vận dụng quan điểm hoạt động khi dạy học giải toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở lớp 10 trường thpt

1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn ñề tài
1.1. Dạy học (DH) môn toán có nhiệm vụ trang bị hệ thống kiến thức, rèn
luyện các kĩ năng toán học và kĩ năng ứng dụng kiến thức toán vào thực tiễn, phát
triển tư duy và góp phần giáo dục thế giới quan và các phẩm chất cần thiết cho học
sinh (HS). Để thực hiện các nhiệm vụ ñó cần làm cho HS có ý thức học tập tích cực,
chủ ñộng, sáng tạo. Giáo viên (GV) cần phải cho HS học tập trong hoạt ñộng (HĐ),
thông qua HĐ và bằng HĐ. GV phải tạo ra môi trường ñể HS kiến tạo tri thức, tham
gia phát hiện và giải quyết vấn ñề. Việc tổ chức cho HS thực hiện các HĐ trong quá
trình nhận thức là ñiều kiện cần thiết ñể DH có hiệu quả.
1.2. Bài tập toán học là một công cụ cần thiết giúp HS thực hiện các HĐ toán
học trong và ngoài giờ lên lớp. Đã có nhiều công trình nghiên cứu các chức năng
của bài tập toán. Trong các chức năng ñược nói ñến, chức năng DH, chức năng phát
triển, chức năng kiểm tra và chức năng giáo dục ñược khai thác nhiều trong DH.
Thực chất HĐ giải toán là HĐ trung tâm trong học tập môn toán của HS. Thông qua
số lượng và chất lượng hoàn thành công việc giải toán về căn bản có thể ñánh giá
ñược trình ñộ nhận thức môn toán của người học. Chính vì lẽ ñó, bài tập toán tham
gia vào mọi khâu của quá trình DH môn toán.
1.3. Luật giáo dục Việt Nam ñã quy ñịnh “Phương pháp giáo dục phải phát
huy tính tích cực, tự giác, chủ ñộng, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng
lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”. Những quy ñịnh này phản ánh
nhu cầu ñổi mới phương pháp (PP) giáo dục. Định hướng ñổi mới phương pháp dạy
học (PPDH) là PPDH cần hướng vào tổ chức cho người học học tập trong HĐ và
bằng HĐ tự giác, tích cực, sáng tạo, từ ñó người học lĩnh hội ñược tri thức, kĩ năng
và cả cách thức tiến hành những HĐ tương tự và ñạt ñược mục tiêu DH.
Hiện nay Bộ Giáo dục và Đào tạo ñang từng bước triển khai ñổi mới PPDH
theo hướng: Tổ chức cho HS chủ ñộng tham gia vào HĐ nhận thức, GV sẽ là người
tổ chức, trợ giúp, là trọng tài ñiều khiển HS HĐ. Khác với trước ñây chủ yếu GV
HĐ và HĐ DH mang tính chất truyền thụ một chiều, GV làm thay cho HS.
2

Đổi mới PP giáo dục nói chung và ñổi mới PPDH nói riêng là một trong
những yêu cầu quan trọng. Như ta ñã biết, tri thức, tư duy, kĩ năng, thái ñộ chỉ có
thể ñược hình thành và phát triển trong HĐ. J. Piaget cho rằng: “Tri thức không
phải truyền thụ từ người biết ñến người không biết, mà tri thức ñược chính cá thể
xây dựng thông qua hoạt ñộng”. Vì vậy, khi ñứng trước một nội dung DH cụ thể,
GV cần tổ chức những HĐ học tập cho HS và coi ñó là thành phần cốt lõi của giờ
học. PPDH cần hướng vào việc tổ chức cho người học học tập trong HĐ và bằng
HĐ tự giác, tích cực, chủ ñộng và sáng tạo.
Thực tế hiện nay, một bộ phận không nhỏ GV chưa thật sự chú ý ñến HĐ của
HS, còn nặng về cung cấp tri thức dưới dạng có sẵn, chưa khơi dậy tính tích cực học
tập của HS; một số GV còn quá chú trọng kĩ năng giải toán, xem nhẹ việc rèn luyện
tư duy cho HS dẫn ñến HS học một cách máy móc, bị ñộng, rập khuôn, lúng túng
khi gặp bài toán mới, không biết tìm tòi sáng tạo trong học tập.
Chương “Phương pháp tọa ñộ trong mặt phẳng - Hình học 10 nâng cao” có
vai trò quan trọng trong môn Toán ở trường THPT, ñây là một nội dung luôn gắn
với HS trong suốt quá trình học tập cũng như trong nhiều bài toán thực tế.
Vấn ñề ñặt ra là làm thế nào ñể khai thác ñược các HĐ khi học nội dung này
nhằm phát huy ñược tích cực, chủ ñộng, sáng tạo của HS trong học tập.
Với những lí do trên, chúng tôi chọn ñề tài: “Vận dụng quan ñiểm hoạt
ñộng khi dạy học giải toán về phương pháp tọa ñộ trong mặt phẳng ở lớp 10
trường THPT”.
2. Mục ñích nghiên cứu
Đề xuất các biện pháp sư phạm và xây dựng hệ thống ví dụ minh họa cho
việc vận dụng quan ñiểm HĐ trong DH chương “Phương pháp tọa ñộ trong mặt
phẳng” nhằm tăng cường HĐ học tập và phát huy tính tích cực, tự giác, chủ ñộng,
sáng tạo của HS.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
− Hệ thống hóa quan ñiểm HĐ trong DH môn toán.
3
− Làm rõ vị trí, chức năng của bài tập toán, PP chung ñể tìm lời giải và các

yêu cầu của lời giải bài tập toán.
− Đưa ra các biện pháp sư phạm ñể vận dụng quan ñiểm HĐ.
− Xây dựng hệ thống ví dụ cho việc vận dụng quan ñiểm HĐ khi DH chương
“Phương pháp tọa ñộ trong mặt phẳng”.
− Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm giả thuyết khoa học,
tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp ñề ra.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
4.1. Đối tượng nghiên cứu: HĐ dạy và học thông qua chương “Phương pháp tọa
ñộ trong mặt phẳng – Hình học 10 nâng cao”
4.2. Phạm vi nghiên cứu: Các bài tập chương “Phương pháp tọa ñộ trong mặt
phẳng”.
5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lí luận
− Nghiên cứu tài liệu về giáo dục học môn toán, tâm lí học và lí luận DH
môn toán, PPDH môn toán.
− Nghiên cứu các công trình, sách và các tạp chí về quan ñiểm HĐ và HĐ
hóa người học.
− Phương pháp thống kê toán học.
5.2. Khảo sát thực tiễn
− Tham khảo ý kiến của các chuyên gia, các GV dạy toán ở trường THPT.
− Dự giờ, quan sát HĐ dạy và học của GV và HS.
− Tiến hành thực nghiệm sư phạm ñối với lớp thực nghiệm và lớp ñối chứng.
6. Giả thuyết khoa học
Trong DH chương “Phương pháp tọa ñộ trong mặt phẳng” nếu vận dụng
quan ñiểm HĐ thì sẽ phát huy ñược tính tích cực, tự giác, chủ ñộng, sáng tạo của
HS, từ ñó chất lượng DH sẽ ñược nâng cao.

4
7. Những ñóng góp của luận văn
7.1. Về mặt lí luận

− Làm sáng tỏ thêm những thành tố, những tư tưởng chủ ñạo của quan ñiểm
HĐ trong DH môn Toán.
− Làm rõ thêm vị trí và chức năng của bài tập toán trong DH.
7.2. Về mặt thực tiễn
− Xây dựng ñược các biện pháp vận dụng quan ñiểm HĐ trong dạy DH giải
toán về “Phương pháp tọa ñộ trong mặt phẳng” .
− Xây dựng ñược hệ thống ví dụ minh họa cho việc DH theo quan ñiểm HĐ.
8. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở ñầu, kết luận và tài liệu tham khảo. Nội dung có 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn;
Chương 2: Một số biện pháp vận dụng quan ñiểm hoạt ñộng khi dạy học giải
toán về phương pháp tọa ñộ trong mặt phẳng;
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.
5
Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Quan ñiểm hoạt ñộng trong dạy học môn toán
1.1.1. Khái niệm hoạt ñộng
– HĐ có nhiều nghĩa khác nhau:
+ HĐ là những việc làm khác nhau với mục ñích nhất ñịnh trong ñời sống xã hội.
+ HĐ là vận ñộng, cử chỉ không chịu ngồi yên một chỗ.
+ HĐ là vận hành ñể thực hiện chức năng nào ñó hoặc gây ra tác ñộng nào ñó.
– Về phương diện tâm lí học: HĐ là sự tác ñộng qua lại giữa con người với thế giới
xum quanh ñể tạo ra sự biến ñổi cả về phía con người, cả về phía thế giới xum
quanh. Trong ñó con người là chủ thể, thế giới xum quanh là khách thể.
Như vậy, HĐ là tiến hành những việc làm có quan hệ chặt chẻ với nhau
nhằm một mục ñích nhất ñịnh trong ñời sống xã hội; thực hiện một chức năng nhất
ñịnh trong một chỉnh thể; vận ñộng cử chỉ nhằm một mục ñích nhất ñịnh. HĐ là
toàn bộ hành vi của một sinh thể.
Theo từ ñiển Giáo dục (9, tr.191): HĐ là hình thức biểu hiện quan trọng nhất

của mối liên hệ tích cực, chủ ñộng của con người ñối với thực tiễn xum quanh. Còn
ñối với từng khía cạnh thực tiễn, HĐ là quá trình diễn ra một loạt các hành ñộng có
liên quan chặt chẻ với nhau tác ñộng vào ñối tượng nhằm ñạt ñược mục ñích nhất
ñịnh trong ñời sống xã hội. HĐ của con người luôn xuất phát từ những ñộng cơ nhất
ñịnh do sự thôi thúc của nhu cầu, hứng thú, tình cảm, ý thức trách nhiệm cả ñộng
cơ và mục ñích cùng thúc ñẩy con người tích cực và kiên trì khắc phục khó khăn ñể
ñạt ñược kết quả mong muốn. Tuy nhiên, với cùng một mục ñích HĐ như nhau có
thể có những ñộng cơ khác nhau.
Ngoài các yếu tố mục ñích và ñộng cơ nêu trên, HĐ còn có ñặc trưng là phải
biết sử dụng các phương tiện nhất ñịnh mới thực hiện ñược như: công cụ và cách sử
dụng công cụ, phương tiện ngôn ngữ và các tri thức chứa ñựng trong ngôn ngữ,
cách thức làm việc bằng trí óc và chân tay. Nghĩa là HĐ ñòi hỏi phải có kĩ năng và
kĩ xảo sử dụng các phương tiện.
6
Hình thức cơ bản trong HĐ của con người là lao ñộng nhằm tạo ra những giá
trị vật chất và tinh thần ñể thỏa mãn các nhu cầu của mỗi người và toàn xã hội. Trong
quá trình phát triển lịch sử, HĐ lao ñộng ñã phân hóa dưới hai hình thức là trí óc và
chân tay, nhưng vẫn luôn gắn bó chặt chẻ với nhau. Xã hội càng văn minh, càng phắt
triển thì thành phần trí tuệ trong HĐ của con người càng tăng và lấp dần khoảng cách
giữa HĐ trí tuệ và HĐ cơ bắp trong quá trình tạo ra các giá trị cho xã hội.
Để tham gia vào các HĐ, con người phải có những năng lực HĐ nhất ñịnh.
Năng lực này một phần phụ thuộc vào tố chất bẩm sinh của mỗi người, tuy nhiên,
nó chủ yếu phụ thuộc vào các ñiều kiện hoàn cảnh, cụ thể là phụ thuộc vào yếu tố
giáo dục.
Theo A. N. Leonchiepv (15, tr.81): HĐ là phương thức tồn tại của cuộc sống
chủ thể. Cuộc sống là “tổ hợp, hay nói một cách chính xác hơn là hệ thống những HĐ
thay thế nhau”.
1.1.2. Lí thuyết hoạt ñộng trong tâm lí học hiện ñại
Dựa trên quan ñiểm duy vật lịch sử về con người: “Trong tính hiện thực của
nó, bản chất con người là tổng hòa các mối quan hệ xã hội” (K.Mark). Mô hình lí

luận xây dựng trên phạm trù HĐ ñã trả lại cho tâm lí học con người cụ thể, con
người xã hội – lịch sử, con người hành ñộng, con người HĐ.
HĐ trở thành khái niệm then chốt trong bộ máy khái niệm của tâm lí học
kiểu mới, tâm lí học khách quan, khoa học.
Phát triển lý thuyết văn hóa – lịch sử, vận dụng sáng tạo PP tiếp cận lịch sử
vào công trình nghiên cứu tâm lý của mình A. N. Leonchiepv ñã xây dựng nên tâm
lý học HĐ. Đó là tâm lí học với PP tiếp cận lấy HĐ có ñối tượng làm mô hình
nghiên cứu, lý giải, hình thành, phát triển tâm lí, nhân cách con người.
Toàn bộ lý thuyết tâm lí học về HĐ, cấu trúc vĩ mô của HĐ ñối tượng ñược
A. N. Leonchiepv trình bày tóm tắt trong “Hoạt ñộng – Ý thức – Nhân cách” (15,
tr.115 – tr.140). Cống hiến lớn nhất của ông là xây dựng nên PP tiếp cận HĐ.
7
“Đối tượng của HĐ là ñộng cơ thật sự của HĐ. Dĩ nhiên nó có thể là vật
chất hay tinh thần, là có trong tri giác hay chỉ có trong tưởng tượng, trong ý nghĩ.
Điều chủ yếu là: ñằng sau nó bao giờ cũng là nhu cầu này hay nhu cầu khác”
Khái niệm HĐ bao giờ cũng gắn liền một cách tất yếu với khái niệm ñộng
cơ. Không có HĐ nào không có ñộng cơ; HĐ không ñộng cơ không phải là HĐ.
Đỗ Ngọc Đạt (5, tr.82) ñã mô hình hóa cấu trúc của HĐ như sau: Thành phần
cơ bản hợp thành những HĐ riêng lẻ của con người là những hành ñộng thực hiện
HĐ ấy. Chúng ta gọi hành ñộng là quá trình bị chi phối bởi biểu tượng về cái kết
quả ñạt ñược, nghĩa là quá trình nhằm một mục ñích ñược ý thức. Khái niệm mục
ñích quan hệ với khái niệm hành ñộng cũng như khái niệm ñộng cơ quan hệ với
khái niệm HĐ.
Việc tách ra những hành ñộng có mục ñích hợp thành nội dung của những HĐ
cụ thể, ñương nhiên ñặt ra vấn ñề mối quan hệ bên trong gắn liền chúng lại với nhau.
Như ñã nói ở trên, HĐ không phải là quá trình cộng thành. Do ñó hành ñộng không
phải là những “bộ phận riêng lẻ” ñặc biệt cấu thành HĐ, HĐ của con người không
tồn tại bằng cách nào khác hơn là dưới hình thức những hành ñộng hay những chuỗi
hành ñộng (19, tr.119). Phương thức thực hiện hành ñộng gọi là thao tác.
Các thuật ngữ “hành ñộng” và “thao tác” thường không phân biệt nhau.

Nhưng trong khung cảnh phân tích HĐ về mặt tâm lí thì phân biệt rành mạch hai
thuật ngữ ấy là hoàn toàn cần thiết. Hành ñộng liên quan ñến mục ñích, còn thao
tác liên quan ñến ñiều kiện. Tuy vậy, thao tác vẫn không phải là “phần riêng lẻ”
của hành ñộng, giống như hành ñộng so với HĐ (15, tr.124).
Như vậy HĐ của con người có những thành tố ñặc thù là con người vươn
tới ñối tượng, chuyển sự vật, hiện tượng thành ñối tượng của HĐ, nhằm tạo ra
sản phẩm của HĐ, thực hiện mục ñích của con người. Các quá trình này vừa
chứa ñựng, vừa thực hiện ñộng cơ của con người với tinh thần là chủ thể của
HĐ. Để thực hiện ñộng cơ, chủ thể phải thực hiện sức căng cơ bắp, thần kinh,
năng lực, kinh nghiệm thực tiễn ñể thoả mãn ñộng cơ, gọi là HĐ. Quá trình
chiếm lĩnh từng mục ñích gọi là hành ñộng. Chủ thể chỉ có thể ñạt ñược mục
8
ñích bằng những ñiều kiện xác ñịnh. Mỗi ñiều kiện quy ñịnh một cách thức hành
ñộng gọi là thao tác.
HĐ luôn có tính hướng ñích và hành ñộng là quá trình thực hiện hóa mục
ñích, còn thao tác do ñiều kiện quy ñịnh. Do ñó sự khác nhau giữa mục ñích và
ñiều kiện quy ñịnh sự khác nhau giữa hành ñộng và thao tác. Nhưng sự khác
nhau ñó chỉ mang tính tương ñối, bỡi ñể ñạt ñược một mục ñích ta có thể dùng
các phương tiện khác nhau. Khi ñó hành ñộng chỉ thay ñổi về mặt kĩ thuật, tức là
cơ cấu thao tác chứ không hề thay ñổi về bản chất. Về mặt tâm lí, hành ñộng
sinh ra thao tác, nhưng thao tác không phải là phần riêng lẻ của hành ñộng. Sau
khi ñược hình thành, thao tác có khả năng tồn tại ñộc lập và có thể tham gia vào
nhiều hành ñộng khác.
HĐ có biểu hiện bề ngoài là hành vi, hai phạm trù này hỗ trợ cho nhau,
trong ñó, HĐ bao gồm cả hành vi lẫn tâm lí, ý thức. HĐ của con người tất yếu
dẫn ñến chổ nảy sinh ý thức và ý thức là thành tố thực sự trong sự vận ñộng của
HĐ. Vì vậy ý thức tâm lí của con người bao giờ cũng mang tính chất tích cực.
Hơn nữa, ñây là tính tích cực HĐ ñặc thù của con người, tức là nó mang tính
chất say mê, vì nó luôn gắn bó với việc thực hiện mục ñích của HĐ.
Như vậy thế giới tâm lí con người có thể ñược nghiên cứu ở ba cấp ñộ:

− Hoạt ñộng: bao giờ cũng nhằm vào ñối tượng, tạo ra sản phẩm ñề thỏa mãn
một ñộng cơ nào ñó.
− Hành ñộng: tương ứng với một mục ñích cụ thể.
− Thao tác: Cử ñộng của các công cụ, tương ứng với các ñiều kiện và phương
tiện.
Đặc trương cho HĐ là ñộng cơ của nó và ñặc trương cho hành ñộng là
mục ñích của nó. Môt hành ñộng là một quá trình thực hiện hóa mục ñích, tức
là làm ra sản phẩm. Còn thao tác là do phương tiện quy ñịnh. Sự khác nhau
giữa mục ñích và phương tiện quy ñịnh một cách khách quan và rõ nét sự khác
nhau giữa hành ñộng và thao tác.
9
Theo A. N. Leonchiepv, cấu trúc chức năng của HĐ bao gồm các thành
tố có thể mô hình hóa như sau:
Phương tiê n
Mu c ñich
Đô ng cơ
Thao ta c
Ha nh ñô ng
Hoa t ñô ng

Mối liên hệ bên trong của HĐ là mối liên hệ giữa: HĐ – Hành ñộng – Thao
tác, tương ứng với mối liên hệ giữa: Động cơ – Mục ñích – Phương tiện.
1.1.3. Các tư tưởng chủ ñạo của quan ñiểm hoạt ñộng
Quá trình DH là một quá trình ñiều khiển HĐ và giao lưu giữa GV và HS
nhằm ñạt ñược các mục tiêu DH. Đây là quá trình ñiều khiển con người chứ không
phải ñiều khiển máy móc, vì vậy cần quan tâm ñến cả yếu tố tâm lí, chẳng hạn HS
có sẵn sàng, có hứng thú thực hiện HĐ này, HĐ khác hay không.
Mỗi nội dung DH ñều liên hệ với những HĐ nhất ñịnh mà GV có thể khai
thác ñể tổ chức quá trình DH một cách có hiệu quả. Xuất phát từ một nội dung DH,
ta cần phát hiện những HĐ liên hệ với nó, rồi căn cứ vào mục ñích DH mà lựa chọn

các PPDH thích hợp ñể tập luyện cho HS những HĐ tương ứng. Việc phân tích một
HĐ thành những HĐ thành phần cũng giúp GV tổ chức cho HS tiến hành những
HĐ ở mức ñộ vừa sức với HS.
HĐ thúc ñẩy sự phát triển là HĐ mà chủ thể thực hiện một cách tự giác và
tích cực. Vì vậy người dạy cần cố gắng gợi ñộng cơ ñể người học ý thức rõ vì sao
thực hiện HĐ này hay HĐ khác.
10
Việc thực hiện HĐ nhiều khi ñòi hỏi những tri thức nhất ñịnh, ñặc biệt là tri
thức PP. Những tri thức như thế có khi lại là kết quả của một quá trình HĐ. HS thực
hiện nhiều HĐ trong học tập sẽ tích lũy ñược nhiều tri thức PP.
Trong HĐ, kết quả ñạt ñược ở mức nào ñó có thể lại là tiền ñề ñể tập luyện
và ñạt ñược một kết quả cao hơn. Do ñó cần phân bậc HĐ theo những mức ñộ khác
nhau làm cơ sở cho việc chỉ ñạo quá trình DH.
Theo Nguyễn Bá Kim (13, tr.124), quan ñiểm HĐ trong PPDH có thể ñược
thực hiện ở các tư tưởng chủ ñạo sau ñây:
a. Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt ñộng và hoạt ñộng thành
phần tương thích với nội dung và mục tiêu dạy học
Mỗi nội dung DH ñều liên quan ñến những HĐ nhất ñịnh, ñó chính là những
HĐ ñể người học có thể kiến tạo, ứng dụng hoặc cũng cố tri thức, rèn luyện kĩ năng
và hình thành thái ñộ. Với mỗi nội dung DH, GV cần cho HS thực hiện và tập luyện
các HĐ tương thích với nội dung ñó.
Ví dụ: Sau khi học cách dựng ñường vuông góc chung của hai ñường thẳng chéo
nhau trong không gian. GV ra bài toán sau sẽ tạo ñiều kiện cho HS thực hiện và tập
luyện các HĐ và HĐ thành phần tương thích với nội dung.
Cách dựng ñường vuông góc chung, có 2 tình huống:
 Tình huống 1: Dựng mp(P) chứa ñường thẳng b và (P) vuông góc với ñường
thẳng a, gọi
( )
A a P
= ∩

. Dựng AB ⊥ b, B ∈ b. Ta có AB là ñoạn vuông góc chung
của a và b.
 Tình huống 2: Dựng mp(P) vuông góc với ñường thẳng a, dựng ñường thẳng b’
là hình chiếu của ñường thẳng b lên (P). Dựng M = a ∩ (P), MN ⊥ b’, NB // a, BA
// NM. Ta có AB là ñoạn vuông góc chung của a và b.
P
a
b
P
a
b'
b
A
M
B
N
B
A

11
GV yêu cầu HS trình bày kĩ lại cách dựng và sau ñó cho HS tập luyện bằng
cách cho HS giải bài toán: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông,
(
)
SA ABCD
⊥
. Dựng ñoạn vuông góc chung của các ñường thẳng:
a) SB và AD
b) SC và BD
c) SC và AD

d) SB và AC
GV có thể dùng PP ñàm thoại phát hiện giúp HS thực hiện và tập luyện
những HĐ và HĐ thành phần. GV có thể ñặt ra các câu hỏi như sau:
+ Câu b) rơi vào tình huống nào trong hai tình huống trên ? Hãy chọn ra một mặt
phẳng vuông góc với một trong hai ñường thẳng SC hoặc BD ? Hãy trình bày cách
dựng ñường vuông góc chung của SC và BD ?
+ Câu d) rơi vào tình huống nào trong hai tình huống trên? Hãy chọn ra một mặt
phẳng vuông góc với một trong hai ñường thẳng AC hoặc SB? Đã có mặt phẳng ñó
chưa? Hãy dựng mặt phẳng vuông góc với một trong hai ñường thẳng AC hoặc SB?
(Trong mp(ABCD) dựng
( )
Ax AC AC SAx
⊥ → ⊥
). Bước tiếp theo ta phải làm gì ?
Tìm hình chiếu của SB lên (SAx) ? Kẻ
, , // , //
BT Ax AJ ST JE AC EF AJ
⊥ ⊥
. Ta có EF
là ñoạn vuông góc chung của AC và SB.
Với cách tạo tình huống như vậy HS ñược tập luyện và thực hiện nhiều HĐ
thành phần nhằm chiếm lĩnh và cũng cố tri thức, từ ñó HS sẽ quen dần và biết tiến
hành các HĐ cũng như biết tự ñặt ra các câu hỏi khi giải quyết các bài toán mới.
b. Gợi ñộng cơ và hướng ñích cho các hoạt ñộng học tập
Để ñạt ñược mục ñích DH, ñiều cần thiết là HS phải học tập tự giác, tích cực,
chủ ñộng và sáng tạo. Muốn vậy ñòi hỏi HS phải có ý thức về những mục ñích ñặt
O
A
D
B

C
S
S
C
B
D
A
S
C
B
A
D
A
D
C
S
B
H
I
M
N
K
E
F
T
J
12
ra và tạo ñược ñộng lực bên trong thúc ñẩy ñược bản thân các em HĐ ñể ñạt ñược
các mục ñích ñó. Điều này ñược thực hiện trong DH không chỉ ñơn giản bằng việc
nêu rõ mục ñích mà quan trọng hơn là do việc gợi ñộng cơ và hướng ñích.

GV cũng phải chú ý nhấn mạnh yêu cầu của bài toán, tức là phải hướng ñích
cho HS, tập trung khai thác vào trọng tâm vấn ñề ñể ñạt ñược yêu cầu ñặt ra.
Tuy nhiên, việc gợi ñộng cơ không phải chỉ là cách phát biểu làm cho bài
toán trở nên hấp dẫn hơn mà nhờ GV biết cách khai thác, tạo ra nhiều vấn ñề mới có
liên quan cũng là cách gợi ñộng cơ tốt ñể kích thích HS hứng thú trong học tập.
Việc gợi ñộng cơ không phải chỉ diễn ra trong một thời gian ngắn ngủi mà
việc gợi ñộng cơ diễn ra trong cả quá trình học tập.
Chẳng hạn, ñể tạo ñộng cơ và gây hứng thú học tập cho HS trong khi DH bất
ñẳng thức Côsi, GV có thể ra tình huống sau:
Xuất phát từ bài toán: Chứng minh rằng
2 2
2 2
, , 0
a b a b
a b
b a b a
+ ≥ + ∀ >

Giải: Áp dụng bất ñẳng thức Côsi, ta có
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
2
1 2
2 2 2
1 2
a a
a b a b a b a b a b

b b
b a b a b a b a b a
b b
a a

+ ≥


 
→ + + ≥ + → + ≥ + + + −

 
 

+ ≥



Mặt khác

2 2 0
a b a b
b a b a
+ ≥ → + − ≥

. Do ñó
2 2
2 2
a b a b
b a b a

+ ≥ +

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi a = b.
Sau khi giải xong bài toán trên, GV có thể gợi ñộng cơ học tập cho HS bằng
cách nêu vấn ñề: “Từ cách giải bài toán ñã cho, hãy phân tích và tìm lời giải cho
các bài toán sau”:
Bài 1
: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
1.1.
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + +

1.2.
3 3 3
3 3 3
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + +

13
1.3.
3 3 3 2 2 2
3 3 3 2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + +

1.4.
5 5 5 3 3 3
5 5 5 3 3 3
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + +

1.5.
*
,
n n n
n n n
a b c a b c
n N
b c a b c a
+ + ≥ + + ∈

1.5.
*
, ; ,
m m m n n n
m m m n n n
a b c a b c
m n m n N
b c a b c a
+ + ≥ + + > ∈

HD 1.2: Theo bất ñẳng thức Côsi, ta có
3
3

3 3 3 3
3 3 3 3
3
3
1 1 3
1 1 3 3 6
1 1 3
a a
b b
b b a b c a b c
c c b c a b c a
c c
a a

+ + ≥



 
+ + ≥ → + + ≥ + + −

 
 


+ + ≥



3 3 3

3 3 3
2 6
a b c a b c a b c
b c a b c a b c a
 
→ + + ≥ + + + + + −
 
 

Mặt khác
3
3 . . 3 2 6 0
a b c a b c a b c
b c a b c a b c a
 
+ + ≥ = → + + − ≥
 
 

Do ñó
3 3 3
3 3 3
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + +
. Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Bài 2
: Cho a, b, c > 0 và abc=1. Chứng minh rằng:
2.1.
2 2 2

a b c a b c
+ + ≥ + +

2.2.
3 3 3
a b c a b c
+ + ≥ + +

2.3.
3 3 3 2 2 2
a b c a b c
+ + ≥ + +

2.4.
5 5 5 3 3 3
a b c a b c
+ + ≥ + +

2.5.
n n n
a b c a b c
+ + ≥ + +

2.6.
*
, ; ,
n n n m m m
a b c a b c n m m n N
+ + ≥ + + > ∈

14
HD 2.3:
( ) ( )
3 3 3 3 3 2
3 3 3 3 3 2 3 3 3 2 2 2
3 3 3 3 3 2
1 3 . .1 3
1 3 . .1 3 2 3 3
1 3 . .1 3
a a a a a
b b b b b a b c a b c
c c c c c

+ + ≥ ≥


+ + ≥ ≥ → + + + ≥ + +


+ + ≥ ≥



(
)
(
)
(
)

3 3 3 2 2 2 2 2 2
2 2 3
a b c a b c a b c
→ + + ≥ + + + + + −

Mặt khác

2 2 2 3 2 2 2 2 2 2
3 3 3 0
a b c a b c a b c
+ + ≥ = → + + − ≥

Do ñó
3 3 3 2 2 2
a b c a b c
+ + ≥ + +
. Dấu “=” xẩy ra khi và chì khi a=b=c=1

Bài 3
: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
3.1.
8 8 8 2 2 2
a a
b c b c
+ + ≥ + +

3.2.
32 32 32 4 4 4
a a
b c b c

+ + ≥ + +

3.3.
64 64 64 2 2 2
a a
b c b c
+ + ≥ + +

HD 3.1: Đặt
2 , 2 , 2 , , 0, . . 1
a b c
x y z x y z x y z
= = = → > =
. Bài toán 3.1 trở thành: Cho x,
y, z > 0 và xyz=1. Chứng minh rằng
3 3 3
x y z x y z
+ + ≥ + +
chính là bài toán 2.2
Với cách ñưa ra các tình huống như trên, sẽ có tác dụng tốt trong việc gợi
ñộng cơ, kích thích ñược tinh thần học tập, phát triển ñược tư duy của HS.

c.
Dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức, ñặc biệt là tri thức phương pháp như là phương
tiện và kết quả của hoạt ñộng


Tri thức vừa là ñiều kiện vừa là kết quả của HĐ. Đứng trước một nội dung
DH, GV cần nắm ñược các tri thức PP có thể có trong nội dung ñó. Nắm ñược như
vậy không phải là ñể dạy tất cả cho HS một cách tường minh mà còn phải căn cứ

vào mục tiêu và tình hình cụ thể ñể lựa chọn cách thức, mức ñộ làm việc thích hợp
nhằm ñem lại kết quả DH cao nhất.
GV cần quan tâm cả những tri thức cần thiết và những tri thức ñạt ñược trong
quá trình HĐ. Những dạng khác nhau của tri thức là: Tri thức sự vật, tri thức PP, tri
thức chuẩn và tri thức giá trị.
Tri thức trong HĐ khi DH có các mức ñộ: DH tường minh tri thức PP ñược
phát biểu một cách tổng quát; Thông báo tri thức PP trong quá trình HĐ; Tập luyện
những HĐ ăn khớp với những tri thức PP.
15
HĐ “qui lạ về quen” là một HĐ phổ biến trong toán học. HĐ này tạo ñược
hứng thú trong quá trình DH vì nó dễ tiếp cận. Thông qua HĐ này GV có thể dẫn dắt
HS ñưa nhiều bài toán về dạng quen thuộc cũng như có thể sáng tạo ra nhiều bài toán
mới từ bài toán ñã biết.
Ví dụ
: Sau khi học ñịnh nghĩa và các tính chất của cấp số nhân: GV có thể ñưa ra
một ví dụ “qui lạ về quen”, sau ñó tạo ra các tình huống dẫn dắt HS tập luyện những
HĐ ăn khớp với những tri thức PP và hướng dẫn HS kiến tạo tri thức. Chẳng hạn:
Tìm số hạng tổng quát của dãy số
( )
1
1
2
:
3 3
, 1
n
n n
u
u
n

u u n
n
+
=



+
= ≥



Dãy số trên mới nhìn vào “có vẽ xa lạ”, Qua một phép ñổi biến HS sẽ ñưa dãy số ñã
cho về dạng “quen thuộc” là cấp số nhân:
1
1
3 3
3.
1
n n
n n
u u
n
u u
n n n
+
+
+
= ⇔ =
+

.
Đặt
, 1
n
n
u
v n
n
= ≥
, ta có
(
)
1
3
n n n
v v v
+
= →
là cấp số nhân. Do ñó
1 1 1
1
2.3 2 .3 , 1
n n n
n n
v v q u n n
− − −
= = → = ≥

Tương tự cách này GV có thể hướng dẫn cho HS sáng tạo ra ñược rất nhiều bài toán
mới: Chẳng hạn, tìm số hạng tổng quát

n
u
của các dãy số sau biết
1
u
α
=
và với
1
n
≥

Bài 1:
1
.
9 9
n n
n
u u
n
+
=
+
.
HD :
1 1 1
1 1
1. . , .
9 9 3 3
n n n n n n n n

n
u u n u n u v n u v v
n
+ + +
= ⇔ + = = → =
+

Bài 2:
1
2 4
.
n n
n
u u
n
+
+
=
.
HD :
( )( ) ( ) ( )
1 1
1 1
2 4
2. 2. , 2
2 1 2 1 1
n n n n n
n n n n n
u u u u u
n

u u v v v
n n n n n n n n n
+ +
+ +
+
= ⇔ = ⇔ = = → =
+ + + + +

Bài 3:
(
)
1
3 3 .
n n
u n u
+
= +
.
HD :
( )
( )
1 1
1 1
3 3 . 3 3. , 3
1 1 ! ! !
n n n n
n n n n n n
u u u u
u n u u v v v
n n n n

+ +
+ +
= + ⇔ = ⇔ = = → =
+ +

16
Bài 4:
1
2
5
.
2
n n
u u
n n
+
=
+
.
HD:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
2
5
. 2 5 !. 2!. 5. 1!. 1!. , 1!. 1!. 5
2
n n n n n n n n n n
u u n n u u n n u n n u v n n u v v
n n
+ + + +

= ⇔ + = ⇔ + = − + = − + → =
+

Hướng dẫn HS kiến tạo:
Từ dãy số
1
. , 1
n n
v a v n
+
= ≥
. Đặt
(
)
, 1
n n
v u n
ϕ
= ≥
ta ñược các bài toán về dãy số mà
muốn tìm số hạng tổng quát phải chuyển về cấp số nhân.
Chẳng hạn: Từ dãy số
1
3
n n
v v
+
=
. Đặt
( )

2
5
1 !
n
n
u
v
n
= +
+
ta sẽ có bài toán: Tìm số hạng
tổng

quát

của dãy số

( )
( ) ( )
1
1
1
:
3 2 5 2 ! , 1
n
n n
u
u
u n u n n
+

=



= + + + ≥



Với những tri thức PP không quy ñịnh trong chương trình, GV cần vận dụng
một cách có ý thức trong việc ra bài tập, hướng dẫn và bình luận HĐ của HS. Nhờ
ñó HS sẽ làm quen với PP này.
Một con ñường có hiệu quả ñể phát triển ở HS năng lực chứng minh toán học
là tạo ñiều kiện cho họ tập luyện dần những HĐ ăn khớp với một chiến lược giải
toán. Chiến lược này kết tinh lại ở HS như một bộ phận kinh nghiệm mà họ thu
lượm ñược trong quá trình giải những bài toán như vậy. Sự kết tinh này không phải
diễn ra một cách tự phát mà cần có những biện pháp thực hiện một cách có mục
ñích, có ý thức của GV. GV luôn luôn lặp ñi, lặp lại một cách có dụng ý những chỉ
dẫn và câu hỏi cho HS.
Chẳng hạn, với bài toán tìm tâm của mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp cho
trước, GV có thể lặp lại nhiều lần các câu hỏi sau:
− Bước thứ nhất ta phải làm gì? (Xác ñịnh tâm của ñường tròn ngoại tiếp ña giác
ñáy).
− Bước thứ hai ta phải làm gì? (Dựng trục ñường tròn ngoại tiếp ña giác ñáy).
− Bước thứ ba ta phải làm gì? (Dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên).
Khi ñó: Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao ñiểm của trục ñường tròn
ngoại tiếp ña giác ñáy với mặt phẳng trung trực của một cạnh bên.
17
Những kiểu chỉ dẫn như trên giống một thuật toán giúp HS nắm rõ cách giải,
nó gắn liền với những bài toán cụ thể nhưng mang một ý nghĩa tổng quát giúp HS
có thể vận dụng vào nhiều tình huống khác trong quá trình học tập.

d. Phân bậc hoạt ñộng làm căn cứ ñiều khiển quá trình dạy học
Một ñiều quan trọng trong DH là phải xác ñịnh ñược những mức ñộ, yêu cầu
thể hiện ở những HĐ mà HS phải ñạt ñược. Thuật ngữ “mức ñộ” hay “phân bậc” có
thể hiểu theo nghĩa “vĩ mô” vừa theo nghĩa “vi mô”. Theo nghĩa vĩ mô, ta nói tới mức
ñộ của một HĐ trong những giai ñoạn khác nhau của toàn bộ thời gian học ở THPT,
của một lớp học hay một cấp học nào ñó. Theo nghĩa vi mô, những mức ñộ HĐ ñược
hiểu là những mức ñộ khó khăn hay mức ñộ yêu cầu trong một khoảng thời gian
ngắn, trong một tiết học, trong khi giải quyết một vấn ñề hay giải một bài toán.
GV nên thường xuyên dựa vào sự phân bậc HĐ ñể tuần tự nâng cao yêu cầu
ñối với HS trong DH. Điều này phù hợp với lí thuyết của vưgôtxki về vùng phát
triển gần nhất. Theo lí thuyết này, những yêu cầu ñặt ra ñối với HS phải hướng vào
vùng phát triển gần nhất. Vùng này ñã ñược chuẩn bị do quá trình phát triển trước
ñó, nhưng HS còn chưa ñạt tới. Nhờ HĐ nhiều mặt, vùng phát triển gần nhất sẽ trở
thành vùng HĐ hiện tại. Quá trình cứ lặp lại và HS sẽ bước lên từng bậc cao hơn
trong quá trình HĐ và phát triển.
Sau ñây là một ví dụ khi dạy HS kĩ năng áp dụng bất ñẳng thức Côsi thông
qua hệ thống bài tập phân bậc từ ñơn giản ñến phức tạp (thực hiện trong một tiết
dạy). (17, tr.34)
Bài 1: CMR :
1 1
4
a b
a b
  
+ + ≥
  
  
, với mọi a, b dương (HD : Chỉ cần vận dụng trực
tiếp bất ñẳng thức Côsi cho 2 số dương).
Bài 2: CMR:

2 2 2
a b c a b b c ca
+ + ≥ + +
, với mọi a, b, c dương (HD: ghép ñôi).
Bài 3: CMR:
(
)
2 2 2 2 2
a b c d e a b c d e
+ + + + ≥ + + +
, với mọi a, b , c, d, e dương (HD:
tách
2 2 2 2
2
4 4 4 4
a a a a
a
= + + +
).
18
Bài 4: Cho a, b, c > 0 và abc = 1. CMR :
2 2 2 2 2 2
1 1 1
3 3
a b b c c a
ab bc ca
+ + + + + +
+ + ≥

(HD : vừa áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho 3 số trong căn thức sau ñó áp dụng cho 3 số ở

vế trái).

Bài 5: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. CMR :
3 3 3
7 7 7 6
a b b c c a
+ + + + + ≤

(HD: “chọn ñiểm rơi" hợp lí:
( ) ( )
3
7 8 8 3 7 .8.8
a b a b+ + + ≥ +

)
Bài 6: Cho x, y, z > 0 và
1 1 1
4
x y z
+ + =
. CMR:
1 1 1
1
2 2 2
x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +

(HD: vận dụng sáng tạo công thức
1 1 1 1 1 1

2 16
x y z x x y z
 
≤ + + +
 
+ +
 
)
Bài 7: Cho x, y, z >0 và x + y + z = xyz. CMR:
( ) ( ) ( )
3 3
1 1 1 4
xy yz zx
z xy x yz y zx
+ + ≥
+ + +

(HD: xử lí ñộc ñáo hơn
( ) ( )
1 1 1 1 1 1
1 1 2
xy
z xy z z xy z z xyz z x y z
= − = − = −
+ + + + +
, sau ñó sử
dụng công thức như bài 6).
Người GV cần thiết và phải cố gắng thực hiện sự phân bậc HĐ một cách linh
hoạt ñể phù hợp với các ñối tượng HS. Muốn tạo ñược không khí học tập sôi nổi,
GV phải khuyến khích ñược ña số HS tham gia giải quyết vấn ñề. Do vậy, khi giải

quyết các vấn ñề phức tạp, GV nên phân chia bài toán ban ñầu thành các trường hợp
nhỏ, ñơn giản ñể ña số HS ñều có thể tham gia giải quyết, sau ñó tuần tự nâng cao
yêu cầu nhằm phát huy tính tích cực, khả năng khám phá của HS.
Những tư tưởng chủ ñạo này giúp thầy giáo ñiều khiển quá trình học tập của
HS. Muốn ñiều khiển phải ño những ñại lượng ra, so sánh với mẫu yêu cầu và khi cần
thiết phải có sự ñiều chỉnh. Trong DH, việc ño và so sánh này căn cứ vào những HĐ
của HS. Việc ñiều chỉnh ñược thực hiện nhờ tri thức, trong ñó có tri thức PP và dựa vào
sự phân bậc HĐ.
Những tư tưởng chủ ñạo này phân ranh giới rõ ràng với quan ñiểm thực dụng
phiến diện chỉ quan tâm ñến hành ñộng thụ ñộng, máy móc. Khác với quan ñiểm
ñó, ở ñây ta chú ý ñến mục tiêu, ñộng cơ, ñến tri thức PP, ñến trải nghiệm thành
19
công, nhờ ñó bảo ñảm ñược tính tự giác, tích cực, chủ ñộng, sáng tạo của người
học.
Những tư tưởng chủ ñạo nói trên cũng thể hiện tính toàn diện của mục tiêu
DH. Việc kiến tạo một tri thức, rèn luyện một kĩ năng, hình thành một thái ñộ cũng
là nhằm giúp HS HĐ trong học tập cũng như trong ñời sống. Như vậy, những mục
tiêu thành phần ñược thống nhất trong HĐ, ñiều này thể hiện mối liên hệ hữu cơ
giữa chúng với nhau. Tri thức, kĩ năng, thái ñộ một mặt là ñiều kiện và mặt khác là
ñối tượng biến ñổi của HĐ. Hướng vào các tư tưởng chủ ñạo trên không hề làm
phiến diện mục tiêu DH, mà trái lại còn ñảm bảo tính toàn diện của mục tiêu ñó.
Những tư tưởng chủ ñạo trên hướng vào việc tập luyện cho HS những HĐ và
HĐ thành phần, gợi ñộng cơ HĐ, kiến tạo tri thức mà ñặc biệt là tri thức PP, phân
bậc HĐ như những thành tố cơ sở của PPDH.
Để ngắn gọn, ta có thể gọi các thành tố cơ sở của PPDH là:
− HĐ và HĐ thành phần;
− Động cơ HĐ;
− Tri thức trong HĐ;
− Phân bậc HĐ.
Chúng ñược gọi là các thành tố cơ sở của PPDH bởi vì dựa vào ñó, ta có thể

tổ chức cho HS HĐ một cách tự giác, tích cực, chủ ñộng và sáng tạo, ñảm bảo sự
phát triển nói chung và kết quả học tập nói riêng.(13, tr.125)
1.1.4. Các hoạt ñộng trong dạy học môn toán
Mỗi nội dung DH ñều liên hệ với những HĐ nhất ñịnh, ñó là các HĐ ñược thực
hiện trong quá trình hình thành hoặc vận dụng nội dung ñó. Nội dung DH môn
Toán thường liên quan ñến các HĐ sau:

 Nhận dạng và thể hiện một khái niệm, một ñịnh lí, một quy tắc hay một
phương pháp
Ví dụ 1
(Nhận dạng về hai ñường thẳng vuông góc): Trong các ñường thẳng sau
ñây, hai ñường thẳng nào vuông góc với nhau?
1 2 3 4
: 2 1 0, d : 3 4 7 0, d : 4 2 3 0, : 2 5 0
d x y x y x y d x y
− + = − + = + − = + − =

20
Ví dụ 2
(Thể hiện ñịnh lí về góc giữa hai ñường thẳng): Cho hai ñường thẳng
d: 2x–y+1= 0 và d’: mx+3y– 4= 0. Tìm m ñể góc giữa hai ñường thẳng d và d’ bằng
0
60
.
 Những hoạt ñộng toán học phức hợp
: Chứng minh, ñịnh nghĩa, giải toán bằng
cách lập phương trình, giải toán quỹ tích, dựng hình
Ví dụ
: Tìm tập hợp các ñiểm trên mặt phẳng mà từ ñó vẽ ñến ñồ thị (C) của hàm số
2

1
x
y
x
+
=
hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
 Những HĐ trí tuệ phổ biến trong toán học
: lật ngược vấn ñề, xét tính giải ñược,
phân chia trường hợp,
Ví dụ 1
: Nếu tam giác ABC vuông tại A thì
2 2 2
BC AB AC
= +
. Ngược lại nếu tam
giác ABC có
2 2 2
BC AB AC
= +
thì nó có phải là tam giác vuông hay không?
Ví dụ 2
: Chứng minh rằng phương trình sau có duy nhất một nghiệm thực

0133
24613
=+−+− xxxx
,(1)
Bài toán này phát huy ñược khả năng phân tích khi HS biết phân chia ra các trường
hợp.

Có (1)
(
)
01
3
213
=−−⇔ xx

+)TH 1:
01
>
→
≥
VTx

+)TH 2:
(
)
0110
3
213
>−−→<≤ xxx

+)TH 3: x < 0 . Xét hàm số
(
)
3
213
1)( −−= xxxf

Ta có
(
)
0,01613)('
2
212
<∀>−−= xxxxxf

)(xf
→
ñồng biến trên
(
)
0;∞−

(
)
(
)
1lim;lim
0
=−∞=
→−∞→
xfxf
xx
.
(
)
xf
liên tục trên R

Vậy phương trình ñã cho có duy nhất một nghiệm thực.
 Những HĐ trí tuệ chung
: phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự, ñặc biệt
hóa, khái quát hóa, trừu tượng hóa,
Ví dụ
: Rèn luyện các HĐ trí tuệ chung khi dạy học bất ñẳng thức: Cho a, b, c > 0.
Chứng minh rằng:
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +

21
− Phân tích: Áp dụng bất ñẳng thức Côsi, ta có:
2 2
2 2
a a
b a a b
b b
+ ≥ → ≥ −

− Tương tự :
2 2
2 , 2
b c
b c c a
c a
≥ − ≥ −

− Tổng hợp: Cộng vế theo vế 3 bất ñẳng thức trên ta có:
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +

− Đặc biết hóa: Dấu bằng xẩy ra
a b c
⇔ = =

+ Khai thác ñào sâu bài toán ta ñược các kết quả:
Bài 1(Đặc biệt hóa): Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 2011. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
2 2 2
a b c
P
b c a
= + +
.
Bài 2 (Đặc biệt hóa): Cho a, b, c > 0 và
2 2 2
2011
a b c
b c a
+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
Q a b c
= + +

.
Bài 3 (Đặc biệt hóa): Cho
ABC
∆
có các cạnh a, b, c thỏa mãn
2 2 2
2
a b c
p
b c a
+ + =
,
với p là nữa chu vi. Chứng minh rằng
ABC
∆
là tam giác ñều.
Bài 4 (Đặc biệt hóa): Tìm nghiệm nguyên dương của hệ
2 2 2
3 3 3
24
a b c
a b c
b c a
a b c

+ + = + +



+ + =



Bài 5 (Đặc biệt hóa): Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:
2
2
1
1
a
b a b
b a
+ + ≥ + +

Bài 6 (Tương tự): Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
a.

3 3 3
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +

b.

3 3 3
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +

c.

5 5 5
4 4 4
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +

Bài 7 (Khái quát hóa): Cho a, b, c > 0 và n là số nguyên dương. Chứng minh rằng
a.

1 1 1
n n n
n n n
a b c
a b c
b c a
+ + +
+ + ≥ + +

22
b.

1 1 1
n n n
n n n
a b c
a b c

b c a
+ + +
+ + ≥ + +

Bài 8 (Khái quát hóa): Cho a, b, c > 0 và m, n là hai số nguyên dương.
Chứng minh rằng
m n m n m n
m m m
n n n
a b c
a b c
b c a
+ + +
+ + ≥ + +

Bài 9 (Khái quát hóa): Cho n số dương
1 2
, , ,
n
a a a
.
Chứng minh rằng
2 2
2 2
3
1 2
1 2
2 3 4 1

n

n
a aa a
a a a
a a a a
+ + + + ≥ + + +

 Những HĐ ngôn ngữ
: khi yêu cầu HS phát biểu, giải thích một ñịnh nghĩa, tóm
tắt một bài toán, phát biểu theo dạng khác, trình bày một lời giải,
Ví dụ
: GV yêu cầu HS nhắc lại cách giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai
ẩn
0
' ' ' 0
ax by c
a x b y c
+ + =


+ + =

sau ñó cho HS trình bày cách xét vị trí tương ñối của hai
ñường thẳng d: ax + by + c = 0 và d’: a’x + b’y + c’ = 0.

1.1.5. Một số quan ñiểm về dạy học theo hướng hoạt ñộng
Jean Piaget cho rằng: Tri thức không phải ñược truyền thụ từ người biết ñến
người không biết, mà tri thức ñược chính cá thể xây dựng thông qua hoạt ñộng.
Ông cho rằng, những ý tưởng cần ñược trẻ em tạo nên chứ không phải tìm thấy như
một viên sỏi hoặc nhận ñược từ tay người khác như một món quà; trẻ em tập ñi
bằng cách ñi, chứ không phải nhờ ñược dạy những quy tắc ñể ñi.(17, tr.74)

Những năm 1925 – 1940, L.S. Vưgotski – nhà tâm lí học Xô Viết, ñã ñề ra
những luận ñiểm cơ bản ñể xây dựng nền tâm lí học kiểu mới – tâm lí học macxit,
phủ ñịnh tâm lí học duy tâm thần bí. Xuất phát từ những luận ñiểm của Vưgotski,
A. N. Leon chiepv – nhà tâm lí học macxit kiệt xuất, cùng các cộng sự ñã nghiên
cứu và ñi ñến kết luận quan trọng là “hoạt ñộng là bản thể của tâm lí”, nghĩa là HĐ
có ñối tượng của con người chính là nơi sản sinh ra tâm lí con người. Bằng HĐ và
thông qua HĐ, mỗi người tự sinh thành ra mình, tạo dựng và phát triển ý thức của
mình. Cống hiến lớn nhất của A. N. Leon chiepv là chỉ ra bản chất của tâm lí, với
các luận ñiểm sau:
23
− Hoạt ñộng là bản thể của tâm lí.
− Tâm lí, ý thức là sản phẩm của HĐ và làm khâu trung gian ñể con người tác ñộng
vào ñối tượng; các hiện tượng tâm lí ñều có bản chất của HĐ.
− Quan hệ giữa tâm lí và HĐ là quan hệ giữa một bên là ñiều kiện, mục ñích, ñộng
cơ và một bên là thao tác, hành ñộng, HĐ.(17, tr.9)
Về vai trò của HĐ học tập trong quá trình nhận thức, tâm lí học hiện ñại cho
rằng nhân cách của HS ñược hình thành và phát triển thông qua các HĐ chủ ñộng,
có ý thức.
Ngay từ thời xa xưa, trong dân gian ta ñã có câu “trăm hay không bằng tay
quen’. Nhiều danh nhân cũng ñã nói những câu bất hủ, như: “Suy nghĩ tức là hành
ñộng”(Jean Piaget), “Cách tốt nhất ñề hiểu là làm” (Kant), “Học ñể hành và học
phải ñi ñôi với hành” (Hồ Chí Minh),
Clemenes và Battista ñã ñưa ra những luận ñiểm về DH theo thuyết kiến tạo
cũng trên tư tưởng HĐ: (17, tr.76)
− Kiến thức ñược trẻ em chủ ñộng sáng tạo và phát hiện chứ không phải thụ ñộng
tiếp thu từ môi trường.
− Trẻ em tạo dựng những kiến thức toán học bằng việc phản ánh thông qua các HĐ
trí tuệ và thể chất. Các ý tưởng toán học ñược kiến tạo hoặc làm cho có ý nghĩa khi
trẻ em tự gắn mình vào các cấu trúc tri thức hiện có.
− Sự biểu ñạt thế giới mang tính cá nhân. Nhưng cách lí giải này hình thành thông

qua những kinh nghiệm và tương tác xã hội. Như vậy, việc học toán có thể coi là
quá trình thích nghi và tổ chức lại các cấu trúc tri thức toán học ñã có, không phải là
ghi nhớ các công thức do người khác áp ñặt.
− Học là một quá trình xã hội trong ñó trẻ em dần tự hoà mình vào các HĐ trí tuệ
của những người xum quanh. Các khái niệm và chân lí toán học, ở cả phương diện
ý nghĩa hay ứng dụng ñều ñược các thành viên trong một “nền văn hóa” hợp tác tạo
thành. Như vậy, trong DH HS không chỉ tham gia vào việc khám phá, phát hiện, mà
còn tham gia vào cả quá trình xã hội, bao gồm cả việc giải thích, trao ñổi, ñàm phán
và ñánh giá.
24
− Phải cho HS tham gia giải quyết vấn ñề dù có thành công hay thất bại, thành công
nhiều hay ít. GV không nên chỉ biểu diễn các PP “mẫu mực” và yêu cầu HS làm
theo một cách khiên cưỡng. Khi GV chỉ biết yêu cầu HS sử dụng các PP học “ñẹp
ñẽ” thì HĐ hiểu nghĩa ñã bị cắt xén một cách quá mức; HS có xu hướng bắt chước
các PP ñó một cách máy móc ñể tỏ ra mình ñã ñạt ñược mục ñích mà GV ñề ra.
Thuyết kiến tạo cũng khẳng ñịnh rằng, tất cả các tri thức ñều là sản phẩm của
những HĐ nhận thức của chính chủ thể nhận thức. Kiến thức ñược các em tìm lấy,
các em sẽ nắm vững hơn, theo con ñường ñi từ nhận biết sự vật sang hiểu sự vật.
Trong quá trình HĐ ñể tìm kiếm tri thức, tư duy phê phán ñược hình thành và phát
triển, giúp HS tích hợp ñược khái niệm theo nhiều nghĩa khác nhau. Từ ñó các em
có thể trình bày khái niệm, kiểm chứng, bảo vệ và phê phán khái niệm ñược xây
dựng theo cách riêng của mình.
1.2. Dạy học giải toán
1.2.1. Vị trí, chức năng của bài tập toán
Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy HĐ toán học. Đối với HS có thể xem
việc giải toán là HĐ chủ yếu của HĐ toán học. Các bài toán ở trường phổ thông là
một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế ñược trong việc giúp HS nắm
vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng toán học vào
thực tiễn. Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những HĐ nhất ñịnh bao gồm
cả nhận dạng và thể hiện ñịnh nghĩa, ñịnh lí, quy tắc hay PP, những HĐ Toán học

phức hợp, những HĐ trí tuệ phổ biến trong Toán học, những HĐ trí tuệ chung và
những HĐ ngôn ngữ. HĐ giải bài tập Toán học là ñiều kiện ñể thực hiện tốt các
mục ñích DH. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc giải bài tập Toán học có vai trò
quyết ñịnh ñối với chất lượng DH môn Toán.

Trong thực tiễn, bài tập toán ñược sử dụng với nhiều dụng ý khác nhau. Mỗi
bài tập có thể ñược dùng ñể tạo tiền ñề xuất phát, ñể gợi ñộng cơ, ñể làm việc với
nội dung mới, ñể củng cố hoặc kiểm tra Tất nhiên, việc giải một bài tập cụ thể
thường không chỉ nhằm vào một dụng ý ñơn nhất nào ñó mà thường bao hàm những
25
ý ñồ nhiều mặt ñã nêu. HĐ học của HS liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và
PPDH. Vai trò của bài tập Toán học ñược thể hiện trên ba bình diện sau:
Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu DH, bài tập Toán học ở trường phổ thông
là giá mang những HĐ mà việc thực hiện các HĐ ñó thể hiện mức ñộ ñạt mục tiêu.
Mặt khác, những bài tập lại thể hiện những chức năng khác nhau hướng ñến việc
thực hiện các mục tiêu DH môn Toán, cụ thể là:
− Hình thành, cũng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của quá
trình DH, kể cả khả năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn.
− Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những HĐ tư duy, hình thành những phẩm chất
trí tuệ.
– Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất ñạo
ñức của người lao ñộng mới.
Thứ hai, trên bình diện nội dung DH, những bài tập Toán học là giá mang
HĐ liên hệ với những nội dung nhất ñịnh, một phương tiện cài ñặt nội dung ñể hoàn
chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào ñó ñã ñược trình bày trong phần lí thuyết.
Thứ ba, trên bình diện phương pháp DH, bài tập Toán học là giá mang HĐ ñể
người học kiến tạo những tri thức nhất ñịnh và trên cơ sở ñó thực hiện các mục tiêu DH
khác. Khai thác tốt các bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong HĐ
và bằng HĐ tự giác, tích cực, chủ ñộng và sáng tạo ñược thực hiện ñộc lập hoặc trong
giao lưu.(13, tr.388)

Theo Vũ Dương Thụy, bài tập có các chức năng sau:
•
Chức năng dạy học
: GV có thể dùng bài tập toán ñể hình thành, cũng cố cho HS
những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai ñoạn khác nhau của quá trình DH.
Ví dụ
: Để hình thành cho HS khái niệm giới hạn của dãy số, GV có thể cho HS giải
bài tâp sau: Cho dãy số
( )
1
:
n n
u u
n
=
. Biểu diễn
(
)
n
u
trên trục số.
a.

Em có nhận xét gì về khoảng cách từ
n
u
ñến 0 khi n lớn?
b.

Bắt ñầu từ số hạng nào của dãy số

n
u
thì khoảng cách từ
n
u
ñến 0 nhỏ hơn 0,01?
0,0001?