Bài soạn Đề thi học sinh giỏi (HSG) toán 9 Tỉnh Hòa Bình

Sở GD&ĐT Hòa Bình Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS
Năm học 2007 - 2008
Đề chính thức Môn thi: TOáN

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: ngày 28 tháng 3 năm 2008
(Đề bài gồm có 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm): Giải các phơng trình sau:
1.
0)1(
22
=++
yx
2.
032)1(
5
=+
x
Câu 2 (4,0 điểm): Cho biểu thức A
2
2
:
2510
25
223
2


+

=

yy
y
xxx
x
1. Rút gọn A.
2. Tính giá trị của biểu thức A biết rằng
096692
22
=++
xxyyx
Câu 3 (2,0 điểm): 1. Chứng minh rằng mọi số nguyên tố p lớn hơn 3 đều viết đợc dới
dạng p =
6 1m

, với m là số tự nhiên.
2. Tìm số nguyên tố p sao cho
18
2
+
p
là số nguyên tố.
Câu 4 (3,0 điểm): Cho hình thang cân ABCD, gọi M, N, K lần lợt là hình chiếu của D
trên các đờng thẳng AB, AC, BC. Chứng minh rằng ba điểm M, N, K thẳng hàng.
Câu 5 (3,0 điểm):
1. Giải phơng trình
3 2
3 3 3 1 0x x x =
2. Giải hệ phơng trình
3 2
3 2

3 2
1
0
3
1
0
3
1
0
3
x y y
y z z
z x x

=



=



=


Câu 6 (4,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn (O); các đờng cao AH,
BE, CF cắt (O) tại M, N, K.
1. Gọi T là trực tâm tam giác ABC, chứng minh rằng T và M đối xứng nhau qua đ-
ờng thẳng BC.
2. Tính

CF
CK
BE
BN
AH
AM
++
Câu 7 (2,0 điểm): Tìm nghiệm x, y, z nguyên dơng của phơng trình x+y+z -1 = xyz
.........................Hết........................
Họ và tên thí sinh..................................................
Số báo danh........................Phòng thi số................
Giám thị 1 Giám thị 2
Sở GD&ĐT Hòa Bình Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS
N¨m häc 2007-2008
híng dÉn chÊm m«n TO¸N

K
A
Câu
ý
Nội dung Điểm
1
1.
2.
0)1(
22
=++
yx

=
=

0
1
y
x
032)1(
5
=+
x
55
2)1(
=+
x
1
=
x
1 đ
1 đ
2
1.
2.
- Kết quả rút gọn A=
.
)5(
)1)(5(

++
xx
yx
- Giả thiết
0)3()3(
22
=+
xxy






=
=
1
3
y
x

thay vào
3
8
=
A
2 đ
1 đ
1 đ
3

1.
2.
- Mọi p nguyên tố lớn hơn 3, p không chia hết cho 2 và 3 nên






+
+
mp
mp
mp
6
26
36
, từ đó



+=
+=
16
56
mp
mp
hay p =
6 1m

- Xét p>3 thay p = 6 1m vào biểu thức A=
18
2
+
p
thấy
33 A
<

(loại)
thay trực tiếp p =3, A=73 (nhận)
p=2, A=33 (loại).
1 đ
1 đ
4
- Chứng minh
ã
ã
MND BCD=
,

ã ã
DNK DCK=

từ đó
ã
ã
2MND DNK v+ =
, suy ra M, N, K
thẳng hàng.

Chú ý: Học sinh sử dụng đờng thẳng Sim
sơn không đợc tính điểm.
1 đ
1 đ
1 đ
5
Câu
1.
2.
ý
Biến đổi chuyển về
33
)1(4
+=
xx

14
1
3

= x
- Lập luận x, y, z >0, thật vậy từ pt (1):
0
12
1
)
2
1
(
3

1
223
>++=++= yyyx
Giả sử
yx


2
1
2
1
)
2
1
()
2
1
(
22
++++
zyzy
(Vì y, z>0) từ đó
zy

, tơng tự
xz

từ đó x=y=z.
Dẫn về giải hệ

++=
==
3
1
23
xxx
zyx
14
1
3

===
zyx
Nội dung
1,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Điểm
6
1
- Chứng minh đợc
ã
ã
TCH HCM=
.

1 đ
N
K
M
C
A
D
B
T
F
M
H
N
E
B
C
Chú ý: Mọi cách giải khác và đúng đợc điểm tơng đơng.