SKKN: Ứng dụng phép biến hình để giải một số bài toán quỹ tích

Tô Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ
1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM
TRƯỜNG THPT LÊ Q ĐƠN

Tên đề tài :

ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH ĐỂ GIẢI
MỘT SỐ BÀI TỐN QUỸ TÍCH

QN tháng 4 năm 2011

Ứng dụng phép biến hình để giải một số bài tốn quỹ tích


Tô Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ
2

MỞ ĐẦU
I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thơng Việt Nam là hình
thành những cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới: phát triển
toàn diện phù hợp với yêu cầu và điều kiện hoàn cảnh đất nước con
người Việt Nam.
Trong giai đoạn hiện nay, mục tiêu đào tạo của nhà trường
phổ thơng Việt Nam đã được cụ thể hố trong các văn kiện của Đảng,
đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VIII Đảng cộng sản Việt Nam và
kết luận của hội nghị trung ương khoá IX, mục tiêu này gắn với chính
sách chung về giáo dục và đào tạo “ Giáo dục và đào tạo gắn liền với
sự phát triển kinh tế, phát triển khoa học kĩ thuật xây dựng nền văn

hố mới và con người mới…”
“Chính sách giáo dục mới hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao
dân trí, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có
tay nghề…”
Mơn Tốn trong trường phổ thơng giữ một vai trị, vị trí hết sức
quan trọng là mơn học cơng cụ nếu học tốt mơn Tốn thì những tri
thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc trong tốn sẽ trở
thành cơng cụ để học tốt những mơn học khác.
Mơn Tốn góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp
cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng tốn học cần thiết mơn Tốn
cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động
mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo,
bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Trong chương I hình học 11 , các phép biến hình đã là cơng cụ
hữu hiệu để giải các bài tốn quỹ tích , dựng hình ....Đây là một vấn
đề khó khăn vì học sinh lần đầu tiên làm quen với khái niệm biến hình
Ứng dụng phép biến hình để giải một số bài tốn quỹ tích


Tô Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ
3
và hầu hết các em đều “ngại” làm những bài tốn liên quan đến quỹ
tích .
Nhưng nội dung của phép biến hình đưa vào chương trình khơng
chỉ là cơng cụ để để giải tốn mà cịn giúp các em làm quen với
phương pháp tư duy và suy luận mới biết nhìn sự vật hiện tượng xung
quanh với quan điểm vận động biến đổi góp phần rèn luyện cho học
sinh tính sáng tạo trong học tập . Do vậy với đề tài : “Ứng dụng phép
biến hình để giải một số bài tốn quỹ tích” tơi rất mong muốn một
phần nào đó giúp học sinh thích thú hơn trong học tốn .

II/ MỤC TIÊU VÀ PHẠM VI ỨNG DỤNG:
1.Mục tiêu :
Với đặc điểm của chương này là: Kiến thức mới , học sinh tiếp
cận khá khó khăn và chất lượng học sinh khơng đồng đều . Mặc dù
chương trình mới đã giảm tải về mặt lý thuyết rất nhiều. Nhưng để áp
dụng được lý thuyết để giải một số bài toán quỹ tích thì thực sự là một
vấn đề khó khăn đối với nhiều học sinh . Do vậy qua quá trình giảng
dạy, để đảm bảo được mục đích dạy học là tất cả đối tượng học sinh ,
đồng thời phát hiện được năng lực học tập đối với một số cá nhân học
sinh địi hỏi người thầy phải có phương pháp truyền thụ thích hợp đến
mọi đối tượng học sinh . Từ đó nâng cao được chất lượng học tập của
học sinh trong các tiết học .
2.Phạm vi thực hiện :
Mọi đối tượng học sinh .
3.Phạm vi đề tài :
Một số bài tập về quỹ tích ở chương biến hình .
4.Hướng phát triển :
Hoàn thiện hệ thống bài tập đa dạng phong phú hơn, bổ sung thêm
phép đồng dạng.
Ứng dụng phép biến hình để giải một số bài tốn quỹ tích


Tô Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ
4
5.Phương pháp nghiên cứu :
Nghiên cứu các loại tài liệu có liên quan đến đề tài .
Phương pháp điều tra .
Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo và học
sinh)

Phương pháp quan sát (công việc dạy và học của giáo viên và học
sinh) .
6.Thời gian thực hiện đề tài :
Năm học 2010-2011

NỘI DUNG
I.CƠ SỞ LÝ LUẬN :
1.Cơ sở triết học :
Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy
quá trình phát triển . Vì vậy trong quá trình giúp đỡ học sinh, giáo
viên cần chú trọng gợi động cơ học tập để các em thấy được những
điều mình chưa biết và khả năng nhận thức của mình, phát huy tính
chủ động sáng tạo trong việc lĩnh hội tri thức . Từ đó kích thích các
em phát triển tốt hơn .
2.Cơ sở tâm lý học :
Căn cứ vào quy luật phát triển nhận thức và hình thành các đặc
điểm tâm lí thì từ những lớp cuối của cấp THCS, học sinh đã bộc lộ
thiên hướng, sở trường và hứng thú đối với những lĩnh vực kiến thức,
kĩ năng nhất định. Một số học sinh có khả năng và ham thích Tốn
học, các mơn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú văn chương và
các môn khoa học xã hội, nhân văn khác. Ngồi ra cịn có những học
sinh thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt…

Ứng dụng phép biến hình để giải một số bài tốn quỹ tích


Tô Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ
5
Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh khi học về các phép
biến hình và ứng dụng nó để giải bài tốn quỹ tích, các em thường

có tâm lí: khơng biết ứng dụng của phép biến hình để làm gì, nói cách
khác các em khơng gắn được lý thuyết vào thực hành, do đó các em
khơng muốn học phần này.Vì vậy Giáo viên cần chỉ rõ, cụ thể và
hướng dẫn cho học sinh ứng dụng các phép biến hình vào giải bài tốn
Quỹ tích.
3.Cơ sở giáo dục học:
Để giúp các em học tốt hơn. GV cần tạo cho học sinh hứng thú
học tập. Cần cho học sinh thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng,
con người muốn phát triển cần phải có tri thức cần phải học hỏi. Giáo
biết định hướng, giúp đỡ từng đối tượng học sinh.

II THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI:
1.Thời gian và các bước tiến hành:
Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học 2010-2011.
2.Khảo sát chất lượng đầu năm mơn hình học:
Thơng qua bài khảo sát chất lựơng đầu năm tôi thu được kết
quả như sau:
Trên trung bình 25%.
3.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên:
Tơi nhận thấy đa số học sinh có kết quả rất thấp. Vì vậy việc
lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công
sức và thời gian.Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ:
- Các em còn lúng túng trong việc tìm ảnh của một hình qua
một phép biến hình.
- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc.
- Khả năng tưởng tượng, tư duy lơgíc cịn hạn chế.
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt.
Ứng dụng phép biến hình để giải một số bài tốn quỹ tích

Tô Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ
6
- Nhiều học sinh có tâm lí sợ học mơn hình học.
Đây là mơn học địi hỏi sự tư duy, phân tích của các em. Thực
sự là khó khơng chỉ đối với HS mà cịn khó đối với cả GV trong việc
truyền tải kiến thức tới các em. Nhiều em hổng kiến thức từ lớp dưới,
ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định được động cơ học tập,
chưa thấy được ứng dụng to lớn của mơn hình học trong đời sống.
Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện
pháp giúp đỡ từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp
với yêu cầu chung của tiết học, học sinh khá không nhàm chán.
III: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
Trong các giờ học về phần: Các phép biến hình, ứng dụng của
nó để giải các bài tốn quỹ tích , học sinh nắm chưa chắc, chưa hiểu
bản chất. Vì vậy học sinh cịn lúng túng, xa lạ, khó hiểu chưa kích
thích được nhu cầu học tập của học sinh. Để các em tiếp thu bài một
cách có hiệu quả tơi xin đưa ra một vài bài tốn quỹ tích sử dụng phép
phép biến hình để giải trong chương I hình học lớp 11.
1. Phép tịnh tiến :

.

Định
nghĩa : M’
là ảnh
của M qua phép tịnh tiến theo vectơ

 
v khi và chỉ khi MM '  v .



Phương pháp tìm quỹ tích : Chỉ ra được véctơ v cố định,
xét phép tịnh tiến Tv điểm M’ cần tìm quỹ tích là ảnh của
điểm M . Biết M chạy trên đường (C) thì M’ chạy trên
đường (C’) là ảnh của (C) qua phép Tv .Vậy quỹ tích điểm
M’ là đường (C’)
Bài tốn 1:

Cho hai điểm B,C cố định trên đường tròn (O;R) và

một điểm A thay đổi trên đường trịn đó. Tìm quỹ tích trực tâm H của
tam giác ABC .
Ứng dụng phép biến hình để giải một số bài tốn quỹ tích


Tô Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ

Hướng dẫn :

7
Nhìn nhận được vấn đề là điểm H “liên quan” với

điểm A qua phép tịnh tiến với véctơ nào?
A
B'

H

O

C
B
O'

-Nếu BC là đường kính thì
trực tâm H của tam giác ABC chính là A . Vậy H nằm trên đường
trịn (O;R).
-Nếu BC khơng là đường kính , vẽ đường kính BB’ của đường trịn.
Ta có :
AH  B ' C ( Do tứ giác AHCB’ là hình bình hành )

mà B'C cố định Vậy T
: biến A thành H . Do đó A chay trên đường
B 'C
trịn (O;R)  H chạy trên đường tròn (O’;R) ,
O’ được xác định : OO'  B'C .
Kết luận : Quỹ tích điểm H là đường trịn tâm O’, bán kính R là ảnh
của đường tròn (O;R) qua phép tịnh tiến theo véc tơ B' C .
Bài tốn 2 :
Cho đường trịn (O;R) và một điểm M chạy trên đường trịn đó,
cho một đoạn AB có A,B khơng nằm trên đường trịn đó. Tìm quỹ tích
các điểm M’ là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABMM’.
Hướng dẫn :

Hướng cho học sinh tìm thấy M có mối quan hệ

với điểm nào? Qua phép tịnh tiến nào?

Ứng dụng phép biến hình để giải một số bài tốn quỹ tích

Tô Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ
8

O'
M'
A

O

M
B







Ta có tứ giác ABMM’ là hình bình hành nên : MM '  BA , mà BA
 : biến M thành M’. Do đó M chạy trên đường
cố định . Vậy phép T
BA

tròn (O;R)  M’ chạy trên đường tròn (O’;R) . O’ được xác định :
OO'  BA

Kết luận : Quỹ tích điểm M’ là đường trịn tâm O’, bán kính R là ảnh
của đường trịn (O;R) qua phép tịnh tiến theo véc tơ BA .

Bài tập tự luyện :
1) Cho hình bình hành ABCD có AB cố định , đường chéo AC có
độ dài bằng m khơng đổi. Khi C thay đổi , tìm quỹ tích điểm D.
2) Cho đường tròn tâm O và hai điểm A,B. Một điểm M thay đổi
trên đường trịn (O). Tìm quỹ tích điểm M’ sao cho
: MM '  MA  MB
3) Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD. Cho biết A và
B cố định, AD=a, DC=b (a,b là hằng số dương). Tìm quỹ tích
điểm D và C.
4) Cho đường tròn (O;R) cố định AB là đường kính cố định, MN
là đường kính lưu động. Tiếp tuyến với đường tròn tại B cắt
AM, AN lần lượt tại P và Q. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam
giác MPQ.

Ứng dụng phép biến hình để giải một số bài tốn quỹ tích


Tô Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ
9
5) Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB cố định, vẽ tam giác
đều CDN với M,A,B ở cùng phía đối với CD. Tìm quỹ tích của
D và M biết :
a) Điểm C chạy trên đường thẳng d
b) Điểm C chạy trên đường trịn (O;R)
6) Cho hình bình hành ABCD có A cố định, B và D lưu động trên
đường trịn tâm O bán kính R=OA, dây BD=

R 2
2

a) Chứng minh trực tâm K của tam giác BCD cố đinh.
b) Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABD.
c) Tìm quỹ tích điểm C.
2.Phép đối xứng trục :

Định nghĩa: M’ là ảnh của M qua phép đối xứng trục d
khi và chỉ khi d là đường trung trực của MM’

Phương pháp tìm quỹ tích : Chỉ ra một đường thẳng d cố định
. Điểm M cần tìm quỹ tích là ảnh của điểm M’ qua phép Dd ,
biết M’ chạy trên đường (C’) thì M chạy trên đường (C) là ảnh
của (C’) qua phép Dd .

Bài toán 1:
Cho hai điểm B,C cố định trên đường tròn (O;R) và một điểm A
thay đổi trên đường trịn đó. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác
ABC .
Hướng dẫn :

Ứng dụng phép biến hình để giải một số bài tốn quỹ tích


Tô Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ
10
A

O

H

C
I
B
O'

H'

Gọi I, H’ theo thứ tự là giao của tia AH với BC và đường trịn.
Ta có
BAH  HCB

(tương ứng vng góc)

BAH  BCH ' (cùng chắn một cung)

Vậy tam giác CHH’ cân tại C, suy ra H và H’ đối xứng nhau qua
đường thẳng BC
Khi A chạy trên đường trịn (O) thì H’ cũng chạy trên đường trịn
(O). Do đó H phải chạy trên đường trịn (O’) là ảnh của đường tròn
(O) qua phép đối xứng qua đường thẳng BC.
Kết luận : Quỹ tích điểm H là đường trịn tâm O’, bán kính R là ảnh
của đường trịn (O;R) qua phép đối xứng qua đường thẳng BC.
3.Phép quay và phép đối xứng tâm:

Định nghĩa phép quay: Điểm M’ là ảnh của M qua phép
quay Q(O , ) khi và chỉ khi OM=OM’ và (OM,OM’)= 

Định nghĩa phép đối xứng tâm : M’ là ảnh của M qua
phép đối xứng tâm O khi và chỉ khi OM  OM '  0

Ứng dụng phép biến hình để giải một số bài tốn quỹ tích


Tô Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ
11
Phương pháp tìm quỹ tích : Chỉ ra một điểm O cố định và một
góc lượng giác  khơng đổi. Điểm M cần tìm quỹ tích là ảnh của
điểm M’ qua phép Q(o,  ) , biết M’ chạy trên đường (  ) thì M
chạy trên đường (  ’) là ảnh của (  ) qua phép Q(o,  ) . Phép đối
xứng tâm là trường hợp đặc biệt của phép quay với góc quay là
1800 .

Bài tốn 1:
Cho hai điểm B,C cố định trên đường tròn (O;R) và một điểm A
thay đổi trên đường trịn đó. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác
ABC .
Hướng dẫn :
Gọi I là trung điểm của BC vẽ đường kính AM của đường tròn,
rồi chứng minh I là trung điểm của HM. Ta đi tìm quỹ tích của điểm
H dựa vào phép đối xứng tâm I
Bài toán 2 :
Xác định M’ sao cho MM '  MA  MB . Tìm quỹ tích điểm M’ khi
M chạy trên (O;R).
Hướng dẫn:
M

O

B
I

A

O'

M'

Gọi I là trung điểm AB thì I cố định và MA  MB  2MI .

Ứng dụng phép biến hình để giải một số bài tốn quỹ tích


Tô Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ
12
Do vậy MM '  MA  MB  MM '  2MI tức là MM’ nhận I làm
trung điểm hay phép ĐI biến M thành M’. Vậy khi M chạy trên đường
trịn (O;R) thì quỹ tích điểm M’ là đường tròn (O’,R) là ảnh của
đường tròn (O;R) qua phép ĐI . O’ được xác định O' I  IO .
Bài tốn 3 :
Cho nửa đường trịn tâm O đường kính BC . Điểm A chạy trên
nửa đường trịn đó. Dựng về phía ngồi của tam giác ABC hình vng
ABEF. Tìm quỹ tích điểm E.
Hướng dẫn :
Xem E là ảnh của A qua phép quay Q(B,900). Khi A chạy trên nửa
đường trịn (O), thì E chạy trên nửa đường trịn (O’) là ảnh của (O)
qua phép Q(B,90 0).
Bài tập tự luyện :
1)Cho đường trịn (O) và điểm I khơng nằm trên đường trịn đó.
Với

mỗi điểm A thay đổi trên đường trịn , dựng hình vng ABCD

có tâm I
a) Tìm quỹ tích điểm C.
b) Tìm quỹ tích mỗi điểm B và D
c) Khi I trùng với O có nhận xét gì về ba quỹ tích nói trên .
2)Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a. Với mỗi
điểm A nằm trên a ta dựng tam giác đều ABC có tâm G. Tìm quỹ tích
hai điểm B và C khi A chạy trên a.
3)Cho đường tròn (O) và tam giác ABC. Một điểm M thay đổi
trên (O). Gọi M1 là điểm đối xứng của M qua A, M2 là điểm đối xứng
của M1 qua B, M3 là điểm đối xứng của của M2 qua C. Tìm quỹ tích
điểm M3.
4.Phép vị tự :

Ứng dụng phép biến hình để giải một số bài tốn quỹ tích


Tô Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ
13
Phương pháp : Chỉ ra được một điểm cố định O, một hằng số
k, Xét phép vị tự tâm O tỉ số k ( k  0 ) điểm M’ cần tìm quỹ
tích là ảnh của M . Biết M chạy trên đường (C) thì M’ chạy
trên đường (C’) là ảnh của (C) qua V(O,k).
Bài tập :
Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R. Các đỉnh
B,C cố định cịn A chạy trên đường trịn đó. Tìm quỹ tích trọng tâm G
của tam giác ABC.
Hướng dẫn:
A

O
G
O'
B

C

I

Gọi I là trung điểm của BC. Do B,C cố định nên I cố định.
1
3

Ta có : IG  IA . Vậy G là ảnh của A qua qua phép vị tự tâm I, tỉ số vị
tự

1
, mà A chạy trên đường tròn (O;R) nên G chạy trên đường tròn
3
1
3

1
3

(O’; R). O’ được xác định : IO'  IO
1
3

Kết luận: Quỹ tích điểm G là đường trịn tâm O’, bán kính R.

Bài tập tự luyện:
1) Trong tam giác ABC có hai đỉnh B,C cố định còn A chạy trên
đường tròn (O;R) cố định khơng có điểm chung với đường BC. Tìm
quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC.

Ứng dụng phép biến hình để giải một số bài tốn quỹ tích


Tô Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ
14
2)Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định, điểm A lưu động trên
một đường thẳng d sao cho BC khơng cắt đường thẳng d. Tìm tập hợp
a) Trọng tâm G của tam giác ABC.
b) Trung điểm I của BC.
3)Cho đường trịn (O;R) đường kính AB cố định , MN là đường
kính lưu động. C là trung điểm của bán kính OA. Tìm tập hợp các
điểm Q là giao điểm của NC và BN.
4)Cho đường tròn (O;R) và điểm P cố định nằm ngồi đường
trịn(O;R). Một dây cung BC thay đổi của (O) nhưng có độ dài khơng
đổi bằng R 3 . Tìm quỹ tích trọng tâm của tam giác PBC.
5) Cho tam giác ABC cố định , M là điểm lưu động trên cạnh BC
sao cho M không trùng B. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác
MAB.
6) Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A. Đường kính
vẽ từ A gặp (O) ở B và (O’) ở C. Một đường thẳng thay đổi đi qua A
và cắt (O) tại M và (O’) tại N. Tìm tập hợp giao điểm I của BN và C.

KẾT LUẬN
I.KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM:
Năm học 2010-2011 , với phân phối chương trình bộ mơn tốn

là 4 tiết/1 tuần và một tiết bám sát . Ở chương I hình học 11 ,trong
các giờ học hình , sau khi đã giới thiệu lý thuyết và làm bài tập tôi
dành thời gian luyện tập cho các em giải các bài tập như đã hệ thống ở
trên, tôi thấy học sinh rất dễ hiểu và tích cực làm bài tập hơn.
Xong mỗi phần đưa bài tập về nhà có khoảng 60% đến 70% học
sinh làm bài đầy đủ , so với đầu năm khi kết thúc chương I tơi thấy kết
quả trên trung bình tăng lên 50% , có khả quan hơn nhiều.

Ứng dụng phép biến hình để giải một số bài tốn quỹ tích


Tô Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ
15
II.KẾT LUẬN :
Với những kinh nghiệm dù là rất nhỏ của mình nhằm hệ thống
cho học sinh một phần kiến thức trong chương 1, để các em nắm chắc
kiến thức hơn và sáng tạo hơn trong học tập. Mặc dù đã đầu tư thời
gian để có được một số bài tập song khơng thể tránh khỏi những thiếu
sót. Tơi rất mong được sự chia sẻ và đóng góp ý kiến từ quý thầy cô
để bài viết được tốt hơn.
Tam kỳ ngày 10 tháng 4 năm 2011.
Người thực hiện

Tô Thị Minh Trúc

Ứng dụng phép biến hình để giải một số bài tốn quỹ tích


Tô Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ
16

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.Đồn Quỳnh-Hình học 11 nâng cao , NXB giáo dục ,2007.
2.Văn Như Cương-bài tập hình học 11 nâng cao, NXB giáo dục, 2009.
3.Nguyễn Mộng Hy-Bài tập hình học 11 cơ bản, NXB giáo dục,2007.
4.Trần Văn Hạo –Hình học 10, NXB giáo dục, 2000.

Ứng dụng phép biến hình để giải một số bài tốn quỹ tích


Tô Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ
17

MỤC LỤC
Trang
Mở đầu
I.Lý do chọn đề tài
II.Mục tiêu và phạm vi ứng dụng

2
3

Nội dung
I.Cơ sở lý luận

4

II.THực trạng của đề tài

5

III.Giải quyết vấn đề

6

1.Phép tịnh tiến

6

2.Phép đối xứng trục

9

3.Phép quay và phép đối xứng tâm

10

4.Phép vị tự

12

Kết luận

14

I.Kết quả thực nghiệm
II.Kết luận

Ứng dụng phép biến hình để giải một số bài tốn quỹ tích

15