Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (153.3 KB, 16 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>Violet.vn/ducnghi58</b>
<i>Bài 1: </i> Cho biểu thức
P =
2
2
a
a
1
2
1
a
1
2
1
a) Rút gọn P.
<i>Bài 2: </i> Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x2<sub> + y = y</sub>2<sub> + x</sub>
Tính giá trị biểu thức : P = x2<sub>xy </sub>y2<sub>-</sub><sub>1</sub>xy
<i>Bài 3: </i> Tính giá trị biểu thức Q = <sub>x</sub>x<sub></sub>-y<sub>y</sub>
Biết x2<sub> -2y</sub>2<sub> = xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0</sub>
<i>Bài 4: </i> Cho biểu thức
P =
3
x
3
x
2
x
-1
2
x
3
3
x
2
x
11
x
15
a) Tìm các giá trị của x sao cho P =
2
1
b) Chứng minh P ≤ <sub>3</sub>2
<i>Bài 5: </i> Cho biểu thức
P =
a
2
a
2
a
1
a
2
a
a
3
9a
3a
1
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên.
<i>Bài 6: </i> Cho biểu thức
P =
2
4
-a
4
a
4
-a
4
a
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên.
<i>Bài 7: </i> Cho biểu thức
P = <sub></sub>
a 1
2
1
a
1
:
a
a
1
1
a
a
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 2
P = <sub></sub>
c) T ìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m( <i>x</i> - 3)P > x + 1.
<i>Bài 9: </i> Cho biểu thức
P = <sub></sub>
a) Tìm x, y để P có nghĩa.
b) Rút gọn P.
c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2 3
<i>Bài 10: </i> Cho biểu thức
P =
x
2007
x
1
x
1
4x
x
1
x
1
-x
1
x
1
x
2
2
a) Tìm x để P xác định.
b) Rút gọn P.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên.
<i>Bài 11: </i> Rút gọn P.
P = <sub>2</sub>
2
2
4
2
Với | a | >| b | > 0
<i>Bài 12: </i> Cho biểu thức
P = 2
2
x
1
.
1
x
2
x
2
x
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm GTLN của P.
<i>Bài 13: </i> Chứng minh giá trị của biểu thức
P =
6
x
5
x
10
x
3
x
4
x
1
x
5
2
x
3
x
2x
Không phụ thuộc vào biến số x.
<i>Bài 13: </i> Chứng minh giá trị của biểu thức
P =
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
5
2
.
5
4
9
3
4
7
.
3
2
4
6
Không phụ thuộc vào biến số x.
<i>Bài 15: </i> Cho biểu thức
P = x 1
1
x
x
x
x
1
x
x
x
x2 2
Rút gọn P với 0 ≤ x ≤ 1 .
<i>Bài 16: </i> Cho biểu thức
P =
1
x
)
1
2(x
x
2x
1
x
x
x
x2
a) Rút gọn P.
b) Tìm GTNN của P
c) Tìm x để biểu thức Q =
P =
1
x
2
x
1
x
2x
1
x
1
x
x
x
1
x
x
x
x
x
2x
a) Tìm x để P có nghĩa
b) Rút gọn P.
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó.
<i>Bài 18: </i> Rút gọn biểu thức
P =
5
3
10
5
3
5
3
10
5
3
<i>Bài 19: </i> Rút gọn biểu thức
a) A = 4 7 4 7
b) B = 4 102 5 4 102 5
c) C = 4 15 4 15 2 3 5
<i>Bài 20: </i> Tính giá trị biểu thức
P = <i>x</i>247 2<i>x</i> 1 <i>x</i>4 3 2<i>x</i> 1
Với
2
1 <sub> ≤ x ≤ 5. </sub>
<i>Bài 21: </i> Chứng minh rằng:
P =
2
6
48
13
5
3
2
là một số nguyên.
<i>Bài 22: </i> Chứng minh đẳng thức:
1
2
3
1
1
2
3
1
2
3
1
1
2
3
1
<i>Bài 23: </i> Cho x = 35 27 35 2 7
Tính giá trị của biểu thức f(x) = x3<sub> + 3x</sub>
<i>Bài 24:</i> Cho E = 1<sub>x</sub> xy<sub>y</sub> 1<sub>x</sub> xy<sub>y</sub>
x = 4 8. 2 2 2. 2 2 2
y =
45
27
2
18
3
20
12
2
8
3
<i>Bài 25:</i> Tính P = <sub>2</sub> <sub>2008</sub>2007
2008
2
2007
2
2007
1
<i>Bài 26:</i> Rút gọn biểu thức sau:
P = <sub>1</sub><sub></sub>1 <sub>5</sub> + <sub>5</sub>1<sub></sub> <sub>9</sub> + ... + <sub>2001</sub><sub></sub>1 <sub>2005</sub>
<i>Bài 27:</i> Tính giá rẹi của biểu thức:
P = x3<sub> + y</sub>3<sub>- 3(x + y) + 2004 biết rằng</sub>
x = 3<sub>3</sub><sub></sub><sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub></sub>3<sub>3</sub><sub></sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub>
y = 3<sub>17</sub><sub></sub><sub>12</sub> <sub>2</sub> <sub></sub>3<sub>17</sub><sub></sub><sub>12</sub> <sub>2</sub>
<i>Bài 28:</i> Cho biểu thức A =
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i> 1
4
1
1
1
1
a) Rút gọn A.
b) Tính A với a = (4 + 15)( 10- 6) 4 15
<i>Bài 29:</i> Cho biểu thức
A =
1
1
1
1
4
1
4
1
4
2 <i><sub>x</sub></i> <i><sub>x</sub></i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
a) x = ? thì A có nghĩa.
b) Rút gọn A.
<i>Bài 30:</i> Cho biểu thức
P =
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
1
1
1
1
1
1
1
1
a) Rút gọn P.
b) So sánh P với
2
2 <sub>.</sub>
<i>Bài 31:</i> Cho biểu thức
P = 1 <sub>1</sub> 3 <sub>1</sub> 2 <sub>1</sub>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1.
<i>Bài 32:</i> Cho biểu thức
P = <i><sub>a</sub></i> <i>a<sub>a</sub></i> <i><sub>a</sub>a</i> <i>a</i> <i><sub>a</sub></i>
3
1
2
2
3
6
5
9
2
a) Rút gọn P.
c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên.
<i>Bài 33:</i> Cho biểu thức
P = <i><sub>xy</sub>x</i> <i><sub>y</sub></i> <i><sub>x</sub></i> <i><sub>x</sub></i> <i>x<sub>xy</sub></i> <i><sub>y</sub></i> <i>x<sub>x</sub></i>
1
1
2
2
2
2
a) Rút gọn P.
<i>Bài 34:</i> Cho biểu thức
P = <i><sub>xy</sub>x</i> <i><sub>y</sub></i> <i><sub>x</sub></i> <i><sub>x</sub></i> <i>x<sub>xy</sub></i> <i><sub>y</sub></i> <i>x<sub>x</sub></i>
1
1
2
2
2
2
a) Rút gọn P.
b) Tính P biết 2x2<sub> + y</sub>2<sub> - 4x - 2xy + 4 = 0.</sub>
<i>Bài 35:</i> Cho biểu thức
P =
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i> 3 3
3
3
:
1
1
2
1
1
a) Rút gọn P.
b) Cho xy = 16. Tìm Min P.
Bài 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a2<sub> +3b</sub>2<sub> = 10ab.</sub>
Tính giá trị của biểu thức: P =
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x2<sub> +2y</sub>2<sub> = 5xy</sub>
Tính giá trị biểu thức E = <i><sub>x</sub>x</i><sub></sub> <i><sub>y</sub>y</i>
Bài 3: 1) Cho a + b + c = 0
CMR: a3<sub> + b</sub>3 <sub>+ c</sub>3<sub> = 3abc</sub>
M = 2 2 2
<i>z</i>
<i>xy</i>
<i>y</i>
<i>xz</i>
<i>x</i>
<i>yz</i>
Bài 4: Cho a3<sub> + b</sub>3 <sub>+ c</sub>3<sub> = 3abc. Tính giá trị của biểu thức:</sub>
P =
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
1
1
1
Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử:
(x + y + z)3<sub> - x</sub>3<sub> - y</sub> 3 <sub>-z</sub>3
b) Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 và x3<sub> + y</sub>3<sub> + z</sub>3<sub> = 1 .</sub>
Tính giá trị của biểu thức: A = x2007<sub>+ y</sub>2007<sub> + z</sub>2007
Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a2<sub> + b</sub>2 <sub>+ c</sub>2<sub> = 14. Tính giá trị của biểu thức:</sub>
P = a4<sub> + b</sub>4 <sub>+ c</sub>4
Bài 7: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn:
a100<sub> + b</sub>100<sub> = </sub><sub>a</sub>101<sub> + b</sub>101<sub> = a</sub>102<sub> + b</sub>102
Tính giá trị của biểu thức P = a2007<sub> + b</sub>2007
Bài 8: Cho 1
<i>b</i>
và 2
<i>ab</i>
<i>xy</i>
. Tính 3<sub>3</sub> <sub>3</sub>3
<i>b</i>
<i>y</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
Bài 9: Cho a + b + c = 0 . Tính giá trị của biểu thức
P = 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
1
1
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
Bài 10: Cho
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>y</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
1
4
4
; x2 <sub>+ y</sub>2<sub> = 1. Chứng minh rằng:</sub>
a) bx2<sub> = ay</sub>2<sub>;</sub>
b) 1004 1004
2008
1004
2008
)
(
2
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>y</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
Bài 11: Chứng minh rằng nếu xyz = 1 thì:
<i><sub>x</sub></i> <i><sub>xy</sub></i> <i><sub>y</sub></i> <i><sub>yz</sub></i> <sub></sub><i><sub>z</sub></i><sub></sub><i><sub>xz</sub></i>
1
1
1
1
1
1
= 1
Bài 12: Cho a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức:
A = (a – b)c3<sub> + (c – a)b</sub>3<sub> + (b – c)a</sub>3
Bài 13: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Tính giá trị của biểu thức:
P = <sub>(</sub><i><sub>a</sub></i> <i><sub>b</sub>a</i><sub>)(</sub>2<i><sub>a</sub></i> <i><sub>c</sub></i><sub>)</sub> <sub>(</sub><i><sub>b</sub></i> <i><sub>c</sub>b</i><sub>)(</sub>2<i><sub>b</sub></i> <i><sub>a</sub></i><sub>)</sub> <sub>(</sub><i><sub>c</sub></i> <i><sub>b</sub>c</i><sub>)(</sub>2<i><sub>c</sub></i> <i><sub>a</sub></i><sub>)</sub>
Bài 14: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc
Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác đều.
Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác nhau thì:
<i><sub>a</sub></i> <i>b<sub>b</sub></i> <i><sub>a</sub>c</i> <i><sub>c</sub></i> <i><sub>b</sub></i> <i>c<sub>c</sub></i> <i><sub>b</sub>b</i> <i><sub>a</sub></i> <i><sub>c</sub></i> <i>a<sub>a</sub></i> <i><sub>c</sub>b</i> <i><sub>b</sub></i> <i><sub>a</sub></i> <i><sub>b</sub></i> <i><sub>b</sub></i> <i><sub>c</sub></i><i><sub>c</sub></i><sub></sub> <i><sub>a</sub></i>
2 2 2
)
)(
Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p
Chứng minh rằng: <i><sub>p</sub></i>1<i><sub>a</sub></i> <i><sub>p</sub></i>1<i><sub>b</sub></i> <i><sub>p</sub></i>1 <i><sub>c</sub></i> 1<i><sub>p</sub></i> <i><sub>p</sub></i><sub>(</sub><i><sub>p</sub></i><sub></sub> <i><sub>a</sub></i><sub>)(</sub><i>abc<sub>p</sub></i><sub></sub> <i><sub>b</sub></i><sub>)(</sub><i><sub>p</sub></i><sub></sub> <i><sub>c</sub></i><sub>)</sub>
3
)
2
(
2
1
1 3 2 2
3
<i>a</i> <i>b</i>
<i>ab</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
Bài 18: Cho 1
<i>c</i>
<i>z</i>
<i>b</i>
<i>y</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
và 0
<i>z</i>
<i>c</i>
<i>y</i>
<i>b</i>
Tính giá trị biểu thức A = <sub>2</sub>2 <sub>2</sub>2 <sub>2</sub>2
<i>c</i>
<i>z</i>
<i>b</i>
<i>y</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
Bài 19: Cho a, b, c đôi một khác nhau và 0
<i>a</i> <i>b</i>
<i>c</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>a</i>
Tính giá trị của P = <sub>(</sub> <sub>)</sub>2 <sub>(</sub> <sub>)</sub>2 <sub>(</sub><i><sub>a</sub></i> <i><sub>c</sub></i><sub>)</sub>2
<i>c</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
Bài 20: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x(y2<sub> – z</sub>2<sub>) + y(z</sub>2<sub> – x</sub>2<sub>) + z(x</sub>2<sub> – y</sub>2<sub>)</sub>
b) x(y + z)2<sub> + y(z + x)</sub>2<sub> + z(x + y)</sub>2<sub> – 4xyz</sub>
Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c. Chứng minh rằng biểu thức
A = a4<sub>(b – c) + b</sub>4<sub>(c – a) + c</sub>4<sub>(a – b) luôn khác 0.</sub>
Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d và ab + 1 = cd
Chứng minh: c = d.
Bài 23: Cho x , y là các số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x2<sub>.</sub>
Tính giá trị biểu thức: A = <i><sub>x</sub>x</i><sub></sub> <i><sub>y</sub>y</i>
Bài 24: Cho x, y là các số khác khác 0 sao cho 3x2<sub> – y</sub>2<sub> = 2xy.</sub>
Tính giá trị của phân thức A = <sub>6</sub> 2 2
2
<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>
Bài 25: Cho x, y, z khác 0 và a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = 0 và a + b +c = 2007.
Tính giá trị của biểu thức: P = 2 2 2
2
2
2
)
(
)
(
)
(<i>y</i> <i>z</i> <i>ac</i> <i>x</i> <i>z</i> <i>ab</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>bc</i>
<i>cz</i>
<i>by</i>
<i>ax</i>
Bài 26: Cho x, y, z khác 0 và x + y + z = 2008.
Tính giá trị biểu thức:
P = <sub>(</sub><i><sub>x</sub></i> <i><sub>y</sub>x</i><sub>)(</sub>3<i><sub>x</sub></i> <i><sub>z</sub></i><sub>)</sub> <sub>(</sub><i><sub>y</sub></i> <i><sub>x</sub>y</i><sub>)(</sub>3<i><sub>y</sub></i> <i><sub>z</sub></i><sub>)</sub> <sub>(</sub><i><sub>z</sub></i> <i><sub>y</sub>z</i><sub>)(</sub>3<i><sub>z</sub></i> <i><sub>x</sub></i><sub>)</sub>
Bài 27: Cho
3
3
3
2
2
2
Tính giá trị của biểu thức: P = x2007<sub>+ y</sub>2007<sub>+ z</sub>2007
.
Bài 28: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Tính giá trị của biểu thức:
P =
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
Bài 29: Cho biểu thức P = (b2<sub> + c</sub>2<sub> – a</sub>2<sub>)</sub>2<sub> – 4b</sub>2<sub>c</sub>2<sub>.</sub>
Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z.
Bài 31: Cho các số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình:
3
3
3
2
2
2
Tính giá trị biểu thức P = xyz. (Đề thi HSG tỉnh 2003)
Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P = 2 <sub>2</sub>3 <sub>3</sub>6 <sub>4</sub>8 4
b) Tính giá trị biểu thức: Q = <i><sub>x</sub>x</i><sub></sub> <i><sub>y</sub>y</i>
Biết x2<sub> – 2y</sub>2<sub> = xy và y ≠ 0 , x + y ≠ 0. (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005)</sub>
Bài 33: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì:
2(x5<sub> + y</sub>5<sub> + z</sub>5<sub>) = 5xyz(x</sub>2<sub> + y</sub>2<sub> + z</sub>2<sub>) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006)</sub>
Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: a2<sub> = b</sub>2<sub> + c</sub>2<sub>.</sub>
a) So sánh a và b + c.
b) So sánh a3<sub> và b</sub>3<sub> + c</sub>3<sub>. (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)</sub>
Bài 35: 1) Giải phương trình: x3<sub> -6x – 40 = 0</sub>
2) Tính A = 3 <sub>20</sub><sub></sub><sub>14</sub> <sub>2</sub> <sub></sub>3 <sub>20</sub><sub></sub><sub>14</sub> <sub>2</sub> (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)
Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2<sub> – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1)</sub>
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m.
c) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thỏa mãn
điều kiện 2
1
<i>x</i> + 2
2
<i>x</i> 10.
Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện:
2
Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện: a2<sub> + ab + ac < 0. </sub>
Chứng minh rằng phương trình ax2<sub> + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt.</sub>
Bài 4: Cho phương trình x2<sub> + px + q = 0. Tìm p, q biết rằng phương trình có hai </sub>
nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
3
2
3
1
2
1
Bài 5: CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương trình
(x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghiệm.
Bài 6: CMR phương trình ax2<sub> + bx + c = 0 ( a </sub><sub></sub><sub>0) có nghiệm biết rằng 5a + 2c = b</sub>
Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. CMR phương trình sau có nghiệm:
(a2<sub> + b</sub>2<sub> – c</sub>2<sub>)x</sub>2<sub> - 4abx + (a</sub>2<sub> + b</sub>2<sub> – c</sub>2<sub>) = 0</sub>
Bài 8: CMR phương trình ax2<sub> + bx + c = 0 ( a </sub><sub></sub><sub>0) có nghiệm nếu </sub>2 <sub></sub> <sub></sub><sub>4</sub>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
Bài 9: Cho phương trình : 3x2<sub> - 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa</sub>
mãn: 2
1
<i>x</i> - 2
2
<i>x</i> = <sub>9</sub>5
Bài 10: Cho phương trình: x2<sub> – 2(m + 4)x +m</sub>2<sub> – 8 = 0. Xác định m để phương trình có hai </sub>
nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN
b) B = x12 + x22 - đạt GTNN.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1,x2 khơng phụ thuộc vào m.
Bài 11: Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của phương trình bậc 2:
3x2<sub> - cx + 2c - 1 = 0. Tính theo c giá trị của biểu thức:</sub>
S = 3
2
3
1
1
1
<i>x</i>
<i>x</i>
Bài 12: Cho phương trình : x2<sub> - 2</sub> <sub>3</sub><sub>x + 1 = 0. Có hai nghiệm là x</sub>
1,x2. Khơng giải phương
trình trên hãy tính giá trị của biểu thức:
A =
2
3
1
3
2
1
2
2
2
1
2
1
4
4
3
5
3
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
Bài 13: Cho phương trình: x2<sub> – 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1)</sub>
1) CMR phương trình (1) ln có hai nghiệm với mọi giá trị của a.
2) Tìm giá trị của a để pt (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:
x12 + x22 = 6.
3. Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:
x1 < 1 < x2.
Bài 14: Cho phương trình: x2<sub> – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1)</sub>
a) CMR phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình (1) .
Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện:
2
1
1
<i>b</i>
<i>a</i>
CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm:
x2<sub> + ax + b = 0 và x</sub>2<sub> + bx + a = 0.</sub>
Bài 16: Cho phương trình: x2<sub> – 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1)</sub>
a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình (1) theo m.
b) Tìm m sao cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN. Tìm GTNN đó.
Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số a, b, c khác 0, tồn tại một trong các phương trình
sau phải có nghiệm:
ax2<sub> + 2bx + c = 0 (1)</sub>
bx2<sub> + 2cx + a = 0 (2)</sub>
cx2<sub> + 2ax + b = 0 (2)</sub>
Bài 18: Cho phương trình: x2<sub> – (m - 1)x + m</sub>2<sub> + m – 2 = 0 (1)</sub>
a) CMR phương trình (1) ln ln có nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m.
b) Với giá trị nào của m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN.
Bài 19: Cho phương trình: x2<sub> – 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1)</sub>
1) CMR phương trình (1) ln có hai nghiệm với mọi giá trị của m.
2) Tìm giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:
x12 + x22 10.
3) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:
E = x12 + x22 đạt GTNN.
Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2: x2<sub> + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương. </sub>
CMR: a2 <sub> + b</sub>2<sub> là một hợp số.</sub>
Giải phương trình:
Bài 1: x3<sub> + 2x</sub>2<sub> + 2</sub> <sub>2</sub><sub>x + 2</sub> <sub>2</sub><sub>.</sub>
Bài 2: (x + 1)4<sub> = 2(x</sub>4<sub> + 1)</sub>
Bài 3: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2
Bài 4: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x
Bài 5: (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144
Bài 6: (x + 2)4<sub> + (x + 8)</sub>4<sub> = 272</sub>
Bài 7: a) (x + 2)4 + (x + 1)4 = 33 + 12 2
b) x4<sub> + 3x</sub>3<sub> - 14x</sub>2<sub> - 6x + 4 = 0</sub>
c) x4<sub> - 3x</sub>3<sub> + 3x + 1 = 0</sub>
Bài 9: a) x4<sub> = 24x + 32</sub>
b) x3<sub> + 3x</sub>2<sub> - 3x + 1 = 0</sub>
Bài 10: <i>x</i> 85 <i>x</i> 93 1
Bài 11: 1
2
5
3
7
2
3
2
2
2
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
Bài 12: x2<sub> + </sub>
2 12
4
2
2
<i>x</i>
<i>x</i>
Bài 13: 20 0
1
4
48
1
2
5
1
2
2
2
Bài 14: a) 4
1
7
1
3
3
2
2
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
b)
15
12
4
15
6
15
10
Bài 15: a) x2<sub> + </sub>
9 40
81
2
2
b) x2<sub> + </sub>
12 15
2
<i>x</i>
<i>x</i>
Bài 16: a) 1 2 <sub>2</sub>12 40<sub>9</sub>
b) 0
1
4
2
5
1
2
1
2
2
2
2
2
c) x. 15
1
8
1
8
Bài 17: x2 <sub>+ </sub> 1 2
<i>x</i>
<i>x</i>
= 8( Đề thi HSG V1 2004)
Bài 18: <i>x</i> 1 5<i>x</i>1 3<i>x</i> 2
Bài 19: 3 1 3 7 2
<i>x</i>
<i>x</i>
Bài 20: <i>x</i>2 <i>x</i>1 <i>x</i> 2 <i>x</i>12
Bài 21: 3x2 <sub>+ 21x + 18 + 2</sub>
2
7
7
2
<i>x</i>
<i>x</i>
Bài 22: a) (x - 2)4<sub> + (x - 3)</sub>4<sub> = 1</sub>
b) x4<sub> + 2x</sub>3<sub> - 6x</sub>2<sub> + 2x + 1 = 0 </sub>
c) x4<sub> + 10x</sub>3<sub> + 26x</sub>2<sub> + 1 = 0 </sub>
Bài 23: (x + 2)2<sub> + (x + 3)</sub>3<sub> + (x + 4)</sub>4<sub> = 2 ( Đề thi HSG V1 2003)</sub>
Bài 24: a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3
b) (x2<sub> + 3x - 4)(x</sub>2<sub> + x - 6) = 24</sub>
Bài 25: a) x3<sub> - 6x + 4 = 0</sub>
b) x4<sub> - 4x</sub>3<sub> + 3x</sub>2<sub> + 2x - 1 = 0 </sub>
Bài 26: a) x4<sub> + 2x</sub>3<sub> + 5x</sub>2<sub> + 4x - 12 = 0 </sub>
Bài 27: 4 0
3
10
48
3 2
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
Bài 28: a) Phân tích thành nhân tử: 2(a2<sub> + b</sub>2<sub>) -5ab</sub>
b) Giải phương trình: 2(x2<sub> + 2) = 5</sub>
1
3
<i>x</i>
( Đề thi HSG 1998)
Bài 29: 3
5
3
14
5
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
Bài 30: x4<sub> - 4</sub> <sub>3</sub><sub>x -5 = 0 ( Đề thi HSG 2000)</sub>
Bài 31: 5 0
2
4
2
4
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
( Đề thi HSG V2 2003)
Bài 32: a) x4<sub> - 4x</sub>3<sub> - 19x</sub>2<sub> + 106x - 120 = 0 </sub>
b) (x2<sub> - x + 1)</sub>4<sub> - 10(x</sub>2<sub> - x + 1)</sub>2<sub> +9x</sub>4<sub> = 0 </sub>
Bài 33: (x + 3 <i>x</i> + 2)(x + 9 <i>x</i> +18) = 168x (Đề thi HSG 2005)
Bài 34: a) x2<sub> + 4x + 5 = 2</sub> <sub>2</sub><i><sub>x</sub></i><sub></sub><sub>3</sub>
b) 3 3 8
<i>x</i> = 2x2 - 6x + 4
c) 2
3
2
4
2
<i>x</i>
<i>x</i>
Bài 35: 3 1 3 2 3 3 0
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
Bài 36: Cho phương trình: x4<sub> -4x</sub>3<sub> +8x = m</sub>
a) Giải phương trình khi m = 5.
b) Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 37: Cho phương trình (x + a)4<sub> + (x + b)</sub>4<sub> = c. Tìm điều kiện của a, b, c để phương </sub>
trình có nghiệm.
Bài 38: Giải phương trình: x4<sub> + 2x</sub>3<sub> + 5x</sub>2<sub> + 4x - 5 = 0 </sub>
Bài 39: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4x4<sub> + 8x</sub>2<sub>y + 3y</sub>2<sub> - 4y - 15 = 0.</sub>
Bài 40: x2<sub> + 9x</sub><sub>+ 20 = 2</sub> <sub>3</sub><i><sub>x</sub></i><sub></sub><sub>10</sub>
Bài 41: x2<sub> + 3x</sub><sub>+ 1 = (x + 3)</sub>
1
2
<i>x</i>
Bài 42: x2 <sub>+ </sub> <sub>2006</sub>
<i>x</i> =2006
Bài 1) Với a, b > 0 thì <i>a</i><i>b</i> <i>ab</i>
2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 2) CMR với 4 số a, b, x, y bất kỳ ta có:
)( )
(<i><sub>a</sub></i>2 <i><sub>b</sub></i>2 <i><sub>x</sub></i>2 <i><sub>y</sub></i>2 <sub> (ax + by)</sub>2<sub>.Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?</sub>
Bài 3) Cho a, b, c, d > 0. Cm: <i>ab</i> <i>cd</i> <i>a</i><i>c</i><i>b</i><i>d</i>
Bài 4) CM bất đẳng thức:
2 2
2
2
2 <i><sub>b</sub></i> <i><sub>c</sub></i> <i><sub>d</sub></i> <i><sub>a</sub></i> <i><sub>c</sub></i> <i><sub>b</sub></i> <i><sub>d</sub></i>
<i>a</i>
Bài 5) Cho a, b, c là các số dương cm bất đẳng thức:
2
2
2
2 <i><sub>a</sub></i> <i><sub>b</sub></i> <i><sub>c</sub></i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
Bài 6) CM với mọi n nguyên dương thì:
2
1
2
1
...
2
1
1
1
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
Bài 8) Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1)
a2 <sub>+ b</sub>2<sub> + c</sub>2<sub> = 2 (2)</sub>
CMR mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn <sub></sub>
<sub>;</sub><sub>0</sub>
3
4
khi biễu diễn trên trục số.
Bài 9) Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = 5.
CMR: 2a2<sub> + 3b</sub>2 <sub></sub><sub> 5.</sub>
Bài 10) Cho a, b là hai số thỏa mãn điều kiện: a + 4b = 1.
CM: a2<sub> + 4b</sub>2
5
1
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (Đề thi HSG 2003).
Bài 11) Chứng minh: <sub>3</sub>1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(Đề thi HSG 2001).
Bài 12) Chứng minh:
a) (<i>a</i>2 <i>b</i>2)(<i>x</i>2 <i>y</i>2) (ax + by)2
b) 0 <i>x</i> 2 4 <i>x</i>2
Bài 13) Cho a, b, c > 0. Cm:
2
3
<i>a</i> <i>b</i>
<i>c</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
Bài 14) Cho ... <sub>100</sub>1
3
1
2
1
1
<i>S</i> <sub>. </sub>
CMR: S không là số tự nhiên.
Bài 15) a) Cho x, y dương. CMR: 1<i><sub>x</sub></i> 1<i><sub>y</sub></i><i><sub>x</sub></i><sub></sub>4<i><sub>y</sub></i>. Dấu bằng xảy ra khi nào?
b) Tam giác ABC có chu vi <i>P</i><i>a</i><sub>2</sub><i>b</i><i>c</i>.
Cm:
<i>a</i> <i>p</i> <i>b</i> <i>p</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>p</i>
1
1
1
2
1
1
1
Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì?
Bài 16) a) CM x > 1 ta có: 2
1
<i>x</i>
<i>x</i>
b) Cho a > 1, b > 1. Tìm GTNN của:
1
1
2
2
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>P</i>
Bài 17) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
CM: a2 <sub>+ b</sub>2<sub> + c</sub>2<sub> < 2(ab + bc + ca)</sub>
Bài 18) CMR nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thì 1 1 19
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i> .
Bài 19) CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Bài 20) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và có chu vi là 2.
CMR: a2 <sub>+ b</sub>2<sub> + c</sub>2<sub> + 2abc < 2.( Đề thi HSG 2004-2005).</sub>
Bài 21) Cho a, b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)2<sub> + ( b - 2)</sub>2<sub> = 5. Cm: a + 2b </sub><sub></sub><sub> 10.</sub>
Bài 22) Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a2 <sub>+ b</sub>2<sub> = 4 + ab. </sub>
CMR: 8
3
8 2 2
<i>a</i> <i>b</i> .
Bài 23) CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn ab = 1. Ta có BĐT: 1 1 2 3
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
Bài 24) CMR nếu:
a) 1<i>a</i>5 thì 3 <i>a</i> 14 5 <i>a</i>10
b) a + b 0;<i>b</i>10;<i>a</i><i>b</i>2 thì <i><sub>a</sub></i><sub></sub><sub>1</sub><sub></sub> <i><sub>b</sub></i><sub></sub><sub>1</sub><sub></sub><sub>2</sub> <sub>2</sub>
Bài 25) Cho biểu thức 4 33 <sub>1</sub> 4 31 <sub>1</sub> 5 4 34 2 <sub>1</sub>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
CMR: 0<i>P</i>32<sub>9</sub> với <i>x</i>1.
Bài 26) a) Cho a, b, k là các số dương và <i>Cmr</i> <i><sub>b</sub>a</i> <i><sub>b</sub>a</i> <i><sub>k</sub>k</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
1. :
b) Cmr nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì:
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>a</i>
< 2.
Bài 27) Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1.
Chứng minh rằng: 1 1 1 19
<i>b</i>
<i>a</i>
(Đề thi HSG V2 2003 - 2004)
Bài 28) Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi x, y là các số thực bất kỳ khác 0:
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
3
4
2
2
2
2
( Đề thi HSG V2 2006 - 2007)
Bài 1) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2<sub> + y</sub>2<sub> = 1.</sub>
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = x + y.
Bài 2) Cho x, y > 0, x + y = 1. Tìm GTNN của P = 2 2
1 1
1 1
<i>x</i> <i>y</i>
<sub></sub> <sub></sub>
Bài 3) Cho P =
2
2
2 1
1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
. Tìm GTNN, GTLN của P và các giá trị tương ứng của x.
Bài 4) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = (x4<sub> + 1)(y</sub>4<sub> + 1) biết x,y </sub><sub></sub><sub> 0, x + y = </sub> <sub>10</sub>
Bài 5) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức B = 2x + 3y biết 2x2<sub> + 3y</sub>2<sub> ≤ 5.</sub>
Bài 6) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x2<sub> + y</sub>2<sub>. Biết x</sub>2<sub>(x</sub>2<sub> +2y</sub>2<sub> – 3) + (y</sub>2<sub> – 2)</sub>2<sub> = 1</sub>
Bài 7) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = 2<sub>2</sub> 1
1
<i>x</i> <i>x</i>
Bài 8) Tìm GTLN của A = x + 2 <i>x</i>
Bài 9) Tìm GTLN của P = <i>x<sub>y</sub></i><i><sub>z</sub>y</i><i>z<sub>x</sub></i><sub> với x, y, z > 0.</sub>
Bài 10) Tìm GTLN của P = 2 2
(<i>x</i>1990) (<i>x</i>1991)
Bài 11) Cho M = <i>a</i> 3 4 <i>a</i>1 <i>a</i>15 8 <i>a</i>1
1 1 1
2
1<i>x</i>1<i>y</i>1<i>z</i> . Tìm GTNN của P = x.y.z.
Bài 13) Tìm GTNN của P = 2 1
1 <i>x</i> <i>x</i>
Bài 14) Cho x, y thỏa mãn x2<sub> + 4y</sub>2<sub> = 25. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức</sub>
P = x + 2y.
Bài 15) Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3.
Tìm GTNN của E = x2<sub> + 2y</sub>2<sub>.</sub>
Bài 16) Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn: x + y 1. Tìm GTNN của biểu thức
P = 2 2
1
<i>x</i> <i>y</i> +
2
<i>xy</i> + 4xy
Bài 17) Tìm GTLN và GTNN của: P = 2 <sub>2</sub> 1
1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
với x bất kỳ.
Bài 18) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y 1. Tìm GTNN của biểu thức
A = 2 2
1 2
<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i>
Bài 19) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P =
2
2
1 1
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<sub></sub> <sub></sub>
Bài 20) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = 2(x4 <sub>+ y</sub>4<sub>) + </sub> 1
4<i>xy</i>
Bài 21) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = 1 1 1 1
<i>x</i> <i>y</i>
<sub></sub> <sub></sub>
Bài 22) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x2<sub> + y</sub>2<sub> = 4.</sub>
Tìm GTNN của biểu thức P =
2 2
1 1
<i>x</i> <i>y</i>
<i>y</i> <i>x</i>
Bài 23) Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = 1. Tìm GTNN của biểu thức:
E =
2 2 2
1 1 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
Bài 24) Cho a, b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1. Tìm GTNN của:
P = a3<sub> + b</sub>3
Bài 25) Cho a, b là hai số dương thỏa a + b = 1.
Tìm GTNN của P = 1 1
1 1
<i>a</i> <i>b</i>
Bài 26) Cho hai số x, y thỏa mãn xy = 2. Tìm GTNN của P =
2 2
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x y</i>
Bài 27) Cho hai số dương x, y có x + y = 1. Tìm GTNN của
P = 8(x4<sub> + y</sub>4<sub>) + </sub> 1
<i>xy</i>
Bài 28) Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x2<sub> + 2xy + 7(x + y) + 2y</sub>2<sub> +10 = 0</sub>
Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x + y + 1
Bài 30) Tìm GTNN của biểu thức P = 2 2
2 2000
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>