Bài giảng Đề thi tuyển Học sinh giỏi_Toán 9

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Môn : Toán
Thời gian : 120phút
( không kể thời gian giao đề )
Bài 1 : ( 4 điểm )
a/ Chứng minh rằng : A = 3n
4
- 14n
3
+ 21n
2
- 10n chia hết cho 24 với mọi n ∈ N
b/ Tìm các hệ số a, b để đa thức x
4
+ ax
2
+ b chia hết cho đa thức x
2
- 3x + 2 .
Khi đó hãy tìm đa thức thương .
Bài 2 : ( 4 điểm )
a/ Tính giá trị biểu thức sau với x = 2 - và y = 2 +


















+
+
+
++








+
−
=
yxyxxyyx
yx
xyxy
yx
A
11

.
)(
2
2
1
.
11
:
3
b/ Giải phương trình : + = x
2
- 10x + 27
Bài 3 : ( 4 điểm )
a/ Cho 3số dương a, b, c thỏa a
2
+ b
2
+ c
2
= . Chứng minh rằng : + - <
b/ Với giá trị nào của x thì biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất ?
M = x -
Bài 4 : ( 4 điểm )
Cho a, b, clà độ dài 3cạnh của ∆ABC . Gọi m, n, k là độ dài các đường
phân giác trong của 3góc của ∆ABC . Chứng minh rằng :
+ + > + +
Bài 5 : ( 4 điểm )
Cho ∆ABC vuông tại A , đường cao AH , HB = 20 cm , HC = 45 cm . Vẽ
đường tròn tròn tâm A bán kính AH . Kẻ các tiếp tuyến BM , CN với
đường tròn ( M , N là các tiếp điểm , khác điểm H ) .

a/ Tính diện tích tứ giác BMNC
b/ Gọi K là giao điểm của CN và HA . Tính các độ dài AK , KN
c/ Gọi I là giao điểm của AM và CB . Tính các độ dài IM , IB
ĐÁP ÁN
Bài 1 : ( 4 điểm )
a/ Với mọi n ∈ N, tacó :
A = 3n
4
- 14n
3
+ 21n
2
- 10n = n ( 3n
3
- 14n
2
+ 21n - 10 )
= n ( 3n
3
- 3n
2
- 11n
2
+ 11n + 10n - 10 ) = n ( n - 1 ) ( 3n
2
- 11n + 10 )
= n ( n - 1 ) ( 3n
2
- 6n - 5n + 10 ) = n ( n -1 ) ( n - 2 ) ( 3n - 5 )
= n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( 3n - 9 + 4 )

= 3n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 ) + 4n ( n - 1 ) ( n -2 )
* Vì n - 2 , n - 1 , n là 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số + 2 và 1 số + 3 .
Mà ( 2, 3 ) = 1 ; 2 . 3 = 6 nên n ( n - 1 ) ( n - 2 ) + 6
⇒ 4n ( n - 1 ) ( n - 2 ) + 24 (1)
* Mặt khác : n , n - 1, n - 2 , n - 3 là 4số nguyên liên tiếp nên có 2 số chẵn liên tiếp và do
đó có 1số + 2 và số còn lại + 4
Nên n ( n - 1) ( n - 2 ) ( n - 3 ) + 8 ⇒ 3n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 ) + 24 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ A = 3n
4
- 14n
3
+ 21n
2
- 10n + 24 với ∀n ∈ N

b/ Chia x
4
+ ax
2
+ b cho x
2
- 3x + 2 được thương là x
2
+ 3x

+ a + 7 dư là
( 3a + 15 ) x + b - 2a - 14
Tacó phép chia hết ⇔




=
−=
⇔



=−−
=+
4
5
0142
0153
b
a
ab
a

Vậy đa thức thương là : x
2
+ 3x + 2
Bài 2 : ( 4 điểm )
a/ Tính giá trị biểu thức sau với x = 2 - và y = 2 +

( )
xy
yx
xy
xyxy
yx

yxxy
yx
xyxy
yx
yxxy
xyyx
xyxy
yx
yxxyyxxy
yx
xyxy
yx
xy
yx
yxyx
xy
yx
xyxy
yx
yxyxxyyx
yx
xyxy
yx
A
−
=
−
=









+
+−
=








+
++−
=








+
+

+
+
−
=








+
+
+
+
+
−
=

















+
+
+
++








+
−
=
1
:
)(
:
)(
.2
:
)(
2
)(

:
.
)(
2
)(
1
.:
11
.
)(
2
2
1
.
11
:
2
2
2
22
32
3
Tacó :
xy
xyyx
A
2
2
−+
=

Với x = 2 - và y = 2 + thì :
2
)32)(32(
)32)(32(23232
2
=
+−
+−−++−
=
A
Suy ra A = - ( vì x < y )
b/ + = x
2
- 10x + 27
Đk : 4 ≤ x ≤ 6
Áp dụng BĐT Cosi cho 2số không âm , ta được :
+ = + ≤ + = 2
Dấu “ = ” xảy ra ⇔
5
16
14
=⇔



=−
=−
x
x
x

Mặt khác : x
2
- 10x + 27 = ( x
2
- 10x + 25 ) + 2 = ( x - 5 )
2
+ 2 ≥ 2
Dấu “ = ” xảy ra ⇔ x - 5 = 0 ⇔ x = 5
Do đó : + = x
2
- 10x + 27 ⇔ x = 5
Vậy nghiệm của pt là + x = 5
Bài 3 : ( 4 điểm )
a/ Cho 3số dương a, b, c thỏa a
2
+ b
2
+ c
2
= . Chứng minh rằng : + - <
Tacó : ( a + b - c )
2
≥ 0 ⇒ a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab - 2bc - 2ac ≥ 0

⇒ 2ab - 2bc - 2ac ≤ a
2
+ b
2
+ c
2

Mà a
2
+ b
2
+ c
2
= < 2 nên 2ab - 2bc - 2ac < 2
⇒ < ( a , b, c > 0 )
⇒ + - <
b/ Với giá trị nào của x thì biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất ?
M = x - = ( x - 2009 ) - + + 2009 -
= ( - )
2
+ 2008 ≥ 2008
Dấu “ = ” xảy ra ⇔ - = 0 ⇔ x - 2009 = ⇔ x = 2009
Vậy GTNN của M là 2008 ⇔ x = 2009
Bài 4 : ( 4 điểm )
2
1
1
M
D
A

B
C
Qua điểm C vẽ đường thẳng song song AD cắt AB tại M
⇒ A
1
= M
1
; A
2
= C
1

Mà A
1
= A
2
( AD là tia phân giác của góc A )
Nên M
1
= C
1
⇒ AM = AC
Xét ∆AMC : MC < AM + AC = 2AM
Xét ∆BMC ta có : AD // MC ⇒ = =
Nên AD = < ⇒ > ( + )
⇔ > ( + )
Tương tự : > ( + ) ; > ( + )
Vậy + + > + +
Bài 5 : ( 4 điểm )
I

K
H
C
A
B
M
N
a/ Tính diện tích tứ giác BMNC
Tacó : M, A, N thẳng hàng , tứ giác BMNC là hình thang .
S
BMNC
= S
ABM
+ S
ABH
+ S
AHC
+ S
ANC
= 2S
ABH
+ 2S
ACH
= 2S
ABC
Áp dụng hệ thức về đường cao và ình chiếu trong tam giác vuông ABC :
AH
2
= HB . HC = 20.45 = 900
⇒ AH = 30 cm

Vậy S
BMNC
= 2S
ABC
= 2 . AH . BC = 30 . 65 = 1950 cm
2
b/ Gọi K là giao điểm của CN và HA . Tính các độ dài AK , KN
Tacó : ∆NKA ∽ ∆HKC ( g - g )
⇒ = =
⇒ = =
⇒ 45NK = 30KA + 900 ⇒ 3NK - 2KA = 60 ⇒ 6NK - 4KA = 120
45KA = 30KN + 1350 2KN - 3KA = - 90 6NK - 9KA = - 270
⇒ 5KA = 390 ⇒ KA = 78 ⇒ KN = 72
Vậy AK = 78cm và KN = 72cm

c/ Gọi I là giao điểm của AM và CB . Tính các độ dài IM , IB
Tacó ∆HKC =
∆
NIC ( cgv - gn kề cạnh ấy )
⇒ KC = IC = 72 + 45 = 117 ⇒ IB = IC - BC = 117 - 65 = 52
KH = IN = 78 + 30 = 108 ⇒ IM = IN - MN = 108 - 60 = 48
Vậy IM = 48 cm và IB = 52 cm