Cuc tri Hinh Khong Gian bai 5

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ

TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ

(Tài liệu bổ trợ luyện thi Đại Họcmơn Tốn )

BÀI TỐN 5

Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: y 1 z 3
2

1
x







và mặt phẳng
(P):x+2y-z+5=0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ nhất.

Lời giải tham khảo
Cách 1: Phương pháp hình học:

Gọi d’= (P)



(Q) và A=d



(P) thì A



d’.Lấy K



d,kẻ KH (P) và HI d’thì :

 



)

Q
,
P
(

KIH . Trong tam giác vuông KIH :tan KH_HI , do KH không đổi nên:

tan



_{nhỏ nhất} _{HI lớn nhất} _IA (do HI  HA)

.

Khi ấy thì d’ vng góc với d . Vậyd’đi qua A vng góc với d và nằm trong (P).
Mặt phẳng (Q) cần tìm là mặt phẳng chứa d và d’.

VTCP của d là u (2;1;1)
 



; VTPT của (P) là _n ₍₁_;₂_; ₁₎

P 

 


suy ra VTCP của d’ là
u' u , nP  (3;3;3) hay u' (1;1;1)










 

 


 

 


. Do đó VTPT của mặt phẳng (Q) là:
nQ u , u'  (0;3;3)hay nQ (0;1;1)









 


 


 

 


.

Điểm M(-1;-1;3)



d  M



(Q).

Mặt phẳng (Q) cần tìm có phương trình: 0(x+1)+1(y+1)-1(z-3) = 0
y-z+4 = 0
Caùch 2: Phương pháp giải tích.

Đặt phương trình mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz +D = 0 (A2 B2 C2 0)





M(-1;-1;3)



d ; N(1;0;4)



d  _M;N

_

_{(Q) Ta được:}

















B

4

A

7

D

B

A

2

C

Do đó (Q): AxBy(2A B)z7A4B0. VTPT của (Q) là _n ₍_A_;_B_; ₂_A _B₎

Q   

 


.
Ta có VTPT của mặt phẳng (P) là :_n _P _₍₁_;₂_;_₁₎

.Gọi



_{là góc giữa (P) và (Q) thì:}

AB
4

B
2
A
5

B
A
.

6
3
n

.
n

n
.
n
cos

2
2
Q

P
Q
P











 

 


 

 


.
Ta xeùt hai trường hợp của A.

Trường hợp 1: A=0. Ta được cos



₌

2
3
B

2
B
.

6
3

2 

Trường hợp 2: A 0 Ta có





















A
B
4

A
B
2
5

A
B
1
.

6
3
cos

2

Xét hàm số: f(x) = ; f(x) cos )
A

B
x
(
5
x
4
x
2

1
x

2
x
.
6

9 2

2
2








</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

_

₂

_

2
5
x
4
x
2
6
x
6
.
6
9
)

x
(
'
f




 _{; f’(x) = 0}_ _{x= -1.}

Vaäy cos2

_

_<

4
3

2
3
cos


6





 ( Do hàm cosin x nghịch biến trên đọan _





 
2
;
0 ₎

Trường hợp (1) và (2)

6
min 

 (Trường hợp 1 )

Khi ấy thì A=0 , ta chọn B=1  C= =1 và D= 4.

Phương trình mặt phẳng (Q) : y-z+4 = 0.
Cách khác: ( Dùng chùm mặt phẳng)

Ta viết phương trình d dạng:



















0

4

z

y

0

1

y

2

x

. Mặt phẳng (Q) chứa d nên thuộc chùm mặt
phẳng : m(x-2y-1) +n(y-z+4)=0 hay mx + (-2m+n)y –nz –m + 4n = 0.

VTPT của hai mặt phẳng là: nP (1;2; 1); nQ (m; 2mn; n)




Gọi



là góc tạo bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) thì

Q
P
Q
P
n
.
n
n
.
n

cos







₆_. ₅_m2 ₄_mn ₂_n2

n
3
m
3
cos







Trường hợp 1: n=0 thì cos  ₁₀3

Trường hợp 2: )

n
m
x
(

2
x
4
x
5
.
6
3
x
3
2
n
m
4
n
m
5
..
6
3
n
m
.
3
cos
0
n
2
2 































Xét hàm số

4
x
8
10
3
x
6
x
3
)
2
x
4
x
5
(
6
9
x
18
x
9
cos
)
x
(
f ₂
2
2

2
2













Tập xác định : D=R.



























1

x

0

x

0

)x

('

f

;

4

x8

x

10

x

36

x

36

)x

('

f

₂
2
2

Bảng biến thiên:

x -1

₊

f’(x)
f(x) 0

-

+

0

4

3

4

3

-x

_-

₀ ₁

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Ta coù : cos ₂3
4

3
cos

)
x
(

f  2  

Trường 1 và 2 )

2
3
10
3
do
(
2

3
cos

max  



6
min

 ( do cosx nghịch biến trên






 

2
;

0 _{) đạt được khi} 0
n
m

x  . Chọn m=0 và n=1 ta được (Q) : y-z+4=0

</div>

<!--links-->