Bất đẳng thức và cực trị trong hình học

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM


LÊ BẢO NHI

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
TRONG HÌNH HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng – Năm 2020


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM


LÊ BẢO NHI

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
TRONG HÌNH HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp
Mã số: 8.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
Cán bộ hướng dẫn 1 : TS. Lê Hồng Trí
Cán bộ hướng dẫn 2: TS. Lương Quốc Tuyển

Đà Nẵng – Năm 2020


▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆
❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✤➙② ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ự ừ r tổ ữủ t
ữợ sỹ ữợ ồ ừ r ữỡ ◗✉è❝ ❚✉②➸♥✳
❈→❝ sè ❧✐➺✉✱ ❦➳t q✉↔ ♥➯✉ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ tr✉♥❣ t❤ü❝ ✈➔ ❝❤÷❛ tø♥❣ ✤÷đ❝ ❛✐ ❝ỉ♥❣ ❜è
tr♦♥❣ ❜➜t ❦➻ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥➔♦ ❦❤→❝✳ ❚æ✐ ①✐♥ ❝❤à✉ tr→❝❤ ♥❤✐➺♠ ✈ỵ✐ ♥❤ú♥❣ ❧í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
❝õ❛ ♠➻♥❤✳

✣➔ ◆➤♥❣✱ ♥❣➔② ✸✵ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✷✵

❍å❝ ✈✐➯♥
▲➯ ❇↔♦ ◆❤✐

✶


▲❮■ ❈❷▼ ❒◆
✣÷đ❝ sü ♣❤➙♥ ❝ỉ♥❣ ❝õ❛ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ rữớ ồ ữ sỹ
ữợ ❝õ❛ t❤➛② ❣✐→♦ ❚❙✳ ▲➯ ❍♦➔♥❣ ❚r➼ ✈➔ ❚❙✳ ▲÷ì♥❣ ◗✉è❝ ❚✉②➸♥✱ tæ✐ ✤➣ t❤ü❝
❤✐➺♥ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥ t❤↕❝ s➽✿ ✧❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ ❝ü❝ trà tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝✧✳
✣➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ tæ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ t ỡ s s tợ t
ữợ ❍♦➔♥❣ ❚r➼ ✈➔ ❚❙✳ ▲÷ì♥❣ ◗✉è❝ ❚✉②➸♥✱ ❣✐↔♥❣ ✈✐➯♥ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✲
❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✣➔ ◆➤♥❣ ✤➣ t➟♥ t ữợ tổ tỹ

✤➙②✱ tỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ ❣✐→♦ ✤➣ ♥❤✐➺t t➻♥❤ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❝❤♦
tæ✐ ♥❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ qỵ tr sốt q tr ồ t➟♣ ✈➔ r➧♥
❧✉②➺♥ t↕✐ ❝ì sð ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉↔♥❣ ❇➻♥❤✳ ❚ỉ✐ ❝ơ♥❣ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ✤➳♥ t♦➔♥

t❤➸ ♥❣÷í✐ t❤➙♥ tr♦♥❣ ❣✐❛ ✤➻♥❤ ✈➔ ❜↕♥ ❜➧ ✤➣ ❧✉ỉ♥ q✉❛♥ t➙♠✱ ❧♦ ❧➢♥❣✱ ❝❤➠♠ sâ❝ ❝❤♦ tỉ✐
tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ q✉❛✳
❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ tè✐ ✤➣ r➜t ❝è ❣➢♥❣ ✤➸ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❧➝♥
❤➻♥❤ t❤ù❝ ♥❤÷♥❣ ❞♦ t❤✐➳✉ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ✈➔ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝â ❤↕♥ ♥➯♥ s➩ ❦❤æ♥❣ t❤➸ tr→♥❤
❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât✳ ❚æ✐ r➜t ♠♦♥❣ ữủ sỹ õ ỵ ừ t ổ ❣✐→♦ ✈➔
❜↕♥ ✤å❝ ✤➸ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✳

❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ✦

❍å❝ ✈✐➯♥
▲➯ ❇↔♦ ◆❤✐




▼ö❝ ❧ö❝
▼Ð ✣❺❯✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ▼ët sè ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ t❤÷í♥❣ ❣➦♣✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤↕✐ sè ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹
✼
✼
✾

✶✳✷✳✶✳ ❈→❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✷✳✷✳ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➲ ✤ë ❞➔✐ ❝→❝ ❝↕♥❤ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✷

✶✳✷✳✸✳ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➲ ❝→❝ ✤↕✐ ❧÷đ♥❣ ✤➦❝ ❜✐➺t tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✻

✶✳✸✳❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽
✶✳✹✳▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤å♥ ❧å❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸
❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❈ü❝ trà tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶
✷✳✶✳❙û ❞ư♥❣ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ✤÷í♥❣ ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝✱ ✤÷í♥❣ ①✐➯♥ ✈➔ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ✳
✹✶
✷✳✷✳❱➟♥ ❞ö♥❣ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✺
✷✳✸✳❱➟♥ ❞ö♥❣ ♠ët sè ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❦❤→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✼
✷✳✸✳✶✳ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➲ ❧ô② t❤ø❛ ❜➟❝ ❤❛✐✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✼
✷✳✸✳✷✳ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✾

✷✳✸✳✸✳ ❙û ❞ư♥❣ t➾ sè ❧÷đ♥❣ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✸

✷✳✹✳▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤å♥ ❧å❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✹
❑➌❚ ▲❯❾◆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✹
❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✺

✸

é
ỵ ồ t
r ữỡ tr ❞↕② ✈➔ ❤å❝ ❚♦→♥ ð ❜➟❝ ❚r✉♥❣ ❤å❝✱ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❜➜t ✤➥♥❣
t❤ù❝ ✈➔ ❝ü❝ trà tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✤÷đ❝ ①❡♠ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❞↕♥❣ t♦→♥ ❦❤â ✈➔ trứ
tữủ ố ợ ồ s õ tữớ ①✉➜t ❤✐➺♥ tr♦♥❣ ❝→❝ ❑ý t❤✐ ❤å❝ s✐♥❤
❣✐ä✐ ❝→❝ ❝➜♣✱ ❑ý t❤✐ ❝❤✉②➸♥ tø ❜➟❝ ❚r✉♥❣ ❤å❝ ❈ì sð ❧➯♥ ❜➟❝ ❚r✉♥❣ ❤å❝ P❤ê t❤æ♥❣ ✈➔
❑ý t❤✐ t✉②➸♥ ❝❤å♥ ✈➔♦ ợ t t rữớ ❤å❝ ✈➔ ❚r✉♥❣
❤å❝ ❈❤✉②➯♥ ♥❣❤✐➺♣✳ ✣➸ ❣✐↔✐ q✉②➳t ✤÷đ❝ ❝→❝ ❞↕♥❣ t♦→♥ ♥➔②✱ ✤á✐ ❤ä✐ ♥❣÷í✐ ❤å❝ ♣❤↔✐
♥➢♠ ❝❤➢❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ t♦→♥ ❤å❝✱ ♣❤↔✐ ✤÷❛ r❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ✈➔ ♣❤ị ❤đ♣ ♥❤➜t
✈ỵ✐ tr➻♥❤ ✤ë ❦✐➳♥ t❤ù❝ ð ❜➟❝ tr✉♥❣ ❤å❝✳
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ ❝ü❝ trà tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ð ❜➟❝
❤å❝ ♥➔② ✤❛♥❣ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳✳ ❉♦ ✈➟②✱ ♥❣÷í✐ ❤å❝ ❝➛♥ ♣❤↔✐ s→♥❣ t↕♦✱ ♣❤↔✐ t➻♠ tá✐ ✤➸ ✤÷❛
r❛ ♥❤ú♥❣ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ t❤ỉ♥❣ ♠✐♥❤ ♥❤➜t✱ ♥➢♠ ❝❤➢❝ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥ ✈➔ ❜✐➳t ✈➟♥ ❞ư♥❣
❝❤ó♥❣ ♠ët ❝→❝❤ ❧✐♥❤ ❤♦↕t ✈➔♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤â ❤ì♥✳
✣❛ sè ❝→❝ ❡♠ ❤å❝ s✐♥❤ ð ❜➟❝ ❚r✉♥❣ ❤å❝ t❤÷í♥❣ t❤➜② sđ ✈➔ ❦❤ỉ♥❣ ❤ù♥❣ t❤ó ❦❤✐
t✐➳♣ ❝➟♥ ❝→❝ ❞↕♥❣ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✳ ❇ð✐ t❤➳✱ ②➯✉ ❝➛✉ ❣✐→♦ ✈✐➯♥ ♣❤↔✐
❜✐➳t ❝→❝❤ ❞➻✉ ❞➢t ❝→❝ ❡♠✱ t↕♦ ❝❤♦ ❝→❝ ❡♠ ❝â t❤➯♠ ♥❤➣♥ q✉❛♥ ✈➲ t♦→♥ ❤å❝✱ ❧✐♥❤ ❤♦↕t
❦❤✐ ♥❤➟♥ ❞↕♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➔ t↕♦ ❝❤♦ ❝→❝ ❡♠ ❝â ❤ù♥❣ t❤ó ❤ì♥ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥
q✉❛♥ ✤➳♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✳ ❈→❝ ❞↕♥❣ t♦→♥ ❣✐→♦ ✈✐➯♥ ✤÷❛ r❛ ♣❤↔✐ ✤✐ tø ❝➜♣ ✤ë tø ✤ì♥
❣✐↔♥ ✤➳♥ ♣❤ù❝ t↕♣✱ ❝â ❧♦❣✐❝ ✈➔ ❤➺ t❤è♥❣ ✤➸ ❝→❝ ❡♠ ❤å❝ s✐♥❤ ❞➵ ❞➔♥❣ t✐➳♣ t❤✉✱ ❝❤♦ ❝→❝
❡♠ tü ❣✐↔✐ q✉②➳t ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t÷ì♥❣ tü✱ tr→♥❤ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❤å❝ s✐♥❤ ❤å❝ t✐➳♣ t❤✉ ❦✐➳♥
t❤ù❝ ♠ët ❝→❝❤ t❤ư ✤ë♥❣✳
❱ỵ✐ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët ❝→❝❤ ❝â ❤➺ t❤è♥❣✱ ❦ÿ ❤ì♥ ✈➔ ❝â t➛♠ ♥❤➻♥ tê♥❣
q✉❛♥ ❤ì♥ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❞↕♥❣ t♦→♥ ✈➲ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ ❝ü❝ trà tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✤➸ ♣❤ư❝
✈ư ❝❤♦ ❝ỉ♥❣ ✈✐➺❝ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❝õ❛ ♠➻♥❤✱ ❣✐ó♣ ❝→❝ ❡♠ ❤å❝ s✐♥❤ ❦❤➢❝ ♣❤ư❝ ✤÷đ❝ ♥❤ú♥❣
❦❤â ❦❤➠♥ ❦❤✐ t✐➳♣ ❝➟♥ ❝→❝ ❞↕♥❣ t♦→♥ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ q✉②➳t ✤à♥❤ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐✿ ❇➜t ✤➥♥❣
t❤ù❝ ✈➔ ❝ü❝ trà tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❧➔♠ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥ t❤↕❝ s➽ ❝❤♦ ♠➻♥❤✳

✷✳ ▼ö❝ t✐➯✉ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ❝ü❝ trà tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝

✹


♣❤➥♥❣ ♥❤➡♠ ♣❤ư❝ ✈ư ❝❤♦ ❝ỉ♥❣ ✈✐➺❝ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❝õ❛ ♠➻♥❤ t↕✐ ❚r÷í♥❣ ❚r✉♥❣ ❤å❝ ❝ì sð✳

✸✳ ✣è✐ t÷đ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❤➻♥❤ ❤å❝✱ ❝ü❝ trà tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ♣❤➥♥❣✳

✹✳ P❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
▲✉➟♥ ✈➠♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ü❝
trà tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ♣❤➥♥❣ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ r ồ

Pữỡ ự
ã

t ồ tr ❝ù✉ s→❝❤✱ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✱ ❜→♦ ❦❤♦❛ ❤å❝✳

•

◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët ❝→❝❤ ❧♦❣✐❝ ✈➔ ❤➺ t❤è♥❣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤✉ t ữủ

ã

ờ ủ t tr ờ ợ t ữợ t q ự ừ


trú ❧✉➟♥ ✈➠♥
▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❝❤✐❛ ❧➔♠ ✷ ❝❤÷ì♥❣✿

❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ▼ët sè ❞↕♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ t❤÷í♥❣ ❣➦♣✳

❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ tỉ✐

tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤↕✐ sè ❝ì ❜↔♥✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✱ tr♦♥❣ ✤÷í♥❣
trá♥ ✈➔ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐↔✐ ✤÷đ❝ ♥❤í →♣ ❞ư♥❣ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ tự tr

ữỡ ỹ tr tr ồ

ổ ợ t ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝➛♥ ✈➟♥

❞ö♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ♣❤➥♥❣✱ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✤➸
❧➔♠ ✈➼ ❞ö tr♦♥❣ sü ✈➟♥ ❞ö♥❣ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✤â✳
▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ t↕✐ tr÷í♥❣ ồ ữ ữợ sỹ ữợ
t t➻♥❤✱ ❝❤✉ ✤→♦ ✈➔ ❤➳t sù❝ ♥❣❤✐➯♠ ❦❤➢❝ ❝õ❛ t❤➛② ❣✐→♦✱ ❚❙✳ ▲➯ ❍♦➔♥❣ ❚r➼ ✈➔ ❚❙✳
▲÷ì♥❣ ◗✉è❝ ❚✉②➸♥✳ ❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ♥❤➜t ✤➳♥ t❤➛②✳ ◆❤➙♥ ❞à♣
♥➔②✱ t→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❝→❝ t❤➛② ❣✐→♦✱ ❝ỉ ❣✐→♦ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❚♦→♥✱ tr÷í♥❣
✣↕✐ ồ ữ ữợ ❞➝♥ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣
✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳
▼➦❝ ❞ò ✤➣ ❝â ♥❤✐➲✉ ❝è ❣➢♥❣✱ s♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❦❤ỉ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât✳ ❚ỉ✐
r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ỳ ỵ õ õ ừ t ổ ❣✐→♦ ✈➔ ❜↕♥ ✤å❝ ✤➸

✺


❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✳
❳✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦

✣➔ ◆➤♥❣✱ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✷✵

❚→❝ ❣✐↔

▲➯ ❇↔♦ ◆❤✐

✻


❈❤÷ì♥❣ ✶
▼ët sè ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ t❤÷í♥❣ ❣➦♣
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ tr♦♥❣ ✤↕✐
sè✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐
t✐➳t ♠ët sè ỵ ồ ồ t ỡ ở ừ ỵ ớ
õ tự s➩ ✤÷đ❝ ✈➟♥ ❞ư♥❣ ❧✐♥❤ ❤♦↕t ✈➔ ❤✐➺✉ q✉↔ ❤ì♥ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉✳
◆❣♦➔✐ r❛✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ✈➟♥ ❞ư♥❣ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧➼ ♥➔② ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥
❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ♣❤➥♥❣ ð ❜➟❝ ❚r✉♥❣ ồ ỵ ử ừ
ữủ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tr♦♥❣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✷❪✱ ❬✸❪✱ ❬✹❪✱ ❬✺❪✱

t tự số ỡ
ỵ ✶✳✶✳ ●✐↔ sû a , a , ..., a ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❦❤æ♥❣ ➙♠✳ ❑❤✐ ✤â✱
1

2

n

√
a1 + a2 + · · · + an
≥ n a1 a2 . . . an .
n

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ a1 = a2 = · · · = an✳
✭

❇➜t ✤➥♥❣ tự



q ợ ồ ở số ữỡ a , a , . . . , a t❛ ❝â
1

√
n

a1 a2 . . . an ≥

2

n

1
a1

+

1
a2

n
+ ··· +

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ a1 = a2 = · · · = an✳
✼

1
an

.


q ợ ồ ở số ữỡ a , a , . . . , a t❛ ❝â
1

2

n

1
1
1
n2
+
+ ··· +
≥
.
a1 a2
an
a1 + a2 + · · · + an

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ a1 = a2 = · · · = an✳

❍➺ q✉↔ ✶✳✸✳ ❱ỵ✐ ♠å✐ ❜ë sè ❞÷ì♥❣ a , a , . . . , a ✈➔ m = 1, 2, . . . t❛ ❝â
1

2

n

m
m
am
1 + a2 + · · · + an
≥
n

a1 + a2 + · · · + an
n

m

.

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ a1 = a2 = · Ã Ã = an

ỵ số t❤ü❝ a , a , . . . , a ✈➔ b , b , . . . , b ✳ ❑❤✐ ✤â✱
1

2

n

1

2

n

(a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 ≤ (a21 + a22 + · · · + a2n )(b21 + b22 + · · · + b2n ).

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

a1
a2
an
=
= ··· = ✳
b1
b2
bn

❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤② ✲ ❙❝❤✇❛r③

✭

✮

✣à♥❤ ỵ f (x) số tử ✈➔ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ ❤❛✐ tr➯♥ I(a, b) ✈➔

x1 , x2 , . . . , xn ∈ I(a, b)
ã

f

(x) > 0

õ

ợ ồ x (a, b) t❤➻

f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) ≥ nf
•

◆➳✉ f

(x) < 0

x1 + x2 + · · · + xn
n

.

x1 + x2 + · · · + xn
n

.

✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ (a, b) t❤➻

f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) ≤ nf

Ð ✤➙② I(a, b) ♥❤➡♠ ♥❣➛♠ ✤à♥❤ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ❜è♥ t➟♣ ❤ñ♣ (a, b)✱ [a, b)✱ (a, b]✱ [a.b]✳

❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❏❡♥s❡♥

✭

✮

✣à♥❤ ỵ số tỹ ỡ ũ ❝❤✐➲✉ a , a , . . . , a ✈➔ b , b , . . . , b ✳
1

2

n

1

2

n

❑❤✐ ✤â t❛ ❝â

a1 b 1 + a2 b 2 + · · · + an b n ≥

1
(a1 + a2 + · · · + an )(b1 + b2 + · · · + bn ).
n

◆➳✉ ❤❛✐ ❞➣② sè t❤ü❝ a1, a2, . . . , an ✈➔ b1, b2, . . . , bn ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♥❣÷đ❝ ❝❤✐➲✉ t❤➻ ❜➜t ✤➥♥❣
t❤ù❝ ✤ê✐ ❝❤✐➲✉✳

❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❤❡❜②s❤❡✈

✭

✽

✮


ỵ a, b, c số t❤ü❝ ❞÷ì♥❣✳ ❑❤✐ ✤â✱
a
b
c
3
+
+
≥ .
b+c c+a a+b
2

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ a = b = c✳
✭

❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ◆❡s❜✐tt

✮

✶✳✷✳ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝
❑➼ ❤✐➺✉

ABC

❧➔ t❛♠ ❣✐→❝

❝õ❛ ❝→❝ ❣â❝ ù♥❣ ✈ỵ✐ ❝→❝ ✤➾♥❤

ABC

A, B, C

✈ỵ✐ ❝→❝

A, B, C

t t ở ợ

ụ ữủ tữỡ ự

ã

ở ừ t

ã

ữớ ợ

ã

ữớ tr t ợ

ã

ữớ ♣❤➙♥ ❣✐→❝ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❝↕♥❤✿ la , lb , lc

ã

ữớ trỏ t ữớ trỏ ở t

ã

ữớ trỏ t

ã

t t ❣✐→❝

A, B, C ✳

BC = a, CA = b, AB = c✳

ha , hb , hc
ma , mb , mc ✳

ABC ✿ S ✱ SABC

❤❛②

R

✈➔

r✳

ra , rb , rc ✳

[ABC]✳

❚❛♠ ❣✐→❝ ❧➔ ❤➻♥❤ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ♥❤➜t tr♦♥❣ ❝→❝ ✤❛ ❣✐→❝✱ ♠é✐ ✤❛ ❣✐→❝ ❜➜t ❦➻ ✤➲✉ ❝â t❤➸ ❝❤✐❛
t❤➔♥❤ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ✈➔ sû ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♥â✳ ❱➻ ✈➟②✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣
t❤ù❝ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ s➩ ❤ú✉ ➼❝❤ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr
rữợ t ú t ự t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ s❛✉ ✤➙②

✶✳✷✳✶✳ ❈→❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝ì tr t
ỵ r t ABC t õ
a
b
c
=
=
= 2R.
sin A
sin B
sin C

ỵ số s

ỵ r t ABC t õ
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A;
b2 = c2 + a2 − 2ca cos B;
c2 = a2 + b2 − 2ab cos C.

ỵ số s





ỵ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✤÷đ❝ t➼♥❤ t❤❡♦ ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ s❛✉✳
S =
=
=
=
=
=

1
1
1
aha = bhb = chc
2
2
2

1
1
1
bc sin A = ca sin B = ab sin C
2
2
2
pr
abc
4R
(p − a)ra = (p − b)rb = (p − c)rc
p(p − a)(p − b)(p − c)

✭❈æ♥❣ t❤ù❝ ❍➯✲ræ♥❣✮.

❈æ♥❣ t❤ù❝ ✈➲ ❞✐➺♥ t➼❝❤

✭

✮

✣à♥❤ ỵ r ởt t ữớ ừ ♠ët ❣â❝ ❝❤✐❛ ❝↕♥❤ ✤è✐ ❞✐➺♥
t❤➔♥❤ ❤❛✐ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ t➾ ợ ừ

ỵ ữớ



ổ tự ữớ

ỵ r t❛♠ ❣✐→❝ ABC t❛ ❝â
la =

A
2bc
cos ;
b+c
2

2ca
B
cos ;
c+a
2
2ab
C
lc =
cos .
a+b
2

lb =



ỵ r ởt t ữớ tr t✉②➳♥ ❣➦♣ ♥❤❛✉ t↕✐ ♠ët ✤✐➸♠

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❚r➯♥ ♠é✐ ✤÷í♥❣ tr✉♥❣ t✉②➳♥✱ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø
trå♥❣ t➙♠ ✤➳♥ ✤➾♥❤ ❜➡♥❣ ❤❛✐ ❧➛♥ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ trå♥❣ t ữớ tr t

ỵ ữớ tr t








ỵ r t ABC t õ
b2 + c2 a2
− ;
2
4
2
2
c +a
b2
m2b =
− ;
2
4
2
2
a +b
c2

m2c =
− .
2
4

m2a =

❈æ♥❣ tự ữớ tr t





ỵ r t ABC ✱ t❛ ❝â
r = (p − a) tan

B
C
A
= (p − b) tan = (p − c) tan .
2
2
2

❈æ♥❣ t❤ù❝ ❜→♥ ữớ trỏ ở t

ỵ r t ABC ✱ t❛ ❝â
A
;
2
B
rb = p tan ;
2
C
rc = p tan .
2

ra = p tan

✭

❈ỉ♥❣ t❤ù❝ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ t



ỵ r t ABC t ❝â
A
B
C
cos cos ;
2
2
2
sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C;
A
B

C
cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin sin sin ;
2
2
2
cos 2A + cos 2B + cos 2C = −1 − 4 cos A cos B cos C;
sin A + sin B + sin C = 4 cos

sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2(1 + sin A sin B sin C);
cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1 − 2 cos A cos B cos C;
tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C ✭ ABC
A
B
C
A
B
C
cot + cot + cot = cot cot cot ;
2
2
2
2
2
2
A
B
B
C
C
A

tan tan + tan tan + tan tan = 1;
2
2
2
2
2
2
cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1.

❦❤ỉ♥❣ ✈✉ỉ♥❣✮;

❈→❝ ❤➺ t❤ù❝ ❧÷đ♥❣ ❣✐→❝ ❝ì ❜↔♥

✭

✶✶

✮


ỵ r t ABC t õ
|b − c| < a < b + c;
|c − a| < b < c + a;
|a − b| < c < a + b.

t tự t

ỵ ❱ỵ✐ ♠å✐ t❛♠ ❣✐→❝ ❆❇❈ t❛ ❧✉ỉ♥ ❝â ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉
√
3 3
sin A + sin B + sin C ≤
;
2
3
cos A + cos B + cos C ≤ ;
2 √
B
C
3 3
A
;
cos + cos + cos ≤
2
2
2
2
A
B
C
3
sin + sin + sin ≤ ;
2
2
2
2
A

B
C
1
sin sin sin ≤ ;
2
2
2
8
A
B
C
1
cos cos cos ≤ ;
2
2
2
8
9
sin2 A + sin2 B + sin2 C ≤ ;
4
√
A
B
C
tan + tan + tan ≥ 3;
2
2
2
√
tan A + tan B + tan C ≥ 3 3;

√
cot A + cot B + cot C ≥ 3.

❈→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❧÷đ♥❣ ❣✐→❝ ❝ì ❜↔♥

✭

✮

✶✳✷✳✷✳ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➲ ✤ë ❞➔✐ ❝→❝ tr t
ỵ ữớ trỏ õ ữủt R R ợ R ≥ R ✱

❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❣✐ú❛ t➙♠ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❜➡♥❣ d✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✤➸ ❤❛✐ ✤÷í♥❣
trá♥ ✤â ❝➢t ♥❤❛✉ ❧➔
R−R ≤d≤R+R.

✶✷


❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

●✐↔ sû

O

✈➔

O

❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ t➙♠ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜→♥ ❦➼♥❤

R

✈➔

R✳

❑❤✐ ✤â✱

❝❤➾ ①➞② r❛ ❜❛ tr÷í♥❣ ❤đ♣ s❛✉✳
✭✶✮ ◆➳✉ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ð ♥❣♦➔✐ ♥❤❛✉ ✭❍➻♥❤

✭✷✮ ◆➳✉ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ❝❤ù❛ ♥❤❛✉ ✭❍➻♥❤

A✮✱

B ✮✱

OO M ✱

t❛ ❝â

R + R < d✳

t❤➻ t❛ ❝ơ♥❣ ❝â ♥❣❛②

✭✸✮ ◆➳✉ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ❝➢t ♥❤❛✉ t↕✐ ♠ët ✤✐➸♠
❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝

t❤➻ t❛ ❝â

M✱

d
t❤➻ t❤❡♦ ❜➜t tự

RR dR+R

õ

ã

ữớ trỏ t ♥❤❛✉✱ t❤➻ t❤❡♦ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✭✸✮ t❛ ❝â

R−R ≤d≤R+R.
•

◆➳✉

R−R ≤d≤R+R

t❤➻ ❦❤æ♥❣ ①➞② r❛

R+R
✈➔

d

❙✉② r❛

❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✭✶✮ ✈➔ ✭✷✮ ❦❤æ♥❣ ①↔② r❛✱ ✈➔ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ❝➢t ♥❤❛✉✳
◆❤÷ ✈➟②✱ ✤à♥❤ ữủ ự

ỵ số ữỡ a, b, c ❧➔ ✤ë ❞➔✐ ✸ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
a + b > c, b + c > a, c + a > b.

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

◆➳✉

a, b, c

✭✶✳✷✳✶✮

❧➔ ✤ë ❞➔✐ ✸ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✱ t❤➻ t❤❡♦ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➲ ✸

❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ ✭✶✳✷✳✶✮✳
◆❣÷đ❝ ❧↕✐✱ ❣✐↔ sû r➡♥❣
t❤➸ ❝❤å♥ ❤❛✐ ✤✐➸♠

A

✈➔

B

a, b, c

❧➔ ✸ sè t❤ü❝ ❞÷ì♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✶✳✷✳✶✮✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â

tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❝→❝❤ ♥❤❛✉ ♠ët ❦❤♦↔♥❣

t➙♠ ❞ü♥❣ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜→♥ ❦➼♥❤ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔
t❛ s✉② r❛

|a − b| < c < a + b✳

♣❤↔✐ ❝➢t ♥❤❛✉ t↕✐ ♠ët ✤✐➸♠

a

✈➔

b✳

c✳

▲➜②

A

✈➔

B

❧➔♠

❚ø ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✷✳✶✮

❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ỵ ữớ trỏ t

A



B

C ữ a✱ b✱ c ❧➔ ✤ë ❞➔✐ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC

t❤❡♦ ❝→❝❤ ❞ü♥❣ tr➯♥✳

✶✸


ỵ trữợ t ABC ởt ✤✐➸♠ M ð tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❑❤✐ ✤â✱
M B + M C < AB + AC.

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❚❛ ❦➨♦ ❞➔✐

BM

✈➲ ♣❤➼❛

M

❝➢t

AC

t

N õ t

ỵ t õ

MB + MC < MB + MN + NC
= BN + N C
< AB + AN + N C
= AB + AC.

ỵ r ởt t ự ợ õ ợ ỡ ỡ ữủ

ự

t t❛♠ ❣✐→❝

ABC ✳

❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥➳✉

✈➔ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐✳

✶✹

ABC > ACB

t❤➻

AC > AB


•

●✐↔ sû

❜➡♥❣ ❣â❝

ABC > ACB ✱

ACB ✳

ABC > ACB

❑❤✐ ✤â✱ ✈➻

t❤➔♥❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❝➙♥
❝â

❦❤✐ ✤â tr♦♥❣ ❣â❝

DBC ✱

AD + DB > AB ✳

❦➨♦ t❤❡♦

ABC

♥➯♥

t❛ ❦➫ t✐❛

Bx

DB = DC ✳

Bx

AC

❝➢t ❝↕♥❤

BC

t↕♦ ✈ỵ✐ ❝↕♥❤

D

t↕✐ ✤✐➸♠

▼➦t ❦❤→❝✱ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝

❣â❝

✈➔ t↕♦

ABD

t❛

❙✉② r❛

AC = AD + DC = AD + DB > AB.
•

AC > AB ✱

●✐↔ sû

❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t❛ s✉② r❛

❦❤✐ ✤â ♥➳✉

AC < AB ✱

ABC < ACB

t❤➻

AC > AB

✤➙② ❧➔ ♠ët ✈æ ❧➼✳ ữ

t t ứ

ABC > ACB

ỵ trữợ t ABC A B C t❤ä❛ ♠➣♥ AB = A B ✈➔
AC = A C

✳ ❑❤✐ ✤â✱ BAC > B A C ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ BC > B C ✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

●✐↔ sû r➡♥❣

BAC > B A C

✳ ❚❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤

BC > B C .
t ổ tờ qt t sỷ
t ỗ t

ABC

s ợ ữớ t q
t ❦❤→❝✱ ✈➻
✶✳✷✶✱ t❛ ❝â

CB > CB ✱

◆➳✉ ♥❤÷
r➡♥❣

CBB < ABB

BC = B C

❚❛ ✤❡♠ ❤➻♥❤ t❛♠ ❣✐→❝

A≡A✱ C ≡C

AC ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈➻ AB = A B

✈➔

❦➨♦ t❤❡♦

BAC = B A C

s❛♦ ❝❤♦

AB ≥ AC ✳

CB B < AB B ✱

♥➯♥ t❛ ❝â

B✱ B

♥➡♠ ❝ò♥❣

ABB = AB B ✳

CBB < CB B

ỵ

CB > C B

t

◆❤÷ ✈➟②✱ t❛ ❝â

♥➯♥

✈➔ ✤➾♥❤

ABC

ABC =

BAC > B A C

ABC

✭❝✳❣✳❝✮ t❛ ❝ô♥❣ ❞➵ ❞➔♥❣ t❤➜②

❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

BC > B C



ỵ r ỳ ữớ ố ởt M trữợ ợ N tr

ởt ữớ t d trữợ ữớ õ ỡ t❤➻ ❞➔✐ ❤ì♥✳
✶✺


✶✳✷✳✸✳ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➲ ❝→❝ ✤↕✐ ❧÷đ♥❣ ✤➦❝ ❜✐➺t tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝
❚r♦♥❣ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝✱ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ố q ợ
ữủ t ợ ữớ t t ữớ tữỡ ự ợ ợ ỡ
t ỡ ố ợ ữớ tr t ữớ t ụ s ự
r ự ợ ỡ ữớ tr t ữớ ỡ

ỵ ❚r♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ù♥❣ ✈ỵ✐ ❝↕♥❤ ❞➔✐ ❤ì♥ ❧➔ ✤÷í♥❣ ❝❛♦✱ ✤÷í♥❣ tr✉♥❣

t✉②➳♥ ✈➔ ✤÷í♥❣ ♣❤➙♥ ❣✐→❝ ♥❣➢♥ ❤ì♥✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

●✐↔ sû

c < b✱

t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣

S
S
✈➟②✱ ✈➻ c < b ♥➯♥ t❛ s✉② r❛ hb =
<
= hc ✳
2b
2c
✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ mb < mc ✱ t❛ ❣å✐ M ✱ N ✈➔ P

✈➔

BC ✱

hb < hc ✱mb < mc

❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝

AP

❝❤✉♥❣ ✈➔

BP = CP ✱

GP B

GP C

t❛ ❝â

< lc ✳

❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❝→❝ ❝↕♥❤

t÷ì♥❣ ù♥❣ ♥❤÷ ❤➻♥❤ tr➯♥✳ ⑩♣ ử ỵ

t õ

lb

AP B < AP C ✳

P AB
●å✐

G

✈➔

❚❤➟t

AB ✱ AC
P AC

❧➔

❧➔ trå♥❣ t➙♠

ABC ✳

GP ❝❤✉♥❣ ✈➔ P B = P C ✳ ❇ð✐
3
3
✈➻ AP B < AP C ♥➯♥ BG < CG✳ ❉♦ ✈➟②✱ mb =
BG < CG = mc ✳ ●å✐ ♣❤➙♥ ❣✐→❝
2
2
❝õ❛ ❣â❝ B ❧➔ BL ✈➔ ♣❤➙♥ ❣✐→❝ ①✉➜t ♣❤→t tứ C CK
LC
a

ab
ỵ ữớ t❛ ❝â
= ✱ ❦➨♦ t❤❡♦ CL =
✳ ❚÷ì♥❣ tü✱
LA
c
a+c
KB
a
ac
t❛ ❝â
= ✱ ❦➨♦ t❤❡♦ BK =
✳ ❇ð✐ ✈➻ c < b ♥➯♥ BK < CL✳
KA
b
a+b
C
❉ü♥❣ ❤➻♥❤ ❜➻♥❤ ❤➔♥❤ BKCT ♥❤÷ tr➯♥✱ t❛ ❝â BT C = BKC = A +
✈➔ t❛ ❝â
2
BT C < BLC ✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ ✈➻ T C = BK ✱ ✈➔ BK < CL ♥➯♥ T C < CL✳ ❚r♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝
❳➨t ❤❛✐ t❛♠ ❣✐→❝

✈➔

❧➔ ❤❛✐ t❛♠ ❣✐→❝ ❝â

✶✻

T LC ✱

ù♥❣ ✈ỵ✐ ❝↕♥❤ ❧ỵ♥ ❤ì♥ ❧➔ ❣â❝ ❧ỵ♥ ❤ì♥ t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✷✶✱ ❞♦ ✤â

❚ø ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ tự
ỵ t õ

BLC > BT C

BT > BL



CLT < CT L

ỡ ỳ

CK = BT

ỵ r t❛♠ ❣✐→❝ ABC t❛ ❧✉ỉ♥ ❝â m

a

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

●å✐

H

✤÷í♥❣ tr✉♥❣ t✉②➳♥ ①✉➜t ♣❤→t tø ✤➾♥❤

♥è✐

HM ✱

L

❧➔ ❝❤➙♥ ✤÷í♥❣ ❝❛♦✱

t❛ s✉② r❛

CLT < CT L✳

BLT < BT L✳

♥➯♥ t❛ s✉② r❛

CK > BL✳

≥ la ≥ ha ✳

❧➔ ❝❤➙♥ ✤÷í♥❣ ♣❤➙♥ ❣✐→❝ ✈➔

t↕✐

A✳

A✱

M

❧➔ ❝❤➙♥

A✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ L ♥➡♠ tr➯♥ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣

✈➔ ử ỵ õ t tự ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❚❤➟t ✈➟②✱ rã r➔♥❣ ✤à♥❤ ❧➼ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥ ✤ó♥❣ ❝❤♦ tr÷í♥❣ ❤đ♣ t❛♠ ❣✐→❝
✤➾♥❤

❚❤❡♦

ABC

❝➙♥ t↕✐

◆❣♦➔✐ r❛✱ ✤➸ t✐➺♥ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ t❛♠ ❣✐→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❝➙♥

❦❤ỉ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t t❛ ❣✐↔ sû

t❛ t❤✉ ✤÷đ❝

BACA

AB < AC ✳

❧➔ ❤➻♥❤ ❜➻♥❤ ❤➔♥❤✳

✶✼

●å✐

A

✤è✐ ①ù♥❣ ✈ỵ✐

A

q✉❛

M✱


❚r♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝

AA C

t❛ ❝â

BAM = M A C > CAM ✳
♣❤ư ✈ỵ✐ ❣â❝
❣â❝

CAH ✳

B

✈➔

CAH

❙✉② r❛ ✤✐➸♠

♣❤ư ✈ỵ✐ ❣â❝

❚â♠ ❧↕✐✱

ỵ t s r

AC > A C = AB

L

C

L



õ t ỵ t õ

tr ❣â❝

BAM ✳

▼➦t ❦❤→❝✱ ✈➻

BAH

BAH < CAH ✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ L ♣❤↔✐ ♥➡♠ tr♦♥❣

♥➡♠ ❣✐ú❛ ✤✐➸♠

H

✈➔ ✤✐➸♠

M

✈➔ t❛ ❝â

HM > HL✳

❚❤❡♦

AH < AL < AM

ỵ ữớ tr t AM ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ♥❤ä ❤ì♥ ♥û❛ tê♥❣ ❝→❝

❝↕♥❤ AB ✈➔ AC ❝ò♥❣ ①✉➜t ♣❤→t tø ♠ët ✤➾♥❤ A✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

●å✐

A

A q✉❛ ✤✐➸♠ M ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ABA C
1
1
1
AM = AA < (A C + AC) = (AB + AC)✳

2
2
2

❧➔ ✤✐➸♠ ✤è✐ ①ù♥❣ ✈ỵ✐ ✤✐➸♠

❤➻♥❤ ❜➻♥❤ ❤➔♥❤✳ ❙✉② r❛

❧➔

✶✳✸✳ ❇➜t tự tr ữớ trỏ
ỵ ồ R r ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ ✈➔ ✤÷í♥❣
trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✱ d ❧➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❣✐ú❛ t➙♠ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ✤â✳ ❑❤✐ ✤â✱
d2 = R2 − 2Rr.

❈ỉ♥❣ t❤ù❝ ❊✉❧❡r

✭

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

●å✐

O✱ I

❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ t➙♠ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣✱ ♥ë✐ t✐➳♣

r➡♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝

BCI

❝â t➙♠

✶✽

D

✮

ABC ✳

❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❝✉♥❣

❇✐➳t

BC ✳ ●å✐


M

❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛

BC

✈➔

Q

❧➔ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛

I

tr➯♥

OD✳

❑❤✐ ✤â✱

OB 2 − OI 2 = OB 2 − DB 2 + DI 2 − OI 2
= OM 2 − M D2 + DQ2 − QO2
= (M O + DM )(M O − DM ) + (DQ + QO)(DQ − QO)
= AB + AC
= DO(M O − DM + DQ + OQ)
= R(2M Q)
= 2Rr.
◆❤÷ ✈➟②✱

OI 2 = R2 − 2Rr✱

♥❣❤➽❛ ❧➔

d2 = R2 − 2Rr✳

❍➺ q✉↔ ✶✳✹✳ ❑➼ ❤✐➺✉ R✱ r ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ ✈➔ ❜→♥ ❦➼♥❤

✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✳ ❑❤✐ ✤â✱ R ≥ 2r✱ ✈➔ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔
t ABC

t tự r

ỵ L ❧➔ ✤✐➸♠ ♥➡♠ tr➯♥ ❝↕♥❤ BC ❝õ❛
BL = m✱ LC = n✱

✮

ABC

t❤➻ a(l2 + mn) = b2m + c2n✳

✈➔

AL = l

trt





ỵ a b c ❧➔ ✤ë ❞➔✐ ❝→❝ ❝↕♥❤ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✱ G ❧➔ trå♥❣ t➙♠ ✈➔
(O, R)

❧➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✳ ❑❤✐ ✤â✱

1
OG2 = R2 − (a2 + b2 + c2 ).
9
✭

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❝õ❛

BC ✱

⑩♣ ❞ö♥❣ ✣à♥❤ ❧➼ ❙t❡✇❛rt ✶✳✷✽ ❝❤♦

OAA ✱

❈ỉ♥❣ t❤ù❝ ▲❡✐❜♥✐③

tr♦♥❣ ✤â

t❛ ✤÷đ❝

AA (OG2 + AG.GA ) = A O2 .AG + AO2 .GA .
❇ð✐ ✈➻

2
1
AO = R✱ AG = AA ✱ GA = AA
3
3

♥➯♥ t❛ ❝â

2
2
1

OG2 + A A2 = A O2 + R2 .
9
3
3
✶✾

✮

A

❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠


▼➦t ❦❤→❝✱ ✈➻

AA =

2(b2 + c2 ) − a2
4

✈➔

A O 2 = R2 −

a2
4

♥➯♥ t❛ s✉② r❛

2 1 2 2 2(b2 + c2 ) − a2

+ R −
3 3
9
4
2
2
2
2
a
2(b + c ) − a
= R2 −
−
6
18
2
2
2
a
+
b
+
c
.
= R2 −
9

OG2 =

R2 −

a2
4

❍➺ q✉↔ ✶✳✺✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈ỵ✐ ✤ë ❞➔✐ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❧➔ a✱ b✱ c✳ (O, R) ❧➔ ✤÷í♥❣ trá♥
♥❣♦↕✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❑❤✐ ✤â✱

9R2 ≥ a2 + b2 + c2 .

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ O ❧➔ trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✳

❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝





ỵ t ABC ở t tr ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ O✱ ❜→♥ ❦➼♥❤ R✱ M

❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ ❜➜t ❦➻ ♥➡♠ tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❝❤ù❛ t❛♠ ❣✐→❝✳ ●å✐ X ✱ Y ✱ Z ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ❤➻♥❤
❝❤✐➳✉ ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ ❝õ❛ M ❧➯♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ BC ✱ CA✱ AB ✳ ❑❤✐ ✤â ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝
XY Z ✤÷đ❝ t➼♥❤ t❤❡♦ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ M O ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝ s❛✉
1
M O2
[XY Z] = 1 −
[ABC].
4
R2
✭

✷✵

✣à♥❤ ❧➼ ❊✉❧❡r

✮


❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
✤✐➸♠

X✱ Y

❦❤→❝✱ ✈➻

✱

❑➨♦ ❞➔✐

Z

AM ✱ BM ✱ CM

✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈➻

B✱ Z ✱ A

BZM X

t❤➥♥❣ ❤➔♥❣ ✈➔

✈➻ ❝ò♥❣ ❝❤➢♥ ❝✉♥❣

AY

tü t❛ ❝ơ♥❣ t❤✉ ✤÷đ❝
❤✐➺✉ ❤❛✐ ❣â❝ ♥➔② ❧➔

♥➯♥

✈➔

❧➔ tù ❣✐→❝ ♥ë✐ t✐➳♣ ♥➯♥

B✱ M ✱ Y

t❤➥♥❣ ❤➔♥❣ ♥➯♥

ABY = AX Y

Y XM = AX Z

X

❝➢t ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ t÷ì♥❣ ù♥❣ t↕✐ ❝→❝

X

M BC ∼

MZ Y

❉♦ ✤â✱

1
[XY Z] = XY.XZ. sin X
2
1
= M C. sin C.M B. sin B. sin X
2
1
MC
= M B.M Y .
sin B. sin C. sin X
2
MY
1
BC
= |M O2 − R2 |
. sin B. sin C. sin X
2
ZY
1
sin X
= |M O2 − R2 |.BC. sin C. sin B.
2
Y Z
2
1
MO
= |1 −
|.AC.BC. sin C

8
R2
1
M O2
= |1 −
|[ABC].
4
R2

✷✶

✳ ❚÷ì♥❣

✳ ✣➸ ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ t❛ s➩ ❦➼

AC sin X
1
,
=
.
2R Y Z
2R

ú ỵ õ

t

ỡ ỳ

ZXM = AX Y

ZXY = Z X Y

✳ ❚❛ ❝â ♣❤÷ì♥❣ t➼❝❤

sin B =

M BZ = ABY

✳ ❚ø ✤â t❛ s✉② r❛

✳ ❉♦ ✤â✱

ZXM = M BZ ✳

✱ ✈➔