Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2017 tỉnh Quảng Trị có đáp án | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (230.41 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
QUẢNG TRỊ

KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12 THPT 
Khóa ngày 03 tháng 10 năm 2017

Mơn thi: TỐN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1. (4,0 điểm)

Tìm m để đồ thị hàm số yx42(m2)x2m2 (m tham số thực) có ba điểm cực 
trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 120 .0

Câu 2. (5,0 điểm)

1. Giải phương trình 5 2

4 2 1 2(2 1) 2 1
x  x x  x  x x.

2. Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn xyz1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A



x y z



6 x y z

y z x

 

       

 

.
Câu 3. (6,0 điểm)

1. Cho hình chóp đều S ABCD. . Mặt phẳng ( )P qua A vng góc với SC cắt

, ,

SB SC SD lần lượt tại B C D', ', '. Biết rằng , ' 2
3
SB
AB a

SB

  và C' nằm trên cạnh SC.
a) Tính diện tích tứ giác AB C D' ' '.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và B C' '.

2. Cho đường tròn ( )O cắt các cạnh của tam giác ABC tại sáu điểm phân biệt
, , , , ,

D E F G I H sao cho D và E nằm trên BC, F và G nằm trên CA, I và H nằm
trên AB. Chứng minh rằng nếu các đường thẳng đi qua D vuông góc BC, qua F
vng góc CA, qua H vng góc AB đồng quy thì các đường thẳng đi qua E vng
góc BC, qua G vng góc CA, qua I vng góc AB đồng quy.

Câu 4. (3,0 điểm)

1. Cho dãy số (xn) thỏa mãn *

1 1

5 4

5; ,

2
n
n

n
x

x x n

x




   

  .

Tìm số hạng tổng qt của (xn) và tính limxn.
2. Cho hàm số

 

4 3 2

f x x ax bx cx d (a b c d, , , là các số thực) thỏa mãn

 

1 100,

 

2 200,

 

3 300

f   f   f   . Tính giá trị của biểu thức

 





582
16

f f

P    .

Câu 5. (2,0 điểm)

Cho m n k, , *,mk. Chứng minh 0 1 1 0

1 1 1 ...

k k k k

m n m n m n m k n k

C C C C C C C

          .
---Hết---

Thí sinh khơng được sử dụng máy tính cầm tay và tài liệu.

Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:………

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
QUẢNG TRỊ

KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA LỚP 12 
Khóa ngày 03 tháng 10 năm 2017

HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: TOÁN

(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một phương án giải, học sinh làm đúng theo
phương án khác cho điểm tối đa theo ý câu đó.

Tổ chấm chỉ chi tiết biểu điểm chấm, không làm thay đổi thang điểm chấm của
từng câu.

Câu Đáp án Điểm

C1 
4đ

' 4 4( 2) .
y  x  m x

' 0 .

2
x

y

x m




  

 



Hàm số có ba cực trị khi m 2.

0, 25

0,75
Khi đó ' 0 0

2.
x

y

x m




  

  



Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là
2

(0; ), ( 2; 4 4), ( 2; 4 4).
A m B  m  m C  m  m

Vì tam giác ABC cân đỉnh A nên BAC120 .0 Gọi H là trung điểm của BC,

(0; 4 4).
H  m

0, 5

0,5

Ta có 4 4

2 2 ( 2) 4( 2) 2 .

AB AHm  m  m m   0,5

1,0

C2 
Ý1
3đ

Điều kiện: 1.
2

x Đặt t 2x1, t0. 0,5

Phương trình trở thành: 5 5

(1).

x xt t 0,5

Xét f x( )x5x f x, '( )5x4 1 0,x. Do đó hàm số f x( ) đồng biến trên . 0,5

Từ (1) ta được xt. 0,5

Từ đó ta có 2 1 2 0 1.

2 1 0
x

x x x

x x




    

  



1,0

C2 
Ý2
2đ

Ta có

2
3

3 3

x x y x

x

y y z  yz  (dox y z, , 0 và xyz 1).

0,5
Tương tự y y z 3 ,y z z x 3z

z z x xx y nên (1)
x y z

x y z

y z x   0,5

Vì xy z 0, và cùng với (1) ta có:











2 9

A xyz  x yz  xy z 

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

C3

Ý1
4đ

B'

D'

G
C'

O

B

D

C
A

S ( ) / /P BD(do cùng vng góc với AC). Suy ra

' '/ /

B D BDB D' ' AC'. 0,5 
Gọi G là giao điểm của AC' và SO, theo định lý

Thales ta có ' 2.
3
SH SB

SO  SB  Nên G là trọng tâm
tam giác SAC. Vậy tam giác SAC là tam giác đều
cạnh a 2.

0,5

Tứ giác AB'C'D' có 2 đường chéo vng góc nên
có diện tích là

1 1 6 2 3

'. ' ' . . 2 .

2 2 2 3 3

a a

S  AC B D  a 

1,0

2. Vì AD/ /(SBC) nên d AD B C( , ' ')d AD SBC( , ( ))
( , ( )) 2 ( , ( )) 2 .

d A SBC d O SBC h

   1,0

Tứ diện O SBC. có OS OB OC, , vng góc nhau từng đôi một tại O nên

2 2 2 2 2

1 1 1 1 14

.
3

h  SO OB OC  a Vậy

42
( , ' ') 2 .

7
a

d AD B C  h 1,0

C3 
Ý2
2đ

2. Gọi các đường thẳng qua D, E lần lượt
vng góc BC là x và x'; tương tự y và y';

z và z'. Gọi D' là giao điểm thứ 2 của x

với (O).

0, 5

Ta có: x//x' và O là trung điểm D'E (vì
 0

' 90
EDD  ).

0,5
Xét phép đối xứng tâm Đo biến D' thành

E nên biến x thành x'.

Tương tự Đo biến y, z lần lượt thành y',

z'.

Vì x, y, z đồng quy nên x', y', z' đồng
quy.

0,5

C4 
Ý1 
2đ

Dễ thấy *

0,
n

x   n  .

1 1 1 1

5 4 4 5 4 6( 1)

4 4 ; 1 1

2 2 2 2

n n n n

n n

n n n n

x x x x

x x

x x x x

   

   

       

   

0,25
0,25

1 2 1

2 1

1 2 1

4 1 4 1 4 1 4 1

...

1 6 1 6 1 6 1 6

n n n

n n

n n n

x x x x

 



 

   

    

    .

Do đó 4.6 1 *

,
6 1

n

n n

x    n

 

0,5

0,5
4.6 1

lim lim 4.

6 1
n

n n

x   



0,5

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

C4 
Ý2 
1đ

Ta có h

 

1 h

 

2 h

 

3 0 nên các số -1, -2, -3 là nghiệm đa thức bậc
bốn h(x);

0,25
do đó h(x) có dạng

  





  





100

h x  x x x xx  f x  x x x xx  x
Khi đó

 





582 2017.

16
f  f 

 

0,25
0,25

C5 
2đ

Đếm số tất cả các bộ số nguyên T 



a a1, 2,...,am n  1k



với

1 2 1

1a a ...am n  k m n 1 bằng hai cách:

- Số cách chọn m  n 1 k phần tử trong m n 1phần tử là 1

1 1.

m n k k

m n m n

C     C  

1,0
- Với mỗi i (0 i k), cho phần tử am 1 k của T nhận giá trị m i 1.

Bộ T1



a a1, 2,...,am k



, 1a1a2 ...am k m i và





2 m k 2, m k 3,..., m n1 k , 2 m k 2 m k 3 ... m n1 k 1.
T  a   a   a    m i  a   a    a    m n 

Số tất cả bộ T là

0 0

k k

m k n k i i
m i n i m i n i

i i

C  C  C C 

 





Vậy 1

.
k

k k i i

m n m i n i

i

C   C C 






1,0

</div>

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2017 tỉnh Quảng Trị có đáp án | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện





 

 

 

 

 















 

 

 

  









  









 





















<sub></sub>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về