On Toan 12 (hoi cu nhung sd duoc)

Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng

Ch ơng I: Đạo hàm
I) Định nghĩa đạo hàm:

Bài1: Dựa vào định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại điểm x0 đà chỉ ra:
a) y = x2 + x
x0 = 2
1
x
x −1
c) y =
x +1

b) y =

x0 = 2
x0 = 0

Bài2: Dựa vào định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau đây (tại điểm x ∈ R)
a) y = x - x
b) y = x3 - x + 2
c) y = x3 + 2x

c) y =

2x − 1
x −1

Bµi3: TÝnh f'(8) biÕt f(x) = 3 x
Bài4: Cho đờng cong y = x3. Viết phơng trình tiếp tuyến với đờng cong đó, biết:

a) Tiếp điểm là A(-1; -1).
b) Hoành độ tiếp điểm bằng 2.
c) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 3x + 5.
d) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = -

x
+1
12

Bµi5: Cho f(x) = x(x + 1)(x + 2)…(x + 2004).
Dùng định nghĩa đạo hàm tính đạo hàm f'(-1000)
II) các phép tính đạo hàm:

Bài1: Tính các đạo hàm của các hµm sè sau:
1) y = (x 2 − 3x + 4 ) (x 3 − 2x 2 + 5x − 3)
2) y = ( 2x + 1)( 3x + 2)( 4x + 3)( 5x + 4)
3) y = (x 3 − 3x 2 + 3x + 1)2 − 2( x − 1) 3
4) y =

(

( 2x + 1) 4 + ( 3x + 2) 4 − x 2 − 4x + 3

5) y = ( x + 1) 2 ( x + 2) 3 ( x + 3) 4
7) y =

6) y =

x3 − x
4

9) y =  2x + 1  +  1 + x 




11) y = ( 1 + x )
13) y =

3
4

2x 2 − 5 x + 6
− 3x + 4

8) y =

x3 + x + 1

 x−1 

)3

4

10) y =

1− x

2+x

23

x − 15 x − 3
x − 26 x − 6

3+x

3

12) y =

( x + 1) 3
x2 − x + 1

x + x2 + 1
1 + x2 − x

+

x2 + 1 − x
x + 1 + x2

1 + x3
1 − x3

14) y =

sin x − cos x
sin x + cos x

Trang:1


Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng
15) y = sin[ sin( sin x ) ]
17) y =

16) y =

5) y =

)

2
3 3
3
1 − 1 + x 2  + 3 ln 1 + 1 + x 2







2

Bài2: Tính các đạo hàm của các hàm số sau:
1) y = x ln x


3) y = 


(

2
1 − x 2

1+x
sin x −
cos x e − x

2
 2


2x

4) y =

2
1 +x 



2) y =
x

x +x

x

x

sin x cos x
+x

x

x

x

1 + x3 3 + x4 2 + x
5
x − 47 x 5

III) đạo hàm một phía và điều kiện tồn tại đạo hàm:

Bài1: Cho f(x) =

x
1+ x

Bài2: Cho f(x) =

x x +2 .

.

TÝnh f'(0)
TÝnh f'(0)

 1 − cos x

Bµi3: Cho f(x) =  x
 0

nÕu x ≠ 0
nÕu x = 0

1) Xét tính liên tục của f(x) tại x = 0.
2) Xét tính khả vi của f(x) tại x = 0.
Bµi4: Cho hµm sè: f(x) =

x2 − 2 x + 3
3x 1

.

Chứng minh rằng f(x) liên tục tại x = -3 nhng không có đạo hàm tại x = -3.

 ( x + 1) e − x nÕu x > 0
Bài5: Cho f(x) =
. Tìm a để f'(0)
2
- x - ax + 1 nÕu x ≤ 0
Bµi6: Cho f(x) =

 a cos x − b sin x nÕu x ≤ 0


nÕu x > 0
 ax + b + 1

IV) đạo hàm cấp cao:

Bài1: Cho f(x) =
Bài2: Cho f(x) =
Bµi3: Cho f(x) =

Trang:2

2

x − 3x + 2
2

2x + x − 1

.

TÝnh: f(n)(x)

− 3x 2 + 4 x − 8
x 3 − 6 x 2 + 11x − 6
2x 3 + x 2 − 4 x − 9
4

2

x − 7 x + 10

.

.

TÝnh: f(n)(x)
TÝnh: f(n)(x)


Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phịng
Bµi4: Cho f(x) =

2

3x − 5 x − 11
4

2

x − 9 x + 18

.

TÝnh: f(n)(x)

Bµi5: Cho f(x) = cosx.
TÝnh: f(n)(x)
Bµi6: Cho f(x) = cos(ax + b).
TÝnh: f(n)(x)

Bµi7: Cho f(x) = x.ex.
TÝnh: f(n)(x)
Bµi8: Cho f(x) = x 3 ln x .
TÝnh: f(n)(x)
Bµi9: Cho f(x) = ln( ax + b ) .
TÝnh: f(n)(x)
V) đẳng thức, phơng trình, bất phơng trình với các phép toán đạo
hàm:
1
Bài1: Cho y = ln
.

CMR: xy' + 1 = ey

1+x

Bµi2: Cho y = e −x sin x .
CMR: y'' + 2y' + 2y = 0
Bµi3: Cho y = sin(lnx) + cos(lnx). CMR: y + xy' + x2y" = 0
Bµi4: Cho f(x) = sin32x ; g(x) = 4cos2x - 5sin4x. Giải phơng trình: f'(x) = g(x)
1
Bài5: Cho f(x) = 5 2x +1 ; g(x) =
2

Bµi6: Cho y =

5 x + 4 x ln 5 .

Giải bất phơng trình: f'(x) < g'(x)

x2 x 2
+
x + 1 + ln x + x 2 + 1
2 2

CMR: 2y = xy' + lny'
IV) dùng đạo hàm để tính giới hạn:

Tìm các giới hạn sau:
1) A =

3

3

x2 + x + 1 − x3 + 1
lim
x
x→ 0

1 + 2x − 3 1 + 2x
3) lim
2
x→0

x

2

2)

4)

lim

x →0

3 x − cos x
x2

1 − 2x + 1 + sin x
x→0
3x + 4 − 2 − x
lim

Ch ¬ng II: Khảo sát hàm số và các ứng dụng
II) Tính đơn điệu của hàm số:
1) Tìm điều kiện để hàm số ®¬n ®iƯu:
2)

Trang:3


Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
Bài1: Tìm m để hàm số: y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m nghịch biến trên (-1; 1)
Bài2: Tìm m để hàm số: y = x3 - 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2
®ång biÕn trªn (- ∞ ; -1] ∪ [2; + ∞ )
Bài3: Tìm m để hàm số: y =

3

mx
2
+ 2( m − 1) x + ( m − 1) x + m
3

đồng biến trên (- ; 0) [2; + )
Bài4: Tìm m để hàm số: y =

m1 3
2
x + mx + ( 3m − 2 ) x
3

®ång biÕn trên R

Bài5: Tìm m để hàm số: y = x3 - 3(m - 1)x2 + 3m(m - 2)x + 1 đồng biến trong các khoảng
thoả mÃn: 1

x

2

2) Phơng pháp hàm số giải quyết các bài toán chứa tham số:

Bài1: Cho phơng trình: x2 - (m + 2)x + 5m + 1 = 0
1) Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm thoả mÃn: x > 1.
2) Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm thoả mÃn: x > 4.
3) Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm thoả mÃn: x < 2.
4) Tìm m để phơng trình có nghiệm (-1; 1).
Bài2: Tìm a để phơng trình: (a + 1)x2 - (8a + 1)x + 6a = 0 cã đúng 1 nghiệm (0;1)

Bài3: Tìm m để phơng trình:

9

2x 2 − x

− m .6

2x 2 − x

+ ( 3m 8 ) 4

2x 2 x

=0

có nghiệm thoả mÃn:

x



1
2

Bài4: Tìm m để phơng trình: 3 + x + 6 − x − ( 3 + x )( 6 − x ) = m có nghiệm
Bài5: Tìm m để phơng tr×nh: cos2x - (2m + 1)cosx + m + 1 = 0 cã nghiƯm
π 3π 

2 2 


x∈  ;

Bµi6: Tìm m để phơng trình:

log 2 x + log 2 x + 1 − 2m − 1 = 0
3
3

x ∈ [1;3 3 ]
Bài7: Tìm m để các phơng trình sau cã nghiÖm:
1) ( x − 1)( x − 2) (x 2 − 3x + m ) = 2
2) x 4 − 2mx 3 + ( m + 4) x 2 2mx + 1 = 0
Bài8: Tìm a để:

3x 2 − 1
= 2x − 1
2x − 1

cã Ýt nhÊt mét nghiệm

+ ax có nghiệm duy nhất

Bài9: Tìm m sao cho: (x + 3)(x + 1)(x2 + 4x + 6) ≥ m nghiệm đúng với x
Bài10: Xác định a để bất phơng trình: -4 ( 4 x )( 2 + x ) ≤ x2 - 2x + a - 18 nghiệm đúng với
x [-2; 4]
Bài11: Tìm m để:

Trang:4

x 2 + 3x − 3
1
( m − 1)  
 
 2

− cos 2 x

1 + sin 2 x

+2

+ 2m

< 0 ∀x


Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
Bài12: Tìm m để

9

2x 2 x

( 2m + 1) .6

2x 2 x

Bài13: Tìm m để bất phơng tr×nh:

+ m4

2x 2 − x

mx − x − 3

1
≤ 0 nghiệm đúng với x thoả mÃn: x

2

m + 1 có nghiệm

3) Sử dụng phơng pháp hàm số để giải phơng trình, bất phơng trình, hệ
phơng trình, hệ bất phơng trình:

Bài1: Giải các phơng trình và các bất phơng tr×nh sau:
1) x + 9 > 5 − 2x + 4
2)

(

2
2
log 2  x − 5x + 5 + 1  + log 3 x − 5 x + 7





)≤2

 3x 2 + 2x 1 < 0
Bài2: Giải hệ bất phơng trình:
x 3 3x + 1 > 0

()

 log 2 x − log 2 x 2 < 0
2
Bài3: Giải hệ bất phơng trình:
13 2
x − 3x + 5x + 9 > 0
3
 x = y3 + y2 + y 2


3 2
Bài4: Giải hệ phơng trình: x = z + z + z − 2

3
2
z = x + x + x − 2

4) Chứng minh bất đẳng thức:

Chứng minh các bất đẳng thøc sau:
1) 1 − x

2

2

2)

< cos x < 1 −

x

e >1+ x +

x 2 x4
+
2 24

∀x > 0

n

2

x
x
+ ... +
2
n!

3) 1 - x ≤

e −x

≤ 1-x+

4) 1 - x ≤

e −x
≤
1+x

2

5) ln( 1 + x ) > x − x

∀x > 0; ∀n ∈ N*
x2
2

∀x ∈ [0; 1]
x

4

1 - x + 2( 1 + x )

2

2

x −1

6) ln x <
x

∀x [0; 1]
x > 0
x > 1

III) cực trị và các ứng dụng:

Bài1: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau đây:
Trang:5


Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng
1) y = x3 + 4x

2) y =

2

x + 4x + 5
x+2

3) y =

ex + e−x
2

4) y = x3(1 - x)2

Bài2: Tìm cực trị nếu có của mỗi hàm số sau đây (biện luận theo tham số a)
1) y = x3 - 2ax2 + a2x

2) y = x - 1 +
2

x + 2x + m

Bµi3: Chøng minh r»ng hµm sè: y =

a
x 1

luôn có một cực đại và một cực tiểu với

2

x +2

mọi m.
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Bài1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các hàm số:
1) y = sinx(1 + cosx)
2) y = sin4x + cos4x + sinxcosx + 1
π π



3) y = 5cosx - cos5x víi x ∈ − ;
4 4

Bài2: Cho phơng trình: 12x2 - 6mx + m2 - 4 +

4) y =
12
m

2

6

6

4

4

1 + sin x + cos x
1 + sin x + cos x

=0

Gäi x1, x2 là nghiệm của phơng trình. Tìm Max, Min của: S =
Bài3: Cho a.b 0. Tìm Min của: y =

a4
b4

3

 a2 b2  a b
− 2 + 2+ +


a4  b
a  b a
y
x
Min cña: S = y + 1 + x + 1

+

Bµi4: Cho x, y ≥ 0; x + y = 1. Tìm Max,

3

x1 + x 2

b4

Bài5: Cho x, y ≥ 0; x + y = 1. Tìm Min của: S =

y
x
+
1x
1y

Bài6: Tuỳ theo a tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y = sin6x + cos6x + asinx.cosx

IV) tiệp cận:

Bài1: Tìm tiệm cận của các hàm số:
1) y =
4) y =

2

x + 3x + 2

2) y =

2

2x + x − 1

2+x
9−x

5) y =

2

3

x + x +1
2

x +1

x ( 2 x − 1)

( 2 − x) 2

3) y =
6) y =

x
2 −x
x2 + 1

Bài2: Tìm các tiệm cận của hàm số (biện luËn theo tham sè m)
1) y =

x2 − 4
2

x − mx + 1

Bµi3: Cho (C): y =

2) y =

x+2
2

x − 2mx + 3

ax 2 + ( 2a + 1) x + a + 3
,

x−2

a ≠ -1; a ≠ 0. Chøng minh rằng tiệm cận xiên của

(C) luôn đi qua một điểm cố định
Bài4: Cho đồ thị (C): y = f(x) =

Trang:6

2

2x − 3x + 2
x −1


Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
1) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M (C) đến hai tiệm cận luôn không
đổi.
2) Tìm M (C) để tổng khoảng cách từ M (C) đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ
nhất.
V) Khảo sát và vẽ đồ thị:

Bài1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1) y = 2x3 + 3x2 - 1
2) y = x3 + 3x2 + 3x + 5
3) y = x3 - 3x2 - 6x + 8
4) y = -x3 + 3x2 - 4x + 3
5) y = - x

3

- x2 + 3x - 4

3

Bài2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1) y = x4 - 2x2
2) y = -x4 + 2x2 - 1
3) y = x4 +

3 2
x
10

+1

4) y =



x4
2

- x2 + 1

Bài3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1) y =

− 2x − 4
x +1

2) y =

2x + 1
x 3

Bài4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
2

1) y =

x + 3x + 3
x+2

3) y =

x + 2x
x +1

2

2) y =
4) y =

2

x
x 1
x + 6x + 13
2x + 1

2

Bài5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hµm sè sau:
1 4 1 3
2 5
1) y = x − x − x +
4

3) y =
5) y =

3

3

2

2x + 4 x + 5

2) y =
4) y =

2

x +1
x 2 + 2x + 1

2x 2 − 8 x + 11
x 2 − 4x + 5

2

x − 9 x + 14
2

x − 15 x + 50

6) y = x +

2x 2 2x

2

2x + 1

VI) phép biến đổi đồ thị:

Vẽ đồ thị của các hàm số:
1) y =

x 2 x +1
x +1

3) y =

x 2 − 3x + 3
x −2

5) y =
7)

2) y =

4) y =

2

x +x
2 x −1

(

y = x −1 x 2 + x − 2

x2 − 2 x + 9
x −2

6) y =

)

x 2 − 5x + 5
x −1

x +1
x −1

Trang:7

Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng

VII) tiếp tuyến:
1) Phơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị

Bài1: Cho hàm số: y = x3 - 1 - k(x - 1) (1)
1) Tìm k để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành;
2) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (1) tại giao điểm của nó với trục tung. Tìm k
để tiếp tuyến đó chắn trên các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 5
Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyÕn cña (C): y = x 2 + 2x + 4 + cos x tại giao điểm của đờng
cong với trơc tung.
Bµi3: Cho (Cm): y = f(x) = x3 + 3x2 + mx + 1
a) Tìm m để (Cm) cắt đờng thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E.
b) Tìm m để các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.

(C) : y = f ( x ) = ( x + 1) 2 ( x − 1) 2
Bµi4: Cho 2 đồ thị
(P) : y = g( x ) = 2x 2 + m
1) Tìm m để (C) và (P) tiếp xúc với nhau.
2) Viết phơng trình tiếp tuyến chung tại các tiếp điểm chung của (C) với (P).
Bài5: Cho đồ thị (C): y = f(x) =

1 4
5
x - 3x2 +
2
2

1) Gäi t lµ tiÕp tun cđa (C) tại M có xM = a. CMR: hoành độ các giao điểm của t với
(C) là nghiệm của phơng trình: ( x − a ) 2 (x 2 + 2ax + 3a 2 − 6) = 0

Trang:8


Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
2) Tìm a để t cắt (C) tại P và Q phân biệt khác M. Tìm quỹ tích trung điểm K của
PQ.
2
Bài6: Tìm m để tại giao điểm của (C): y = ( 3m + 1) x − m + m víi trơc Ox tiÕp tun cđa (C)

x+m

song song víi (): y = x - 10. Viết phơng trình tiếp tuyến đó.
2x 1
x 1

Bài7: Cho (C) : y =

và M bất kỳ thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. tiếp

tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B.
1) CMR: M là trung điểm của A và B.
2) CMR: SIAB không đổi
3) Tìm m để chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài8: Cho (C): y =

2

2x − 3x + m
x −m

(m ≠ 0, 1)

Chứng minh rằng tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Oy cắt tiệm cận đứng tại điểm
có tung độ b»ng 1
Bµi9: Cho (C): y =

2

− 3x + mx + 4
4x + m

Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0 vuông góc với tiệm cận của đồ thị (C).
Bài10: Cho đồ thị (C): y =

2

x + 2x + 2
x +1

1) §iĨm M ∈ (C) víi xM = m. Viết phơng trình tiếp tuyến (tm) tại M.
2) Tìm m để (tm) qua B(1; 0). CMR: có hai giá trị của m thoả mÃn yêu cầu bài toán
và hai tiếp tuyến tơng ứng vuông góc với nhau.
3) Gọi I là giao điểm của hai đờng tiệm cận. Tiếp tuyến tại M với (C) cắt hai đờng
tiệm cận tại A và B. CMR: M là trung điểm của AB và diện tích IAB không phụ thuộc
vào vị trí điểm M trên (C).
2) Phơng trình tiếp tuyến có hệ số góc cho trớc

Bài1: Viết phơng trình tiếp tuyến với ®å thÞ (C): y = x 3 - 3x2 biÕt tiếp tuyến vuông góc với
đờng thẳng: y =

1
x.
3

Bài2: Cho hàm sè (C): y = f(x) =

x4
2

- x3 - 3x2 + 7

Tìm m để đồ thị (C) luôn có ít nhất hai tiếp tuyến song song với đt: y = mx
Bài3: Cho (C): y =

2

x + 3x + 3
.
x+2

Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đờng

thẳng (): 3y - x + 6 = 0

Trang:9


Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
Bài4: Viết phơng trình tiếp tuyến của (C): y =
x

3

2

2x 3x 1
4x + 3

vuông góc với đờng thẳng: y = -

+2

Bài5: Cho đồ thị (C): y =

2

x + 2x 1
x 1

Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với tiệm cận xiên của nó. Chứng minh
rằng tiếp điểm là trung điểm của đoạn tiếp tuyến bị chắn bởi hai tiệm cận.
Bài6: Cho (Cm): y = x4 + mx2 - m - 1
Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đờng thẳng y = 2x với A là điểm cố
định của (Cm) có hoành độ dơng.
Bài7: Cho đồ thị (Ca): y =

2

x + 3x + a
x +1

Tìm a để (Ca) có tiếp tuyến vuông góc với đờng phân giác của góc phần t thứ nhất
của hệ toạ độ.
Bài8: Cho (C): y =

2

2x x + 1
.
x +1

CMR: trên đờng thẳng y = 7 có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm

đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến lập với nhau góc 450.
3) Phơng trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trớc đến đồ thị

19
;4 đến đồ thị (C): y = f(x) = 2x3 + 3x2 + 5
 12

Bài1: Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A


Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(0; -1) ®Õn (C): y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x 1
Bµi3: Cho hµm sè (C): y = f(x) = x3 + 3x2 + 2
1) Viết phơng trình tiÕp tuyÕn ®i qua A  −



23
;−2  ®Õn (C).



9

2) Tìm trên đờng thẳng y = -2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Bài4: Cho (C): y = -x3 + 3x + 2
Tìm trên trục hoành các điểm kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Bài5: Cho đồ thị (C): y = f(x) = x4 - x2 + 1
Tìm các điểm A Oy kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Bài6: Tìm trên đờng thẳng x = 3 các điểm kẻ đợc tiÕp tun ®Õn (C): y =
ViiI) øng dơng cđa ®å thị:
1) Xét số nghiệm của phơng trình:

Bài1: Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: 3x - 4x3 = 3m - 4m3
Bài2: Tìm m để phơng trình: x3 - 3x + 2 + m = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biƯt
Trang:10

2x + 1
x +1


Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
Bài3: Tìm a để phơng trình: x3 - 3x2 - a = 0 có ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng 2
nghiệm lớn hơn 1.
Bài4: Biện luận theo b số nghiệm của phơng trình: x4 -2x2 - 2b + 2 = 0
Bµi5: BiƯn ln theo a sè nghiƯm cđa phơng trình: x2 + (3 - a)x + 3 - 2a = 0 và so sánh các
nghiệm đó với -3 và -1
Bài6: Tìm m để 2x 2 +10x 8 = x2 - 5x + m cã 4 nghiƯm ph©n biƯt.
2) Sự tơng giao của hai đồ thị hàm số:

Bài toán về số giao điểm
Bài1: Tìm k để đờng thẳng y = kx + 1 cắt đồ thị: y =

2

x + 4x + 3
x+2

tại hai điểm phân biệt.

Bài2: Tìm m để ®å thÞ: y = x3 + 3x2 + mx + 1 cắt đờng thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt.
Bài3: Cho (Cm): y = x3 - 2mx2 + (2m2 - 1)x + m(1 - m2)
Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dơng
Bài4: Cho (Cm): y = f(x) = x3 - 3mx2 + 3(m2 - 1)x - (m2 - 1)
Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dơng
Bài5: Cho (Cm): y = f(x) = x3 - 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x - (m3 + 1)
Tìm m để (Cm) cắt Ox tại đúng một điểm.
Bài6: Tìm m để (Cm): y = x3 + m(x2 - 1) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
1
Bài7: Tìm m ®Ó (Cm): y = x 3 - x + m cắt Ox tại ba điểm phân biệt
3
Bài8: Tìm m để (Cm): y = x3 + 3x2 - 9x + m cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
Bài9: Tìm m để (Cm): y = x3 - 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x - m3 - 1 cắt Ox tại đúng 1 điểm
Bài toán về khoảng cách giữa các giao điểm
Bài1: Tìm m để (Cm): y = f(x) = x3 - 3mx2 + 4m3 cắt đờng thẳng y = x tại ba điểm phân biệt
lập thành cấp số cộng.
Bài2: Tìm m ®Ó (Cm): y = f(x) = x3 - (2m + 1)x2 - 9x cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt lập
thành cấp số cộng.
Bài3: Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (C): y = x4 - 5x2 + 4 t¹i A, B, C, D
phân biệt mà AB = BC = CD

3) Các điểm đặc biệt:

Bài1: Tìm điểm cố định của (Cm): y = x3 - (m + 1)x2 - (2m2 - 3m + 2)x + 2m(2m - 1)
Bµi2: CMR: (Cm): y = (m + 2)x3 - 3(m + 2)x2 - 4x + 2m - 1 có 3 điểm cố định thẳng hàng.
Viết phơng trình đờng thẳng đi qua ba điểm cố định đó.

Trang:11


Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phịng
Bµi3: CMR: (Cm): y = (m + 3)x3 - 3(m + 3)x2 - (6m + 1)x + m + 1 có 3 điểm cố định thẳng
hàng. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua ba điểm cố định đó.
Bài4: Cho họ ®å thÞ (Cm): y =

2

x − 2mx + m + 2
xm

Tìm các điểm trên Oy mà không có đồ thị nào của (Cm) đi qua.
Bài5: Cho họ (Cm): y =

2

x 2mx + m + 2
xm

Tìm các điểm Oxy mà không có đồ thị nào của (Cm) đi qua
Bài6: Cho (Cm): y = 2x3 - 3(m + 3)x2 + 18mx + 6. CMR: trªn Parabol (P): y = x 2 + 14 có 2
điểm mà không có đồ thị nào của (Cm) đi qua.

Bài7: Cho họ đồ thị (Cm): y =

2

x + mx m
xm

2

Tìm các điểm Oxy cã ®óng 2 ®êng cong cđa hä (Cm) ®i qua.
Bài8: Tìm M (C): y =

2

x + x 1
x+2

có toạ độ là các số nguyên.
4) quỹ tích đại số:

Bài1: Cho (Cm): y = x3 + 3x2 + mx + 1

(C): y = x3 + 2x2 + 7

CMR: (Cm) lu«n cắt (C) tại A, B phân biệt. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB
Bài2: Cho (C): y =

2

x + 4x + 3

x+2

và đờng thẳng (D): y = mx + 1.

Tìm m để (D) cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB.
Bài3: Tìm m để (Cm): y =

x 2 ( 2m + 3) x + 6
x2

có cực đại, cực tiểu và tìm quỹ tích cực đại, cực

tiểu.
Bài4: Cho họ đồ thÞ (Cm): y =

2

2

x − ( 2m + 1) x + m − m
2

2

x + m + 4m + 5

. Tìm quỹ tích giao điểm của (Cm) với

các trục Ox, Oy khi m thay đổi.
Bài5: Cho (C): y = x3 - 3x2 và đờng thẳng d: y = mx. Tìm m để d cắt (C) tại ba điểm phâm

biệt A, O, B. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB.
Bài6: Tìm quỹ tích cực đại, cực tiểu của y =

2

x + mx m 1
x +1

Bài7: Tìm quỹ tích tâm đối xứng của (Cm): y = mx3 - 2(m + 1)x2 + 2(m - 3)x + m - 1
5) tâm đối xứng, trục đối xứng:

Bài1: Tìm m 0 ®Ó (C): y = - x

3

m

+ 3mx2 - 2 NhËn I(1; 0) là tâm đối xứng.

Bài2: Cho (Cm): y = x3 + mx2 + 9x + 4
nhau qua gèc to¹ độ.
Trang:12

Tìm m để trên (Cm) có một cặp điểm đối xøng


Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
2

x +x+2

x 1

Bài3: Tìm trên (C): y =

5
các cặp điểm ®èi xøng nhau qua I  0; 




Bµi4: CMR: ®êng thẳng y = x + 2 là trục đối xứng của đồ thị: y =
Bài5: Cho hàm số: y =

2

x 1
x +1

2

x
x 1

Tìm hai điểm A, B nằm trên đồ thị và đối xứng nhau qua đờng thẳng: y = x - 1

Ch ơng III: Tích phân
I) nguyên hàm:
1) Xác định nguyên hàm bằng công thức:

Bài1: CMR hàm số: F(x) = x − ln( 1 + x ) lµ mét nguyên hàm của hsố: f(x) =

Bài2: CMR hàm số: y =

x 2
a
x + a + ln x + x 2 + a
2
2

với a 0

là một nguyên hàm của hàm số: f(x) = x 2 + a
Bài3: Xác định a, b, c để hàm số: F(x) = (ax 2 + bx + c)
f(x) =

x
1+ x

là một nguyên hàm của hàm sè:

2x − 3

20 x 2 − 30 x + 7
2x 3

Bài4: Tính các nguyên hàm sau đây:
2

4 x 5 − 3x 4 − 1

1 

1) ∫  x +
dx

3 

x

2)

∫

3
 x + 1  dx
3) ∫ 


x

4)

∫(

5)

∫(

3

)

x + 1 ( x - x + 2 ) dx

4
 x 2 + 1  dx
7) ∫ 


x

9)

∫ (ax

3

)

2

+ b dx

x

4

dx

)3

x + 23 x dx

3
 x + 1  dx
6) ∫ 


x

8) ∫ x
10)

∫

2

+ 4x
dx
x

x4 + x−4 + 2
x

3

11) ∫ x ( x + a )( x + b ) dx

12) ∫ 2 x e x dx

13)

14)

dx

15)

(2 x − e x ) 2 dx
∫
∫

e x + e - x − 2dx
x-1

dx
17) ∫
x +1

∫

16) ∫
18) ∫

e x + e - x + 2dx
e 2-5x + 1
ex

dx

1 - cos2xdx

Trang:13


Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
2

19) 4sin x dx
1 + cosx
2) Phơng pháp đặt ẩn phụ:

Tính các nguyên hàm sau đây:
2x 4
dx
1) ( 3x + 1) 4 dx
2) ∫ 2
x − 4x + 2
2x
dx
dx
3) ∫
4) ∫
2
xlnx
x + x −1
6)

7)
9)

∫

∫

x
1+ x

dx
2

x3
x 2 − 2x + 1

(e x + 1) 3 dx
∫

8)

5) ∫ x x + 1dx

∫

x+4
2

x − 2x + 1

dx

x +1

dx

10) ∫
x −2

dx

xdx

11) ∫ (
x + 1) 3

12) ∫ x

x

13) ∫cos 4 xdx

14) ∫

2

15) ∫ x

16) ∫

2x - 1dx

17) ∫ (2x 3 +1)

3

21)

∫

cos 2 x

+1dx

dx
sin xcos 2 x
x 3 dx

(x 4 − 4)2

18) ∫ sin 5 x cos xdx

x 2 dx

20)

dx

23) ∫ x 3 3 1 + x 2 dx

24)

∫

1
e

x

22)

19) ∫ tg 3 xdx
e tgx

2

∫

1
1− x

x

dx

ln
2

1+ x
dx
1− x

dx

∫ x ln x. ln( ln x )

25) x x - 1dx

3) Phơng pháp nguyên hàm từng phần:

Tính các nguyên hàm sau đây:
1) ( 2x + 1) cos xdx
3) ∫ ln xdx

4) ∫ e x sin xdx

5) ∫ cos( ln x ) dx

Trang:14

2) ∫ x 2 e x dx

6) ∫ xe

x

dx


Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng
1 
 1
7) ∫  2 −
8) ∫ e 2x sin 2 xdx
dx
 ln x ln x 
1+ x
9) ∫ x ln

dx
1 x
4) Nguyên hàm hàm hữu tỷ:

Bài1: Tính các nguyên hàm sau đây:
1)



3)



5)



x2
x2 + 1
x

2)

2

x + x+1
dx

dx

x 2 − 3x + 2
x +1
dx (a ≠ 0)
7) ∫ 2
x − a2
x+1
dx
9) ∫ 3
x −1
x+1
dx
11) ∫ 2
x ( x - 1)
13)
15)

x3 − 1

∫

4x 3 − x

∫

(x

x7
4

+1

)

Bµi2: 1) Cho hµm sè y =

∫

6)

∫

8)

∫

dx
2

x + x +1
dx
x2 − a2
x2 + x + 1
x 2 − 3x + 2
dx

dx

x3 − 1

10) ∫
12)

∫

14)

dx

2

∫

4)

dx

∫

dx
4

x + 4x 2 + 3

dx
x 2 + 2x - 3
xdx
x 4 − 3x 2 + 2

dx

2

3x + 3 x + 3
3

x 3x + 2

a) Xác định các hằng số A, B, C ®Ĩ:
A

B

C

+
+
y= (
x − 1) 2 ( x 1) x + 2
b) Tìm họ nguyên hàm của hàm y
Bài3: a) Xác định các hằng số A, B sao cho
3x + 1

( x + 1)

3

=

A

( x + 1)

3

+

B

( x + 1) 2
3x + 1

b) Dựa vào kết quả trên để tìm họ nguyên hàm của hàm số : f(x) = (
x + 1) 3
5) Nguyên hàm hàm lợng giác:

Tính các nguyên hàm sau đây:
Trang:15


Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng
dx
1) ∫
2) ∫ sin 2 xdx
sin x. cos x
dx
x
3) ∫
4) ∫ cos x. cos dx
cosx
2

dx
dx
5) ∫
6) ∫ 2
2
sin x + 2sinxcosx - cos x
4sinx + 2cosx + 5
7) ∫ cos 6 xdx
9)

∫

11)

8) ∫ tg 5 xdx

dx

10)

cos 6 x
cos2x

∫

2

2

dx

cos x.sin x
13) ∫ sin2x.cos3xdx

∫

12)

∫

dx
sin 6 x
dx

sin 2 x. cos 2 x
14) ∫ cosx.cos2x.sin4xdx

15) ∫ cos 3 x. sin 8xdx

16) ∫ cos 2 xdx

17) ∫ sin 3 xdx

18) ∫ tg 2 xdx

19) ∫ sin 2 x.cosxdx

20)

21) ∫ 4 cos

sin x +

2

∫

tgx
3

cos x

dx

x +1
3 cos x

6) Nguyên hàm hàm vô tỷ:

Tính các nguyên hàm sau đây:
dx

1)
3)



7)
9)

dx

x ( x + 2)



5)

4 x

2)
x +1 x −1
dx
4) ∫
x 1- x

x + 1 dx
x-1 x +1

6)

∫

∫

dx
x+1+3 x+1

8)

∫

4 − x 2 dx

10)

x+1+2

∫

11)

3

∫

II) tÝch ph©n :

Trang:16

dx

2

dx
− 3x 2 + 4 x − 1

2

( x + 1) − x + 1
dx
x +1+ x +1

∫

− 4x − x 2 dx

dx


Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
1) Dùng các phơng pháp tính tích phân:

Bài1: Tính các tÝch ph©n sau:
π

1) ∫ cos

4

π
2

2) ∫ cos 2x (cos 4 x + sin 4 x )dx

xdx

0

3)

0

π
2

π

sin x + 7 cos x + 6
∫ 4 sin x + 3 cos x + 5 dx
0

4) ∫ x cos

x cos 5xdx

0

π
2

π
4

5) ∫ cos 3 x sin 2 xdx

6) ∫ sin 4 xdx

0

Bµi2: Cho f(x) =

3

0

sin x
sin x + cos x

cos x − sin x 

 cos x + sin x 

1) T×m A, B sao cho f(x) = A + B 

π
3

2) TÝnh: I = ∫ f ( x ) dx
0

sin 2x

Bµi3: Cho hµm sè: h(x) = ( 2 + sin x ) 2
A cos x

B

1) Tìm A, B để h(x) = ( 2 + sin x ) 2 + 2 + sin x
0

∫

2) TÝnh: I = πh( x ) dx
2

Bµi4: Cho hµm sè: f(x) = 4cosx + 3sinx ;
1) T×m A, B ®Ó g(x) = A.f(x) + B.f'(x)

g(x) = cosx + 2sinx

π
4 g( x )

2) Tính: I =
dx
f( x)
0
Bài5: Tính các tÝch ph©n sau:
1

1) ∫
0

3)

1

xdx

2) ∫ x

x 2 +1

2

0

1

e

x

x

e x dx

1

e x −1

4) ∫

0

4

(x 4 − 1)5 dx

e

2

∫ x 4 − x dx

5)

3

e

6)

dx

1

1 + ln x
dx
x

Bài6: Tính các tích ph©n sau:
π
2

1) ∫

cos x

0 ( 1 + sin x )

4

dx

π
2

2) ∫ sin 3 x cos xdx
0

Trang:17


Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng

π
2

π
4

3) ∫ cos 5 xdx

4) ∫ tg 6 xdx

0

π
4

dx

5) ∫

0 1 + sin

π
4

2

6) ∫ dx
2 + sin x

x

0

2

8) ∫

dx

7) ∫

0a
1

0

π
2

9) ∫2

2

cos 2 x + b 2 sin 2 x
1 − x2
x2

2

4 − x dx

0

π
2

dx

cos xdx
2 + cos 2x

10) ∫
0

2

Bµi7: TÝnh các tích phân sau:

4


2

1) x (2 cos 2 x − 1)dx

2) ∫ e 2x sin 3xdx

0

0

e

1

2x
3) ∫ ( x + 1) 2 e dx

4) ∫ ( x ln x ) 2 dx

0

5) ∫ x ln(x
1

2

π
2

)

+ 1 dx

0
e

1

6) ∫ cos x ln( 1 + cos x ) dx
0

1
9

ln x

∫
7) 1 ( x + 1) 2 dx

8) ∫  5 3x +

0

e

x
2

sin ( 2x + 1)

+

5

1 
 dx
4x − 1 


2) Tính phân và đẳng thức:
a

Bài1: CMR: Nếu f(x) là hàm lẻ liên tục trên [-a; a] thì: I = f ( x ) dx = 0
−a

1

3

 ln x + x 2 + 1   dx

 

 
−1

VD: TÝnh: I =

Bài2: CMR: Nếu f(x) là hàm chẵn liên tục trên [-a; a] thì: I =

a

a

a

0

f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx

a

f ( x ) dx

a

b +1

Bài3: CMR: Nếu f(x) là hàm chẵn liên tục trên R thì: I =
2

VD: Tính: I = ∫

−2

4

VD: TÝnh: I = ∫

x

2 +1

x sin x

0 9 + 4 cos

2

Bài5: (Tổng quát hoá bài4)
Trang:18

0

2

x + 2x + 1

dx

Bài4: Cho f(x) là hàm số liên tục trên [0; 1]. CMR:
π

x

a

= ∫ f ( x ) dx

x

dx

π

∫ xf ( sin x ) dx =

0

π

π
∫ f ( sin x ) dx
20


Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
b

Nếu f(x) liên tục và f(a + b - x) = f(x) th× I = ∫ xf ( x ) dx =
a

b

a +b

∫ f ( x ) dx
2 a

b

Bµi6: NÕu f(x) liên tục và f(a + b - x) = -f(x) th×: I = ∫ f ( x ) dx = 0
a

π
2

π
4

VD: TÝnh: I = ∫ ln 1 + sin x dx


 1 + cos x 

J = ∫ ln( 1 + tgx ) dx

0

0

2
2
Bài7: Nếu f(x) liên tục trên 0;  th×: ∫ f ( sin x ) dx = ∫ f ( cos x ) dx
 2


0

π
2

cos n xdx

VD: TÝnh: I = ∫

0 cos

n

0

π
2

x + sin n x

sin n xdx

J= ∫

0 cos

n

x + sin n x

Bµi8: NÕu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kỳ T th×:
VD: TÝnh: I =

a +T

T

a

0

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx

2004 π

∫

1 − cos 2xdx

0

3) Tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối:

Bài1: Cho các hàm số: f(x) = 3x3 - x2 - 4x + 1

1) Giải bất phơng trình: f(x) g(x).

;

g(x) = 2x3 + x2 - 3x - 1

2

2) TÝnh: I = ∫ f ( x ) − g( x ) dx
1

Bài2: Tính các tích phân sau:
3

1)

3

2

2

2)

1 + sin xdx

2) ∫ ( x

x − 2x + xdx

0

2

0

1

Bµi3: Cho I(t) = ∫ e

x

− t dx

0

víi t ∈ R.

1) TÝnh: I(t).
2) Tìm minI(t).
Bài4: Tính các tích phân sau:
2

1) x

2

5

+ 2x − 3 dx

0

2

)

− 4 x + 3 + x 4 x dx

0

Bài5: Tính các tích phân sau:
2

1) I = ∫
0

2

x − 4x + 4m dx

2

2) ∫ x

2

− ( m + 2 ) x + 2m dx

1

4) Bất đẳng thức tích phân:

Bài1: Chứng minh các bất đẳng thức tích ph©n sau:
Trang:19


Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng
1)
2)

1

π
<
∫
2
8
02+x+x
dx

2)

π
<
6

1
2

dx

∫

2

1−x −x

0

3

<

π

π 3
dx
2π 3
<∫
<
2
3
3
0 cos x + cos x + 1

Bµi2: CMR:

2
e

2

2

< ∫e

x −x 2

dx < 24 e

0

Bµi3: Cho hµm sè: f(x) =

x2
x 2 −1

. CMR:

3

5
9 2
< ∫ f ( x ) dx <
2 2
4

5) Tích phân truy hồi:

4

Bài1: Cho In = ∫ tg 2n xdx
0

1) CMR: In > In + 1
2) Thiết lập hệ thức liên hệ giữa In vµ In - 1
3) TÝnh In theo n.
π
2

Bµi2: Cho In = ∫ sin n xdx
0

1) ThiÕt lËp hƯ thøc liªn hệ giữa In và In - 2

2

2) Tính In. áp dơng tÝnh I11 = ∫ sin11 xdx
0

Bµi3: Cho In = ∫ (1 − x
1
0

)

2 n

dx

1) ThiÕt lËp hƯ thøc liªn hệ giữa In và In - 1
2) Tính In.
1

Bài4: Cho In = ∫ x

n

1 − xdx

0

1) ThiÕt lËp hÖ thøc liên hệ giữa In và In - 1
2) Tính In.
Bài5: Tính các tích phân sau:

4


2

1) In = tg 2n xdx

2) In = ∫ x n cos xdx

0

0

III) øng dông của tích phân:
1) Tính diện tích hình phẳng:

Bài1: Tính diện tích hình giới hạn bởi các đờng sau đây:
Trang:20

2
8


Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng
2
3


y = sin x cos x; y = 0

2) 
π
 x = 0; x =

2

1) x = -1; x = 2; y = 0; y = x2 - 2x

 y = x 2
3) 
 x = − y 2

2


x
2
 y = x ; y =
8
4) 
y = 8
 x

x+ y= 0
5) 
2
x − 2x + y = 0


 y = x 2 − 1
6) 
 y = x + 5

Bµi2: Vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) = x3 - 3x + 2 (C)
1) Viết phơng trình tiếp tuyến (d1) víi (C) t¹i A cã xA = 2. ViÕt phơng trình tiếp tuyến
(d2) với (C) tại điểm uốn của (C).

(C), (d1 )
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
x= 1
(C)
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(d1 )và(d 2 )
x2

Bài3: Cho hàm số: y =

x2 +1

(C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) Tìm b sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các ®êng th¼ng y = 1, x = 0,
x = b bằng


.
4

Bài4: Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bëi:
1) ElÝp (E):
ElÝp (E1):

x2

+

a2

x2
a2

+

y2
b2

y2
b2

2) Hypebol (H):

=1

=1

vµ ElÝp (E2):

x2
b2

+

y2
c2

x2
a2

−

y2
b2

=1

=1

Bµi5: TÝnh diƯn tích phần chung của hai Elíp:
(E1):

x2
a2

+

y2
b2

=1

và (E2):

x2
b2

+

y2
a2

=1

2) Tính thể tích vËt thÓ:

Trang:21


Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
Bài1: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh Ox một hình phẳng giới

y = x .e x ; y = 0
hạn bởi các ®êng: 
 x = 0; x = 1
y= 0
Bµi2: Gäi (D) là miền giới hạn của các đờng:
. Tính thể tích vật thể tròn xoay đ2
y = 2x x
ợc tạo thành do ta quay D
1) Quanh Ox

b) Quanh Oy

 y = − 3x + 10
Bµi3: Gäi (D) là miền giới hạn của các đờng:
. Tính thể tÝch vËt thĨ trßn xoay
2
 y = 1; y = x
đợc tạo thành do ta quay D quanh Ox.
Bài4: Cho miền D giới hạn bởi các đờng tròn (C): x2 + y2 = 8 vµ Parabol (P): y2 =2x
1) TÝnh diƯn tÝch S cđa miỊn D.
2) TÝnh thĨ tÝch V sinh ra bëi A khi quay quanh Ox.
Bµi5: TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay sinh ra khi ta quay Elíp (E):

Ch ơng IV: đại số tổ hợp

Trang:22

x2
a

2

+

y2
b

2

=1

quanh Ox.


Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
I) quy tắc cộng và quy tắc nhân:

Bài1: Với các ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5 cã thĨ lËp đợc bao nhiêu:
1) Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau?
2) Số chẵn gồm 4 chữ số bất kỳ?
Bài2: Có 4 con đờng nối liền điểm A và điểm B, có 3 con đờng nối liền điểm B và điểm C.
Ta muèn ®i tõ A ®Õn C qua B, råi tõ C trë vỊ A cịng ®i qua B. Hái có bao nhiêu cách chọn
lộ trình đi và về nếu ta không muốn dùng đờng đi làm đờng về trên cả hai chặng AB và

BC?
Bài3: Có 5 miếng bìa, trên mỗi miếng ghi một trong 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Lấy 3 miếng bìa
này đặt lần lợt cạnh nhau từ trái sang phải để đợc các số gồm 3 chữ số. Hỏi có thể lập đợc
bao nhiêu số có nghĩa gồm 3 chữ số và trong đó có bao nhiêu số chẵn?
Bài4: Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Tõ 8 ch÷ số trên có thể lập đợc bao nhiêu số, mỗi số
gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10.
Bài5: Một ngời có 6 cái áo, trong đó có 3 áo sọc và 3 áo trắng; có 5 quần, trong đó có 2
quần đen; và có 3 đôi giày, trong đó có 2 đôi giầy đen. Hỏi ngời đó có bao nhiêu cách chọn
mặc áo - quần - giày, nếu:
1) Chọn áo, quần và giày nào cũng đợc.
2) Nếu chọn áo sọc thì với quần nào và giày nào cũng đợc; còn nếu chọn áo trắng thì
chỉ mặc với quần đen và đi giày đen.
II) hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp:

Bài1: Có n ngời bạn ngồi quanh một bàn tròn (n > 3). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao
cho:
1) Có 2 ngời ấn định trớc ngồi cạnh nhau.
2) 3 ngời ấn định trớc ngồi cạnh nhau theo một thứ tự nhất định
Bài2: Một đội xây dựng gồm 10 công nhân và 3 kỹ s. Để lập một tổ công tác cần chọn 1
kỹ s làm tổ trởng, 1 công nhân làm tổ phó và 5 công nhân làm tổ viên. Hỏi có bao nhiêu
cách lập tổ công tác.
Bài3: Trong một lớp học cã 30 häc sinh nam, 20 häc sinh n÷. Líp học có 10 bàn, mỗi bàn
có 5 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
a) Các học sinh ngåi tuú ý.
b) C¸c häc sinh ngåi nam cïng 1 bàn, các học sinh nữ ngồi cùng 1 bàn
Bài4: Với các số: 0, 1, 2, , 9 lập đợc bao nhiêu số lẻ có 7 chữ số.
Bài5: Từ hai chữ số 1; 2 lập đợc bao nhiêu số có 10 chữ số trong đó có mặt ít nhất 3 chữ số
1 và ít nhất 3 chữ số 2.
Bài6: Tìm tổng tất cả các số có 5 chữ số khác nhau đợc viết từ các chữ số: 1, 2, 3, 4 , 5
Bài7: Trong một phòng có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Ngời ta muốn xếp chỗ ngồi cho

10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu:
Trang:23


Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phịng
1) C¸c häc sinh ngåi t ý.
2) C¸c häc sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi một bàn.
Bài8: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 9 có thể thành lập đợc bao nhiêu số chia hết cho 3 và gồm
5 chữ số khác nhau
Bài9: Từ các chữ cái của câu: "Trờng THPT Lý Thờng Kiệt" có bao nhiêu cách
xếp một từ (từ không cần có nghĩa hay không) có 6 chữ cái mà trong từ đó chữ "T" có mặt
đúng 3 lần, các chữ khác đôi một khác nhau và trong từ đó không có chữ "Ê"
Bài10: Cho A là một tập hợp có 20 phần tử.
a) Có bao nhiêu tập hợp con của A?
b) Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn?
Bài11: 1) Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau đợc tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3,
4, 5, 6?
2) Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau đợc tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6
nà các số đó nhỏ hơn số 345?
Bài12: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong
các số đà thiết lập đợc, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?
Bài13: Một trờng tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4
cặp anh em sinh đôi. CÇn chän mét nhãm 3 häc sinh trong sè 50 học sinh trên đi dự Đại
hội cháu ngoan Bác Hồ, sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn.
Bài14: Với các chữ sè 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập đợc bao nhiêu số có ba chữ số khác
nhau và không lớn hơn 789?
Bài15: 1) Cho các ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4. Hái cã thĨ thành lập đợc bao nhiêu số có bÃy chữ số
từ những chữ số trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng ba lần, còn các chữ số khác có mặt
đúng một lần.

2) Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách
chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 ngời sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ
có ít nhất hai học sinh khá.
Bài16: Số nguyên dơng n đợc viết dới dạng: n = 2 α.3β.5 γ.7 δ
Trong ®ã α, β, γ, là các số tự nhiên
1) Hỏi số các ớc số của n là bao nhiêu?
2) áp dụng: Tính số c¸c íc sè cđa 35280.
III) to¸n vỊ c¸c sè Pn , A k , C k :
n
n

Bài1: Giải bất phơng trình:

3
C n1
n

A 4 +1
n

<

1
14P3

Bài2: Tìm các số âm trong dÃy sè x1, x2, …, xn, … víi: xn =

A 4 + 4 143
n

Pn+ 2 4Pn

Bài3: Cho k, n là các số nguyên và 4 k n; Chứng minh:
Trang:24


Ck
n

+ 4C k−1
n

Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng

+ 6C k− 2 + 4C k− 3 + C k− 4 = C k+ 4
n
n
n
n

Bµi4: Cho n 2 là số nguyên. Chứng minh: Pn = 1 + P1 + 2P2 + 3P3 + … + (n - 1)Pn - 1
Bài5: Cho k và n là các số nguyên dơng sao cho k < n. Chứng minh r»ng:
k

k −1

k −1

k −1

C n = C n−1 + C n− 2 + ... + C k

k −1

+ C k 1

VI) nhị thức newton:
2
3
Bài1: Chứng minh rằng: C1 3 n1 + 2.C n 3 n− 2 + 3.C n 3 n− 3 + ... + n.C n = n.4 n−1
n
n
Bµi2: Khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng tõ biÓu thøc:
( 1 + x ) 9 + ( 1 + x ) 10 + ... + ( 1 + x ) 14 ta sẽ đợc đa thức:P(x) = A0 + A1x + A2x2 + … + A14x14
H·y x¸c định hệ số A9

1

Bài3: 1) Tính ( 1 + x ) n dx (n ∈ N)
0

2
2) Tõ kÕt qu¶ ®ã chøng minh r»ng: 1 + 1 C1 + 1 C n + ... +
n

2

Bµi4: Chøng minh r»ng:

3

n +1

1
2
−1
n
Cn =
n+1
n+1

2
2.1.C n + 3.2.C 4 + ... + n( n − 1) C n = n( n − 1) .2 n− 2
n
n

(n ≥ 2)

2
3
Bµi5: TÝnh tỉng S = C1 − 2.C n + 3.C n − 4.C 4 + ... + ( − 1) n−1 nC n
n
n
n

0
2
Bµi6: Chøng minh r»ng: 316 C16 − 315 C1 + 314 C16 − ... + C16 = 216
16
16

5
Bài7: Tìm hệ số của x trong khai triển của biểu thức sau thành đa thức:
f(x) = ( 2x + 1) 4 + ( 2x + 1) 5 + ( 2x + 1) 6 + ( 2x + 1) 7

10
Bµi8: Trong khai triĨn cđa  1 + 2 x thành đa thức:



3

P(x) =

9

a 0 + a 1 x + ... + a 9 x + a 10 x

10

3 

H·y t×m hƯ sè ak lín nhÊt (0 ≤ k 10)

Bài9: Tìm số nguyên dơng n sao cho:

C n + 2C n + 4C n + ... + 2 C n = 243 .
0

1

2

n

n

Bµi10: CMR: C 0 + 3 2 C 2 + 3 4 C 4 + ... + 3 2000 C 2000 = 2 2000 ( 2 2001 1)
2001
2001
2001
2001
Bài11: Với mỗi n là số tự nhiªn, h·y tÝnh tỉng:
1
0 1 1 1 2
n
Cn
1) C n − C n + C n − ... + ( − 1) n

2)

2
3
n+1
1 2 2 1 3 3
1
0 1 1
n n
C n + C n .2 + C n .2 + C n 2 + ... +
Cn 2
2

3
4
n+1

Bài12: Cho đa thøc P(x) = (3x - 2)10
1) T×m hƯ sè cđa x2 trong khai triĨn trªn cđa P(x)
2) TÝnh tỉng cđa các hệ số trong khai triển trên của P(x)
Bài13: Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức:
(a là số tự nhiên) của số hạng a.x12 trong khai triển đó.
Bài14: Trong khai triển nhị thức:

28


x 3 x +x 15



n






(x 2 + 1)n b»ng 1024 h·y t×m hƯ số a

hÃy tìm số hạng không phụ thuộc vào x

biết r»ng: C n + C n − 1 + C n − 2 = 79

n
n
n
3
Bµi15: Chøng minh: 2 n−1 C1 + 2 n−1 C 2 + 3.2 n− 3 C n + 4.2 n−4 C 4 + ... + nC n
n
n
n
n

= n .3

Bài16: Tìm số hạng không chứa x trong khai triĨn cđa biĨu thøc:

n −1

 1

4

+ x3 


2
 x


17

x≠ 0

Trang:25