Giai HPT dang cap

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

91

<b>Bài 4: </b>

<b>HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CAÁP </b>

<b>I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ </b>
1. Dạng: f(x,y) a

g(x,y) b
=
⎧

⎨ ₌

⎩ với

2
2
f(tx,ty) t f(x,y)
g(tx,ty) t g(x,y)

⎧ =

⎪
⎨

=
⎪⎩

2. Cách giải:

* Tìm nghiệm thỏa x = 0 (hay y = 0)

* với x 0≠ ( hay y 0≠ ), đặt y tx= (hay x ty= )
* Đối với hệ 2₂ 2 ₂

1 1 1 1

ax bxy cy d 0
a x b xy c y d 0

⎧ ₊ ₊ _{+ =}

⎪
⎨

+ + + =

⎪⎩

Ta có thể khử y2_{(hay x}2_{) rồi tính y theo x ( hay x theo y) rồi thay vào}

một trong 2 phương trình của hệ.
<b>II. CÁC VÍ DỤ: </b>

Ví dụ 1:

Cho hệ phương trình: 3x₂2 2xy y2₂ 11
x 2xy 3y 17 m

⎧ ₊ ₊ ₌

⎪
⎨

+ + = +

⎪⎩

1. Giải hệ phương trình với m = 0

2. Với những giá trị nào của m thì hệ có nghiệm ?

(ĐH Kinh Tế TPHCM năm 1998, Khối A)
Giải

1. m = 0 : Heä 2 2

2 2

3x 2xy y 11
(I)

x 2xy 3y 17

⎧ ₊ ₊ ₌

⎪

⇔ _⎨

+ + =

⎪⎩

Nhận xét x = 0 không là nghiệm của hệ .
Đặt y = tx

Hệ (I) 3x₂2 2tx₂2 t x2 2_{2 2} 11
x 2tx 3t x 17

⎧ ₊ ₊ ₌

⎪
⇔ ⎨

+ + =

⎪⎩

2 2

2 2

x (3 2t t ) 11 (1)
x (1 2t 3t ) 17 (2)

⎧ _{+ +} ₌

⎪
⇔ ⎨

+ + =

⎪⎩

92

(1) chia (2): 3 2t t₂2 11
17
1 2t t

+ + ₌

+ +

2 5

16t 12t 40 0 t 2 t
4

⇔ − − = ⇔ = ∨ = −

. t 2 : (2)= ⇔x .11 112 = ⇔x2= ⇔ = ±1 x 1⇒ =y 2x= ±2
. _t 5_{: (2)} _3x2 ₁₆ _x 4 3

4 3

= − ⇔ = ⇔ = ± y 5x 5 3

4 3

⇒ = − =∓

Tóm lại có 4 nghiệm: (1, 2), (-1, -2), 4 3, 5 3 , 4 3 5 3,

3 3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2. Đặt 17 + m = k. Heä 2 2

2 2

3x 2xy y 11
x 2xy 3y k

⎧ ₊ ₊ ₌

⎪
⇔ ⎨

+ + =

⎪⎩

Đặt y = tx ⇒Hệ: x (3 2t t ) 11 (4)2₂ 2₂
x (1 2t 2t ) k (5)

⎧ ₊ ₊ ₌

⎪
⎨

+ + =

⎪⎩
2

2
2

(4) 3 2t t_: 11 _{(k 33)t} _{2(k 11)t 3k 11}
(5) 1 2t 3t k

+ + ₌ _⇔ ₋ ₊ ₋ ₊ ₋ ₌

+ +

* k = 33: ⇒m 16,= phương trình (6) có nghiệm t = - 2
* k 33 : (6)≠ có nghiệm:

2

' (k 11) (k 33)(3k 11) 0

⇔ ∆ = − − − − ≥ =k2−44k 121 0+ ≤
22 11 3 k 22 11 3

⇔ − ≤ ≤ +

với k = m + 17.

22 11 3 m 17 22 11 3
5 11 3 m 5 11 3

⇔ − ≤ + ≤ +

⇔ − ≤ ≤ +

Ví dụ 2:

Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm.
2

2

xy y 12
x xy m 26

⎧ ₋ ₌

⎪

⎨

− = +

⎪⎩

Giải
Hệ y(x y) 12 (1)

x(x y) m 26 (2)
− =

⎧

⇔ ⎨ ₋ ₌ ₊

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

93

(2) chia (1)

2

(m 26)y
(m 26)y _x

x ₁₂

12

y(x y) 12 y (m 14) 144

+

⎧
+

⎧ ₌ ₌

⎪ ⎪

⇔_⎨ ⇔_⎨

⎪ ₋ ₌ ⎪ ₊ ₌

⎩ ⎩

Vậy hệ có nghiệm khi m 14 0+ > ⇔m> −14.
<b>III. BAØI TẬP ĐỀ NGHỊ </b>

4.1. Định m để phương trình sau có nghiệm: x2₂ mxy y2 m ₂
x (m 1)xy my m

⎧ ₊ ₊ ₌

⎪
⎨

+ − + =

⎪⎩

4.2. Định m để hệ phương trình: 3 3 2

3 2 2

1
x my (m 1)

2
x mx y xy 1

⎧ − = +

⎪
⎨

⎪ + + =

⎩

Có nghiệm và mọi nghiệm đều thỏa: x + y = 0
4.3. Cho hệ phương trình: x2₂ 4xy y2 m

y 3xy 4

⎧ ₋ ₊ ₌

⎪
⎨

− =

⎪⎩
a. Giải hệ khi m = 1

b. chứng minh hệ ln có nghiệm.

94

<b>Hướng Dẫn Và Giải Tóm Tắt </b>

4.1. x2₂ mxy y2 m (1)₂
x (m 1)xy my m (2)

⎧ ₊ ₊ ₌

⎪
⎨

+ − + =

⎪⎩

(1) – (2) : xy (1 m)y+ − 2= ⇔ = ∨ =0 y 0 x (m 1)y−
Hệ phương trình: y 0₂ ₂ x (m 1)y₂ ₂

x mxy y m x mxy y m

= = −

⎧ ⎧

⎪ ⎪

⇔_⎨ ∨_⎨

+ + = + + =

⎪ ⎪

⎩ ⎩

2
2

2
x (m 1)y
y 0

m

y (4)

x m(3)

2m 3m 2

= −

⎧
=

⎧⎪ ⎪

⇔_⎨ ∨_⎨

=

⎪ ⎪

⎩ _⎩ ₋ ₊

Hệ đã cho có nghiệm (3)co ù nghiệm m 0
(4)co ù nghiệm

⎡

⇔_⎢ ⇔ ≥

⎣

4.2. Giả sử (x ,y ) là nghiệm. Từ x + y = 0 ta có: 0 0 y0= −x0
Thế vào hệ :

3 2

0
3
0

1

x (m 1) (m 1) (1)
2

x (2 m) 1 (2)

⎧ _{+ =} ₊

⎪
⎨

⎪ ₋ ₌

⎩

Vế phải (2)khác 0 ⇒vế trái của (2) cũng khác 0.
2

(1) m 1 1_: _{(m 1)} _{m 0 m} ₁
(2) 2 m 2

+ ₌ ₊ _⇔ _{= ∨} _{= ±}

−
Thử lại:

a/ Với m = 0: hệ cho x và y không thỏa: x + y = 0 ⇒m 0= (loại)
b/ Với m = - 1: Hệ đã cho trở thành: x3₃ y3₂ 0 ₂

x x y xy 1

⎧ + =

⎪
⎨

− + =

⎪⎩

3 2 2

1
x

y x _{3 3}

1
x x y xy 1 _y

3 3
⎧ =
⎪
= −

⎧⎪ ⎪

⇔_⎨ ⇔_⎨

− + =

⎪ ⎪

⎩ _{= −}

⎪⎩

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

95

c/ Với m = 1. Hệ trở thành: x3₃ y3₂ 2 ₂
x x y xy 1
⎧ − =

⎪
⎨

+ + =

⎪⎩
Đặt y = tx x (1 t ) 23_{3 2} 3

x (t t 1) 1

⎧ ₋ ₌

⎪
⇒ ⎨

+ + =

⎪⎩ ⇒ − = − ⇔ = − ⇒ = −t 1 2 t 1 y x,

3

x 1 x 1

⇒ = ⇔ = ⇒ + =x y 0
Vaäy m= ±1 nhaän.

4.3. y = 0 không thỏa phương trình: _y2₋_{3xy 4}₌ _{. Đặt x = ty}
Heä

2 2
2 2

2
2

2

y (t 4t 1) m

y (t 4t 1) m ₄

y (1 3t)
y (1 3t) 4

y (1 3t) 4

⎧ ₋ ₊

⎧ − + = ⎪ =

⎪

⇔⎨ ⇔⎨ −

− =

⎪ ⎪

⎩ ₋ ₌

⎩
a. Với m = 1: ta có hệ:

2
2

t _{4t 1 1 (1)}
1 3t 4
y (1 3t) 4 (2)
⎧ − + ₌
⎪

−
⎨

⎪ ₋ ₌

⎩
(1) cho t 3 t 1

4
= ∨ =

. _{t 3 : (2)}₌ _{⇔ −}_8y2₌_4VN
. t 1: (2) 1y2 4 y 4

4 4

= ⇔ = ⇔ = ±

x = ty = 1±
b. Heä

2 2

2

4 2

x 4xy 1 m _x y 4
3y
y 4

x

3y 11y (49 9m)y 16 0 (*)

⎧ _{+ =} ⎧ ₋

=

⎪ ⎪

⇔_⎨ ₋ ⇔_⎨

⎪ ⎪ ₋ ₋ ₋ ₌

⎩ ⎩

</div>

<!--links-->