18 đề thi thử TN THPT 2021 môn toán bộ đề chuẩn cấu trúc minh họa đề 18 file word có lời giải

ĐỀ PHÁT TRIỂN
TỪ ĐỀ MINH HỌA 2021
CHUẨN CẤU TRÚC

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2021
Mơn thi thành phần: TỐN HỌC
Thời gian làm bài: 50 phút, không kể thời gian phát đề

ĐỀ SỐ 18
Họ, tên thí sinh: .....................................................................
Số báo danh: ..........................................................................
Câu 1 (NB) Số cách chọn 5 học sinh trong 10 học sinh của một lớp đi tham quan di tích Ngã Ba Đồng Lộc là
5
5
A. 5 .
B. C10 .
C. P5 .
D. A10 .
Câu 2 (NB) Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = 3 và u2 = 9. Công sai của cấp số cộng đã cho là
A. 6 .

B. 3 .

C. 12 .

D. −6 .

Câu 3 (NB) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −2; +∞ ) .

B. ( 0; +∞ ) .

D.  − 3 ; +∞  .

÷
 2


C. ( −∞; − 2 ) .

Hàm số đồng biến trên ( −∞; −3) và ( −1; +∞ ) ⇒ hàm số đồng biến trên ( 0; +∞ ) .
Câu 4 (NB) Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại
A. x = −2
B. x = 2

C. x = 1

D. x = 0

C. 4

D. 1

Câu 5 (TH) Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ¡ và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau.

Khi đó số cực trị của hàm số y = f ( x ) là
A. 3

B. 2

Câu 6 (NB) Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =

1− x
có phương trình lần lượt là
−x + 2


1
D. x = 2; y = −1
2
Câu 7 (NB) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. x = 1; y = 2

B. x = 2; y = 1

C. x = 2; y =

A. y = x 3 − 3 x .

B. y = − x 3 + 3x .

C. y = x 4 − 2 x 2 .

D. y = − x 4 + 2 x 2 .

x +1

và đường thẳng y = 2 là
x −1
A. 1 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 6 .
3
Câu 9 (NB) Với a là số thực dương tùy ý, log 2 ( a ) bằng:
Câu 8 (TH) Số giao điểm của đồ thị hàm số y =

3
1
log 2 a.
B. log 2 a.
C. 3 + log 2 a.
D. 3log 2 a.
2
3
Câu 10 (NB) Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số dương x ?
x
1
ln10
A. ( log x) ′ = x ln10 .
B. ( log x) ′ =
. C. ( log x) ′ =
. D. ( log x) ′ =
.
ln10
x ln10
x

A.

1

Câu 11 (TH) Rút gọn biểu thức P = x 2 . 8 x (với x > 0 ).
5

A. x 4 .

5

B. x 16 .

Câu 12 (NB) Phương trình 52 x+1 = 125 có nghiệm là
5
A. x = .
B. x = 1 .
2

1

C. x 8 .

D. x 16 .

C. x = 3 .

D. x =

3
.
2

2
Câu 13 (TH) Tổng bình phương các nghiệm của phương trình log 1 ( x − 5 x + 7 ) = 0 bằng
2

A. 6 .

B. 5 .

C. 13 .
Câu 14 (NB) Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x + 3 x + 2 là

D. 25 .

3

x 4 3x2
+
+ 2x + C .
4
2
x 4 x2
x4
C. F ( x ) = + + 2 x + C .
D. F ( x ) = + 3x 2 + 2 x + C .
4 2
3

Câu 15 (TH) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 6 x.
2
A. F ( x ) = 3 x + 3 x + C .

B. F ( x ) =

A. ∫ cos 6 xdx = 6sin 6 x + C .

1
B. ∫ cos 6 xdx = sin 6 x + C .
6

1
C. ∫ cos 6 xdx = − sin 6 x + C.
6

D. ∫ cos 6 xdx = sin 6 x + C .

2

Câu 16 (NB) Cho

∫

−2

A. I = 5 .

f ( x ) dx = 1 ,

4

∫

−2

4

f ( t ) dt = −4 . Tính I = ∫ f ( y ) dy .

B. I = 3 .

2

C. I = −3 .

D. I = −5 .


2

∫

Câu 17 (TH) Tính tích phân I = (2 x + 1)dx
0

A. I = 5 .
B. I = 6 .
C. I = 2 .
D. I = 4 .

Câu 18 (NB) Số phức liên hợp của số phức z = 2020 − 2021i
A. z = 2020 + 2021i .
B. z = −2020 − 2021i .
C. z = −2020 + 2021i .
D. z = 2020 − 2021i .
Câu 19 (NB) Cho hai số phức z1 = 2 + 3i , z2 = −4 − 5i . Số phức z = z1 + z2 là
A. z = 2 + 2i .
B. z = −2 − 2i .
C. z = 2 − 2i .
D. z = −2 + 2i .
Câu 20 (NB) Cho số phức z = 4 − 5i . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức z là điểm nào?
A. M ( −5; 4 ) .

B. N ( 4;5 ) .

C. P ( 4; − 5) .

D. Q ( −4;5 ) .

Câu 21 (NB) Một khối lăng trụ có chiều cao bằng 2a và diện tích đáy bằng 2a 2 . Tính thể tích khối lăng trụ.
4a 2
4a 3
2a 3
.
C. V =
.
D. V =
.
3
3

3
Câu 22 (TH) Cho khối chóp có diện tích đáy bằng 6cm 2 và có chiều cao là 2cm . Thể tích của khối chóp đó
là :
A. 6cm3 .
B. 4cm3 .
C. 3cm3 .
D. 12cm3 .
Câu 23 (NB) Gọi l , h , r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của một hình nón. Thể tích
của khối nón tương ứng bằng
1 2
1 2
A. V =πr l.
B. V =πr h.
C. V =πrl.
D. V =πrl.
2
3
3
Câu 24 (NB) Tính theo a thể tích của một khối trụ có bán kính đáy là a , chiều cao bằng 2a .
2π a 3
π a3
A. 2π a 3 .
B.
.
C.
.
D. π a 3 .
3
3
Câu 25 (NB) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2;3; - 1) và B ( - 4;1;9) . Trung điểm I của đoạn thẳng

A. V = 4a3 .

B. V =

AB có tọa độ là
A. ( - 1; 2; 4) .

B. ( - 2; 4;8) .

C. ( - 6; - 2;10) .

D. ( 1; - 2; - 4) .

Câu 26 (NB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu có phương trình

( x + 2 ) + ( y − 3) + z 2 = 5
A. I ( 2;3;0 ) , R = 5 .
C. I ( 2;3;1) , R = 5 .
2

2

là :
B. I ( −2;3; 0 ) , R = 5 .
D. I ( 2; − 2;0 ) , R = 5 .

Câu 27 (TH) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + z − 2 = 0 .
A. Q ( 1; −2; 2 ) .

B. P ( 2; −1; −1) .

C. M ( 1;1; −1) .

Câu 28 (NB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

D. N ( 1; −1; −1) .
x +1 y − 2
z
=
=
, vectơ nào dưới
1
3
−2

đây là vtcp của đường thẳng d ?
r
r
A. u = ( −1; −3; 2 ) .
B. u = ( 1;3; 2 ) .

r
r
C. u = ( 1; −3; −2 ) .
D. u = ( −1;3; −2 ) .
Câu 29 (TH) Gieo mọt con súc sắc ba lần. Xác suất để được mặt số hai xuất hiện cả ba lần là.
1
1
1
1

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
172
18
20
216
Câu 30 (TH) Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = x 3 + 3 x 2 + 1 .
A. ( −∞ ; −2 ) ∪ ( 0; +∞ ) .

B. ( −∞ ; −2 ) và ( 0; +∞ ) .


C. ( −2;0 ) .

D. ( −∞ ; −3 ) và ( 0; +∞ ) .

Câu 31 (TH) Cho hàm số y = x3 + 3x 2 − 9 x + 1 . Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn

[ 0; 4]

là
A. M = 77 ; m = −4 .
B. M = 28 ; m = 1 .
C. M = 77 ; m = 1 .

D. M = 28 ; m = −4 .
Câu 32 (TH) Tập nghiệm của bất phương trình log3 ( 2 x − 1) < 3 là

1 
B.  ;5 ÷.
2 

A. ( −∞;14 ) .
1

Câu 33 (VD) Cho

∫

f ( x ) dx = 2 và

0

1

∫ g ( x ) dx = 5 , khi đó
0

1

C.  ;14 ÷.
2


1


D.  ;14 ÷ .
2


1

∫  f ( x ) − 2 g ( x )  dx bằng
0

A. −3 .
B. 12 .
C. −8 .
D. 1 .
Câu 34 (TH) Cho hai số phức z1 = 3 − i và z2 = −1 + i . Phần ảo của số phức z1 z2 bằng
A. 4 .
B. 4i .
C. −1 .
D. −i .
Câu 35 (VD) Cho hình chóp S . ABC có SA = SB = CB = CA , hình chiếu vng góc của S lên mặt phẳng

( ABC )

trùng với trung điểm I của cạnh AB . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC )

bằng.

A. 450 .
B. 900 .
C. 600 .

D. 300 .
Câu 36 (VD) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a . Gọi M là trung điểm của SD
. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( SAC ) bằng
A.

a 2
.
2

B.

a 2
.
4

C.

a
.
2

D.

a
.
4

Câu 37 (TH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (( 1; −2; 3) và ( S )
đi qua điểm A ( 3;0; 2 ) .
A. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 3 .

B. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 9 .

C. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 9 .

D. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 3 .

2
2

Câu 38 (TH)

2
2

2
2

2

2

2

2

2

2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình tham số của đường thẳng

x−4 y +3 z −2
=
=
.
1
2
−1
 x = 1 − 4t
 x = −4 + t


A. ∆ :  y = 2 + 3t .
B. ∆ :  y = 3 + 2t .
 z = −1 − 2t
 z = −2 − t


∆:

x = 4 + t

C. ∆ :  y = −3 + 2t .
z = 2 − t


 x = 1 + 4t

D. ∆ :  y = 2 − 3t .

 z = −1 + 2t



Câu 39 (VD) Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) có dạng hình vẽ bên. Tính tổng tất cả giá trị nguyên của m để hàm
số y = f ( x) − 2m + 5 có 7 điểm cực trị.

A. 6 .

B. 3 .

C. 5 .

D. 2 .

(

)

3
Câu 40 (VD) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau log 1 ( x − 1) > log 1 x + x − m có
2

nghiệm.
A. m ∈¡ .
Câu 41 (VD) Cho

π
4

∫
0

B. m < 2 .

C. m ≤ 2 .

2

D. Không tồn tại m.

2 + 3 tan x
dx = a 5 + b 2, với a, b ∈ ¡ . Tính giá trị biểu thức A = a + b.
1 + cos 2 x

7
2
4
.
C. .
D. .
12
3
3
Câu 42 (VD) Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ , a > 0 ) thỏa z.z − 12 z + ( z − z ) = 13 − 10i . Tính S = a + b .

A.

1
.

3

A. S = −17 .

B.

B. S = 5 .

C. S = 7 .

D. S = 17 .

Câu 43 (VD) Cho hình chóp S . ABC có mặt phẳng ( SAC ) vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , SAB là tam giác
đều cạnh a 3 , BC = a 3 đường thẳng SC tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 60° . Thể tích của khối
chóp S . ABC bằng
a3 3
a3 6
a3 6
.
B.
.
C.
.
D. 2a 3 6 .
3
2
6
Câu 44 (VD) Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng Parabol, chiều rộng 8 m , chiều cao 12,5 m
. Diện tích của cổng là:
100 2

200 2
2
2
m ).
A. 100 ( m ) .
B. 200 ( m ) .
C.
D.
(
(m ) .
3
3
x −1 y −1 z
=
= và mặt phẳng
Câu 45 (VD) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ( d ) :
1
−1 3
( P ) : x + 3 y + z = 0 . Đường thẳng ( ∆ ) đi qua M ( 1;1; 2 ) , song song với mặt phẳng ( P ) đồng thời cắt

A.

đường thẳng ( d ) có phương trình là
x − 3 y +1 z − 9
=
=
A.
1
−1
2

x −1 y −1 z − 2
=
=
C.
−1
2
1

x + 2 y +1 z − 6
=
=
1
−1
2
x −1 y −1 z − 2
=
=
D.
1
−1
2

B.

Câu 46 (VDC) Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số y = f ( x ) .


Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

m

A. 0 .

C. 2 .

B. 3 .

để hàm số y = f ( x +1) + m có 5 điểm cực trị?
D. 1 .

Câu 47 (VDC) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈[ −20; 20] để tồn tại các số thực x , y thỏa mãn
2
2
đồng thời e3 x + 5 y −10 − e x + 3 y −9 = 1 − 2 x − 2 y và log 5 ( 3x + 2 y + 4 ) − ( m + 6 ) log 2 ( x + 5 ) + m + 9 = 0 .

A. 22 .

B. 23 .

C. 19 .

D. 31.

Câu 48 (VDC) Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: y = x 2 − 4 x + 4 , trục tung và trục hoành.
Xác định k để đường thẳng ( d ) đi qua điểm A ( 0; 4 ) có hệ số góc k chia ( H ) thành hai phần có
diện tích bằng nhau.
A. k = −4 .

B. k = −8 .
C. k = −6 .

D. k = −2 .
Câu 49 (VDC) Cho số phức z và w thỏa mãn z + w = 3 + 4i và z − w = 9 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T= z+w.
A. max T = 176 .

B. max T = 14 .

C. max T = 4 .

D. max T = 106 .

2
2
2
Câu 50 (VDC) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + 2 x − 4 y − 2 z = 0 và

điểm M ( 0;1; 0 ) . Mặt phẳng ( P ) đi qua M và cắt ( S ) theo đường tròn ( C ) có chu vi nhỏ nhất. Gọi
N ( x0 ; y0 ; z0 ) là điểm thuộc đường tròn ( C ) sao cho ON = 6 . Tính y0 .
A. −2 .
B. 2 .
C. −1 .
D. 3.


1.B
11.C
21.A
31.A
41.A

2.A
12.B
22.B
32.D
42.C

3.B
13.C
23.B
33.C
43.C

4.D
14.B
24.A
34.A
44.D

BẢNG ĐÁP ÁN
5.A
6.B
7.A
15.B
16.D
17.B
25.A
26.B
27.D
35.A

36.B
37.C
45.D
46.B
47.B

8.A
18.A
28.A
38.C
48.C

9.D
19.B
29.D
39.C
49.D

10.C
20.B
30.B
40.A
50.B

MA TRẬN ĐỀ THAM KHẢO 2021
MỨC ĐỘ
CHƯƠNG
Đạo hàm và
ứng dụng

NỘI DUNG

Đơn điệu của hàm số
Cực trị của hàm số
Min, Max của hàm số
Đường tiệm cận
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Hàm số mũ – Lũy thừa – Mũ – Lôgarit
lôgarit
Hàm số mũ – Hàm số lôgarit
PT mũ – PT lôgarit
BPT mũ – BPT lôgarit
Số phức
Định nghĩa và tính chất
Phép tốn
PT bậc hai theo hệ số thực
Ngun hàm Nguyên hàm
– Tích phân Tích phân
Ứng dụng tích phân tính diện tích
Ứng dụng tích phân tính thể tích
Khối đa diện Đa diện lồi – Đa diện đều
Thể tích khối đa diện
Khối trịn
Mặt nón
xoay
Mặt trụ
Mặt cầu
Phương pháp Phương pháp tọa độ
tọa độ trong Phương trình mặt cầu
khơng gian Phương trình mặt phẳng

Phương trình đường thẳng
Tổ hợp – Xác Hốn vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp
suất
Cấp số cộng (cấp số nhân)
Xác suất
Hình học
Góc
khơng gian Khoảng cách
(11)
TỔNG

ĐỀ THAM
KHẢO

NB

TH

3, 30
4, 5, 39, 46
31
6
7, 8
9, 11
10
12, 13, 47
32, 40
18, 20, 34, 42, 49
19

1
1

1
1
1

14, 15
16, 17, 33, 41
44, 48

1
1

21, 22, 43
23
24

1
1
1

25
26, 37, 50
27
28, 38, 45
1
2
29
35

36

1
1

1
1
1
1
1
2
1

1
1
1

VD

1

TỔNG
VDC

1

1
1
1
1

1
1
1

1

1
1
1

1
1
1

1

2
1

1

1

1
1

1
1
1
20

15

10

5

2
4
1
1
2
2
1
3
2
5
1
0
2
4
2
0
0
3
1
1
0
1
3

1
3
1
1
1
1
1
50


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO CỦA BGD NĂM 2021-ĐỀ 18
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 (NB) Số cách chọn 5 học sinh trong 10 học sinh của một lớp đi tham quan di tích Ngã Ba Đồng Lộc là
5
5
A. 5 .
B. C10 .
C. P5 .
D. A10 .
Lời giải
Chọn B
Mỗi cách chọn 5 học sinh trong số 10 học sinh là một tổ hợp chập 5 của 10.
Vậy số cách chọn 5 học sinh trong 10 học sinh của một lớp đi tham quan di tích Ngã Ba Đồng Lộc là

C105 .
Câu 2 (NB) Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = 3 và u2 = 9. Công sai của cấp số cộng đã cho là
A. 6.

B. 3.

C. 12.

D. −6.

Lời giải
Chọn A
Gọi công sai của cấp số cộng là d
Áp dụng công thức un = u1 + ( n − 1) d , khi đó u2 = u1 + d ⇒ d = u2 − u1 = 9 − 3 = 6.
Vậy công sai d = 6.
Câu 3 (NB) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −2; +∞ ) .

B. ( 0; +∞ ) .

C. ( −∞; − 2 ) .

D.  − 3 ; +∞  .

÷
 2


Lời giải
Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f ' ( x ) > 0 trên các khoảng

( −∞; −3)

và ( −1; +∞ )

Hàm số đồng biến trên ( −∞; −3) và ( −1; +∞ ) ⇒ hàm số đồng biến trên ( 0; +∞ ) .
Câu 4 (NB) Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại
A. x = −2
B. x = 2

C. x = 1
Lời giải

D. x = 0


Chọn D
Theo BBT

Câu 5 (TH) Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ¡ và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau.

Khi đó số cực trị của hàm số y = f ( x ) là
A. 3

B. 2

C. 4
Lời giải

D. 1

Chọn A
Do hàm số xác định trên ¡ và có biểu thức đạo hàm đổi dấu ba lần tại x1 ; x2 ; x3 nên hàm số

y = f ( x ) có ba cực trị.
Câu 6 (NB) Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. x = 1; y = 2

B. x = 2; y = 1

C. x = 2; y =

1
2

1− x
có phương trình lần lượt là
−x + 2

D. x = 2; y = −1

Lời giải
Chọn B
y = +∞; lim− y = −∞ ⇒ Tiệm cận đứng là x = 2 .
Ta có: xlim
→ 2+
x→2
lim y = 1 ⇒ Tiệm cận ngang là y = 1

x →±∞

Câu 7 (NB) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. y = x 3 − 3 x .

B. y = − x 3 + 3x .

C. y = x 4 − 2 x 2 .

D. y = − x 4 + 2 x 2 .

Lời giải
Chọn A
Nhìn vào đồ thị ta thấy đây không thể là đồ thị của hàm số trùng phương ⇒ Loại C, D
Khi x → +∞ thì y → +∞ ⇒ Loại B
Vậy chọn đáp án A
x +1
Câu 8 (TH) Số giao điểm của đồ thị hàm số y =
và đường thẳng y = 2 là
x −1
A. 1 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 6 .
Lời giải
Chọn A
x +1
Xét hàm số y =
:
x −1

D = ¡ \ { 1}


y'=

−2
; ∀x ∈ D
( x − 1) 2

Ta có bảng biến thiên của hàm số y =

Từ đó ta có số giao điểm của y =

x +1
x −1

x +1
và y = 2 là 1 giao điểm.
x −1

3
Câu 9 (NB) Với a là số thực dương tùy ý, log 2 ( a ) bằng:

A.

3
log 2 a.
2

B.

1
log 2 a.
3

C. 3 + log 2 a.

D. 3log 2 a.

Lời giải
Chọn D
3
Ta có: log 2 ( a ) = 3log 2 a.

Câu 10 (NB) Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số dương x ?
x
1
ln10
A. ( log x) ′ = x ln10 .
B. ( log x) ′ =
. C. ( log x) ′ =
. D. ( log x) ′ =
.
ln10
x ln10
x
Lời giải
Chọn C
1
.

( log x) ′ = xln10
1

Câu 11 (TH) Rút gọn biểu thức P = x 2 . 8 x (với x > 0 ).
5

A. x 4 .

5

B. x 16 .

1

C. x 8 .

D. x 16 .

Lời giải
Chọn C
1

1

1

1 1

5

Ta có P = x 2 . 8 x = x 2 .x 8 = x 2 + 8 = x 8 .
Câu 12 (NB) Phương trình 52 x+1 = 125 có nghiệm là
5
A. x = .
B. x = 1 .
2

C. x = 3 .

D. x =

Lời giải
Chọn B
Ta có: 52 x+1 = 125 ⇔ 52 x+1 = 53 ⇔ 2 x + 1 = 3 ⇔ x = 1 .

3
.
2

2
Câu 13 (TH) Tổng bình phương các nghiệm của phương trình log 1 ( x − 5 x + 7 ) = 0 bằng
2

A. 6 .

B. 5 .

C. 13 .
Lời giải

D. 25 .


Chọn C
Điều kiện: x ∈ ¡ vì x 2 − 5 x + 7 > 0, ∀x ∈ ¡
log 1 ( x 2 − 5 x + 7 ) = 0 ⇔ x 2 − 5 x + 7 = 1 ⇔ x 2 − 5 x + 6 = 0 ⇔ x1 = 2 ∨ x2 = 3 ⇒ x12 + x22 = 13
2

3
Câu 14 (NB) Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x + 3x + 2 là
2
A. F ( x ) = 3 x + 3 x + C .

x 4 x2
+ + 2x + C .
4 2

C. F ( x ) =

B. F ( x ) =

x 4 3x2
+
+ 2x + C .
4
2

D. F ( x ) =

x4

+ 3x 2 + 2 x + C .
3

Lời giải
Chọn B
x 4 3x 2
+
+ 2x + C .
4
2
Câu 15 (TH) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 6 x.
Ta có:

∫( x

3

+ 3 x + 2 ) dx =

A. ∫ cos 6 xdx = 6sin 6 x + C .

1
B. ∫ cos 6 xdx = sin 6 x + C .
6

1
C. ∫ cos 6 xdx = − sin 6 x + C.
6

D. ∫ cos 6 xdx = sin 6 x + C .

Lời giải

Chọn B
Ta có: ∫ cos 6 xdx =
Câu 16 (NB) Cho

1
1
cos 6 xd ( 6 x ) = sin 6 x + C .
∫
6
6

2

4

4

−2

−2

2

∫ f ( x ) dx = 1 , ∫ f ( t ) dt = −4 . Tính I = ∫ f ( y ) dy .

A. I = 5 .

B. I = 3 .

C. I = −3 .
Lời giải

D. I = −5 .

Chọn D
4

∫

Do tích phân khơng phụ thuộc vào biến số nên

f ( t ) dt =

−2
4

4

2

2

Ta có I = ∫ f ( y ) dy = ∫ f ( x ) dx =

4

2

−2

−2

4

∫ f ( x )dx = −4 .

−2

∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = −4 − 1 = −5 .

2

∫

Câu 17 (TH) Tính tích phân I = (2 x + 1)dx
0

A. I = 5 .

C. I = 2 .
Lời giải

B. I = 6 .

Chọn B
2

∫

(

Ta có I = (2 x + 1) dx = x + x
0

2

)

2
0

= 4+2=6.

Câu 18 (NB) Số phức liên hợp của số phức z = 2020 − 2021i
A. z = 2020 + 2021i .
B. z = −2020 − 2021i .
C. z = −2020 + 2021i .
D. z = 2020 − 2021i .
Lời giải
Chọn A
Số phức liên hợp của số phức z = 2020 − 2021i là z = 2020 + 2021i .

D. I = 4 .


Câu 19 (NB) Cho hai số phức z1 = 2 + 3i , z2 = −4 − 5i . Số phức z = z1 + z2 là
A. z = 2 + 2i .
B. z = −2 − 2i .

C. z = 2 − 2i .
Lời giải
Chọn B
z = z1 + z2 = 2 + 3i − 4 − 5i = −2 − 2i .

D. z = −2 + 2i .

Câu 20 (NB) Cho số phức z = 4 − 5i . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức z là điểm nào?
A. M ( −5; 4 ) .
B. N ( 4;5 ) .
C. P ( 4; − 5 ) .
D. Q ( −4;5 ) .
Lời giải
Chọn B

Ta có z = 4 + 5i . Điểm biểu diễn số phức z là N ( 4; 5 ) .
Câu 21 (NB) Một khối lăng trụ có chiều cao bằng 2a và diện tích đáy bằng 2a 2 . Tính thể tích khối lăng trụ.
A. V = 4a3 .

B. V =

4a 2
.
3

C. V =

4a 3
.
3

D. V =

2a 3
.
3

Lời giải
Chọn A
Thể tích khối lăng trụ đã cho là: V = Sđáy.h = 2a 2 .2a = 4a 3 .
Cõu 22 (TH) Cho khối chóp có diện tích đáy bằng 6cm2 và có chiều cao là 2cm . Thể tích của khối chóp đó
là :
A. 6cm3 .
B. 4cm3 .
C. 3cm3 .
D. 12cm3 .
Lời giải
Chọn B
1
1
3
Thể tích của khối chóp là: V = h.S day = .2.6 = 4 ( cm ) .
3
3
Câu 23 (NB) Gọi l , h , r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của một hình nón. Thể tích
của khối nón tương ứng bằng
1 2
1 2
A. V =πr l.
B. V =πr h.

C. V =πrl.
D. V =πrl.
2
3
3
Lời giải
Chọn B

1
3

Thể tích khối nón có chiều cao h , bán kính đáy r là V =πr

2

h.

Câu 24 (NB) Tính theo a thể tích của một khối trụ có bán kính đáy là a , chiều cao bằng 2a .
2π a 3
π a3
A. 2π a 3 .
B.
.
C.
.
D. π a 3 .
3
3
Lời giải
Chọn A

Thể tích của khối trụ là: V = π R 2 .h = π .a 2 .2a = 2π a3 .


Câu 25 (NB) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2;3; - 1) và B ( - 4;1;9) . Trung điểm I của đoạn thẳng
AB có tọa độ là

A. ( - 1; 2; 4) .

B. ( - 2; 4;8) .

C. ( - 6; - 2;10) .

D. ( 1; - 2; - 4) .

Lời giải
Chọn A
x A + xB 2 - 4
ïìï
ïï xI = 2 = 2 =- 1
ïï
ï
y + yB 3 +1
=
= 2 Þ I ( - 1; 2; 4) .
Cơng thức tọa độ trung điểm: ïí yI = A
ïï
2
2
ïï
ïï z = z A + z B = - 1 + 9 = 4

ïïỵ I
2
2
Câu 26 (NB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu có phương trình

( x + 2 ) + ( y − 3) + z 2 = 5
A. I ( 2;3;0 ) , R = 5 .
C. I ( 2;3;1) , R = 5 .
2

2

là :
B. I ( −2;3; 0 ) , R = 5 .
D. I ( 2; − 2;0 ) , R = 5 .
Lời giải

Chọn B
Mặt cầu có tâm I ( −2;3;0 ) và bán kính là R = 5 .
Câu 27 (TH) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + z − 2 = 0 .
A. Q ( 1; −2; 2 ) .

B. P ( 2; −1; −1) .

C. M ( 1;1; −1) .

D. N ( 1; −1; −1) .

Lời giải
Chọn D

+ Thay toạ độ điểm Q vào phương trình mặt phẳng ( P ) ta được 2.1 − ( −2 ) + 2 − 2 = 4 ≠ 0 nên

Q ∉ ( P) .
+ Thay toạ độ điểm P vào phương trình mặt phẳng ( P ) ta được 2.2 − ( −1) + ( −1) − 2 = 2 ≠ 0 nên

P ∉ ( P) .
+ Thay toạ độ điểm M vào phương trình mặt phẳng ( P ) ta được 2.1 − 1 + ( − 1) − 2 = −2 ≠ 0 nên

M ∉ ( P) .
+ Thay toạ độ điểm N vào phương trình mặt phẳng ( P ) ta được 2.1 − ( −1) + ( −1) − 2 = 0 nên

N ∈ ( P) .
x +1 y − 2 z
=
=
, vectơ nào dưới
1
3
−2

Câu 28 (NB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :
đây là vtcp của đường thẳng d ?
r
r
A. u = ( −1; −3; 2 ) .
B. u = ( 1;3; 2 ) .
Chọn A

r
C. u = ( 1; −3; −2 ) .

Lời giải

r
D. u = ( −1;3; −2 ) .

r
d có vtcp u = ( −1; −3; 2 ) .
Câu 29 (TH) Gieo mọt con súc sắc ba lần. Xác suất để được mặt số hai xuất hiện cả ba lần là.
1
1
1
1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
172
18
20
216
Lời giải


Chọn D
3
Số phần tử của không gian mẫu là: Ω = 6 = 216 .

Số phần tử của không gian thuận lợi là: Ω A = 1 .
Xác suất biến cố A là: P ( A ) =

1
.
216

Câu 30 (TH) Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = x 3 + 3 x 2 + 1 .
A. ( −∞ ; −2 ) ∪ ( 0; +∞ ) .

B. ( −∞ ; −2 ) và ( 0; +∞ ) .

C. ( −2;0 ) .

D. ( −∞ ; −3 ) và ( 0; +∞ ) .
Lời giải

Chọn B
x = 0
.
y′ = 3 x 2 + 6 x = 0 ⇔ 
 x = −2
x −∞
y′

−2

+

0

+∞

0

−

0

+

Vậy hàm số đồng biến trên ( −∞ ; −2 ) và ( 0; +∞ ) .
Câu 31 (TH) Cho hàm số y = x3 + 3x 2 − 9 x + 1 . Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn

[ 0; 4]

là
A. M = 77 ; m = −4 .
C. M = 77 ; m = 1 .

B. M = 28 ; m = 1 .
D. M = 28 ; m = −4 .
Lời giải

Chọn A
3
2
Đặt f ( x ) = x + 3x − 9 x + 1 .
Ta có: y ′ = 3 x 2 + 6 x − 9 .

 x = 1∈ ( 0; 4 )
.
y′ = 0 ⇔ 3 x 2 + 6 x − 9 = 0 ⇔ 
x
=
−
3
∉
0;
4
(
)

Có: f ( 0 ) = 1 ; f ( 1) = −4 ; f ( 4 ) = 77 .
Suy ra: M = 77 ; m = −4 .
Câu 32 (TH) Tập nghiệm của bất phương trình log3 ( 2 x − 1) < 3 là
A. ( −∞;14 ) .

1 
B.  ;5 ÷.
2 

1

C.  ;14 ÷.
2

Lời giải

1


D.  ;14 ÷ .
2


Chọn D
2 x − 1 > 0
1
log 3 ( 2 x − 1) < 3 ⇔ 
⇔ < x < 14 .
2
2 x − 1 < 27
1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  ;14 ÷ .
2 
Câu 33 (VD) Cho
A. −3 .
Chọn C

1

1

1

0

0

0

∫ f ( x ) dx = 2 và ∫ g ( x ) dx = 5 , khi đó ∫  f ( x ) − 2 g ( x )  dx bằng
B. 12 .

C. −8 .
Lời giải

D. 1 .


1

1

1

0

0

0

Ta có: ∫  f ( x ) − 2 g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − 2∫ g ( x ) dx = 2 − 2.5 = −8 .
Câu 34 (TH) Cho hai số phức z1 = 3 − i và z2 = −1 + i . Phần ảo của số phức z1 z2 bằng
A. 4 .
B. 4i .
C. −1 .
D. −i .
Lời giải

Chọn A
Ta có z1 z2 = ( 3 − i ) ( −1 + i ) = −2 + 4i .
Vậy phần ảo của số phức z1 z2 bằng 4 .
Câu 35 (VD) Cho hình chóp S . ABC có SA = SB = CB = CA , hình chiếu vng góc của S lên mặt phẳng

( ABC )

trùng với trung điểm I của cạnh AB . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC )

bằng.

A. 450 .

B. 900 .

C. 600 .
Lời giải

D. 300 .

Chọn A
Vì SI ⊥ ( ABC ) suy ra IC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng ( ABC ) .

· .
Khi đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) là góc giữa SC và IC hay góc SCI
Lại có, ∆SAB = ∆CAB suy ra CI = SI , nên tam giác SIC vuông cân tại I .
· = 450 .
Khi đó SCI
Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng 450 .

Câu 36 (VD) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a . Gọi M là trung điểm của SD
. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( SAC ) bằng
A.

a 2
.
2

Chọn B

B.

a 2
.
4

a
.
2
Lời giải

C.

D.

a
.
4

1
1
1
a 2
.
d ( M , ( SAC ) ) = d ( D, ( SAC ) ) = DO = BD =
2
2
4
4
Câu 37 (TH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (( 1; −2; 3) và ( S )

đi qua điểm A ( 3;0; 2 ) .
A. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 3 .

B. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 9 .

C. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 9 .

D. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 3 .

2
2

2
2

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải
Chọn C
Ta có bán kính mặt cầu là R = IA =

( 3 − 1)

2

+ ( 0 + 2 ) + ( 2 − 3) = 3 .
2

2

Vậy phương trình mặt cầu ( S ) là ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 9 , chọn C.
2

Câu 38 (TH)

2

2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình tham số của đường thẳng

x−4 y +3 z −2
=
=
.
1
2
−1
 x = 1 − 4t
 x = −4 + t


A. ∆ :  y = 2 + 3t .
B. ∆ :  y = 3 + 2t .
 z = −1 − 2t
 z = −2 − t


∆:

x = 4 + t

C. ∆ :  y = −3 + 2t .
z = 2 − t



 x = 1 + 4t

D. ∆ :  y = 2 − 3t .
 z = −1 + 2t


Lời giải
Chọn C

r
Ta có ∆ đi qua điểm A ( 4; −3; 2 ) có véctơ chỉ phương u = ( 1; 2; −1) .

x = 4 + t

Do đó phương trình tham số là ∆ :  y = −3 + 2t .
z = 2 − t

Câu 39 (VD) Cho đồ thị hàm số y = f ( x) có dạng hình vẽ bên. Tính tổng tất cả giá trị nguyên của m để hàm
số y = f ( x) − 2m + 5 có 7 điểm cực trị.

A. 6 .

B. 3 .

C. 5 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn C
Để đồ thị hàm số y = f ( x ) − 2m + 5 có 7 điểm cực trị thì đồ thị hàm số y = f ( x) tịnh tiến lên trên
hoặc xuống không quá 2 đơn vị. Vậy −2 < 5 − 2m < 2 ⇔

3
7
< m < ⇒ m ∈ { 2;3}
2
2

Vậy tổng tất cả các số nguyên của m là 5 .

(

)

3
Câu 40 (VD) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau log 1 ( x − 1) > log 1 x + x − m có
2

nghiệm.
A. m ∈¡ .

B. m < 2 .

C. m ≤ 2 .
Lời giải

2

D. Không tồn tại m.

Chọn A

x −1 > 0
x > 1
⇔
u cầu bài tốn ⇔ 
có
nghiệm
có nghiệm.

3
3
x −1 < x + x − m
m < x + 1 = f ( x)
'
2
Khảo sát hàm y = f ( x) trên khoảng ( 1;+ ∞ ) , ta có f ( x ) = 3x > 0; ∀ x >1 .
Bảng biến thiên sau:

Từ BBT ta thấy để hệ có nghiệm ta có ∀m ∈ ¡ .
Câu 41 (VD) Cho

π
4

2 + 3 tan x

dx = a 5 + b 2, với a, b ∈ ¡ . Tính giá trị biểu thức A = a + b.
1 + cos 2 x

∫
0

1
A. .
3

B.

7
.
12

2
.
3
Lời giải

C.

D.

4
.
3

Chọn A

π
4

Ta có I =
∫
0

π
4
2 + 3 tan x
2 + 3 tan x
dx = ∫
dx
1 + cos 2 x
2 cos 2 x
0

Đặt u = 2 + 3 tan x ⇒ u 2 = 2 + 3 tan x ⇒ 2udu =
Đổi cận x = 0 ⇒ u = 2
π
x= ⇒u= 5.
4
5
1
1 3
2
Khi đó I = ∫ u du = u
3 2
9

3
dx
cos 2 x

5 5 2 2
.
−
9
9
5
2
1
Do đó a = , b = − ⇒ a + b = .
9
9
3
Câu 42 (VD) Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ , a > 0 ) thỏa z.z − 12 z + ( z − z ) = 13 − 10i . Tính S = a + b .

A. S = −17 .
Chọn C
Ta có:

5

2

=

B. S = 5 .

C. S = 7 .
Lời giải

D. S = 17 .



a 2 + b 2 − 12 a 2 + b 2 = 13
z.z − 12 z + ( z − z ) = 13 − 10i ⇔ a 2 + b 2 − 12 a 2 + b 2 + 2bi = 13 − 10i ⇔ 

2b = −10

  a 2 + 25 = 13
 

a = ±12 a = 12 , vì
a + 25 − 12 a + 25 = 13
⇔
⇔   a 2 + 25 = −1( VN ) ⇔ 
⇒
a > 0.

b
=
−
5
b
=
−
5





b = −5
b = −5
2

2

Vậy S = a + b = 7 .

Câu 43 (VD) Cho hình chóp S . ABC có mặt phẳng ( SAC ) vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , SAB là tam giác
đều cạnh a 3 , BC = a 3 đường thẳng SC tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 60° . Thể tích của khối
chóp S . ABC bằng
A.

a3 3
.
3

B.

a3 6
.
2

a3 6
.
6

Lời giải

C.

D. 2a 3 6 .

Chọn C

Ta thấy tam giác ABC cân tại B , gọi H là trung điểm của AB suy ra BH ⊥ AC.
Do ( SAC ) ⊥ ( ABC ) nên BH ⊥ ( SAC ) .
Ta lại có BA = BC = BS nên B thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ H là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác SAC ⇒ SA ⊥ SC .
·
Do AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng ( ABC ) ⇒ SCA
= 60 0 .
Ta có SC = SA.cot 600 = a , AC =

SA
= 2a ⇒ HC = a ⇒ BH = BC 2 − HC 2 = a 2 .
sin 600

3
1
1
VS . ABC = BH .S SAC = BH .SA.SC = a 6 .
3
6
6
Câu 44 (VD) Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng Parabol, chiều rộng 8 m , chiều cao 12,5 m
. Diện tích của cổng là:

100 2
200 2
2
2
m ).
A. 100 ( m ) .
B. 200 ( m ) .
C.
D.
(
(m ) .
3
3
Lời giải
Chọn D
Cách 1:


Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ mà trục đối xứng của Parabol trùng với trục tung, trục hoành trùng với
đường tiếp đất của cổng.
Khi đó Parabol có phương trình dạng y = ax 2 + c .
Vì ( P ) đi qua đỉnh I ( 0;12,5 ) nên ta có c = 12, 5 .

( P)

cắt trục hồnh tại hai điểm A ( −4;0 ) và B ( 4;0 ) nên ta có 0 = 16a + c ⇒ a =

( P) : y = −

−c

25
= − . Do đó
16
32

25 2
x + 12,5 .
32
4

200 2
 25 2

Diện tích của cổng là: S = ∫  − x + 12,5 ÷dx =
(m ) .
32
3

−4 
Cách 2:

Ta có parabol đã cho có chiều cao là h = 12,5m và bán kính đáy OD = OE = 4m .
4
200 2
Do đó diện tích parabol đã cho là: S = rh =
(m ) .
3
3
x −1 y −1 z
=

= và mặt phẳng
Câu 45 (VD) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ( d ) :
1
−1 3
( P ) : x + 3 y + z = 0 . Đường thẳng ( ∆ ) đi qua M ( 1;1; 2 ) , song song với mặt phẳng ( P ) đồng thời cắt
đường thẳng ( d ) có phương trình là


x − 3 y +1 z − 9
=
=
1
−1
2
x −1 y −1 z − 2
=
=
C.
−1
2
1

x + 2 y +1 z − 6
=
=
1
−1
2
x −1 y −1 z − 2
=

=
D.
1
−1
2
Lời giải

A.

B.

Chọn D

x = 1+ t

Phương trình tham số của ( d ) :  y = 1 − t , t ∈ ¡ .
 z = 3t

r
Mặt phẳng ( P ) có véc tơ pháp tuyến n = ( 1;3;1) .

Giả sử ∆ ∩ d = A ( 1 + t ;1 − t;3t ) .
uuur
uuur r
⇒ MA = ( t ; −t ;3t − 2 ) là véc tơ chỉ phương của ∆ ⇒ MA.n = 0 ⇔ t − 3t + 3t − 2 = 0 ⇔ t = 2 .
uuur
x −1 y −1 z − 2
⇒ MA = ( 2; −2; 4 ) = 2 ( 1; −1; 2 ) . Vậy phương trình đường thẳng ∆ :
=
=

.
1
−1
2
Câu 46 (VDC) Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số y = f ( x ) .

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
A. 0 .

B. 3 .

m

để hàm số y = f ( x +1) + m có 5 điểm cực trị?

C. 2 .
Lời giải

D. 1 .

Chọn B
Đồ thị của hàm số y = f ( x +1) + m được suy ra từ đồ thị ( C ) ban đầu như sau:
+ Tịnh tiến ( C ) sang trái một đơn vị, sau đó tịnh tiến lên trên (hay xuống dưới)

m

đơn vị. Ta được

đồ thị ( C ¢) : y = f ( x +1) + m .
+ Phần đồ thị ( C ¢) nằm dưới trục hoành, lấy đối xứng qua trục Ox ta được đồ thị của hàm số

y = f ( x +1) + m .

Ta được bảng biến thiên của của hàm số y = f ( x +1) + m như sau.

Để hàm số y = f ( x +1) + m có 5 điểm cực trị thì đồ thị của hàm số ( C ¢) : y = f ( x +1) + m phải
cắt trục Ox tại 2 hoặc 3 giao điểm.


ïìï m > 0
ï
+ TH1: Tịnh tiến đồ thị ( C ¢) : y = f ( x +1) + m lên trên. Khi đó í - 3 + m ³ 0 Û 3 £ m < 6 .
ïï
ïïỵ - 6 + m < 0
ïì m < 0
Û m £ - 2.
+ TH2: Tịnh tiến đồ thị ( C ¢) : y = f ( x +1) + m xuống dưới. Khi đó ïí
ïïỵ 2 + m £ 0
Vậy có ba giá trị nguyên dương của m là 3; 4;5 .
Câu 47 (VDC) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈[ −20; 20] để tồn tại các số thực x , y thỏa mãn
2
2
đồng thời e3 x + 5 y −10 − e x + 3 y −9 = 1 − 2 x − 2 y và log 5 ( 3x + 2 y + 4 ) − ( m + 6 ) log 2 ( x + 5 ) + m + 9 = 0 .

C. 19 .
Lời giải

B. 23 .

A. 22 .

D. 31.

Chọn B
Ta có e3 x + 5 y −10 − e x+ 3 y − 9 = 1 − 2 x − 2 y

⇔ e3 x + 5 y −10 − e x + 3 y − 9 = ( x + 3 y − 9 ) − ( 3x + 5 y − 10 )
⇔ e3 x + 5 y −10 + 3 x + 5 y − 10 = e x + 3 y − 9 + x + 3 y − 9

t
Xét hàm số f ( t ) = e + t , t ∈ ¡ .

t
Ta có: f ′ ( t ) = e + 1 > 0, ∀ t ∈ ¡ . Suy ra hàm số f ( t) luôn đồng biến trên ¡ .
⇒ 3 x + 5 y −10 = x + 3 y − 9 ⇔ 2 y = 1 − 2 x .
Thay vào phương trình thứ 2, ta được
log 52 ( 3x + 2 y + 4 ) − ( m + 6 ) log 2 ( x + 5 ) + m 2 + 9 = 0

⇔ log 52 ( x + 5 ) − ( m + 6 ) log 2 ( x + 5 ) + m 2 + 9 = 0
⇔ log52 ( x + 5 ) − ( m + 6 ) log 2 5.log 5 ( x + 5 ) + m 2 + 9 = 0 ( 1) .

Đặt log 5 ( x + 5 ) = t ( t ∈ ¡ , x > − 5 ) . Khi đó phương trình (1) trở thành

t 2 − log 2 5. ( m + 6 ) t + m 2 + 9 = 0 (2).
Tồn tại x , y thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm nên
∆ = ( m + 6 ) .log 22 5 − 4 ( m2 + 9 ) ≥ 0 ⇔ ( log 22 5 − 4 ) m 2 +12.log 22 5.m − 36 ( 1 − log 22 5 ) ≥ 0 .
2

 m ≤ m1
⇔
với m1 ≈ −43.91 và m2 ≈ −2.58

 m ≥ m2
Do m ∈[ −20; 20] và m ∈ ¢ nên m ∈ { −2; −1;0;...;19; 20} .
Vậy có 23 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 48 (VDC) Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: y = x 2 − 4 x + 4 , trục tung và trục hoành.
Xác định k để đường thẳng ( d ) đi qua điểm A ( 0; 4 ) có hệ số góc k chia ( H ) thành hai phần có
diện tích bằng nhau.
A. k = −4 .

B. k = −8 .

C. k = −6 .
Lời giải

D. k = −2 .

Chọn C
Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 4 và trục hoành là:

x2 − 4 x + 4 = 0 ⇔ x = 2 .
Diện tích hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số: y = x 2 − 4 x + 4 , trục tung và trục hoành là:
2

S=∫
0

2

2

 x3


8
x − 4 x + 4 dx = ∫ ( x − 4 x + 4 ) dx =  − 2 x 2 + 4 x ÷ = .
0
 3
0 3
2

2


Phương trình đường thẳng ( d ) đi qua điểm A ( 0;4 )
có hệ số góc k có dạng: y = kx + 4 .
 −4 
Gọi B là giao điểm của ( d ) và trục hoành. Khi đó B  ;0 ÷.
 k 

Đường thẳng ( d ) chia ( H ) thành hai phần có diện tích
bằng nhau khi B ∈ OI và S ∆OAB =

1
4
S=
2
3.

−4

0 < k < 2
k < −2

⇔
⇔
⇔ k = −6 .
1
1 −4 4
k = −6

S
= OA.OB = .4. =
 ∆OAB 2
2
k
3

Câu 49 (VDC) Cho số phức z và w thỏa mãn z + w = 3 + 4i và z − w = 9 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T= z+w.
A. max T = 176 .

B. max T = 14 .

C. max T = 4 .
Lời giải

D. max T = 106 .

Chọn D
Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) . Do z + w = 3 + 4i nên w = ( 3 − x ) + ( 4 − y ) i .
Mặt khác z − w = 9 nên z − w =

( 2 x − 3)

2

+ ( 2 y − 4 ) = 4 x 2 + 4 y 2 − 12 x − 16 y + 25 = 9
2

⇔ 2 x 2 + 2 y 2 − 6 x − 8 y = 28 ( 1) . Suy ra T = z + w = x 2 + y 2 +

( 3 − x)

2

2
+ ( 4 − y) .

2
2
2
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có T ≤ 2 ( 2 x + 2 y − 6 x − 8 y + 25 )

( 3 − x) + ( 4 − y) .
2
Từ ( 1) và ( 2 ) ta có T ≤ 2. ( 28 + 25 ) ⇔ − 106 ≤ T ≤
Dấu " = " xảy ra khi

x2 + y 2 =

2

( 2) .

2

106 . Vậy MaxT = 106 .

2
2
2
Câu 50 (VDC) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + 2 x − 4 y − 2 z = 0 và

điểm M ( 0;1; 0 ) . Mặt phẳng ( P ) đi qua M và cắt ( S ) theo đường trịn ( C ) có chu vi nhỏ nhất. Gọi
N ( x0 ; y0 ; z0 ) là điểm thuộc đường tròn ( C ) sao cho ON = 6 . Tính y0 .
A. −2 .
B. 2 .
C. −1 .
D. 3.
Lời giải
Chọn B
Mặt cầu ( S ) có tâm I ( −1; 2;1) , bán kính R = 6 .
Bán kính đường trịn ( C ) r = R 2 − d 2 = 6 − d 2 với d = d ( I , ( P ) )
Chu vi ( C ) nhỏ nhất khi và chỉ khi r nhỏ nhất ⇔ d lớn nhất
Ta có d ≤ IM ⇒ d max = IM ⇔ ( P ) đi qua M và vng góc IM


uuur

( P ) đi qua M ( 0;1; 0 ) , và nhận IM = ( 1; −1; −1)
⇒ ( P ) : x − ( y − 1) − z = 0 ⇔ x − y − z + 1 = 0

làm VTPT

Ta có tọa độ N thỏa hệ
 x2 + y 2 + z 2 + 2x − 4 y − 2z = 0
 2 x − 4 y − 2 z = −6
y = 2



⇔ x − y − z +1 = 0 ⇔ x = y + z −1
⇒ y=2
x − y − z +1 = 0
 x2 + y 2 + z 2 = 6
 x2 + y 2 + z 2 = 6
 x2 + y 2 + z 2 = 6


