng:

1) Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6
2) Tích của 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho 24
3) Tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120
4) Tích của 6 số nguyên liên tiếp chia hết cho 720
5) Tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
6) Tích của 3 số chẵn liên tiếp chia hết cho 48
HD: Dựa trên cơ sở tính chất 1 và 2 để chứng minh.
Bài tập: Chứng minh rằng m, n  N:

1) n3 + 11n  6.

HD: n3 + 11n = n(n – 1)(n + 1) + 12n  6
2) n(n + 1)(2n + 1)  6

HD: n(n + 1)(2n + 4 – 3) = 2n(n + 1)(n + 2) – 3n(n + 1)  6
3) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n  24

HD: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
4) n4 – 4n3 – 4n2 + 16n  384 (n chẵn và n > 4)

HD: n = 2k và 384 = 27.3

5) n2(n2 – 1)  12

HD: n2(n2 – 1) = (n – 1)n.n(n + 1)  12
6) n2(n4 – 1)  60

HD: n4 – 1 = (n – 1)(n + 1)(n2 – 4 + 5)
7) 2n(16 – n4)  30

HD: 2n(16 – n4) = 32(n – n5) + 30n5
8) mn(m4 – n4)  30

HD: m4 – n4 = (m4 – 1) – (n4 – 1)
9) n3 – 13n  6

HD: n3 – 13n = n(n – 1)(n + 1) – 12n
10) m2n2(m4 – n4)  60

HD: (Kết hợp câu 5 và câu 8)

PHẦN VI: HÌNH HỌC (8 tiết)

Bài 1: Cho ABC vuôn tại A, đường cao AH. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, d là tiếp
tuyến của đường tròn tại A. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt d theo thứ tự ở D và E.

a) Tính DOE

b) Chứng minh: DE = BD + CE

c) Chứng minh BD.CE = R2 (R là bán kính đường trịn tâm O)
d) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường trịn đường kính DE

M
D

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

HD: a) D 1 E 1 1



BDE CED 



900
2

    (Vì BD // CE)  DOE 90 0



b) DE = AD + AE = BD + CE (Vì BD = AD và CE = AE)

c) v.DOE đường cao OA: OA2 = AD.AE = BD.CE  BD.CE = R2
d) Gọi M là trung điểm của DE nối OM ta có: OM là đường trung bình
của hình thang BDEC  OM // BD mà BD  BC  OM  BC mà O thuộc
đường tròn đường kính DE do DOE 90 0

 . Vậy: BC là tiếp tuyến của đường trịn đường kính DE.

Bài 2: Cho c.ABC (AB = AC), các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn
ngoại tiếp AHE. a) Chứng minh ED = 1BC

b) Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
c) Tính độ dài DE biết DH = 2cm, HA = 6cm

HD: a) v.BEC có DE là trung tuyến  DE = 1BC
2

b) BDE cân  E 1 E 2 B1 D 2 900 DEO 90  0 DE là tiếp tuyến
c) BDH ADC  BD DH BD 2

AD DC  8 BD  DE = BD = 4cm

Bài 3: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua một
điểm M thuộc nửa đường tròn đã cho, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và
D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau ở N. Chứng minh rằng:

a) CD = AC + BD
b) MN // AC

c) CD.MN = CM.DB

d) M ở vị trí nào trên nửa đường trịn đã cho thì tổng AC + BD
có giá trị nhỏ nhất?

HD: a) CD = CM + MD = AC + BD (Vì AC = CM và BD = DM)
b) AC // BD  AC AN

BD ND hay:

CM AN

MD ND  MN // AC
c) MN // BD  MN CM

BD CD  CD.MN = CM.DB

d) AC + BD nhỏ nhất  CD nhỏ nhất  CD = AB  M là điểm nằm chính giữa AB

Bài 4: Từ một điểm A ở bên ngồi đường trịn (O, R), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn.
Từ một điểm M trên cung nhỏ BC kẻ một tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến kia tại P và Q

a) Chứng minh rằng khi điểm M chuyển động trên BC thì chu vi APQ có giá trị khơng đổi

b) Cho BAC 60 0

 và R = 6cm. Tính độ dài của tiếp

tuyến AB và diện tích phần mặt phẳng được giới hạn bởi
hai tiếp tuyến AB, AC và cung nhỏ BC

HD: a) Gọi chu vi của APQ là p. Ta có:

p = AP + (BP + CQ) + AQ = AB + AC = Const.
(Vì PQ = MP + MQ = BP + CQ do BP = MP, MQ = CQ)

b) BAC 60 0

 ABC đều AOB là một nửa của

tam giác đều nên:

AB = 2.OB = 2R = 2.6 = 12 (cm)

Bài 5: Cho c.ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp A , O
là trung điểm của IK

a) Chứng minh rằng bốn điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn tâm O
b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c) Tính bán kính của đường trịn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm
HD: a) KBI KCI 180  0

  (Tính chất phân giác)  BICK nội tiếp (O)

2
2 1

H E

B C

D'
N

A B

Q
P

C
B

O A

21
1

B C

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

b)    0
1

1 2

C OCI C I 90  OC  AC  AC là tiếp tuyến của (O)
c) AH AC2 HC2 202 122 16

     (cm).

2 2

CH 12

OH 9

AH 16

   (cm)

Vậy: OC = OH2 HC2 92 122 225 15

     (cm)

Bài 6: Cho v.ABC (A 90 0

 ), đường cao AH. Gọi HD là đường kính của đường trịn (A, AH).

Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA ở E
a) Chứng minh rằng BEC là tam giác cân

b) Gọi I là hình chiếu của A trên BE, chứng minh rằng AI = AH
c) Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A, AH)
d) Chứng minh BE = BH + DE

HD: a) ADE = AHC (g.c.g) AE = AC mà BA  CE BEC cân
b) ABI = AHB (cạnh huyền, góc nhọn)  AI = AH

c) AI = AH  I  (O) mà AI  BE (gt)  BE là tiếp tuyến của (O)
d) BE = EI + BI = DE + BH

Bài 7: Cho v.ABC (A 90 0

 )

a) Nêu cách dựng đường tròn (O) qua A tiếp xúc với BC tại B và nêu cách dựng đường tròn (O’)
qua A và tiếp xúc với BC tại C

b) Hai đường trịn (O) và (O’) có vị trí đối với nhau như thế nào?

c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến
chung của hai đường tròn

d) Cho AB = 36cm, AC = 48cm. Tính độ dài BC và các bán
kính của các đường tròn (O) và (O’)

HD: a) O là giao của đường trung trực của AB và Bx  BC

b)     0

1 3 1 2

A A B B 90  OA  AM. Tương tự với O'

c) BC = 60(cm).AO'H BCAO'A = 40(cm).T2: OA = 22,5(cm)

Bài 8: Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE,
đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K

a) Chứng minh rằng BHCD là tứ giác nội tiếp
b) Tính góc CHK

c) Chứng minh KC.KD = KH.KB

d) Khi điểm E chuyển động trên cạnh BC thì điểm H chuyển động
trên đường nào?

HD: a) BHD BCD 90  0

   BHCD nội tiếp

b) DHC DBC 45  0 CHK 450

   

c) KCH KDC (g.g)  KC.KD = KH.KB
d) BHD 90 0

  Khi E chuyển động trên đoạn BC thì H chuyển động trên BC

Bài 9: Cho đường trịn (O, R) có hai đường kính AB và CD vng góc với nhau. Trên đoạn thẳng
AB lấy một điểm M (khác O). Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. Đường
thẳng vng góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở điểm P. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác OMNP nội tiếp

b) Tứ giác CMPO là hình bình hành

c) Tích CM.CN khơng phụ thuộc vị trí điểm M

d)* Khi M di động trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố định
HD: a) OMP ONP 90  0

   ONMP nội tiếp

b) OC // MP (cùng vng góc với AB), MP = OD = OC
Suy ra: CMPO là hình bình hành

c) COM CND (g.g) Suy ra:

2
1

C
B

A
D

H
I

2
1

2
3 2

1
1

O'
O

M C

K
H
B

C
A

11 1
1

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

CM CO

CD CN  CM.CN = CO.CD = Const
d) ONP = ODP (c.g.c)  ODP 90 0

 . Suy ra: P chạy trên đường

thẳng cố định. Vì M  [AB] nên P  [EF]

Bài 10: Cho ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm
A, vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường trịn đường kính HC cắt AC tại F

a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật
b) Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp
c) Chứng minh AE.AB = AF.AC

HD: a) AEHF có ba góc vng  AEHF là hình chữ nhật
b) B E  1 F1  BEFC nội tiếp

c) AEF ACB (g.g)  AE.AB = AF.AC

Bài 11: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH, một đường thẳng d vng góc với mặt phẳng
(ABC) tại A. Trên đường thẳng d lấy một điểm K

a) Chứng minh BC  KH

b) Kẻ AI là đường cao của KAH. Chứng minh rằng AI  (KBC)
c) Cho AB = 15cm, AC = 20cm, AK = 16cm. Tính độ dài của các
đoạn thẳng BC, KH, IH, IK và tính khoảng cách từ A đến (KBC)
HD: a) BC  AH (gt), BC  AK vì d  (ABC)  BC  KH

b) BC  (AKH)  BC  AI, AI  KH  AI  (KBC)
c) BC2 = AC2 + AB2 = 625  BC = 25cm

AH.BC = AB.AC (= 2SABC)  AH = 12cm.

KH2 = AK2 + AH2 KH = 20cm. IH.KH = AH2 IH = 7,2cm  IK = 12,8cm. 
Ta có: AI.KH = KA.AH (= 2SKAH)  AI = 9,6cm

Bài 12: Cho hình vng ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Một đường thẳng d
vng góc với mp (ABCD) tại O. Lấy một điểm S trên đường thẳng d, nối SA, SB, SC và SD.

a) Chứng minh AC  (SBD)

b) Chứng minh mp(SAC)  mp(ABCD) và mp(SAC)  mp(SBD)
c) Tính SO biết AB = a và SA = a 3

d) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp S.ABCD
HD: a) AO  BD (ABCD là hình vng), SO  AO vì SO  (ABCD)
Suy ra: AO  (SBD) hay: AC  (SBD)

b) SO  (SAC), SO  (ABCD)(SAC)  (ABCD)
Tương tự: (SAC)  (SBD) vì AO  (SAC) và AO  (SBD)

c) AO 1AC a 2

2 2

  . SO2 = SA2 − AO2 SO 1a 10
2

d) Kẻ SE  BC: OE = AB a

2 2 . Sxq = 4SABC. SE

2 = SO2 + OE2  SE a 11
2

 

2
xq

S 4. SE.BC a 11

  (cm2).

3
2

ABCD