Boi duong dai 9.

Ngày 10 tháng 9 năm 2007
Ch ơng I: Căn bậc hai - căn bậc ba
Tuần 1 + Tuần 2: Căn bậc hai - hằng đẳng thức
2
A
=
A

A. Mục tiêu:
- HS nắm vững định nghĩa căn bậc hai số học, cách so sánh các căn bậc hai
số học, hằng đẳng thức
2
A
=
A
, điều kiện để căn thức bậc hai có nghĩa.
- Rèn luyện cho HS các kĩ năng suy nghĩ, trình bày, diễn đạt các dạng toán.
- Giáo dục tính cẩn thận, tính linh hoạt, sáng tạo cho HS.
B. Chuẩn bị:
- GV: + Giáo án.
+ Bảng phụ.
- HS: Ôn tập về định nghĩa căn bậc hai số học, cách so sánh các căn bậc hai
số học, hằng đẳng thức
2
A
=
A
, điều kiện để căn thức bậc hai có nghĩa.
C. tiến trình dạy học:
I. Lí thuyết :
(GV nêu từng câu hỏi, HS lần lợt trả lời, HS nhận xét, bổ sung, GV uốn nắn, củng cố

và hệ thống lại kiến thức)
1. Định nghĩa căn bậc hai.
Căn bậc hai của số a không âm là số x sao cho x
2
= a.
2. Số căn bậc hai của một số.
- Số âm không có căn bậc hai.
- Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0.
- Số dơng a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dơng kí hiệu là và
số âm kí hiệu là - .
3. Định nghĩa căn bậc hai số học.
Với số dơng a, số đợc gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng đợc gọi là
căn bậc hai số học của 0.
4. Chú ý.
Với a

0, ta có:
+ Nếu x = thì x

0 và x
2
= a.
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông
1
+ Nếu thì x

0 và x
2
= a thì x = .
5. Định nghĩa phép khai phơng.

Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phơng
(gọi tắt là khai phơng)
6. So sánh các căn bậc hai số học.
Định lí: Với hai số a và b không âm, ta có a < b

< .
7. Định nghĩa căn thức bậc hai.
Với A là một biểu thức đại số, ngời ta gọi là căn thức bậc hai của A, còn A đ-
ợc gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dới dấu căn.
8. Điều kiện để có nghĩa (hay xác định)
có nghĩa (hay xác định) khi A lấy gía trị không âm.
9. Hằng đẳng thức
2
A
=
A
.
a. Định lí: Với mọi số a, ta có =
a
b. Chú ý: với A là một biểu thức ta có
2
A
=
A
, có nghĩa là:
2
A
= A nếu A

0

2
A
= - A nếu A < 0.
II. Bài tập:
Đối với mỗi bài tập, dạng mới thì GV chữa mẫu, nếu không, HS làm tại chỗ, (nếu bài
nào không có HS nào làm đợc thì GV gợi ý dần cho HS suy nghĩ), HS khác nhận xét,
bổ sung, sau đó GV chữa bài, chốt cách làm.
Dạng 1: sử dụng Hằng đẳng thức
2
A
=
A
.
Rút gọn biểu thức :
24
)3( aa


với a 3 ta đợc :
A : a
2
(3 - a); B: - a
2
(3 - a) ; C: a
2
(a - 3) ; D: - a
2
(a - 3)
H ớng dẫn
Chọn đáp án C.

Chứng minh
3 3 1
1
2 2
+
+ =
.
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông
2
H ớng dẫn
Cách 1: Biến đổi vế trái.
Cách 2: Biến đổi vế phải.
Cách 3: Bình phơng hai vế.
Chứng minh
10 + 60 + 24 + 40 = 5 + 3 + 2
.
H ớng dẫn
Cách 1: Biến đổi vế trái.
Cách 2: Bình phơng hai vế.
Tính A =
526413429
54941722
+
+
B =
526413429
+
C =
324411616230
++

D =
29512

-
29512
+

E =
3413324
++

G =
13 30 2 9 4 2+ + + +

H =
34710485354
+++
H ớng dẫn
Khử từ trong ra.
Đáp số: A = - 1
B = 2 - 1
C =
3 3 1
D = - 6
E = -
G = 5 +
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông
3
h)

347
+
= 2
3
3471048
+
=
( )
321048
+
= 5 -
3

3471048535
++
=
)35(535
+
= 5
H =
54
+
= 3
Rút gọn biểu thức : A =
6 2 2 3 2 12 18 128
+ +
Rút gọn : A=
6 2 2 3 2 12 18 128
+ +
=

6 2 2 3 2 12 4 2
+ +
=
6 2 2 3 4 2 3
+ +
=
6 2 2 2 3
+
=
6 2 4 2 3
+
=
)
(
6 2 3 1
+
=
3 1
+
Khoanh tròn các chữ cái đứng trớc kết quả đúng trong các câu sau:
Kết quả rút gọn biểu thức:
32
+
+
3514

bằng:
A. 1 - 3
2
; B. 2

3
; C. 3
2
; D. 2
3
+ 1.
C. 3
2
;
Khoanh tròn vào chữ cái đứng trớc câu trả lời đúng
Giá trị của biểu thức
3471048535
++
bằng:
A.
34
B. 2 C.
37
D. 5
H ớng dẫn
D 5
.* C/m:
+
09...9100...22499
3 N
k 2 k

Hớng dẫn
22499...9 1 00...099 = (15.10
k

- 2)
2
k - 2 k
* . Rút gọn A =
25,0
961
+ 2
10
+
15
+
6
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông
4
Híng dÉn
C¸ch 1:

A =
2{(
2
+
5
) +
2
}
2
2
C¸ch 2:

2A =

(
2
2
+
3
+ 2
5
)
2
§¸p sè: A =
2
+
5
+
2
3
Thùc hiÖn phÐp tÝnh :
9045310013
+−−
Híng dÉn
9045310013
+−−

=
106.25310413
+−−

=
22
)5322()522(

+−−

= 2
2
-
5
- 2
2
- 3
5
= - 4
5

TÝnh: A =
34710485354
+−++

347
+
= 2
3

+ Khai ph¬ng ®óng:
3471048
+−
=
( )
321048
+−
= 5 -

3

+ Khai ph¬ng ®óng:
3471048535
+−+
=
)35(535
−+
= 5
+ Khai ph¬ng ®óng: A =
54
+
= 3
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc :
1,
5122935
−−−
2,
32
+
+
3514
−
a,
5122935
−−−
=
2
)352(35
−−−

=
35235
+−−
=
5265
−−
=
2
)15(5
−−
=
155
+−
= 1
b.
GV: Lª ThÞ HuyÒn Tr êng THCS Lª Th¸nh T«ng
5
32
+
+
3514
−
=
2
351432(2
−++
=
2
31028324
−++

=
2
)35()13(
22
−++

=
2
3513
−++
=
23
2
6
=
* . TÝnh P =
2002
2001
2002
2001
20021
2
2
2
+++
Híng dÉn
2002
2
= (2001 + 1)

2
= 2001
2
+ 2.2001 + 1 - > 2001
2
+ 1 = 2002
2
- 2.2001
- > P =
)
2002
2001
2002(
2002
2001
2002
2001
2001.22002
2
2
2
2
−=++−
+
2002
2001
= 2002
* Cho x
≥
1. Rót gän y =

x 2 x 1 x 2 x 1+ − + − −
Híng dÉn
y = + 1 +
x 1- 1−
+ NÕu x
≥
2 th× y = 2
+ NÕu 1
≤
x < 2 th× y = 2.
* . TÝnh:
A =
2222222
2
)1(
11
1...
3
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
)1(
1

+
+++++++++=>−
+
+
−
++
nn
B
n
n
n
n
n
Híng dÉn
.*Cm
0;
≥∀
yx
th× A =
yyxcyx ++++
2222
)((2
) -
22
yx
+
- x - y
kh«ng phô thuéc vµo x; y.
Híng dÉn
GV: Lª ThÞ HuyÒn Tr êng THCS Lª Th¸nh T«ng

6

( ) ( )
=++++++=
++++++=
0
2)(2(2
22
2
22
222222
yxyxyxyx
yxyxxyyxyxyx

* . Cho x, y, z > 0; xy + xz + yz = 1. Tính
2
22
2
22
2
22
1
)1)(1(
1
)1)(1(
1
)1()1(
z
yx
z

y
zx
y
x
zy
x
+
++
+
+
++
+
+
++
=
Hớng dẫn
1 + x
2
= (x + y) (x + z) ; 1 + y
2
= (y + z) (y + x) ; 1 + z
2
= (z + x) (z + y)
A = 2 (xy + xz) + yz) = 2
* Cho a, b, c Q, a, b, c đôi một khác nhau.
C/m :
Q
accbba

+

+

=
222
)(
1
)(
1
)(
1

Hớng dẫn
Đặt a - b = x ; b - c = y; c - a = z x + y + z = 0
.
111
111111
0
111
0
222
2
Q
zyx
zyxzyxyzxzxyxyz
zyx
++=
++=

++=++=
++

* . Tìm [m; n] (m < n) để :
32472328192)(
+++++=
xxxxx
là hằng số.
Hớng dẫn
232432)232()432()(
22
+++=+++=
xxxxx








2
3
xvới

[ ]















=+







+
=
2
13
;
2

1
;
2
1
2
3
3226
2
13
;
2
1
2
2
13
6322
nmxx
x
xx
vậynếu
nếu
nếu
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông
7
* Cho xy 0. Tính

+






++=
y
yx
xyx
yx
xy
2222

Hớng dẫn
( )
yx
yx
xy
yx
xyBC
++++=


1
2222
:
1

Vì B
1
> 0; B
1
2
= (x + y)
2
B
1
= x + y = x + y. (Do xy 0) .
Từ đó B = 0
C
2

: Xét 2 TH : x; y 0 ; x; y < 0
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )







++
++
++++=
0;
2

1
2
1
0;
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
22
22
yxyxyxyx
yxyxyxyx
yxyxyxxyyx
nếu
nếu
= 0
C
3
: Do
0
2222
0
2222
=++++=

++
yx
yx
xy
yx
xy
yx
xy
yx
xy

Tìm x biết x =
...135135
++++
x =
...135135
++++

Nhận thấy: x > 2
Xét : x
2
= 5 +
...513513
++++

(x
2
- 5)
2
= 13 + x

x
4
- 10x
2
- x + 12 = 0

(x - 3)[( x + 3)(x + 1)(x - 1) - 1] = 0
Vì x > 2

( x + 3)(x + 1)(x - 1) - 1 > 0

x = 3
.* Chứng minh công thức căn phức tạp.
ba
=
2
2

baa
+

2
2
baa

Hớng dẫn
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông
8
C
1
: Bình phơng 2 vế.
C
2
: Biến đổi vế phải.
C
3
: Tính
ba
+

ba

(bình phơng mỗi BT) = >
ba

Viết thành tích : A = 6 +
x
- x ( với x

0)
B = ab + 2b
a
+
a
+ 2 ( với a
0

)
C = 4a
2
+ 4a
3
+ 3 ( với a
0

)
H ớng dẫn
A = (2 + ) (3 - )
B = (2 +
a
) (b
a
+ 1)
C = (2a +
3
)
2
. Viết dới dạng hiệu các bình phơng 5 + 7a (a < 0)

H ớng dẫn
Với a < 0 thì 5 + 7a = ()
2
()
2
Cho: x
2
1 y

+ y
2
1 x

= 1. Chứng minh rằng: x
2
+ y
2
= 1.
Từ giả thiết

x
2
1 y

= 1 - y
2
1 x

Bình phơng 2 vế biến đổi về dạng:
x

2
= 1 2y
2
1 x

+ y
2

(y -
2
1 x

) = 0

y =
2
1 x



x
2
+ y
2
= 1.
Dạng 2: Tìm x để mỗi căn thức bậc hai có nghĩa
Tìm x để mỗi biểu thức sau có nghĩa
A =
B =
x23

+

C =
x53

D =
x47


E =
axxa 2
22
+
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông
9
G =
12
22
++
xa
H =
54
2
+
xx
I =
342
2
++
xx

K =
2
9 x

L =
65
2
+
xx
M =
127
2
+
xx
N =
P =
106
2

xx
Q =
1026
2

xx
R =
2
1

x

S =
43
2
+
x
T =
1
2
+

x
x
U =
2
2
167
x
xx
++
V =
31
1
2

x
H ớng dẫn
Điều kiện để một biểu thức có nghĩa là mẫu thức khác không và biểu thức lấy căn bậc
hai không âm.
Đáp số:
A có nghĩa khi và chỉ khi x 0, 5

B có nghĩa khi và chỉ khi x - 1, 5
C có nghĩa khi và chỉ khi 0, 6

x
D có nghĩa khi và chỉ khi 1, 75

x
E có nghĩa khi và chỉ khi x

R
G có nghĩa khi và chỉ khi x

R
H có nghĩa khi và chỉ khi x

R
I có nghĩa khi và chỉ khi x

R
K có nghĩa khi và chỉ khi 3

x

- 3
L có nghĩa khi và chỉ khi x

3 hoặc 2

x
M có nghĩa khi và chỉ khi 3

x hoặc x

4
N có nghĩa khi và chỉ khi x




P có nghĩa khi và chỉ khi x > 2
Q có nghĩa khi và chỉ khi x



R có nghĩa khi và chỉ khi x > 2
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông
10
S có nghĩa khi và chỉ khi x > -
T có nghĩa khi và chỉ khi x

2 hoặc 1

x
U có nghĩa khi và chỉ khi 1

x

- 1 / 7 và x khác 0
V có nghĩa khi và chỉ khi x

2; x khác 2 hoặc -
3


x và x khác - 2
Dạng 3: giải phơng trình
Giải phơng trình:
a.
269
2
=+
xx
b.
83)43(
2
=
xx
c.
xxx 2144
2
=+
d.
116954
22
=+++
yyxx
e.
212121
=++
xxxx

f)
12611246
=+++++
xxxx
g.
13
2
=+
x
h. x + y + z + 8 = 2
326241
++
yx
i. 3 +
32

x
= x
k.
23151
=
xxx

n.
763
2
++
xx
+
2

2414105
2
xxxx
=++
p.
2
23
23
=

+

x
x
x
x
H ớng dẫn
a) Đa về phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối.
b) Đa về phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối.
c) Đa về phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối.
d) Đa về phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối.
e) Đa về phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối.
f) Đa về phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối. S =
}
[ ]
{
7;22;1

x
g) Đánh giá gía trị 2 vế ta có

=
S
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông
11
h) Đa về phơng trình có vế trái là tổng các bình phơng, vế phải bằng 0
i) Xét khoảng rồi bình phơng 2 vế.
l) Đa về phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối ta có: 1

x
)2

m) đkxđ: x
1

VT< 0

VP)
=
S
n) Đánh giá gía trị 2 vế ta có x = - 1
p) áp dụng Cô si ta có x = 1; x = 2
* Giải các phơng trình:
a
2
4129 xx
+
= 4
b
28183
2

+
xx
+
45244
2
+
xx
= - 5 x
2
+ 6x
c
3
32
2
+
+
x
xx
+ x - 1
H ớng dẫn
a)
2
4129 xx
+
= 4


2
)23( x

= 4

x23

= 4 ( 0, 5đ)


3 2x = 4 hoặc 3 2x = - 4


x = - 1/2 hoặc x = 7/2
b/
28183
2
+
x
+
45244
2
+
xx
= - 5 x
2
+6x
Do
28183
2
+
x
=

1)3(3
2
+
x

1

45244
2
+
xx
=
9)3(4
2
+
x

3
- 5 x
2
+6x = - (x - 3)
2
+ 4

4

1)3(3
2
+
x

= 1
Để phơng trình có nghiệm thì
{
9)3(4
2
+
x
= 3
- 5 x
2
+6x = 4

x = 3

Nghiệm của pt là: x = 3
c/
3
32
2
+
+
x
xx
= x - 1


3
)3)(1(
+

x
xx
= x - 1


1

x
= x - 1 ( Vì
3
+
x

0 do x

1


1

x
(1 -
1

x
) = 0


x = 1; x = 2 ( Thoả mãn điều kiện x

1)
Nghiệm của pt là x = 1;x = 2
Giải các phơng trình:
a)
696122
22
=++++
xxxx
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông
12
b)
11212
=++
xxxx
H ớng dẫn
a) Đa về dạng: 2|x+1| + |x-3| = 6
+ Xác định ĐK của x:
+ Với x < -1 có x = -
8
5
+ Với -1 x < 3 có x =1
+ Với x > 3 có x =

3
7
TXĐ.
Kết luận : x = -
8
5
và x =1 là nghiệm

b) ĐKXĐ: x 1
+ Đa về dạng: 2x + 2
4)1(4
2
=
xx
+ Pt : x + | 2 - x| = 2
+ Kết luận 1 x 2 là nghiệm
Giải phơng trình sau:
59612
22
=+++
XXXX
- Đa về dạng
531
=+
xx

- Xét 3 trờng hợp, giải PT đúng, cho kết quả
- Kết luận nghiệm :






=
2
4
;

2
1
S

Giải các phơng trình:
44
2
+
xx
=
347
+

2
25 x

-
310
2
=
x
H ớng dẫn
a.
22
)32()2(
+=
x
x-2=2+
3
*x-2=2+

3
x=4+
3
*x-2=-(2+
3
) x=-
3
Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm là x
1
=4+
3
; x
2
=-
3

b. Đặt
ax
=
2
25
;
bx
=
2
10
( a 0; b 0)
a-b=3 a=b+3 (1)
và a
2

b
2
= 15 (2)
Từ (1) và (2) suy ra (3+b)
2
b
2
= 15
Giải ra ta đợc a=4; b=1
Với a=4
2
25 x

=4 Giải ra đợc x=3
Với b=1
2
10 x

=1 Giải ra ta đợc x=3
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông
13
* Giải phơng trình :
6416
2
+
xx
+
2
x
= 10

H ớng dẫn
6416
2
+
xx
+
2
x
= 10

xx
+
8
= 10
Giải ra: x = - 1; x = 9
Giải các phơng trình sau:
12
2
+
xx
+
44
2
+
xx
= 3
34412
22
=+++
xxxx

.
- Biến đổi đa phơng trình về dạng.
| x 1| + | x 2 | = 3
- Xét đúng các trờng hợp của phơng trình
- Tìm nghiệm đúng x = 0; x = 3
Giải các phơng trình sau:
a.
44
2
+
xx
+
xx 1025
2
+
= 3
b.
12
+
xx
+
12

xx
= 2
a. Biến đổi đa phơng trình về dạng:
2

x
+

5

x
= 3
b. Điều kiện: x

1.
Bình phơng hai vế biến đổi về dạng:
x

2
= 2 x
Tìm đợc: x

2
Kết hợp đợc điều kiện: 1

x

2
* Giải các phơng trình sau

2
3
1
1
1
1
)
21

2
1
1
2
1
)
=

+

+

=++
x
x
x
x
b
xxxxa
H ớng dẫn
a) Tìm ĐKXĐ : x

1
- Biến đổi đa về phơng trình dạng:
(
)
11
+
x
2

+
(
)
11

x
2
= 2
- Biến đổi tơng đơng đa phơng trình về :
11
+
x
+
11

x
= 2
- áp dụng BĐT giá trị tuyệt đối:
baba
++
Ta có
11
+
x
+
11

x
=
11

+
x
+
11

x
2


- Chỉ ra dấu = xảy ra (
11
+
x
)
(
11

x
)
0


GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông
14
( Vì x
1

= >
011
+

x
) 1 -
01

x

11

x
x -
11

= > x
2

- Kết hợp với ĐKXĐ ta đợc nghiệm phơng trình là:
21

x

b) - Tìm ĐKXĐ
1

x
- Đặt
K
x
x
=
+

1
1
(k
0

) đa PT đã cho về dạng
2
31
=
k
k

- Giải phơng trình ẩn k tìm ra k
1
= 2 ; k
2
=
2
1
( loại)
- Thay k = k
1
= 2 vào
k
x
x
=
+

1
1
tìm ra x = -
3
5

- Trả lời: Tập nghiệm của phơng trình đã cho là S = -
3
5
* Giải các phơng trình:
122122
++++++
xxxx
= 2
H ớng dẫn

11
++
x
+
11
+
x
= 2 ĐKXĐ : x

- 1


11
++

x
+
11
+
x
= 2 (1)
Nếu
1
+
x
- 1

0

x + 1

1

x

0 thì (1) 2
1
+
x
= 2

1
+
x
= 1

x =
0
Nếu x < 0 thì 2 = 2 (luôn đúng)
Vậy - 1

x

0 là nghiệm của phơng trình.
Giải phơng trình:
19124
2
=+
xxx
Đa phơng trình về dạng:
132
=
xx
Giải phơng trình trong 2 trờng hợp
Kết luận nghiệm của phơng trình
Giải phơng trình : x
2
+3x +1 = (x+3)
2
1x +
Phơng trình về dạng
(
(
)
(

)
2 2
1 3 1 0x x x+ + =

=>
2
2
1 3
1
x
x x

+ =


+ =

=>
2
2 2
1 9
1
x
x x

+ =

+ =

GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông
15
=>
2 2x =

* Tìm các số a;b;c biết:
011)2312(2
=+++++
cbacba

H ớng dẫn
- Chỉ ra ĐKXĐ: a
0

, b
1

, c
2


- Biến đổi tơng đơng đẳng thức đã cho về dạng (
1

a
)
2
+ (
21

b
)
2
+(
32

c
)
2
= 0






=
=
=
032
021
01
c
b
a

=
=
=
11
5
1
c
b
a

- Đối chiếu với ĐKXĐ và kết luận: a = 1, b = 5, c = 11
Dạng 4: so sánh các căn thức bậc hai
Cho bất đẳng thức:
53:)I(
+
<2
2
+
6
(II): 2
3
+4> 3
2
+
10
(III):
2
4

2
30
>
Bất đẳng thức nào đúng
A: Chỉ I B: Chỉ II C: Chỉ III D: Chỉ I và II
H ớng dẫn
D: Chỉ I và II
* So sánh a) a và
a
với a > 1
b)
4524
+
và 12
c)
157
+
và 7
d) 2 và
18

e)
1537

và 2
Hớng dẫn
a) Do a > 1


a

> 1

a >
a
b)
4524
+
< 5 + 7 = 12
c)
157
+
< 3 + 4 = 7
d) 2 = 3 1 <
18

e)
1537

> 6 4 = 2
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông
16
So sánh
9
+
a
+
a
và
7
+

a
+
1
+
a
với a > 7
Giả sử
9
+
a
+
a
>
7
+
a
+
1
+
a


a + 9 + a + 2
)9(
+
aa
> a+ 7 + a + 1 + 2
18
2
++

aa

1 + 2
aa 9
2
+
> 2
18
2
++
aa
Ta thấy 1 + 2
aa 9
2
+
> 2
aaa
++
8
2
> 2
78
2
++
aa
vì a > 7
Điều giả sử luôn luôn đúng
Vậy
9
+

a
+
a
>
7
+
a
+
1
+
a
với a>7
B =
xxx
xxx
xxx
xxx
2
2
2
2
2
2
2
2
+



+

a) Tìm điều kiện xác định của B
b) Rút gọn B
c) Tìm x để B<2
Hớng dẫn
1. Tìm ĐKXĐ của B là x 0 và x 2
2. Biến đổi và rút gọn có kết quả B = 2
xx 2
2

3. B< 2 2
xx 2
2

< 2 ( x - 1)
2
< 2
Kết luận giá trị của x: 1-
2
< x< 0 và 2 x < 1+
2
Cho a > c , b >c , c > 0 Chứng minh :
( ) ( )
abcbccac
+
,áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm , ta có
( ) ( )
( ) ( )
1
2
1

2
1
11
=
+
+
+







+






=

+

=
+
a
c
a

c
a
c
b
c
b
c
a
c
a
c
b
c
ab
cbc
ab
cac
ab
cbccac
Suy ta :
( ) ( )
abcbccac
+
(đpcm).
*)Lu ý:
Có thể sử dụng bất đẳng thức Bunhia côski.
Ta có:

[ ]
( )( )

abccacbcccbcac
=+++
2
( ) ( )
abcbccac
+
(đpcm).
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông
17
Chứng minh.
2005
2006
2006
2005
+
>
20062005
+
Ta có:
20062005
2005
2006
2006
2005
+>+
(*)20062005
2006
1
2005
1

20052006
20062005
2005
1
2005
2005
2006
1
2006
2006
+>++
+>++
Do :
>
2006
1
2005
1
BĐT (* )luôn đúng.

BĐT đã cho đợc chứng minh.
Chứng minh bất đẳng thức :
b
ba
ab
ba
8
)(
2
2

<
+
với a > b > 0.
Ta có
ab
ba

+
2
=
2
)(
2
2
2
baabba

=
+

Cần chứng minh.
b
baba
8
)(
2
)(
22

<


(1)
2
)(
4
)(
)(
2
2
ba
bab
ba
bab

<

<


,)(0
2022
2
ba
abbababab
<
+<<
đúng với a > b > 0

đpcm
Tìm GTLN của biểu thức :
43
+
yx
biết x + y = 8
áp dụng bất đẳng thức Bu- nhi - a - cốp - xki với 2 cặp số a,b và x,y.
( )( )
( )
2
2222
byaxyxba
+++
Dấu đẳng thức xảy ra khi ay = bx
Đặt A
43
+=
yx
ta có :
A
2
( )
( )
( )
431143
22
2
+++=
yxyx
( )

72
+
yx

2 (vì x + Y = 8
=> A
2


KL : Max A
2
=
khi
43
=
yx

=> x = 3,5 và y = 4,5
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông
18
H
E
I
K
M
B
O
C
A
Tìm giá trị lớn nhất của A = x +

x

2
Đặt
x

2
= y (y

0)

y
2
= 2 x.
A = 2 y
2
+ y = -(y -
2
1
)
2
+
4
9



4
9
Max A =

4
9
tại y =
2
1


x =
4
7
.* C/m: 2, (3) <
3
23217

< 3
Hớng dẫn
2, (3) =
3
7
=
3
25217

<
3
23217

<
3
16217

= 3
C
2
: Biến đổi tơng đơng.
* Tìm giá trị NN; GTLN
A =
xx
++
11

B =
xx
+
62

H ớng dẫn
(
][
4;2
2

A
A
min
=
2
khi x =
1

; A
max =
2 khi x = 0
B
2
= 4 + 2(x - 2) (6 - x)

2

B

2
B
min
= 2 khi n = 2; 6 ; B
max
= 2 khi x = 4
Dạng 5: giải bất phơng trình
* Tìm x: a)
3
2

x
< x
2
- 3
b)
96
2
+

xx
>x - 6
Hớng dẫn
a)
3
2

x
< x
2
- 3

x
2
- 3 > 1

x
2
< 4

- 2 < x < 2
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông
19
Dạng 6: số hữu tỉ số vô tỉ
. * Có 2 số vô tỉ dơng nào có tổng là số hữu tỉ không ?
Hớng dẫn
Có VD :
( )
Q
=+

5252
.* C/m
;52 Q
+

67,12345
I
Hớng dẫn
Phơng pháp phản chứng.

* Chứng minh
532
++
I
Hớng dẫn
Phơng pháp phản chứng.
.* Cho a, b, c, d Q ;
cba
=+
(1)
; C/m
a b
Q
Hớng dẫn
gt
c
ba
ba
ba
ba

=
+

=
(2)
(1)(2)
2)(
c
ba
ca

+=
Q

2:)(
c
ba
cb

=
Q
*. Cho a, b, c, d Q;
)1(
dcba
=++
.C/m
a
;
b

;
c
Q
Hớng dẫn
(1) (
2
)ba
+
= (d -
2
)c
2
ab
= d
2
- 2d
c
+ c - a - b
4ab = (d
2
+ c - a - b)
2
- 4d
c
(d
2
+ c - a - b) + 4cd
2
d
c

(d
2
+ c - a - b) = 0 d = 0
====
0cba
0 Q
d
2
+ c - a - b = 0
c
Q (c = 0)
*. Cho Z C S C R thoả mãn
32
+
S
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông
20
yx;
∀
∈S th× x + y ∈ S vµ x.y ∈ S.
C/m:
32
1
=
∈ S
Híng dÉn
32
+
∈S → (
32

+
)
2
∈S → 2
6
((
32
+
)∈S → 4
263
+
∈S
(1)
→5 (
32
+
) - (6
342
+
)∈S →
(2)
(1); (2) → 5(
32
+
) - (6
342
+
) ∈ S →
23
−

∈ S →
32
1
=
∈ S.
* Cho x
3
- x = a ∈ Z; x
4
- x = b ∈ Z. Chøng minh x ∈ Z.
Híng dÉn
+ Chøng minh x ∈ Q
gs x∈I tõ a = x
3
- x → ax = x
4
- x
2
mµ b = x
4
- x → b - ax = x
2
- x
→ x
2
+ (a - 1) x

b = 0
(1)
Do x∈I → a, b ≠ 0 Tõ (1)→ ax

2
+ a (a - 1) x

ba = 0
V×
bbxxxa
xx
x
xx
xx
b
a
+=++>−
++
+
=
−
−
=
)1(
1
1
2
24
2
(a - 1)ax - ab - ax - a = - bx - b - > (a
2
- 2a + b) x = (a + ab - b)




=−−
=+−
0
02
2
abab
baa
→





=−−−
−=
0)2(2
2
22
2
aaaaa
aab
→



=+−
=
013
0

3
aa
a
→ a = 0 (Do a ∈ Z)
→ x
3
- x = 0 - >



±
=
1
0
x
x
(>< gt) → x ∈ Q
+ Chøng minh: x ∈ Z
gs x =
q
p
(pq ∈ Z); (p; q) = 1→ a =
3
2
3
3
3
p
pqp
q

p
q
p
−
=−
∈z → p
3
q
mµ (p; q) = 1 → p = 1 tõ ®ã x = p ∈ Z
* T×m x∈ Q ®Ó
xx
−
2
∈ Q
GV: Lª ThÞ HuyÒn Tr êng THCS Lª Th¸nh T«ng
21
Hớng dẫn
Cách 1:

Đặt
Axx
=
2
(A Q)
X =
q
p
(p, q Z); (p; q) = 1
x
2

- x =
tTApqpp
p
pqp
AA
q
p
q
p
()(
222
2
2
22
2
2
==>

=>=
Z)
Vì (p; q) = 1 - > (p, q - p) = 1 - >





=
=
2
2

2
tqp
tp
(t
1
; t
2
z ; t
1
, t
2
= t)
p = t
1
2
- t
2
2
mà x = p/q - > x =
2
22
2
tt
t

Cách 2:

Đặt
xx

2
= x - a > 0 (a Q)
(x
2
- x = (x
2
- 2ax + a
2
- > 2ax - x = a
2
- > x =
12
2

a
a
Vậy để
xx

2
Q thì x =
12
2

a
a
Ngày 24 tháng 9 năm 2007
Tuần 3 + Tuần 4: Liên hệ giữa phép nhân, phép chia và
phép khai phơng, bảng căn bậc hai.
A. Mục tiêu:

- HS nắm vững liên hệ giữa phép nhân, phép chia với phép khai phơng, qui
tắc khai phơng một tích, qui tắc nhân các căn bậc hai, qui tắc khai phơng một thơng,
qui tắc chia hai căn thức bậc hai.
- Rèn luyện cho HS các kĩ năng suy nghĩ, trình bày, diễn đạt các dạng toán.
- Giáo dục tính cẩn thận, tính linh hoạt, sáng tạo cho HS.
B. Chuẩn bị:
- GV: + Giáo án.
+ Bảng phụ.
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông
22
- HS: Ôn tập về liên hệ giữa phép nhân, phép chia với phép khai phơng, qui
tắc khai phơng một tích, qui tắc nhân các căn bậc hai, qui tắc khai phơng một thơng,
qui tắc chia hai căn thức bậc hai.
C. tiến trình dạy học:
I. Lí thuyết :
(GV nêu từng câu hỏi, HS lần lợt trả lời, HS nhận xét, bổ sung, GV uốn nắn, củng cố
và hệ thống lại kiến thức)
1. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng.
a. Định lí: Với hai số a và b không âm, ta có = . .
* Chú ý: + Định lí trên có thể mở rộng cho tích của nhiều số không âm.
+ Với hai biểu thức A và B không âm ta có = .
Đặc biệt, với biểu thức A không âm ta có ()
2 =
2
A
= A.
b. Qui tắc khai ph ơng một tích.
Muốn khai phơng một tích của các số không âm, ta có thể khai phơng từng
thừa số rồi nhân các kết quả với nhau.
c. Qui tắc nhân các căn bậc hai.

Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dới
dấu căn với nhau rồi khai phơng kết quả đó.
2. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng.
a. Định lí: Với số a không âm và số b dơng, ta có:

a
b
=

a
b
b. Qui tắc khai ph ơng một th ơng.
Muốn khai phơng một thơng , trong đó số a khong âm và số b dơng, ta có thể
khai phơng lần lợt số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.
c. Qui tắc chia hai căn thức bậc hai.
Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b dơng, ta có thể
chia số a cho số b rồi khai phơng kết quả đó.
d. Chú ý: Với biểu thức A không âm và biểu thức B dơng, ta có

A
B
=

A
B
II. Bài tập:
Đối với mỗi bài tập, dạng mới thì GV chữa mẫu, nếu không, HS làm tại chỗ, (nếu bài
nào không có HS nào làm đợc thì GV gợi ý dần cho HS suy nghĩ), HS khác nhận xét,
bổ sung, sau đó GV chữa bài, chốt cách làm.
. Tính A =

74
+
-
74

-
2
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông
23
Híng dÉn
C¸ch 1: TÝnh
2
. A
C¸ch 2:

¸p dông CT c¨n phøc t¹p
§S: A = 0
TÝnh
A 3 5 3 5= − − +
.
H íng dÉn
C¸ch 1: TÝnh A
2
(Chó ý A < 0).
C¸ch 2: TÝnh A
C¸ch 3: Sö dông c«ng thøc c¨n thøc phøc t¹p (hai chiÒu)
C¸ch 4: Sö dông h»ng ®¼ng thøc
2
A
=

A
§¸p sè: A = -
. TÝnh : A =
3232
−++
Híng dÉn
C¸ch 1:

TÝnh A
2
(Chó ý A < 0)
C¸ch 2:

TÝnh
2
. A
C¸ch 3:

Sö dông CT c¨n thøc phøc t¹p (2 chiÒu)
C¸ch 4:

Sö dông
A
= {A}
TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc P =
57240
−
-
57240
+

40
2
< 57
⇒
57240
−
= 57 - 40
2

p < 0.
P
2
= 100
suy ra P = - 10
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc
A=
3242
32
++
+
+
3242
32
−−
−
B=
2312
+
-
2312

−
-
2
GV: Lª ThÞ HuyÒn Tr êng THCS Lª Th¸nh T«ng
24
Hớng dẫn
A=
2
)13(2
32
++
+
+
2
)13(2
32


A=
33
32
33
32


+
+
+
A=
22

)3(3
)33()32()33)(32(

+++

Từ đó suy ra A=1
2B=
22322423224
+
2B=
123223
++
-
123223
+
-2
2B=
22
)123()123(
+
-2
2B=
2123123
++
2B=0 B=0
Tính A =
3232
3232
+
++

+
3232
3232
++
+
.
H ớng dẫn
A =
3232
3232
+
++
+
3232
3232
++
+
.
Cách 1: Nhân cả tử và mẫu của mỗi biểu thức lấy căn với
Cách 2: Qui đồng mẫu.
Cách 3: áp dụng công thức căn thức phức tạp.
Cách 4: Tính số bị trừ bằng , số trừ là nghịch đảo của số bị trừ.
Đáp số:
3
2

Rút gọn biểu thức
5122935
=
A

Thực hiên các phép biến đổi đa một thừa số vào trong dấu căn, ra ngoài dấu căn ta đ-
ợc kêt quả biẻu thức A = 1.
Khoanh tròn các chữ cái đứng trớc kết quả đúng trong câu sau:
Kết quả rút gọn biểu thức:
32
+
+
3514

bằng:
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông
25