SKKN: Xây dựng hệ thống câu hỏi định hướng để hướng dẫn học sinh lớp 10 giải các bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT HOẰNG HOÁ 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

XÂY DỰNG HỆ THỐNG CÂU HỎI ĐỊNH HƯỚNG ĐỂ HƯỚNG DẪN
HỌC SINH LỚP 10 GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG MẶT PHẲNG

Người thực hiện: Nguyễn Hữu Các
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc mơn: Tốn Học

THANH HÓA, NĂM 2016


MỤC LỤC
Trang
1. MỞ ĐẦU...........................................................................................................1
1.1. Lí do chọn đề tài.............................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu.....................................................................................1
1.3. Đối tượng nghiên cứu....................................................................................1
1.4. Phương pháp nghiên cứu...............................................................................1
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM..................................................1
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm........................................................2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm........................3
2.3. Các biện pháp thực hiện.................................................................................3
Các ví dụ .............................................................................................................16
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm............................................................16
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ......................................................................17
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................18

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Trong chương trình hình học lớp 10 có một phần rất quan trọng của
hình học phổ thơng đó là phần phương pháp toạ độ trong mặt phẳng, đây là phần
thi nhằm đạt điểm 8 hoặc điểm 9 trong đề thi THPT quốc gia.
Tuy nhiên khi giải các bài tốn hình học toạ độ trong mặt phẳng học sinh
thường khơng có được phương pháp suy luận cũng như định hướng giải rõ ràng,
cần nhấn mạnh một điều rằng, đa số các học sinh khi đi tìm lời giải cho bài tốn
thường khơng biết bắt đầu từ đâu, khơng biết giải quyết bài tốn như thế nào.
Thậm chí một bài tốn tương tự nhau xuất hiện trong nhiều đề thi mà học sinh
vẫn làm miệt mài như lần đầu tiên giải nó, bởi khơng nhận biết được dạng tốn
này đã từng làm. Từ đó dẫn đến hiệu quả học tập cũng như việc tiếp thu kiến
thức không cao, ảnh hưởng tới kết quả thi THPT quốc gia. Một phần nữa là vì
giáo viên khi dạy cũng không chú trọng khai thác các câu hỏi định hướng và
phương pháp suy luận, trang bị cho học sinh kỹ năng định hướng giải tốn, do
đó hiệu quả giải tốn khơng cao và sự phân loại dạng tốn, phương pháp giải
tốn cũng khơng rõ ràng.
Vì vậy, mục tiêu giảng dạy phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
hiện nay đang đặt ra những yêu cầu cần thiết phải trang bị cho học sinh một hệ
thống các câu hỏi định hướng giúp học sinh tìm lời giải cho dạng tốn này.
Tuy vậy các tài liệu về dạng toán phương pháp tọa độ đang cịn mang tính
hàn lâm, học sinh vẫn cịn khó tiếp cận với phương pháp giải.Với ý định đó,
trong sáng kiến kinh nghiệm này tơi muốn nêu ra hệ thống các câu hỏi định
hướng giúp học sinh định hình và tìm ra cách giải cho bài tốn hình học toạ độ
trong mặt phẳng. Vì vậy tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm :
“Xây dựng hệ thống câu hỏi định hướng để hướng dẫn học sinh lớp 10
giải các bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
1.2. Mục đích nghiên cứu.

Mục đích của đề tài là giúp học sinh trả lời câu hỏi: “Phải giải bài toán
về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng như thế nào ?”, giúp cho học sinh
có cách nhìn tổng qt về bài toán tọa độ trong mặt phẳng, biết cách xây dựng
và tìm tịi lời giải cho dạng tốn này. Việc trải nghiệm tìm tịi lời giải thơng qua
hệ thống các câu hỏi định hướng sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định
hướng và giải toán.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Trong sáng kiến kinh nghiệm này thông qua một số ví dụ tơi sẽ đưa ra
một hệ thống các câu hỏi định hướng được áp dụng có hiệu quả trong việc định
hướng và tìm ra lời giải cho bài tốn phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Xây dựng cơ sở lý thuyết thong qua các hoạt động
1. Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải tốn thơng qua q trình
ơn tập dạng tốn phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

1


2. Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải tốn của học sinh thơng
qua hệ thống câu hỏi định hướng gợi mở.
3. Trong mỗi bài tốn hình học toạ độ trong mặt phẳng đều yêu cầu học
sinh thực hiện phân tích bài tốn để đưa ra hệ thống câu hỏi phù hợp để tìm tịi
ra lời giải cho bài tốn.
2. NƠI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lý luận
Hệ thống các câu hỏi định hướng được xây dựng theo trình tự sau:
Bước 1. Làm quen với bài toán.
+ Em phải bắt đầu từ đâu ?. Hãy bắt đầu với đầu đề bài tốn.
+ Em có thể làm gì ?. Phải thấy được tồn bộ bài tốn, càng rõ ràng, sáng
sủa càng tốt. Lúc này đừng quan tâm tới những chi tiết.

+ Làm như thế, em được lợi gì ?. Em phải hiểu bài tốn , làm quen với nó,
phải thấm nhuần bài tốn. Sự chú ý vào bài tốn sẽ làm cho trí nhớ thêm mạnh
và chuẩn bị cho việc tập hợp những vấn đề có liên quan.
Bước 2. Đi sâu vào nghiên cứ bài toán.
+ Em phải bắt đầu từ đâu ?. Hãy bắt đầu với đầu đề bài toán, và bắt đầu
cho tới khi nào bài toán trở nên khá rõ ràng, khá khắc sâu vào trí nhớ sao cho
em có thể khơng nghĩ đến nó trong một lát mà khơng sợ qn hết .
+ Em có thể làm gì ?. Tách ra những yếu tố chính của bài tốn, những cái
đã cho biết và điều kiện của bài toán, thoạt đầu theo thứ tự lần lượt và sau đó,
xét tới tổ hợp của chúng, thiết lập mối quan hệ giữa các chi tiết trong bài tốn.
+ Làm như thế, em được lợi gì ?. Chuẩn bị như vậy em có thể vạch ra
những chi tiết của bài tốn mà sau này sẽ đóng một vai trị nhất định trong việc
tìm lời giải cho bài tốn.
Bước 3. Tìm ý hay.
+ Em phải bắt đầu từ đâu ?. Em phải bắt đầu khảo sát những yếu tố chính
của bài tốn, chỉ bắt đầu khi nào em đã hệ thống được trong đầu những yếu tố
chính đó và khi đã hiểu rõ những yếu tố chính đó.
+ Em có thể làm gì ?. Em hãy xét bài tốn đó dưới nhiều khía cạnh khác
nhau và tìm điểm tiếp xúc với những kiến thức đã có. Hãy khảo sát những yếu
tố khác nhau, cũng như những yếu tố có liên quan tới bài tốn. Tổ hợp các yếu
tố đó lại và bắt đầu nghiên cứu chúng trên nhiều mặt.
+ Làm như thế, em được lợi gì ?. Em có thể có may mắn tìm được một ý
hay để dẫn tới cách giải. Cũng có thể ý đó sẽ dẫn em tới những nhận xét khác,
có thể những nhận xét đi chệch đường. Tuy nhiên em không nên thất vọng vì có
thể những ý đó sẽ giúp em hiểu về bài toán đầy đủ hơn, hệ thống hơn, thuần
nhất hơn hay cân đối hơn.
Bước 4. Thực hiện chương trình.
+ Em phải bắt đầu từ đâu ?. Em hãy bắt đầu từ ý hay để dẫn em tới cách
giải. Hãy bắt đầu khi em tin chắc đã nắm được ý chính và đã cảm thấy tự mình
có khả năng phân tích mọi chi tiết có thể cần đến.

2


+ Em có thể làm gì ?. Hãy cũng cố những thành công bước đầu của em,
thực hiện một cách chi tiết những phép chứng minh hình học hay những phép
tính trên tọa độ mà em đã làm sơ bộ trước đây. Kiểm tra lại mỗi bước bằng suy
luận logic hay bằng trực giác. Nếu bài toán em gặp phải là bài tốn khó, thì hãy
chia bài tốn thành nhiều bước nhỏ để thuận tiện cho quá trình thực hiện.
+ Làm như thế, em được lợi gì ?. Em đã có trong tay một cách giải trong
đó mỗi bước giải có được chắc chắn là đúng.
Bước 5. Nhìn lại cách giải.
+ Em phải bắt đầu từ đâu ?. Bắt đầu với cách giải đầy đủ và đúng trong
mọi chi tiết.
+ Em có thể làm gì ?. Hãy xét những chi tiết của cách giải và cố làm cho
chúng thật đơn giản, cố gắng nhìn bao qt chúng.
Cố gắng hồn thiện những phần nhỏ và phần lớn trong cách giải, hoàn thiện
cách giải và làm sáng sủa cách giải. Hãy xét kỹ lưỡng kết quả của bài tốn để
có thể mang áp dụng vào những bài toán khác.
+ Làm như thế, em được lợi gì ?. Em có thể tìm thấy một cách giải khác
tốt hơn, phát hiện ra những vấn đề mới bổ ích hơn. Trong mọi trường hợp, nếu
em có thói quen xem lại kỹ cách giải, em sẽ thu được những kiến thức rất có hệ
thống và sẵn sang để đem ứng dụng và phát triển khả năng giải tốn của mình.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN
Đứng trước một bài tốn hình học toạ độ trong mặt phẳng học sinh thường
lúng túng và đặt ra câu hỏi: “Phải giải bài toán về phương pháp tọa độ trong
mặt phẳng như thế nào ?”.Một số học sinh có thói quen khơng tốt là khi đọc
đề chưa kỹ đã vội làm ngay, có khi sự thử nghiệm đó sẽ dẫn tới kết quả, tuy
nhiên hiệu suất giải tốn như thế là khơng cao. Với tình hình ấy để giúp học
sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải tốn hình học toạ độ trong mặt

phẳng và chủ động hơn trong các bài toán, người giáo viên cần tạo cho học sinh
thói quen xem xét bài tốn dưới nhiều góc độ, khai thác các yếu tố đặc trưng
của bài tốn theo hệ thống để tìm lời giải.Trong đó việc hình thành cho học sinh
khả năng tư duy theo các phương pháp giải là một điều cần thiết. Việc trải
nghiệm qua q trình giải tốn sẽ giúp học sinh hồn thiện kỹ năng định hướng
và giải tốn.
2.3. Các biện pháp thực hiện.
Sau đây là một số ví dụ áp dụng việc tìm tịi lời giải thơng qua hệ thống các
câu hỏi định hướng.
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có
điểm C thuộc đường thẳng d : 2 x + y + 5 = 0 và A( - 4;8) . Gọi M là điểm đối
xứng của B qua C , N là hình chiếu vng góc của B trên đường thẳng MD .
Tìm tọa độ điểm B và C , biết rằng N ( 5;- 4) .
Hệ thống câu hỏi định hướng:
Bước 1. Làm quen với bài toán
+ Bài tốn này u cầu em làm gì ?
3


+ Căn cứ vào giả thiết em có thể tìm được tọa độ điểm nào, viết được phương
trình đường thẳng nào ?
Bước 2. Đi sâu nghiên cứu bài toán
+ Em hãy vẽ hình để phân tích bài tốn

+ Trong hai điểm B và C em sẽ ưu tiên tìm tọa độ điểm nào trước, vì sao ?
+ Căn cứ vào mối liên hệ của điểm C, I, N, A, B em có thể tìm được tọa độ điểm
C khơng ?
+ Căn cứ vào hình vẽ em có nhận xét gì về mối quan hệ của hai đường thẳng BN
và AC khơng ? Từ đó suy ra mối quan hệ giữa N và B
Bước 3. Tìm ý hay

+Em tìm tọa độ điểm C như thế nào ?
+ Khi nghiên cứu bài tốn em sẽ tìm ra được “ BN ^ AC và CB = CN . Vậy B là
điểm đối xứng của N qua AC”
+ Khi đó em có thể tìm tọa độ điểm B như thế nào ?
Bước 4: Thực hiện chương trình
� Do C �d nên C ( t ;- 2t - 5) . Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD, suy ra I là
�
�
t - 4 - 2t + 3 �
;
trung điểm của AC. Do đó: I �
�
�
�
�2
�
2 �
� Tam giác BDN vuông tại N nên IN = IB . Suy ra: IN = IA. Do đó ta có
phương trình:
2
2
2
2
� t - 4�
� �
�
�
�
�
�

2
t
+
3
t
4
2
t
+
3
�
�
�
�
�
�
5- 4- 48�+�
�
�
�� t =1 .
�
�
�
�
�= �
�+�
�
�
�
�

�
� �
�
2 �
2 �
2 �
2 �
Suy ra: C ( 1;- 7)
�Do M đối xứng với B qua C nên CM = CB . Mà CB = AD và CM || AD nên
tứ giác ACMD là hình bình hành. Suy ra AC || DM . Theo giả thiết, BN ^ DM ,
suy ra BN ^ AC và CB = CN . Vậy B là điểm đối xứng của N qua AC
�Đường thẳng AC có phương trình: 3 x + y + 4 = 0 .
Đường thẳng BN qua N và vng góc với AC nên có phương trình:
x - 3 y - 17 = 0 . Do đó: B ( 3a +17; a)
4


�
3a +17 + 5 �
a- 4
�
+
�
� 2 + 4 = 0 � a =- 7
�
� 2
�

�Trung điểm của BN thuộc AC nên: 3�
�

�Vậy B ( - 4;- 7)

Bước 5: Nhình lại cách giải
+ Ở bài tốn này em tìm tìm tọa độ điểm C trước vì có giả thiết C �d .
+Mối quan hệ BN ^ AC có được từ trực quan hình vẽ và dự đốn.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD có hai
đường chéo vng góc với nhau và AD = 3BC . Đường thẳng BD có phương
trình x + 2 y - 6 = 0 và tam giác ABD có trực tâm là H ( - 3;2) . Tìm tọa độ các
đỉnh C và D.
Hệ thống câu hỏi định hướng:
Bước 1: Làm quen với bài toán
+ Bài tốn này u cầu em làm gì ?
+ Căn cứ vào giả thiết em có thể tìm được tọa độ điểm nào, viết được phương
trình đường thẳng nào ?
Bước 2: Đi sâu nghiên cứu bài tốn
+ Em hãy vẽ hình để phân tích bài tốn

+ Trong hai điểm C và D em sẽ ưu tiên tìm tọa độ điểm nào trước, vì sao ?
+ Em hãy thiết lập mối liên hệ giữa các điểm C, I (I là giao điểm của AC và
BD), H, B ?
+ Căn cứ vào hình vẽ em có nhận xét gì về mối quan hệ của hai đường thẳng IB
và IC khơng ? Từ đó suy ra mối quan hệ giữa I, H và C
Bước 3: Tìm ý hay
+ Khi nghiên cứu bài tốn em sẽ tìm ra được “I là trung điểm của đoạn thẳng
HC”
+ Khi đó em có thể tìm tọa độ điểm C như thế nào ?
+ Em hãy thiết lập mối liên hệ giữa điểm C và điểm D ?. Cụ thể, em hãy tính độ
dài đoạn thẳng CD.
+ Khi đó em sẽ tìm tọa độ điểm D như thế nào ?
Bước 4: Thực hiện chương trình

�Gọi I là giao điểm của AC và BD � IB = IC . Mà IB ^ IC nên D IBC vuông
� = 450
cân tại I � ICB
5


BH ^ AD � BH ^ BC � D HBC vuông cân tại B � I là trung điểm của
đoạn thẳng HC
� Do CH ^ BD và trung điểm I của CH thuộc BD nên tọa độ điểm C thỏa mãn
2( x + 3) - ( y - 2) = 0
�
�
�
hệ �x - 3
Do đó C ( - 1;6)
�y + 2 �
�
�
�
+
2
6
=
0
�
�
�
�
�
�

�2 �
�2
�Ta có
IC IB BC 1
CH 10
=
=
= � ID = 3IC � CD = IC 2 + ID 2 = IC 10 =
=5 2
ID ID AD 3
2
�
t =1
2
2
�
D
6
2
t
;
t
7
2
t
+
t
6
=
50

�
(
)
) (
)
Do
và CD = 5 2 suy ra: (
�
t =7
�
�Vậy D ( 4;1) hoặc D ( - 8;7) .
Bước 5: Nhình lại cách giải
+ Ở bài tốn này nếu em tìm tọa độ điểm D trước thì đó sẽ là một sai lầm.
+ Ghi nhớ cách khai thai tính chất của mọi hình thang cân, đó là D IBC cân tại I
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy , cho tam giác ABC có
trung điểm của cạnh BC là điểm M  3; 1 , đường thẳng chứa đường cao kẻ từ
đỉnh B đi qua điểm E  1; 3 và đường thẳng chứa cạnh AC đi qua điểm
F  1;3 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết rằng điểm đối xứng của
đỉnh A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm D  4; 2  .
Hệ thống câu hỏi định hướng:
Bước 1: Làm quen với bài tốn
+ Bài tốn này u cầu em làm gì ?
+ Căn cứ vào giả thiết em có thể tìm được tọa độ điểm nào, viết được phương
trình đường thẳng nào ?
Bước 2: Đi sâu nghiên cứu bài toán
+ Em hãy vẽ hình để phân tích bài tốn
A

H
F

O
E
B

C

M

D

+ Trong ba điểm A, B và C em sẽ ưu tiên tìm tọa độ điểm nào trước, vì sao ?
+ Em hãy thiết lập mối liên hệ giữa các điểm B, C, D, H và M ?
6


+ Căn cứ vào hình vẽ em có nhận xét gì về tứ giác BDCH ?. Từ đó suy ra
phương trình đường thẳng AC, DC.
Bước 3: Tìm ý hay
+ Khi nghiên cứu bài tốn em sẽ tìm ra được “tứ giác BDCH là hình bình hành”
+ Khi đó em có thể tìm tọa độ điểm C như thế nào ?
+Em hãy thiết lập mối liên hệ giữa điểm C và điểm A, B ?.
+Khi đó em sẽ tìm tọa độ các điểm A, B như thế nào ?
Bước 4: Thực hiện chương trình
�Gọi H là trực tâm của tam giác ABC , ta chứng minh được BDCH là hình
bình hành nên M là trung điểm của HD suy ra H  2;0  . Đường thẳng có
phương trình x  y  2  0
� Do AC vng góc với BH nên phương trình AC : x  y  4  0
Do AC vng góc với CD nên phương trình DC : x  y  6  0 .
� C  5; 1

� Do M là trung điểm của BC nên B  1; 1 . AH vuông góc với BC nên
AH : x  2  0 � A  2;2  .
�Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác ABC là A  2; 2  , B  1; 1 ,  5  1
Bước 5: Nhình lại cách giải
+ Ở bài tốn này tìm được tọa độ điểm C trước là một may mắn vì giả thiết bài
tốn chưa nhấn mạnh vai trị của điểm C.
+ Mấu chốt của bài toán là việc chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành.
+ Việc phát hiện điều này dựa vào trực quan hình vẽ và mối liien hệ của các
điểm, đường thẳng.
Ví dụ 4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A
và D; AB  2 AD, CD  3 AD . Đường thẳng BD có phương trình x  2 y  1  0 ,
đường thẳng AC đi qua điểm M  4;2  . Tìm tọa độ đỉnh A biết rằng diện tích
ABCD bằng 10 và điểm A có hồnh độ nhỏ hơn 2.
Hệ thống câu hỏi định hướng:
Bước 1: Làm quen với bài tốn
+ Bài tốn này u cầu em làm gì ?
+ Căn cứ vào giả thiết em có thể tìm được tọa độ điểm nào, viết được phương
trình đường thẳng nào ?
Bước 2: Đi sâu nghiên cứu bài toán
+ Em hãy vẽ hình để phân tích bài tốn

7


+ Để tìm tọa độ điểm A em hãy viết phương trình một đường thẳng đi qua A,
theo em đó là đường thẳng nào ?
+ Em hãy thiết lập mối liên hệ giữa đường thẳng AC và đường thẳng BD ?
+ Em sẽ khai thác diện tích hình thang vng ABCD như thế nào ?.
Bước 3: Tìm ý hay
+ Khi nghiên cứu bài tốn em sẽ “tính được góc giữa hai đường thẳng AC và

đường thẳng BD”?
+ Khi đó em có thể viết phương trình đường thẳng AC như thế nào ?
+ Em hãy tính độ dài đoạn thẳng ID ?
Bước 4: Thực hiện chương trình
�Gọi I  AC I BD , H là hình chiếu của B trên CD.
1 1

tan D1  tan C1
2
3 1� �
�

AID  450 .
Ta có tan AID  tan  D1  C1  
1
1
1  tan D1 tan C1 1  .
2 3
� Đường thẳng AC có dạng:
a( x  4)  b( y  2)  0 � ax  by  4a  2b  0 (a 2  b 2  0) .
a  2b
0
� 3a 2  8ab  3b 2  0
Góc giữa AC và BD bằng 450 nên cos 45 
2
2
a b . 5
1
Chọn b = 1 ta được a  ; a  3 .
3

Từ đó suy ra phương trình AC là x  3 y  10  0 hoặc 3 x  y  10  0 .
BE AB
IA AD 3
�Gọi E  BH I AC , ta có

2�

 .
EH CH
IE BE 2
 2 AD  3 AD  . AD  10 � AD  2 . Từ đó tìm được AI  4 10 .
Ta có S ABCD 
5
2
17 11 �
�
�* Nếu AC : x  3 y  10  0 , suy ra I � ; �
.
�5 5 �
2
2
4
10
17
11
32
7
�
�
�

�
Gọi A  10  3t ; t  do AI 
��
10  3t  � �
t  �
� t  3; t 
5
5� � 5� 5
5
�
�29 7 �
Suy ra A  1;3 ; A � ; �Do x A  2 � A  1;3 .
�5 5 �
8


�21 13 �
* Nếu AC : 3x  y  10  0 , suy ra I � ; �. Gọi A  t ;3t  10 
�5 5 �
2

thì từ

2

13 � 32
17
4 10
� 21 � �
ta có �

t  � �
3t  10  �
� t  5; t 
(không thỏa
AI 
5
5
5
5
5
�
� �
�
mãn x A  t  2 ).Vậy điểm A cần tìm là A  1;3 .
Bước 5: Nhình lại cách giải
+ Ở bài tốn này mấu chốt là việc viết phương trình AC.
+ Em có thể tính góc giữa AC và BD bằng nhiều cách.
+Ghi nhớ việc tìm tọa độ một điểm thơng thường trước hết ta phải viết được một
phương trình đi qua điểm đó.
Ví dụ 5. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC.
Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt
có phương trình là 3 x  5 y  8  0, x  y  4  0 . Đường thẳng qua A vng góc
với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là
D  4; 2  . Viết phương trình các đường thẳng chứa AB, AC; biết rằng hồnh độ
của điểm B khơng lớn hơn 3.
Hệ thống câu hỏi định hướng:
Bước 1: Làm quen với bài toán
+ Bài tốn này u cầu em làm gì ?
+ Căn cứ vào giả thiết em có thể tìm được tọa độ điểm nào, viết được phương
trình đường thẳng nào ?

Bước 2: Đi sâu nghiên cứu bài tốn
+ Em hãy vẽ hình để phân tích bài tốn
A

H

B

K

M

C

D

+ Để viết phương trình đường AB và AC em sẽ tìm những yếu tố nào, vì sao ?
+Em hãy thiết lập mối liên hệ giữa các đường và các điểm đã cho trong bài toán.
Bước 3: Tìm ý hay
+ Khi nghiên cứu bài tốn em sẽ “chuyển bài tốn về việc tìm tọa độ các điểm
A, B, C”
9


+ Khi đó em có thể tìm tọa độ điểm A như thế nào ?
+ Em hãy “chứng minh tứ giác HKCE nội tiếp, sau đó chứng minh cho K là
trung điểm của HD” ?.
+Khi đó em sẽ tìm tọa độ điểm B, C như thế nào ?
Bước 4: Thực hiện chương trình
�Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm tam giác ABC, K là giao điểm của

BC và AD, E là giao điểm của BH và AC. Do M là giao điểm của AM và BC
�7 1 �
nên ta có: M � ;  �
�2 2 �
�AD vng góc với BC suy ra phương trình của AD x  y  2  0 . Do A là giao
điểm của AD và AM nên ta có A  1;1 . Do K là giao điểm của BC và AD nên ta
có K  3;  1
�  KCE
� , mà KCE
�  BDA
� (nội tiếp chắn
� Tứ giác HKCE nội tiếp nên BHK
�  BDK
� , vậy K là trung điểm của HD nên H  2;4  .
cung �
AB ) Suy ra BHK
� Do B thuộc BC � B  t ; t  4  , kết hợp với M là trung điểm BC suy ra

C  7  t ;3  t  .
uuur
uuur
HB(t  2; t  8); AC (6  t;2  t ) . Do H là trực tâm của tam giác ABC nên
uuur uuur
t2
�
HB. AC  0 �  t  2   6  t    t  8   2  t   0 �  t  2   14  2t   0 � �
t 7
�
Do t �3 � t  2 � B  2; 2  , C  5;1 . Ta có
uuu

r
uuur
uuur
uuur
AB   1; 3 , AC   4;0  � n AB   3;1 , n AC   0;1
Suy ra AB : 3x  y  4  0; AC : y  1  0.
Bước 5: Nhình lại cách giải
+ Ở bài tốn này nếu em tìm tìm tọa độ điểm B trước thì đó sẽ là một sai lầm,
tuy đề bài có gợi ý về tọa độ điểm B.
+Ghi nhớ mối liên hệ giữa các điểm H, K, D.

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp trong
đường tròn tâm I, có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x + y - 2 = 0, D(2; -1) là chân
đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A. Gọi điểm E(3; 1) là chân đường
vng góc hạ từ B xuống đoạn AI; điểm P(6;-1) thuộc đường thẳng AC. Tìm tọa
độ các đỉnh của tam giác ABC.
Hệ thống câu hỏi định hướng:
Bước 1: Làm quen với bài toán
+ Bài toán này yêu cầu em làm gì ?
+ Căn cứ vào giả thiết em có thể tìm được tọa độ điểm nào, viết được phương
trình đường thẳng nào ?
Bước 2: Đi sâu nghiên cứu bài tốn
+ Em hãy vẽ hình để phân tích bài tốn
10


+ Trong các điểm A, B, C em ưu tiên tìm tọa độ điểm nào trước, vì sao ?
+ Em hãy tìm mối quan hệ của hai đường thẳng DE, AC ?
Bước 3: Tìm ý hay
+ Khi nghiên cứu bài tốn em định hướng được sẽ tìm tọa độ điểm A trước

+ Em hãy “chứng minh DE  AC ” ?. Sau đó em hãy tìm tọa độ điểm A.
+ Em hãy viết phương trình đường chứa điểm B, C sau đó tìm tọa độ điểm B, C.
Bước 4: Thực hiện chương trình
�  BAM
�  EDC
�
�Gọi M là điểm đối xứng của A qua I. Ta có BCM
(Do tứ giác
ABDE nội tiếp). Từ đó suy ra DE / /MC mà MC  AC � DE  AC .
�Phương trình AC : 1( x  6)  2( y  1) 0  x  2 y  4 0 . Ta có  A  d �AC . Tọa
�x  2y  4  0
�x  0
��
� A  0; 2  .
�x  y  2  0
�y  2

độ của A thỏa hệ phương trình �

�Phương trình BE : 3  x  3   y  1  0 � 3x  y  8  0 .

Phương trình BD : 2  x  2   3  y  1  0 � 2x  3y  7  0 .  B  BE �BD

� 17
x
�
3x  y  8  0
�
17 5 �
� 7

�
��
� B � ;  �.
Tọa độ của B thỏa hệ phương trình �
�7 7 �
�2x  3y  7  0
�y   5
�
7
�Ta có  C  AC �BD , nên tọa độ của điểm C thỏa hệ phương trình
� 26
x
�
x

2y

4

0
�
� 7
�26 1 �
�
� C� ; �.
�
�
�7 7 �
�2x  3y  7  0
�y  1

� 7
17 5 � �26 1 �
�
Vậy A  0; 2  , B � ;  �, C � ; �.
7 � �7 7 �
�7

Bước 5: Nhình lại cách giải
+ Ở bài tốn này có giả thiết về đường cao, do vậy em nên tập trung khai thác
giả thiết về quan hệ vng góc.
+Việc phát hiện ý hay DE  AC xuất phát từ yêu cầu của bài toán và trực quan.

11


Ví dụ 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD với hai
đáy AD, BC. Biết B  2;3 và AB  BC , đường thẳng AC có phương trình
x  y  1  0 , điểm M  2; 1 nằm trên đường thẳng AD. Viết phương trình
đường thẳng CD.
Hệ thống câu hỏi định hướng:
Bước 1: Làm quen với bài toán
+ Bài toán này yêu cầu em làm gì ?
+ Căn cứ vào giả thiết em có thể tìm được tọa độ điểm nào, viết được phương
trình đường thẳng nào ?
Bước 2: Đi sâu nghiên cứu bài tốn
+ Em hãy vẽ hình để phân tích bài tốn

+ Để viết phương trình đường thẳng CD em cần tìm những yếu tố nào ?
+Nghiên cứu mối quan hệ giữa các điểm và đường mà giả thiết đã cho, thiết lập
mối liên hệ giữa chúng ?

Bước 3: Tìm ý hay
+ Khi nghiên cứu bài tốn em sẽ “chuyển bài tốn về việc tìm tọa độ các điểm
C, D”
+ Khi đó em có thể tìm tọa độ điểm C, D như thế nào ?
� ”.?
+ Em hãy “chứng minh AC là đường phân giác của góc BAD
+Khi đó em sẽ tìm tọa độ điểm A như thế nào ?
+Sau đó em hãy tìm tọa độ điểm C, D
Bước 4: Thực hiện chương trình
�Vì ABCD là hình thang cân nên nội tiếp trong một đường tròn. Mà BC  CD
� .Gọi B ' là điểm đối xứng của B qua
nên AC là đường phân giác của góc BAD
AC. Khi đó B ' �AD .Gọi H là hình chiếu của B trên AC. Suy ra H  3;2  .
Vì B’ đối xứng với B qua AC nên H là trung điểm của BB’. Do đó B '  4;1 .
�Đường thẳng AD có phương trình x  3 y  1  0 . Vì A  AC �AD nên tọa độ
uuu
r uuuur
điểm A là A  1;0  .Ta có ABCB’ là hình bình hành nên AB  B ' C . Do đó,
C  5;4  . Gọi d là đường trung trực của BC, suy ra d : 3x  y  14  0 .

12


�43 11 �
�.
10 10 �
�

�Gọi I  d �AD , suy ra I là trung điểm của AD. Tọa độ điểm I là, I � ;

�38 11 �
Do đó, D � ; �.Vậy phương trình đường thẳng CD là 9 x  13 y  97  0 .
�5 5 �
Bước 5: Nhình lại cách giải
+ Ở bài tốn này mấu chốt là em phải chứng minh AC là đường phân giác của
� .
góc BAD
+ Việc tìm ra mối quan hệ này dựa trên tính chất của hình thang cân và trực
quan.

Ví dụ 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh
A thuộc
đường thẳng d1 : 2 x  y 2  0 đỉnh D thuộc đường thẳng
d 2 : x  y  5  0 Gọi H là hình chiếu vng góc của A trên BD. Điểm
9 2
M( ; ), N(9;2) lần lượt là trung điểm của BH và CD. Xác định tọa độ các đỉnh
5 5
của hình chữ nhật ABCD biết điểm D có tung độ dương.
Hệ thống câu hỏi định hướng:
Bước 1: Làm quen với bài toán
+ Bài toán này yêu cầu em làm gì ?
+ Căn cứ vào giả thiết em có thể tìm được tọa độ điểm nào, viết được phương
trình đường thẳng nào ?
Bước 2: Đi sâu nghiên cứu bài tốn
+ Em hãy vẽ hình để phân tích bài tốn

+ Trong bốn
điểm A, B, C, D
em sẽ tìm tọa độ điểm nào trước, vì sao ?
+ Em hãy nghiên cứu mối quan hệ giữa các điểm và đường mà giả thiết đã cho,

thiết lập mối liên hệ giữa chúng ?
+ Em sẽ khai thác tọa điểm M, N như thế nào ?
Bước 3: Tìm ý hay
+ Khi nghiên cứu bài toán em sẽ thấy được nên tìm tọa độ các điểm A trước.
+ Em hãy chứng minh AM  MN bằng cách chứng minh tứ giác EMND là hình
bình hành.
13


+ Em có nhận xét gì về mối quan hệ của 3 điểm A, N, D.
+ Em tìm tọa độ điểm D như thế nào ?. Từ đó nêu ra cách tìm tọa độ điểm C.
+ Em hãy tọa độ điểm H từ đó suy ra tọa độ điểm B
Bước 4: Thực hiện chương trình
�Gọi E là trung điểm của AH, ta có ME  AD � E là trực tâm tam giác ADM
suy ra DE  AM. Mặt khác tứ giác EMND là hình bình hành nên DE PMN , do
đó AM  MN.
Đường thẳng AM qua điểm M và vng góc với MN có pt: 9x + 2y – 17 = 0 .
Do A là giao điểm của AM và d1 � A(1;4)
uuur uuur
�Theo giả thiết điểm D thuộc d2, giả sử D(d;d-5), do AD  DN nên DA.DN=0
d  9 � D(9;4)
�
� (9  d )(8  2d )  0 � �
.
d

4
�
D
(4;


1)
�
Vì điểm D có tung độ dương nên D(9;4)
Do N là trung điểm CD nên điểm C có tọa độ là: C(9;0)
�Phương trình đường thẳng AH: 2x + y – 6 = 0 .
Phương trình đường thẳng DM: x - 2y -1 = 0

13 4
; ) � B(1;0)
5 5

Do H là giao điểm của AH và DM nên ta có H(

Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD là: A(1;4), B(1;0), C(9;0), D(9;4)
Bước 5: Nhình lại cách giải
+ Ở bài tốn này nếu em tìm tìm tọa độ điểm D trước thì đó sẽ là một sai lầm,
tuy đề bài có gợi ý về tọa độ điểm D, đó là lý do vì sao em nên nhìn bài tốn một
cách tổng thể.
+ Ý hay ở đây là việc tìm ra mối quan hệ AM  MN là mấu chốt của vấn đề, nó
được phát hiện dựa vào trực quan hình vẽ và sự phân tích đề bài.
Ví dụ 9. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có C(-1;-2) ngoại tiếp đường
trịn tâm I. Gọi M, N, H lần luợt các tiếp điểm của (I) với cạnh AB, AC, BC. Gọi
K(-1;-4) là giao điểm của BI với MN. Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác
ABC, biết H(2;1).
Hệ thống câu hỏi định hướng:
Bước 1: Làm quen với bài toán
+ Bài toán này yêu cầu em làm gì ?
+ Căn cứ vào giả thiết em có thể tìm được tọa độ điểm nào, viết được phương
trình đường thẳng nào ?

Bước 2: Đi sâu nghiên cứu bài tốn
+ Em hãy vẽ hình để phân tích bài tốn
+ Trong hai điểm A, B em sẽ tìm tọa độ điểm nào trước, vì sao ?
+ Em hãy nghiên cứu mối quan hệ giữa các điểm và đường mà giả thiết đã cho,
thiết lập mối liên hệ giữa chúng ?

14


C'

A
K
N
M

I
J
C
B

H

+ Cách khai thác tọa điểm K, H như thế nào ?
Bước 3: Tìm ý hay
+ Khi nghiên cứu bài tốn em sẽ thấy được nên tìm tọa độ các điểm B trước.
+ Em hãy chứng “minh tứ giác KNIC nội tiếp trong đường trịn đường kính IC”.
+ Em có nhận xét gì về mối quan hệ của 5 điểm K, N, I, H, C.
+ Em tìm tọa độ điểm I như thế nào ?. Từ đó nêu ra cách tìm tọa độ điểm B.
+ Em hãy viết phương trình AB, AC từ đó suy ra tọa độ điểm A

Bước 4: Thực hiện chương trình
�
�
�
�  IBC
�  ICB
�  ABC  ACB  900  BAC (1)
�Ta có KIC
2
2
2
�
BAC
� �
Ta có KNC
(2)
ANM  �
AMN  900 
2
�  KNC
�
Từ (1) và (2) suy ra KIC
nên tứ giác KNIC nội tiếp trong đường trịn
đường kính IC. Mặt khác tam giác IHC nội tiếp trong đường trịn đường kính IC
Vậy 5 điểm K, N, I, H, C nằm trên đường tròn đường kính IC.
�Gọi J là trung điểm của IC nên J là tâm đường tròn đi qua 5 điểm trên.
Giả sử J(x;y) khi đó
�
(1  x) 2  (4  y ) 2  (1  x) 2  (2  y ) 2
�JC  JK

�
��
JC  JK  JH � �
JC

JH
(1  x) 2  (4  y ) 2  (2  x) 2  (1  y) 2
�
�
�x  3
� J (3; 3) .
��
�y  3

Vì J là trung điểm của IC nên I(7;-4). Từ đó suy ra BI có phương trình y  4  0
BC đi qua H và C nên có phương trình x  y  1  0 .
�y  4  0
� B (3; 4)
Do đó, B(x;y) là nghiệm của hệ �
�x  y  1  0
�  900 � NKC
�  900 Từ đó gọi C’ là điểm đối xứng của C qua đường
�Vì INC

thẳng BI. Khi đó K là trung điểm của CC’ nên C’(-1;-6).
Đường thẳng AB qua B và C’ có phương trình là: x  y  7  0
r
�Giả sử AC có VTPT n  ( a; b ),(a 2  b 2 �0)
15

Khi đó AC có phương trình a( x  1)  b( y  2)  0 � ax  by  a  2b  0
a
�
 1
�
7a  4b  a  2b
8a  2b
b
5 2 �
5 2 � �
Ta có d ( I , AC )  IH �
a 23
a 2  b2
a 2  b2
�

�
b 7
a
+  1 chọn a = 1, b = -1 nên AC có phương trình x  y  1  0 (trùng BC)
b
(loại).
a 23
+ 
chọn a = 23 ; b = 7 nên AC có phương trình 23 x  7 y  37  0
b 7
� 3
x
�

�x  y  7  0
� 4
�Khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ �
��
23 x  7 y  37  0 �
31
�
y
�
4
3 31
Vậy A( ;  )
4 4
Bước 5: Nhình lại cách giải
+ Đây là một bài tốn khó vì mối quan hệ của các yếu tố trong giả thiết tương
đối xa lạ
+ Yếu tố em cần quan tâm nhất là mối quan hệ vng góc, từ đó tìm ra ý hay là
chứng minh 5 điểm K, N, I, H, C nằm trên đường trịn đường kính IC.
Trên đây là một số ví dụ minh họa cho việc đưa ra hệ thống câu hỏi định hướng,
giúp học sinh có cái nhìn tổng qt hơn về bài tốn phương pháp tọa độ trong
mặt phẳng. Việc này phải được thực hiện thường xun trong suốt q trình ơn
tập về dạng tốn, dần dần hình thành kỹ năng giải tốn cho học sinh.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Trong quá trình giảng dạy chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, bản
thân đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này trong q trình ơn tập, cũng như bồi
dưỡng học sinh giỏi đã thấy rõ được sự hứng thú của học sinh trong các tiết học,
học sinh đã chủ động hơn trong việc giải toán, đem lại hiệu quả cao trong từng
tiết học.
Khi áp dụng đề tài này trong quá trình giảng dạy mơn tốn ở trường trung học
phổ thơng Hoằng Hoá 4, sau một thời gian kiểm nghiệm trên các đối tượng học

sinh đặc biệt là nhóm học sinh giỏi thông qua những biện pháp đã được chỉ ra,
tôi nhận thấy học sinh đã có sự phát triển kỹ năng định hướng và phân tích bài
tốn phương pháp tọa độ trong mặt phẳng rất rõ ràng trước khi giải và nhận xét
rồi tìm ra được những kinh nghiệm giải tốn sau khi hồn thành bài tốn, học
sinh khơng cịn giải bài tốn một cách thụ động, mà đã có sự phân tích và tìm tịi
lời giải một cách khoa học. Điều đó phản ánh tính hiệu quả của hệ thống câu hỏi
định hướng trong việc định hướng giải toán cho học sinh. Thơng qua nội dung
nhỏ này, nó như là một mẫu về cách học, cách dạy chủ đề phương pháp tọa độ
16


trong mặt phẳng cho học sinh lớp 10 cũng như học sinh ơn thi THPT Quốc Gia,
đã có rất nhiều học sinh tự tìm tịi sáng tạo, tìm kiếm các cách giải cho bài tốn
và tìm hiểu sâu thêm các bài tốn liên quan. Qua đó xây dựng được hệ thống các
bài tập cơ bản nâng cao sâu sắc- đặc trưng cho dạng tốn. Đó cũng chính là mục
đích hiện thân của báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này.
Sáng kiến kinh nghiệm trên cũng đã góp phần vào phong trào thi đua dạy tốt,
học tốt của nhà trường, góp phần vào cơng tác giảng dạy nói chung và giảng dạy
mơn tốn nói riêng của nhà trường. Góp phần cho thành công chung của nhà
trường trong công tác giáo dục đặc biệt là thành tích thi học sinh giỏi cấp tỉnh
trong những năm học qua.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Trong đề tài này với khả năng còn hạn chế và thời gian không cho phép,
giới hạn của đề tài không quá 20 trang, vì vậy tơi chỉ đưa ra cách xây dựng hệ
thống các câu hỏi định hướng, một số ví dụ minh họa cụ thể. Qua thực tế giảng
dạy, tôi thấy khi giới thiệu đề tài này cho học sinh thì các em tự tin trong việc
giải bài tốn về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, góp phần cho học sinh đạt
kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia.
Đề tài có thể phát triển và bổ sung hệ thống các câu hỏi định hướng gợi
mở chi tiết hơn, nhằm hướng tới đối tượng là học sinh trung bình và học sinh

khá. Sáng kiến kinh nghiệm này cần được thực hiện trong tồn bộ q trình
giảng dạy kiến thức mới, cũng như q trình ơn tập cho học sinh, và cũng có thể
áp dụng cho việc giảng dạy các nội dung khác trong mơn Tốn.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do kinh nghiệm giảng dạy còn hạn chế nên
tơi tin chắc rằng trong đề tài này sẽ cịn có những thiếu sót. Tơi rất mong được
sự nhận xét và góp ý chân thành của hội đồng khoa học ngành, các đồng chí
đồng nghiệp và các em học sinh để đề tài được hồn chỉnh hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm
2016.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.

Nguyễn Hữu Các

TÀI LIỆU THAM KHẢO
17


1. Sáng tạo toán học (G. POLYA).
2. Toán học và những suy luận có lý (G. POLYA).
3. Giải bài tốn như thế nào (G. POLYA).
4. Sách giáo khoa hình học lớp 10 (Nhà suất bản giáo dục và đào tạo).
5. Sách bài tập hình học lớp 10 (Nhà suất bản giáo dục và đào tạo).
6. Bí quyết đạt điểm 10 mơn tốn chun đề hình học (Nhà XB ĐH QG Hà Nội)
7. Các đề thi tuyển sinh và thi học sinh giỏi và thi THPT Quốc gia các năm gần
đây.

18