Bài giảng Phương trình đường thẳng - Hình học 10 - GV. Trần Thiên

BÀI GIẢNG HÌNH HỌC 10

CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ
TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯỜNG THẲNG


y

 Định nghĩa và nêu hệ thức
liên hệ giữa hai vectơ cùng
phương?
=

ku2

Trong hệ trục tọa độ OXY

 a1 ka2
u1 (a1 , b1 ); u2 (a2 , b2 )khi : u1 k u2 :thì : 
 b1 kb2

u2

u1
x

O

1


y

u2

 Định nghĩa và nêu hệ
thức liên hệ giữa hai
vectơ cùng phương?

u1

= ku2
Trong hệ trục tọa độ OXY

x

O

 a1 ka2
u1 (a1 , b1 ); u2 (a2 , b2 )khi : u1 k u2 :thì : 
 b1 kb2

Đường thẳng  và vectơ
như trên, ta nói
; u2
là vectơ chỉ phương của .

; u2

1


BÀI 1 PHƯƠNG TRÌNHĐƯỜNG THẲNG
y

1.Vectơ chỉ phương của đường thẳng
a. Định nghĩa:

rr r
Vectơ uu �0 được gọi
là vectơ chỉ phương
của đường thẳng
r  nếu
u
và giá của
song
song hoặc trùng với 

u2

x

O

1

u1




y

u2

u1
x

O

1

Đường thẳng có
bao nhiêu vectơ
chỉ phương?
Quan hệ giữa
các vectơ này ?

Nhận xét: Một đường thẳng có vơ sớ các vectơ
chỉ phương, các vectơ chỉ phương của một đường
thẳng cùng phương với nhau


y

u2

u1

x

O

1

Nhận xét:
Nhận xét: Một đường
thẳng có vơ sớ các
vectơ chỉ phương, các
vectơ chỉ phương của
một đường thẳng cùng
phương với nhau

r
Nếu ulà một vectơ chỉ
r phương của
đường thẳng thì ku (k �0) cũng là
một vectơ chỉ phương của .


b


2. Phương trình tham số của đường thẳng
Bài tốn
Trong mặt phẳng oxy cho đường
thẳng Δ đi qua điểm M0(x0;y0) và
2

2
u

(
u
;
u
);
u

u
nhận
1 2
1
2 0
làm vectơ chỉ phương. Tìm điều
kiện của M(x;y) để M
 x  x0  tu1
(1)

 y  y0  tu 2

Định nghĩa
Hệ phương trình (1) được
gọi là phương trình tham
sớ của đường thẳng ,
trong đó t là tham sớ.

y

M
M0
0


Hình minh hoạ
x

nhận xét :Cho t một giá trị
cụ thể thì ta xác định được
một điểm trên đường
thẳng  và ngược lại.


 x  x0  tu1

 y  y0  tu 2

Hệ phương trình (1) được gọi là phương trình tham
(1)
số của đường thẳng  đi qua M0(x0;y0) nhận
u , (u1; u2 ); u12  u22 0
trong đó t là tham sớ.
Cho t một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường
thẳng  và ngược lại.

Ví dụ 1. Cho đưưường thẳng  có phưương

 x 2  t


 y 1  2t

trình
1.Tìm một véc tơ chỉ phưương của 
2.Tìm các điểm của  ứng với các giá trị t = 0, t = - 4,t=1/2.
3. Điểm nào trong các điểm sau thuộc đưường thẳng .
M(1; 3); N(1; - 5).


Hệ phương trình (1) được gọi là phương trình
 x  x0  tu1
(1) tham số của đường thẳng  đi qua M0(x0;y0) nhận

 y  y0  tu 2
u (u1; u2 ); u12  u22 0

Ví dụ

làm vecto chỉ phương
trongphương
đó t là án
tham
sớ.trong các ví dụ sau:
đúng
2. Hãy chọn

1.Đường thẳng đi qua hai điểm A(2;2) và B(3;4) có véc tơ chỉ phương là:
(a). (4;2)

b (1;2)

(b).

(c).(2;1)

(d). (6;8)

2 Phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng
đi qua hai điểm A(-1;-1) và B(3;1) :
 x 2  2t
(a) 
 y 3  t

(b)

 x  1  2t

 y  1  2t

(c)

 x 1  4t

 y 1  2t

(d).
d

 x  1  4t

 y  1  2t

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng 
1
là đồ thị của hàm số y  2 x

a) Tìm tung độ của hai điểm M o và M nằm trên  ,
có hồnh độ lần lượt là 2 và 6.
b) lập phương trình tham sớ của 
y

c) Có thể chuyển phương trình
1
tham sớ  về y  2 x

?
3

M

1

O


MO
2

6

x


b. Liên hệ giữa véc tơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng.

 x  x0  tu1

có phương trình tham sớ  y  y0  tu 2 .

Cho đường thẳng 

Nếu u1≠0 thì từ phương trình tham sớ của Δta có :

x  x0 suy ra được

t 
u1

 y  y tu
0
2


u2
y  y0  ( x  x0 )
u1

u2
đặt k 
ta được y - y0 = k(x – x0) hay y = kx+b (b= y0 – kx0) .

u1
Như vậy nếu đường thẳng Δ có véc tơ chỉ phương
u2
 thì 
.
với ku 1≠0
u (u1 ; u2 )
u1
có hệ sớ góc
.


Đường thẳng Δ có véc tơ chỉ phương u (u1 ; u 2 )
với u1≠0 thì  có hệ sớ góc k  u 2

u1

Ví dụ.Tính hệ sớ góc của đường thẳng d có véc tơ chỉ
phương là :
(a)

u ( 1; 5 )

Giải.
(a). k 
(b). K = 0.

5

(c).Không tồn tai k.

;(b) u (3;0) ;(c) u (0;3)


Tóm tắt bài học.
1. Véc tơ u được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng 
nếu
u 0 và giá của u song song hoặc trùng với .
2. Phương trình tham sớ của đường thẳng đi qua điểm M(x0;y0)
2
2
u

(
u
;
u
);
u

u
nhận
1 2
1
2 0

 x  x0  tu1

 y  y0  tu 2

làm véc tơ chỉ phương là:

.Đường thẳng  có véc tơ chỉ phương

3

u (u1; u2 )
.

u2
k
u1
với u1≠0 thì  có hệ sớ góc là:
.


Cho ba điểm A(1,0), B (5,0), C(2,-1)
a> Lập phương trình đường thẳng AB
b> điểm C có thuộc đường thẳng AB ?
c> Tìm hệ sớ góc của đường thẳng AB, AC.
d> Lập phương trình các đường trung bình của
tam giác ABC.


Bài tập. Cho điểm A(1; 2) đường �
x  1  2t
thẳng d có phương trình tham sớ

�
�y  3  t

a) Điểm A có nằm trên đường thẳng d khơng?
b) Lập phương trình tham sớ của đường thẳng d1 đi qua A và
song song với đường thẳng d.
c) Tìm hệ sớ góc của đường thẳng d
Giải:
1  1  2t
t 0
�
�
a) Giả sử A thuộc d ta có �
��

2  3  t
�

t 5
�

(vơ lí)

Vậy A �d
b) Phương trình tham số của đường thẳng d1 là: �x  1  2t

�
�y  2  t


BÀI CŨ
Câu 1: Em hãy nêu định nghĩa véc tơ chỉ

phương của đường thẳng  và dạng phương trình
tham sớ của đường thẳng
đi
qua
điểm
M
(x
;
y
)
và
0
0
0
r
có véc tơ chỉ phương u  u1 ; u2 ?





Câu 2: Viết phương trình tham sớ của đường
thẳng  đi qua 2 điểm A(1;3), B(4;2).


Chương III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
MẶT PHẲNG

§1. Phương trình đường thẳng (T2)

3. Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng.
Định nghĩa:
Véc tơ n được gọi là véc tơ pháp
tuyến của đường thẳng  nếu n �0 và n vng
góc với véc tơ chỉ phương của  .
Nhận xét:
-Nếur n là một véc tơ pháp tuyến của  thì
kn ,  k �0  cũng là một véc tơ của  .
-Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi
biết véc tơ pháp tuyến của nó và một điểm mà nó
đi qua.


§1. Phương trình đường thẳng(T2)
Bài toán :
Trong mp Oxy cho đường
thẳng  đi qua điểm
r
M 0  x0 ; y0  và nhận n   a; b  làm véc tơ pháp
tuyến. Tìm điều kiện của x và y để điểm M(x,y)
nằm trên  .


§1. Phương trình đường thẳng(T2)
4.Phương trình tổng quát của đường thẳng.

Định nghĩa
Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng:
2
2

a

b
�0
ax + by +c =0, với
Nhận xét :
-Nếu đường thẳng  có phương
 trình là ax +by +c = 0 thì 
có một véc tơ
 pháp tuyến là n = (a;b) và có véc tơ chỉ
phương là u = (-b;a).


§1. Phương trình đường thẳng(T2)

H? Để lập phương trỡnh tổng quỏt của đường
thẳng cần xỏc định những yếu tố nào và lập
phương trỡnh như thế nào ?


§1. Phương trình đường thẳng(T2)
4.Phương trình tổng quát của đường thẳng.
Định nghĩa
Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng:
2
2
ax + by +c =0, với a  b �0
Nhận xét :
-Nếu đường thẳng  có phương
 trình là ax +by +c = 0 thì 

có một véc tơ
 pháp tuyến là n = (a;b) và có véc tơ chỉ
phương là u = (-b;a).

- PTTQ của đường
 thẳng qua điểm M(x0;y0) và có
một VTPT là n = (a;b) là : a(x-x0)+ b(y-y0) = 0


§1. Phương trình đường thẳng(T2)
Hoạt động nhóm:
Nhóm I : Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm
A(1;-2) và song song với đường thẳng 2x – 3y – 3 = 0.
Nhóm II : Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua 2
điểm M(1;-1) và điểm N(5;-1).
Nhóm III : Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm
A(1;-2) và vng góc với đường thẳng 2x – 3y – 3 = 0.
Nhóm IV : Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d có
 x  5  2t
phương trìng tham sớ là

 y 4  t


Các trường hợp đặc biệt
ax + by + c = 0

a=0

c=0

b=0

by + c = 0

ax + c = 0

Cùng trao đổi:

ax + by = 0

Cho phương trình tổng quát của đường thẳng d: ax + by + c = 0.
Hãy xét vị trí của đường thẳng d với 2 trục toạ độ trong các trường hợp
a = 0, b = 0, c = 0 ?
y
y
y

x
O
O

x

O

x


§1. Phương trình đường thẳng(T2)

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình tổng quát lần lượt là a1x
+ b1y + c1= 0 và a2x + b2y + c2 = 0.
Số điểm chung của d1 và d2 là số nghiệm của hệ phương trình :
 a1 x  b1 y  c1 0
(I)

 a2 x  b2 y  c2 0

Ta có các trường hợp sau :
a) Hệ ( I ) có một nghiệm (x0;y0), khi đó d1cắt d2 tại điểm M0(x0;y0).
b) Hệ ( I ) vơ nghiệm khi đó d1 song song với d2.
c) Hệ ( I ) có vơ sớ nghiệm, khi đó d1 trùng d2.