27 đề thi thử TN THPT 2021 môn toán bộ đề chuẩn cấu trúc minh họa đề 27 file word có lời giải

ĐỀ THI THỬ CHUẨN CẤU
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG NĂM 2021
TRÚC MINH HỌA
Bài thi: TỐN
ĐỀ SỐ 27
Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề
(Đề thi có 05 trang)
Họ, tên thí sinh: …………………………………………………
Số báo danh: …………………………………………………….
Câu 1.

Cho mặt cầu có bán kính R = 3. Diện tích của mặt cầu đã cho bằng
A. 9π .
B. 36π .
C. 18π .

Câu 2.

Thể tích của một khối lập phương bằng 27. Cạnh của khối lập phương đó là
A. 3 .
B. 3 3 .
C. 27 .
D. 2 .

Câu 3.

Phương trình log 2 ( x + 1) = 2 có nghiệm là
A. x = −3
B. x = 1
C. x = 3
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình bên?

Câu 4.

A. y = x 3 − 3x − 1
Câu 5.

B. y = x 3 − 3x 2 − 3x − 1 C. y =

1 3
x + 3x − 1
3

D. 16π .

D. x = 8

D. y = x 3 + 3 x 2 − 3 x + 1

Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x 3 − 3x 2 + 1 tại điểm A (3;1) là đường thẳng
A. y = −9 x − 26

B. y = −9 x − 3

C. y = 9 x − 2

D. y = 9 x − 26

Câu 6.

Cho cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 = 2 và công sai d = 5 . Giá trị u4 bằng

A. 250.
B. 17.
C. 22.
D. 12.

Câu 7.

Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( −1;0 ) .
Câu 8.

Câu 9.

B. ( −1;1) .

C. ( −1; +∞ ) .

Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là
7!
3
A.
B. 21
C. A7
3!

D. ( 0;1) .

3
D. C7

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin x là
A. F ( x ) = tan x + C .

B. F ( x ) = cos x + C .

C. F ( x ) = − cotx + C . D. F ( x ) = −cos x + C .

Câu 10. Gọi a , b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z = −3 + 2i . Giá trị của a − b bằng
A. 1 .
B. 5 .
C. −5 .
D. − 1 .
Câu 11. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 6 x và các đường thẳng y = 0, x = 1, x = 2 .
Thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành bằng


2

A. π ∫ 6 xdx .
1

2

C. π ∫ 6 x dx .

B. π ∫ 6 x dx .

2

0

1

3

Câu 12. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn
A. I = −4.

2

2

∫

f ( x ) dx = 5 và

3

∫

−1

1

B. I = −6.

1

2

D. π ∫ 6 x dx .
0

f ( x ) dx = 1 . Tính tích phân I =
C. I = 6.

1

∫ f ( x ) dx .

−1

D. I = 4.

Câu 13. Cho số phức z có điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm M ( 3; −5) . Xác định số phức
liên hợp z của z.
A. z = 3 + 5i.

B. z = −5 + 3i.

C. z = 5 + 3i.

D. z = 3 − 5i.

Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm A ( −3;1; 2 ) . Tọa độ điểm A ' đối xứng với điểm A qua
trục Oy là:
A. ( 3; −1; −2 )
B. ( 3; −1; 2 )
C. ( −3; −1; 2 )
D. ( 3;1; −2 )

Câu 15. Thể tích của một khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a 2 là:
a3 6
a3 6
a3 6
A. V =
B. V = a 3 6
C. V =
D. V =
4
2
12
Câu 16. Cho hàm số y = f ( x ) , liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Tìm số nghiệm
thực của phương trình 2 f ( x ) + 7 = 0

A. 1

B. 3

Câu 17. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) =
A. −2.

B.

1
.
2

C. 4

D. 2

x
trên đoạn [ −2;3] bằng
x+3
C. 3.

D. 2.

Câu 18. Cho hình trụ có thiết diện đi qua trục là một hình vng có cạnh bằng 4a. Diện tích xung quanh
của hình trụ là
A. S = 4π a 2 .
B. S = 8π a 2 .
C. S = 24π a 2 .
D. S = 16π a 2 .
2 x−3

1
Câu 19. Xác định tập nghiệm S của bất phương trình  ÷ ≥ 3.
3
A. S = ( 1; +∞ ) .
B. S = ( −∞;1) .
C. S = (−∞;1].

D. S = [1; +∞ ).

Câu 20. Trong khơng gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M ( 2;0; −1) và có
r
vecto chỉ phương u = ( 2; −3;1) là
 x = −2 + 2t


A.  y = −3t
 z = −1 + t


 x = 2 + 2t

B.  y = −3
z = 1− t


 x = −2 + 2t

C.  y = −3t
z = 1+ t


Câu 21. Cho số phức z thoả mãn z − 3 + i = 0 . Môđun của z bằng
A. 10 .
B. 10 .
C. 3 .

 x = 2 + 2t

D.  y = −3t
 z = −1 + t


D. 4 .

Câu 22. Trong không gian Oxyz cho điểm I ( 2;3; 4 ) và A ( 1; 2;3) . Phương trình mặt cầu tâm I và đi qua A
có phương trình là:
2
2
2
2
2
2
A. ( x + 2 ) + ( y + 3) + ( z + 4 ) = 3
B. ( x + 2 ) + ( y + 3) + ( z + 4 ) = 9
C. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z − 4 ) = 45
2

2

D. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z − 4 ) = 3

2

2

2

2

Câu 23. Cho hình chóp S . ABCD có SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a , ABCD là hình chữ nhật
và AB = a, AD = a 2 . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD ) là

A. 600 .
Câu 24.

(
Nếu

B. 450 .
3− 2

)

x

A. ∀x ∈ ¡ .

C. 900 .

D. 300 .

C. x > −1 .

D. x < −1 .

> 3+ 2

thì
B. x < 1 .

Câu 25. Trong khơng gian Oxyz, cho điểm M ( 1; 0; 2 ) và đường thẳng ∆ :

x − 2 y +1 z − 3
=

=
. Mặt phẳng
1
2
−1

đi qua M và vng góc với ∆ có phương trình là
A. x + 2 y − z − 3 = 0.
B. x + 2 y − z − 1 = 0.
C. x + 2 y − z + 1 = 0.

(

)(

D. x + 2 y + z + 1 = 0.

)

2
3
Câu 26. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( x − 1) x − 4 x − 1 , ∀x ∈ ¡ . Số điểm cực trị của hàm

số đã cho là
A. 1

B. 4

C. 2

D. 3

Câu 27. Trong không gian Oxyz , cho điểm I ( 2; 4; − 3) . Bán kính mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với mặt
phẳng ( Oxz ) là
A. 2

B. 16

C. 3

D. 4

P = log a x.
Câu 28. Cho log a x = 2,log b x = 3 với a, b là các số thực lớn hơn 1 .Tính
2
b

A. P = 6.

1
B. P = − .
6

Câu 29. Số tiệm cận của đồ thị hàm số y =
A. 1 .

B. 2 .

4 − x2
là:

x+3

C. P = −6.

1
D. P = .
6

C. 0 .

D. 3 .

Câu 30. Hàm số y = log a x và y = log b x có đồ thị như hình vẽ dưới đây.


Đường thẳng y = 3 cắt hai đồ thị tại các điểm có hồnh độ x1 , x2 . Biết rằng x2 = 2 x1 , giá trị của
a
bằng
b
A.

1
.
3

B.

3.

C. 2 .

D.

3

2.

Câu 31. Đường thẳng ( ∆ ) là giao của hai mặt phẳng x + z − 5 = 0 và x − 2 y − z + 3 = 0 thì có vecto chỉ
phương là:
A. ( 1; 2;1)
B. ( 2; 2; 2 )
C. ( 1;1; −1)
D. ( 1; 2; −1)
Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt
phẳng vng góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SAD ) .
A.

a 3
6

B.

a 3
2

C.

a 3
3

D.

a 3
4

2
2
2
Câu 33. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + 2 x + 4 y − 6 z − m + 4 = 0 . Tìm số thực m

để mặt phẳng ( P ) : 2 x − 2 y + z + 1 = 0 cắt ( S ) theo một đường trịn có bán kính bằng 3.
A. m = 3.

B. m = 2.

C. m = 1.

D. m = 4.

1 3
2
2
Câu 34. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y = x − mx + ( m − 4 ) x + 3 đạt cực đại tại x = 3.
3
A. m = −1 .
B. m = 5 .
C. m = 1 .
D. m = −7 .
2
Câu 35. Một vật chuyển động với gia tốc a ( t ) = 6t ( m / s ) . Vận tốc của vật tại thời điểm t = 2 giây là 17

m / s. Quãng đường vật đó đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 4 giây đến thời điểm
t = 10 giây là:
A. 1014m.
B. 1200m.
C. 36m.
D. 966m.

Câu 36. Biết rằng x e x là một nguyên hàm của f ( − x ) trên khoảng ( −∞; +∞ ) . Gọi F ( x ) là một nguyên
x
hàm của f ′ ( x ) e thỏa mãn F ( 0 ) = 1 , giá trị của F ( −1) bằng
A.

7
.
2

B.

5−e
.
2

C.

7−e
.
2

Câu 37. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y =
cận ngang.

A. m ∈ ∅

B. m < 0

C. m = 0

D.

5
.
2

3x + 2018
mx 2 + 5 x + 6

có hai tiệm

D. m > 0

Câu 38. Cho số phức z. Gọi A, B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng (Oxy) biểu diễn các số phức z và
( 1 + i ) z . Tính z biết diện tích tam giác OAB bằng 8
A. z = 2 2

B. z = 4 2

C. z = 2

D. z = 4

Câu 39. Biết rằng hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m chỉ nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3. Giá trị
tham số m thuộc khoảng nào sau đây?
A. ( −3;0 )
B. ( 0;3)
C. ( −∞; −3)
D. ( 3; +∞ )
x
x
Câu 40. Cho bất phương trình 9 + ( m − 1) .3 + m > 0 ( 1) . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất

phương trình ( 1) có nghiệm đúng ∀x ≥ 1
3
A. m > 0 .
B. m ≥ − .
2

C. m > −2 .

3
D. m > − .
2

Câu 41. Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi
một mặt phẳng vng góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường trịn có bán kính bằng ba
3
lần bán kính mặt đáy của thùng. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều
2
3
cao của thùng nước và đo được thể tích nước tràn ra ngồi là 54 3π (dm ). Biết rằng khối cầu
tiếp xúc với mặt trong của thùng và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình vẽ). Thể

tích nước cịn lại trong thùng có giá trị nào sau đây?

A.

46
3π (dm3).
5

B. 18 3π (dm3).

C.

46
3π (dm3).
3

Câu 42. Tìm số phức z thỏa mãn z − 2 = z và ( z + 1) ( z − i ) là số thực.
A. z = 2 − i.
B. z = 1 − 2i.
C. z = 1 + 2i.
Câu 43. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡

D. 18π (dm3).

D. z = −1 − 2i.

và thỏa mãn f ( x) + f (− x ) = 2 cos 2 x, ∀x ∈ ¡ . Khi đó

π
2

∫ f ( x ) dx

bằng

π
−
2

A. −2 .

B. 4 .

C. 2 .

D. 0 .

Câu 44. Cho hàm số y = f ( x ) là hàm đa thức bậc bốn, có đồ thị f ′ ( x ) như hình vẽ

Phương trình f ( x ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
A. f ( 0 ) > 0

B. f ( 0 ) < 0 < f ( m ) . C. f ( m ) < 0 < f ( n ) . D. f ( 0 ) < 0 < f ( n ) .


Câu 45. Cho tập hợp S = { 1; 2;3;...;17} gồm 17 số nguyên dương đầu tiên. Chọn ngẫu nhiên một tập con
có 3 phần tử của tập hợp S. Tính xác suất để tập hợp được chọn có tổng các phần tử chia hết cho
3.
27
23

9
9
A.
B.
C.
D.
34
68
34
17
Câu 46. Cho đồ thị hàm đa thức y = f ( x ) như hình vẽ. Hỏi hàm số g ( x ) = f ( x ) . f ( 2 x + 1) có tất cả bao
nhiêu điểm cực trị

A. 5

B. 6

C. 7

D. 9

Câu 47. Cho hình vng ABCD cạnh a, trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) tại A ta
lấy điểm S di động không trùng với A . Hình chiếu vng góc của A lên SB, SD lần lượt là
H , K . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ACHK .
a3
a3 6
a3 3
a3 2
A.
.

B.
.
C.
.
D.
.
6
32
16
12
Câu 48. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) cho như hình vẽ.

2
Hàm số g ( x ) = 2 f ( x − 1 ) − x + 2 x + 2020 đồng biến trên khoảng nào?

A. ( −2; 0 ) .

B. ( −3;1) .

C. ( 1;3) .

D. ( 0;1)

Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có tọa độ các điểm A ( 1;1;1) ,

B ( 2;0; 2 ) , C ( −1; −1;0 ) , D ( 0;3; 4 ) . Trên các cạnh AB , AC , AD lần lượt lấy các điểm B′, C ′, D′
AB AC AD
+
+
= 4 và tứ diện AB′C ′D′ có thể tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng

sao cho
AB′ AC ′ AD′
( B′C ′D′ ) có dạng là ax + by + cz − d = 0 . Tính a − b + c + d
A. 23
B. 19
C. 21
D. 20

Câu 50. Cho phương trình log a ( ax ) log b ( bx ) = 2020 với a, b là các tham số thực lớn hơn 1 . Gọi x1 , x2 là

 1 4
+ ÷ đạt giá trị nhỏ
các nghiệm của phương trình đã cho. Khi biểu thức P = 6 x1 x2 + a + b + 3 
 4a b 
nhất thì a + b thuộc khoảng nào dưới đây?
A. ( 6;7 )
B. ( −1; 2 )
C. ( −2;3)
D. ( 5;7 ) .
--------------------- HẾT ---------------------


A. MA TRẬN ĐỀ
LỚP

CHƯƠNG

CHỦ ĐỀ

CHƯƠNG 1. ỨNG

DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KS VÀ VẼ
ĐTHS
CHƯƠNG 2. HÀM
SỐ LŨY THỪA.
HÀM SỐ MŨ. HÀM
SỐ LOGARIT
CHƯƠNG 3.
NGUYÊN HÀM –
TÍCH PHÂN VÀ UD

12

CHƯƠNG 4. SỐ
PHỨC
CHƯƠNG 1. KHỐI
ĐA DIỆN
CHƯƠNG 2. KHỐI
TRÒN XOAY

Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Cực trị của hàm số
GTLN, GTNN của hàm số
Tiệm cận
Nhận diện và vẽ đồ thị hàm số
Tương giao
Tiếp tuyến
Lũy thừa. Hàm số lũy thừa
Logarit. Hàm số mũ. Hàm số logarit
PT mũ. PT loga

BPT mũ. BPT loga
Nguyên hàm
Tích phân
Ứng dụng tích phân
Số phức
Phép tốn trên tập số phức
Phương trình phức
Khối đa diện
Thể tích khối đa diện
Khối nón
Khối trụ
Khối cầu
Tọa độ trong khơng gian
Phương trình mặt cầu
Phương trình mặt phẳng
Phương trình đường thẳng

CHƯƠNG 3.
PHƯƠNG PHÁP
TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN
TỔ HỢP – XÁC SUẤT
CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
GÓC – KHOẢNG CÁCH
TỔNG

11

MỨC ĐỘ
TỔNG

NB TH VD VDC
1
1
1
1
1
1
1
1
1
12
1
1
1
1
1
1
7
1
1
1
1
1
1
1
1
7
1
1
1

2
1
1
5
1
3
1
1
1
1
1
1
1
1
19

1

1
3
1

2
1
1

8
1
1
5

1
14

1
12

5

50

Đề thi gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm nội dung của đề xoay quanh chương trình Tốn 12 ( chiếm 90%), ngồi
ra có một số các bài tốn thuộc nội dung Toán lớp 11 (Chiếm 10%). Đề thi được biên soạn dựa theo cấu
trúc đề minh họa môn Toán 2021 mà Bộ Giáo dục và Đào tại đã cơng bố vào cuối tháng 3. Trong đó Mức
độ VD - VDC (Chiếm 34%) – Đề thi ở mức độ khá . Đề thi bao gồm thêm những câu hỏi có thể ra trong đề
thi chính thức. Đề thi sẽ giúp HS biết được mức độ của mình để có kế hoạch ôn tập một cách hiệu quả nhất.
B. BẢNG ĐÁP ÁN
1.B
11.B
21.A
31.C
41.C

2.A
12.A
22.D
32.B
42.B

3.C

13.A
23.D
33.A
43.D

4.A
14.D
24.D
34.B
44.B

5.D
15.A
25.C
35.D
45.B

6.B
16.C
26.C
36.A
46.A

7.A
17.B
27.D
37.D
47.C

8.D

18.D
28.C
38.D
48.D

9.D
19.C
29.C
39.C
49.B

C. LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.

Cho mặt cầu có bán kính R = 3. Diện tích của mặt cầu đã cho bằng
A. 9π .
B. 36π .
C. 18π .
Chọn B
Diện tích mặt cầu là S = 4π R 2 = 4π .32 = 36π .

D. 16π .

10.C
20.D
30.D
40.D
50.D

Câu 2.

Thể tích của một khối lập phương bằng 27. Cạnh của khối lập phương đó là
A. 3 .
B. 3 3 .
C. 27 .
D. 2 .
Chọn A
Gọi cạnh của khối lập phương là a ta có a 3 = 27 ⇔ a = 3 .

Câu 3.

Câu 4.

Phương trình log 2 ( x + 1) = 2 có nghiệm là
A. x = −3
B. x = 1
C. x = 3
Chọn C
log 2 ( x + 1) = 2 ⇔ x + 1 = 2 2 ⇔ x + 1 = 4 ⇔ x = 3

D. x = 8

Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình bên?

A. y = x 3 − 3x − 1

1 3
B. y = x 3 − 3x 2 − 3x − 1 C. y = x + 3x − 1
3

D. y = x 3 + 3 x 2 − 3 x + 1

Chọn A
- Đồ thị đi qua điểm (0;-1) nên phương án D bị loại và đồ thị đi qua điểm (2;1) nên B loại
- Đồ thị có hai điểm cực trị nên phương án C bị loại ( có y ' = x 2 + 3 > 0 )
- Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;-3), thay vào phương án A thấy thỏa mãn
Câu 5.

Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x 3 − 3x 2 + 1 tại điểm A (3;1) là đường thẳng
A. y = −9 x − 26
Chọn D

B. y = −9 x − 3

C. y = 9 x − 2

D. y = 9 x − 26

2
Ta có : y ' = 3 x − 6 x ⇒ y ' ( 3) = 9

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A (3;1) là y = 9 ( x − 3 ) + 1 ⇔ y = 9 x − 26
Câu 6.

Cho cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 = 2 và cơng sai d = 5 . Giá trị u4 bằng
A. 250.
B. 17.
C. 22.
D. 12.

Chọn B
Phương pháp:
Cấp số cộng có số hạng đầu u1 và cơng sai d thì có số hạng thứ n là un = u1 + ( n − 1) d
Cách giải:
Số hạng thứ tư là u4 = u1 + 3d = 2 + 3.5 = 17

Câu 7.

Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( −1;0 ) .

B. ( −1;1) .

Chọn A
 Hàm số đồng biến trên ( −1;0 ) và ( 1; +∞ )

C. ( −1; +∞ ) .

D. ( 0;1) .


 Hàm số nghịch biến trên ( −∞; −1) và ( 0;1) .
Câu 8.

Câu 9.

Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là
7!
3

A.
B. 21
C. A7
3!
Chọn D
3
Số tập con gồm 3 phần tử của tập hợp gồm 7 phân tử là: C7 tập hợp.

3
D. C7

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin x là
A. F ( x ) = tan x + C .
Chọn D

B. F ( x ) = cos x + C .

C. F ( x ) = − cotx + C . D. F ( x ) = −cos x + C .

∫ sin xdx = −cos x + C .
Câu 10. Gọi a , b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z = − 3 + 2i . Giá trị của a − b bằng
A. 1 .
B. 5 .
C. −5 .
D. − 1 .
Chọn C
Phần thực a = −3 ; Phần ảo b = 2
Vậy a − b = −5
Câu 11. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 6 x và các đường thẳng y = 0, x = 1, x = 2 .
Thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành bằng

2

2

A. π ∫ 6 xdx .

2

1

1

2
C. π ∫ 6 x dx .

2
B. π ∫ 6 x dx .

2
D. π ∫ 6 x dx .

0

1

0

Chọn B
2

Thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành bằng π ∫
1

Câu 12. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn
A. I = −4.
Chọn A
1

I=

∫

−1

f ( x ) dx =

3

3

1

−1

∫

−1

1

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =
3

)

1

1

∫ f ( x ) dx = 5 và ∫ f ( x ) dx = 1 . Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx .

B. I = −6.
3

(

2

2

6 x dx = π ∫ 6 x 2d x .

3

∫

−1

C. I = 6.

−1

D. I = 4.

3

f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = 1 − 5 = −4 .
1

Câu 13. Cho số phức z có điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm M ( 3; −5) . Xác định số phức
liên hợp z của z.
A. z = 3 + 5i.
B. z = −5 + 3i.
C. z = 5 + 3i.
Chọn A
M ( 3; −5 ) là điểm biểu diễn của số phức z = 3 − 5i .

D. z = 3 − 5i.

Số phức liên hợp z của z là: z = 3 + 5i.
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm A ( −3;1; 2 ) . Tọa độ điểm A ' đối xứng với điểm A qua
trục Oy là:
A. ( 3; −1; −2 )
B. ( 3; −1; 2 )
C. ( −3; −1; 2 )
D. ( 3;1; −2 )
Chọn D
Toạ độ điểm A ' đối xứng với A ( −3;1; 2 ) qua trục Oy là ( 3;1; −2 )

Câu 15. Thể tích của một khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a 2 là:
a3 6
a3 6
a3 6
A. V =
B. V = a 3 6
C. V =
D. V =
4
2
12
Chọn A
Thể tích của một khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a 2 là:
V = Sh =

a2 3
a3 6
.a 2 =
4
4

Câu 16. Cho hàm số y = f ( x ) , liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Tìm số nghiệm
thực của phương trình 2 f ( x ) + 7 = 0

A. 1
B. 3
C. 4
D. 2
Chọn C
Phương pháp

Dựa vào BBT để biện luận số nghiệm của phương trình đề bài yêu cầu.
Số nghiệm của phương trình f ( x ) = m là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường
thẳng y = m .
Cách giải:
7
Ta có: 2 f ( x ) + 7 = 0 ⇔ f ( x ) = − . ( *)
2
Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng

7
y=− .
2
Ta có:

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng y = −
Câu 17. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) =
A. −2.

B.

1
.
2

7
cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 4 điểm phân biệt.
2

x
trên đoạn [ −2;3] bằng

x+3
C. 3.

D. 2.

Chọn B
Hàm số f ( x ) =

x
xác định trên đoạn [ −2;3] .
x+3

Ta có:
f '( x) =

1.3 − 0.1

( x + 3)

2

=

3

( x + 3)

2

> 0, ∀x ∈ [ −2;3] ⇒ Hàm số luôn đồng biến trên đoạn [ −2;3]

⇒ GTLN của hàm số f ( x ) =

x
3
1
=
trên đoạn [ −2;3] là: f ( 3) =
x+3
3+ 3 2

Câu 18. Cho hình trụ có thiết diện đi qua trục là một hình vng có cạnh bằng 4a. Diện tích xung quanh
của hình trụ là
A. S = 4π a 2 .
B. S = 8π a 2 .
C. S = 24π a 2 .
D. S = 16π a 2 .
Chọn D
Hình trụ có thiết diện đi qua trục là hình vng có cạnh bằng 4a ⇒ 2 R = h = 4a ⇒ R = 2a với R,
h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.
⇒ S xq = 2π Rh = 2π .2a.4a = 16π a 2 .
2 x−3

1
Câu 19. Xác định tập nghiệm S của bất phương trình  ÷ ≥ 3.
3
A. S = ( 1; +∞ ) .
B. S = ( −∞;1) .
C. S = (−∞;1].

D. S = [1; +∞ ).

Chọn C
2 x −3

1
Ta có:  ÷ ≥ 3 ⇔ 33− 2 x ≥ 3 ⇔ 3 − 2 x ≥ 1 ⇔ x ≤ 1
3
Tập nghiệm của BPT là: S = ( −∞;1] .

Câu 20. Trong khơng gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M ( 2;0; −1) và có
r
vecto chỉ phương u = ( 2; −3;1) là
 x = −2 + 2t

A.  y = −3t
 z = −1 + t


 x = 2 + 2t

B.  y = −3
z = 1− t


 x = −2 + 2t

C.  y = −3t
z = 1+ t



 x = 2 + 2t

D.  y = −3t
 z = −1 + t


Chọn D

r
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M ( 2;0; −1) và có VTCP u = ( 2; −3;1) là
 x = 2 + 2t

 y = −3t
 z = −1 + t


Câu 21. Cho số phức z thoả mãn z − 3 + i = 0 . Môđun của z bằng
A. 10 .
B. 10 .
C. 3 .
Chọn A

D. 4 .

Ta có: z − 3 + i = 0 ⇔ z = 3 − i ⇒ z = z = 32 + ( −1) = 10 .
2

Câu 22. Trong không gian Oxyz cho điểm I ( 2;3; 4 ) và A ( 1; 2;3) . Phương trình mặt cầu tâm I và đi qua A

có phương trình là:
2
2
2
2
2
2
A. ( x + 2 ) + ( y + 3) + ( z + 4 ) = 3
B. ( x + 2 ) + ( y + 3) + ( z + 4 ) = 9
C. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z − 4 ) = 45
2

2

2

D. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z − 4 ) = 3
2

2

2

Chọn D
Mặt cầu tâm I đi qua A ⇒ IA = R ⇔ R =

( 1 − 2)

2

+ ( 2 − 3) + ( 3 − 4 ) = 3
2

2

⇒ ( S ) : ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z − 4 ) = 3
2

2

2

Câu 23. Cho hình chóp S . ABCD có SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a , ABCD là hình chữ nhật
và AB = a, AD = a 2 . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD ) là


A. 600 .
Chọn D

B. 450 .

C. 900 .

D. 300 .

Ta có AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng ( ABCD ) nên góc giữa đường thẳng SC và mặt

·
phẳng ( ABCD ) là góc giữa hai đường thẳng SC và AC bằng góc SCA
.

Xét tam giác ADC vng tại D có AC =

AD 2 + DC 2 = 2a 2 + a 2 = a 3 .

·
=
Xét tam giác SAC vng tại A có tan SCA

SA
a
1
·
=
=
, suy ra góc SCA
= 300 .
AC a 3
3

Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 300 .
Câu 24. Nếu

(

3− 2

)

x

> 3 + 2 thì

A. ∀x ∈ ¡ .
Chọn D
Vì

(

B. x < 1 .

)(

3− 2 .

)

3 + 2 =1 ⇔

(

(

C. x > −1 .

)

3+ 2 =

)

(

1
3+ 2

D. x < −1 .

) nên

x
1
⇔ 3− 2 >
3− 2
Mặt khác 0 < 3 − 2 < 1 ⇒ x < −1 . Vậy đáp án A là chính xác.

(

3− 2

)

x

> 3+ 2 ⇔

3− 2

x

(

>

) (

Câu 25. Trong không gian Oxyz, cho điểm M ( 1; 0; 2 ) và đường thẳng ∆ :

3− 2

)

−1

.

x − 2 y +1 z − 3
=
=
. Mặt phẳng
1
2
−1

đi qua M và vng góc với ∆ có phương trình là
A. x + 2 y − z − 3 = 0.
B. x + 2 y − z − 1 = 0.
C. x + 2 y − z + 1 = 0.
Chọn C

D. x + 2 y + z + 1 = 0.

Mặt phẳng cần tìm đi qua M (1;0;2) và có véc tơ pháp tuyến là
r
n = (1;2; −1) ⇒ 1( x − 1) + 2( y − 0) − ( z − 2) = 0 ⇒ x + 2 y − z + 1 = 0 .

(

)(

)

2
3
Câu 26. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( x − 1) x − 4 x − 1 , ∀x ∈ ¡ . Số điểm cực trị của hàm

số đã cho là
A. 1
B. 4
C. 2
D. 3
Chọn C
2
3
Ta có: f ' ( x ) = ( x − 1) x − 4 x − 1 có nghiệm: x = −2 (nghiệm đơn), x = 2 (nghiệm đơn),

x = 1 (nghiệm kép)

(

)(

)


⇒ Hàm số f ( x ) có 2 điểm cực trị.

Câu 27. Trong không gian Oxyz , cho điểm I ( 2; 4; − 3) . Bán kính mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với mặt
phẳng ( Oxz ) là
A. 2
Chọn D

B. 16

C. 3

D. 4

Mặt cầu có tâm I ( 2; 4; − 3) và tiếp xúc với mặt phẳng ( Oxz ) nên bán kính của mặt cầu là:

R = d ( I , ( Oxz ) ) = y I = 4 .

P = log a x.
Câu 28. Cho log a x = 2,log b x = 3 với a, b là các số thực lớn hơn 1 .Tính
2
b

1
B. P = − .
6

A. P = 6.

C. P = −6.

1
D. P = .
6

Chọn C
Ta có

P = log a x =
b2

1
log x

a
b2

=

1
1
=
2
log x a − log x b
log x a − 2 log x b

1


log x a =


2
,
Từ log a x = 2, log b x = 3 ⇒ 
1
log b =
x

3


Vậy

P = log a x =
b2

1
a
log x 2
b

=

1
1
1
=

=
= −6
2
1
1
.
log x a − log x b
log x a − 2 log x b
− 2.
2
3

Câu 29. Số tiệm cận của đồ thị hàm số y =
A. 1 .
B. 2 .
Chọn C
Ta có: Tập xác định D = [ −2; 2] .

4 − x2
là:
x+3

C. 0 .

D. 3 .

x = −3 ∉ D = [ −2; 2] nên đồ thị hàm số đã cho khơng có tiệm cận đứng.
Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang do x khơng thể tiến tới ±∞
Câu 30. Hàm số y = log a x và y = log b x có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Đường thẳng y = 3 cắt hai đồ thị tại các điểm có hồnh độ x1 , x2 . Biết rằng x2 = 2 x1 , giá trị của
a
bằng
b


1
.
3
Chọn D
A.

B.

3.

C. 2 .

D.

3

2.

3
Từ đồ thị có x1 là nghiệm của phương trình logb x = 3 nên log b x1 = 3 ⇔ x1 = b .
3
Từ đồ thị có x2 là nghiệm của phương trình log a x = 3 nên log a x2 = 3 ⇔ x2 = a .

3

a
a
a
Do x2 = 2 x1 ⇒ a 3 = 2.b 3 ⇔  ÷ = 2 ⇔ = 3 2 . Vậy = 3 2 .
b
b
b

Câu 31. Đường thẳng ( ∆ ) là giao của hai mặt phẳng x + z − 5 = 0 và x − 2 y − z + 3 = 0 thì có vecto chỉ
phương là:
A. ( 1; 2;1)
B. ( 2; 2; 2 )
C. ( 1;1; −1)
D. ( 1; 2; −1)
Chọn C

ur
uu
r
Mặt phẳng x + z − 5 = 0, x − 2 y − z + 3 = 0 có VTPT lần lượt là n1 ( 1;0;1) , n2 ( 1; −2; −1)
Đường thẳng ∆ là giao của hai mặt phẳng x + z − 5 = 0 và x − 2 y − z + 3 = 0 có 1 VTCP là:
r 1 ur uu
r
u =  n1 ; n2  = ( 1;1; −1)
2
Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt
phẳng vng góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SAD ) .
a 3
a 3
a 3

B.
C.
6
2
3
Chọn B
Phương pháp:
Sử dụng lý thuyết về đường thẳng song song với mặt phẳng:
Cho hai điểm M , N ∈ ∆ và mặt phẳng ( P ) / / ∆ . Khi đó

A.

D.

a 3
4

d ( M , ( P ) ) = d ( ∆, ( P ) ) = d ( N , ( P ) )

Cách giải:
Gọi H là trung điểm của AB suy ra SH ⊥ ( ABCD )
Ta thấy: BC / / AD ⊂ ( SAD ) ⇒ BC / / ( SAD )

⇒ d ( C , ( SAD ) ) = d ( B, ( SAD ) ) = 2d ( H , ( SAD ) )

(vì H là trung điểm của AB)
Gọi K là hình chiếu của H lên SA ⇒ HK ⊥ SA
 AD ⊥ AB
⇒ AD ⊥ ( SAB ) ⇒ AD ⊥ HK
Lại có 

 AD ⊥ SH

Từ hai điều trên suy ra HK ⊥ ( SAD ) ⇒ d ( H , ( SAD ) ) = HK

a a 3
.
a 3
a
HA.HS 2 2
a 3
Tam giác SAB đều cạnh a nên
SH =
, HA = ⇒ HK =
=
=
2
2
SA
a
4
a 3 a 3
⇒ d ( C , ( SAD ) ) = 2d ( H , ( SAD ) ) = 2.
=
4
2
2
2
2
Câu 33. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + 2 x + 4 y − 6 z − m + 4 = 0 . Tìm số thực m
để mặt phẳng ( P ) : 2 x − 2 y + z + 1 = 0 cắt ( S ) theo một đường trịn có bán kính bằng 3.

A. m = 3.

B. m = 2.

C. m = 1.

D. m = 4.


Đáp án A

( S)

có tâm I ( −1; −2;3) , bán kính R =

d  I ; ( P )  =

2 ( −1) − 2 ( −2 ) + 3 + 1
22 + ( −2 ) + 12
2

( −1)

2

+ ( −2 ) + 32 + m − 4 = m + 10
2

=2

R 2 = d 2 + r 2 ⇔ m + 10 = 9 + 4 ⇔ m = 3 .
1 3
2
2
Câu 34. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y = x − mx + ( m − 4 ) x + 3 đạt cực đại tại x = 3.
3
A. m = −1 .
B. m = 5 .
C. m = 1 .
D. m = −7 .
Chọn B
Ta có: y′ = x 2 − 2mx + m 2 − 4; y′′ = 2 x − 2m .


 m 2 − 6m + 5 = 0
 y ′ ( 3) = 0
 y ′ ( 3) = 0
⇔
⇔ m=5
⇔
Hàm số đạt cực đại tại x = 3 ⇔ 


 6 − 2m < 0
 y′′ ( 3) < 0
 y′′ ( 3) < 0
2
Câu 35. Một vật chuyển động với gia tốc a ( t ) = 6t ( m / s ) . Vận tốc của vật tại thời điểm t = 2 giây là 17
m / s. Quãng đường vật đó đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 4 giây đến thời điểm
t = 10 giây là:

A. 1014m.
B. 1200m.
C. 36m.
D. 966m.
Chọn D
v ( t ) = a ( t ) dt = 6tdt = 3t 2 + C
v ' ( t ) = a ( t )
∫
∫
⇒
⇒ 12 + C = 17 ⇔ C = 5
Theo đề bài, ta có: 
v ( 2 ) = 17
v ( 2 ) = 17

⇒ v ( t ) = 3t 2 + 5

Quãng đường vật đó đi được trong khoảng thời gian tử thời điểm t = 4 giây đến thời điểm t = 10
giây là:
10

10

10

4

4

4

S = ∫ v ( t ) dt = ∫ ( 3t 2 + 5 ) dt = ( t 3 + 5t )

= 1050 − 84 = 966 ( m ) .

Câu 36. Biết rằng x e x là một nguyên hàm của f ( − x ) trên khoảng ( −∞; +∞ ) . Gọi F ( x ) là một nguyên
x
hàm của f ′ ( x ) e thỏa mãn F ( 0 ) = 1 , giá trị của F ( −1) bằng
7
.
2
Chọn A

A.

B.

5−e
.
2

C.

7−e
.
2

D.

Ta có f ( − x ) = ( x e x ) ′ = e x + x e x , ∀x ∈ ( −∞; +∞ ) .

−( − x )
− −x
− ( − x ) e ( ) , ∀x ∈ ( −∞; +∞ ) .
Do đó f ( − x ) = e

−x
Suy ra f ( x ) = e ( 1 − x ) , ∀x ∈ ( −∞; +∞ ) .

x
−x
x
Nên f ′ ( x ) = e − x ( 1 − x ) ′ = e − x ( x − 2 ) ⇒ f ′ ( x ) e = e ( x − 2 ) .e = x − 2 .
1
2
Bởi vậy F ( x ) = ∫ ( x − 2 ) d x = ( x − 2 ) + C .
2
1
2
Từ đó F ( 0 ) = ( 0 − 2 ) + C = C + 2 ; F ( 0 ) = 1 ⇒ C = −1 .
2
1
1
7
2
2
Vậy F ( x ) = ( x − 2 ) − 1 ⇒ F ( −1) = ( −1 − 2 ) − 1 = .
2
2
2

5
.
2


Câu 37. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y =
cận ngang.
A. m ∈ ∅
Đáp án D

B. m < 0

C. m = 0

3 x + 2018
mx 2 + 5 x + 6

có hai tiệm

D. m > 0

y ≠ lim y
Để hàm số có 2 tiệm cận ngang thì phải tồn tại xlim
→+∞
x →−∞
y = lim
Ta có xlim
→+∞
x →+∞

lim y = lim

x →−∞

x →−∞

3 x + 2018
mx 2 + 5 x + 6

3 x + 2018
mx 2 + 5 x + 6

= lim

= lim

x →−∞

x →+∞

2018
3
x
=
tồn tại khi m > 0 .
5 6
m
m+ + 2
x x

3+

2018
3
x
=−
tồn tại khi m > 0 .
5 6
m
m+ + 2
x x
3+

y ≠ lim y . Vậy m > 0 .
Khi đó hiển nhiên xlim
→+∞
x →−∞
Câu 38. Cho số phức z. Gọi A, B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng (Oxy) biểu diễn các số phức z và
( 1 + i ) z . Tính z biết diện tích tam giác OAB bằng 8
A. z = 2 2
B. z = 4 2
C. z = 2
Chọn D
Ta có OA = z , OB = (1 + i ) z = 2 z , AB = (1 + i ) z − z = iz = z .

(

Suy ra ∆OAB vuông cân tại A OA = AB; OA2 + AB 2 = OB 2
1
1 2

Ta có: S ∆OAB = OA. AB = z = 8 ⇔ z = 4 .
2
2

D. z = 4

)

Câu 39. Biết rằng hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m chỉ nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3. Giá trị
tham số m thuộc khoảng nào sau đây?
A. ( −3;0 )
B. ( 0;3)
C. ( −∞; −3)
D. ( 3; +∞ )
Chọn C
TXĐ: D = ¡ . Ta có y ' = 3 x 2 + 6 x + m
Do a = 3 > 0 nên để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3 thì y ' = 0 có 2 nghiệm
phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x2 − x1 = 3

9 − 3m > 0
m < 3
 ∆ ' > 0
⇔
⇔
⇔
2
2
 x2 − x1 = 3  x2 − x1 = 9
( x1 + x2 ) − 4 x1x2 = 9
m < 3

m < 3
15


⇔
⇔
m
15 ⇔ m = −
2
4
( −2 ) − 4. 3 = 9
m = − 4
x
x
Câu 40. Cho bất phương trình 9 + ( m − 1) .3 + m > 0 ( 1) . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất

phương trình ( 1) có nghiệm đúng ∀x ≥ 1
3
3
A. m > 0 .
B. m ≥ − .
C. m > −2 .
D. m > − .
2
2
Chọn D
t = +∞ ⇒ với x ∈ [ 1; + ∞ ) , thì t ∈ [ 3; + ∞ ) .
Đặt t = 3x , t ( x ) là hàm đồng biến trên ¡ , xlim
→+∞

2
Ta có: ( 1) ⇔ t + ( m − 1) t + m > 0 ( 2 )

Để ( 1) có nghiệm đúng ∀x ≥ 1 thì ( 2 ) có nghiệm đúng ∀t ≥ 3
⇔ t 2 + ( m − 1) t + m > 0 ∀t ≥ 3 ⇔ t 2 − t > −m ( t + 1) ∀t ≥ 3 ⇔

t2 − t
> − m ∀t ≥ 3 ( 3)
t +1

( 2t − 1) ( t + 1) − ( t 2 − t ) 2t 2 + t − 1 − t 2 + t t 2 + 2t − 1
t2 − t
′
=
=
Xét hàm số f ( t ) =
có f ( t ) =
2
2
2
t +1
( t + 1)
( t + 1)
( t + 1)
Với t ≥ 3 , t 2 + 2t − 1 ≥ 32 + 2.3 − 1 > 0 nên f ′ ( t ) > 0 ∀t ∈ [ 3; + ∞ ) ⇒ min f ( t ) = f ( 3) =
[ 3; +∞ )
Do đó ( 3) ⇔ − m < min f ( t ) =
[ 3; +∞ )

6 3
=
4 2

3
3
⇔m>− .
2
2

Câu 41. Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi
một mặt phẳng vng góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường trịn có bán kính bằng ba
3
lần bán kính mặt đáy của thùng. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều
2
3
cao của thùng nước và đo được thể tích nước tràn ra ngồi là 54 3π (dm ). Biết rằng khối cầu
tiếp xúc với mặt trong của thùng và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình vẽ). Thể
tích nước cịn lại trong thùng có giá trị nào sau đây?

46
3π (dm3).
5
Chọn C
A.

B. 18 3π (dm3).

C.

46
3π (dm3).
3

D. 18π (dm3).


Gọi R là bán kính của khối cầu. Khi đó thể tích nước tràn ra ngồi là thể tích của một nửa khối
1 4 3
cầu nên . π R = 54 3π ⇔ R = 3 3 .
2 3
2
Do đó chiều cao của thùng nước là h = .2 R = 4 3 .
3
Cắt thùng nước bởi thiết diện qua trục ta được hình thang cân ABCD với AB = 3CD . Gọi O là
giao điểm của AD và BC thì tam giác OAB cân tại O .
Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB và I là giao điểm của OH và CD → I là trung điểm
1
của DC nên DI = AH .
3
OI
DI 1
3
=
= → OH = HI = 6 3
Ta có
OH AH 3
2
Gọi K là hình chiếu của H trên OA thì HK = R = 3 3
Tam giác OHA vng tại H có đường cao HK nên

1
1
1
1
1
1
1
=
+
→
=
−
=
→ AH = 6 → DI = 2
2
2
2
2
2
2
HK
HO
AH
AH
HK
HO
36
hπ AH 2 + DI 2 + AH .DI
4 3π 62 + 22 + 6.2
208 3π

Thể tích thùng đầy nước là
=
=
3
3
3
208 3π
46 3π
Do đó thể tích nước cịn lại là
− 54 3π =
dm3 ) .
(
3
3

(

)

(

)

Câu 42. Tìm số phức z thỏa mãn z − 2 = z và ( z + 1) ( z − i ) là số thực.
A. z = 2 − i.
B. z = 1 − 2i.
C. z = 1 + 2i.
Chọn B

D. z = −1 − 2i.

 z − 2 = z
Gọi z = x + iy với x, y ∈ ¡ ta có hệ phương trình 
( z + 1) ( z − i ) ∈ ¡
( x − 2 ) 2 + y 2 = x 2 + y 2
( x − 2 ) 2 + y 2 = x 2 + y 2
 x = 1
⇔
⇔
⇔
( − x − 1) ( y + 1) + xy = 0
( x + 1 + iy ) ( x − iy − i ) ∈ ¡
( x + 1 + iy ) ( x − iy − i ) ∈ ¡

x = 1
⇔
 y = −2
Câu 43. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡

và thỏa mãn f ( x) + f (− x ) = 2 cos 2 x, ∀x ∈ ¡ . Khi đó

π
2

∫ f ( x ) dx

bằng

π
−

2

A. −2 .

B. 4 .

C. 2 .
Lời giải

D. 0 .

Chọn D
Với f ( x) + f (− x) = 2 cos 2 x, ∀x ∈ ¡

⇒

π
2

π
2

π
2

π
2

π
2

∫ ( f ( x) + f (− x) ) dx = ∫ 2 cos 2 xdx ⇔ ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( − x ) dx = ∫ 2 cos 2 xdx (*)

−

π
2

−

π
2

−

π
2

−

π
2

−

π
2


Tính I =

π
2

∫ f ( − x ) dx

−

π
2

Đặt t = −x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt .
Đổi cận: x =

π
π
π
π
⇒t =− ; x =− ⇒t = .
2
2
2
2
−

π
2

Khi đó I = − ∫ f ( t ) dt =
π

2

π
2

π
2

∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx .

−

π
2

Từ (*), ta được: 2 ∫ f ( x ) dx =
π
−
2

π
2

−

π
2

π
2

∫ 2 cos 2 xdx = sin 2 x

π
−
2

π
2
−

π
2

=0 ⇒

π
2

∫ f ( x ) dx = 0 .

−

π
2

Câu 44. Cho hàm số y = f ( x ) là hàm đa thức bậc bốn, có đồ thị f ′ ( x ) như hình vẽ

Phương trình f ( x ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
A. f ( 0 ) > 0

Chọn B

B. f ( 0 ) < 0 < f ( m ) . C. f ( m ) < 0 < f ( n ) . D. f ( 0 ) < 0 < f ( n ) .

x = m

Ta có f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 0 . Khi đó ta có bảng biến thiên
 x = n

0

Ta có

∫

m

n

f ′ ( x ) dx < ∫ f ′ ( x ) dx ⇔ f ( m ) − f ( 0 ) < f ( n ) − f ( 0 ) ⇔ f ( m ) < f ( n ) .
0

Dựa vào bảng biến thiên để phương trình f ( x ) = 0 có 4 nghiệm thì f ( 0 ) < 0 < f ( m ) .
Câu 45. Cho tập hợp S = { 1; 2;3;...;17} gồm 17 số nguyên dương đầu tiên. Chọn ngẫu nhiên một tập con
có 3 phần tử của tập hợp S. Tính xác suất để tập hợp được chọn có tổng các phần tử chia hết cho
3.
27
23
9
9

A.
B.
C.
D.
34
68
34
17
Chọn B
Phương pháp:


Cơng thức tính xác suất của biên cố A là: P ( A ) =

nA
nΩ

Cách giải:
3
Chọn ngẫu nhiên 3 phần tử trong 17 phần tử của tập S có nΩ = C17 = 680 cách chọn.
Gọi A là biến cố: “Chọn ngẫu nhiên 3 phần tử của tập S sao cho tổng của 3 phần tử chia hết cho
3”.
Trong tập hợp S có 5 số chia hết cho 3 là { 3; 6;9;12;15} , có 6 số chia 3 dư 1 là { 1; 4; 7;10;13;16}
và có 6 số chia 3 dư 2 là { 2;5;8;11;14;17} .

Giả sử số được chọn là a, b, c ⇒ ( a + b + c ) chia hết cho 3.
3
TH1: Cả 3 số a, b, c đều chia hết cho 3 ⇒ Có C5 = 10 cách chọn.
3
TH2: Cả 3 số a, b, c chia 3 dư 1 ⇒ Có C6 = 20 cách chọn.

3
TH3: Cả 3 số a, b, c chia 3 dư 2 ⇒ Có C6 = 20 cách chọn.

TH4: Trong 3 số a, b, c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2 ⇒ Có 5.6.6 =
180 cách chọn.
230 23
⇒ n ( A ) = 10 + 20 + 20 + 180 = 230 ⇒ P ( A ) =
=
680 68
Câu 46. Cho đồ thị hàm đa thức y = f ( x ) như hình vẽ. Hỏi hàm số g ( x ) = f ( x ) . f ( 2 x + 1) có tất cả bao
nhiêu điểm cực trị

A. 5
Chọn A

B. 6

C. 7

D. 9

Ta đếm SNBL và SNBC của phương trình g ( x ) = f ( x ) . f ( 2 x + 1)

 x = −3


 f ( x) = 0 ⇔ x = 1

 x = 3
g ( x ) = f ( x ) . f ( 2 x + 1) = 0 ⇔ 

 2 x + 1 = −3  x = −2




 f ( 2 x + 1) = 0 ⇔  2 x + 1 = 1 ⇔  x = 0
 2 x + 1 = 3

 x = 1

Phương trình g ( x ) = f ( x ) . f ( 2 x + 1) = 0 có 4 NBL là x = { −3; −2; 0;3} và 1 NBC là x = { 1}
Ta vẽ phác họa đồ thị:


Vậy hàm số g ( x ) = f ( x ) . f ( 2 x + 1) có tất cả 5 cực trị
Câu 47. Cho hình vng ABCD cạnh a, trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) tại A ta
lấy điểm S di động khơng trùng với A . Hình chiếu vng góc của A lên SB, SD lần lượt là
H , K . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ACHK .
a3
a3 6
a3 3
a3 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

6
32
16
12
Lời giải
Chọn C

Ta sẽ sử dụng công thức V =
Đặt SA = x ( x > 0 ) .

1
a.b.d ( a, b ) .sin ( a, b ) (với a,b chéo nhau).
6

SH SA2
x2
.
=
=
SB SB 2 x 2 + a 2
HK
x2
x2a 2
=
= 2
⇒
HK
=
BD x + a 2
a2 + x2

SH
x2
a2
a2 x
= 1−
=1− 2
=
⇒
IH
=
SB
x + a2 x2 + a2
a 2 + x2
chéo nhau và HK / / ( ABCD ) ; AC ⊂ ( ABCD ) nên HI = d ( KH , AC )

Xét tam giác SAB vng tại A có SA2 = SH .SB ⇒

SK SH HK
SK
=
=
⇒
SD SB BD
SD
IH HB SB − SH
Lại có
=
=
SA SB
SB

Mặt khác ta có AC và HK
và AC ⊥ HK
1
1
x2a 2 a2 x
a4
x3
×
V
=
AC
.
KH
.
HI
=
×
a
2
×
×
=
×
Khi đó ACBR 6
6
a2 + x2 a2 + x2
3 a2 + x2

Mà

(

Xét hàm f ( x) =

x3

(x

2

+ a2

)

2

trên ( 0; +∞ ) có f ′ ( x ) =

)

2

− x 6 + 2a 2 x 4 + 3a 4 x 2

(x

2

+ a2

)

4


 x2 = 0 ( L )

⇒ f ′ ( x ) = 0 ⇔ − x 6 + 2a 2 x 4 + 3a 4 x 2 = 0 ⇔  x 2 = − a 2 ( VN ) ⇔ x = a 3 (do x > 0 ).
 2
2
 x = 3a
Bảng biến thiên

Suy ra max f ( x ) =
( 0;+∞ )

a3 3
khi x = a 3
16

a3 3
16
Câu 48. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) cho như hình vẽ.

Vậy thể tích khối tứ diện ACHK lớn nhất bằng Vmax =

2
Hàm số g ( x ) = 2 f ( x − 1 ) − x + 2 x + 2020 đồng biến trên khoảng nào?

A. ( −2; 0 ) .

Chọn D

B. ( −3;1) .

C. ( 1;3) .

D. ( 0;1)

2
Ta có: g ( x ) = 2 f ( x − 1 ) − x + 2 x + 2020 ⇔ g ( x ) = 2 f ( x − 1 ) − ( x − 1) + 2021
2

Xét hàm số k ( x − 1) = 2 f ( x − 1) − ( x − 1) + 2021 .
2

Đặt t = x − 1
2
Xét hàm số: h ( t ) = 2 f ( t ) − t + 2021 ⇒ h′ ( t ) = 2 f ′ ( t ) − 2t .
Kẻ đường y = − x như hình vẽ.

 t < −1
Khi đó: h′ ( t ) > 0 ⇔ f ′ ( t ) − t > 0 ⇔ f ′ ( t ) > t ⇔ 
.
1 < t < 3


 x − 1 < −1
x < 0
⇔
Do đó: k ′ ( x − 1) > 0 ⇔ 

.
1 < x − 1 < 3  2 < x < 4

Ta có bảng biến thiên của hàm số k ( x − 1) = 2 f ( x − 1) − ( x − 1) + 2021 .
2

Khi đó, ta có bảng biến thiên của g ( x ) = 2 f ( x − 1 ) − ( x − 1) + 2021 bằng cách lấy đối xứng qua
2

đường thẳng x = 1 như sau:

Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có tọa độ các điểm A ( 1;1;1) ,

B ( 2;0; 2 ) , C ( −1; −1;0 ) , D ( 0;3; 4 ) . Trên các cạnh AB , AC , AD lần lượt lấy các điểm B′, C ′, D′
AB AC AD
+
+
= 4 và tứ diện AB′C ′D′ có thể tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng
sao cho
AB′ AC ′ AD′
( B′C ′D′ ) có dạng là ax + by + cz − d = 0 . Tính a − b + c + d
A. 23
B. 19
C. 21
D. 20
Chọn B

3

Ta có

VABCD
VAB′C ′D′

 AB AC AD 
3
+
+
AB AC AD AB AC AD ữ 4
=
ì
ì

ữ = ÷ .
AB′ AC ′ AD ′ 
3
÷ 3



Do đó thể tích của AB′C ′D′ nhỏ nhất khi và chỉ khi

AB AC
AD 4
=
=
= .
AB′ AC ′ AD′ 3

uuur 3 uuu

r
7 1 7
Khi đó AB′ = AB ⇒ B′  ; ; ÷ và ( B′C ′D′ ) // ( BCD ) .
4
4 4 4
uuur uuur
Mặt khác  BC , BD  = ( 4;10; −11) .
7
1
7



Vậy ( B′C ′D′ ) : 4  x − ÷+ 10  y − ÷− 11 z − ÷ = 0 ⇔ 16 x + 40 y − 44 z + 39 = 0 .
4
4
4





Câu 50. Cho phương trình log a ( ax ) log b ( bx ) = 2020 với a, b là các tham số thực lớn hơn 1 . Gọi x1 , x2 là

 1 4
+ ÷ đạt giá trị nhỏ
các nghiệm của phương trình đã cho. Khi biểu thức P = 6 x1 x2 + a + b + 3 
 4a b 
nhất thì a + b thuộc khoảng nào dưới đây?
A. ( 6;7 )

B. ( −1; 2 )
C. ( −2;3)
D. ( 5;7 ) .
Chọn D
Ta có log a ( ax ) log b ( bx ) = 2020

⇔ ( 1 + log a x ) ( 1 + log b x ) = 2020 ⇔ ( 1 + log a x ) ( 1 + log b a log a x ) = 2020
m = log b a
Đặt 
(Do a, b > 1 ⇒ m > 0 ).
t = log a x
2
Suy ra: ( 1 + t ) ( 1 + mt ) = 2020 ⇔ mt + ( m + 1) t − 2019 = 0

( *)

Xét ∆ = ( m + 1) + 4.2019.m > 0 ⇒ m > 0 .
2

Vậy phương trình ( *) ln có 2 nghiệm phân biệt t1 , t2 .
Theo Vi-et ta có: t1 + t2 = −

log a + 1
m +1
⇒ log a x1 + log a x2 = − b
log b a
m

⇒ log a x1 x2 = − ( 1 + log a b ) = − log a ab ⇒ x1 x2 =

1
ab

 1 4
+ ÷
Do đó P = 6 x1 x2 + a + b + 3 
 4a b 
⇔ P=

6
 1 4
+ a + b + 3 + ÷
ab
 4a b 

1  1
3   3b 12 
 6 2
⇔ P =  + a + b ÷+  a + ÷+  + ÷
4  3
4a   4 b 
 ab 3
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các bộ số ta được: P ≥ 3 + 1 + 6 = 10 .
3
11
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = ; b = 4 . Vậy a + b = .
2
2