Xây dựng phương pháp số cân bằng cho hệ các phương trình nước nông với nhiệt độ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

NGUYỄN XUÂN THANH

XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ CÂN BẰNG
CHO HỆ CÁC PHƯƠNG TRÌNH NƯỚC NƠNG
VỚI NHIỆT ĐỘ
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

NGUYỄN XUÂN THANH

XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ CÂN BẰNG
CHO HỆ CÁC PHƯƠNG TRÌNH NƯỚC NƠNG
VỚI NHIỆT ĐỘ

LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60460112

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN

PGS. TS. Mai Đức Thành

Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2017


CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCM
Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Mai Đức Thành.
Cán bộ chấm nhận xét 1: TS. Nguyễn Bá Thi.
Cán bộ chấm nhận xét 2: PGS. TS. Nguyễn Văn Kính.
Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG
Tp. HCM ngày 11 tháng 01 năm 2018.
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
1. Chủ tịch: PGS. TS. NGUYỄN ĐÌNH HUY.
2. Thư ký: TS. HUỲNH THỊ HỒNG DIỄM.
3. Phản biện 1: TS. NGUYỄN BÁ THI.
4. Phản biện 2: PGS. TS. NGUYỄN VĂN KÍNH.
5. Ủy viên: TS. LÊ XUÂN ĐẠI.
Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên
ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có).
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

PGS. TS. NGUYỄN ĐÌNH HUY

PGS. TS. HUỲNH QUANG LINH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh Phúc
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Mã số học viên: 1670243

Họ tên học viên: NGUYỄN XUÂN THANH
Ngày, tháng, năm sinh: 01/11/1991
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Nơi sinh: Quảng Ngãi
Mã số: 60460112

I. TÊN ĐỀ TÀI: XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ CÂN BẰNG CHO
HỆ CÁC PHƯƠNG TRÌNH NƯỚC NƠNG VỚI NHIỆT ĐỘ

II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
- Kiến thức cơ sở.
- Xây dựng ma trận Roe và phương pháp số cân bằng, hiệu chỉnh số.
- Kiểm định số.
III. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 10/07/2017
IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 03/12/2017
V. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS. TS. MAI ĐỨC THÀNH.
Tp. HCM, Ngày........... tháng........ năm..........
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN
(Họ tên và chữ ký)

CHỦ NHIỆM NGÀNH TOÁN ỨNG DỤNG
(Họ tên và chữ ký)

PGS. TS. MAI ĐỨC THÀNH

PGS. TS. NGUYỄN ĐÌNH HUY

TRƯỞNG KHOA
(Họ tên và chữ ký)

PGS. TS. HUỲNH QUANG LINH


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc của mình tới Thầy
hướng dẫn PGS. TS. Mai Đức Thành – Trường Đại học Quốc Tế Tp. Hồ
Chí Minh, Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh, người đã ln tận tụy,
nhiệt tình hướng dẫn, giảng dạy, quan tâm giúp đỡ, truyền đạt kiến thức
và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn các Thầy, Cô trong Bộ mơn Tốn Ứng Dụng,
khoa Khoa học ứng dụng, Trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí
Minh đã hết lòng giảng dạy, truyền thụ kiến thức và tạo mọi điều kiện
tốt nhất để tơi hồn thành luận văn của mình.
Tơi xin cảm ơn các anh chị, các bạn lớp Cao học ngành Tốn Ứng
Dụng khóa 2016 đã động viên, giúp đỡ tơi trong suốt q trình học và
q trình thực hiện luận văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè của mình, những người
đã luôn ở bên cạnh động viên, tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi suốt
thời gian học tập.

Cuối cùng, trong q trình thực hiện luận văn khó tránh khỏi những
thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của quý Thầy, Cơ và bạn đọc để
bổ sung và hồn thiện đề tài tốt hơn.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Xuân Thanh

i


TĨM TẮT LUẬN VĂN
Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu những vấn đề sau:
1. Hệ các phương trình nước nông một chiều với nhiệt độ.
2. Xây dựng ma trận Roe.
3. Xây dựng lược đồ số dựa trên các sóng tĩnh. Lược đồ này được xây
dựng sao cho nó ln duy trì trạng thái cân bằng.
4. Hiệu chỉnh số lược đồ trong miền cộng hưởng.
5. Kiểm định số.
Cách tiếp cận của chúng tôi trong luận văn này dựa trên lược đồ cân
bằng và so sánh nghiệm.
Kết quả chúng tôi thu được nghiệm số xấp xỉ nghiệm chính xác của hệ
phương trình nước nơng với nhiệt độ một chiều với nhiệt độ.

ABSTRACT
In this thesis, we research these following subjects:
1. One-dimensional shallow equations with temperature.
2. Constructing Roe’s matrix.
3. Constructing numerical scheme base on stationary waves. This scheme
is constructed so that it maintains equilibrium states.

4. Computing corrector in resonant regime.
5. Test cases.
The approach utilized in this thesis is based on Well-balanced numerical scheme and the comparison solution.
After all, we get numerical solution approximate exactly solution of
one-dimensional shallow water equations with temperature.

ii


LỜI CAM ĐOAN
Tôi tên là Nguyễn Xuân Thanh, mã học viên: 1670243, học viên cao
học chuyên ngành Toán Ứng Dụng trường Đại học Bách Khoa thành phố
Hồ Chí Minh khóa 2016 - 2018. Tôi xin cam đoan rằng ngoại trừ các kết
quả tham khảo từ các cơng trình khác như đã ghi rõ trong luận văn, các
cơng việc trình bày trong luận văn này là do chính tơi thực hiện dưới sự
hướng dẫn của PGS. TS. Mai Đức Thành và tơi hồn tồn chịu trách
nhiệm tính trung thực về đề tài nghiên cứu này.

Tp. Hồ Chí Minh, ngày 03 tháng 12 năm 2017
Học viên thực hiện

Nguyễn Xuân Thanh

iii


DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU
Ký hiệu

Ý nghĩa

IVP

Initial value problem

MC

Monotonicity Criterion

CFL

Courant, Friedrichs, and Lewy

LF

Lax-Friedrichs

LW

Lax-Wendroff

R

Trường các số thực

Rp

Không gian véc-tơ thực p-chiều

C2

Tập các hàm có đạo hàm cấp 2 liên tục
Tốn tử nabla

L1

Khơng gian hàm có lũy thừa bậc 1 khả tích

I

Ma trận đơn vị

R+

Số thực dương

Z

Tập hợp số nguyên

N

Tập hợp số nguyên không âm

|| · ||L1

Chuẩn trong không gian L1

iv

LỜI MỞ ĐẦU
Ngày nay, sự nóng lên của trái đất và biến đổi khí hậu trên tồn cầu
đang là vấn đề nóng được nhiều nhà khoa học từ các lĩnh vực quan tâm.
Nó ảnh hưởng trực tiếp đến đời sống con người và tương lai nhân loại vì
các hiện tượng thiên tai như lũ lụt, sóng thần, bão, lốc xốy, động đất và
ô nhiễm môi trường ngày càng trầm trọng. Do đó các nhà khoa học phải
tìm giải pháp để thích ứng với biến đổi khí hậu và phát triển bền vững,
đồng thời họ cố gắng tìm các giải pháp để cải thiện mơi trường sống của
con người.
Trong khi đó, các nhà tốn học cũng đi xây dựng các mơ hình và cách
giải các mơ hình này để dự báo các vấn đề liên quan đến lũ lụt, sạt lỡ
đất, sóng thần, vỡ đập .... Một trong những mơ hình được các nhà toán
học quan tâm hiện nay là hệ các phương trình nước nơng. Để dẫn chứng
cho điều này, tôi xin đưa ra một số bài báo khoa học quốc tế gần đây liên
quan đến vấn đề này:

• A. Chertock, A. Kurganov, Y. Liu, Central–upwind schemes for the
system of shallow water equations with horizontal temperature gradients, Numer. Math. (2014) 127:595-639.

• M.D. Thanh, Md. Fazlul Karim, Ahmad Izani Md. Ismail, Well–balanced
scheme for shallow water equations with arbitrary topography, Int. J.
Dynamical Systems and Differential Equations, Vol. 1, No. 3, 2008.

• D. Krăoner, M.D. Thanh, Numerical solutions to compressible flows
in a nozzle with variable cross – section*, SIAM J. Numer. Anal, Vol.
43 (2005), No. 2, pp. 769 - 824.
Vì thấy đây là một vấn đề thời sự và có ý nghĩa thực tiễn, tôi đã chọn
đề tài nghiên cứu "XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ CÂN BẰNG CHO
v

HỆ CÁC PHƯƠNG TRÌNH NƯỚC NƠNG VỚI NHIỆT ĐỘ" cho luận
văn của mình.
Mục đích nghiên cứu:
Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu xây dựng lược đồ số
cân bằng để tìm nghiệm số và so sánh với nghiệm chính xác của hệ các
phương trình nước nơng một chiều với nhiệt độ. Qua đó, có thể đánh giá
được sự hiệu quả của lược đồ.
Đối tượng nghiên cứu:
Chúng tôi nghiên cứu trên các đối tượng:

• Hệ các phương trình nước nơng một chiều.
• Sóng giãn, sóng sốc, gián đoạn tiếp xúc.
• Các trạng thái tĩnh.
Phương pháp nghiên cứu:
Chúng tơi kế thừa và phát triển các kỹ thuật đã có của các tác giả đi
trước.
Nội dung và phạm vi của vấn đề sẽ nghiên cứu:
Ngoài phần lời mở đầu và kết luận, chúng tôi chia luận văn thành ba
chương.
Chương 1: Chúng tơi trình bày kiến thức cơ sở gồm có: các tính chất
cơ bản của hệ các luật bảo tồn, các sóng cơ sở của hệ hyperbolic phi
tuyến trong khơng gian một chiều, phương pháp sai phân hữu hạn cho
hệ hyperbolic các luật bảo tồn.
Chương 2: Chúng tơi xây dựng ma trận Roe cho hệ các phương trình
nước nơng một chiều với nhiệt độ, xây dựng phương pháp số cân bằng
dựa trên các trạng thái tĩnh, hiệu chỉnh số trong miền cộng hưởng.
Chương 3: Chúng tôi thực hiện kiểm định số giữa nghiệm số và nghiệm
chính xác thơng qua hai phần: sóng tĩnh và nghiệm khơng tĩnh.

vi


Mục lục
LỜI CẢM ƠN

i

LỜI CAM ĐOAN

iii

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU

iv

LỜI MỞ ĐẦU

vi

Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ

1

1.1 Các tính chất cơ bản của hệ các luật bảo tồn . . . . . . . .

1

1.1.1 Tính hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2 Tính thuần phi tuyến và suy biến tuyến tính các trường
đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2 Các sóng cơ sở của hệ hyperbolic phi tuyến trong khơng gian
một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1 Sóng giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2 Sóng sốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.3 Gián đoạn tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3 Phương pháp sai phân hữu hạn cho hệ hyperbolic các luật
bảo toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Chương 2. XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ CÂN BẰNG 13

2.1 Các trạng thái tĩnh

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.1.1 Tính chất cơ bản của hệ các phương trình nước nơng
một chiều với nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii

15


2.1.2 Đường cong sóng tĩnh . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2 Xây dựng lược đồ số dựa trên các trạng thái tĩnh . . . . . .

28

2.2.1 Xây dựng ma trận Roe cho hệ các phương trình nước
nông một chiều với nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.2.2 Xây dựng lược đồ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.2.3 Hiệu chỉnh số trong miền cộng hưởng . . . . . . . . . .

39

Chương 3. KIỂM ĐỊNH SỐ

41

3.1 Sóng tĩnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.1.1 Trường hợp chiều cao đáy gián đoạn . . . . . . . . . .

42

3.1.2 Trường hợp chiều cao đáy liên tục . . . . . . . . . . . .

43

3.2 Nghiệm không tĩnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.2.1 Trường hợp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.2.2 Trường hợp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.2.3 Trường hợp 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.2.4 Trường hợp 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.2.5 Trường hợp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.2.6 Trường hợp 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

KẾT LUẬN

72

TÀI LIỆU THAM KHẢO

74

PHỤ LỤC

82

viii


Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

Chương 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ
Trước khi xây dựng lược đồ cân bằng cho hệ các phương trình nước
nơng một chiều với nhiệt độ, chúng tơi xin trình các kiến thức cơ sở để
bạn đọc dễ hiểu hơn ở các phần sau. Các kiến thức này được chúng tôi
tham khảo ở phần giới thiệu, chương một và phần một chương ba trong
[2].

1.1
1.1.1

Các tính chất cơ bản của hệ các luật bảo tồn
Tính hyperbolic

Cho Ω ⊂ Rp là một tập mở. Giả sử trên Ω xác định d hàm khả vi liên
tục với giá trị véc-tơ:

fj : Ω −→ Rp ,

1 ≤ j ≤ d.

Dạng tổng quát của hệ luật bảo toàn nhiều biến là:

∂u
+
∂t

d

j=1

∂
fj (u) = 0,
∂xj

x = (x1 , x2 , · · · , xd ) ∈ Rd ,

t > 0,

(1.1)

trong đó ẩn hàm u = u(x, t), x ∈ Rd , t ≥ 0 là một giá trị véc-tơ từ
Rd × [0, +∞) vào Ω:
 
u1
 
u 
 2
u =  . .
 .. 
 
up

Nguyễn Xuân Thanh

1


Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

Tập Ω được gọi là tập các trạng thái và các hàm
 
f1j
 
f 
 2j 
fj =  . 
 .. 
 
fpj
được gọi là các hàm thơng lượng. Hơn nữa, ta nói rằng hệ (1.1) được
viết dưới dạng bảo toàn.
Tiếp theo, chúng ta đi vào khái niệm hệ hyperbolic các luật bảo toàn.
Gọi ma trận Jacobi của fj (u) là:

Aj (u) =

∂fij
(u)
∂uk

,

j = 1, 2, · · · , d.

1≤i,k≤p

Hệ (1.1) được gọi là hyperbolic nếu với mỗi u ∈ Ω và với bất kỳ ω =

(ω1 , ω2 , · · · , ωd ) ∈ Rd , ω = 0, ma trận
d

A(u, ω) =

ωj Aj (u)
j=1

thừa nhận p giá trị riêng

λ1 (u, ω) ≤ λ2 (u, ω) ≤ · · · ≤ λp (u, ω)
cùng với một hệ p véc-tơ riêng tương ứng độc lập tuyến tính

r1 (u, ω), r2 (u, ω), · · · , rp (u, ω).
Khi đó,

A(u, ω)rk (u, ω) = λk (u, ω)rk (u, ω),

1 ≤ k ≤ p.

Hơn thế, nếu tất cả các giá trị riêng λk (u, ω) là phân biệt:

λ1 (u, ω) < λ2 (u, ω) < · · · < λp (u, ω)
thì hệ (1.1) được gọi là hyperbolic ngặt.
Giả sử hệ (1.1) là hyperbolic. Vì một ma trận và ma trận chuyển vị
Nguyễn Xuân Thanh

2


Tốn ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

của nó có cùng tập các giá trị riêng nên tồn tại các véc-tơ riêng lk (u, ω)
ứng với mỗi giá trị riêng λk (u, ω) của ma trận AT (u, ω), tức là

AT (u, ω)lk (u, ω) = λk (u, ω)lk (u, ω),

k = 1, 2, · · · , p.

Lấy chuyển vị hai vế ta được

AT (u, ω)lk (u, ω) = λk (u, ω)lk (u, ω)
⇔(AT (u, ω)lk (u, ω))T = (λk (u, ω)lk (u, ω))T
⇔lTk (u, ω)A(u, ω) = λk (u, ω)lTk (u, ω).
Từ đó, các véc-tơ lk thường được gọi là các véc-tơ riêng trái, và các véc-tơ

rk thường được gọi là các véc-tơ riêng phải của ma trận A.
Bây giờ, giả sử hệ (1.1) là hyperbolic ngặt. Khi đó,

li (u, ω)rj (u, ω) = 0 ∀i = j,

∀u ∈ Ω, ω = 0.

Với hệ đã cho, chúng ta tìm hiểu về bài toán Cauchy hay bài toán giá
trị đầu (IVP).
Bài tốn Cauchy đối với hệ (1.1) là bài tốn tìm hàm

u : (x, t) ∈ Rd × [0, +∞) −→ u(x, t) ∈ Ω
là nghiệm của hệ (1.1) thỏa mãn điều kiện đầu:

u(x, 0) = u0 (x),

x ∈ Rd ,

(1.2)

trong đó u0 : Rd −→ Ω là một hàm cho trước.
Trong trường hợp x là biến một chiều và u0 có dạng:


ul , x < 0,
u0 =

ur , x > 0,

(1.3)

bài tốn Cauchy với u0 có dạng (1.3) được gọi là bài toán Riemann.

Nguyễn Xuân Thanh

3


Tốn ứng dụng

1.1.2

Luận văn Thạc sĩ

Tính thuần phi tuyến và suy biến tuyến tính các trường đặc trưng

Để đơn giản, chúng tôi xét hệ trong không gian một chiều.
Giả sử Ω ⊂ Rp là một tập con mở và f : Ω −→ Rp là một hàm đủ trơn
tùy ý (ít nhất là thuộc lớp C 2 ). Ta xét hệ luật bảo toàn phi tuyến:

∂u
∂
+
f (u) = 0,
∂t
∂x

x ∈ R,

t > 0,

(1.4)

trong đó u = (u1 , u2 , · · · , up )T và f (u) = (f1 (u), f2 (u), · · · , fp (u))T . Để

đơn giản, giả sử rằng hệ (1.4) là hyperbolic ngặt, nghĩa là với bất kỳ

u ∈ Ω, ma trận Jacobi:
A(u) =

∂fi (u)
∂uj

1≤i,j≤p

có p giá trị riêng thực phân biệt:

λ1 (u) < λ2 (u) < · · · < λp (u).
Với mỗi giá trị riêng λk (u), ta kết hợp với một véc-tơ riêng phải rk (u),
ta có:

A(u)rk (u) = λk (u)rk (u)
và kết hợp với một véc-tơ riêng trái lk (u), ta có:

lTk (u)A(u) = λk (u)lTk (u),
nghĩa là lk (u) là một véc-tơ riêng của AT (u). Do các giá trị riêng là phân
biệt, các véc-tơ lk (u), 1 ≤ k ≤ p tạo nên một cơ sở của Rp và là cơ sở đối
ngẫu của rk (u), 1 ≤ k ≤ p, và sử dụng ký hiệu Kronecker, ta có:

lj (u)rk (u) = δjk ,

u ∈ Ω, 1 ≤ j, k ≤ p.

Định nghĩa 1.1.1. (Xem [2], trang 41)
Trường đặc trưng thứ k , (λk , rk ), được gọi là thuần phi tuyến nếu

Dλk (u) · rk (u) = 0,
Nguyễn Xuân Thanh

∀u ∈ Ω.

(1.5)
4


Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

Trường đặc trưng thứ k được gọi là suy biến tuyến tính nếu

Dλk (u) · rk (u) = 0,

∀u ∈ Ω.

(1.6)

Trong (1.5) và (1.6), Dλk (u) = λk (u) ∈ L(Rp ; R) là đạo hàm của

λk (u) và có thể đồng nhất với véc-tơ gradient

λk (u) ∈ Rp .

Bây giờ, giả sử trường đặc trưng thứ k là thuần phi tuyến, ta có thể
chuẩn hóa các véc-tơ riêng phải rk (u) và trái lk (u) sao cho:



Dλk (u) · rk (u) = 1,

(1.7)


lT (u)rk (u) = 1,
k
Và nếu trường đặc trưng thứ k là suy biến tuyến tính, tức là

Dλk (u) · rk (u) = 0,
ta có thể chuẩn hóa các véc-tơ riêng phải rk (u) và trái lk (u) sao cho:

lTk (u)rk (u) = 1.
1.2
1.2.1

Các sóng cơ sở của hệ hyperbolic phi tuyến trong khơng
gian một chiều
Sóng giãn

Cho uL , uR ∈ Ω. Ta khảo sát hàm liên tục trơn từng mảnh tự đồng
dạng u : (x, t) −→ u(x, t) là nghiệm của bài toán (1.4) nối uL với uR :

∂u
∂


+

f (u) = 0,


∂x 
 ∂t

uL , x < 0,
(1.8)


u(x, 0) =




uR , x > 0.
Hàm tự đồng dạng u có dạng:

u(x, t) = v
Nguyễn Xuân Thanh

x
.
t

(1.9)
5


Tốn ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

Từ (1.8), ta có:

∂
∂u
+
f (u) = 0
∂t
∂x
∂u
∂u
⇔
+ f (u)
=0
∂t
∂x
∂u
∂u
+ A(u)
= 0,
⇔
∂t
∂x

(1.10)

với ma trận Jacobi

A(u) =

∂fi (u)
∂uj

.
1≤i,j≤p

Thay u từ (1.9) vào (1.10) ta được

x
x
x
+A v
vx
=0
t
t
t
x
x
1
x
x
⇔ − 2v
+ A v
v
=0
t
t

t
t
t
1
x
x
x
⇔
A v
− I v 2 =0
t
t
t
t
x
x
x
⇔ A v
−
v
=0
t
t
t
⇔ (A (v (ξ)) − ξI) v (ξ) = 0,
vt

x
.
t

Ta suy ra hoặc
với ξ =

v (ξ) = 0
hoặc tồn tại một chỉ số k ∈ {1, 2, · · · , p} sao cho:


v (ξ) = α (ξ) rk (v (ξ)) ,

λk (v (ξ)) = ξ.
Nếu v (ξ) không triệt tiêu trên một khoảng thì do các giá trị riêng là
phân biệt, chỉ số k không phụ thuộc vào ξ trong khoảng đó. Nếu ta lấy
đạo hàm phương trình thứ hai đối với ξ , ta được

Dλk (v (ξ)) · v (ξ) = 1
Nguyễn Xuân Thanh

6


Tốn ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

và sử dụng phương trình thứ nhất thì

Dλk (v (ξ)) · α (ξ) rk (v (ξ)) = 1
⇔α (ξ) Dλk (v (ξ)) · rk (v (ξ)) = 1.

(1.11)

Phương trình (1.11) khơng thể giải được nếu trường đặc trưng thứ k là
suy biến tuyến tính. Nhưng nếu trường đặc trưng thứ k là thuần phi
tuyến, thì với việc chuẩn hóa (1.7), ta có

α (ξ) = 1.
Từ đó, ta thấy rằng hoặc

v (ξ) = 0
hoặc là



v (ξ) = rk (v (ξ)) ,

(1.12)


λk (v (ξ)) = ξ,
và v như vậy là đường cong tích phân của trường rk . Như vậy, giả sử
rằng trường đặc trưng thứ k là thuần phi tuyến và hàm v là nghiệm của
(1.12) với


v (λk (uL )) = uL ,

v (λk (uR )) = uR .
Như vậy đòi hỏi uL và uR cùng nằm trên một đường cong tích phân của

rk và λk tăng từ uL đến uR dọc theo đường này. Lý luận trên chỉ ra rằng

hàm


x



≤ λk (uL ) ,
uL ,


t

x
x
u(x, t) = v
, λk (uL ) ≤ ≤ λk (uR ) ,

t
t



x

uR ,
≥ λk (uR ) ,
t
là một nghiệm yếu tự đồng dạng của (1.4).

Nguyễn Xuân Thanh

(1.13)

7


Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

Định nghĩa 1.2.1. (Xem [2], trang 51)
Nghiệm yếu tự đồng dạng (1.13) của (1.4) được gọi là một sóng giãn k .
Sự tồn tại của các sóng giãn được cho bởi định lý dưới đây.
Định lý 1.2.1. (Xem [2], trang 51)
Giả sử rằng trường đặc trưng thứ k là thuần phi tuyến với sự chuẩn hóa
(1.7). Cho trước một trạng thái uL ∈ Ω, tồn tại một đường cong Rk (uL )
gồm các trạng thái u ∈ Ω mà có thể nối uL về bên phải bởi một sóng giãn

k . Hơn thế, tồn tại một phép tham biến hóa của Rk (uL ) : s −→ Φk (s)
xác định với 0 ≤ s ≤ s0 , s0 đủ bé sao cho

Φk (s; uL ) = uL + srk (uL ) +

s2
Drk (uL ) · rk (uL ) + O(s3 ).
2

(1.14)

Đường cong Rk (uL ) được gọi là đường cong giãn k . Đường này là một
đường cong tích phân của rk , tiếp xúc với rk (uL ) tại uL .
1.2.2

Sóng sốc

Cho trước hai trạng thái uL , uR ∈ Ω. Ta khảo sát các nghiệm gián
đoạn là hằng số từng mảnh của (1.4) nối uL với uR . Nhắc lại rằng dọc
theo đường gián đoạn x = ξ(t) của một nghiệm yếu u của (1.4), u thỏa
hệ thức bước nhảy Rankine-Hugoniot:

σ[u] = [f (u)],

(1.15)

trong đó σ = ξ (t) là tốc độ lan truyền gián đoạn. Từ đó, một hàm


uL , x < λt,
(1.16)
u(x, t) =

uR , x > λt,
là một nghiệm yếu của (1.4) nếu số thực σ thỏa mãn:

− σ(uR − uL ) + (f (uR ) − f (uL )) = 0.
Nguyễn Xuân Thanh

(1.17)
8

Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

Một nghiệm dạng (1.15),(1.16) của hệ hyperbolic phi tuyến (1.4) được
gọi là một sóng gián đoạn. Cho trước trạng thái bên trái uL , ta có thể
xác định được tập hợp các trạng thái u ∈ Ω mà có thể nối với uL về bên
phải bởi một sóng gián đoạn. Từ đó, ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.2.2. (Xem [2], trang 60)
Tập Rankine-Hugoniot của u0 là tập tất cả các trạng thái u ∈ Ω sao cho
tồn tại một số σ(u0 , u) ∈ R thỏa mãn

− σ(u0 , u)(u − u0 ) + (f (u) − f (u0 )) = 0.

(1.18)

Cấu trúc tập Rankine-Hugoniot của u0 được cho bởi định lý sau.
Định lý 1.2.2. (Xem [2], trang 61)
Giả sử u0 ∈ Ω. Tập hợp Rankine-Hugoniot của u0 một cách địa phương
gồm p đường cong Hk (u0 ), 1 ≤ k ≤ p. Hơn thế, với mỗi k, tồn tại một
phép tham biến hóa của Hk (uL ) : s −→ Ψk (s) xác định với |s| ≤ s1 , s1
đủ bé sao cho

s2
Ψk (s; u0 ) = u0 + srk (u0 ) + Drk (u0 ) · rk (u0 ) + O(s3 )
2

(1.19)

và vận tốc sốc thỏa mãn

s
λk (s; u− ) = λk (u− ) + ( λk · rk )(u− )
2
2
s
λk · rk
+
( ( λk · rk ) · rk ) +
lk (Drk · rk ) (u− ) + O(s3 ).
6
2
(1.20)
1.2.3

Gián đoạn tiếp xúc

Giả sử trường đặc trưng thứ k là suy biến tuyến tính và uR ∈ Hk (uL )
hoặc uL ∈ Hk (uR ). Thì một nghiệm yếu u của (1.4) có dạng (1.16),(1.17),
trong đó

λk = λk (uL ) = λk (uR ),
Nguyễn Xuân Thanh

9


Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

tức là

u(x, t) =



uL ,

x < λk t,

(1.21)


uR , x > λk t,
được gọi là gián đoạn tiếp xúc.
Định lý 1.2.3. Giả sử trường đặc trưng thứ k là suy biến tuyến tính,
nghĩa là

λk · rk = 0.
Khi đó, đường cong tích phân Rk (u0 ) và đường cong Hugoniot Hk (u0 )
trùng nhau. Hơn thế, vận tốc đặc trưng dọc theo đường cong tích phân và
vận tốc sốc dọc theo đường cong Hugoniot là hằng số và trùng nhau.
Chứng minh. Ta nhận thấy rằng dọc theo đường cong tích phân s −→

w(s) = wk (s, u0 ), vận tốc đặc trưng là hằng số vì
λk (w(s)) =

λk (w(s)) · w (s) =

λk (w(s)) · rk (w(s)) = 0.

Khi đó, xét

h(s) = −λk (w(s))(w(s) − u0 ) + f (w(s)) − f (u0 ).
Sử dụng w (s) = rk (w(s)), ta nhận được

h (s) = −λk (w(s))w (s) + f (w(s))w (s)
= −λk (w(s))w (s) + A(w(s))w (s)
= −λk (w(s))rk (w(s)) + A(w(s))rk (w(s))
= −λk (w(s))rk (w(s)) + λk (w(s))rk (w(s)) = 0.
Do h(0) = 0, ta có h(s) = 0 với tất cả các giá trị thích hợp của s.
Điều này chứng minh rằng hệ thức Rankine-Hugoniot đúng dọc theo
đường cong tích phân và hai đường trùng nhau. Hơn thế λk (w(s)) =

λk (u0 , w(s)).
Nguyễn Xuân Thanh

10


Toán ứng dụng

1.3

Luận văn Thạc sĩ

Phương pháp sai phân hữu hạn cho hệ hyperbolic các

luật bảo toàn

Chúng ta xét bài tốn Cauchy cho hệ hyperbolic các luật bảo tồn sau:

ut + fx (u) = 0,

x ∈ R, t > 0,

(1.22)

x ∈ R.

(1.23)

với dữ kiện đầu

u(x, 0) = u0 (x),

Với bất kỳ V = (a, b) × (t1 , t2 ). Lấy tích phân hai vế (1.22) trên V :
b

t2

b

t1
t2

b

t2

(ut + fx (u)) dtdx =
a

⇔

t2

t1

t1

b

ut dtdx +
a

0dtdx
a

fx (u)dxdt = 0.
t1

a

Áp dụng tích phân, ta có:
b

t2

t2

b

ut dtdx +
a

t1

fx (u)dxdt = 0
t1

a

b

⇔

t2

[u(x, t2 ) − u(x, t1 )] dx +
a

[f (u(b, t)) − f (u(a, t))] dt = 0.
t1

(1.24)
Giả sử ta có một lưới đều trên R × R+ với

xj = j

x,

tn = n

t.

x,

1
b = xj+ 12 = (j + )
2

Nếu ta chọn

t1 = tn ,
a = xj− 21

Nguyễn Xuân Thanh

t2 = tn+1 ,
1
= (j − )
2

x.

11

Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

Ta viết lại (1.24) như sau:
xj+ 1

2

tn+1

[u(x, tn+1 ) − u(x, tn )] dx +

xj− 1

f (u(xj+ 21 , t))

tn

2

−f (u(xj− 12 , t)) dt = 0
x
⇔
x

xj+ 1

2

xj+ 1

x
x

u(x, tn+1 )dx −

xj− 1

2

2

+

t
t

u(x, tn )dx

xj− 1
2

tn+1

t
t

f (u(xj+ 12 , t))dt −

tn

tn+1

f (u(xj− 21 , t))dt = 0. (1.25)

tn

Gọi Unj là xấp xỉ của u(xj , tn ), ta có:

Un+1
j

1
≈
x

xj+ 1
2

u(x, tn+1 )dx,

xj− 1
2

Unj ≈

1
x

xj+ 1
2

u(x, tn )dx.

xj− 1
2

Giả sử tồn tại hàm g sao cho:
n
n
n
gj+
1 = g(Uj , Uj+1 ) ≈

t

2

n
n
n
gj−
1 = g(Uj−1 , Uj ) ≈

tn+1

1
1

2

t

tn
tn+1

f (u(xj+ 21 , t))dt,
f (u(xj− 21 , t))dt.

tn

Ta viết lại (1.25) như sau:

xUn+1
−
j
⇔Un+1
= Unj −
j

xUnj +

n
tgj+
1 −
2

t n

n
(gj+ 1 − gj−
1 ).
2
2
x

n
tgj−
1 = 0
2

(1.26)

Khi đó, ta gọi hàm g là thông lượng số và (1.26) là lược đồ sai phân hữu
hạn cho hệ hyperbolic các luật bảo toàn.

Nguyễn Xuân Thanh

12


Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

Chương 2

XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ
CÂN BẰNG

Để xây dựng phương pháp số cân bằng, chúng tơi xem xét hệ các
phương trình nước nơng một chiều sau (tham khảo hệ Ripa ở [1]):



ht + (hu)x = 0,
(a)



g
(2.1)
(hu)t + hu2 + h2 θ = −ghθax , (b)

2
x



(hθ) + (uhθ) = 0,
(c)
t
x
trong đó:

• h = h(x, t) : là chiều cao của nước tính từ đáy lên bề mặt nước ở vị
trí x tại thời điểm t.

• u = u(x, t) : là vận tốc nước ở vị trí x tại thời điểm t.
• g : là hằng số gia tốc trọng trường.

• a = a(x) : là chiều cao đáy ở vị trí x.
• θ = θ(x, t) : là nhiệt độ nước ở vị trí x tại thời điểm t.
• x : là biến chiều dài đoạn sơng.
• t : là biến thời gian.

Nguyễn Xn Thanh

13