HD cham HSG An Giang

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

SỞ GIÁO DỤC VAØ ĐAØO TẠO <b>HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 12 </b>
AN GIANG Năm học 2008 – 2009

MƠN TỐN

A. HƯỚNG DẪN CHẤM:

<b>Bài 1</b>

- Ta có: ( ) : 2 2 2 1 1

1 1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>C y</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 

   

 

- Gọi ; 1 1 ( )

1

<i>M m m</i> <i>C</i>

<i>m</i>

 

  

 



  và

1

; 1 ( )

1

<i>N n n</i> <i>C</i>

<i>n</i>

 

  

 



  ;

với <i>m</i>1 và <i>n</i>1.

- Khi đó: M và N thuộc hai nhánh của (C), ta có:









2
2

2

2
2

2

1 1

( 1) ( 1)

1 1

1 1

1 1 ( 1) (1 )

1 1

<i>MN</i> <i>m n</i> <i>m</i> <i>n</i>

<i>m</i> <i>n</i>

<i>MN</i> <i>m</i> <i>n</i> <i>m</i> <i>n</i>

<i>m</i> <i>n</i>

 

  _      _
 

 

 

     _      _
 

 

- Đặt : <i>a m</i> 1; <i>b</i> 1 <i>n</i>_{. Khi đó:}<i>a</i>0;<i>b</i>0_.

- Ta lại có:

















2
2

2

2

2 2

2

2
2

2 2

2

2 2

2

2

1 1

1 1 1 1

2( )

2 1

2
.

2 1

4 2

.
4

8 8

8 2 8

<i>Cauchy</i>

<i>Cauchy</i>

<i>MN</i> <i>a b</i> <i>a b</i>

<i>a b</i>

<i>MN</i> <i>a b</i> <i>a b</i> <i>a b</i>

<i>a b</i> <i>a b</i>

<i>MN</i> <i>a b</i>

<i>a b a b</i>

<i>MN</i> <i>ab</i>

<i>a b a b</i>

<i>MN</i> <i>ab</i>

<i>ab</i>
<i>MN</i>

 

  _    _

 

   
       _  __  _
   

 

   _   _

 

 

  _   _

 

   

  

- Do đó:



<i>MN</i>



_min 2 2 2 2 khi

4

4
1

2
1

1
2

2

<i>a</i>
<i>a b</i>

<i>ab</i>

<i>b</i>
<i>ab</i>





 _

 



 



 _{ }





- Vậy:

4 4

4 4 4 4

1 1 1 1

1 ; 2 1 ; 2

2 2 2 2

<i>M</i>_   _ <i>N</i>_    _

   

<b>4.0</b>
<b>điểm</b>

<b>Bài 2 </b>

- Đặt: tan ; ;

2 2

<i>x</i> <i>t t</i> _  _
 .

- Khi đó: hàm số được chuyển về dạng:

<b>4.0</b>
<b>điểm</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>





4

4 4

2
2

2
1 tan

sin cos
1 tan

1
1 sin 2

2

<i>t</i>

<i>y</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>t</i>

<i>y</i> <i>t</i>



  



 

- Vì 2

0 sin 2 <i>t</i>1, nên: 1 1 1sin 22 1 1 1
2  2 <i>t</i>  2 <i>y</i>
- Suy ra:

2
min

2 2

1 _{khi sin 2} ₁ _{sin 2} ₁ 2 4

2

2 2

2 4

<i>t</i> <i>k</i> <i>t</i> <i>k</i>

<i>y</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>t</i> <i>k</i> <i>t</i> <i>k</i>

 

 

 

 

 

   

 

       

 _ _  _ _

 

 

- Mà :

1
4

;

1
2 2

4

<i>t</i> <i>_x</i>

<i>t</i>

<i>x</i>
<i>t</i>


 






  

 

 _ _    _

  _{ } 



max 1 khi sin 2 0 0 0

<i>y</i>  <i>t</i>  <i>t</i>   <i>x</i>

- Vậy: <i>y</i>max 1 khi <i>x</i>0; min
1

khi 1; 1

2

<i>y</i>  <i>x</i> <i>x</i>

<b>Bài 3</b>

- Giải hệ:

3 3

2

2

x

x x log ( ) 8y 2y 1 (1)

y
1

y xy 0 (2)

4
x 0, y 0



    





  




 





- 3 3





2 2

(1) <i>x</i>  <i>x</i> log <i>x</i>8<i>y</i> 2<i>y</i>log 2<i>y</i> (3)
- Xét hàm số: 3

2

( ) log ; 0

<i>f t</i>   <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

/_{( ) 3} 2 ₁ 1 _0; ₀
ln 2

<i>f t</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>t</i>

      
 <i>f t</i>( ) tăng trong khoảng



0;



- Do đó: (3) <i>f x</i>( )<i>f</i>(2 )<i>y</i>  <i>x</i>2<i>y</i> (4)
- Thay (4) vào (2) ta được:

2 1 1 _(Do ₀₎

4 2

<i>y</i>   <i>y</i> <i>y</i>

1

<i>x</i>

 

Vậy:
1

1
2

<i>x</i>
<i>y</i>










<b>4.0</b>
<b>điểm</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Bài 4</b>

I'

I

S

B

C

D

C'

B'

D'

A

<b>_điểm1.0</b>

<b>Bài</b>
<b>4</b>

<b>Câu</b>
<b>1</b>

- Ta có: <i>BD</i> <i>AC</i> <i>BD</i> (<i>SAC</i>)

<i>BD</i> <i>SA</i>




 





- Mà: ( )<i>P</i> (<i>SAC</i>)
- Suy ra: <i>BD</i>/ /( )<i>P</i>

- Mặt khác: / /

( )

( )

<i>BD</i> <i>SAC</i>

<i>BD</i> <i>AC</i>

<i>A C</i> <i>SAC</i>




 




- Ta lại có:

/ /

/ /
( ) ( )

/ /
/ /( )

<i>SBD</i> <i>P</i> <i>B D</i>

<i>BD B D</i>

<i>BD</i> <i>P</i>

  






- Do đó: <i>_{B D}</i>/ / <i>_AC</i>/



<b>2.0</b>
<b>điểm</b>

<b>Câu</b>
<b>2</b>

- Xét <i>ABC</i> vng tại A có:




/ /

SIC

/ /
/ /

SI C
1

.SI.SC.sin ISC

S ₂ SC.SI

(1)
1

S _{.SC .SI .sin ISC} SC .SI
2

 

- Tương tự:




/

SAC

/
/

SAC
1

.SA.SC.sin ASC

S ₂ SC

(2)
1

S _{.SA.SC .sin ASC} SC
2

 




/

SAI

/
/

SAI
1

.SA.SI.sin ASI

S ₂ SI

(3)
1

S _{.SA.SI .sin ASI} SI
2

  

- Từ (1), (2) và (3); ta được:

<b>5.0</b>
<b>điểm</b>

3
I'

S

A _C

C'

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

/ / / / / / / /

SAI SI C SAC
SAI SIC SAI

/ / /

S S S _SI _{SC .SI} _2SC

S S S SI SC.SI SC

SI SC 2SC

1 (4)

SI SC SC

    

 

 _  _

 

Vậy: SI_/ SC SC_/ / 2SC/ a 3 x

SI 2SC SC 2x

 

  





/ / / / /

/ /

A SBC
S.ABCD S.ABC

/ / / /

S.AB C D S.AB C _A
SB C
/

/ / 2

1
h .S

V V ₃ SB.SC SI.SC

1

V V _{h .S} SB .SC SI .SC

3

SC SC .SC (a 3 x)a 3

2SC .SC 2x

   

 _

 

- Để mặt phẳng (P) chia khối thành 2 phần có thể tích bằng nhau thì:

/ / /

2 2

S.ABCD

2
S.AB C D

V (a 3 x)a 3

2 2 4x a 3x 3a 0

V 2x

a( 3 51)
x

8



      


 

<b>B. HƯỚNG DẪN CHẤM :</b>

1. Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn được điểm tối đa.

2. Điểm số có thể chia nhỏ tới 0,25 cho từng câu. Tổng điểm tồn bài khơng làm
trịn.

<b></b>

</div>

<!--links-->