toan 12

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (122.85 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Cac chuyen de ve ham so

Chuyên đề 1: Sự tơng giao của hai đồ thị
I . Bài toán cơ bản :

VD1: Cho hµm sè y =
1
1


x
x

có đồ thị là ( C )

a) Tìm m để đờng thẳng (d): y = mx + 1 cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt.
b) Tìm m để (d) cắt ( C ) tại 2 điểm thuộc hai nhánh của ( C).

VD2: Cho hàm số y = mx3 – x2 – 2x + 8m có đồ thị là ( C).

Tìm m để ( C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ thoả mãn: x < -1.
VD3: Cho hàm số: y = x4 –(3m + 4 )x2 + m2 có đồ thị là ( C )

a) Tìm m để ( C ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.

b) Tìm m để ( C ) cắt trục hồnh tại 4 điểm phân biệt có hồnh độ lập thành một cấp số cộng.
VD4: Tìm m để đồ thị của hàm số y = x3 –m(x – 1) – 1 tiếp xúc với trục hồnh.

VD5: Tìm m để (d) : y = m – x cắt ( C) : y =

1
3




x

x
x

tại 2 điểm đối xứng với nhau qua đờng phân giác thứ
nhất.

Chuyên đề 2: Tiếp tuyn vi th

I. Bài toán cơ bản:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là ( C ) . Hãy viết phơng trình tiếp tuyến của ( C ).

D¹ng 1 : BiÕt tiÕp ®iĨm M(xo,yo)



( C ) ( TiÕp tun t¹i M cđa ( C) ).
Phơng trình tiÕp tuyÕn lµ: y – yo = f(xo)(x – xo) ( y0 = f(xo) ).

D¹ng 2 : TiÕp tuyÕn cã hÖ sè gãc k cho tríc.

Cách giải 1: - Giải phơng trình f(x)k để tìm hồnh độ tiếp điểm xo
- Thế xo vào công thức dạng 1.

Cách giải 2: - PT đờng thẳng (d) có hệ số góc k là : y = kx + b

- (d) tiÕp xóc víi ( C )  hÖ















k

x

f

b

kx

x

f

)

(

)

(

cã nghiÖm.

- Giải hệ trên tìm đợc b từ đó suy ra phơng trình tiếp tuyến.

Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điểm M(,) cho trớc ( hoặc phải tìm).
Cách giải 1: - PT đờng thẳng (d) có hệ số góc k qua M là: y = k(x-



) + 

- (d) tiÕp xóc víi ( C )  hÖ

















k

x

f

x

k

x

f

)

(

)

(

)

(





(1) cã nghiÖm.

- Giải hệ ta tìm đợc k từ đó ta có phơng trình tiếp tuyến.
Chú ý: Số nghiệm của (1) chính là số tiếp tuyến của ( C ) qua M

Cách giải 2: - Gọi tiếp điểm là (xo,yo) khi đó PT tiếp tuyến là: y –yo= f(xo)(x - xo)
- Vì tiếp tuyến qua M nên ta có  f(x0)( x0)y0 (2)
- Giải (2) để tìm xo từ đó ta đợc phơng trình tiếp tuyến.

Chó ý: Sè nghiƯm cđa (2) chÝnh lµ sè tiÕp tun cđa ( C ) qua M

II. C¸c vÝ dơ :

VD1: Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) của hàm số y = x3 – 3x2 + 2 tại các giao điểm với trục ox.
VD2: Cho hàm số y =

1
4
3





x
x
x

có đồ thị là ( C ).

Viết phơng trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiÕp tun cã hƯ sè gãc lµ - 1.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Cac chuyen de ve ham so

VD4: Tìm trên đồ thị của hàm số y = x3 + 3x + 2 những điểm mà từ đó kẻ đợc đúng một tiếp tuyến với đồ thị của
hàm số.

VD5: Cho hµm sè y =

2
2

2
3
2

2
2




x

x
x

có đồ thị là ( C ). CMR tại các giao điểm của ( C ) với trục hồnh , các tiếp
với ( C ) vng góc với nhau.

VD6: Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) của hàm số y =

1
2




x

x
x

biÕt tiÕp tun ®i qua ®iĨm M( 2, 2).
VD7: Cho hµm sè y =

1
1
2
2




x

mx
x

có đồ thị là ( C ).

a) Tìm m để ( C ) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt A và B .
b) CMR tại A và B đạo hàm của hàm số thoả mãn công thức

1
2

2





x
m
x
y
c) CMR tiÕp tuyÕn cña ( C ) tại A và B luôn vuông góc với nhau.

VD8: a) CMR tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị của hàm số y = x3 + 3x2 + 2x + 3 có hệ số góc nhỏ nhất.
b) CMR tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị của hàm số y = - x3 + 3x + 2 có hệ số góc lớn nhất.

VD9: Cho hàm số y =

2
2


x
x

a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.

b) CMR trên ( C ) có vơ số cặp điểm mà ở đó tiếp tuyến song song với nhau và các cặp điểm này đối xứng
nhau qua tâm của ( C ).

VD10: Cho hµm sè y = x3 – 3x + 2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.

b) Tìm trên đờng thẳng y = 4 các điểm sao cho từ đó kẻ đợc 3 tiếp tuyến với ( C )

c) Tìm trên đờng thẳng y = 4 các điểm sao cho từ đó kẻ đợc 2 tiếp tuyến với ( C ) vng góc với nhau.
VD11: Cho hàm số y =

1
1
2 2





x

x
x

a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số

b) CMR trên đờng thẳng y = 7 có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó kẻ đợc 2 tiếp tuyến với ( C ) và tạo với
nhau một góc 45o.

Chun đề 3: Bài tốn quỹ tích.

I. C¸c vÝ dơ ¸p dơng:

VD1: Cho đồ thị ( C ) của hàm số y = x2 – 4x + 3 và đờng thẳng ( d) : y = mx trong đó m là tham số.
a) Tìm m để (d) cắt ( C ) tại 2 điểm phân bit A v B.

b) Tìm quỹ tích trung điểm của AB.

VD2: Tìm quỹ tích tâm đối xứng của đồ thị của hàm số y =

2
3




m
x

mx

VD3: Tìm quỹ tích điểm uốn của đồ thị hàm số: y = 2x3 - 3(m -2)x2 - (m - 1)x + m
VD4: Cho hàm số y =

2
3
2 2




x

m
x
x

với m là tham số.
a) Tìm m để hàm số có cực trị.

b) Tìm quỹ tích các điểm cực trị của đồ thị của hàm số.
VD5: Cho hàm số y =

2
3
4




x

x
x

a) Tìm k để đờng thẳng y = kx + 1 cắt đồ thị của hàm số tại 2 điểm phân biệt A ,B
b)Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB khi k thay đổi.

Chuyên đề 4: Phép đối xứng đồ thị
II. Các ví dụ.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Cac chuyen de ve ham so

VD2 : Chứng minh ( C ) : y = x2 + 2x + 3 và ( C/ ) : y = -x2 + 6x - 10 đối xứng nhau qua điểm I 






2
1
,

1 .

VD3: (ĐHQG Hà Nội –95): Xác định hàm số y = f(x) sao cho đồ thị của nó đối xứng với đồ thị của hàm số y =
g(x) =

2
)
1

( 2



x

x qua ®iĨm M(1,1).

VD4(ĐHBK Hà Nội –90) : Tìm m để đồ thị của hàm số y = 2 1
3

2
2





x mx m
x

có ít nhất một cặp điểm đối
xứng qua gốc toạ độ.

VD5(ĐHQG-97):Tìm các cặp điểm M1 và M2 ở trên đồ thị của hàm số y =

1
2




x

x
x

đối xứng với nhau qua

®iĨm I(0,
2
5

VD6:Tìm 2 điểm A , B nằm trên đồ thị của hàm số y = 
1


x

x và đối xứng với nhau qua đờng thẳng y = x – 1.

chuyên đề 5 : khoảng cách

1) Khoảng cách từ một điểm đến một đờng thẳng.

VD1(HVKTQS-95). Tìm trên đồ thị của hàm số y = 
2



x
x

điểm M có tổng các khoảng cách từ M đến hai trục toạ
độ là nhỏ nhất.

VD2(HVQY-95). Tìm điểm M thuộc đồ thị của hàm số y = 
2
2



x
x

sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai trục
toạ độ là nhỏ nhất.

VD3(ĐHAN-97).Tìm M trên đồ thị của hàm số y = 
3

1
2



x

x

sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai đờng tiệm
cận là nhỏ nhất.

VD4(HVQHQT-99). Tìm điểm M trên đồ thị y = 
3
2


x
x

sao cho khoảng cách từ M tới các tiệm cận đứng và ngang

bằng nhau.

VD5(ĐHQG Hà Nội –98). Tìm M thuộc đồ thị của hàm số y =

1
2
2





x
x
x

sao cho khoảng cách từ M đến trục
hoành bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục tung.

VD6(ĐHQG-HCM-2000). Tìm điểm M trên đồ thị y =

1
1





x

x
x

sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai đờng
tiệm cận là nhỏ nhất.

VD7(ĐH Ngoại Ngữ-2000). CMR tích các khoảng cách từ điểm K tuỳ ý thuộc đồ thị của hàm số y =

2
1
3




x

x
x
tới hai đờng tiệm cận luôn là một hằng số.

VD8(HVKTQS-2000). Tìm điểm M trên đồ thị y = f(x) =

2
5




x

x

x có khoảng cách đến đờng thẳng y + 3x + 6
= 0 là nhỏ nhất.

VD9(ĐH Ngoại Thơng –2001). Tìm điểm M trên đồ thị y = f(x) =

1
2
2





x
x
x

sao cho khoảng cách từ M đến
giao điểm của hai đờng tiệm cận là nhỏ nhất.

VD10(ĐHSP –2001). Tìm m để hàm số y =

1
2
2





x
mx
x

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Cac chuyen de ve ham so

2)Khoảng cách giữa hai điểm.

VD1(H Lut 95). Tỡm hai điểm E , F thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị của hàm số y =

1
1




x

x
x

sao cho
đoạn EF ngắn nhất.

VD2(H Nụng Nghip 2000). CMR ng thng (d) đi qua điểm I(0,k) có hệ số góc bằng (-1) luôn cắt đồ thị y =

2
1
2



x

x

tại 2 điểm phân biệt E và F . Tìm k để đoạn EF có độ dài nhỏ nhất.

3)Khoảng cách ngắn nhất giữa 2 đồ thị.

VD1(ĐH Mỏ ĐC –99) . Cho đờng cong ( C ) : y = 2x4 – 3x2 +2x +1 và đờng thẳng (d) có PT : y = 2x – 1.
a) CMR (d) và ( C ) khơng có điểm chung.

b) Tìm điểm A trên ( C ) có khoảng cách đến (d) là nhỏ nhất.

CHUYÊN ĐỀ 7: BIỆN LUẬN SỐ ĐỒ THỊ ĐI QUA MỘT ĐIỂM
Bài 1: CMR đồ thị hàm số 3 2

( 2) 3( 2) 4 2 1

y m x  m x  x m luôn tồn tại ba điểm cố định thẳng hàng.

Bài 2: Cho hàm số y x3 mx2 m 1

    . Viết pt tt tại điểm cố định mà dths luôn đi qua với mọi m

Bài 3 . Cho hs

2 (1 ) (1 )

, 1

x m x m

y m

x m

   

 

 .Tìm điểm cố định mà dths ln đi qua với mọi m1

.

Bài 4: Cho hàm số

2 2
2

1
1

x mx m m
y

mx m m

   



   . Tìm các điểm trên Oy sao cho khơng có bất kỳ đồ thị nào của

</div>

toan 12

<sub></sub>















<i>k</i>

<i>x</i>

<i>f</i>

<i>b</i>

<i>kx</i>

<i>x</i>

<i>f</i>

)

(

)

(



















<i>k</i>

<i>x</i>

<i>f</i>

<i>x</i>

<i>k</i>

<i>x</i>

<i>f</i>

)

(

)

(

)

(





.

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về