Bài soạn Đề thi học sinh giỏi (HSG) toán 9 số 2

Phòng giáo dục Lơng sơn Đề thi học sinh giỏi THCS
Năm học 2005 -2006
Môn: Toán
Thời gian: 120 phút - Không kể thời gian giao đề
( Học sinh không phải chép đề vào giấy thi )
Câu 1: (4 điểm) Hãy chọn Câu trả lời đúng trong các câu sau:
a. 7
2005
có chữ số tận cùng là chữ số nào trong các chữ số sau:
A: 1; B: 7; C: 5; D: 9.
b. Đa thức x
4
+ 4x
3
+ 3x
2
+ 5x + 14 chia hết cho đa thức nào trong các đa thức
sau:
A: x + 2; B: x - 2; C: x - 4; D: x + 4.
c. Cho biểu thức: P =
7474
+
-
2
khẳng định nào sau đây là
đúng:
A: P > 0; B: P = 0; C: P < 0; D: P là biểu
thức không có nghĩa.
d. Cho hình vẽ biết: A'
AA' = AC; BB' = AB
CC' = BC và diện tích tam giác ABC A

bằng S, diện tích tam giác A'B'C' nhận giá trị nào C
trong các giá trị sau: B
A: 4S; B: 5S; C'
C: 6S; D: 7S. B'
Câu 2: (2,5 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
A = (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15
B = 2a
2
b
2
+ 2b
2
c
2
+ 2c
2
a
2
- a
4
- b
4
- c
4
Chứng tỏ nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì B > 0.
Câu 3: (2 điểm)
a. Cho a + b + c = 1 chứng minh rằng a
2
+ b
2

+ c
2

3
1
b. Chứng minh rằng:
1
2
2
2
++
++
aa
aa
2 với mọi a.
Câu 4: (3 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
A =
2
4
3
1
1
xx
++
; B = x + 3 -
12
+
(x - 1)
Câu 5: (2,5 điểm) Cho hai đờng thẳng:
d

1
có phơng trình: y = 2x - 14
d
2
có phơng trình: y =
2
1
x -
2
19
và họ đờng thẳng d có phơng trình: y = (2m + 1) + 3m - 2.
a. Tìm m để đờng thẳng d đi qua giao điểm của d
1
và d
2
.
b. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì họ đờng thẳng d luôn đi qua một điểm cố
định. Xác định toạ độ của điểm cố định đó.
Câu 6: (2 điểm) Giải phơng trình sau:
x
2
+ x + 12
1
+
x
= 36
Câu 7: (4 điểm) Cho đờng tròn (O, R) qua một điểm M trong đờng tròn vẽ hai dây AB
và CD của đờng tròn, gọi N là trung điểm của BD, đờng thẳng MN cắt AC tại K. Chứng
minh rằng:
a. MC . MD = MA . MB = R

2
OM
2
b.
2






=
CM
AC
KC
AK