giai bai toan bang cach lap phuong trinh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (205.92 KB, 20 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHUYÊN ĐỀ:

GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẰNG CCH LP PHNG

TRèNH, H PHNG TRèNH.

Các b ớc giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình : 3 bớc

Bớc 1: Lập phơng trình:

- Chn n s v t điều kiện thích hợp cho ẩn số.

- Biểu diễn các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết.
- Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ giã các đại lợng.

Bíc 2: Giải phơng trình.
Bớc 3: Trả lời:

-Kiểm tra xem trong các nghiệm của phơng trình, nghiệm nào thoả
mÃn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

I.

LOẠI TỐN HÌNH HỌC :

Bµi 1: Mét hình chữ nhật có chu vi là 28m. Nếu tăng chiều rộng gấp 2 lần

và giảm chiều dài còn một nửa thì chu vi tăng thêm 4cm. Tìm kích thớc
của hình chữ nhật?

Giải:

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là a.

Và chiều rộng của hình chữ nhật lµ b (a, b>0).
Theo bµi ra ta cã:

2(a+b) = 28
a+b =14

Mặt khác: 2(2b+) = 28 + 14
a+4b = 32

Ta cã hÖ pt sau:

Vậy kích thớc của hình chữ nhật
lần lợt là: 8 và 6 (cm)

Bài 2:

Mt sõn hỡnh tam giác có diện tích 180m2. Tính cạnh đáy của sân
biết rằng nếu tăng cạnh đáy 4m và giảm chiều cao tơng ứng 1m thì diện tích
khơng đổi?

Gi¶i:

Gọi cạnh đáy và chiều cao tơng ứng của sân lần lợt là a v b
(a,b>0)

Theo bài ra: Diện tích của sân là 18m2
ab = 360

Mặt khác ta có: (a + 4)(b - 1) = ab
-a + 4b - 4 = 0
Kết hợp 2pt trên ta có hệ

pt sau:

T (1) b = thay
vào (2) đợc: -a2- 4a +
1440 = 0

Vậy cạnh đáy của sân là 36m.

Bµi 3:

Mét tam giác vuông có chu vi 30m, cạnh huyền 13m. Tính mỗi cạnh
góc vuông?

Giải:

Gi di 2 cnh gúc vuụng của tam giác vuông là a, b (a,b >0)
Chu vi của tam giác là: a + b + 13 =30 a + b = 17 (1)



a


















32

4

14 b

a

b

a











6

8 b

a




 

ab 360 1
a 4b 4 0 2






   



 360

a



a 36
a 40





 


</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Mặt khác theo định lý Pytago: a2 + b2 = 169 (2)
Kết hợp (1) và (2) :

Vậy độ dài 2 cạnh góc
vng là 12 v 5 m.

Bài 4:

Một hình chữ nhËt

có chu vi là 32cm và diện tích là 60 cm2. Tính đờng chéo của hình chữ nhật
đó?

Gi¶i:

Gọi độ dài 2 cạnh của hình chữ nhật là a và b (a,b>0)
Chu vi hình chữ nhật là 32cm

2(a + b) = 32 a + b = 16 (1)
DiƯn tÝch h×nh chữ nhật là 60 cm2

ab = 60 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có

Độ dài 2 cạnh của hình
chữ nhật là 10 và 6 cm.

Vy độ dài đờng chéo của hình
chữ nhật là: = cm.

Bài 5:Một sân trờng hình chữ nhật có chu vi 340m. Ba lần chiều dài hơn

bốn lần chiều rộng là 20m. Tính chiều dài và chiều rộng của sân trờng?

Giải:

Gọi chiều dài và chiều rộng của sân trờng lần lợt la a và b (a,b >0)
Chu vi sân trờng lµ 340m a + b = 170 (1)

Ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều rộng là 20m nên 3a - 4b = 20 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta cã:

VËy chiÒu dµi vµ chiỊu rộng
của sân trờng lần lợt là 100 và
70m.

Bài 6:

Cho tam giác ABC vng cân có AB = AC = 12 cm. Điểm M chạy
trên AB. Tứ giác MNCP là một hình bình hành có đỉnh N thuộc cạnh AC.
Hỏi khi M cách A bao nhiêu thì diện tích của hỡnh bỡnh hnh bng 32 cm2?

Giải:

Đặt MA = x (0 < x< 12)
Tam giác ABC vuông cân
nên MP = MB = 12- x
DiƯn tÝch cđa hình bình
hành MNCP là MP.MA =
(12-x)x

Theo giả thiết:

Diện tích của hình bình
hành MNCP là 32 cm2

(12 - x)x =32 x2 -12x +
32 = 0

x = 4 hoặc x = 8 (thoả mÃn)
Vậy M cách A là 4 hoặc 8 cm.

II, LOI TON TÌM SỐ:

Bài 1:Hai số kém nhau 12 đơn vị. Nếu chia số nhỏ cho 7, chia số lớn cho 5

thì thương thứ nhất kém thương thứ hai là 4 đơn vị.Tìm 2 số đó

Giải

Cách 1 : Gọi số nhỏ nhất là : x

Số lớn nhất là : x+12

2 2 169 12

5
17

a

a b

b
a b



   



 



  

















60 .

16 b

a

b

a











6

10 b

a



)
36
100
( 136



3a - 4b = 20
a + b = 170





100
70

a

b



 




100
70

a
b



 




N
M

C
B

A 

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Thương của số nhỏ cho 7 là:
Thương của số lớn cho 5 là:
Theo bài ra ta có: = + 4

5x = 7x + 84 + 140
x = 28

Vậy số nhỏ là: 28. Số lớn là: 28 + 12 = 40

Cách 2 : Đặt thương thứ nhất là: a
Thương thứ hai là: a + 4
Số nhỏ là: 7a

Số lớn là (a + 4)5
Theo bài ra ta có :

(a + 4). 5 – 7a = 12
5a + 20 - 7a = 12
2a = 8

a = 4

Vậy số nhỏ là 7.4 = 28.
Số lớn là : (4 + 4).5 = 40

Cách 3 : Gọi 2 số cần tìm lần lượt là: x, y (x,y N)

Hai số kém nhau 12 đơn vị : y - x = 12

Thương thứ nhất kém thương thứ hai là 4 đơn vị : + 4 =
Ta có hệ

:

Giả hệ ta được x = 28 (thoả
mãn )

y = 40
Vậy số cần tìm là 28 và 40

Bài 2 : Cho một số có hai chữ số, chữ số hàng chục bằng nửa chữ số hàng

đơn vị. Nếu đặt số 1 xen vào giữa hai số này ta được một số lớn hơn số đã
cho là 370. Tìm số đã cho?

Giải

Gọi số phải tìm là:

Chữ số hàng chục bằng nửa chữ số hàng đơn vị : b=2a
Đặt số 1 xen vào giữa ta được số mới là

Theo bài ra ta có : - = 370

100a + 10 + b – 10a – b = 370
90a = 360

a =4

b =2.4 = 8

Vậy số cần tìm là : 48

Bài 3 :

Tổng của hai số bằng 136. Nếu lấy số nhỏ chia cho 4 và số lớn chia
cho 6 thì tổng của hai thương là 28. Tìm hai số đó?

Giải

Cách 1: Gọi số nhỏ là x. Số lớn là y ( x, y Z và y > x )

x

5
12


x

5
12


x












x

y



















5

4

7

12 y

x

y

ab

b
a1

b
a1ab






a 36
a 40

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Ta có : x + y = 136 (1)
Số nhỏ chia 4 được thương:
Số lớn chia cho 6 được thương:

Mà tổng hai thương là: 28 => + = 28 (2)
Từ (1), (2) ta có hệ:

(thoả mãn )

Vậy hai số cần tìm là:
64 và 72

Cách 2: Gọi số nhỏ là x (x N).Số lớn là : 136 - x

Thương của số nhỏ cho 4 là:

Thương của số nhỏ cho
6 là:

Theo bài ra ta có: + = 28

3x + 272 – 2x =
336

x = 64 ( thoả mãn )
Vậy số nhỏ là : 64

Số lớn là : 136 – 64 =72

Bài 4 : Tìm hai số biết tổng của chúng là 17 và tổng bình phương của chúng

là 157

Giải

Cách 1 : Gọi 2 số cần tìm lần lượt là: a,b (a,b Z)

Theo bài ra ta có hệ:
Giải hệ: (1) a = 17 – b

(2) (17-b)2 + b2 =
157

b2 -34b + 289 + b2 = 157
2b2 – 34b +132 = 0

(thoả mãn )
Vậy 2 số phải tìm là: 6 và 11.

Cách 2:

Gọi 1 số phải tìm là: a
Số kia là: 17 – a

Tổng bình phương của chúng là 157

(17-a)2 + a2 = 157

a2 + 289 – 34a + a2 = 157
2a2 – 34a +132 = 0

Vậy hai số phải tìm là: 6, 11

Bài 5 :

x



















28

6

4

136 x

y

x











72

64 y

x



x

6
136 x

x

6
136 x





2 2

a+b = 17 (1)
a +b = 157 (2)




 













6
11

b
b








11
6

a
a











6
11

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Tìm 1 số có hai chữ số biết rằng nếu đem chia số đó cho tổng các
chữ số của nó thì được thương là 4 và dư là 3, cịn nếu đem chia số đó cho
tích các chữ số của nó thì được thương là 3 và cịn dư 5.

Giải

Gọi số có hai chữ số đó là (a,b )

Chia số đó cho tổng các chữ số của nó ta có:
= 4(a + b) + 3
10a + b = 4a + 4b + 3
6a – 3b = 3 (1)
Đem chia số đó cho tích các chữ số của nó

= 3ab + 5

10a + b = 3ab + 5 (2)

Từ (1), (2) ta có hệ:
Từ (1) có: b =

Thay vào (2): 10a + = 3a. +
5

18a2 – 45a + 18 = 0

Vậy số cần tìm là: 23

Bài 6 :

Tìm phân số có đồng thời các tính chất sau:
a,Tử số của phân số là 1 số tự nhiên có 1 chữ số
b, Hiệu giữa tử số và mẫu số bằng 4

c, Nếu giữ nguyên tử số và viết thêm vàobên phải của mẫu số một chữ số
đúng bằng tử số thì ta được 1 phân số bằng phân số 1/3

Giải:

Gọi tử số là : a (1)
thì mẫu số là: a-4

Nếu giữ nguyên tử thêm vào bên phải mẫu số 1 chữ số = tử. Ta có :

=
=

3a = 11a
- 40

8a = 40
a = 5
Vậy số phải tìm là:

Bài 7 :

Tỉ số của hai số a và b là: 1. Tìm 2số biết rằng a- b =8.

Giải

Cách 1 : Tỉ số của hai số a và b là: = 2a - 3b = 0
Theo bài ra ta có hệ :

:

giải hệ ta được : a = 24

abN



ab



ab



6a - 3b = 3
10a + b = 3ab + 5





3
3
6 a


2

1
( )

a

a loai




 


3

0( )

b

b loai








9

a

a
a

a

)
4
( 3



a
a

a


 40
10 3



40
11 a

a

3
1






1
5

2
1

2
3



b
a

2
3

















0

3

2

8 b

a

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

b = 16

Cách 2 : Theo bài ra: a - b = 8 a=b + 8 (1)
Tỉ số của 2 số a và b là : a=b (2)
Từ (1) (2): 8+b = b b = 8 b = 16

Thay vào (1): a = 8 + 16 = 24
Vậy 2 số phải tìm là: 16; 24

Baì 8 :

Trên đường Lương Ngọc Quyến, thành phố Thái Nguyên cứ 5 nhà
liền nhau có số nhà hơn kém nhau 2 đơn vị. Biết tổng của số nhà đầu tiên

và số nhà cuối cùng là 210. Tìm 2 số nhà đó?

Giải
Cách 1 : Gọi số nhà đầu tiên là: x

Số nhà cuối cùng là: y (x, y N )
Theo bài ra ta có: x + y = 210 (1)

Vì các nhà liền nhau hơn kém nhau 2 đơn vị nhà đầu tiên cách nhà cuối
cùng là: 2.5 = 10 y – x = 10 (2)

Từ (1), (2) ta có hệ:
Giải hệ được: x = 100
y = 110
Vậy số nhà đầu tiên là: 100
Số nhà cuối cùng là: 110

Cách 2: Gọi số nhà đầu tiên là: x (x N )

Số nhà cuối cùng là: 210- x

Do 2 nhà sát nhau hơn kém 2 đơn vị Nhà đầu tiên cách nhà cuối cùng
là: 2.5 = 10

Ta có: 210 – x – x = 10
-2x = -200

x = 100

Vậy số nhà đầu tiên là: 100

Số nhà cuối cùng là: 110

Bài 9: Tìm một số tự nhiên có 6 chữ số.biết rằng chữ số tận cùng của

nó bằng 4, và nếu chuyển chữ số 4 đó lên vị trí của số đầu tiên thì số phải
tìm tăng gấp 4 lần.

Giải
Gọi số phải tìm là:

Chuyển chữ số 4 lên vị trí đầu ta
có: . 4 = 4

đặt = x

Ta có pt : (10x +4) . 4 = 400000 + x
40x + 16 = 400000 + x
x = 10256.
Vậy số phải tìm là : 10256.

Bài 10 :



2
3



3
2
3



2
1






















10

210 x

y

x








4
abcde

4
abcdeabcde

abcde

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Cho n số nguyên dương (không nhất thiết khác không ), trong đó có số
68.Trung bình cộng của n số đó bằng 56.Khi bỏ số 68 đó đi thì trung bình
cộng của n – 1 số cịn lại là 55.

a. Tìm n.

b. Số lớn nhất trong n số đã cho có thể bằng bao nhiêu?

Giải

Số nguyên dương phải tìm là : n (n Z )

Do khi bỏ số 68 đi thì trung bình cộng của n số bằng 55 ta có pt :
= 55

n = 13.
Tổng của 13 số = 56 . 13 = 728

Trong 13 số có 1 số 68. Tổng của 12 số còn lại = 728 – 68 = 660
Số lớn trong 12 số con lại đạt được nếu 11 số bằng 1.

Khi đó số lớn nhất = 660 11 = 649.

III, DạNG TOáN CHUYểN §éng:
Bài1 :

Một xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Nam Định với vận tốc 35km/h. Sau đó
24 phút, trên cùng một tuyến đường đó, một ơtơ xuất phát từ Nam Định đi
Hà Nội với vận tóc 45km/h. Biết quãng đường Nam Định – Hà Nội dài
90km. Hỏi sau bao lâu, kể từ khi xe máy khởi hành, hai xe gặp nhau?

Giải:

- Gọi thời gian từ lúc xe máy khởi hành đến lúc hai xe gặp nhau là x
(h). Điều kiện thích hợp của x là x>.

-Trong thời gian đó, xe máy đi được quãng đường là 35x (km).

Vì ơtơ xuất phát sau xe máy 24 phút (tức là h) nên ôtô đi trong thời gian
là x- (h) và đi được quãng đường là 45 (x - ) (km).

Đến lúc hai xe gặp nhau, tổng quãng đường chúng đi được đúng bằng
quãng đường Nam Định – Hà Nội (dài 90km) nên ta có phương trình:

35x+ 45 (x - ) = 90.
- Giải phương trình:

35x+ 45 (x - ) = 90 35x + 45x – 18 = 90
 80x = 108

 x = = .

- Giá trị này phù hợp với điều kiện của ẩn. Vậy thời gian để hai xe gặp
nhau là giờ, tức là 1 giớ 21 phút, kể từ lúc xe máy khởi hành.

Bài 2: Một ôtô du lịch từ A đến B với vận tốc 50km/h, 24 phút sau khi khởi

hành vận tốc giảm đi 10km/h do đó B chậm mất 18 phút. Tính quãng
đường từ A đến B.

Giải:

- Gọi độ dài quãng đường từ A đến B là x (km). Điều kiện x> 0

- Sau 24 phút (tức giờ ) ôtô đi được quãng đường là .50 = 20 (km)
- Nếu cứ đi với vận tốc 50km/h ôtô đi từ A đến B mất giờ



1
68




n
n



5
2

5
2
5
2
5
2

5
2

80
108

27
20
27

5
2
5
2
50

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

- Nhưng quãng đường còn lại là x – 20 (km) ôtô đi với vận tốc giảm
10km so với ban đầu nên đến B chậm 18 phút (tức giờ) nên ta có
phương trình:

+ = + (*)

- Giải phương trình:

(*)  80 + 5(x - 20) = 4x + 60
80 + 5x – 100 = 4x + 60
x = 80

- Giá trị này phù hợp với điều kiện của ẩn. Vậy độ dài quãng đường từ A
đến B là 80 km

Bài3: Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bô

10km. Canô đi từ A đến B mất 3 giờ 20 phút, ôtô đi hết 2 giờ. Vận tốc của
canoo nhỏ hơn vận tốc của ơtơ là 17 km/h. Tính vận tốc canô.

Giải:

Gọi vận tốc của canô là x (km/h). Điều kiện x>0.
Thì vận tốc của ơtơ là x + 17 (km/h)

Canơ đi từ A đến B mất 3 giờ 20 phút(tức giờ). Vây đường sông từ A đến B
dài là (km)

- Ơtơ đi từ A đén B mất 2 giờ nên đường bộ từ A đến B dài là 2(x + 17)
(km)

- Theo bài ra đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn
đường bô 10km nên ta có phương trình:

2(x + 17) - = 10
- Giải phương trình:

2(x + 17) - = 10 3.2(x + 17) – 10x = 3.10
 6x + 102 -10x = 30
4x = 72
 x = 18

- Giá trị này phù hợp với điều kiện của ẩn. Vậy vận tốc của canô là 18
(km/h)

Bài 4:

Một ôtô khởi hành từ bến đi với vận tốc 40 km/h. Sau 30 phút sau
cũng tại bến đó ơtơ thứ 2 đi với vận tốc 60 km/h đuổi theo ôtô thứ nhất.
Tính thời gian ơtơ thứ 2 đuổi kịp ơtơ thứ nhất.

Giải:

- Gọi thời gian để ôtô thứ hai đuổi kịp ôtô thứ nhất là t (giờ) (t>0)

- Khi bị ôtô thứ hai đuổi kịp ôtô thứ nhất đã khởi hành được thời
gian là + t (giờ) và quãng đường đi được là ( + t)40 (km)
- Khi đó quãng đường của hai xe đã đi được là bằng nhau nên ta có

phương trình:

( + t)40 = 60t
- Giải phương trình: + t)40 = 60t  t = 1

- Giá trị này phù hợp với điều kiện của ẩn. Vậy thời gian để ôtô
thứ hai đuổi kịp ôtô thứ nhất là 1 giờ

10
3

5
2

10
50

20



x

x
10

3
10

3
10x

2
1
2
1

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bài 5: Hai người xe đạp cùng khởi hành cùng một lúc ở cùng một chỗ,

người thứ nhất đi về phía bắc, người thứ hai đi về phía đơng. Sau hai giờ họ
cách nhau 60 km theo đường chim bay. Biết vận tốc của người thứ nhất lớn

hơn vận tốc của người thứ hai là 6 km/h. Tính vận tốc của mỗi người.

Giải:

- Gọi vận tốc của người thứ hai là x (km/h) (x>0) thì vận tốc của gười
thứ nhất là x+6 (km/h)

- Sau 2 giờ người thứ nhất đi được quãng đường là 2x (km), người thứ
hai đi được quãng đường là 2(x+6) (km)

- Gọi O là địa điểm hai người bắt đầu xuất phát, A là địa điểm người đi
về phía bắc tới sau 2 giờ, B là địa điểm người đi về phía đơng tới sau 2
giờ,

A
60km

B
O

Khi đó khoảng cách AB là 60km, tam giác AOB là tam giác vng tại O,
nên ta có phương trình sau:

(2x)2 +[2(x+6)]2=602

- Gía trị x=18 thoả mãn
điều kiện của ẩn.

- Vậy vận tốc của người

thứ hai là: 18km/h, vận tốc của người thứ nhất là: 18+6=24(km/h)

Bài 6: Một canơ đi xi dịng 44 km rồi ngược dịng 27 km hết tất cả 3 giờ

30 phút. Biết vận tốc thực của ca nơ là 20km/h. Tính vận tốc dịng nước

Giải:

Gọi vận tốc của dòng nước là x (km), điều kiện x>0
Vận tốc canơ lúc xi dịng là 20 + x (km/h)

Vận tốc canơ lúc ngược dịng là 20 – x (km/h)

Thời gian canô đi canô đi xi dịng là (giờ), thời gian canô đi
ngược dòng là (giờ), tổng thời gian cả luc xuôi và luc gược
dogflà 3 giờ 30 phút ( tức 3 giờ), nên ta có phương trình:

+

= 3 (*)

- Giải phương trình: (*)  7 x2 – 34x + 40 = 0
 x= 2 hoặc x =

Bài 7: Hai ôtô khởi hành từ cùng một địa điểm và theo cùnh một
hướng. Xe thứ nhất chạy với vận tốc 40 km/h. Vận tốc xe thứ hai
bằng 1 vận tốc xe tứ nhất. 30 phút sau từ cùng một địa điểm xuất phát và

8 48 3456 0
18

24( )

x x

x

x loai

   



  



x


20

x


20

27
2
1

x


20

x


20

27
2
1

2
20

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

cùng hướng nói trên một xe thứ 3 khởi hành, xe này vượt xe thứ nhất, sau
đó 1 giờ 30 phút nó vượt tiếp xe thứ hai. Tính vân tốc xe thứ ba.

Giải:

Gọi vận tốc của xe thứ 3 là v(km/h) v>0

Thời gian xe thứ ba bắt đầu khởi hành đến khi đuổi kịp xe thứ nhất là t giờ
(t>0)

Từ khi bắt đầu khởi hành đến khi xe thứ 3 đuổi kịp xe thứ nhất đã đi
được + t (giờ)

Khi đuổi kịp xe thứ nhất quãng đường xe thứ 3 đi được bằng quãng đường
xe thứ nhất đi được nên ta có phương trình :

( + t)40 = vt (1)
Vận tốc của xe thứ hai là 1. 40 = 50 (km/h)

Từ khi bắt đầu khởi hành đến khi xe thứ 3 đuổi kịp xe thứ 2 đã đi được
thời gian là

+ t + (giờ)

Thời gian xe thứ ba từ lúc bắt đàu khởi hành đến khi đuổi kịp xe thứ
hai là t + (giờ)

Khi đuổi kịp thì quãng đường hai xe đi được là bằng nhau nên ta có
phương trình :

( + t + )50 = v (t + ) (2)

Từ (1) và (2 ) ta có hệ
Từ (2) suy ra (*) thay

vào (1) ta được:

t=-3 (loại)
t=1 thay vào (*)

Ta thấy giá trị t =1 và v =
60 phù hợp với điều kiện của ẩn.
Vậy vận tốc của xe thứ ba là: 60 km/h

Bài 8:

Một người đi xe đạp từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC và đoạn
xuống dốc CB. Thời gian đi từ A đến B là 4 giờ 20 phút, thời gian từ B về
A là 4 giờ. Biết vận tốc lên dốc (lúc đi cũng như lúc về) là 10 km/h, vận tốc
xuống dốc (lúc đi cũng như lúc về) là 15 km/h. Tính quãng đường AC, CB

Giải:

Gọi quãng đường AC, CB lần lượt là S1 và S2,với S1>0,S2>0

Người đi xe đạp từ A đến B mất 4 giờ 20 phút(tức giờ) mà thời gian
người đó đi từ A đến C là (giờ), thời gian người đó đi từ C đến B là
(giờ). Nên ta có phương trình + = (1)

Người đi xe đạp đi từ B về A mất 4 giờ mà thời gian người đó đi từ B
đến C là (giờ), thời gian người đó đi từ C đến A là (giờ). Nên ta có
phương trình: + = 4 (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ

phương trình:
2
1
2
1
4
1
2
1
2
3
2
3
2
1
2
3
2
3
1 40
2

1 3 50 3

2 2 2

t vt

t t v

  
  
  

   

   

   

 
   
2( 2)50
2 3
t
v
t



2

1 2( 2)50
( )40

2 2 3

1
2 3 0

3
t t
t
t
t
t t
t

 



     


2(1 2)50
60
2.1 3
v 
  

3
13
10
1
S
15
2
S
10

1
S
15
2
S
3
13
10
2
S
15
1
S
15
1
S
10
2
S

1 2 13
10 15 3

1 2
4
S S
S S

 





</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Giải hệ phương trình trên ta được S1 = 30, S2 = 20

Giá trị này phù hợp với điều kiện của ẩn, vậy quãng đường AC dài là 30
km, quãng đường CB dài là 20 km

Bài9 : Ba ca nô cùng rời bến sông A một lúc để đi đến B. Canô thứ hai

mỗi giờ đi kém canô thứ nhất là 3km nhưng hơn canô thứ ba là 3km nên
về tới B sau canô thứ nhất 2 giờ nhưng trước canô thứ ba là 3 giờ. Tinh
chiều dài đoạn sông AB.

Giải:

- Gọi vận tốc của canơ htứ hai là x km/h, x>3, thì vậ tốc của canô thứ
nhất là

x + 3 (km/h), vận tốc của canô thứ ba là x – 3 (km/h)
- Gọi chiều dài của khúc sông AB là y (km), y>0

- Thời gian để canô thứ nhất đi từ A đến B là (giờ)
- Thời gian để canô thứ hai đi từ A đến B là (giờ)
- Thời gian để canô thứ ba đi từ A đến B là (giờ)

- Canô thứ nhất về tới B sau canô thứ nhất 2 giờ nhưng trước
canô thứ ba là 3 giờ nên ta có hệ phương trình:

Giải phương trình đã cho ta có:
Nghiệm trên phù hợp với điều
kiện của ẩn.

Vậy chiều dài đoạn sông AB là 180 km.

IV. DẠNG TOÁN NĂNG XUẤT:
Bài 1:

Hai đội cơng trình giao thơng được giao sửa chữa một con đường. Đội I
làm trong 5 ngày rồi giao lại cho đội II thực hiện tiếp. Sau khi đội II làm
được 4 ngày người ta thấy khi đó cả hai đội mới hồn thành được 40%
cơng việc cần làm. Nếu khả năng thực hiện công việc không thay đổi,
người ta tính rằng để hồn thành khối lượng cơng việc cịn lại cả hai đội
phải cùng làm trong 5 ngày rồi riêng đội II làm thêm 3 ngày nữa. Hỏi nếu
mỗi đội làm riêng một mình thì trong bao nhiêu ngày sửa chữa xong
đường?.

Giải

Gọi x, y (ngày) theo thứ tự là số ngày mà đội I, đội II làm riêng để sửa chữa
xong con đường.

Trong 5 ngày đội I sửa được , trong 4 ngày đội II sửa được con đường.
Ta có phương trình; (1)

Trong 5 ngày cả hai đội làm
được con đường.

Theo bài ra ta có phương
trình: (2)

Từ (1) và (2) ta có
hệ:

3


x
y
x
y

3


x
y

3 3

3
3

y y

x

y y

x x



 



 



  

 


15
180

x
y








x

y

5 4 40

100

x y1 1

x y






 

 



1 1 3 60

100

x y y






 

 

  

5 4 40

100

1 1 3 60

100

x y

x y y





  
  
 






 

  

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Giải hệ ta được:
Vậy đội I làm trong 25 ngày, đội
II làm trong 20 ngày.

Bài 2:

Bai2: Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ.
Thu hoạch được tất cả 460 tấn thóc. Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên 1 ha là

bao nhiêu biết rằng 3 ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa
cũ là 1 tấn.

Giải

Gọi năng suất trên 1 ha lúa giống mới là x (tấn), của lúa giống cũ là y (tấn);
x > 0, y > 0.

Năng suất lúa giống mới trên 60 ha là: 60x (tấn), 3 ha là 3x (tấn).
Năng suất lúa giống cũ trên 40 ha là: 40y (tấn), 4 ha là 4y (tấn).

Ta có hệ phương trình:
Vậy năng suất 1 ha lúa
giống mới là 5 tấn, năng suất
lúa giống cũ là 4 tấn.

Bài 3:

Hai công nhân cùng sơn của cho một cơng trình trong bốn ngày thì xong
việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai đến
cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi người làm một
mình thì bao lâu xong việc?.

Giải

Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong cơng việc là x (ngày), x >
0

thời gian người thứ hai làm một mình xong cơng việc là y ( ngày) , y > 0.
Trong 1 ngày số công việc người thứ nhất và người thứ hai làm lần

lượt được là

Theo bài ra ta có hệ phương
trình:

Vậy: Người thứ nhất làm một
mình trong 12 ngày thì xong
việc.

Người thứ hai làm một mình trong 6 ngày thì xong việc.

Bài 4:

Hai người thợ cùng xây một bức tường trong 7 giờ 12 phút thì xong
(vơi vữa và gạch có cơng nhân khác vận chuyển). Nếu người thứ nhất
làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai xây được bức
tường. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xây xong bức tường?.

Giải

Gọi thời gian người thứ nhất xây một mình xong bức tường là x (giờ) x > 0,
thời gian người thứ hai xây một mình xong bức tưịng là y (giờ) y > 0.
Coi tồn bộ cơng việc như một đơn vị công việc.

25
20

x
y










60 40 460

4 3 1

x y

y x







 

 

5
4

x
y












1 1, .

x y

1 1 1
4
10 1 1

x y

x










 

12
6

x
y












</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Trong 1 giờ người thứ nhất xây được (bức tường), người thứ hai xây
được (bức tường).

Vì cả hai người cùng xây thì trong 7 giờ 12 phút hay giờ họ xây xong
bức tường nên trong 1 giờ cả hai người xây được (bức tường).

Do đó ta có phương trình:
(1)

Nếu người thứ nhất xây trong 5
giờ và người thứ hai xây trong 6 giờ thì họ xây được (2)

Từ (1), (2) ta có hệ phương
trình :

Vậy: Người thứ nhất xây một
mình trong 12 giờ thì xong
bước tường.

Người thứ hai xây một mình trong 18 giờ thì xong bức tường.

Bài 5:

Hai cần cẩu lớn bốc dỡ một lô hàng ở cảng Sài Gịn. Sau 3 giờ có thêm
năm cần cẩu bé (cơng suất bé hơn) cùng làm việc. Cả bảy cần cẩu làm việc
3 giờ nữ thì xong. Hỏi mỗi cần cẩu làm việc một mình thì bao lâu xong
việc, biết rằng nếu cả bảy cần cẩu cùng làm việc từ đầu thì trong giờ xong
việc.

Giải

Gọi thời gian một cần cẩu lớn làm một mình xong việc là x (giờ), x > 0;
Gọi thời gian một cần cẩu bé làm một mình xong việc là y (giờ), y > 0.

Theo đầu bài hai cần cẩu lớn

làm trong 6 giờ, cịn năm cần
cẩu bé làm trong 3 giờ thì xong
việc. Do đó ta có phương trình (1)

Nếu bảy cần cẩu cùng làm từ
đầu thì trong 4 giờ xong việc.
Do đó ta lại có phương trình
(2)

Từ (1), (2) ta có hệ phương
trình

Vậy: Một cần cẩu lớn làm một
mình trong 24 giờ thì xong
việc.

Một cần cẩu bé làm một mình trong 30 giờ thì xong việc.

Bài 6:

Một hợp tác xã xe khách dùng 15 xe nhỏ và 10 xe lớn thì vận chuyển được
690 khách. Nếu hợp tác xã rút bớt 10 xe nhỏ và tăng thêm 4 xe lớn để vận
chuyển hành khách thì số lượng khách được vận chuyển tăng thêm 20
người. Hỏi mỗi loại xe chỗ được bao nhiêu người?. Biết rằng lượng khách
trên mỗi xe trong các lần vận chuyển đều đủ số chỗ theo quy định.

Giải

x

y

36
5
5
36
1 1 5

x y 

5 6 3
4

x y 

1 1 5

36
5 6 3

x y









 

12
18

x
y












12 15 1

x  y 

2 5 1
4

x y 

12 15 1
2 5 1

x y

x y









 

24
30

x
y










</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Gọi x, y theo thứ tự là số chỗ ngồi trên một xe nhỏ, trên một xe lớn.
Điều kiện x, y > 0, x, y ngun.

Theo bài ra ta có hệ phương
trình:

Giải hệ phương trình trên ta
được x = 16, y = 45 (thoả mãn điều kiện).

Vậy xe nhỏ co 16 chỗ ngồi, xe lớn có 45 chỗ ngồi.

Bài 7: Hai người thợ A và B cùng lát nền nhà trong 5 giờ. Sau đó A làm

thêm 1 giờ nữa thì lát xong nền nhà. Nếu hai người cùng làm trong 4 giờ
thì B cịn phải làm thêm 2 giờ 40 phút nữa mới lát xong nền nhà. Hỏi mỗi
người lát một mình thì phải làm trong bao nhiêu giờ?.

Giải

Gọi thời gian để thợ A và B lát riêng một mình xong nền nhà theo thứ tự là
x(giờ), y (giờ).

Trong 1 giờ thợ A, B lát lần lượt được số cơng việc là .

Theo bài ra ta có hệ phương
trình:

Giải hệ ta được
Vậy thời gian lát xong nền
nhà của thợ A là 12 giờ, thợ
B là 10 giờ.

Bài 8: Một xưởng may phải may xong 3000 áo thun trong một thời gian

quy định. Để hoàn thành sớm kế hoạch, mỗi ngày xưởng đã may được
nhiều hơn 6 áo so với số áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế
5 ngày trước khi hết thời hạn, xưởng đã may được 2650 áo. Hỏi theo kế
hoạch, mỗi ngày xưởng phải may xong bao nhiêu áo?.

Giải

Gọi số áo phải may trong 1
ngày theo kế hoạch là .

Thời gian quy định may xong 3000 áo là (ngày).
Số áo thực tế may được trong 1 ngày là (áo).
Thời gian may xong 2650 áo là (ngày).

Vì xưởng may xong 2650 áo trước khi hết hạn 5 ngày nên ta có
phương trình

không thoả mãn điều kiênl của ẩn.

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải
may xong 100 áo.

Bài 9: Một ấp dự kiến thu hoạch xong 200 hecta lúa trước tháng 8. Được

tin báo lũ về sớm nên người ta đã cố gắng thu hoạch nhanh hơn so với kế
hoạch mỗi ngày 5 hecta. Do đó việc thu hoạch hố sớm hơn dự kiến 2
ngày. Hỏi theo dự kiến mỗi ngày ấp thu hoạch bao nhiêu hecta lúa?.

15 10 690

5 14 710

x y







 

1 1,

x y

6 5 1

1 1 8

4 1

x y

x y y






  
  
  




 

   10

x
y










( , 0)

x x N x 

3000

x 6
x 

2650
6

x 

3000 5 2650
6

x  x

3000( 6) 5 ( 6) 2650
64 3600 0

x x x x

x x

    

    2

1
2

' 32 3600 4624, 68,
32 68 100

32 68 36

x
x

     

  

  

2 36

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Giải

Gọi x (hecta) là diện tích lúa thu hoạch mỗi ngày theo kế hoạch. Điều kiện
x > 0.

Thời gian thu hoạch theo kế hoạch là ngày.
Thời gian thu hoạch trên thực tế là ngày.

Theo bài ra ta có phương
trình:

(nhận), (loại).

Vậy theo kế hoạch mỗi
ngày ấp thu được 20 (ha) lúa.

Bài 10: Hai máy xúc đất được giao xúc hết một khối lượng đất để đắp đập.

Nếu cả hai máy cùng làm việc thì xúc hết số đất trong 4 ngày. Nếu máy xúc
thứ nhất xúc xong 1/2số đất rồi máy thứ hai xúc hết số đất cịn lại thì thời
gian xúc của cả hai máy cộng lại là 9 ngày.

Hỏi nếu làm riêng biệt thì để xúc hết lượng đất nói trên mỗi máy xúc trong
bao ngiêu ngày?

Giải

Gọi (ngày) là thời gian máy thứ
nhất xúc hết một nửa lượng đất thì (ngày) là thời gian máy thứ hai xúc một
nửa lượng đất. Điều kiện .

Khi đó ta có là số ngày máy thứ
nhất xúc hết số đất, là thời gian
máy thứ hai xúc hết số đất.

Trong 1 ngày máy thứ nhất xúc
được , máy thứ hai xúc được
lượng đất.

Theo bài ra ta có phương
trình:

Vậy số ngày để máy
thứ nhất, máy thứ hai
xúc hết số đất một mình theo thứ tự là: 6 ngày, 12 ngày hoặc 12 ngày, 6
ngày.

Bài 11: Một xưởng vật liệu xây dựng được giao sản xuất 216m3 đá theo 
thời hạn định trước. Ba ngày đầu tiên, xưởng sản xuất theo định mức của
kế hoạch. Những ngày tiếp theo họ sản xuất vượt định mức mỗi ngày 8m3
đá cho nên họ sản xuất được 232m3 đá và xong sớm hơn thời gian định 
trước là 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày xưởng sản xuất được bao
nhiêu khối đá?

200

x

200
5

x 

200 200 2
5

x  x 
2 5 500 0

x x

2   

1 2

5 4.( 500) 2025
45

20, 25

x x

    

  

  x x 21 2025

x

9 x
0 x 9

2x
2(9 x)

1 2x

1 18 2x



1

2 x



18 2



x



4 4(18 2

2 ) 2 (18 2 )

9 18 0

x

















1 2

( 9) 18.4 9

3 9 3

3,

9 3

6

2 x

  





  





</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Giải

Gọi là lượng đá xưởng sản xuất trong 1 ngày theo kế hoạch.
Số ngày phải sản xuất theo kế hoạch là (ngày).

Số ngày xưởng sản xuất cao hơn
định mức kế hoạch là (ngày).

Theo bà ra ta có phương
trình:

Giải phương trình này ta
được các nghiệm: (nhận),
(loại).

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày xưởng sản xuất 24m3 đá.

Bài 12:Hai đội thợ quét sơn một ngơi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4

ngày xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội I hồn thành cơng việc nhanh hơn
đội II là 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu

ngày để xong việc?

Giải

Gọi thời gian đội I làm một mình xong việc là x (ngày), x > 0.

Vì đội II hồn thành cơng việc lâu hơn đội I là 6 ngày nên thời gian một
mình đội II làm xong việc là x + 6 (ngày)

Mỗi ngày đội I làm được (công việc)
Mỗi ngày đội II làm được (công việc)

Mỗi ngày cả hai đội làm được (cơng việc)

Ta có phương trình:

Giải pt ta được: x1= 6, x2= -4
(loại)

Vậy: Một mình đội I làm trong 6 ngày thì xong việc;
Một mình đội II làm trong 12 ngày thì xong việc.

Bài 13:Một đội thợ mỏ phải khai thác 216 tấn than trong một thời gian nhất

định. Ba ngày đầu, mỗi ngày đội khai thác theo đúng định mức. Sau đó,
mỗi ngày họ đều khai thác vượt định mức 8 tấn. Do đó họ đã khai thác vượt
định mức 232 tấn và xong trước thời hạn 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi
ngày đội thợ phải khai thác bao nhiêu tấn than?

Giải

Gọi lượng than mà đội phải khai thác thong 1 ngày theo kế hoạch là
x (tấn), x > 0.

Thời gian quy định để khai thác 216 tấn là (ngày)
Lượng than khai thác được trong 3 ngày đầu là 3x (tấn)

Do đó lượng than khai thác được trong những ngày còn lại là 232-3x (tấn)
Mỗi ngày sau đội khai thác được x + 8 (tấn)

Thời gian đẻ khai thác 232- 3x
tấn than là (ngày)

Theo bài ra ta có phương trình:
Hay

( )

x m

216

x

232 3
8

x




216 232 3 4
8

x

x x



 



2 48 1728 0

x x

 x x 21 2427 

x1

x 1
4

1 1 1

6 4

x x 

216

x

232 3
8

x
x



216 232 3

1 3

x

x x



  



2 48 1728 0

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Giải phương trình ta được x1= -72 (loại), x2 = 24.

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày đội thợ phải khai thác 24 tấn than.

V, CÁC LOẠI TỐN KHÁC:

Bài 1: Tổng tuổi tơi và em tơi năm nay bằng 26 mà tuổi của em tôi chỉ
bằng tuổi của tôi khi mà tổng số tuổi của chúng tơi bằng năm lần tuổi
tơi hiện nay. Tính tuổi mỗi người hiện nay.

Giải:

Gọi x là tuổi tôi năm nay( 0<x<26 )
 tuổi của em tôi hiện nay là 26-x.

Giả sử đến y năm nữa thì tổng số của chúng tơi bằng 5 lần tuổi tơi hiện nay.
Khi đó tuổi tôi sẽ là: x + y, tuổi của em tôi sẽ là: 26-x+y.

 Tổng số tuổi 2 người lúc đó là: x + y + 26- x + y =26 + 2y.

Theo đầu bài khi đó tổng số tuổi 2 người bằng 5 lần tuổi tôi hiện nay do đó

ta có phương trình: 26 + 2y = 5x (1)

Tuổi em tôi bằng 1/3 tuổi tôi, ta có phương trình:
26-x = (x + y) 4x + y = 78 (2)
Từ (1) và (2) ta có thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Vậy năm nay tơi 14 tuổi cịn em tơi 12 tuổi.

Bài 2:47 học sinh nam và nữ về dự hội nghị “ học sinh xuất sắc “.
Người ta hỏi tất cả các bạn nữ rằng bạn quen bao nhiêu bạn nam?

Đào nhận ra mình quen 16 bạn nam
Lê nhận ra mình quen 17 bạn nam
Mận nhận ra mình quen 18 bạn nam

Cứ như thế mỗi bạn nữ sau lại quen nhiều hơn bạn nữ trước 1 bạn nam .
Cuối cùng Cam quen tất cả các bạn nam. Tính xem có bao nhiêu nam bao
nhiêu nữ.

Giải:
Cách 1:

Gọi x là số bạn nữ 0<x<47
Đào quen 15+1 bạn nam

Lê quen 15+2 bạn nam
...

Vì có x bạn nữ nên Cam quen 15+x bạn nam.
Vậy có 15+x bạn nam.

=> Tổng số nam và nữ là: 15+2x

Ta có 15+2x = 47 => x=16( thỏa mãn điều kiện)
Vậy có 16 bạn nữ và 31 bạn nam.

Cách 2: Gọi x và y lần lượt là số bạn nữ và số bạn nam trong hội nghị

(0<x,y<47)

Ta có phương trình: x + y = 47 (1)
Đào quen 15 +1 bạn nam

Lê quen 15 +2 bạn nam

Vì x bạn nữ nên Cam quen 15 +x bạn nam
Vậy số bạn nam sẽ là:15 + x = y (2) bạn nam

1
3

1
3 14

x
y






</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

=> thỏa mãn điều kiện
Vậy số bạn nữ là 16, số bạn nam là 31

Bài 3:

Hòa 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ
hơn nó là 200kg/ để có một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700kg/. Tìm
khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.

Giải:

Cách 1:Gọi khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là x (x>200) khối
lượng riêng của chất lỏng thứ 2 là x- 200.

Ta có khối lượng của dung dịch khi đã hòa lẫn là: 8 + 6 =14(g)
Theo đầu bài ta có:

Thể tích dung dịch 1 là:
Thể tích dung dịch 2 là:

Thể tích dung dịch sau khi đã hịa lẫn là:

Thể tích của dung dịch là khơng đổi trước và sau khi hịa lẫn nên ta
có phương trình:

+ =

Giải ra ta được

Vậy khối lượng riêng của chất
lỏng thứ nhất là 800 kg/, khối
lượng riêng của chất lỏng thứ hai là 600 kg/.

Cách 2: Gọi khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là x (x > 200), khối

lượng riêng của chất lỏng thứ hai là y. theo đề bài ta có phương trình:
x- y = 200 (1)

Khối lượng của dung dịch khi đã hòa lẫn là: 8 + 6 = 14 (g)
Theo đầu bài ta có:

Thể tích dung dịch 1 là:
Thể tích dung dịch 2 là:

Thể tích dung dịch sau khi đã hịa lẫn là:

Thể tích của dung dịch là khơng đổi trước và sau khi hịa lẫn nên ta
có phương trình:

+ = (2)

Từ (1) và (2) ta được thỏa mãn
điều kiện.

Vậy khối lượng riêng của chất
lỏng thứ nhất là 800 kg/, khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai là 600 kg/.

Bài 4 : Cho một lượng dung dịch chứa 10% muối. Nếu pha thêm 200g nước

vào dung dịch thì được dung dịch 6%. Hỏi có bao nhiêu gam dung dịch đã
cho?

Giải:

Gọi lượng dung dịch đã cho là m (m>0)
Ta đã biết công thức: C% = .100

47
15

x y
x y

 




 

 16

x
y








m3

m



0,08

x

0, 06
20

x 0,14
700
0,08

x

0,06

200

x 

0,014
700
800
200( )

x

x loai



 

 mm33

0,08

x

0,06

y

0,14
700
0,08

x

0,06

y

0,014
700800

600

x
y








m3

m

ct

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Ban đầu: C% = 10% ta có: = 10 (1)

Khi pha thêm số gam dung dịch là: m + 200

C% = 6% Ta có: = 6 + = (2)
Từ (1) và (2) giải ra ta được:
m=3000g( thỏa mãnđiều kiện )

Vậy khối lượng dung dịch đã cho là 3000g.

Bµi 5:

Hai anh Quang và Tùng góp vốn cùng kinh doanh. Anh Quang góp vốn
15 triệu đồng, anh Hùng góp 13 triệu đồng. Sau một thời gian đợc lãi 7 triệu
đồng. Lãi đợc chia tỉ lệ với vốn đợc góp. Em hãy tính tiền lãi mà mỗi anh
đ-ợc hởng.

Giải

Gọi số lãi mà anh Quang và anh Hùng đợc hởng lần lợt là x và y
(triệu đồng): x > 0, y > 0.

Vì số tiền lãi hai anh có đợc là 7 triệu đồng nên có phơng trình: x + y = 7
Vì tiền lãi tỉ lệ với tiền vốn đã góp nên có:

Theo trên ta có hệ:

Vậy anh Quang đợc
h-ởng số tiền lãi là 3,75
triệu đồng

Và anh Hùng đợc hởng số tiền lãi là 3,25 triệu đồng

Bµi 6.

Hơm mẹ của Lan đi chợ mua 5 quả trứng gà và 5 quả trứng vịt hết 10
000 đồng.Hôm nay mẹ của Lan mua 3 quả trứng gà và 7 quả trứng vịt chỉ
hết 9600 đồng mà giá trứng nh cũ. Hãy tính giá một quả trứng mỗi loại.

Giải

Gọi giá của mỗi loại trứng gà và vịt lần lợt là x và y (x > 0, y > 0)
Hôm qua mẹ của Lan mua 5 quả trứng gà và 5 quả trứng vịt hết 10000 đồng
nên có phơng trình: 5x + 5y = 10000 (1)

H«m nay mĐ cđa Lan mua 3 quả trứng gà và 7 quả trứng vịt hết 9600 nªn
cã:

3x + 7y = 9600 (2)

Từ (1)và (2) ta có
hệ phơng trình:
Vậy giá của mỗi quả trứng gà là 1100 đồng.

Và giá của mỗi quả trứng vịt l 900 ng.

Bài 7.Trong một trang sách nếu bớt đi 4 dòng và mỗi dòng bớt đi 3 chữ thì

cả trang sẽ bớt đi 136 chữ. Nếu tăng thêm 3 dòng và mỗi dòng tăng thêm 2
chữ thì cả trang sẽ tăng thêm 109 chữ. Tính số dòng trong trang và số chữ

trong một dòng.

Gii

Gọi x là số dòng trong một trang sách
Gọi y là số chữ trong mét dßng

Nếu ta bớt trang sách đi 4 dòng tức là đã bớt đi 4y chữ và số dòng
còn lại trong trang là 4 – x. Nếu bớt tiếp mỗi dòng đi 3 chữ tức bớt đI 3.(x
- 4) chữ thì cả trang sẽ bớt đi 136 chữ, ta có phơng trình:

(1)

NÕu tăng thêm 2 chữ
mỗi dòng tức tăng thªm 2x

ct
m

m



200
ct

m
m 



ct

m
m

200
ct

m

1
6

15 13

x y


7

13(7 ) 15
15 13

x y

x y

y y

 


 





 

 

 




3, 25
3,75

x
y



 




5 5 10000 2000

3 7 9600 3(2000 ) 7 9600

x y x y

x y y y

   

 



 

    

  1100

900

x
y




 




(x N )
(y N )

2 3( 4) 136
3 4 148

x x

x y



</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

chữ và mỗi dòng có (y+2) chữ thì cả trang sẽ tăng thêm 109 chữ, nên có
ph-ơng trình:

(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phơng
trình:

Vậy trang s¸ch cã 32
dòng và mỗi dòng có 13
chữ.

Bài 8. Giải bài toán cổ sau:

Quýt, cam mời bảy quả tơi

Đem chia cho trăm ngời cùng vui
Chia ba mỗi quả quýt rồi

Còn cam mỗi quả chia mời vừa xinh
Trăm ngời, trăm miếng ngon lành
Quýt, cam mỗi loại tính dành là bao ?

Gii

Gọi số quả cam và quýt lần lợt
là x và y

Vì tổng số cam và quýt là 17 quả
nên có:

Nu mi quả quýt chia 3, mỗi
quả cam chia 10 thì đợc 100
miếng nên có:

Theo trªn ta cã hƯ:
VËy cã 10 qu¶
quýt, 7 qu¶ cam.

2 3( 2) 109
2 3 103

x y

  

  

3 4 148 32

2 3 103 13

x y x

x y y

  

 



 

  

 

( ,x y N )
17

x y 
10x3y100

17 17

10 3 100 10 3(17 ) 100

x y y x

x y x x

   

 



 

    

 

7
10

x

y





</div>

giai bai toan bang cach lap phuong trinh

<b>CHUYÊN ĐỀ: </b>

<b>GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẰNG CCH LP PHNG</b>

<b>TRèNH, H PHNG TRèNH.</b>















32

4

14

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>













6

8

<i>b</i>

<i>a</i>

 

 













60

.

16

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>













6

10

<i>b</i>

<i>a</i>

:





















5

4

7

12

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>















