Tài liệu Lý thuyết và 42 đề thi ĐH tham khảo
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (554.55 KB, 61 trang )
HỆ THỐNG KIẾN THỨC TỐN THPT
DÙNG CHO THI TỐT NGHIỆP - ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
Chú ý: 1. !"
#$"%&'()*+
,, -,
VấN Đề 1:ỨNG DụNG ĐạO HÀM
•
• !"#
o Phương trình tiếp tuyến: tại M
0;
đi qua một điểm M
1
ho$ hệ số góc k
o Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò :
o "./0(
o %& '(&)
o *+,#-##+./012+.30
o Cách xác đònh tiệm cận :
o 456-#789:;75<7=81>7-#2>&?@#AB
C=81!"#A!"#&6D@$DA
o ,12(/+3*456"
789:6;<7
o =%1>?+3*456"
789:6;<7
o C¸c d¹ng ®å thÞ cã chøa gi¸ trÞ tut ®èi thêng gỈp:
……..
VấN Đề 2:HÀM Số LUỹ THừA,MŨ VÀ LOGARIT
• ;7(E(&FG(H0>"EIE#J( #&( "KL#(H
• ;7M-#J #&
• @A4BC/+%0(D<EF
• %8+,&=J #&:
• %8+,&=J #&
• GH&4I1D6JKcơ bản)
VấN Đề 3:NGUN HÀM –TÍCH PHÂN VÀ ứNG DụNG TÍCH PHÂN
• ;7"A
o L&KHM
o N--OKP6Q3Q#7
o --MF&'
• ;7789
6 7$ 6 7 6 7 6 7
b
a
b
f x dx F x F b F a
a
= = −
∫
o ,&KR%0STMIKH$
o ,&KR&4I&%&OKP0($
NQ38,U9
K
V
:W6;7X ;
∫
KR%Y96;7
NQ#8,U9
: 6;7;
β
∫
α
Y;90Z;9Z[[[
o ,1&KR&4I&%&F&'8
K K
K
$ $ $= −
∫ ∫
o ,&+%0(4B%60(QIKH7$
o ,&+%0()?
o ,1&+%0(?8
o ,&\T%/M($,
K
: 6;7 ;
∫
• 456-#789
o ,1&]
o ,2^2_;8
NOPQ:*RSE
• ,10(&\`Z
Zz
K2a0(&\Z0(&\KRZ[
• ;<+T8U82&L(9(#8E0
• ;=+TVW-#C/5+,XYX98E3
• %8+,&=&88E6"b--H&K^#/b@!c7
• NQ4B%+0(&\\$6JKIKH7
VấN Đề 5:DIệN TÍCH VÀ THể TÍCH CÁC KHốI.
• Tính diện tích các mặt (là tam giác,tứ giác,hình tròn,...)
• ;7>7ZI8(Z28( V&6(H
• [$\":
o d%/K%eY'QP&1&<1&<[
o ,Y'2e('
• [$&6:,;><&'12e(
• [$I:
o ,;><&'12e(e(
VấN Đề 6:PHƯƠNG PHÁP TOạ Độ TRONG KHƠNG GIAN
• H<M2&Z]#
o Xác đònh điểm , t*a vectI trong không gian , c/m tính chất hình học ...
o ,vô hướng , tích có hướng , góc giữa hai véc tơ8
o Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,di%<thể tích kh(&<&:
• [$\"/*3
o d%/K%eY'
o ViPt ph4Ing trình mYt c'u
o d%/ K%e+45_e
• [$81:
o @P&Y&]4fQ6IKH<&O>%7
• P+.1:
o @P&45]4#Q6-,,g-,",7
• N&7+,#+T:62<45]<Y&]Y'7
• ;7Z#+T:62<45]<Y&]Y'7
• ;7I#+T:645]!45]Z45]!Y&]Y&]!
Y&]7
• Xác định phương trình;tâm và bán kính của đường tròn trong khơng gian
• ;=="-#2> 2$81$010
o ,11P +hM6α7
o ,11P +hM45]67$
• Tìm tọa độ điểm A
/
đối xứng với điểm A qua đt hoặc mp
o Đối xứng qua mp(α)
o Đối xứng quađường thẳng (d).
• Tìm hình chiếu (d’) của đ.thẳng (d) lên mp (β)
PHẦN A.GIẢI TÍCH
PHẦN 1: HÀM SỐ
Nhắc lại 1 số công hức về đạo hàm cơ bản:
Bài toán 1: Khảo sát hàm số
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1.Tìm tập xác định: D=…
2. Tính đạo hàm: y’= cho y’=0 và tìm nghiệm
3.Tính giới hạn:
$$$ $$$
o
x x
x
y y
±
→
→±∞
= =
;
i
4.Tìm phương trình tiệm cận (nếu có)
5.Lập bảng biến thiên
6.Chỉ ra khoảng đồng biến,nghịch biến
7.Chỉ rõ điểm CỰC ĐẠI,CỰC TIỂU
8.Xét tính lồi lõm và điểm uốn (Đối với hàm số bậc 3 và hàm trùng phương)
Tính y’’ cho y’’=0 tìm nghiệm và lập bảng xét dấu y’’
9.Nhận xét về đồ thị:
• Chỉ rõ tâm đối xứng(trục đối xứng của đồ thị)
• Chỉ rõ giao điểm của (C) với trục Oy và Ox
• Cho thêm điểm đặt biệt để vẽ
10. Vẽ đồ thị.
( )
( )
( )
#
V
V
#
VV
V
V
V
VV
V
VV
V
$
$j
7k6
$$
$l
$$$f
$$$$#
$3
v
vC
v
C
v
v
uvvu
v
u
vCvC
vuvuvu
vuvu
−
=
≠
−
=
=
+=
±=±
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x
x
x
x
xx
xx
x
x
ax
x
ee
aaa
x
x
x
x
xx
x
C
a
xx
xx
#
V
#
V
V
V
V
V
V
V
V
#
V
3
V
V
V
0
3
$3m
0
3
$3n
00$3o
00$3j
3
$3l
$
3
$3f
$3#
$$33
$#
3
$3k
33
$p
$$$m
3$n
k$o
−
=
=
−=
=
=
=
=
=
=
−
=
=
=
=
−
αα
α
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
0$0
0$0
$
$
$$
$#
3
$$$
#
V
V
#
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
#
V
V
V3
V
u
u
u
u
u
u
uuu
uuu
u
u
u
au
u
u
uee
uaaa
u
u
u
v
v
v
uxu
a
uu
uu
−
=
=
−=
=
=
=
=
=
=
−
=
=
−
αα
α
dcx
bax
y
+
+
=
$3p
ta coù
#
V
76 dcx
bcad
y
+
−
=
##
#
#
33
#
3
$#k
cxbxa
cxbxa
y
++
++
=
ta coù
( )
#
##
#
#
##
33
##
33
#
##
33
V
#
cxbxa
cb
cb
x
ca
ca
x
ba
ba
y
++
++
=
1.Hàm số bậc 3 : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d ( a ≠ 0 )
+ TX : D = R
+ Đạo hàm: y
/
= 3ax
2
+ 2bx + c với ∆
/
= b
2
− 3ac
∆
/
≤ 0 ∆
/
> 0
y
/
cùng dấu với hệ số a
•KL: hàm số tăng trên?
(giảm trên?)
y
/
= 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
•KL: hàm số tăng? Giảm?
•Hàm số không có cực trò • Cực tri q cực đại? Cực tiểu?
+ Giới hạn: •
76
#f
dcxbxax
x
+++
+∞→
=
<∞−
>+∞
7k6
7k6
a
a
•
76
#f
dcxbxax
x
+++
−∞→
=
<∞+
>−∞
7k6
7k6
a
a
+ Bảng biến thiên:
x −
∞
+
∞
x −
∞
x
1
x
2
+
∞
y
/
+ y
/
+ 0 − 0 +
y +
∞
-
∞
y CĐ +
∞
-
∞
CT
x −
∞
+
∞
x −
∞
x
1
x
2
+
∞
y
/
−
y
/
− 0 + 0 −
y +
∞
−
∞
y +
∞
CĐ
CT −
∞
Chú ý : dù y
/
= 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng
+ Vẽ đồ thò : • xác đinh Cực trò ?
• ; điểm đặc biệt
a>0 ; có 2 CT a<0; có 2 CT a>0,không CT a<0,không CT
2 Hàm trùng phương y = ax
4
+ bx
2
+ c ( a ≠ 0 )
+ TX : D = R
+ Đạo hàm: y
/
= 4ax
3
+ 2b.x =2x.(2a x
2
+ b)
a,b cùng dấu a, b trái dấu
y
/
= 0 ⇔ x = 0
•KL: trng? GiHm
y
/
= 0 ⇔ 2x (2ax
2
+ b) = 0 ⇔ x= 0; x
1,2
=±
a
b
#
−
•KL: trng? GiHm?
•Giá trò cực trò : y(0) = c
có một cực trò
• Giá trò cực trò: y(0)= c ; y(±
a
b
#
−
) =−
al
∆
a > 0
a < 0
Điểm uốnU6−
a
b
f
Z:6−
a
b
f
77
Có 3 cực trò
+ Giới hạn :
76
#l
cbxax
x
++
±∞→
=
<∞−
>+∞
7k6
7k6
a
a
+ Bảng biến thiên :
x −
∞
0 +
∞
x −
∞
x
1
0 x
2
+
∞
y
/
− 0 + y
/
− 0 + 0 − 0 +
y
+
∞
+
∞
y +
∞
CĐ +
∞
CT CT
x −
∞
0 +
∞
x −
∞
x
1
0 x
2
+
∞
y
/
+ 0 − y
/
+ 0 − 0 + 0 −
y
−
∞
−
∞
y
C C
-
∞
CT -
∞
+ Vẽ đồ thò : • cực đại , cực tiểu ; • y = 0 −> x= ? giải pt trùng phương
3.Hàm phân thức : y =
dcx
bax
+
+
( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )
+ TXĐ : D = R\
−
c
d
+ Đạo hàm : y
/
=
#
76 dcx
bcad
+
−
ad−bc < 0 ad−bc > 0
y
/
< 0 ∀ x ∈D y
/
> 0 ∀ x ∈D
Hàm số không có cực trò
Hàm số nghòch biến trên D Hàm số đồng biến trên D
+ Tiệm cận: • x =
c
d
−
là tiệm cận đứng vì
d
x
c
ax b
cx d
±
→ −
÷
+
+
= ∞
• y =
c
a
là tiệm cận ngang vì
x
ax b
cx d
→±∞
+
+
=
c
a
+Bảng biến thiên :
x −
∞
−d/c +
∞
x −
∞
−d/c +
∞
sk
Ksk
tk
Ktk
tk
Ksk
sk
Ktk
CĐ
a < 0
a > 0
",
y
/
− || −
y
/
+ || +
y a/c ||+
∞
−
∞
a/c
y +
∞
|| a/c
a/c −
∞
+ Vẽ đồ thò : − Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt
− Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng nhánh đó qua giao
điểm hai tiệm cận .
4. Hàm hữu tỉ : 2/1 y =
fex
cbxax
2
+
++
(đk : e ≠ 0 ; tử không chia hết cho mẫu )
+ TXĐ: D = R\
−
e
f
+ Đạo hàm : y
/
=
#
#
7$6
76$#$
fxe
cebfxafxae
+
−++
có ∆
/
=(af)
2
−(bf−c e).ae
∆
/
< 0 ∆
/
> 0
y
/
cùng dấu với ae y
/
= 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
Hàm số không có cực trò
• Giá trò cực trò tính theo CT : y =
e
bax
+
#
+ Tiệm cận : • x = −
e
f
là tiệm cận đứng
vì
76 xf
e
f
x
−→
= ∞
• Viết lại hàm số y = A x + B + ε(x);
7X676W BAxxf
x
+−
∞→
=
(x)
ε
∞→
x
=0 => y =
e
a
x + (
e
b
−
#
e
af
) là t/c xiên
+ Bảng biến thiên :
x −
∞
−f/e +
∞
x −
∞
x
1
−f/e x
2
+
∞
y
/
+ || + y
/
+ 0 − || − 0 +
y
+
∞
|| +
∞
−
∞
−
∞
y CĐ ||+
∞
+
∞
−
∞
−
∞
CT
x −
∞
−f/e +
∞
x
−
∞
x
1
−f/e x
2
+
∞
y
/
− || −
y
/
− 0 + || + 0 −
;9−V
9V
;9−V
9V
a.e > 0
a.e < 0
y +
∞
||+
∞
−
∞
−
∞
y
+
∞
+
∞
|| CĐ
CT −
∞
−
∞
+ Vẽ đồ thò : ( như hàm phân thức )
6KIKHeeH0%0(7
Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến :
u Cầu Viết PTTT của (C): y=f(x) biết
3$ Tiếp tuyến tại M(x
0
; f(x
0
))
• TT có phương trình là : y - f(x
0
)= f
/
(x
0
)(x− x
0
)
• Từ x
0
tính f(x
0
) ; Đạo hàm : y
/
= f
/
(x) => f
/
(x
0
) = ?
• P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f
/
(x
0
)(x− x
0
) + f(x
0
)
2. Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x
1
; y
1
) của đồ thò h/s y =f(x)
• Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A
Pt đường thẳng (d) là : y = k(x − x
1
) + y
1
• Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thò (C) là
hệ phương trình :
637
= − +
=
f(x) k(x x ) y
1 1
/
f (x) k (2)
có nghiệm
• Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận
3. Tiếp tuyến có hệ số góc k :
Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a
tiếp tuyến ⊥ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = −
a
1
• Giả sử M(x
0
; f(x
0
)) là tiPp điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f
/
(x
0
).
• Giải phương trình f
/
(x
0
) = k => x
0
= ? −> f(x
0
) = ?
• Phương trình tiếp tuyến y = k (x − x
0
) + f(x
0
)
Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k
1
.k
2
= −1
+ Hai đường thẳng song song nhau : k
1
= k
2
Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò :
Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 .
• Biến đổi phương trình F(x; m) = 0 về dạng f(x) = g(x) Trong đó đồ thò hàm số 9:6;7uA
96;7345]00v;
"b8w\eI1C/96;7VV45](/Y>>32(/7
• @AC/896;7; đồ thò (C): y =f(x)
• D.a C th/ xét sự tương giao của đồ thò (C) với đồ thò y = g(x)
Bài toán 4: xét tính đơn điệu
Phương pháp xác đònh khoảng tăng, giảm hàm số :
+ MX: D= ?
+ Đạo hàm : y
/
= ? ..
cho y
/
= 0 ( nếu có ) xét dấu y
/
+ BXD (sxp% nghim c+a PT y
/
= k%/e;%/+0(F%0&Hr')
đứng
Xiên
Xiên
Xiên
Xiên
đứng
đứng
* y
/
> 0 thì hàm số tăng ; y
/
< 0 thì hàm số giảm
+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghòch biến trên khoảng ...
Đònh lý 2 (dùng để1%/78
a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f
/
(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b)
b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f
/
(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b).
Bài tốn 5: Cực trị hàm số
• Dấu hiệu I :
+ MX D=?
+ Đạo hàm : y
/
= ? ..
cho y
/
= 0 ( nếu có ) xét dấu y
/
y==,860x&%+-,
V
9k%/e;%/+0(F%0&Hr'7
y,
CĐ
Z
",
ZeP^./z
Chú ý:
37 P0(r6H7M6ZK71e./M6ZK7$
#7 g(./+0(KR0(I+&4I1
V
9k$
f7 ;
k
./+0(
V
6 7 k
k
V
6 7
=
y x
y x
• Dấu hiệu II:
+ MX
+ Đạo hàm : y
/
= ? .. y
//
= ? ..
cho y
/
= 0 ( nếu có ) => x
1
, x
2
….. .
+ Tính y
//
(x
1
); y
//
(x
2
)…….
Nếu y
//
(x
0
) > 0 thì hàm số đạt CT tại x
0
, y
CT
= ?
Nếu y
//
(x
0
) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x
0
, y
CĐ
= ?
• Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x
o
:
y;
2./
V
k
VV
k
6 7 k
6 7 k
f x
f x
=
<=>
≠
+ ;
2.Qt9s
V
k
VV
k
6 7 k
6 7 k
f x
f x
=
>
+ ;
2.2t9s
V
k
VV
k
6 7 k
6 7 k
f x
f x
=
<
• Hàm số đạt cực trò bằng y
0
tại x
0
Hàm số đạt cực trò bằng y
0
tại x
0
khi
≠
=
=
k76
76
k76
k
VV
kk
k
V
xf
yxf
xf
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y
/
khó xét dấu (nh44B%<D<<EF<[)
* P9:6;7\145]>%2./8
9&'4+&{&:6;7:
V
6;7$
Dạng 2: Cực trò của hàm hữu tỉ :
Cho h/s y =
u(x) ; v(x) là các đa thức có MXĐ: D
OT>;
k
Và y
/
=
#
′ ′
−
=
6;7
#
dấu của y
/
là dấu của g(x)
Nếu h/s đạt cực trò tại x
0
thì y
/
(x
0
)= 0 => g(x
0
) = 0 <=> u
/
v−v
/
u = 0
=>
′
=
′
. Do đó giá trò cực trò y(x
0
) =
6; 7
k
6; 7
k
′
′
Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
! 20(
( )
y f x=
#./
( )
k
| k M
k
a
f x c
≠
⇔ = ⇔
∆ >
! 20(
( )
y f x=
./R}#&(
$ k
CD CT
y y⇔ <
! 20(
( )
y f x=
./R}#&(
$ k
CD CT
x x⇔ <
! 20(
( )
y f x=
./RM
k
$ k
CD CT
CD CT
y y
y y
+ >
⇔
>
! 20(
( )
y f x=
./R4
k
$ k
CD CT
CD CT
y y
y y
+ <
⇔
<
! 20(
( )
y f x=
./P&;
$ k
CD CT
y y⇔ =
Bài tốn 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
1. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s y = f(x) trên [a;b]:
• ;c0(9:6;79[MWZKX
• Đạo hàm : y
/
= ? ..
cho y
/
= 0 ( nếu có ) _ x
1
, x
2
….. . ~*%WZKX
• Tính f(x
1
) ; f(x
2
) ………. So sánh → KL
f(a) ; f(b)
• KPt lu^n:
;
WZKX
=
?
WZKX
=
?
2. P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MX Đ :
• Miền đang xét (a;b) hoặc TX
• Đạo hàm : y
/
= ? ..
cho y
/
= 0 ( nếu có ) xét dấu y
/
• L^p BBT:
• TF BBT kPt lu^n
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trò CT
WZKX
=
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trò CĐ
;
WZKX
=
y
CĐ
•P0(r6H7M6ZK71e./MeH6ZK7$
Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TX của h/s đó :
• nếu TX là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1
• nếu TX là một khoảng thì dùng cách 2
• e8Y€&96;7=PK%1G,•<+0(9:6;7MeH
K%1G,•<+0(967M3Qe%
Bài tốn 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).
1. Cho hai đồ thò (C
1
) : y = f(x) ; (C
2
) : y = g(x)
Hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
) nếu có
là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)
• pt(1) vô nghiệm <=> (C
1
) và (C
2
) không có điểm chung
• pt(1) có n nghiệm <=> (C
1
) và (C
2
) có n điểm chung
* S( nghim c+a (170(2+45.
2. Điều kiện tiếp xúc : Đồ thò (C
1
) tiếp xúc (C
2
) <=> hệ pt
: 6;7 6;7
: 6;7 6;7
=
′ ′
=
có nghiệm
Bài tốn 8: Cách xác đònh tiệm cận :
• Tiệm cận đứng :
: 6;7
; ;
k
= ±∞
±
→
=> x = x
0
là tiệm cận đứng
Chú ý : tìm x
0
là những điểm hàm số không xác đònh
• Tiệm cận ngang :
: 6;7
k
;
=
→±∞
=> y = y
0
là tiệm cận ngang
Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử ≤ bậc mẫu thì có
tiệm cận ngang
• Tiệm cận xiên (KIKHe&'78
Cách 1 : + viết hàm số dưới dạng : f(x) = ax + b + ε (x)
x→±∞
[f(x) –(ax + b)] =
6;7
;
ε
→±∞
= 0 ⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên
Cách 2: ta tìm hai hệ số a và b ;
: 6;7
;
;
=
→±∞
;
[ ]
K : 6;7 ;
;
= −
→±∞
⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên
Bài tốn 9: Ứng dụng của tích phân :,1&]2+^2_;0
K31&]>>v;Yv
3 #
3 #
3 #
K
"
# #
6 76 7
6 7
< 6 K7
g
C
b
Ox C C
a
C C
H
x a x b
y dx
V y y dx
π
= = <
= −
= −
∫
∫
"
3
#
3 #
3 #
# #
6 76 7
6 7
< 6 7
g ;
C
d
Oy C C
c
C C
H
y c y d d
x dy
V x x dy
π
= = <
= −
= −
∫
∫
Bài tốn 10: Tìm điểm cố định của 1 họ đường cong (C
m
): y=f(x,m)
• =PO-,9:6;<7-,c€
• ,Q2'1-,CTH%0(KRk
• GHeP^
[[[[[[[[
Bài tốn 11:Bài tốn tìm quỷ tích của 1 họ đường cong (C
m
): y=f(x,m)
• ,1e+0(2>?CQ
• ,1Q+2'1>?
• JS1\^&FK2\QM
• ,1Q>?
• JP^
Bài toỏn 12:Các dạng đồ thị có chứa giá trị tuyệt đối thường gặp:
a) Dạng đồ thị (C
1
) của hàm số: y =
( )
xf
,89
( )
xf
9
( ) ( )
( ) ( )
<
≥
0xf nÕuxf-
0xf nÕuxf
•@AC/6"789:6;7
•C/6"
3
7C#&'8
°"%&'C/6"7R&M6:6;7≥k7
°-'(;\+C/6"7R&4>v;$
b) Dạng đồ thị (C
2
) của hàm số: y =
( )
xf
,9
( )
xf
9
( )
( )
<
≥
0 x nÕux-f
0x nÕuxf
•@AC/6"789:6;7
•C/6"
#
7C#&'8
°"%&'C/6"7RKM&H6&'C/6"7\;sk7
°-'(;\+&'C/Mv$
c) Dạng đồ thị (C
3
) của hàm số:
( )
xfy =
,8
( )
xfy =
⇔
( )
( )
±=
≥
xfy
xf k
6N
( )
xfy =
4B/+c;7
•@AC/6"7+9:6;7
•C/6"
f
7C&'8
°-'C/6"7R&M$
°-'(;\+&'C/M>v;$
d) Dạng đồ thị của hàm số: y =
( )
( )
xg
xf
,89
( )
( )
xg
xf
9
( )
( )
( )
( )
( )
( )
<
≥
0xf nÕu
xf
-
0xf nÕu
xg
xg
xf
•@AC/6"7+0(89
( )
( )
xg
xf
•C/6"
l
7C&'8
°-'C/+6"7\:6;7≥k
°-'C/+6"7\:6;7tk>$
e) Dạng đồ thị (C
5
) của hàm số: y =
( )
( )
xg
xf
•"%K44I.4&'7
•"b86;7≠k$
f) Dạng đồ thị (C
6
) của đồ thị hàm số: y =
( ) ( )
xgxf +
,89
( ) ( )
xgxf +
9
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
<+
≥+
0xf u nÕxgxf-
0xf u nÕxgxf
•C/6"
o
7C&'8
°-'C/+0(89:6;7y6;7\:6;7≥k
°-'C/+0(89!:6;7y6;7\:6;7tk
•h8
@AC/0(89
( ) ( ) ( ) ( )
xgxfxfxf
k
++++ $$$
#3
°,AC/M%eHK2\T%/(eOT$
g) Dạng đồ thị (C
7
) của hàm số: y =
( )
xf
•,AC/6"789:6;7
•gAC/6"
#
7+0(89:6
x
7
•,P&.%AC/6"
3
7+0(89
( )
xf
$
,Q.'%K4408
9:6;7⇒9:6
x
7⇒9
( )
xf
[[[[[[[[
PHầN 2: HÀM Số MŨ VÀ LOGARIT
Bài tốn 1:Dùng cơng thức tính các biểu thức có chứa hàm số mũ hoặc logarit
a
−
n
=
n
a
1
; a
0
= 1 0 ;
=
( m; n nguyên dương , n > 1)
• Các quy tắc:
a
x
.a
y
= a
x+y
(a.b)
x
=a
x
.b
x
;
;
−
=
;
;
;
K K
=
÷
( )
( )
;
;$
;
= =
• Hàm số mũ : y =
;
với a > 0 ; a ≠ 1
TX : D = R MGT : (0; +∞ )
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x
1
> x
2
⇔
1
x
a
>
2
x
a
+ 0 < a < 1 ; h/s nghòch biến : x
1
> x
2
⇔
1
x
a
<
2
x
a
* Hàm số logarit: α = log
a
N ⇔ a
α
= N log
a
x = b ⇔ x= a
b
• Đặc biệt :
x
a
a
log
= x ; log
a
x
a
= x ; log
a
1 = 0
• Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a ≠ 1 ta có:
log
a
(B.C) = log
a
B + log
a
C
log
a
=
"
÷
= log
a
B − log
a
Clog
α
a
=
β
=
β
α
log
a
B
• Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c ≠ 1 ta có :
log
c
a.log
a
b =
b ⇔
K
K
=
0 < a, b ≠ 1 : log
a
b =
3
K
Chú ý : log
10
x = lg x ; log
e
x = ln x
• Hàm số Logarit: y = log
a
x với a > 0 ; a ≠ 1
TX : D = (0 ; +∞ ) MGT : R
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x
1
> x
2
> 0 ⇔ log
a
x
1
> log
a
x
2
+ 0 < a < 1;h/s ngh biến: x
1
> x
2
> 0 ⇔ log
a
x
1
<log
a
x
2
Bài tốn 2: Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logrit
6c
;
7
V
9c
;
−s6c
7
V
9
V
$c
6
;
7
V
9
;
$ −s6
7
V
9
V
$
$
6;7
V
9
3
;
;∈6kZy∞7 −s67
V
9
′
6
;7
V
9
3
;
−s6
7
V
9
$
′
Bài tốn 3: Giải phương trình mũ8o%
1. S ^56_#
; ; ;
9Kt9s;9 6 9Kt9s 9 t9s;9 7
a
b
b b
W . S ^56 88 +#`,
: 6;7 6;7
: 6;7 6;7
k 3
=
= <=>
< ≠
a . S ^56 88 +#`, $b86
α.
#: 6;7
+β.
: 6;7
+ γ = 0 ; Đặt : t =
: 6;7
Đk t > 0
α.
K : 6;7
+
+β.
K : 6;7
−
+ γ = 0 ; Đặt : t =
: 6;7
Đk t > 0
α.
: 6;7
+β.
: 6;7
K
+ γ = 0 và a.b = 1; Đặt: t =
: 6;7
;
3
=
: 6;7
K
α.
#: 6;7
+β.
( )
: 6;7
$K + γ.
#: 6;7
K
= 0 ; Đặt t =
: 6;7
K
÷
Q . S S && %#P8
c . S S I+0(D 6451-,3T7
d . S S &&C/
Chú ý:NQ
: 6;7
6;7
= 1 ⇔ [u(x) −1].f(x) = 0 ( trong đó u(x) f(x) có chứa biến )
Bài tốn 4: Giải phương trình logarit8o%
1. S ^56_#
:6;7 k
:6;79Kt9s k 3
:6;79
b
a
>
< ≠
W . S ^56 88 +#`,
: 6;7 k66;7 k7
k 3
: 6;7 6;7
:6;7 6;7
> >
= <=> < ≠
=
a . S ^56 88 +#`, $b86
Q . S S && D%#P8
c . S S I+0( 6451-,3T7
d . S S &&C/
Bài toán 5: Giải bất phương trình mũ và logarit
Về cơ bản thì phương trình mũ và logarit có các cách gải nào thì bất phương trình mũ và logarit có các cách
giải đó
,M,ta c'bQcô bH08
• Bất phương trình mũ dạng:
: 6;7 6;7
6;7 6;7≥
: 6;7 6;7
, 38 kt6;7t3Z6;7 6;7 : 6;7 6;7
: 6;7 6;7
, 38 6;7s3Z6;7 6;7 : 6;7 6;7
kt6
: 6;7 6;7
,‚ 8 6;7 6;7
≥ <=> ≤
≥ <=> ≥
≥ <=>
;7 3
W6;7!3XW: 6;7 6;7X k
≠
− ≥
• Bất phương trình logarit dạng:
:6;7 6;7≥
6;7 6;7
6;7 6;7
6;7
, 38 kt6;7t3Z : 6;7 6;7
, 38 6;7s3Z : 6;7 6;7
,‚ 8
:6;7 6;7
:6;7 6;7
:6
<=> ≤
<=> ≥
≥
≥
6;7
kt6;7 3
:6;7 k
6;7 k
W6;7!3XW: 6;7 6;7X k
;7 6;7
≠
>
<=>
>
− ≥
≥
•4b8
•745B&€4I0(1M0S\02K%Ma
I$
3$
: 6;7
s
6;7
6−376:6;7−6;77sk$
#$
a
:6;7s
a
6;76−376:6;7−6;77sk$
•7JHK%KT&4I1DY1&Hx^)TI+
0(M$
•7x)&{&TB&<T+}^&B&0($
Bài toán 5: Giải hệ phương trình mũ và logarit6JKKH7
,45HKR--P
PHầN 3: NGUYÊN HÀM.
Bài toán 1:Tìm nguyên hàm cơ bản(dựa vào bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản).
; ; "= +
∫
; $;
α
=
∫
3
;
α+
α + 1
y"6α≠!37
;
;
∫
9;y"6;≠k7
;
c $;
∫
9c
;
y"
;
$;
∫
9
;
y"
3
6; K7
6; K7 ; "
6 37
α+
+
α
+ = +
∫
α +
6α≠!37
;
; K
∫
+
9
3
;yKy"
3
; K
c $;
+
=
∫
c
;yK
y"
;
$;
α +β
∫
9
; K
3
"
α +
+
α
"0;$;
∫
9g;y"
g;$;
∫
9−"0;y"
;
#
"0 ;
∫
9
#
6 ; 37$;+
∫
9;y"
;
#
g ;
∫
9
#
6" ; 37$;
+
∫
9−";y"
"06; K7$;+
∫
9
3
g6;yK7y"
g6; K7$;+
∫ 9−
3
"06;yK7y"
;
#
"0 6; K7
∫
+
9
3
6;yK7y"
;
#
g 6; K7
∫
+
9−
3
"6;yK7y"
Bài toán 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
NQ38,U9
:W6;7X$ |6;7;
∫
KR%Y96;7
• Y96;7
|6;7;
⇒ =
• U9
:W6;7X$ |6;7; : 67=
∫ ∫
NQ#8,U9
: 6;7;
∫
Pe4BcQ34&\0(%
K2\012OKP408
3
# #
; Z
# #
;
−
−
1Y;90
3
# #
; Z
# #
;
+
+
1Y;9$
" ƒ„8
3$
∫
767$6
V76
dxxuef
xu
Y
76xut
=
#$
∫
3
7$6 dx
x
xf
Y
76xt
=
f$
∫
+
7$6 dxbaxf
n
Y
n
baxt
+=
l$
∫
dxxxf 70<60
…P:†(0;8Y90;
…P:†(0;8Y90;
…P:‡(0;<0;\QK^8
#
#03
0<
#
#03
0
##
x
x
x
x
−
=
+
=
…P:~\0;Y0;Y
#
x
t
=
j$
∫
−
7$6
##
dxxaf
Y
tax 0
=
o$
∫
+
7$6
##
dxxaf
Y
tax
=
n$
∫
−
7$6
##
dxaxf
Y
t
a
x
0
=
m$
∫
±
7$
3
6
##
dx
ax
f
Y
##
axxt
±+=
Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
P6;7<6;70(QMMU
6;7$|6;7; 6;7$6;7 6;7$ |6;7;
= −
∫ ∫
= −
∫ ∫
69ˆ6;7;<9ˆ6;7;7
89e
f
#
f
#
g
]f5
h
8#
f
i
"#
g
5
‰Da
̣
ng 1
0
6 7
∫
ax
f x cosax dx
ax
e
:6;7\8
Y
6 7 |6 7
0 0
0
= =
⇒
= =
∫
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
ax ax
e e
g\
= −
∫ ∫
2
‰Da
̣
ng 2:
6 7 6 7+
∫
f x ax b dx
r
q
$
6 7
6 7
6 7
= + =
⇒
+
=
=
∫
a dx
u ax b du
ax b
dv f x dx
v f x dx
g\
= −
∫ ∫
2
‰Da
̣
ng 3:
0
$
∫
ax
ax
e dx
cosax
,.F&''9c
;
Bài toán 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).
NQ38
06;yK7$06;y7;
∫
Z
06;yK7$06;y7;
∫
06;yK7$06;y7;
∫
$
•,.\KPOOC&$
NQ#8
0 ;$0 ;;
∫
6<%0(M4I7
•7P†<‡1Y90;$
•7P†<‡1Y90;$
•7P<}‡18N\0P&\QK^2$6P
#0(Y9k0(_Q0(‡1~\QK^7$
•7<∈ŠPy0(M‡12
Y9;Y9;$
NQf8
‹60;<0;7;
∫
‹0()?$6Q*7$
•7P‹60;<0;7†(0;\‹6−0;<0;79−‹60;<0;71Y90;$
•7P‹60;<0;7†(0;\‹60;<−0;79−‹60;<0;71Y90;$
•7P‹60;<0;7‡(0;0;\
‹6−0;<−0;79‹60;<0;71Y9;$
Bài toán 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ
ŒM'
: 6;7
;
6;7
∫
:6;7<6;7%\c;$
Trường hợp 18=^+:6;7≥=^+6;71.&{&\:6;76;7iP8
: 6;7 6;7
6;7
6;7 6;7
= +
$,6;764I+&{&7\_6;76&'4+&{&7
\K^•IK^+6;7$
M
: 6;7 6;7
6 7; 6;7; ;
6;7 6;7
= +
∫ ∫ ∫
$4^
6;7;
∫
4BKRKHM1^~_
&H
6;7
;
6;7
∫
c45B&0$
,45B
6;7
;
6;7
∫
K^6;7•IK^6;7$
•7-i0(6;7+%/\$
•7N%CT\408xQ8
6;7 6;7 Ž = "
# #
6;7 6; ; 7 6; ; 7
6; 7$6; ; 7 6; ; 7
3 #
3 # #
= = + +
− −
− α − −
6•76;
3
Z;
#
+6;7$
•7>CK•i4BK2\6••7C0%%/+;K2\6••721%
0(Ž<=<"645M;KR%+6;721%0(4Ba7$
•70K2\4T&2$
•4b8d{1, -,45Y&&H6;7&}+%/\$
Bài toán 6: Tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỷ:&4I&%&OKP0($
-I&%&8
• --OKPQ3
∫
+
7$6 dxbaxf
n
Y
n
baxt
+=
• --OKMQ#8Pe4BcQ34&\0(%
K2\012OKP408
o
∫
−
7$6
##
dxxaf
Y
tax 0
=
o
∫
+
7$6
##
dxxaf
Y
tax
=
o
∫
−
7$6
##
dxaxf
Y
t
a
x
0
=
o
∫
±
7$
3
6
##
dx
ax
f
Y
##
axxt
±+=
PHầN 4: TÍCH PHÂN.
6 7$ 6 7 6 7 6 7
b
a
b
f x dx F x F b F a
a
= = −
∫
=%38,&KR%0STMIKH$
=%#8,&KR&4I&%&OKP0($
NQ38,U9
K
V
:W6;7X ;
∫
KR%Y96;7
• Y96;7
|6;7;
⇒ =
• O^;99s967
;9K9s96K7
• U9
K
V
:W6;7X ;
∫
9
6K7
67
: 67
∫
NQ#8,U9
: 6;7;
β
∫
α
Pe4BcQ34&\0(%
K2\012OKP408
3
# #
; Z
# #
;
−
−
1Y;90
3
# #
; Z
# #
;
+
+
1Y;9$
=%f8,1MKR&4I&%&F&'8
P96;7<96;70(Q
MMWZKX1U9
K K
K
$
= −
∫ ∫
89e
f
#
f
#
g
]f5
h
8#
f
i
"#
g
5
‰Da
̣
ng 1
0
6 7
∫
ax
f x cosax dx
ax
e
β
α
:6;7\8Y
6 7 |6 7
0 0
0
= =
⇒
= =
∫
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
ax ax
e e
g\
= −
∫ ∫
2
‰Da
̣
ng 2:
6 7 6 7+
∫
f x ax b dx
β
α
r
q
$
6 7
6 7
6 7
= + =
⇒
+
=
=
∫
a dx
u ax b du
ax b
dv f x dx
v f x dx
g\
= −
∫ ∫
2
‰Da
̣
ng 3:
0
$
∫
ax
ax
e dx
cosax
β
α
,.F&''9c
;
=%l8,&+%0(4B%60(QIKH7$
NQ38
06;yK706;y7;
β
∫
α
Z
06;yK7$06;y7;
β
∫
α
06;yK7$06;y7;
β
∫
α
$
•,.\KPOOC&$
NQ#8
0 ;$0 ;$;
β
α
∫
6<%0(M4I7
•7P†<‡1Y90;$
•7P†<‡1Y90;$
•7P<}‡18N\0P&\QK^2$6P
#0(Y9k0(_Q0(‡1~\QK^7$
•7<∈ŠPy0(M‡12
Y9;Y9;$
NQf8
‹60;<0;7;
β
∫
α
‹0()?$6Q*7$
•7P‹60;<0;7†(0;\‹6−0;<0;79−‹60;<0;71
Y90;$
•7P‹60;<0;7†(0;\‹60;<−0;79−‹60;<0;7
1Y90;$
•7P‹60;<0;7‡(0;0;\
‹6−0;<−0;79‹60;<0;71Y9;$
=%j8,&+%0()?
ŒM'
: 6;7
;
6;7
β
∫
α
:6;7<6;7%\c;$
Trường hợp 18=^+:6;7≥=^+6;71.&{&\:6;76;7iP8
: 6;7 6;7
6;7
6;7 6;7
= +
$,6;764I+&{&7\_6;76&'4+&{&7
\K^•IK^+6;7$
M
: 6;7 6;7
; 6;7; ;
6;7 6;7
β β β
= +
∫ ∫ ∫
α α α
$
4^
6;7;
β
∫
α
4BKRKHM1^~_&H
6;7
;
6;7
β
∫
α
c45B&0$
,45B
6;7
;
6;7
β
∫
α
K^6;7•IK^6;7$
•7-i0(6;7+%/\$
•7N%CT\408xQ8
# #
3 #
3 # #
6;7 6;7 Ž = "
6;7 6; ; 7 6; ; 7
6; 7$6; ; 7 6; ; 7
= = + +
− −
− α − −
6•76;
3
Z;
#
+6;7$
•7>CK•i4BK2\6••7C0%%/+;K2\6••721%
0(Ž<=<"645M;KR%+6;721%0(4Ba7$
•70K2\4T&2$
•4b8d{1, -,45Y&&H6;7&}+%/\$
Bài tốn 6: Tìm tích phân của các hàm số vơ tỷ:&4I&%&OKP0($
-I&%&8
• --OKPQ3
∫
+
7$6 dxbaxf
n
Y
n
baxt
+=
• --OKMQ#8Pe4BcQ34&\0(%
K2\012OKP408
o
∫
−
7$6
##
dxxaf
Y
tax 0
=
o
∫
+
7$6
##
dxxaf
Y
tax
=
o
∫
−
7$6
##
dxaxf
Y
t
a
x
0
=
o
∫
±
7$
3
6
##
dx
ax
f
Y
##
axxt
±+=
Bài tốn 7: Tính tích phân chứa dấu giá trị tun đối. ,
K
: 6;7 ;
∫
y7,1+:6;79k$
P:6;79kM6ZK7Y4eWZKXY
;9Y;9K%_QeWZKX1
K
: 6;7 ;
∫
9
K
: 6;7;
∫
P:6;79k;9∈6ZK71
K
: 6;7 ;
∫
9
K
: 6;7; : 6;7;
+
∫ ∫
•"b37P}I3M6ZK71i\Mc45B&
4P$6%B1e';{T:6;77$
#7w\,, -,e'xKT]\&$
PHầN 5: DIệN TÍCH HÌNH PHẳNG − THể TÍCH VậT THể TRỊN XOAY.
Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng
• Hình phẳng giới hạn bởi :
: 6;7
; Z ; K
=
= = =
hàm số liên tục trên [a;b]
trục hoành y 0;
Diện tích : S =
K
• : 6;7 • $;
∫
Chú ý : nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = 0
• Hình phẳng giới hạn bởi :
: 67
Z K
=
= = =
hàm số x liên tục trên [a;b]
trục hoành x 0;y
Diện tích : S =
K
• : 67 • $
∫
• Hình phẳng giới hạn bởi :
:6;7
6;7
; K
=
=
= =
hàm số liên tục trên [a;b]
hàm số liên tục trên [a;b]
x a;
Diện tích : S =
K
• : 6;7 6;7 • $;
−
∫
Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = g(x)
2) PK%>&\Q&12A12;%/1&]Y>O
Y+}1$
• Hình phẳng giới hạn bởi :
: 67
67
K
=
=
= =
hàm số x liên tục trên [a;b]
hàm số x liên tục trên [a;b]
a;y
Diện tích : S =
K
• : 67 67 • $
−
∫
Bài tốn 2:Tính thể tích vật thể tròn xoay :
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
K
;
K
;
9:6;
7
96
;7
:6;7
; Z; K
=
= = =
hàm số liên tục trên [a;b]
trục hoành y 0;
quay quanh trục Ox và f(x) ≥ 0 trên [a;b] thì V =
K
#
: 6;7 $;
π
∫
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
67
Z K
=
= = =
hàm số x liên tục trên [a;b]
trục hoành x 0;y
quay quanh trục Oy và g(y) ≥ 0 trên [a;b] thì V =
K
#
67 $
π
∫
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
:6;7Z 6;7
; Z ; K
= =
= =
hàm số liên tục trên [a;b]
quay quanh trục Ox thì V =
K
# #
: 6;7 6;7 $;
π −
∫
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
: 67Z; 67
Z K
= =
= =
hàm số x liên tục trên [a;b]
quay quanh trục Oy thì V =
K
# #
: 67 67 $
π −
∫
PHầN 6: Số PHứC
Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,số phức liên hợp,biểu diễn số phức,…
"0(&\yKy$
37yK9y9K9$#70(&\
# #
` K K= + = +
f70(&\MB&+`9yK
`
9−K$
•`y
`
9#Z`$
`
9
#
# #
` K= +
l76yK7y6y796y7y6Ky7
j76yK7−6y796−7y6K−7$
o776yK76y796−K7y6yK7
n7
3
` W6yK7y6!K7X
# #
K
K
+
= =
+
+
62.&{&8Si0(&\MB&
+0(&\i7
Bài tốn 2:Căn bậc 2 của số phức:
Định nghĩa căn bậc 2: `rK^#+•t9s`
#
9•
"b8
• rK^#+•960(.4I7`9
a±
• rK^#+•960(.7`9
i a±
• rK^#+•9k60(.4I7`9k
• rK^#+0(&\•9yK
-4I&%&8
o GH0S8`9;yZ;<0(.rK^#+0(&\•9yK
o ^&
( )
# #
#
# # #
` • ; K # t9s
#
x y a
x y xyi a bi
xy b
− =
= <=> + = + <=> − + = +
=
o GH1;ZJP^
Bài tốn 3: Giải phương trình bậc 2.
"&4I1;
#
yK;y9k$∆9K
#
−l$
P∆9k1&4I1&e{&
K
; ;
3 #
#
= = −
P∆sk1&4I18
K
;
#
− ± ∆
=
P∆tk1&4I18
K
;
#
− ± ∆
=
Bi toỏn 4:Cỏch tỡm dng lng giỏc ca 1 s phc: `9yKZ<K0(.
"%383$,18
# #
skr z a b= = +
#$,13c
0
0
0
b
r
a
co
r
=
=
f$,
\z = r(cos+isin)
"%#8=PO8`9yK96
a b
i
r r
+
79
6 0 $0 7r co i
+
CNG C :Dng lng giỏc ca s phc v ng dng (Khụng cú ban c bn )
"0(&\`9;yKZ<K$4BK2aK2h6ZK7Y&]&\
j"k-#8El:0(67+4B%'v;<(vh*
c+0(&\`$
Pc+`<1*c+`Qye#<e
J+`19`9
2 2
a b+
<sk$
90<K90$
,F0Q4B%+0(&\`960y07
NQ4B%+0((+0(&\`!`9!60y07
`9W06y7y6y7X$
g(&\MB&`+0(&\`Q4B%8
`9K960!07
`9W06!7y06!7X
"%&{&0(&\Q4B%8
J`
3
9
3
60
3
y0
3
7Z`
#
9
#
60
#
y0
#
718
`
3
$`
#
9
3
$
#
W06
3
y
#
7y06
3
y
#
7
1 1
2 2
z r
z r
=
W06
3
!
#
7y06
3
!
#
7X
,F0Q4B%+0(&\`
!3
6/H+`78`
!3
9
7X06$7W06
33
+= i
rz
[ ]
70$6070$60
ninrir
n
n
+=+
[ ]
70$6070$60
nini
n
+=+
Cn bc hai ca s phc di dng lng giỏc:
g(&\`960y07rK^
( )
2 2
r cos sin
j j
+
!
( )
2 2
r cos sin
j j
+
`960y07rK^9
( ) ( )
2 2
r cos isin
j j
p p
ộ ự
ờ ỳ
+ + +
ờ ỳ
ở ỷ
<sk$
"rK^+0(&\`%/e%`
e
8
`
e
9
2 2
sin
n
k k
r cos i
n n n n
j p j p
ộ ự
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ
ữ ữ
+ + +
ỗ ỗ
ữ ữ
ờ ỳ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ
e9k<3<#[<!3$
h6`7
v;
=$ “ ”"$
Phần 1: Thể tích, diện tích của các khối hình
• Tính diện tích các mặt (là tam giác,tứ giác,hình tròn,...)
• Tính thể tích khối chóp @9
3
=
f
Z
• Tính thể tích khối hộp chữ nhật @9$K$
• Tính thể tích khối lăng trụ: @9=$
• Khối cầu:
o d%/K%eY'6g7QP&1&
N.+%%
,&\QKM<.45.ˆ6Y&.7
+QKM
J8*
|I d d= ∩
gU6g7QP&1&
,K%e6eH%FUP~+1&7
o ,Y'g9lπ
#
$
o 2e('@9
f
l
f
π
• Khối trụ:
o ,;>1g
;>
9#πZ
o &'1g
&
9#π6y7$
o 2e(@9π
#
• Khối nón:
o ,;>1g
;>
9πZ
o &'1g
&
9π6y7$
o 2e(e(@9
#
3
f
π
• "b8
o "%Q%800<&336YK%K%PP7
o J.P&\~0(2&H\6•^&~0(2>
+%CQ7
@8
Ta có: AH là đường cao chung của 2 hình chóp A.SMD và A. SBD. Nên ta có:
$ $
$ $
3
3
$
$ $
f
#
3 3
$ $ $
f #
SMD
S AMD A SMD SMD
S ABD A SBD SBD
SBD
S AH
SM SD SinS
V V S
SM
V V S SB
S AH SB SD SinS
= = = = =
@^8
$
$
$ $
$ $
S AMD
S ABD
V
SA SM SD
V SA SB SD
=
Phần 2: Phương pháp tọa độ trong khơng gian
→
= (x;y;z) ⇔
→
= x.
→
+ y.
•
→
+ z.
e
→
Tính chất : Cho
→
= (a
1
;a
2
; a
3
) ,
K
→
= (b
1
;b
2
; b
3
)
•
→
±
K
→
=(a
1
± b
1
; a
2
± b
2
; a
3
± b
3
)
• k.
→
= (ka
1
;ka
2
;ka
3
) k ∈ R
Tích vô hướng :
$ K
→ →
= a
1
.b
1
+ a
2
.b
2
+a
3
.b
3
=
→
.
K
→
Cos ϕ
Cos ϕ =
K K K
3 3 # # f f
# # # # # #
$ K K K
3 # f 3 # f
+ +
+ + + +
K
→ →
⊥
⇔ a
1
.b
1
+ a
2
.b
2
+ a
3
.b
3
= 0
→
cùng phương
K
→
;
→
≠
k
→
⇔
K
→
= k.
→
⇔ [
→
,
K
→
] =
k
→
Toạ độ điểm:
M = (x;y;z) ⇔
vh
→
= (x;y;z) ⇔
vh
→
= x.
→
+ y.
•
→
+ z.
e
→
Ž=
→
= ( x
B
− x
A
; y
B
−y
A
;z
B
−z
A
)
•
M chia đoạn AB theo tỉ số k
≠
1 (
hŽ
→
= k
h=
→
),1hQ:
h
h
Ž =
Ž =
h
Ž =
; e$;
;
3 e
e$
3 e
` e$`
`
3 e
−
=
−
−
=
−
−
=
−
•
M là trung điểm của AB thì I:
Ž
h
h
h
=
Ž =
Ž =
; ;
;
#
#
` `
`
#
+
=
+
=
+
=
•
G là trọng tâm tam giác ABC thì G:
G Ž = "
G Ž = "
G Ž = "
3
; 6; ; ; 7
f
3
6 7
f
3
` 6` ` ` 7
f
= + +
= + +
= + +
• Tích có hướng của 2 véctơ :
3 # f
3 # f
" 6 Z Z 7Z
6 Z Z 7
a a a a
b b b b
=
=
r
r
Khi đó [
→
,
K
→
] =
# f f 3
3 #
# f f 3 3 #
Z Z
K K K K K K
÷
÷
* [
→
,
K
→
] ⊥
→
; [
→
,
K
→
] ⊥
K
→
• Đk đồng phẳng của 3 véctơ :
→
,
K
→
,
→
đồng phẳng ⇔ [
→
,
K
→
].
→
= 0
• ĐK để 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( tạo thành tứ diện ) là: ba véc tơ
Ž=
→
,
Ž"
→
,
ŽN
→
không đồng
phẳng <=> [
Ž=
→
,
Ž"
→
].
ŽN
→
≠ 0
• ĐK để 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( e tạo thành tứ diện ) là:
6 7A mp BCD∉
• Diện tích tam giác ABC : S
ABC
=
#
3
# #
Ž= Ž" 6Ž=$Ž"7
#
→ →
−
HoYc S
ABC
=
2
1
.[
Ž=
→
,
Ž"
→
]
• Thể tích tứ diện ABCD : V
ABCD
=
3
o
[
Ž=
→
,
Ž"
→
].
ŽN
→
•
Thể tích hình hộp : V
ABCD.A'B'C 'D'
= [
Ž=
→
,
ŽN
→
].
ŽŽ
→
′
Bài tốn 1:Xác đònh điểm , tọa độ vectơ trong không gian , c/m tính chất hình học ...
Bài tốn 2: Tích vô hướng , tích có hướng , góc giữa hai véc tơ :
Bài tốn 3:Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,diện tích tam giác,thể tích khối
chóp,hộp:
Phần 3: Mặt cầu (S)
Bài tốn 1: xác định tâm và bán kính mặt cầu
Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) ; bk R là : (x −a)
2
+ (y − b)
2
+ (z−c )
2
= R
2
Phương trình tổng quát của mặt cầu ( S):
x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = 0 với A
2
+ B
2
+ C
2
−D > 0
có tâm I(−A ;−B;−C) ; bán kính R =
# # #
Ž = " N+ + −
Bài tốn 2: Viết phương trình mặt cầu
• Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và đi qua M
1
(x
1
;y
1
;z
1
)
+ Bán kính R = IM
1
=
# # #
6; 7 6 K7 6` 7
3 3 3
− + − + −
• Pt.mặt cầu (S) đường kính AB :
+ Tâm I là trung điểm AB => I(
; ;
=
Ž
#
+
;
=
Ž
#
−
;
` `
=
Ž
#
−
)
+ Bán kính R = IA
• Pt. mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D:
p/ pháp : Pt tổng quát mặt cầu (S)
x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2.Ax+ 2.By + 2Cz + D = 0 (1)
Thay lần lượt toạ độ 4 điểm vào (1) => giải hệ tìm hệ số A;B;C;D
• Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mặt phẳng (α) bán kính R = d(I; (α))
Bài tốn 3: Xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho (d) :
;!; ! `!`
a b c
= =
; mc(S): (x −a)
2
+ (y−b)
2
+(z−c)
2
= R
2
Tính d(I; (d)) = ?
Nếu:• d(I; d ) > R <=> (d) và (S) không có điểm chung ( rời nhau)
• d(I; α ) = R <=> (d) tiếp xúc với (S) ( d là tiếp tuyến) (d) ∩ (S) ={M
0
} ;
• d(I; α ) < R <=> (d) cắt mặt cầu (S) tQ#2&KŽ=
6"b8Ž=0A>UQ2+7
Bài tốn 4: Xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho (α) : A x + B y + Cz +D = 0 ; (S): (x −a)
2
+ (y−b)
2
+(z−c)
2
= R
2
Tính d(I; (α)) = ?
Nếu:• d(I; α ) > R <=> (α) và (S) không có điểm chung ( rời nhau)
• d(I; α ) = R <=> (α) tiếp xúc với (S) (
α
là mp tiếp diện) (α) ∩ (S) ={M
0
} ;
Cách viết mặt phẳng tiếp diện : (α) qua M
0
nhận
→
IM
0
làm VTPT
• d(I; α ) < R <=> α cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) có tâm H; bán kính r
* P.t đ.tròn(C ) A x + B y + Cz +D = 0
(x −a)
2
+ (y−b)
2
+ (z−c)
2
= R
2
+ Tâm H là hình chiếu của I lên mp (α)
+ bán kính r =
# #
‹ W Z 7X− α d(I
Cách xác đònh Hình chiếu H của tâm I lên mp(α) :
+ Lập pt đ.thẳng (d) qua I nhận
→
α
n
làmVTCP GiH0S(d)
; Ž
K =
` "
= +
= +
= +
+ Toạ độ điểm -,6C&&6α7pt đ.thẳng (d)7
+ GiH1=>x;y;z Suy ra toạ độ điểm H
Bài tốn 4: Cách viết mặt phẳng tiếp diệnQ2h
k
8
y7d%/K%e+Y'6g7
y7,
→
IM
0
y7hY&]P&6α7>h
k
nhận
→
IM
0
làm VTPT.
Bài tốn 5: Xác định tâm H và bán kính r của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu
(S) và mặt phẳng(α). /;+.#AG +.&?&Z]#3
+ bán kính r =
# #
‹ W Z 7X− α d(I
+Cách xác đònh H:
Lập pt đ. thẳng (d) qua I nhận
→
α
n
làmVTCP
GiH8(d)
; Ž
K =
` "
= +
= +
= +
thay vào pt mp(α) => giải tìm t = ? => toạ độ điểm H
KP^
Phần 4: Mặt phẳng, đường thẳng.
Bài tốn 1: Cáchviết phương trình mặt phẳng:
Cách 1:Viết dưới dạng cơ bản:
m/R3!"#[
/@
XA
Xl
3IN;R;
( )
< <n A B C=
r
IR;;n j/@o@
3pm/AoA
3p/lol
3qY
CHÚ Ý:
•6Ž="78y7
Ž= z Z Ž" z= =
uuur uuur
y7@,-,+6Ž="7
WŽ=<Ž"X=
r uuur uuur
9sPY&]>Ž@,-,
r
$
•&6<K78PVVK1@,-,
W <Ž=X=
r uur uuur
Ž∈Z=∈K$
PxK1
K
W < X=
r uur uur
•6ŽZ71@,-,
W <Ž=X=
r uur uuur
=∈$
•6α7VV6β71@,-,
α β
=
uur uur
•6α7⊥1@,-,
α
=
uur uur
•6α7cI~&4I
<K
r r
1
W<KX
α
=
uur r r
$
•6α7>#2Ž=C5\$]YVVY@,"-
r
1
W <Ž=X
α
=
uur uur uuur
6
uur
9
r
7
