Đề thi thử TN THPT 2021 môn toán bộ đề theo mức độ GV ĐHSP đề 3 file word có lời giải

ĐỀ SỐ 3

ĐỀ KHỞI ĐỘNG

(Đề thi có 06 trang)

Mơn: Tốn

(Đề có lời giải)

Thời gian làm bài: 90 phút, khơng kể thời gian phát đề

Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng
biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −2; 2 )

B. ( 0; 2 )

C. ( −1;1)

D. ( 1; 2 )

Câu 2. Với mọi số thực dương a và m, n là hai số thực bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

am
= a m− n
n
a

B. ( a m ) = a m

n

n

am
= a n−m
n
a

C. ( a m ) = a m+ n

D.

C. 3i

D. −3i

n

Câu 3. Phần ảo của số phức z = 2 − 3i là
A. 3

B. −3

Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ 1; 2] bằng
A. 3

B. 0

C. 2

f ( x) .
D. Khơng tồn tại max
[ 1;2]

Câu 5. Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là 3a 2 và chiều cao bằng 2a. Thể tích của khối chóp bằng
A. 6a 3

B. 2a 3

C. 3a 3

D. a 3

Câu 6. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y = f ( x ) . Khẳng định nào sau
đây đúng?
A. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng −6 .
B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −6 .
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 .
D. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2.
Câu 7. Với a là số thực dương tùy ý, log 81 3 a bằng
A.

3
log 3 a
4

B.

1
log 3 a
12

C.

4
log 3 a
3

D.

1
log 3 a
27
Trang 1


Câu 8. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( α ) : x + y + z − 6 = 0 . Điểm nào dưới đây không thuộc
mặt phẳng ( α ) ?
A. Q ( 3;3;0 )

B. N ( 2; 2; 2 )

C. P ( 1; 2;3)

D. M ( 1; −1;1)

Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 . Tìm tọa độ tâm I và bán

2

2

2

kính R của mặt cầu ( S ) .
A. I ( −1; 2;1) và R = 3

B. I ( 1; −2; −1) và R = 3 C. I ( −1; 2;1) và R = 9

D. I ( 1; −2; −1) và R = 9

Câu 10. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành, đường thẳng x = a và đường thẳng x = b là
b

A. S = ∫ f ( x ) dx
a

b

2
B. S = π∫ f ( x ) dx
a

b

C. S = ∫ f ( x ) dx
a

b

D. S = π∫ f ( x ) dx
a

Câu 11. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A. 3

C. −

B. 0

3
2

D. − 3

Câu 12. Cho hàm số y = a x có đồ thị như hình bên. Giá trị của a bằng
B. log 2 3

A. 2
C.

D. log 3 2

3

π
2

Câu 13. Cho I = cos x.esin x dx . Nếu đặt t = sin x thì
∫
0

1

t
A. I = − ∫ e dt
0

π
2

B. I = − et dx
∫
0

1

t
C. I = ∫ e dt
0

π
2

D. I = et dx

∫
0

Câu 14. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A ( 2;1; −3) , B ( 4; 2;1) . Véctơ nào dưới đây là véctơ chỉ
phương của đường thẳng đi qua hai điểm A và B?
ur
uu
r
A. u1 = ( −2; −1; 4 )
B. u2 = ( 2;1; 4 )

uu
r
C. u3 = ( −2;1; −4 )

uu
r
D. u4 = ( −2;1; 4 )
Trang 2


Câu 15. Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. y = −

5
4

B. x =

3

5

C. y = −

3 − 5x
là
4x + 7

3
4

D. x = −

7
4

Câu 16. Xác định diện tích tồn phần hình trụ có chiều cao h = 4 và bán kính đáy r = 2 .
A. 16π

B. 20π

C. 24π

D. 8π

Câu 17. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau?
2
A. C7

2

D. A7

C. 7 2

B. 27

Câu 18. Cho cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 = 3 và công sai d = 2 . Tổng của 2019 số hạng đầu bằng
A. 4 080 399

B. 4 800 399

C. 4 399 080

D. 8 154 741

Câu 19. Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị như trong hình bên. Số
nghiệm phân biệt của phương trình f ( x ) = 2 là
A. 4

B. 3

C. 5

D. 2

Câu 20. Hàm số nào sau đây có tập xác định là ¡ ?
A. y = ln x

B. y =

1
ex

1

C. y = x 3

1

D. y = 2 x

Câu 21. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng?
A. y =

1
2
x +1

B. y =

1
x −1

x 2 − 3x + 2
C. y =
x −1

D. y =

x2 − 1

x −1

Câu 22. Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x 2 − 1 + yi = −1 + 2i . Giá trị của 2x + y là
A. 5

B. 4

C.

D. 2

2

Câu 23. Biết rằng log 3 4 = a và T = log12 18 . Phát biểu nào sau đây đúng?
A. T =

a+2
2a + 2

B. T =

a+4
2a + 2

C. T =

a +2
a +1

D. T =

a −2
a +1

2
2
Câu 24. Biết hàm số y = − x 3 + 3 x 2 + 6 x đạt cực trị tại x1 , x2 . Khi đó giá trị của biểu thức x1 + x2 bằng

A. −8

B. 10

C. 8

D. −10

Câu 25. Cho hàm số y = cos 4 x có một nguyên hàm F ( x ) . Khẳng định nào sau đây đúng?
π
A. F  ÷− F ( 0 ) = 1
8

1
π
B. F  ÷− F ( 0 ) =
4
8

π
C. F  ÷− F ( 0 ) = −1
8

−1
π
D. F  ÷− F ( 0 ) =
4
8

2
Câu 26. Số nghiệm dương của phương trình ln x − 5 = 0 là

A. 1

B. 4

C. 0

D. 2

Trang 3


Câu 27. Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn cho hai số phức z1 = 1 + i và z2 = 3 − 5i . Gọi M là trung điểm
của đoạn thẳng AB. Khi đó M là điểm biểu diễn cho số phức nào dưới đây?
A. −i

B. 1 − i

C. 2 − 2i

D. 1 + i

Câu 28. Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bằng
b

c

a

b

A. − ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx
b

B.

∫
a

c

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
b

b

c

a

b

C. − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
b

D.

∫
a

c

f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx
b

Câu 29. Biết đường thẳng y = x − 2 cắt đồ thị hàm số y =

2x +1
tại hai điểm phân biệt A, B có hồnh độ
x −1

lần lượt x A , xB . Khi đó giá trị của x A + xB bằng
A. 3

B. 5

C. 1

D. 2

Câu 30. Số phức z thỏa mãn z = 2 z + 1 + 3i . Phần thực của z bằng

A. −1

B. 2

C. −3

D. 1

Câu 31. Để dự báo dân số của một quốc gia, người ta sử dụng công thức S = A.e nr , trong đó A là dân số
của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm, r là tỉ lệ gia tăng dân số hằng năm, năm 2017, dân số
Việt Nam là 93 671 600 người (Tổng cục Thống kê, Niên giám thống kê 2017, Nhà xuất bản thống kê
Tr.79). Giả sử tỉ lệ tăng dân số hằng năm không đổi là 0,81%, dự báo dân số Việt Nam năm 2035 là bao
nhiêu người (kết quả làm tròn đến chữ số hàng trăm)?
A. 108311100

B. 109256100

C. 107500500

D. 108374700

Câu 32. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A ( 1; 2; −1) , B ( 2; −1;3 ) , C ( −3;5;1) . Tọa độ điểm D sao cho
tứ giác ABCD là hình bình hành là
A. D ( −4;8; −5 )

B. D ( −2; 2;5 )

C. D ( −4;8; −3)

D. D ( −2;8; −3)

Câu 33. Cho cấp số nhân ( un ) , biết u2017 = 1, u2020 = 1000 . Tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân
bằng
A.

1010 − 1
9.102016

B.

910 − 1
8.92016

C.

1 − 1010
9.102016

D.

1010 − 1
9.102019

Câu 34. Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 5

B. 6

C. 3

D. 4

Trang 4


Câu 35. Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, AC = 2a , SA vng góc với đáy,
SA = a , I là trung điểm của SB. Thể tích của khối chóp S.ACI bằng
A.

a3
3

B.

a3
6

C.

a3
12

D.

a3
9

Câu 36. Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA = 2a , tam giác ABC vuông
tại B, AB = a 3 và BC = a . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng
A. 90°

B. 45°

C. 30°

D. 60°

Câu 37. Trong không gian, cho tam giác vuông ABC cân tại A, cạnh BC = 4a . Gọi I là trung điểm của
cạnh BC. Diện tích xung quanh của hình tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ABC xung quanh trục AI
bằng
A. 16πa 2

B. 12πa 2

C. 4 2πa 2

Câu 38. Đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng
d:

( P ) : 2x − y − z + 4 = 0

D. 8 2πa 2
và vng góc với đường thẳng

x y −1 z + 2
=
=
. Biết Δ đi qua điểm M ( 0;1;3 ) , phương trình đường thẳng Δ là
1
2

−3

A. ∆ :

x y −1 z − 3
=
=
1
−1
1

B. ∆ :

x y −1 z − 3
=
=
1
1
1

C. ∆ :

x y +1 z + 3
=
=
1
−1
1

D. ∆ :

x y +1 z + 3
=
=
1
1
1

Câu 39. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như
hình vẽ dưới đây. Số cực trị của hàm số y = f ( x ) là
A. 5

B. 4

C. 3

D. 6
ln 2

Câu 40. Biết

∫
0

e2 x
b
b
dx = a + ln với a, b, c ∈ ¥ * và là phân số tối giản. Giá trị a − b + c bằng
x
e +1

c
c

A. 2

B. 0

C. 4

(

D. 6

)

Câu 41. Xét các số phức z thỏa mãn ( z + 2i ) z + 2 là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm
biểu diễn của z là một đường trịn, tâm của đường trịn đó có tọa độ là
A. ( 1; −1)

B. ( −1; −1)

C. ( −1;1)

D. ( 1;1)

Câu 42. Tập nghiệm của bất phương trình 9 x +1 − 13.6 x + 4 x +1 < 0 là
A. ( −∞; −2 ) ∪ ( 0; +∞ )

B. ( 0; 2 )

C. ( −2;0 )

D. ( −∞;0 ) ∪ ( 2; +∞ )

Câu 43. Một vật trang trí bằng pha lê gồm hai hình nón ( H1 ) , ( H 2 ) xếp chồng lên nhau, lần lượt có bán
kính đáy và chiều cao tương ứng là r1 , h1 , r2 , h2 thỏa mãn r1 =

1
1
r2 , h1 = h2 (như hình vẽ). Biết thể tích
2
2

tồn phần của toàn bộ khối pha lê là 100cm3 . Thể tích của khối ( H1 ) bằng
Trang 5


A.

100 3
cm
3

B. 25cm3

C.

100 3
cm
9

D. 50cm3

1 2
Câu 44. Cho hình phẳng D giới hạn bởi parabol y = − x + 2 x ,
2
cung trịn có phương trình y = 16 − x 2 với 0 ≤ x ≤ 4 , trục tung
(phần tơ đậm trong hình vẽ). Diện tích của hình D bằng
A. 8π −

16
3

B. 2π −

16
3

C. 4π +

16
3

D. 4π −

16
3

Câu 45. Gọi M, N lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = x − 3 x + 1 trên đoạn

[ 0; 4] . Giá trị của
A.

M + 2 N bằng

16 3
9

B.

256
27

C. 3

D.

Câu 46. Trong Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x + 2 y + z − 4 = 0 và đường thẳng d :

5

x +1 y z + 2
= =
. Đường
2
1
3

thẳng Δ nằm trong mặt phẳng ( P ) đồng thời cắt và vng góc với đường thẳng d có phương trình là
A.

x +1 y + 3 z −1
=
=
5
−1
3

B.

x −1 y −1 z −1
=
=
5
2
3

C.

Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có các mặt phẳng

( ABCD ) , đáy là hình thang vng tại các đỉnh

x −1 y +1 z −1
=
=
5
−1
2

( SAB ) , ( SAD )

D.

x −1 y −1 z −1
=
=
5
−1
−3

cùng vng góc với mặt phẳng

A và B, có AD = 2 AB = 2 BC = 2a, SA = AC . Khoảng

cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng
A.

a 3
2

B.

a 15
5

C.

a 3
4

D.

a 10
5

1
2
Câu 48. Với n là số nguyên dương thỏa mãn Cn + Cn = 78 , hệ số của x 4 trong khai triển biểu thức

(x

2

− x + 2 ) bằng bao nhiêu?
n

A. 532224

B. 534248

C. 464640

D. −463616
Trang 6


Câu 49. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y =
A. 5

B. 2

mx + 4
nghịch biến trên khoảng ( 0; +∞ ) ?
x+m

C. 3

D. 1

Câu 50. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

 7π 
Số nghiệm thuộc đoạn 0;  của phương trình 2 f ( cos x ) + 5 = 0 là
 2
A. 4

B. 6

C. 7

D. 5

Đáp án
1-D
11-C
21-B
31-D
41-B

2-A
12-C
22-D
32-C
42-C

3-B
13-C
23-B
33-A
43-C

4-B
14-B
24-C
34-D
44-D

5-B
15-A
25-B
35-B
45-A

6-A
16-C
26-D
36-B
46-D

7-B
17-D
27-C
37-C
47-D

8-D
18-A
28-D
38-B
48-A

9-A
19-D
29-B
39-A
49-B

10-C
20-B
30-A
40-A
50-C

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 12: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm ( 2;3) , suy ra 3 = a 2 ⇔ a = 3 (vì
a > 0 ).
1

Câu 13: Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx . Đổi cận: x =

π
t
⇒ t = 1; x = 0 ⇒ t = 0 . Vậy ∫ e dt .
2
0

uuur
Câu 14: AB = ( 2;1; 4 ) , nên một véctơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A và B là
uu
r
u2 = ( 2;1; 4 ) .
3
−5
3 − 5x
5
5
x
= lim
=− ⇒ y=− .
Câu 15: lim
x →∞ 4 x + 7
x →∞
7
4
4
4+
x
Câu 19: Số nghiệm của phương trình f ( x ) = 2 là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường
thẳng y = 2 . Đồ thị của hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = 2 như sau:

Trang 7


Dựa vào đồ thị ta thấy hai đồ thị giao nhau tại 5 điểm.
Vậy phương trình f ( x ) = 2 có 5 nghiệm phân biệt.
Câu 20: Đáp án A, tập xác định ¡ \ { 0} , loại.
Đáp án B, tập xác định D = ¡ , thỏa mãn.
Đáp án C, tập xác định D = ( 0; +∞ ) , loại.
Đáp án D, tập xác định D = ¡ \ { 0} , loại.
 x 2 − 1 = −1  x = 0
2
⇔
Câu 22: Ta có: x − 1 + yi = −1 + 2i ⇔ 
. Suy ra 2 x + y = 2 .
y = 2
y = 2
Câu 23: Ta có: log 3 4 = a = 2 log 3 2 ⇒ log 3 2 =

a
a
⇒ log 2 3 = .
2
2

2
log 2 18 log 2 2 + log 2 9 1 + 2 log 2 3
a = a+4 .
T = log12 18 =
=

=
=
2
log 2 12 log 2 4 + log 2 3 2 + log 2 3
2a + a
2+
a
1 + 2.

Sử dụng máy tính cầm tay: Nhập biểu thức log 3 4 , SHIFT, RCL ( − ) để lưu biến A là log 3 4 . Sau đó thử
từng đáp án.
Câu 24: y = − x 3 + 3 x 2 + 6 x ⇒ y′ = −3 x 2 + 6 x + 6 .
Áp dụng định lí Vi-ét vào phương trình −3x 2 + 6 x + 6 = 0 , ta có:
x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 22 + 2. ( −2 ) = 8 .
2

1
1
π 1
1
π
Câu 25: Ta có: F ( x ) = ∫ cos 4 xdx = sin 4 x + C ⇒ F  ÷− F ( 0 ) = sin 4 − sin 0 = .
4
4
8 4
4
8
 x2 − 5 = 1
x = ± 6
⇔

Câu 26: Ta có phương trình: ln x − 5 = 0 ⇔ x − 5 = 1 ⇔  2
.
 x − 5 = −1  x = ± 2
2

2

Câu 27: z1 = 1 + i ⇒ A ( 1;1) , z2 = 3 − 5i ⇒ B ( 3; −5 ) nên tọa độ trung điểm M của AB là M ( 2; −2 ) .
Vậy điểm M biểu diễn cho số phức 2 − 2i .

Trang 8


Câu 28: Ta có f ( x ) ≥ 0 trên đoạn [ a; b ] và f ( x ) ≤ 0 trên đoạn [ b; c ] . Vậy diện tích hình phẳng được
c

b

c

a

a

b

gạch chéo trong hình là S = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx .
Câu 29: Tập xác định của hàm số y =

2x +1

là: D = ¡ \ { 1} .
x −1

Hoành độ hai điểm A, B là nghiệm của phương trình: x − 2 =

2x +1
(1). Điều kiện x ≠ 1 .
x −1

2
Ta có (1) ⇔ ( x − 2 ) ( x − 1) = 2 x + 1 ⇔ x − 5 x + 1 = 0 (2). Nhận thấy phương trình (2) có hai nghiệm phân

biệt khác 1. Theo định lí Vi-ét ta có: x A + xB = 5 .
−a − 1 = 0
a = −1
⇔
Câu 30: a + bi = 2 ( a − bi ) + 1 + 3i ⇔ a − 2a − 1 + ( b + 2b − 3) i = 0 ⇔ 
.
3b − 3 = 0
b = 1
Câu 31: Từ năm 2017 đến năm 2035, số năm là n = 2035 − 2017 = 18 .
Dân số Việt Nam năm 2035 là S = 93671600.e18.0,0081 ≈ 108374700 (người).
 −3 − xD = 1
 x D = −4
uuur uuur


Câu 32: Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔ AB = DC ⇔ 5 − yD = −3 ⇔  yD = 8 .
1 − z = 4
 z = −3

D

 D
Câu 33: Ta có:

u2020 u1q 2019
1
=
= q 3 ⇔ q 3 = 1000 ⇔ q = 10; u2017 = u1q 2016 ⇔ 1 = u1.102016 ⇔ u1 = 2016 .
2016
u2017 u1q
10

Vậy tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là: S =
10

u1 ( 1 − q10 )
1− q

1
1 − 1010 )
2016 (
1010 − 1 .
10
=
=
1 − 10
9.102016

Câu 34: Hình lăng trụ có 4 mặt đối xứng gồm:

 3 mặt là mặt phẳng chứa một cạnh bên và hai trung điểm của 2 cạnh đáy không chung đỉnh với cạnh bên
đó.
 Mặt phẳng chứa trung điểm của 3 cạnh bên của hình lăng trụ.

Trang 9


Câu 35: Ta có

3
VS . ACI
SI 1
=
= . Suy ra VS . ACI = 1 VS . ABC = 1 . 1 .a. 1 .a 2.a 2 = a .
VS . ABC SB 2
2
2 3 2
6

·
Câu 36: Ta thấy hình chiếu vng góc của SC lên ( ABC ) là AC nên (·SC , ( ABC ) ) = SCA
.
·
=
Mà AC = AB 2 + BC 2 = 2a nên tan SCA

SA
=1.
AC

Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng 45° .

Câu 37: Tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh BC = 4a suy ra AI = BI = CI = 2a .
Diện tích xung quanh của hình trịn xoay tạo thành khi quay tam
giác ABC quanh trục AI là diện tích xung quanh của hình nón có
đường cao AI, bán kính đáy R = BI = 2a .
2
Đường sinh AB = 2 2a , suy ra S xq = πRl = 4 2πa .
uur
Câu 38: Mặt phẳng ( P ) có véctơ pháp tuyến là nP = ( 2; −1; −1)

và

uu
r
đường thẳng d có véctơ chỉ phương là ud = ( 1; 2; −3) .
uu
r
uur uu
r
 ∆ ⊂ ( P )
Vì 
nên đường thẳng d có 1 véctơ chỉ phương là: u∆ =  nP ; ud  = ( 5;5;5 ) = 5 ( 1;1;1) .
 ∆ ⊥ d
Mà M ( 0;1;3) ∈ ∆ ⇒ ( ∆ ) :

x y −1 z − 3
=
=
.

1
1
1

Câu 39: Khi x ≥ 0 thì f ( x ) = f ( x ) nên bảng biến thiên của y = f ( x ) trên [ 0; +∞ ) cũng chính là bảng
biến thiên của y = f ( x ) trên [ 0; +∞ ) . Do đồ thị y = f ( x ) nhận trục tung làm trục đối xứng nên ta có
bảng biến thiên của y = f ( x ) trên ¡ như sau:

Suy ra hàm số có 5 điểm cực trị.

Trang 10


x = 0 ⇒ t = 2
Câu 40: Đặt t = e x + 1 ⇒ dt = e x dx . Đổi cận: 
.
 x = ln 2 ⇒ t = 3
ln 2

∫

Khi đó a có

0

e2 x
dx =
ex + 1

(

ln 2

∫
0

3

3

3
ex
t −1
2
 1
.e x dx = ∫
dt = ∫  1 − ÷dt = ( t − ln t ) 2 = 1 − ln 3 + ln 2 = 1 + ln .
x
e +1
t
t
3
2
2

)

Câu 41: Ta có ( z + 2i ) z + 2 = z.z + 2 z + 2iz + 4i = ( x + yi ) ( x − yi ) + 2 ( x + yi ) + 2i ( x − yi ) + 4i
= ( x 2 + y 2 + 2 x + 2 y ) + 2i ( x + y + 2 ) .

(

)

Vì ( z + 2i ) z + 2 là số thuần ảo nên x 2 + y 2 + 2 x + 2 y = 0 ⇔ ( x + 1) + ( y + 1) = 2 .
2

2

Câu 42: Ta có: 9 x +1 − 13.6 x + 4 x +1 < 0 ⇔ 9.9 x − 13.6 x + 4.4 x < 0
2x

x

9x
6x
3
3
⇔ 9 x − 13 x + 4 < 0 , (vì 4 x > 0, ∀x ∈ ¡ ) ⇔ 9  ÷ − 13  ÷ + 4 < 0
4
4
2
2
x

4 3
⇔ <  ÷ < 1 ⇔ −2 < x < 0 .
9 2
Câu 43: Thể tích tồn bộ khối pha lê là
1

1
100
2
2
V = V( H1 ) + V( H 2 ) = π ( r1 ) . ( h1 ) + π ( 2r1 ) . ( 2h1 ) = 9V( H1 ) = 100 ( cm3 ) ⇒ V( H1 ) =
( cm3 ) .
3
3
9
Câu 44: Diện tích hình phẳng D là
4

4

4


 1

 1

S = ∫  16 − x 2 −  − x 2 + 2 x ÷÷dx = ∫ 16 − x 2 dx − ∫  − x 2 + 2 x ÷dx .
2
 2


0
0
0
4

Xét I = ∫
0

π
2

I =∫
0

x = 0 ⇒ t = 0

16 − x dx . Đặt x = 4sin t ⇒ dx = 4 cos tdt . Đổi cận: 
π
 x = 4 ⇒ t = 2
2

π
2

π
2

π

π
 1
2
16 − 16sin t .4 cos tdt = 16 ∫ cos tdt = 8∫ ( 1 + cos 2t ) dt = 8  t + sin 2t ÷ = 8 = 4π .
2

 2
0
0
0
2

2

4

 − x3

16
16
 1 2

+ x 2 ÷ = . Vậy S = 4π − .
Xét J = ∫  − x + 2 x ÷dx = 
3
2

 6
0 3
0
4

Câu 45: Hàm số xác định trên [ 0; 4] . Ta có: f ( x ) = x − 3 x + 1 =

( x + 1) ( x − 3)

2

.

Xét hàm số g ( x ) = ( x + 1) ( x − 3) trên đoạn [ 0; 4] ta có:
2

g ′ ( x ) = ( x − 3) + ( x + 1) .2 ( x − 3) = ( x − 3) ( 3 x − 1)
2

 x = 3 ∈ [ 0; 4]
 1  256
g′ ( x) = 0 ⇔ 
g ( 0 ) = 9, g  ÷ =
, g ( 3) = 0, f ( 4 ) = 5 .
.
Ta
có:
1
 x = ∈ [ 0; 4]
 3  27

3

Trang 11



 1  16 3
f ( x) = g  ÷ =

 M = max
[ 0;4]
9 ⇒ M + 2 N = 16 3 .
3
Vậy 
9
 N = min f ( x ) = g ( 0 ) = 0

[ 0;4]
uur
Câu 46: Mặt phẳng ( P ) có véctơ pháp tuyến nP = ( 1; 2;1) . Đường thẳng d có véctơ chỉ phương
uu
r
ud = ( 2;1;3) .
rr
Vì n.u = 7 ≠ 0 nên đường thẳng d và mặt phẳng ( P ) cắt nhau.
Tọa độ giao điểm H của đường và mặt là nghiệm của hệ phương trình
x = 1
x + 2 y + z − 4 = 0


 x + 1 y z + 2 ⇔  y = 1 ⇒ H ( 1;1;1) .
 2 = 1 = 3
z = 1

Vì đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng ( P ) đồng thời cắt và vng góc với đường thẳng d nên đường
uu
r
uur uu
r

thẳng Δ đi qua điểm H và có véctơ chỉ phương u∆ =  nP ; ud  = ( 5; −1; −3) .
Vậy phương trình đường thẳng Δ là

x −1 y −1 z −1
=
=
.
5
−1
−3

Câu 47: Theo bài ra có SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ AC , lại có SA = AC nên SA = AC = a 2 .
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A ≡ O ; tia Ox ≡ AB ; tia Oy ≡ AD ; tia Oz ≡ AS . Khi đó A ( 0;0;0 ) ,

(

)

B ( a;0;0 ) , C ( a; a;0 ) , D ( 0; 2a;0 ) , S 0;0; a 2 .
x = a − t

Phương trình đường thẳng CD:  y = a + t .
z = 0

x = a + t′

Phương trình đường thẳng SB:  y = 0
.

 z = − 2t ′

Gọi MN là đoạn vng góc chung của SB và CD với M ∈ CD, N ∈ SB .
uuuu
r
Ta có M ( a − t ; a + t ;0 ) , N a + t ′;0; − 2t ′ ⇒ MN = t + t ′; −a − t ; − 2t ′ .

(

)

(

)

Do MN ⊥ CD, MN ⊥ SB nên có
3a

uuuu
r uuur
t = − 5
 MN .CD = 0
−t ′ − t − a − t = 0
2t + t ′ = −a
⇔
⇔
⇔
r uur
 uuuu
′
′
′

t
+
t
+
2
t
=
0
t
+
3
t
=
0
MN
.
SB
=
0


t ′ = a


5

Trang 12


2

2
2
uuuu
r  2a 2a
2a 
2a 
a 10
 2a   2a  
.
⇒ MN =  − ; − ; −
⇒
MN
=
−
+
−
+
−
=
÷

÷

÷

÷
5
5 ÷
5 ÷

5
 5   5  
 5


1
2
Câu 48: Ta có Cn + Cn = 78 ⇔

n ( n − 1)
n!
n!
+
= 78 ⇔ n +
= 78 ⇒ n = 12 .
2
( n − 1) ! 2!( n − 2 ) !

12
12
12
k
 k
k− j 
2
k
2
12 − k
= ∑ C12k .212− k  ∑ Ckj x 2 j ( − x ) ÷
Xét khai triển ( x − x + 2 ) = ∑ C12 ( x − x ) .2

k =0
k =0
 j =0

12

k

= ∑∑ C12k Ckj ( −1)

k− j

212 − k x j + k .

k =0 j = 0

 j = 0; k = 4

Xét j + k = 4 ( 0 ≤ j ≤ k ) ⇒  j = 1; k = 3 .
 j = 2; k = 2

Vậy hệ số của x 4 là C124 .C40 ( −1) .28 + C123 .C31 ( −1) .29 + C122 .C22 ( −1) .210 = 532224 .
4

Câu 49: Tập xác định: D = ¡ \ { −m} . Ta có y ′ =

2

0

m2 − 4

( x + m)

2

.

 y′ < 0, ∀x ≠ − m
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; +∞ ) ⇔ 
− m ∉ ( 0; +∞ )
m 2 − 4 < 0
 −2 < m < 2
⇔
⇔
⇔ 0 ≤ m < 2 . Mà m ∈ ¢ nên m ∈ { 0;1} .
m ≥ 0
− m ≤ 0
Câu 50: Ta có bảng biến thiên của hàm số y = cos x như sau:

 cos x = a ∈ ( −∞; −1) ( 1)

5
 cos x = b ∈ ( −1;0 ) ( 2 )
Ta có 2 f ( cos x ) + 5 = 0 ⇔ f ( cos x ) = − ⇔ 
.
2
( 3)
 cos x = c ∈ ( 0;1)
 cos x = d ∈ ( 1; +∞ ) ( 4 )


 7π 
Do cos x ∈ [ −1;1] nên phương trình (1) và (4) vơ nghiệm; phương trình (2) có 4 nghiệm thuộc 0;  ;
 2
 7π 
phương trình (3) có 3 nghiệm thuộc 0;  .
 2

Trang 13


 7π 
Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm thuộc 0;  .
 2

Trang 14