Giai tich ham

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (255.51 KB, 34 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Huỳnh Thế Phùng - Khoa Toán, Đại học Khoa học Huế

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Mục lục

Mục lục 1

Chương 1 Không gian Định chuẩn 3

1.1. Định nghĩa. . . 3

1.1.1. Chuẩn. . . 3

1.1.2. Các ví dụ. . . 3

1.2. Tôpô trong không gian định chuẩn. . . 4

1.2.1. Hàm khoảng cách - Sự hội tụ. . . 4

1.2.2. Các tính chất tơpơ. . . 4

1.2.3. Chuẩn tương đương. . . 5

1.3. Không gian Banach. . . 5

1.3.1. Dãy Cauchy - Không gian Banach. . . 5

1.3.2. Một số không gian Banach. . . 6

1.3.3. Sự hội tụ của chuỗi. . . 6

1.4. Không gian con - Không gian thương. . . 6

1.4.1. Không gian con - Không gian con đóng. . . 6

1.4.2. Khơng gian thương. . . 7

1.5. Bài tập. . . 8

Chương 2 Các Định lý cơ bản của Giải tích hàm 9
2.1. Tốn tử tuyến tính liên tục. . . 9

2.1.1. Định lý cơ bản. . . 9

2.1.2. Các ví dụ. . . 10

2.2. Nguyên lý bị chặn đều. . . 10

2.2.1. Không gian L(X, Y ). . . . 10

2.2.2. Nguyên lý bị chặn đều. . . 11

2.3. Định lý Hahn-Banach. . . 11

2.3.1. Phát biểu định lý. . . 11

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2.4. Nguyên lý ánh xạ mở. . . 12

2.4.1. Không gian đồng phôi - Nguyên lý ánh xạ mở. . . 12

2.4.2. Định lý đồ thị đóng. . . 13

2.4.3. Khơng gian hữu hạn chiều. . . 14

2.5. Bài tập. . . 14

Chương 3 Không gian liên hợp - Tôpô yếu 16
3.1. Không gian liên hợp. . . 16

3.2. Liên hợp của một số không gian cụ thể. . . 17

3.3. Không gian X∗∗ - Không gian phản xạ. . . . 18

3.4. Tốn tử liên hợp. . . 19

3.5. Tơpơ yếu - Tôpô yếu*. . . 20

3.5.1. Tôpô σ(X, Γ). . . . 20

3.5.2. Tôpô yếu trên X. . . . 20

3.5.3. Tôpô yếu* trên không gian X∗. . . . 21

3.6. Bài tập. . . 22

Chương 4 Không gian Hilbert 24
4.1. Không gian Hilbert. . . 24

4.1.1. Dạng song tuyến tính đối xứng dương. . . 24

4.1.2. Khơng gian Hilbert. . . 25

4.2. Khai triển trực giao. . . 25

4.2.1. Hệ trực giao. . . 25

4.2.2. Phần bù trực giao. . . 26

4.2.3. Cơ sở của không gian Hilbert. . . 27

4.3. Không gian liên hợp của không gian Hilbert. . . 28

4.3.1. Phiếm hàm tuyến tính liên tục. . . 28

4.3.2. Sự hội tụ yếu trong không gian Hilbert. . . 29

4.4. Toán tử liên hợp - Toán tử tự liên hợp. . . 29

4.4.1. Toán tử liên hợp. . . 29

4.4.2. Toán tử tự liên hợp. . . 30

4.5. Bài tập. . . 31

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Chương 1

Không gian định chuẩn

1.1. Định nghĩa.

1.1.1. Chuẩn.

Cho không gian vectơ X. Một ánh xạ k · k : X → R được gọi là một chuẩn trên X
nếu, với mọi x, y ∈ X và λ ∈ R ta có

a) kxk ≥ 0;

b) kxk = 0 ⇔ x = 0;
c) kλxk = |λ|.kxk;
d) kx + yk ≤ kxk + kyk.

Lúc đó, (X, k · k) được gọi là một khơng gian định chuẩn.

1.1.2. Các ví dụ.

a) Các khơng gian Rn, Cn.

b) Các không gian C[a, b], C(K).
c) Các không gian l∞, c0.

d) Không gian lp (p ≥ 1).

Bổ đề 1.1 (Bt ng thc Hăolder). Cho (p, q) l hai s dương liên hợp. Lúc đó, với

mọi u, v ≥ 0, ta có

uv ≤ up
p +

vq

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bổ đề 1.2. Nếu (αn) ∈ lp và (βn) ∈ lq, với (p, q) là cặp liên hợp, thì (αnβn) ∈ l1 và

∞

|αnβn| ≤

Ã ∞
X

kαnkp

!1
p ÃX∞

kβnkq

!1
q

.

Bổ đề 1.3. Với mọi x, y ∈ lp (p ≥ 1) ta có

kx + ykp ≤ kxkp+ kykp.

e) Không gian Lp[a, b], (p ≥ 1).

1.2. Tôpô trong không gian định chuẩn.

1.2.1. Hàm khoảng cách - Sự hội tụ.

Cho (X, k · k). Trên X ta định nghĩa hàm khoảng cách

d(x, y) := kx − yk.

Lúc đó, X cũng là một khơng gian metric, nên cũng có các khái niệm tơpơ như hình
cầu, tập đóng, tập mở, sự hội tụ, ánh xạ liên tục ... Ngoài ra, metric trên khơng gian
định chuẩn X cịn có một số tính chất đặc biệt khác.

Mệnh đề 1.1. d(x + z, y + z) = d(x, y), với mọi x, y, z ∈ X.
Mệnh đề 1.2. Với mọi dãy (xn) ⊂ X: xn → x ⇒ kxnk → kxk.

Mệnh đề 1.3. Cho các dãy (xn), (yn) ⊂ X, (λn) ⊂ R sao cho xn → x0, yn → y0,

λn→ λ0. Lúc đó,

a) xn+ yn→ x0+ y0,

b) λnxn→ λ0x0.

1.2.2. Các tính chất tơpơ.

Mệnh đề 1.4. Với mọi x0 ∈ X và r > 0,

a) B0(x

0; r) = B(x0; r).

b) B(x0; r) = Int B0(x0; r),

c) ∂B(x0; r) = ∂B0(x0; r) = S(x0; r).

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

a) A đóng (mở) ⇔ A + x0 đóng (mở).

b) A đóng (mở) ⇔ λA đóng (mở).

Từ mệnh đề này, mọi phép tịnh tiến và phép vị tự (với hệ số khác không) đều là
các phép tự đồng phôi trên X.

Hệ quả 1.1. Cho A, B ⊂ X. Nếu A mở thì A + B mở.

1.2.3. Chuẩn tương đương.

Cho khơng gian vectơ X, trên đó xác định hai chuẩn k · k1 và k · k2. Ký hiệu T1,

T2 lần lượt là các tôpô xác định bởi các chuẩn trên.

Chuẩn k · k1 được gọi là mạnh hơn chuẩn k · k2 (hay k · k2 yếu hơn k · k1) nếu

T1 ⊃ T2. Ký hiệu k · k2 ≤ k · k1 hay k · k1 ≥ k · k2. Nếu T1 = T2 ta nói hai chuẩn là tương

đương và ký hiệu k · k1 ' k · k2.

Mệnh đề 1.6. Để k · k2 ≤ k · k1 điều kiện cần và đủ là, tồn tại c > 0 sao cho

kxk2 ≤ ckxk1; ∀x ∈ X.

Hệ quả 1.2. k · k2 ' k · k1 khi và chỉ khi, tồn tại C ≥ c > 0 sao cho

ckxk1 ≤ kxk2 ≤ Ckxk1; ∀x ∈ X.

1.3. Không gian Banach.

1.3.1. Dãy Cauchy - Không gian Banach.

Dãy (xn) ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu kxm− xkk −→

m,k→∞0. Tức là

∀² > 0, ∃n0, ∀m, k ≥ n0 : kxm− xkk < ².

Các kết quả dưới đây đã được chứng minh trong lý thuyết không gian metric.
Mệnh đề 1.7. Nếu (xn) là dãy hội tụ, thì nó là dãy Cauchy.

Mệnh đề 1.8. Nếu (xn) là dãy Cauchy, thì nó bị chặn. Tức là tồn tại số dương M

sao cho

kxnk ≤ M; ∀n.

Ngồi ra, trong khơng gian định chuẩn ta cịn có tính chất sau

Mệnh đề 1.9. Nếu (xn), (yn) là các dãy Cauchy trong X và (λn) là dãy số Cauchy,

thì (xn+ yn) và (λnxn) cũng là các dãy Cauchy.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

1.3.2. Một số không gian Banach.

Rn, Cn, C(K), c

0, l∞, lp, Lp[a, b], (p ≥ 1).

1.3.3. Sự hội tụ của chuỗi.

Cho dãy (xn) ⊂ X. Ta xét dãy mới (sn) được định nghĩa bởi

sn:=
n

xk.

Nếu dãy (sn) hội tụ đến s ∈ X thì ta nói chuỗi

s =

∞

xn (1.1)

hội tụ và có tổng bằng s. Ngược lại ta nói chuỗi (1.1) phân kỳ.
Mệnh đề 1.10. Nếu hai chuỗi Pxn và

yn hội tụ và λ ∈ R thì các chuỗi

P
(λxn),

(xn+ yn) cũng hội tụ và

a) P(xn+ yn) =

xn+

yn,

b) P(λxn) = λ

xn.

Mệnh đề 1.11. Cho X là không gian Banach. Lúc đó chuỗi Pxn hội tụ khi và chỉ

khi, với mọi ² > 0, tồn tại n0 sao cho, với mọi n ≥ n0 và p ≥ 1 ta có

°
°
°
n+p
X
n+1
xk
°
°
° < ².
Ta nói chuỗi Pxn là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi

kxnk hội tụ.

Định lý 1.12. Cho X là không gian định chuẩn, hai mệnh đề sau tương đương

a) X là không gian Banach.

b) Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối trong X đều hội tụ.

1.4. Không gian con - Không gian thương.

1.4.1. Không gian con - Không gian con đóng.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Mệnh đề 1.13. Nếu Y ≤ X thì Y ≤ X và đó là khơng gian con đóng bé nhất chứa

Y .

Cho M ⊂ X thì Y = span(M) và Z = Y lần lượt được gọi là khơng gian con,
khơng gian con đóng sinh bởi M.

Mệnh đề 1.14. Nếu M là tập đếm được thì span(M) khả ly.

Mệnh đề 1.15. Nếu X là không gian Banach và Y là khơng gian con đóng của X thì

Y là không gian Banach.

Định lý 1.16. Cho Y là không gian con đóng của X, u ∈ X \ Y và ² > 0. Lúc đó,

tồn tại x0 ∈ span(Y ∪ {u}) thoả mãn kx0k = 1 và

kx0− yk > 1 − ², ∀y ∈ Y.

Hệ quả 1.3. Cho Y là khơng gian con đóng của X và Y 6= X. Lúc đó, với mọi ² > 0

tồn tại x0 ∈ X thoả mãn:

kx0k = 1; d(x0, Y ) > 1 − ².

1.4.2. Không gian thương.

Cho không gian định chuẩn X và Y là một khơng gian đóng của X. Lúc đó ta có
khơng gian vectơ thương X/Y . Ta có thể định nghĩa trên khơng gian này một chuẩn
mà tương thích với chuẩn trên X theo nghĩa là nó sinh ra tôpô mạnh nhất trên X/Y
bảo đảm cho phép chiếu chính tắc từ X lên X/Y là liên tục.

Thật vậy, với mỗi ξ ∈ X/Y , ξ là một đa tạp affine song song với Y , do đó ξ là
một đa tạp affine đóng. Ta đặt

kξk := inf

x∈ξkxk.

Dễ dàng chứng minh được đây là một chuẩn trên X/Y . Lúc đó, X/Y được gọi là khơng
gian định chuẩn thương của X theo khơng gian con đóng Y .

Nhắc lại rằng phép chiếu chính tắc π : X → X/Y là ánh xạ xác định bởi π(x) := ˆx

với mọi x ∈ X.
Định lý 1.17.

a) Phép chiếu chính tắc π từ X lên (X/Y, k · k) là liên tục.

b) Nếu k · k1 là một chuẩn trên X/Y sao cho π : X → (X/Y, k · k1) cũng liên tục,

thì k · k1 ≤ k · k.

Định lý 1.18. Nếu X là một không gian Banach và Y là khơng gian con đóng của X

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

1.5. Bài tập.

1.1. Cho không gian định chuẩn X. Chứng minh rằng, với mọi λ ∈ (0, 1), r1, r2 > 0

và x1, x2 ∈ X, λB(x1; r1) + (1 − λ)B(x2; r2) = B(λx1+ (1 − λ)x2; λr1+ (1 − λ)r2).

1.2. Chứng minh k(x, y)k :=px2+ 2y2, (x, y) ∈ R2, là một chuẩn trên R2. Hình cầu

đơn vị trong khơng gian đó là hình gì.

1.3. Chứng minh X = C[0, 1] là một không gian định chuẩn với chuẩn

kxk :=

Z 1

|x(t)|dt; ∀x ∈ X.

1.4. Chứng minh X = C1[0, 1] là không gian định chuẩn với các chuẩn

kxk1 := |x(0)| + max
[0,1] |x

0(t)|, kxk

2 := |x(0)| +

Z 1

|x0(t)|dt; ∀x ∈ X.

Trong đó (X, k · k1) là khơng gian Banach nhưng (X, k · k2) thì khơng.

1.5. Chứng minh trong khơng gian định chuẩn X ta ln có kxk ≤ max{kx + yk, kx −

yk}. Bất đẳng thức kxk ≥ min{kx + yk, kx − yk} thì sao?

1.6. Chứng minh nếu (xn) và (yn) là hai dãy Cauchy trong khơng gian định chuẩn X,

thì dãy số (kxn− ynk) hội tụ trong R.

1.7. Không gian định chuẩn (X, k · k) được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ X, độc
lập tuyến tính, ta có kx + yk < kxk + kyk. Chứng minh lp, Lp, 1

không gian lồi chặt, cịn l1, l∞, L1 và L∞ thì khơng.

1.8. Chứng minh mọi đa tạp affine trong không gian định chuẩn X có phần trong khác
rỗng đều trùng với X.

1.9. Một tập C ⊂ X được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ C và mọi λ ∈ (0, 1) ta có

λx + (1 − λ)y ∈ C.

a) Chứng minh các hình cầu mở, đóng đều là các tập lồi.

b) Chứng minh nếu C là tập lồi, thì C và Int C cũng là các tập lồi.
c) Tìm một tập không lồi C ⊂ R2 sao cho C và Int C là các tập lồi.

1.10. Chứng minh kết quả mở rộng của Bổ đề 1.2:
Cho p, q, r là các số dương sao cho 1

r =

p +

q. Lúc đó, với mọi u = (un) ∈ lp và
v = (vn) ∈ lq ta có (unvn) ∈ lr.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Chương 2

Các Định lý Cơ bản

của Giải tích hàm

2.1. Tốn tử tuyến tính liên tục.

2.1.1. Định lý cơ bản.

Cho X và Y là các không gian định chuẩn và A ∈ L(X, Y ). Ta có thể nói đến tính
liên tục (tại một điểm hay tại mọi điểm) của ánh xạ A. Định lý sau cho ta một tính
chất đặc trưng của tốn tử tuyến tính liên tục.

Định lý 2.1. Với A ∈ L(X, Y ), các mệnh đề sau là tương đương

a) A liên tục trên X;

b) A liên tục tại một điểm x0 ∈ X;

c) A liên tục tại điểm 0 ∈ X;
d) Tồn tại một số M ≥ 0 sao cho

kAxk ≤ Mkxk; ∀x ∈ X. (2.1)
Từ kết quả này, người ta cịn gọi một tốn tử tuyến tính liên tục là tốn tử tuyến
tính bị chặn. Khi đó,

nkAxk

kxk

¯
¯
¯ x 6= 0

là một tập hợp bị chặn trên, chẳng hạn bởi M, trong R. Do đó, tồn tại giá trị sau

kAk := sup

x∈X\{0}

kAxk

kxk (2.2)

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Mệnh đề 2.2. Cho A là tốn tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y . Lúc đó,

a) kAk là giá trị M bé nhất thoả mãn Định lý 2.1.d. Đặc biệt,

kAxk ≤ kAkkxk; ∀x ∈ X. (2.3)

b) kAk = sup{kAxk; kxk = 1} = sup{kAxk; kxk ≤ 1}.

Mệnh đề 2.3. Cho X, Y và Z là ba không gian định chuẩn và A ∈ L(X, Y ), B ∈

L(Y, Z) là các tốn tử tuyến tính bị chặn. Lúc đó, BA là tốn tử tuyến tính bị chặn từ
X vào Z, và

kBAk ≤ kBkkAk.

2.1.2. Các ví dụ.

a) Tốn tử Ax := x0 là tuyến tính nhưng khơng bị chặn từ C1[0, 1] vào C[0, 1].

b) Cho Z
X và đặt Y := X/Z (6= {0}). Phép chiếu chính tắc π từ X lên Y là
một tốn tử tuyến tính bị chặn với kπk = 1.

2.2. Nguyên lý bị chặn đều.

2.2.1. Không gian L(X, Y ).

Cho X và Y là các không gian định chuẩn. Ta ký hiệu L(X, Y ) là tập hợp các
toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y . Tức là

L(X, Y ) := {A ∈ L(X, Y ) | A liên tục }.

Lúc đó, dễ dàng kiểm tra được rằng L(X, Y ) là một không gian vectơ con cuả L(X, Y ).
Ngoài ra, ánh xạ k · k thực sự là một chuẩn trên L(X, Y ). Vậy L(X, Y ) là một không
gian định chuẩn. Hơn nữa, ta có kết quả sau

Định lý 2.4. Nếu Y là khơng gian Banach thì L(X, Y ) cũng là khơng gian Banach.
Vì là khơng gian định chuẩn nên khi nói đến sự hội tụ trong L(X, Y ) người ta
hiểu đó là sự hội tụ theo chuẩn; Tức là,

An
L(X,Y )

−−−→ A ⇐⇒ kAn− Ak → 0.

Ngồi ra, trong khơng gian này cịn có khái niệm hội tụ đơn giản, hay hội tụ tại từng

điểm. Cụ thể, dãy toán tử (An) ⊂ L(X, Y ) được gọi là hội tụ đơn giản đến toán tử

A ∈ L(X, Y ) nếu

Ax = lim

n→∞Anx; ∀x ∈ X.

Rõ ràng, một dãy hội tụ theo chuẩn thì hội tụ đơn giản. Tuy vậy, điều ngược lại nói

chung khơng đúng. Chẳng hạn, dãy tốn tử (An) ⊂ L(l1, l1), với An(x) := (x1, x2, · · · , xn, 0, 0, · · · )

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

2.2.2. Nguyên lý bị chặn đều.

Định lý 2.5 (Nguyên lý bị chặn đều). Cho không gian Banach X, không gian định

chuẩn Y và họ các toán tử {Ai | i ∈ I} ⊂ L(X, Y ) bị chặn tại từng điểm:

sup

i∈I

kAixk < ∞; ∀x ∈ X.

Lúc đó, họ {Ai | i ∈ I} cũng bị chặn đều, nghĩa là

sup

i∈I

kAik < ∞.

Hệ quả 2.1. Cho không gian Banach X, không gian định chuẩn Y và dãy các toán tử

{An | n ∈ N} ⊂ L(X, Y ), sao cho với mọi x ∈ X, tồn tại giới hạn

Ax := lim

n→∞Anx.

Lúc đó, A ∈ L(X, Y ) và

kAk ≤ lim inf

n→∞ kAnk.

2.3. Định lý Hahn-Banach.

2.3.1. Phát biểu định lý.

Khi Y = R, ta ký hiệu X∗ = L(X, R), là không gian các phiếm hàm tuyến tính

liên tục trên X. Hiển nhiên, X∗ ≤ X#. Từ Định lý 2.4 ta nhận được

Hệ quả 2.2. X∗ là không gian Banach.

Mệnh đề 2.6. Một phiếm hàm tuyến tính f trên X là liên tục khi và chỉ khi f bị chặn

trên (hoặc bị chặn dưới) trên một lân cận của một điểm x0 ∈ X.

Một phiếm hàm ϕ : X → R được gọi là dưới tuyến tính nếu
(i) ϕ(x + y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y), với mọi x, y ∈ X;

(ii) ϕ(λx) = λϕ(x), với mọi λ ≥ 0 và x ∈ X.

Định lý 2.7 (Hahn-Banach). Giả sử M là một không gian con của không gian định

chuẩn X, f ∈ M# và ϕ là một phiếm hàm dưới tuyến tính trên X thoả mãn

f (m) ≤ ϕ(m); ∀m ∈ M.
Lúc đó, tồn tại F ∈ X# sao cho

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

2.3.2. Các hệ quả.

Định lý 2.8. Giả sử Y là không gian con của không gian định chuẩn X và x0 ∈ X là

vectơ sao cho

d(x0; Y ) = δ > 0.

Lúc đó tồn tại f ∈ X∗ thoả mãn các điều kiện sau

f (x0) = δ; kf k = 1; f (y) = 0, ∀y ∈ Y.

Hệ quả 2.3. Cho x0 là vectơ khác không trong không gian định chuẩn X. Lúc đó tồn

tại phiếm hàm f ∈ X∗ sao cho

f (x0) = kx0k và kf k = 1.

Định lý 2.9. Giả sử M là không gian con của không gian định chuẩn X. Lúc đó, với

mọi f ∈ M∗, tồn tại F ∈ X∗ sao cho

F |M = f và kF k = kf k.

2.4. Nguyên lý ánh xạ mở.

2.4.1. Không gian đồng phôi - Nguyên lý ánh xạ mở.

Ta đã biết, nếu X và Y là hai không gian vectơ và A ∈ L(X, Y ) là một đẳng cấu
tuyến tính thì tồn tại ánh xạ ngược A−1, cũng là một đẳng cấu tuyến tính từ Y lên

X. Trong trường hợp X, Y là các không gian định chuẩn và A ∈ L(X, Y ) là đẳng cấu

tuyến tính liên tục, thì mặc dù A−1 tồn tại nhưng có thể không liên tục.

Chẳng hạn, cho X = C[0, 1], Y = C1

0[0, 1] := {x ∈ C1[0, 1] | x(0) = 0} và

A ∈ L(X, Y ) xác định bởi: Ax(t) := R0tx(s)ds, với mọi t ∈ [0, 1]. Lúc đó, A là một

đẳng cấu tuyến tính liên tục từ X lên Y nhưng A−1 không liên tục.

Định lý 2.10. Cho A là một đẳng cấu tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn

X lên không gian định chuẩn Y . Để A−1 liên tục, điều kiện cần và đủ là tồn tại một

hằng số dương m sao cho

kAxk ≥ mkxk; ∀x ∈ X.
Hơn nữa, ta có kA−1k ≤ 1

m.

Khi A là một đẳng cấu tuyến tính sao cho cả A và A−1 đều liên tục, ta nói A là

một phép đồng phơi tuyến tính và X, Y được gọi là các khơng gian đồng phơi tuyến
tính. Lúc đó, ta có thể đồng nhất hai khơng gian X và Y (thông qua ánh xạ A) bằng
cách xác định một chuẩn mới k · k1 trên X:

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Rõ ràng, chuẩn này tương đương với chuẩn cũ trên X. Mặt khác, ta có thể đồng nhất
mỗi phần tử x ∈ X với phần tử Ax ∈ Y .

Câu hỏi đặt ra là khi nào thì một phép đẳng cấu tuyến tính liên tục là một phép
đồng phơi. Từ Định lý 2.1 ta thấy điều đó xảy ra khi và chỉ khi A−1 liên tục tại 0 ∈ Y ,

hay một cách tương đương, ảnh của một lân cận gốc trong X qua ánh xạ A cũng là
một lân cận gốc trong Y . Một cách tổng quát, ta gọi một ánh xạ là mở nếu nó biến
mọi tập mở trong X thành một tập mở trong Y .

Định lý 2.11 (Nguyên lý ánh xạ mở). Nếu A là một tốn tử tuyến tính liên tục từ

khơng gian Banach X lên khơng gian Banach Y thì A là ánh xạ mở.

Hệ quả 2.4. Mọi phép đẳng cấu tuyến tính liên tục giữa các không gian Banach đều

là phép đồng phơi.

2.4.2. Định lý đồ thị đóng.

Cho X và Y là hai khơng gian định chuẩn thực. Ta có thể xét khơng gian định
chuẩn tích

X × Y := {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y },

với các phép toán cộng (+), nhân vô hướng ( · ) được xác định bởi
(x, y) + (x0, y0) = (x + x0, y + y0), λ(x, y) = (λx, λy)

và được trang bị một trong các chuẩn (tương đương) sau:

k(x, y)k = kxk + kyk; k(x, y)k∞= max{kxk, kyk}; k(x, y)k2 =

kxk2 + kyk2.

Mệnh đề 2.12. Nếu X, Y là các không gian Banach thì X × Y cũng là khơng gian

Banach.

Bây giờ cho A ∈ L(X, Y ), ta có thể kiểm chứng được rằng đồ thị của A:
Gr A := {(x, Ax) | x ∈ X}

là một không gian con của khơng gian tích X × Y . A được gọi là một ánh xạ đóng nếu
Gr A là một khơng gian con đóng.

Mệnh đề 2.13. Nếu A ∈ L(X, Y ) thì A là ánh xạ đóng.

Định lý 2.14 (Định lý đồ thị đóng). Nếu X và Y là các không gian Banach và

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

2.4.3. Không gian hữu hạn chiều.

Trong các không gian định chuẩn, các không gian hữu hạn chiều có nhiều tính
chất rất đẹp mà khơng gian vơ hạn chiều khơng có được. Mục này dành để trình bày
các tính chất đó.

Định lý 2.15. Tất cả các không gian định chuẩn n chiều đều đồng phơi tuyến tính với

nhau. Nói riêng, mọi chuẩn trong khơng gian Rn đều tương đương.

Hệ quả 2.5. Mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều là không gian Banach.
Hệ quả 2.6. Trong một không gian định chuẩn bất kỳ, mọi khơng gian con hữu hạn

chiều đều đóng.

Một khơng gian định chuẩn khác {0} là không bị chặn nên không compact. Tuy
nhiên, nó có thể là khơng gian compact địa phương. Thật ra, có thể kiểm chứng được
rằng, một khơng gian định chuẩn X là compact địa phương khi và chỉ khi hình cầu
đơn vị đóng trong X là compact. Ta có định lý sau:

Định lý 2.16. Để khơng gian định chuẩn X là compact địa phương, điều kiện cần và

đủ là X có số chiều hữu hạn.

Trong Mục 2.2.1. ta đã thấy L(X, Y ) là một không gian con của không gian

L(X, Y ). Đặc biệt, khi X là khơng gian hữu hạn chiều thì các khơng gian này là đồng

nhất. Điều đó được khẳng định ở kết quả dưới đây.

Định lý 2.17. Với X là không gian định chuẩn, hai điều sau tương đương:

a) dim X < ∞,

b) L(X, Y ) = L(X, Y ) với mọi không gian định chuẩn Y .

Hệ quả 2.7. Không gian định chuẩn X là hữu hạn chiều khi và chỉ khi X∗ = X#.

2.5. Bài tập.

Trong phần này, nếu không chỉ định cụ thể, X luôn được hiểu là một không gian
định chuẩn.

2.1. Cho Y là không gian con hữu hạn chiều của X. Chứng minh rằng, với mọi x0 ∈ X

tồn tại y0 ∈ Y sao cho kx0− y0k = min{kx0− yk; y ∈ Y }.

2.2. Chứng minh rằng nếu X là khơng gian vơ hạn chiều, thì mọi tập con của X có
phần trong khác rỗng đều khơng compact.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

2.4. Cho f ∈ X∗\ {0}. Chứng minh rằng kf k = d(0; f−1(1))−1.

2.5. Cho f ∈ X∗. Chứng minh rằng với mọi a ∈ X ta có |f (a)| = d(a; Ker f )kak.

2.6. Cho X = C[0, 1] với chuẩn kxkmax := max{|x(t)|; t ∈ [0, 1]}. Chứng minh các

ánh xạ A : X → X được định nghĩa dưới đây đều là các ánh xạ tuyến tính liên tục,
xác định chuẩn của chúng.

a) A(x)(t) = x(0) + tx(t); với mọi t ∈ [0, 1] và x ∈ X.

b) A(x)(t) = tx(1) + (1 − t)x(t); với mọi t ∈ [0, 1] và x ∈ X.
c) A(x)(t) = tx(1 − t) − (1 − t)x(t); với mọi t ∈ [0, 1] và x ∈ X.
d) A(x)(t) = x(1) + (1 + t)x(t2); với mọi t ∈ [0, 1] và x ∈ X.

2.7. Một toán tử tuyến tính liên tục A : X → Y được gọi là toán tử hữu hạn chiều nếu
dim(Im A) < ∞. Chứng minh rằng A hữu hạn chiều khi và chỉ khi tồn tại các phiếm
hàm tuyến tính liên tục f1, f2, · · · , fn ∈ X∗ và các phần tử y1, y2, · · · , yn∈ Y sao cho

Ax = f1(x)y1+ f2(x)y2+ · · · + fn(x)yn, với mọi x ∈ X.

2.8. Cho X = C1[0, 1] với chuẩn kxk = |x(0)| + max{|x0(t)|; t ∈ [0, 1]}. Xét ánh xạ

A : X → X xác định bởi Ax(t) =R0tx(s)ds. Chứng minh A ∈ L(X, Y ) và tính kAk.

2.9. Chứng minh nếu A là phép đồng phơi tuyến tính thì kA−1k = m−1 với m =

inf{kAxk : kxk = 1}.

2.10. Tìm một ví dụ trong đó A là một tồn ánh tuyến tính liên tục giữa hai không
gian định chuẩn nhưng không mở. (Hd: Xem Bài tập 1.4, xét ánh xạ đồng nhất I :
(C1[0, 1], k · k

1) → (C1[0, 1], k · k2)).

2.11. Tìm ví dụ trong đó A là một ánh xạ tuyến tính đóng giữa hai khơng gian định
chuẩn nhưng khơng liên tục

2.12. Cho k · k1 và k · k2 là hai chuẩn trên không gian X sao cho (X, k · k1) và (X, k · k2)

đều là các không gian Banach. Chứng minh rằng

k · k1 ' k · k2 ⇐⇒

∀(xn) ⊂ X, kxnk1 → 0 ⇒ kxnk2 → 0

.

2.13. Cho X, Y là các khơng gian Banach và A ∈ L(X, Y ). Chứng minh rằng nếu
chuỗiPxn hội tụ (hội tụ tuyệt đối) trong X thì

Axn hội tụ (hội tụ tuyệt đối) trong

Y .

2.14. Cho An : l2 → l2 xác định bởi Anx = (x1, x2, · · · , xn, 0, 0, · · · ) với mọi x = (xn).

Chứng minh dãy An hội tụ điểm, nhưng không hội tụ theo chuẩn, đến ánh xạ đồng

nhất I trong l2.

2.15. Cho C là tập lồi nhận 0 làm điểm trong còn x0 6∈ C. Chứng minh rằng

a) pC(x) = inf{λ > 0 | x ∈ λC} là một phiếm hàm dưới tuyến tính xác định trên

X (hàm này được gọi là phiếm hàm Minkowski của tập C).

b) Tồn tại f ∈ X∗ sao cho f (x

0) = 1 ≥ f (c) với mọi c ∈ C. Hơn nữa, f (x) ≤ pC(x)

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Chương 3

Không gian liên hợp - Tôpô yếu

3.1. Không gian liên hợp.

Trong chương này chúng ta đi sâu nghiên cứu về không gian liên hợp của các
không gian định chuẩn. Nhắc lại rằng nếu X là một không gian định chuẩn thì khơng
gian liên hợp X∗, bao gồm tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X, cũng là

một không gian định chuẩn với chuẩn được định nghĩa bởi

kf k = sup

kxk≤1

|f (x)| = sup

kxk=1

|f (x)|; f ∈ X∗.

Hơn nữa, theo Hệ quả 2.2, X∗ là một không gian Banach.

Từ định nghĩa chuẩn của phiếm hàm, ta có

|f (x)| ≤ kf kkxk; ∀f ∈ X∗; x ∈ X.

Đặc biệt, nếu kf k = 1 thì |f (x)| ≤ kxk. Kết hợp nhận xét này với Hệ quả 2.3 ta nhận
được kết quả sau.

Mệnh đề 3.1. Với mọi phần tử x ∈ X, ta có

kxk = sup

kf k=1

|f (x)|.

Định lý 3.2. Nếu X∗ là khơng gian khả ly thì X cũng vậy.

Bây giờ nếu x ∈ X và f ∈ X∗ sao cho f (x) = 0, thì ta sẽ gọi f và x là trực giao

với nhau. Tổng quát hơn, giả sử (xn) là một dãy trong X và (fn) là một dãy trong X∗,

ta nói các dãy (xn) và (fn) là song trực giao nếu

fi(xj) = δij =

(

1, i = j,

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Định lý 3.3. Nếu hai dãy (xn) ⊂ X và (fn) ⊂ X∗ là song trực giao thì hệ

{xn : n ∈ N∗} là độc lập tuyến tính trong X và hệ {fn : n ∈ N∗} là độc lập tuyến

tính trong X∗.

Sự tồn tại của các hệ song trực giao hữu hạn được khẳng định bởi định lý sau
Định lý 3.4.

a) Giả sử {x1, x2, · · · , xn} là một hệ độc lập tuyến tính trong X. Lúc đó tồn tại một

hệ {f1, f2, · · · , fn} trong X∗ sao cho hai hệ này là song trực giao.

b) Ngược lại, nếu {f1, f2, · · · , fn} là một hệ độc lập tuyến tính trong X∗ thì cũng

tồn tại một hệ {x1, x2, · · · , xn} trong X sao cho hai hệ này là song trực giao.

3.2. Liên hợp của một số không gian cụ thể.

Trong mục này ta sẽ xác định không gian liên hợp của một số không gian cụ thể
thường gặp.

a) Không gian hữu hạn chiều.

Giả sử X là một không gian định chuẩn n chiều có cơ sở là hệ {e1, e2, · · · , en}.

Như đã biết, X đồng phôi tuyến tính với Rn (hay Cn).

Với mỗi phần tử u = (u1, · · · , un) ∈ Rn, ta hãy xác định phiếm hàm fu trên X

như sau: Nếu x ∈ X có biểu diễn x = ξ1e1+ · · · + ξnen, thì

fu(x) :=
n

i=1

uiξi.

Rõ ràng fu tuyến tính và do đó, theo Hệ quả 2.7, fu ∈ X∗. Có thể kiểm chứng được

rằng ánh xạ Φ : Rn−→ X∗, xác định bởi

u ∈ Rn7→ Φ(u) = f

u ∈ X∗,

là đơn ánh tuyến tính.

Mặt khác, với mỗi f ∈ X∗, nếu đặt u = (u

1, · · · , un) với ui = f (ei), ta có

f³

n

i=1

ξiei

´
=

n

i=1

f (ei)ξi =
n

i=1

uiξi = fu

³Xn
i=1

ξiei

.

Tức là f ≡ fu. Hay Φ là một song ánh tuyến tính từ Rn lên X∗. Vậy X∗ là khơng gian

hữu hạn chiều và đồng phơi tuyến tính với Rn, nên cũng đồng phơi tuyến tính với X.

b) Khơng gian c∗

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Với mỗi u = (un) ∈ l1, ta định nghĩa phiếm hàm Φ(u) = fu trên c0 bởi

x = (ξn) ∈ c0 7→ fu(x) :=
∞

unξn.

Dễ thấy chuỗi ở vế phải hội tụ và |fu(x)| ≤ kuk1kxk. Mặt khác, fu là phiếm hàm tuyến

tính, từ đó suy ra fu ∈ c∗0 và

kfuk ≤ kuk1.

Vậy, Φ là một ánh xạ tuyến tính và đơn ánh từ l1 vào c∗0. Bây giờ lấy tuỳ ý f ∈ c∗0,

đặt u = (un), với un = f (en) (en là dãy số mà thành phần thứ n bằng 1 còn các thành

phần khác bằng khơng). Lúc đó, ta cũng kiểm tra được rằng u ∈ l1 và f = fu = Φ(u).

Hơn nữa, kf k = kuk1. Vậy Φ là một đẳng cấu tuyến tính từ l1 lên c∗0.

c) Khơng gian l∗

1 đẳng cấu với l∞.

d) Không gian l∗

p đẳng cấu với lq ((p, q) là cặp số dương liên hợp).

e) Không gian L∗

1[0, 1] đẳng cấu với L∞[0, 1].

f) Không gian L∗

p[0, 1] đẳng cấu với Lq[0, 1] ((p, q) là cặp số dương liên hợp).

3.3. Không gian X

∗∗

- Không gian phản xạ.

Cho X là một không gian định chuẩn. Lúc đó, X∗ cũng là một khơng gian định

chuẩn, nên ta có thể nói đến khơng gian liên hợp X∗∗ := (X∗)∗ của nó. X∗∗ được gọi

là khơng gian liên hợp thứ hai của X. Tiếp tục như thế, ta có thể định nghĩa khơng

gian liên hợp thứ ba X∗∗∗, thứ tư X∗∗∗∗, v.v..

Định lý 3.5. Tồn tại một phép nhúng đẳng cự tuyến tính Φ từ X vào khơng gian liên

hợp thứ hai X∗∗ của nó.

Từ định lý này, ta có thể đồng nhất mỗi phần tử x ∈ X với phần tử Φ(x) ∈ X∗∗

và có thể xem X là một không gian con của X∗∗. Lúc này, mỗi phần tử x ∈ X có thể

xem là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X∗ xác định bởi

f ∈ X∗ 7→ x(f ) = f (x) ∈ R.

Định lý 3.6. Không gian định chuẩn X là hữu hạn chiều khi và chỉ khi X∗ cũng hữu

hạn chiều.

Từ định lý này ta thấy, nếu X là không gian hữu hạn chiều thì X∗∗ = X. Một

cách tổng quát, ta gọi không gian định chuẩn X là phản xạ nếu X = X∗∗. Rõ ràng,

nếu X phản xạ thì X phải là khơng gian Banach. Từ các khảo sát ở trên ta thấy, một
không gian hữu hạn chiều là phản xạ, các không gian lp, Lp[0, 1] (1

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Định lý 3.7. Nếu X là một không gian phản xạ và Y là khơng gian con đóng của X

thì Y cũng là không gian phản xạ.

Định lý 3.8. Cho X là một khơng gian Banach. Lúc đó, X là khơng gian phản xạ khi

và chỉ khi không gian liên hợp X∗ là phản xạ.

Từ định lý này, ta thấy các không gian l1, l∞ đều khơng phản xạ.

3.4. Tốn tử liên hợp.

Cho X và Y là hai không gian định chuẩn và A ∈ L(X, Y ). Với mỗi phiếm hàm

g ∈ Y∗ ta đặt A∗g = f := g ◦ A. Lúc đó, do A ∈ L(X, Y ) và g ∈ Y∗ = L(Y, R) nên

f ∈ X∗, hơn nữa kf k ≤ kAkkgk. Dễ thấy A∗ là một toán tử tuyến tính từ Y∗ vào X∗.

Hơn nữa, từ bất đẳng thức

kA∗gk ≤ kAkkgk; ∀g ∈ Y∗

ta suy ra A∗ ∈ L(Y∗, X∗) và kA∗k ≤ kAk. Toán tử A∗ được gọi là liên hợp của toán

tử A và được cho bởi

(A∗g)(x) = g(Ax) ∀x ∈ X.

Ta lại có thể nói đến tốn tử liên hợp của A∗. Tức là toán tử A∗∗ ∈ L(X∗∗, Y∗∗)

xác định bởi

A∗∗h = h ◦ A∗; ∀h ∈ X∗∗.

Hơn nữa, kA∗∗k ≤ kA∗k ≤ kAk.

Định lý 3.9. Thu hẹp của A∗∗ lên X chính là toán tử A. Tức là A∗∗x = Ax, với mọi

x ∈ X.

Hệ quả 3.1. kA∗∗k = kA∗k = kAk.

Mệnh đề 3.10. Cho X, Y , Z là ba không gian định chuẩn thực và A, B ∈ L(X, Y ),

C ∈ L(Y, Z), λ ∈ R. Lúc đó
a) (λA)∗ = λA∗,

b) (A + B)∗ = A∗+ B∗,

c) (CB)∗ = B∗C∗.

Định lý 3.11. Cho X và Y là các không gian định chuẩn và A ∈ L(X, Y ).

a) Nếu A là phép đồng phơi thì A∗ cũng vậy,

b) Ngược lại, nếu A∗ là phép đồng phôi và X là khơng gian Banach thì A cũng là

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

3.5. Tôpô yếu - Tôpô yếu*.

Cho X là một không gian định chuẩn. Lúc đó X cũng là một khơng gian tơpơ mà
tại mỗi điểm x0 ∈ X đều có một cơ sở lân cận chính là các hình cầu B(x0; r) với r > 0.

Tôpô này sẽ được gọi là tôpô chuẩn và được ký hiệu là τ . Bây giờ ta sẽ xây dựng trên

X một tôpô khác mà ta gọi là tôpô yếu.

3.5.1. Tôpô σ(X, Γ).

Cho Γ là một không gian con của không gian đối ngẫu đại số X#. Với mỗi x ∈ X,

² là một số dương và {f1, · · · , fm} là một họ tuỳ ý các phần tử thuộc Γ ta định nghĩa

tập

V (x; f1, · · · , fm; ²) := {y ∈ X | |fi(x) − fi(y)| < ²; 1 ≤ i ≤ m}.

Ký hiệu V là họ chứa tất cả các tập con của X có dạng như trên. Ta có thể kiểm tra
được rằng V là cơ sở của một tôpô trên X. Hơn nữa, tại mỗi x0 ∈ X cố định, họ Vx0

gồm tất cả các tập có dạng V (x0; f1, · · · , fm; ²) chính là cơ sở lân cận của điểm x0.

Tơpơ này thường được gọi là tôpô sinh bởi họ Γ và được ký hiệu là σ(X, Γ). Dễ thấy,

σ(X, Γ) là tôpô yếu nhất trên X bảo đảm mọi phiếm hàm f ∈ Γ đều liên tục. Dĩ nhiên,

nếu Γ1 ≤ Γ2 ≤ X# thì σ(X, Γ1) ⊂ σ(X, Γ2). Ta cịn có kết quả thú vị sau:

Mệnh đề 3.12. Cho Γ1 và Γ2 là hai không gian con của X#. Lúc đó, Γ1 = Γ2 khi và

chỉ khi σ(X, Γ1) = σ(X, Γ2).

Mệnh đề 3.13. Tôpô σ(X, Γ) là Hausdorff khi và chỉ khi, với mọi x1, x2 ∈ X, x1 6= x2,

tồn tại f ∈ Γ sao cho f (x1) 6= f (x2).

3.5.2. Tôpô yếu trên X.

Bây giờ nếu chọn Γ = X∗ thì ta có tơpơ σ(X, X∗) là tôpô yếu nhất bảo đảm tất

cả các phiếm hàm f ∈ X∗ đều liên tục. Rõ ràng, tôpô này yếu hơn tơpơ chuẩn. Vì vậy,

nó sẽ được gọi là tôpô yếu trên X để phân biệt với tôpô chuẩn là tôpô mạnh.
Mệnh đề 3.14. Tôpô σ(X, X∗) là Hausdorff.

Định lý 3.15. σ(X, X∗) = τ khi và chỉ khi dim X < +∞.

Liên quan đến tôpô yếu ta sẽ có các khái niệm hội tụ yếu, mở yếu, đóng yếu,
compact yếu. Các kết quả dưới đây cho ta một tiếp cận tốt hơn các khái niệm này.
Một dãy (xn) trong X hội tụ yếu đến một phần tử ¯x ∈ X sẽ được ký hiệu là

xn−→ ¯w x hoặc x = w − lim¯
n→∞xn

để phân biệt với ký hiệu của hội tụ mạnh là

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

21
Mệnh đề 3.16. Cho dãy (xn) ⊂ X. Lúc đó,

xn −→ ¯w x ⇐⇒ f (xn) −→ f (¯x); ∀f ∈ X∗.

Mệnh đề 3.17. Cho X, Y là các không gian định chuẩn và (xn) ⊂ X, (An) ⊂ L(X, Y ).

a) Giới hạn yếu, nếu có, của (xn) là duy nhất.

b) Nếu xn−→ ¯w x thì (xn) là dãy bị chặn và

k¯xk ≤ lim inf

n→∞ kxnk.

c) Nếu (An) −→ A ∈ L(X, Y ) và xn−→ ¯w x, thì Anxn−→ A¯w x.

Từ gợi ý của Mệnh đề 3.17, ngoài khái niệm dãy hội tụ yếu ta cịn có thể đưa
vào khái niệm Cauchy yếu: Dãy (xn) được gọi là Cauchy yếu nếu với mọi phiếm hàm

f ∈ X∗, (f (x

n)) là một dãy số Cauchy. Không gian X được gọi là đầy đủ yếu nếu trong

đó mọi dãy Cauchy yếu đều hội tụ yếu.

Định lý 3.18. Mọi không gian phản xạ đều đầy đủ yếu.

Một tập hợp M ⊂ X được gọi là compact yếu theo dãy nếu với mọi dãy (xn) ⊂ M

tồn tại dãy con (xkn) hội tụ yếu đến ¯x ∈ M.

Định lý 3.19.

a) Mọi tập hợp compact yếu theo dãy đều bị chặn và đầy đủ yếu theo dãy.

b) Mọi tập bị chặn, đóng yếu theo dãy trong không gian phản xạ X đều compact yếu
theo dãy.

Hệ quả 3.2. Hình cầu đơn vị đóng trong khơng gian phản xạ X là compact yếu theo

dãy.

3.5.3. Tôpô yếu* trên không gian X

∗

.

Cũng với lập luận như trên, nhưng thay vì xét X ta xét khơng gian liên hợp X∗,

thì ta cũng nhận được tôpô yếu τ (X∗, X∗∗) trên X∗. Tuy vậy, vì có thể xem X là một

khơng gian con của X∗∗ nên cịn có thể định nghĩa tơpơ τ (X∗, X), gọi là tơpơ yếu*

trên X∗. Đó là tôpô yếu nhất trên X∗ bảo đảm mọi x ∈ X đều liên tục. Rõ ràng, tơpơ

này cịn yếu hơn cả tôpô yếu τ (X∗, X∗∗). Từ Mệnh đề 3.12 ta thấy hai tôpô này là

trùng nhau khi và chỉ khi X là không gian phản xạ!

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Một dãy (fn) trong X∗ hội tụ yếu* đến phiếm hàm g ∈ X∗ sẽ được ký hiệu là

fn w

∗

−→ g hoặc g = w∗− lim

n→∞fn

Mệnh đề 3.21. Cho dãy (fn) ⊂ X∗. Lúc đó,

fn w

∗

−→ g ⇐⇒ fn(x) −→ g(x); ∀x ∈ X.

Ngồi ra, ta cịn có kết quả quan trọng sau

Định lý 3.22 (Banach-Alaoglu). Với mọi không gian định chuẩn X, hình cầu đơn vị

đóng B∗ trong khơng gian liên hợp X∗ là compact yếu*.

Định lý 3.23. Cho X là một khơng gian Banach. Lúc đó, X là khơng gian phản xạ

khi và chỉ khi hình cầu đơn vị đóng trong nó là compact yếu.

3.6. Bài tập.

3.1. Cho X, Y là các không gian định chuẩn. Chứng minh (X × Y )∗ = X∗× Y∗. Đặc

biệt, (X × R)∗ = X∗ × R.

3.2. Chứng minh mọi tập lồi đóng trong khơng gian định chuẩn đều đóng yếu.

3.3. Chứng minh nếu X là không gian phản xạ và C là tập lồi đóng khác rỗng trong

X, thì với mọi x0 ∈ X tồn tại c0 ∈ C sao cho kx0− c0k = d(x0; C).

3.4. Cho M là tập con trù mật trong X∗ và (x

n) là dãy bị chặn trong X sao cho

f (xn) → f (x) với mọi f ∈ M. Chứng minh xn−→ x.W

3.5. Chứng minh một dãy (ξk) trong l

1 là hội tụ mạnh khi và chỉ khi nó hội tụ yếu.

Điều này có mâu thuẫn với Định lý 3.15 hay khơng?

3.6. Cho A là tốn tử tuyến tính giữa hai khơng Banach X và Y thoả mãn: Với mọi
dãy (xn) ⊂ X, hội tụ về 0 và với mọi g ∈ Y∗ ta có g(Axn) → 0. Chứng minh rằng A

liên tục.

3.7. Cho dãy (ξk) ⊂ c

0, xác định bởi

ξ1 = (1, 0, · · · , 0, · · · ); ξ2 = (0, 1, 0, · · · , 0, · · · ); ξ3 = (0, 0, 1, 0, · · · , 0, · · · )...

Chứng minh dãy (ξk) hội tụ yếu nhưng không hội tụ mạnh trong c

0. Xác định giới hạn

yếu của dãy.

3.8. Với mỗi k ∈ N∗ ta định nghĩa ánh xạ A

k : c0 → l1 xác định bởi

Ak(x) =

x1,x2

22, · · · ,

xk

k2, 0, 0 · · ·

; ∀x = (xn) ∈ c0.

a) Chứng minh Ak ∈ L(c0, l1), tìm kAkk và tốn tử liên hợp A∗k với mỗi k ∈ N∗.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

3.9. Cho X là không gian định chuẩn. Với V ⊂ X ta đặt Vo := {f ∈ X∗ | f (v) ≤

1; ∀v ∈ V }. Chứng minh

a) Vo là tập lồi đóng trong X∗.

b) U ⊂ V ⊂ X ⇒ Uo ⊃ Vo.

c) V là lân cận gốc thì Vo là tập lồi, đóng, bị chặn trong X∗.

3.10. Cho các khơng gian Banach X, Y và A là tốn tử tuyến tính liên tục từ X lên

Y . Chứng minh rằng Im A∗ = Ker A⊥= {f ∈ X∗ | f (x) = 0; ∀x ∈ Ker A}.

3.11. Cho X, Y là các không gian Banach và dãy (An) ⊂ L(X, Y ). Chứng minh rằng

để dãy (An) hội tụ điểm đến một toán tử A ∈ L(X, Y ) điều kiện cần và đủ là tồn tại

số L > 0 và tập M trù mật trong X sao cho
i) kAnk ≤ L với mọi n,

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Chương 4

Khơng gian Hilbert

4.1. Khơng gian Hilbert.

4.1.1. Dạng song tuyến tính đối xứng dương.

Cho X là một không gian vectơ trên trường R, một ánh xạ ϕ : X × X → R được
gọi là một dạng song tuyến tính đối xứng dương nếu, với mọi x, y, z ∈ X và λ ∈ R, các
tính chất sau thoả mãn:

a) ϕ(x, x) ≥ 0,
b) ϕ(x, y) = ϕ(y, x),

c) ϕ(x + y, z) = ϕ(x, z) + ϕ(y, z),
d) ϕ(λx, y) = λϕ(x, y).

Lúc đó, người ta thường ký hiệu vắn tắt hx, yi := ϕ(x, y).

Mệnh đề 4.1 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz). Với mọi x, y ∈ X, ta có

hx, yi2 ≤ hx, xihy, yi.

Nếu h·, ·i là một dạng song tuyến tính đối xứng dương trên X thì phiếm hàm p
trên X xác định bởi p(x) :=phx, xi là một nửa chuẩn trên X, tức là, với mọi x, y ∈ X

và λ ∈ R, ta có
a) p(x) ≥ 0,

b) p(λx) = |λ|p(x),

c) p(x + y) ≤ p(x) + p(y).

Lúc đó, ta nói p là nửa chuẩn trên X được sinh ra bởi dạng song tuyến tính h·, ·i.
Ví dụ 4.1. Các dạng song tuyến tính đối xứng dương trên Rn, l

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Mệnh đề 4.2. Để nửa chuẩn p trên không gian vectơ X được sinh ra bởi một dạng

song tuyến tính đối xứng dương h·, ·i, điều kiện cần và đủ là

p2(x + y) + p2(x − y) = 2(p2(x) + p2(y)), với mọi x, y ∈ X.

Và lúc đó

hx, yi = 1

4
¡

p2(x + y) − p2(x − y)¢.

4.1.2. Khơng gian Hilbert.

Nếu dạng song tuyến tính đối xứng dương h·, ·i trên X còn thoả mãn thêm điều
kiện

hx, xi > 0, với mọi x 6= 0,

thì nó sẽ được gọi là một tích vơ hướng trên X và (X, h·, ·i) được gọi là một không
gian tiền Hilbert. Lúc đó, dễ thấy

kxk = p(x) =phx, xi

xác định một chuẩn trên X. Vậy, không gian tiền Hilbert cũng là một không gian định
chuẩn, và mọi khái niệm, kết quả thiết lập được trên không gian định chuẩn cũng được
áp dụng cho không gian tiền Hilbert. Hơn nữa, chuẩn trên khơng gian tiền Hilbert cịn
thoả mãn các tính chất sau

|hx, yi| ≤ kxkkyk, kx + yk2+ kx − yk2 = 2(kxk2+ kyk2), ∀x, y ∈ X.

Mệnh đề 4.3. Nếu trong không gian tiền Hilbert X, các dãy (xn) và (yn) hội tụ lần

lượt về x và y thì

lim

n→∞hxn, yni = hx, yi.

Nói cách khác, h·, ·i là một phiếm hàm liên tục trên X × X.

Một khơng gian tiền Hilbert (với tư cách là một không gian định chuẩn) đầy đủ
được gọi là không gian Hilbert. Chẳng hạn, các không gian Rn, l

2 và L2[0, 1] là các

không gian Hilbert.

4.2. Khai triển trực giao.

4.2.1. Hệ trực giao.

Hai vectơ x và y trong một không gian tiền Hilbert X được gọi là trực giao với
nhau và ký hiệu là x⊥y nếu

hx, yi = 0.

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Định lý 4.4. Giả sử S là một hệ trực giao gồm các vectơ khác khơng. Lúc đó S là

một hệ độc lập tuyến tính. Hơn nữa, với mọi bộ {x1, x2, · · · , xm} ⊂ S ta có

kx1+ x2+ · · · + xmk2 = kx1k2+ kx2k2+ · · · + kxmk2.

Định lý 4.5. Nếu {x1, x2, · · · , xn, · · · } là một họ độc lập tuyến tính, đếm được trong

khơng gian tiền Hilbert X, thì ln tìm được các hệ số αkj (k ∈ N; 1 ≤ j < k) sao cho

hệ gồm các vectơ sau lập thành một hệ trực giao:
y1 = x1,

y2 = x2+ α21x1,

· · ·

yn = xn+ αn,n−1xn−1+ · · · + αn,1x1,

· · ·

Quá trình tìm họ {yn} như trên được gọi là phương pháp trực giao hoá hệ {xn}.

Giả sử M là một tập con của X. Ta nói vectơ x trực giao với M, và ký hiệu là

x⊥M, nếu x⊥y với mọi y ∈ M. Tổng quát hơn, ta nói hai tập M và N là trực giao với

nhau, và ký hiệu M⊥N, nếu m⊥n với mọi m ∈ M và n ∈ N.

Mệnh đề 4.6. Cho M ⊂ X và x ∈ X. Lúc đó x⊥M khi và chỉ khi x⊥ span(M).

4.2.2. Phần bù trực giao.

Cho không gian tiền Hilbert X.

Mệnh đề 4.7. Cho M là một tập con khác rỗng của X. Lúc đó,

M⊥ := {x ∈ X | x⊥M}

là một khơng gian con đóng.

Bổ đề 4.1. Cho tập lồi C ⊆ X và x0 ∈ X, c0 ∈ C. Lúc đó

kx0− c0k = d(x0; C) ⇔ hx0− c0, c − c0i ≤ 0; ∀c ∈ C.

Đặc biệt, nếu C

Định lý 4.8. Nếu M là một khơng gian con đóng của khơng gian Hilbert X, thì X

là tổng trực tiếp của M và M⊥. Tức là với mọi x ∈ X, tồn tại duy nhất y ∈ M và

z ∈ M⊥ sao cho

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Hệ quả 4.1. Nếu M là một không gian con đóng của khơng gian Hilbert X, thì

M = (M⊥)⊥.

Hệ quả 4.2. Nếu M là một tập con khác rỗng của khơng gian Hilbert X, thì
span(M) = (M⊥)⊥.

Hệ quả 4.3. Cho M là tập con khác rỗng của không gian Hilbert X. Lúc đó,
span(M) = X ⇐⇒¡∀x ∈ X : x⊥M ⇔ x = 0¢.

4.2.3. Cơ sở của khơng gian Hilbert.

Định lý 4.9. Giả sử {en; n ∈ N∗} là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert X

và (λn) là một dãy số thực. Lúc đó, hai chuỗi sau đồng thời hội tụ hoặc phân kỳ:
∞

λnen;
∞

λ2

n.

Định lý 4.10. Giả sử {en; n ∈ N∗} là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert X.

Với mọi x ∈ X, chuỗi

∞

hx, enien

hội tụ. Hơn nữa,

∞

hx, eni2 ≤ kxk2 (Bất đẳng thức Bessen).

Nếu hệ trực chuẩn {en; n ∈ N∗} có tính chất

∀x ∈ X,

∞

hx, eni2 = kxk2 (Đẳng thức Parseval),

thì nó được gọi là hệ trực chuẩn đầy đủ, hay cơ sở trực chuẩn (đếm được) của không
gian Hilbert X. Lúc này, ta có thể kiểm chứng được rằng

x =

∞

hx, enien.

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Định lý 4.11. Giả sử không gian Hilbert X có một cơ sở trực chuẩn đếm được {en; n ∈

N∗}. Với mọi x, y ∈ X, ta có

hx, yi =

∞

hx, enihy, eni.

Định lý 4.12. Để không gian Hilbert X có một cơ sở trực chuẩn đếm được, điều kiện

cần và đủ là X vô hạn chiều và khả ly.

Hệ quả 4.4. Mọi không gian Hilbert vô hạn chiều, khả ly đều đẳng cấu với nhau.

4.3. Không gian liên hợp của khơng gian Hilbert.

4.3.1. Phiếm hàm tuyến tính liên tục.

Với mỗi vectơ cố định u trong không gian Hilbert X, ta xét phiếm hàm fu trên X

xác định bởi

fu(x) = hx, ui; x ∈ X.

Rõ ràng, fu là tuyến tính. Hơn nữa, từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz,

|fu(x)| = |hx, ui| ≤ kukkxk; ∀x ∈ X,

suy ra fu ∈ X∗ và kfuk ≤ kuk. Mặt khác, do fu(u) = kuk2, ta cũng có kfuk ≥ kuk.

Vậy,

kfuk = kuk.

Tóm lại, mọi phần tử u ∈ X xác định một phiềm hàm tuyến tính liên tục fu có chuẩn

đúng bằng kuk. Ngược lại, ta cũng có

Định lý 4.13. Với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên khơng gian Hilbert X,

tồn tại duy nhất vectơ u ∈ X sao cho

f (x) = hx, ui; ∀x ∈ X.
Hơn nữa, kuk = kf k.

Từ định lý này ta thấy có một song ánh từ X lên X∗ xác định bởi

u ∈ X 7→ fu ∈ X∗.

Có thể kiểm chứng được rằng đây là một phép đẳng cấu tuyến tính từ X lên X∗. Do

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

4.3.2. Sự hội tụ yếu trong không gian Hilbert.

Vì một khơng gian Hilbert cũng là khơng gian định chuẩn nên trên X, ngồi tơpơ
chuẩn, cịn có tơpơ yếu là tôpô yếu nhất bảo đảm sự liên tục của mọi phiếm hàm

f ∈ X∗ = X. Từ Mệnh đề 3.16 ta thấy, để một dãy (x

n) trong X hội tụ yếu đến ¯x ∈ X

điều kiện cần và đủ là

hxn, ui → h¯x, ui; ∀u ∈ X.

Nói chung, tơpơ yếu là yếu hơn hẳn tơpơ chuẩn. Ta xét ví dụ dưới đây.

Ví dụ 4.2. Nếu {en; n ∈ N∗} là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert X thì

en−→ 0 nhưng ew n−6→ 0.

Từ Mệnh đề 3.17.c ta có kết quả sau

Mệnh đề 4.14. Cho (xn) và (yn) là hai dãy trong khơng gian Hilbert X. Lúc đó,

(xn−→ x) ∧ (yw n → y) ⇒ (hxn, yni → hx, yi).

Chú ý là nếu cả hai dãy (xn) và (yn) đều hội tụ yếu thì dãy (hxn, yni) có thể khơng

hội tụ đến hx, yi. Chẳng hạn, xem Ví dụ 4.2.

Định lý 4.15. Cho dãy (xn) trong không gian Hilbert X. Lúc đó,

(xn−→ x) ∧ (kxw nk → kxk) ⇒ (xn → x).

4.4. Toán tử liên hợp - Toán tử tự liên hợp.

4.4.1. Toán tử liên hợp.

Cho X và Y là hai không gian Hilbert và A ∈ L(X, Y ). Nhắc lại rằng lúc đó tốn
tử liên hợp A∗ của A là một tốn tử tuyến tính liên tục từ Y = Y∗ vào X = X∗ xác

định bởi

A∗y = y ◦ A; ∀y ∈ Y.

Nói cách khác, ta có

hx, A∗yi = hAx, yi; ∀x ∈ X, y ∈ Y.

Vì các khơng gian Hilbert là phản xạ nên dễ thấy A = A∗∗ với mọi A ∈ L(X, Y ). Để

dễ hình dung, ta xét tốn tử liên hợp của một số toán tử đơn giản.

1) Giả sử X = Rm và Y = Rn. Lúc đó, mọi A ∈ L(Rm, Rn) = L(Rm, Rn) đều

tương ứng với một ma trận thực cấp m × n (mà ta cũng ký hiệu là A). Ta có thể kiểm

chứng được rằng toán tử A∗ ∈ L(Rn, Rm) tương ứng với chính ma trận chuyển vị AT

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

2) Giả sử X = Y = L2[a, b] và K(t, s) là một hàm bình phương khả tích trên

[a, b] × [a, b]: Z

b
a

Z b

a

|K(t, s)|2dtds < ∞.

Lúc đó, tốn tử A từ X vào Y xác định bởi

Ax(t) =

Z b

a

K(t, s)x(s)ds; x ∈ L2[a, b]

là một tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y . A được gọi là tốn tử tích phân có hạch
là K. Ta có thể kiểm chứng được rằng toán tử liên hợp A∗ được xác định bởi

A∗y(t) =

Z b

a

K(s, t)y(s)ds; y ∈ L2[a, b].

Với A ∈ L(X, Y ) ta ký hiệu

N (A) = A−1(0) = {x ∈ X | Ax = 0},

R(A) = A(X) = {Ax | x ∈ X}.

Định lý 4.16. Nếu A ∈ L(X, Y ), thì

X = N (A) ⊕ R(A∗); Y = N (A∗) ⊕ R(A).

4.4.2. Toán tử tự liên hợp.

Một tốn tử tuyến tính liên tục A từ khơng gian Hilbert X vào chính nó được gọi
là tự liên hợp nếu A∗ = A. Lúc đó,

hAx, yi = hx, Ayi; ∀x, y ∈ X.

Chẳng hạn, nếu X = Y = Rn thì một tốn tử A ∈ L(X) là tự liên hợp khi và chỉ

khi ma trận A là đối xứng. Còn nếu X = Y = L2[a, b] và A ∈ L(X) là tốn tử tích

phân có hạch là K(t, s), thì A là tự liên hợp khi và chỉ khi

K(t, s) = K(s, t) hầu khắp nơi trên [a, b] × [a, b].

Định lý 4.17. Giả sử λ và µ là hai giá trị riêng khác nhau của tốn tử tự liên hợp A.

Lúc đó, các không gian con riêng sau là trực giao với nhau:
Nλ = {x ∈ X | Ax = λx},

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

4.5. Bài tập.

Trong mục này, nếu khơng nói gì thêm, X được hiểu là không gian tiền Hilbert.
4.1. Cho x, y ∈ X. Chứng minh rằng x và y phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi

hx, xihy, yi = hx, yi2.

4.2. Cho M là khơng gian con đóng của không gian Hilbert X và x0 ∈ X. Chứng minh

rằng d(x0, M ) = max{hx, yi | y ∈ M⊥∩ S(0, 1)}.

4.3. Cho M là đa tạp affine, x ∈ X và m ∈ M. Chứng minh rằng kx − mk = d(x; M)
khi và chỉ khi x − m⊥n − m với mọi n ∈ M.

4.4. Cho (xn), (yn) là hai dãy chứa trong hình cầu đơn vị đóng của X thoả mãn

hxn, yni → 1. Chứng minh kxnk → 1, kynk → 1 và kxn− ynk → 0.

4.5. Cho A : L2[0, 1] → L2[0, 1] xác định bởi

Ax(t) :=

Z t

(1 + s2t)x(s)ds; ∀x ∈ L

2[0, 1], t ∈ [0, 1].

Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục và xác định tốn tử A∗.

4.6. Cho x, y ∈ X và M ≤ X. Chứng minh các khẳng định sau
1. x⊥y ⇔ kxk ≤ kx − λyk; ∀λ ∈ R.

2. x⊥M ⇔ kxk ≤ kx − mk; ∀m ∈ M.

4.7. Ký hiệu l2 là không gian Hilbert các dãy số thực bình phương khả tổng. Xét

A : l2 → l2 xác định bởi:

x = (x1, x2, · · · , xn, · · · ) −→ Ax =

x1,

x2

2 , · · · ,

xn

n , · · ·

.

Chứng minh rằng A là tốn tử tuyến tính liên tục tự liên hợp.
4.8. Chứng minh rằng với mọi δ > 0 tồn tại ²(δ) > 0 sao cho

∀x, y ∈ B0(0; 1),³kx − yk ≥ δ ⇒°°°x + y

2
°
°

° < 1 − ²
´

.

Hơn nữa, limδ→0²(δ) = 0.

4.9. Cho (cn) là một dãy số thực dương. Trong không gian l2 xét tập

S = {x ∈ l2 | |xn| ≤ cn; ∀n}.

Chứng minh rằng S là tập compact trong l2 khi và chỉ khi

c2

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

4.10. Cho A : l2 → l2 xác định bởi:

x = (x1, x2, · · · ) −→ Ax = (2x2,

1
2x1,

4
3x4,

4x3, · · · ).

a) Chứng minh A ∈ L(l2, l2), xác định kAk.

b) Tìm tốn tử liên hợp A∗.

4.11. Cho M là khơng gian con đóng của khơng gian Hilbert X. Ta gọi phép chiếu trực
giao lên M là ánh xạ ΠM : X → M cho tương ứng mỗi x ∈ X, phần tử ΠM(x) = m ∈ M

sao cho x − m⊥m. Chứng minh ΠM là một tốn tử tuyến tính liên tục, tự liên hợp từ

X vào M.

4.12. Giả sử X là không gian Hilbert và A : X → X là tốn tử tuyến tính, tự liên
hợp. Chứng minh A liên tục.

4.13. Cho A : l2 → l2 xác định bởi

A(x) := (x2, x3, x1, x5, x6, x4, x8, x9, x7, · · · ); ∀x = (xn) ∈ l2.

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Tài liệu tham khảo

[1] D. N. Arnold, Functional Analysis, Springer Verlag, 1997.

[2] Haăm Brezis, Gii tớch hm - Lý thuyết và ứng dụng, Nxb ĐHQG Tp.HCM, 2002.
[3] P.Đ. Chính, Giải tích hàm Tập I, Nxb ĐH&THCN, 1979.

[4] J. Dieudonné, Cơ sở giải tích hiện đại I, Nxb ĐH&THCN, 1979.

[5] B. Gelbaum, J. Olmsted, Các phản ví dụ trong giải tích, Nxb ĐH&THCN, 1982.
[6] Yu. S. Otran, Bài tập lý thuyết hàm số biến số thực, Nxb ĐH&THCN, 1979.
[7] W. Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, 1973.

</div>

Giai tich ham

Huỳnh Thế Phùng - Khoa Toán, Đại học Khoa học Huế

Mục lục

Chương 1

Không gian định chuẩn

1.1.

Định nghĩa.

1.1.1.

Chuẩn.

1.1.2.

Các ví dụ.

1.2.

Tôpô trong không gian định chuẩn.

1.2.1.

Hàm khoảng cách - Sự hội tụ.

1.2.2.

Các tính chất tơpơ.

1.2.3.

Chuẩn tương đương.

1.3.

Không gian Banach.

1.3.1.

Dãy Cauchy - Không gian Banach.

1.3.2.

Một số không gian Banach.

1.3.3.

Sự hội tụ của chuỗi.

1.4.

Không gian con - Không gian thương.

1.4.1.

Không gian con - Không gian con đóng.

1.4.2.

Không gian thương.

1.5.

Bài tập.

Chương 2

Các Định lý Cơ bản

của Giải tích hàm

2.1.

Tốn tử tuyến tính liên tục.

2.1.1.

Định lý cơ bản.

2.1.2.

Các ví dụ.

2.2.

Nguyên lý bị chặn đều.

2.2.1.

<i>Không gian L(X, Y ).</i>

2.2.2.

Nguyên lý bị chặn đều.

2.3.

Định lý Hahn-Banach.

2.3.1.

Phát biểu định lý.

2.3.2.

Các hệ quả.

2.4.

Nguyên lý ánh xạ mở.

2.4.1.

Không gian đồng phôi - Nguyên lý ánh xạ mở.

2.4.2.

Định lý đồ thị đóng.

2.4.3.

Không gian hữu hạn chiều.

2.5.

Bài tập.

Chương 3

Không gian liên hợp - Tôpô yếu

3.1.

Không gian liên hợp.

3.2.

Liên hợp của một số không gian cụ thể.

3.3.

<i>Không gian X</i>

- Không gian phản xạ.

3.4.

Tốn tử liên hợp.

3.5.

Tôpô yếu - Tôpô yếu*.

3.5.1.