thi liên thông information technology

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (108.37 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Tích phân

1.1

ðịnh nghĩa.

- Hàm F x( ) là nguyên hàm của hàm ( )f x : F x′( )= f x( )

- Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm ( )f x được gọi là tích phân bất định của ( )f x
và được kí hiệu là :

( ) ( )
f x dx=F x +C

∫

(trong đó C là hằng số)
Tính chất.

∫

dx= +x C

∫

( ( )f x +g x dx( )) =

∫

f x dx( ) +

∫

g x dx( )
3. k∈ℝ,

∫

k f x dx. ( ) =k.

∫

f x dx( )

2
9)

os
dx

tgx C

c x = +

∫

9) 10) 2 cot

sin
dx

gx C

x= − +

∫

11) ln

( )() )

dx x a

C

x a x b a b x b

−

= +

− − − −

∫

Ví dụ : Tính tích phân I (3x2 1 cos )x dx
x

∫

+ +

Bảng nguyên hàm cần nhớ

1)

∫

a dx

.

=

ax

+

C

, a

∈

ℝ

2)

,

1 x

x dx

C

α+

=

+

α ≠ −

α +

∫

3)

dx

ln

x

C

x

=

+

∫

;

4)

dx

2 x

C

x

=

+

∫

5)

∫

e dx

x

=

e

x

+

C

;

6)

ln

x

a

a dx

C

a

=

+

∫

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Giải.

(3 cos )
1

3 cos

3 ln sin
3

I x x dx

x

x dx dx xdx

x
x

x x C

= + +

= + + +

∫

Ví dụ 2 : Tính tích phân I lnx 1dx
x

+
=

∫

Giải.

lnx 1

I dx

x

+
=

∫

ðặt

ln 1

t x

dx
dt

x
dx x dt

= +

⇔ =

⇒ =

2
( . )

2
(ln 1)

2
t

I x dt

x
t

tdt C

x

C

= = +

= +

∫

1.2. Phương pháp ñổi biến

a) ðịnh lý

• Nếu

∫

f x dx

( )

=

F x

( )

+

C

thì:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Ví dụ 3 : Tính tích phân

∫

xlnxdx

Ví dụ 4 : Tính tích phân I =

∫

xe dxx
Giải.

x
I =

∫

xe dx
ðặt

ex x

x x

u x du dx

dv dx v e

I xe e dx

xe e C

= =

 

⇒

 

= =

 

= −

= − +

∫

1.4 Tích phân xác định.

1.3. Phương pháp từng phần

a) Công thức

( ) ( )

u x v x d x

′

=

u x v x

−

u x v x dx

′

∫

hay

∫

udv

=

uv

−

∫

vd u

.

Giải. ðặt

u x dx x

du v
dv xdx x

 =

 ⇒ = =

 =


1 1

2 2

I x x xdx

⇒ = −

∫

1 2 ln 1 2

2 x x 4 x C

= − + .

b) Các dạng thường gặp

• ðối với dạng tích phân

∫

P x e

( )

αx

dx

, ta ñặt

( ),

x

u

=

P x

dv

=

e

dx

.

• ðối với dạng tích phân

∫

P x

( ) ln

x dx

, ta ñặt

ln

,

( )

u

=

x dv

=

P x dx

.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Tính chất.

1.
b

a

dx= −a b

∫

2. ( ( ) ( )) ( ) ( )

b b b

a a a

f x +g x dx= f x dx+ g x dx

∫

3. , . ( ) . ( )

b b

a a

k∈ℝ

∫

k f x dx=k

∫

f x dx

2.2. Công thức Newton – Leibnitz

• Nếu

f x

( )

liên tục trên

[ ; ]

a b

và

F x

( )

là một nguyên hàm

tùy ý thì:

( )

( ).

b

b
a
a

f x dx

=

F x

=

F b

−

F a

</div>

thi liên thông information technology

<b>Tích phân </b>

<b>1.1</b>

<b>ðịnh nghĩa. </b>

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

<sub>∫</sub>

<b>Bảng nguyên hàm cần nhớ </b>

1)

∫

<i>a dx</i>

.

=

<i>ax</i>

+

<i>C</i>

, a

∈

<sub>ℝ</sub>

2)

,

1

1

<i>x</i>

<i>x dx</i>

<i>C</i>

<sub>=</sub>

<sub>+</sub>

<sub>α ≠ −</sub>

α +

∫

3)

<i>dx</i>

ln

<i>x</i>

<i>C</i>

<i>x</i>

=

+

∫

;

4)

<i>dx</i>

2

<i>x</i>

<i>C</i>

<i>x</i>

=

+

∫

5)

∫

<i>e dx</i>

=

<i>e</i>

+

<i>C</i>

;

6)

ln

<i>a</i>

<i>a dx</i>

<i>C</i>

<i>a</i>

=

+

∫

∫

∫

∫

∫

<sub>∫</sub>