Bài giảng cong phan so theo quy luat

Loại toán : Cộng các phân số có quy luật
Thủ thuật : Phơng pháp khử liên tiếp : Tách mỗi phân số thành một hiệu sao cho chúng triệt tiêu (trừ
hết) lẫn nhau.
Dạng tổng quát : S
n
=
)1(
1
......
3.2
1
2.1
1
+
+++
nn
( n > 1 ) = 1 -
11
1
+
=
+
n
n
n
Bài tập
Bài 1. Tính tổng :
21
1
x
+

32
1
x
+
43
1
x
+ . . . +
109
1
x
Bớc 1: Dự đoán :
21
1
x
= 1/1 1/2 ;
32
1
x
= 1/2 - 1/3 ;
43
1
x
= 1/3 - 1/4 ; .....
Bớc 2: Quy nạp :
1
.( 1)n n +
= 1/n - 1/n+1
Bớc 3: Viết dãy tính và tiến hành khử :
Cuối cùng còn : 1 -

11
1
+
=
+
n
n
n
Bài 2. Tính tổng :
21
1
x
+
32
1
x
+
43
1
x
+ . . . +
10099
1
x
Bài 3. Tính tổng :
31
2
x
+
53

2
x
+
75
2
x
+ . . . +
1917
2
x
Bài 4. Tính tổng :
52
3
x
+
85
3
x
+
118
3
x
+ . . . +
2017
3
x
Bài 5. Tính tổng :
42
1
x

+
64
1
x
+
86
1
x
+ . . . +
2018
1
x
Bài 6. Tính tổng :
41
1
x
+
74
1
x
+
107
1
x
+ . . . +
4037
1
x
Bài 7. Tính tổng :
20

1
+
30
1
+
42
1
+ . . . +
90
1
+
110
1

Bài 8. Tính tổng :
15
4
+
35
4
+
63
4
+
99
4
+
143
4
Bài 9. Tính tổng :

1611
2
x
+
2116
2
x
+
2621
2
x
+ . . . +
6661
2
x
Bài 10. Tính tổng :
321
2
xx
+
432
2
xx
+
543
2
xx
+ . . . +
1098
2

xx
Bài 11. Tính tổng các phân số sau:
a/
1 1 1 1
1.2 2.3 3.4 2003.2004
+ + + +K
b/
1 1 1 1
1.3 3.5 5.7 2003.2005
+ + + +K
==========================================================================================================
1
Gợi ý: Đặt B =
1 1 1 1
1.3 3.5 5.7 2003.2005
+ + + +K
Ta có 2B =
2 2 2 2
1.3 3.5 5.7 2003.2005
1 1 1 1 1 1 1
(1 ) ( ) ( ) ... ( )
3 3 5 5 7 2003 2005
1 2004
1
2005 2005
+ + + +
= + + + +
= =
K
Suy ra B =

1002
2005
Bài 12. Tính tổng sau :
61.59
4
....
9.7
4
7.5
4
+++

Gợi ý: Vì 7 - 5 = 2 mà tử = 4 gấp 2 lần 2 nên biến tử thành 2.2 rồi đa 2 ra ngoài ngoặc đơn sau đó tính
nh trên
Bài 13. Tính tổng sau :
66.61
5
......
26.21
5
21.16
5
16.11
5
++++

Vì mẫu = 16 - 11 = 5 mà tử = 5 nên chỉ việc biến đổi 1/11 - 1/16 = 5/11.16 rồi khử
Bài 14. Tính tổng :
M =
321

2
xx
+
432
2
xx
+
543
2
xx
+ . . . +
1098
2
xx
Giải : Nhận xét
321
2
xx
=
21
1
x
-
32
1
x

Tơng tự với
432
2

xx
=
32
1
x
-
43
1
x
. . .

1098
2
xx
=
98
1
x
-
109
1
x
.
Cuối cùng ta có :
21
1
x
-
109
1

x
=
45
22
Bài 15. Tính tổng sau :
100.99.98
2
.....
4.3.2
2
3.2.1
2
+++
Bài 16 : Tính tổng
S
n
=
)2)(1(
1
......
5.4.3
1
4.3.2
1
3.2.1
1
++
++++
nnn
Ta có S

n
=








++

+
++






+







)2)(1(
1

)1(
1
2
1
........
4.3
1
3.2
1
2
1
3.2
1
2.1
1
2
1
nnnn
S
n
=








++

+
+++
)2)(1(
1
)1(
1
......
4.3
1
3.2
1
3.2
1
2.1
1
2
1
nnnn
S
n
=
)2)(1(4
)3(
)2)(1(
1
2.1
1
2
1

++
+
=








++

nn
nn
nn
Bài 17. Tính tổng sau :
)3)(2)(1(
1
......
5.4.3.2
1
4.3.2.1
1
+++
+++
nnnn
Bài 18. Tính:
20092008.......321
1

........
4321
1
321
1
21
1
1
++++
++
+++
+
++
+
+
+
Giải: Tổng các số tự nhiên lên tiếp từ 1 đến n số hạng đợc tính theo công thức
2
)1(
+ì
nn
.
Khi đó:
)
3
1
2
1
(2
)12(2

2
21
1
ì=
+ì
=
+
->
)
4
1
3
1
(2
)13(3
2
321
1
ì=
+ì
=
++
==========================================================================================================
2

)
5
1
4
1

(2
)14(4
2
4321
1
−×=
+×
=
+++
…………………..

)
2010
1
2009
1
(2
)12009(2009
2
20092008....321
1
−×=
+×
=
+++++
VËy:
20092008.......321
1
........
4321

1
321
1
21
1
1
++++
++
+++
+
++
+
+
+
=
)
3
1
2
1
(2
−×
+
)
4
1
3
1
(2
−×

+
)
5
1
4
1
(2
−×
+ .+…
2010
1
2009
1
(2
−×
)

)
2010
1
2009
1
........
5
1
4
1
4
1
3

1
3
1
2
1
(21
−++−+−+−×+=

)
2010
1
2
1
(21
−×+=

1005
1004
1
=
Bµi 19. Tìm Y biết:
3
16
1
13
1
)
1613
1
1310

1
107
1
74
1
41
1
(
−=
×
+
×
+
×
+
×
+
×
××
Y
==========================================================================================================
3