Bất đẳng thức và Cực trị hình học

BÁT ĐẲNG THỨC CÔ SI
VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC
*
(Tài liệu tham khảo: Phương pháp giải các bài toán
cực trị trong hình học – NGUY6ẼN HỮU ĐIỀN)
A. BÀI TOÁN CÓ LỜI GIẢI:
Bài 1
Ba con đường cắt nhau tạo thành tam giác.
Trong tam giác hoặc trên cạnh của nó, đặt xí
nghiệp ở đâu để tổng khoảng cách từ xí nghiệp
ra các con đường là ngắn nhất.
B'
A'
C'
M
C
B
A
Giả sử BC ≥ CA ≥ AB
( ) ( ) ( ) ( )S ABC S MAB S MBC S MCA= + +
( )
1
( ) '. '. '.
2
S ABC MA BC MB CA MC AB= + +
( )
1
( ) ' ' '
2
S ABC MA MB MC BC≤ + +
2 ( )

' ' '
S ABC
MA MB MC
BC
+ + ≥
Tổng khoảng cách nhỏ nhất khi dấu đẳng thức xảy ra.
có các trường hợp sau:
a)Nếu BC>CA: thì chọn MA’=MB’=0, M trùng C
(đỉnh đối diện cạnh ngắn nhất)
b)Nếu BC=CA>AB: thì chon MC’=0, M thuộc AB
(cạnh ngắn nhất)
c)Nếu BC=CA=AB: thì M chọn bất kỳ trong tam giác
ABC hoặc trên cạnh của nó.
Hệ quả:
Trong hoặc trên cạnh của tam giác đều, tổng
khoảng cách từ điểm M đến các đường thẳng
qua các cạnh không đổi.
Bài 2:
C là vị trí thành phố. A và B là 2 điểm dân cư.
Hãy mở con đường qua thành phố C sao cho
tổng khoảng cách từ B và C tới con đường đó
ngắn nhất.
D
E
D
C
B
A
Giả sử CA≥CB.
Gọi D là đối xứng của B qua C.

Con đường ta (t) cần tìm phải cắt AB (tại E) hoặc AD
(tại F).
Đặt x=d(A,t) và y=d(B,t)
Nếu (t) cắt AB tại E:
2S(CAB)=2S(CAE)+2S(CBE)=(x+y)CE
Nếu (t) cắt AD tại E:
2S(CAD)=2S(CAF)+2S(CDF)=(x+y)CF
Vậy x+y nhỏ nhất khi mà CE hoặc CF lớn nhất.
Điều này xảy ra khi E hay F trùng với A (địa điểm dân
cư xa nhất đối với C).
Bài 3: (bài toán đẳng chu)
Trong tất cả các hình chữ nhật có chu vi cho
trước thì hình vuông có diện tích lớn nhất..
Gọi 2a là chu vi và kích thước hình chữ nhật là x và y
thì a=x+y
Diện tích hình chữ nhật là S=xy.
Ta có
2
2
2 4
x y a
S xy
+
 
= ≤ =
 ÷
 
Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=a/2.
Bài toán được chứng minh.
Bài 4: (bài toán cổ)

Bên cạnh một con sông (đường thẳng), người ta
làm một khu vườn hình chữ nhật có diện tích
cho trước là S. Người ta muốn rào khu vườn
bằng hàng rào ngắn nhất là bao nhiêu? Biết
rằng về phí sông thì không rào.
Gọi x là chiều dài cạnh khu vườn vuông góc với con
sông thì cạnh kia là S/x và độ dài hàng rào P của khu
vườn là:
2 2 2
S
P x S
x
= + ≥
Dấu đẳng thức xảy ra khi
2
S
x =
, suy ra cạnh còn lại.
Giá trị nhỏ nhất của P là
2 2S
.
Bài 5:
Chứng minh rằng hình trụ nội tiếp trong hình
nón có Sxq lớn nhất khi chiều cao hình trụ bằng
nửa chiều cao hình nón.
H-h
h
r
R-r
r

Gọi r và h là bán kính đáy và chiều cao hình trụ.
Gọi R và H là bán kính đáy và chiều cao hình nón.
Ta có
R H
r H h
=
−
Suy ra
( )
R
r H h
H
= −
Sxq của hình trụ là:
2 2 ( )
R
Sxq rh h H h
H
π π
= = −
2
2 2
2
R h H h
Sxq RH
H
π π
+ −
 
≤ =

 ÷
 
( ) 2Max Sxq RH
π
=
khi h=H-h
Tức là h=H/2. Bài toán được chứng minh.
Bài 6:
Chứng minh hình trụ nội tiếp mặt cầu cho trước
có Sxq lớn nhất khi chiều cao hình trụ gấp đôi
bán kính đáy của nó.
R
h
R
2r
Gọi r và h là độ dài bán kính đáy và chiều cao hình trụ.
Gọi R là bán kính mặt cầu.
Ta có
2Sxq rh
π
=
,
2 2 2
4 4r h R+ =
Suy ra
2 2 2
2
4 2 4 4
Sxq
R r h rh

π
≥ = =
2
2Sxq R
π
≤
2
( ) 2Max Sxq R
π
=
Khi 4r
2
=h
2
tức là h=2r. Bài toán được chứng minh.
Bài 7:
Trong các hình chữ nhật có đường chéo d cho
trước. Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất..
Gọi các kích thước hình chữ nhật là x và y.
Gọi S là diện tích hình chữ nhật.
2 2 2
2 2d x y xy S= + ≥ =
2
( )
2
d
Max S =
khi
2
d

x y= =
Khi đó ta có hình vuông cạnh
2
d
x y= =
Bài 8:
Trong các hình chữ nhật có đường chéo d cho
trước. Tìm hình chữ nhật có chu vi lớn nhất..
Gọi các kích thước hình chữ nhật là x và y.
Gọi P là chu vi hình chữ nhật.
2
2 2 2
( )
2
x y
d x y
+
= + ≥
2
2( ) 2 2 2 2P x y d d= + ≤ =
( ) 2 2Max P d=
khi
2
2
d
x y= =
Khi đó ta có hình vuông cạnh
2
2
d

x y= =
Bài 9:
Tìm khối nón có thể tích nhỏ nhất ngoại tiếp
hình cầu bán kính r cho trước.
R
R
h-r
r
r
r
2t
Gọi R và h là bán kính và chiều cao hình nón.
Gọi 2t là góc giữa đường sinh và đáy hình nón.
t là góc nhọn nhỏ hơn 45
0
.
Thể tích khối nón là:
2
1
3
V R h
π
=
.tan
tan
r
r R t R
t
= ⇒ =
2

r.tan2t 2
tan 2t=
tant 1 tan
r
h R
t
= =
−
Suy ra:
3
2 2
2 1
3 tan (1 tan )
r
V
t t
π
=
−
2
3 3
2 2
2 2 8
3 tan 1 tan 3
r r
V
t t
π π
 
≥ =

 ÷
+ −
 
3
8
( )
3
r
Min V
π
=
khi
1
tan
2
t =
Suy ra
2R r=
và
2
4
1
1
2
r
h r= =
−
Bài 10:
Nếu tổng 2 cạnh của một tam giác là k và góc
giữa 2 cạnh đó là t, hãy tìm độ dài các cạnh sao

cho tam giác có chu vi nhỏ nhất..
Gọi x=AC, BC=k−x, góc ACB=t.
Chu vi P=2p=k+AB.
Ta có
2 2 2
2 . .cosAB AC BC AC BC t= + −
2 2 2
( ) 2 .( ).cosAB x k x x k x t= + − − −
2 2 2 2
2 2 2 cos 2 cosAB x k kx kx t x t= + − − +
2 2
2 ( )(1 cos )AB k x k x t= − − +
2
2 ( )(1 cos )P k k x k x t= + − − +
P đạt nhỏ nhất khi tích x(k-x) lớn nhất
2
2
( )
2 4
x k x k
x k x
+ −
 
− ≤ =
 ÷
 
Khi dấu đẳng thức xảy ra thì x=k/2, tức là
AC=BC=k/2, AB=k.sin(t/2)
Bài 11:
Trong tất cả tam giác vuông có cạnh huyền c

cho trước, hãy tìm tam giác vuông có bán kính
đường tròn nội tiếp lớn nhất..
r
r
r
r
y
x
x+y=c
r
y
x
K
B
A
C
Giả sử cạnh huyền AB tiếp xúc đường tròn nội tiếp tại
K.
Đặt AK=x, BK=y.
Ta có AC=x+r, AB=y+r
Mà AB
2
=CA
2
+CB
2
ta có:
2 2 2 2
( ) ( ) ( )c x y x r y r= + = + + +
Suy ra

2
2 2 2 ( )xy r r x y= + +
Suy ra
2
2
2
2 4
x y c
r rc xy
+
 
+ = ≤ =
 ÷
 
r lớn nhất khi r
2
+rc lớn nhất khi x=y=c/2
Giải phương trình
2
2
4
c
r rc+ ==
ta có
2 1
max( )
2
r c
−
=

.
Bài 12:
Trong một hình tứ diện có đáy là tam giác đều
cạnh a, các cạnh bên bằng b, tổng bình phương
các cạnh bằng Q. Hãy tìm giá trị lớn nhất của
Sxq của tứ diện.
Ta có Q=3a
2
+3b
2
.
2 2 2
2
3 3 3
2 4 2 3 4
a Q a a
Sxq a b a
−
= − = −
2 2
3 1
15 (4 15 )
4 15
Sxq a Q a= −
2 2
3 15 4 15
2
4 15 2 5
a Q a Q
Sxq

 
+ −
≤ =
 ÷
 
( )
2 5
Q
Max Sxq =
khi
2
15 5
Q Q
a b= =
Bài 13:
Cho diện tích S và góc A=t (cho trước) của tam
giác ABC. Tìm giá trị lớn nhất của:
a) AB+AC.
b) BC
c) Chu vi tam giác
Đặt AB=x thì 2S=x.AC.sint
2
sin
S
b AC
x t
⇒ = =
Và
2 2 2 2
2 . .cosc BC AB AC AB AC t= = + −

2
2 2
2 2
4.
4 .cot
sin
S
c x S t
x t
= + −
a) Đặt Q=AB+AC=x+b ta được:
2 2
2
sin sin
S S
Q x
x t t
= + ≥
Suy ra
2 2
( ) 2 ,
sin sin
S S
Min Q x b
t t
= = =
b)
2
2 2
2 2

4.
4 .cot
sin
S
c x S t
x t
= + −
2
4 1 cos
4 .cot 4 4 tan
sin sin 2
S t t
c S t S S
t t
−
 
≥ − = =
 ÷
 
( ) 2 tan
2
t
Min c S=
,
2
sin
S
x
t
=

c)
Chu vi tam giác là P=x+b+c
Vì x+b và c cùng nhỏ nhất khi
2
sin
S
x
t
=
nên P cũng
đạt nhỏ nhất tại đó
2
2 2 tan
sin 2
S t
P S
t
= +
Bài 14:
Từ những hình hộp chữ nhật với diện tích đáy
bằng Q và chiều cao hình hộp bằng đường chéo
mặt đáy, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích
xung quanh.
Gọi x là một cạnh đáy, cạnh còn lại là Q/x.
Chiều cao hình hộp là
2
2
2
Q
h x

x
= +
2
2
2
2 2
Q Q Q
Sxq x h x x
x x x
   
= + = + +
 ÷  ÷
   
2 2
2 2
2 2
2 2
Q Q
Sxq x x Q
x x
  
= + + +
 ÷ ÷
  
Sxq đạt nhỏ nhất khi
2
2
2
Q
x

x
+
đạt nhỏ nhất
2 2
2 2
2 2
2 . 2
Q Q
x x Q
x x
+ ≥ =
( ) 4 2Min Sxq Q=
khi
x Q=
Nghĩa là đáy hình hộp là hình vuông.
Bài 15:
Hãy tìm đoạn thẳng ngắn nhất chia một tam
giác thành 2 phần có diện tích bằng nhau.
C'
B'
m
y
x
C
B
A
Đoạn thẳng định thành tam giác AC’B’.
AB’=x, AC’=y, B’C’=m, S là diện tích ABC.
2 2 2
2 cosm x y xy A= + −

Theo giả thiết S(ABC)=2S(AB’C’)
sinS xy A=
Suy ra
2
2 (1 cos )
2 (1 cos )
sin
S A
m xy A
A
−
≥ − =
m ngắn nhất là
2 (1 cos )
sin
S A
m
A
−
=
khi
sin
S
x y
A
= =
Bài 16:
(Bất đẳng thức Minkovski). Cho các điểm liên
tiếp O,A,B,C,…,Q,M. Độ dài đường gấp khúc
OA+AB+BC+…+QM ≥ OM. Hãy đặt tọa độ

các điểm O và A,B,C,…,Q,M để có bất đẳng
thức số.
Xét trong mặt phẳng: với O(0;0), A(a
1
,a
2
),
B(a
1
+b
1
;a
2
+b
2
), …,M(a
1
+b
1
+…+m
1
;a
2
+b
2
+…+m
2
)
Ta có:
2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2
2 2
1 1 1 2 2 2
...
( ... ) ( ... )
a a b b m m
a b m a b m
+ + + + + + ≥
+ + + + + + +
Mở rộng cho không gian n chiều:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2
1 1 1 2 2 2
... ... ... ...
( ... ) ( ... ) ... ( ... )
n n n
n n n
a a a b b b m m m
a b m a b m a b m
+ + + + + + + + + + + + ≥
+ + + + + + + + + + + +
Ghi chú: có thể hiểu trên ý nghĩa của véc tơ:
1 2 1 2
... ...
n n
a a a a a a+ + + ≥ + + +
ur uur uur ur uur uur
Bài 16:
Tam giác vuông ABC có A là góc vuông,

BC+AB=k (cho trước). Hãy xác định góc B của
tam giác ABC để diện tích ABC lớn nhất.
x=AB thì cạnh huyền BC=k−x.
Suy ra
2 2
( ) ( 2 )AC k x x k k x= − − = −
Diện tích
1
( 2 ) ( 2 )
2 2
k
S x k k x xx k x= − = −
3
2
2
2 3
6 3
k x x k x k
S
+ + −
 
≤ =
 ÷
 
2
( )
6 3
k
Max S =
khi

3
k
x =
(khi đó
0
1
cos 60
2
AB x
B B
BC k x
= = = ⇒ =
−
)
Bài 17:
Tam giác vuông ABC có chu vi 2p (cho trước).
Hãy xác định các cạnh của tam giác ABC để
diện tích ABC lớn nhất.
( )( )( )S p p a p b p c= − − −
3
2 3
3
( )( )( )
3 27
S p a b c p
p a p b p c
p
− − −
 
= − − − ≤ =

 ÷
 
Vậy S lớn nhất là
2
3 3
p
khi a=b=c=2p/3
Bài 18: