29 đề thi thử TN THPT 2021 môn toán bộ đề chuẩn cấu trúc minh họa đề 29 file word có lời giải

ĐỀ THI THỬ CHUẨN CẤU
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG NĂM 2021
TRÚC MINH HỌA
Bài thi: TỐN
ĐỀ SỐ 29
Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề
(Đề thi có 05 trang)
Họ, tên thí sinh: …………………………………………………
Số báo danh: …………………………………………………….
MA TRẬN ĐỀ THAM KHẢO 2021
MỨC ĐỘ
CHƯƠNG
Đạo hàm và
ứng dụng

NỘI DUNG

Đơn điệu của hàm số
Cực trị của hàm số
Min, Max của hàm số
Đường tiệm cận
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Hàm số mũ – Lũy thừa – Mũ – Lôgarit
lôgarit
Hàm số mũ – Hàm số lôgarit
PT mũ – PT lơgarit
BPT mũ – BPT lơgarit
Số phức
Định nghĩa và tính chất
Phép toán
PT bậc hai theo hệ số thực

Nguyên hàm Nguyên hàm
– Tích phân Tích phân
Ứng dụng tích phân tính diện tích
Ứng dụng tích phân tính thể tích
Khối đa diện Đa diện lồi – Đa diện đều
Thể tích khối đa diện
Khối trịn
Mặt nón
xoay
Mặt trụ
Mặt cầu
Phương pháp Phương pháp tọa độ
tọa độ trong Phương trình mặt cầu
khơng gian Phương trình mặt phẳng
Phương trình đường thẳng
Tổ hợp – Xác Hốn vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp
suất
Cấp số cộng (cấp số nhân)
Xác suất
Hình học
Góc
khơng gian Khoảng cách
(11)
TỔNG

ĐỀ THAM
KHẢO

TỔNG

NB

TH

VD

VDC

3, 30
4, 5, 39, 46
31
6
7, 8
9, 11
10
12, 13, 47
32, 40
18, 20, 34, 42, 49
19

1
1

1
1
1

1

1

14, 15
16, 17, 33, 41
44, 48

1
1

21, 22, 43
23
24

1
1
1

25
26, 37, 50
27
28, 38, 45
1
2
29
35
36

1
1

1

1
1
1
1
2
1

1
1
1

1
1
1
1
1
1
1

1

1
1
1

1
1
1

1

2
1

1

1

1
1

1
1
1
20

15

10

5

2
4
1
1
2
2
1
3

2
5
1
0
2
4
2
0
0
3
1
1
0
1
3
1
3
1
1
1
1
1
50


Câu 1 (NB) Cho tập hợp M có 30 phần tử. Số tập con gồm 5 phần tử của M là
4
5
A. A30 .
B. 305 .

C. 305 .
D. C30 .
Câu 2 (NB) Cho cấp số cộng ( un ) , biết: un = −1, un +1 = 8 . Tính cơng sai d của cấp số cộng đó.
A. d = −9.

B. d = 7.

C. d = −7.

Câu 3 (NB) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

D. d = 9.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −∞ ; − 3) .

B. ( −3;5 ) .

C. ( 3; 4 ) .

D. ( 5; +∞ ) .

Câu 4 (NB) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là
A. y = 1 .
B. x = 0 .

C. y = 0 .

D. x = 1 .

Câu 5 (TH) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ¡ và bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Hỏi hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3 .

B. 0 .
C. 2 .
D. 1 .
2x −1
Câu 6 (NB) Cho hàm sơ y =
. Khi đó tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng nào trong các
x+5
đường thẳng sau đây?
A. y = 2
B. x = 2
C. y = −5
D. x = −5
Câu 7 Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?


x+2
x −1
.
.
D. y =
x +1
x +1
Câu 8

Có bao nhiêu giao điểm của đồ thị hàm số y = x 3 + 3 x − 3 với trục Ox ?
A. 2 .
B. 3 .
C. 0 .
D. 1
Câu 9 (NB) Với a, b là hai số thực dương khác 1 , ta có log b a bằng:
A. y = x 3 + 3 x − 1.

B. y = − x 4 + x 2 − 1.

A. − log a b .

B.

1
.
log a b

C. y =

C. log a − log b .

D. log a b .

Câu 10 (NB) Đạo hàm của hàm số y = log 2018 x là
A. y ' =

ln 2018
.
x

B. y ' =

2018
.
x.ln 2018

C. y ' =

1
.
x.ln 2018

D. y ' =

1
.
x.log 2018

Câu 11 (TH) Cho a là số thực dương. Biểu thức a 2 . 3 a được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là
2

4

A. a 3 .

x
Câu 12. Tập nghiệm của phương trình 2

A. { 0;1} .

Câu 13
Câu 14

7

B. a 3 .
2

− x −4

=

1
là
16

B. ∅ .

2
Số nghiệm của phương trình log 2 ( x + x ) = 1 là

5

C. a 3 .

D. a 3 .

C. { 2; 4} .

D. { −2; 2} .

A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa cơng thức nào sau đây sai?
1
x
x
dx = tan x + C .
A. ∫
B. ∫ e dx = e + C .
cos 2 x
1
C. ∫ lnxdx = + c .
D. ∫ sinxdx = − cos x + C .
x

Câu 15 Nguyên hàm của hàm số f ( x) =

1
là
2 x +1

1
2

A. F ( x) = ln 2 x +1 + C .

B. F ( x ) = 2 ln 2 x +1 + C .

C. F ( x) = ln 2 x +1 + C .

D. F ( x) = ln(2 x +1) + C .

1
2

Câu 16 (NB) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 1;3] thỏa mãn f ( 1) = 2 và f ( 3) = 9 . Tính
3

I = ∫ f ′ ( x ) dx .
1

B. I = 7 .

A. I = 11 .
1

Câu 17 (TH) Tích phân I = ∫
0

C. I = 2 .

D. I = 18 .

C. ln 2 .

D. 1 − ln 2 .

1
dx có giá trị bằng
x +1

A. ln 2 −1 .
B. − ln 2 .
Câu 18 Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
A. z = 3 + i .
B. z = 3i .

C. z = −2 + 3i .
z2
Câu 19 (NB) Cho hai số phức z1 = 1 + 2i , z2 = 3 − i . Tìm số phức z = .
z1
1 7
1 7
1 7
A. z = + i .
B. z = + i .
C. z = − i .
5 5
10 10
5 5
Câu 20 Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức?

D. z = − 2 .

D. z = −

1 7

+ i.
10 10


A. z = 1 − 2i .
B. z = 2 + i .
C. z = 1 + 2i .
D. z = −2 + i .
Câu 21 Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a ; chiều cao có độ dày bằng 6a. Tính thể tích khối
chóp S.ABCD
A. 2a 2 .
B. 6a 3 .
C. 2a 3 .
D. 6a 2 .
Câu 22 Thể tích của khối hộp chữ nhật ABCD. A′B ′C ′D ′ có các cạnh AB = 3; AD = 4; AA′ = 5 là
A. V = 10 .
B. V = 20 .
C. V = 30 .
D. V = 60 .
Câu 23 Tính thể tích của khối nón có chiều cao bằng 4 và độ dài đường sinh bằng 5 .
A. 16π .
B. 48π .
C. 12π .
D. 36π .
Câu 24Một khối trụ có chiều cao và bán kính đường trịn đáy cùng bằng R thì có thể tích là
2πR 3
πR 3
A.
.
B. πR 3 .

C.
.
D. 2πR 3 .
3
3
Câu 25

Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2;3; −1) và B ( 0; −1;1) . Trung điểm của đoạn thẳng AB có
tọa độ là
A. ( 1;1; 0 ) .

B. ( 2; 2; 0 ) .

C. ( −2; −4; 2 ) .

D. ( −1; −2;1) .

2
2
2
Câu 26 Cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0 . Tính bán kính R của mặt cầu ( S ) .

A. R = 3 .

B. R = 3 .

C. R = 9 .

D. R = 3 3 .

Câu 27 (TH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x + ( m + 1) y − 2 z + m = 0 và

( Q ) : 2 x − y + 3 = 0 , với

m là tham số thực. Để ( P ) và ( Q ) vng góc thì giá trị của m bằng bao

nhiêu?
A. m = −5 .

B. m = 1 .

C. m = 3 .

của d là
r
A. u = ( 1; − 2;0 ) .

r
B. u = ( 3;1; 2 ) .

r
C. u = ( 1; − 2; 2 ) .

D. m = −1 .
x = 3 + t

Câu 28 (NB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ( d ) :  y = 1 − 2t . Một vectơ chỉ phương
z = 2

r

D. u = ( −1; 2; 2 ) .

Câu 29 (TH) Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt bằng 11 là:
A.

1
.
18

B.

1
.
6

C.

1
.
8

D.

2
.
25

Câu 30 (TH) Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên ( −∞; + ∞ ) ?
A. y = − x 4 − 6 x 2 .
C. y =

B. y = − x 3 + 3x 2 − 9 x + 1 .

x+3
.
x −1

D. y = x3 + 3x .

Câu 31 (TH) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 4 + 2 x 2 − 1 trên đoạn [ − 1; 2] lần lượt là M , m.
Khi đó giá trị của tích M .m là
A. 46.
B. - 23 .

C. - 2

Câu 32 Tập nghiệm của bất phương trình log 1 ( x − 2 ) ≥ −1 .
2

D. 13.


B. ( 2;4] .

A. ( 4;+∞ ) .
1

Câu 33

Cho

∫ f ( x ) dx = 2

1

và

0

D. ( −∞;4] .

1

∫ g ( x ) dx = 5 , khi đó ∫  f ( x ) + 2 g ( x )  dx bằng
0

A. −3 .

C. [ 4;+∞ ) .

B. −8 .

0

C. 12 .

D. 1 .

2
Câu 34 Cho hai số phức z1 = 3 − i và z2 = 4 − i . Tính mơđun của số phức z1 + z2 .

A. 12 .
B. 10 .
C. 13 .
D. 15 .
Câu 35 Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SA ^ ( ABCD ) và SA = a . Góc giữa

đường thẳng SB và ( SAC ) là
A. 30° .
B. 75° .
C. 60° .
D. 45°.
Câu 36 (VD) Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình vng cạnh a và SA vng góc với mặt đáy. Biết
SB = a 10 . Gọi I là trung điểm của SC . Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng ( ABCD ) bằng:
3a
.
2

a 10
.
D. a 2 .
2
Câu 37 (TH) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A ( 2;1;1) , B ( 0;3; −1) . Mặt cầu ( S ) đường

A. 3a .

B.

C.

kính AB có phương trình là

A. x 2 + ( y − 2 ) + z 2 = 3 .

B. ( x − 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 3 .

2

2

C. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 9 .
2

Câu 38

2

2

2

D. ( x − 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 9 .
2

2

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M ( 3; −1; 2 ) và có vectơ chỉ phương
r
u = ( 4;5; −7 ) là:
 x = 4 + 3t

A.  y = 5 − t .

 z = −7 + 2t


 x = −4 + 3t

B.  y = −5 − t .
 z = 7 + 2t


 x = 3 + 4t

C.  y = −1 + 5t .
 z = 2 − 7t


 x = −3 + 4t

D.  y = 1 + 5t .
 z = −2 − 7 t


Câu 39 (VD) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ¡ và có bảng xét dấu f ′ ( x ) như sau

2
Hỏi hàm số y = f ( x − 2 x ) có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 4 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 1 .

Câu 40 (VD) Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) có bảng biến thiên như sau

−x
Bất phương trình f ( x ) < m − e đúng với mọi x ∈ ( −2; 2 ) khi và chỉ khi

A. m ≥ f ( 2 ) + 12
e

B. m > f ( −2 ) + e 2

C. m > f ( 2 ) + 12
e

D. m ≥ f ( −2 ) + e2


Câu 41 (VD) Hàm số f ( x ) liên tục trên ( 0; +∞ ) . Biết rằng tồn tại hằng số a > 0 để
x

∫
a

A.

f ( t)
t4

dt = 2 x − 6 , ∀x > 0 . Tính tích phân

a

∫ f ( x ) dx là
1

21869
5

B.

39364
9

C. 4374

D. −

40
3

m

 2+ 6i 
Câu 42 (VD) Cho số phức z = 
÷ , m ngun dương. Có bao nhiêu giá trị m∈ 1;50 để z là số thuần
3
−

i


ảo?
A. 24
B. 26
C. 25
D. 50
Câu 43 (VD) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a . Biết SA vng góc
với đáy ABC và SB tạo với đáy một góc 60o . Tính thể tích khối chóp S . ABC .

a3 6
a3 6
a3 3
a3 3
B. V =
C. V =
D. V =
24
8
12
4
Câu 44 (VD) Một tàu lửa đang chạy với vận tốc 200 m/s thì người lái tàu đạp phanh; từ thời điểm đó, tàu
A. V =

chuyển động chậm dần đều với vận tốc v ( t ) = 200 − 20t m/s. Trong đó t khoảng thời gian tính bằng
giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, tàu còn di chuyển được
quãng đường là
A. 1000 m.
B. 500 m.

C. 1500 m.
D. 2000 m.
x − 2 y +1 z + 5
=
=
Câu 45 (VD) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :
và mặt phẳng
3
1
−1
( P) : 2 x − 3 y + z − 6 = 0 .Đường thẳng ∆ nằm trong ( P ) cắt và vng góc với d có phương trình
x + 8 y +1 z − 7
x + 4 y +1 z + 5
=
=
=
=
A.
B.
2
5
11
2
1
−1
x − 8 y −1 z + 7
x−4 y −3 z −3
=
=
=

=
C.
D.
2
5
11
2
5
11
Câu 46 (VDC) Cho hàm số bậc bốn y = f ( x) . Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm f '( x) . Hàm số

g( x) = f

(

)

x2 + 2x + 2 có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1.
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Câu 47 (VDC) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của c để tồn tại các số thực a, b > 1 thỏa mãn
log 9 a = log12 b = log16

A. 4 .

5b − a
.

c

B. 5 .

C. 2 .

D. 3 .

Câu 48 (VDC) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên ¡ , đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như trong hình vẽ bên.


Hỏi phương trình f ( x ) = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm biết f ( a ) > 0 ?
A. 3 .

B. 2 .

C. 1 .

D. 0 .

Câu 49 (VDC) Cho số phức z thỏa z = 1 . Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu
5
3
4
thức P = z + z + 6 z − 2 z + 1 . Tính M − m .

A. m = −4 , n = 3 .

B. m = 4 , n = 3

C. m = −4 , n = 4 .

D. m = 4 , n = −4 .

Câu 50 (VDC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 0;1;1) , B ( 3;0; −1) , C ( 0; 21; − 19 ) và
mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 1 . Gọi điểm M ( a; b; c ) là điểm thuộc mặt cầu ( S ) sao
2

2

2

cho biểu thức T = 3MA2 + 2 MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng S = a + b + c .
14
12
A. S = 12 .
B. S = .
C. S = .
D. S = 0 .
5
5


1.D
11.C
21.C
31.B
41.B

2.D

12.A
22.D
32.B
42.C

3.A
13.C
23.C
33.C
43.A

4.A
14.C
24.B
34.C
44.A

BẢNG ĐÁP ÁN
5.C
6.A
7.D
15.A
16.B
17.C
25.A
26.B
27.B
35.A
36.B
37.B

45.C
46.C
47.D

8.D
18.B
28.A
38.C
48.D

9.B
19.C
29.A
39.D
49.A

10.A
20.D
30.B
40.D
50.B

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 (NB) Cho tập hợp M có 30 phần tử. Số tập con gồm 5 phần tử của M là
4
5
A. A30 .
B. 305 .
C. 305 .
D. C30 .

Lời giải
Chọn D
5
Số tập con gồm 5 phần tử của M chính là số tổ hợp chập 5 của 30 phần tử, nghĩa là bằng C30 .
Câu 2 (NB) Cho cấp số cộng ( un ) , biết: un = −1, un +1 = 8 . Tính cơng sai d của cấp số cộng đó.
A. d = −9.

B. d = 7.

C. d = −7.
Lời giải

D. d = 9.

Chọn D

d = un +1 − un = 8 − ( −1) = 9

Câu 3 (NB) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −∞ ; − 3) .

B. ( −3;5 ) .

C. ( 3; 4 ) .

D. ( 5; +∞ ) .

Lời giải

Chọn A
Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( −∞; −3) .
Câu 4 (NB) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là
A. y = 1 .
B. x = 0 .
Chọn A

C. y = 0 .
Lời giải

D. x = 1 .


Dựa vào BBT ta thấy giá trị cực đại của hàm số đã cho là y = 1 .
Câu 5 (TH) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ¡ và bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Hỏi hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3 .

B. 0 .

C. 2 .
Lời giải

D. 1 .

Chọn C
Từ bảng xét dấu ta thấy f ′ ( x ) đổi dấu khi x đi qua điểm x1 = −2 và x2 = 3 nên hàm số có hai điểm
cực trị.

2x −1
. Khi đó tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng nào trong các
x+5
đường thẳng sau đây?
A. y = 2
B. x = 2
C. y = −5
D. x = −5
Lời giải
Chọn A
1
1
2−
2−
2x −1
2
x
−
1
x = 2 và lim
x = 2 nên đồ thị hàm số có một tiệm cận
= lim
= lim
Ta có: xlim
→+∞ x + 5
x →+∞

x →−∞ x + 5
x →−∞
5
5
1+
1+
x
x
ngang là y = 2 .

Câu 6 (NB) Cho hàm sô y =

Câu 7 Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. y = x 3 + 3 x − 1.

B. y = − x 4 + x 2 − 1.

C. y =

x+2
.
x +1

D. y =

x −1
.
x +1

Lời giải

Câu 8

Chọn D
Đường cong trong hình trên khơng phải là đồ thị của hàm số bậc ba hoặc hàm số trùng phương, do
đó phương án A và B là sai.
x+2
Đồ thị hàm số y =
cắt trục tung tại điểm có tung độ y0 = 2 > 0 , do đó phương án C sai.
x +1
Vậy phương án D đúng.
Có bao nhiêu giao điểm của đồ thị hàm số y = x 3 + 3 x − 3 với trục Ox ?
A. 2 .
B. 3 .
C. 0 .
D. 1
Lời giải
Chọn D
Ta có y ′ = 3 x 2 + 3 > 0; ∀x ∈ ¡ , hàm số y = f ( x ) luôn đồng biến trên ¡
Bảng biến thiên


Vậy đồ thị hàm số y = x 3 + 3 x − 3 và trục Ox có 1 giao điểm.
Câu 9 (NB) Với a, b là hai số thực dương khác 1 , ta có log b a bằng:
1
A. − log a b .
B.
.
C. log a − log b .

log a b

D. log a b .

Lời giải
Chọn B
Với a, b là hai số thực dương khác 1 và theo công thức đổi cơ số: logb a =

1
.
log a b

Câu 10 (NB) Đạo hàm của hàm số y = log 2018 x là
A. y ' =

ln 2018
.
x

B. y ' =

2018
.
x.ln 2018

C. y ' =

1
.
x.ln 2018

D. y ' =

1
.
x.log 2018

Lời giải
Chọn C
Theo cơng thức tính đạo hàm của y = log a x → y ' =

1
.
x ln a

1
.
x ln 2018
Câu 11 (TH) Cho a là số thực dương. Biểu thức a 2 . 3 a được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là
Vậy y = log 2018 x → y ' =

2

4

A. a 3 .

7

B. a 3 .

C. a 3 .
Lời giải

5

D. a 3 .

Chọn C
1
3

a . a = a .a = a
2 3

2

2+

1
3

7
3

=a .

x
Câu 12. Tập nghiệm của phương trình 2

A. { 0;1} .

2

− x −4

=

1
là
16

C. { 2; 4} .

B. ∅ .

D. { −2; 2} .

Lời giải
Chọn A
x
Ta có 2

2

− x−4

=

2

1
⇔ 2 x − x − 4 = 2−4 ⇔ x 2 − x − 4 = −4 ⇔ x( x − 1) = 0 ⇔
16

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là T = { 0;1} .
Câu 13

x = 1
 x = 0.


2
Số nghiệm của phương trình log 2 ( x + x ) = 1 là

A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .
Lời giải

Chọn C

x = 1
2
Ta có log 2 ( x + x ) = 1 ⇔ x 2 + x = 2 ⇔ x 2 + x − 2 = 0 ⇔ 
.
 x = −2
Vậy, phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
Câu 14 Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa cơng thức nào sau đây sai?

D. 3 .


A.

1

∫ cos

2

x
x
B. ∫ e dx = e + C .

dx = tan x + C .

x

C. ∫ lnxdx =

1
+c.
x

D. ∫ sin xdx = − cos x + C .
Lời giải

Chọn C

Theo bảng nguyên hàm ta chọn câu sai là ∫ lnxdx =
Câu 15 Nguyên hàm của hàm số f ( x) =

1
+c.
x

1
là
2 x +1

A. F ( x) = ln 2 x +1 + C .

1
2

B. F ( x) = 2 ln 2 x +1 + C .

C. F ( x) = ln 2 x +1 + C .

D. F ( x) = ln(2 x+1) + C .

1
2

Lời giải
Chọn A
Áp dụng hệ quả ta chọn đáp án A.

Câu 16 (NB) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 1;3] thỏa mãn f ( 1) = 2 và f ( 3) = 9 . Tính

3

I = ∫ f ′ ( x ) dx .
1

B. I = 7 .

A. I = 11 .

C. I = 2 .
Lời giải

D. I = 18 .

Chọn B
3

Ta có: I = ∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) 1 = f ( 3) − f ( 1) = 9 − 2 = 7 .
3

1

1

Câu 17 (TH) Tích phân I = ∫
0

A. ln 2 −1 .

1

dx có giá trị bằng
x +1

B. − ln 2 .

C. ln 2 .
Lời giải

D. 1 − ln 2 .

Chọn C
1

Ta có: I = ∫
0

1
1
dx = ln x + 1 0 = ln 2 − ln1 = ln 2 .
x +1

Câu 18 Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
A. z = 3 + i .
B. z = 3i .

C. z = −2 + 3i .
Lời giải

D. z = − 2 .

Chọn B
Một số phức nếu có phần thực bằng 0 gọi là số thuần ảo, nên chọn B .
z2
Câu 19 (NB) Cho hai số phức z1 = 1 + 2i , z2 = 3 − i . Tìm số phức z = .
z1
1 7
1 7
1 7
1 7
A. z = + i .
B. z = + i .
C. z = − i .
D. z = − + i .
5 5
10 10
5 5
10 10
Lời giải
Chọn C
z2
3−i 1 7
=
= − i.
Ta có z =
z1 1 + 2i 5 5
Câu 20 Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức?


A. z = 1 − 2i .

B. z = 2 + i .

C. z = 1 + 2i .
Lời giải

D. z = −2 + i .

Chọn D
Dựa vào hình vẽ ta thấy điểm M biểu diễn số phức z có phần thực bằng −2 và phần ảo bằng 1 . Vậy
số phức z = −2 + i .
Câu 21 Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a ; chiều cao có độ dày bằng 6a. Tính thể tích khối
chóp S.ABCD
A. 2a 2 .
B. 6a 3 .
C. 2a 3 .
D. 6a 2 .
Lời giải
Chọn C
1
1
V = Bh = .a 2 .6a = 2a 3 .
3
3
Câu 22 Thể tích của khối hộp chữ nhật ABCD. A′B ′C ′D ′ có các cạnh AB = 3; AD = 4; AA′ = 5 là
A. V = 10 .
B. V = 20 .
C. V = 30 .
D. V = 60 .
Lời giải
Chọn D

Ta có: V = AB. AD. AA′ = 60
Câu 23 Tính thể tích của khối nón có chiều cao bằng 4 và độ dài đường sinh bằng 5 .
A. 16π .
B. 48π .
C. 12π .
D. 36π .
Lời giải
Chọn C
Bán kính của khối nón là r = l 2 − h 2 = 52 − 42 = 3 .
1 2
1
2
Thể tích của khối nón là V = π r .h = .π .3 .4 = 12π .
3
3
Câu 24Một khối trụ có chiều cao và bán kính đường trịn đáy cùng bằng R thì có thể tích là
2πR 3
πR 3
A.
.
B. πR 3 .
C.
.
D. 2πR 3 .
3
3
Lời giải
Chọn B
Áp dụng cơng thức thể tích khối trụ ta có: V = πR 2 h = πR 2 .R = πR 3
Câu 25

Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2;3; −1) và B ( 0; −1;1) . Trung điểm của đoạn thẳng AB có
tọa độ là

A. ( 1;1;0 ) .

B. ( 2; 2;0 ) .

C. ( −2; −4; 2 ) .
Lời giải

Chọn A
x A + xB

 xI = 2 = 1

y + yB

= 1 ⇒ I ( 1;1; 0 ) .
Gọi I trung điểm của AB . Ta có:  yI = A
2

z A + zB

 zI = 2 = 0


D. ( − 1; − 2;1) .

2
2
2
Câu 26 Cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0 . Tính bán kính R của mặt cầu ( S ) .

A. R = 3 .

B. R = 3 .

C. R = 9 .

D. R = 3 3 .

Lời giải
Chọn B
Ta có x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0 ⇔ ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z + 1) = 9 .
2

2

2

Suy ra mặt cầu ( S ) có bán kính R = 3 .
Câu 27 (TH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x + ( m + 1) y − 2 z + m = 0 và

( Q ) : 2 x − y + 3 = 0 , với

m là tham số thực. Để

nhiêu?

A. m = −5 .

B. m = 1 .

( P)

và ( Q ) vng góc thì giá trị của m bằng bao

C. m = 3 .
Lời giải

D. m = −1 .

Chọn B

r
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) : n ( 1; m +1; − 2 ) .
ur
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( Q ) : m ( 2; −1;0 ) .
r ur
Theo yêu cầu bài toán: n.m = 0 ⇔ 2 − ( m + 1) = 0 ⇔ 2 − m − 1 = 0 ⇔ m = 1 .
x = 3 + t

Câu 28 (NB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ( d ) :  y = 1 − 2t . Một vectơ chỉ phương
z = 2

của d là
r
r
r

r
A. u = ( 1; − 2;0 ) .
B. u = ( 3;1; 2 ) .
C. u = ( 1; − 2; 2 ) .
D. u = ( −1; 2; 2 ) .
Lời giải
Chọn A
r
Một vectơ chỉ phương của d là u = ( 1; − 2;0 ) .
Câu 29 (TH) Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt bằng 11 là:
A.

1
.
18

B.

1
.
6

C.

1
.
8

D.

2
.
25

Lời giải
Chọn A

Số phần tử không gian mẫu: n ( Ω ) = 6.6 = 36
Biến cố tổng hai mặt là 11 : A =
Suy ra P ( A ) =

{ ( 5;6 ) ; ( 6;5) }

nên n ( A ) = 2 .

n ( A)
2
1
=
= .
n ( Ω ) 36 18

Câu 30 (TH) Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên ( −∞; + ∞ ) ?
A. y = − x 4 − 6 x 2 .
C. y =

x+3
.
x −1

B. y = − x 3 + 3x 2 − 9 x + 1 .
D. y = x3 + 3x .
Lời giải

Chọn B

ax + b
không nghịch biến trên ( −∞; + ∞ ) .
cx + d
Loại D vì là hàm bậc 3 có hệ số a =1 > 0 không nghịch biến trên ( −∞; + ∞ ) .
Loại A và C vì hàm trùng phương và hàm y =


Chọn B Kiểm tra lại, xét hàm số y = − x 3 + 3x 2 − 9 x + 1 .
TXĐ D = R .
y′ = − 3x 2 + 6 x − 9 < 0 với mọi x ∈ R .
Vậy hàm số y = − x3 + 3x 2 − 9 x + 1 nghịch biến trên ( −∞; + ∞ ) .
Câu 31 (TH) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 4 + 2 x 2 − 1 trên đoạn [ − 1; 2] lần lượt là M , m.
Khi đó giá trị của tích M .m là
A. 46.
B. - 23 .

C. - 2
Lời giải

D. 13.

Chọn B

3

Ta có y ' = 4 x + 4 x ⇒ y ' = 0 ⇔ x = 0 ∈ [ −1; 2 ] . Tính y ( −1) = 2; y (0) = −1; y (2) = 23.

Do đó M = 23; m = −1 ⇒ M .m = −23.

Câu 32 Tập nghiệm của bất phương trình log 1 ( x − 2 ) ≥ −1 .
B. ( 2;4] .

A. ( 4;+∞ ) .

2

C. [ 4;+∞ ) .

D. ( −∞;4] .

Lời giải
Chọn B

x > 2
⇒2< x≤4.
x − 2 ≤ 2

Ta có: log 1 ( x − 2 ) ≥ −1 ⇔ 
2

Vậy tập nghiệm bất phương trình là ( 2;4] .
1

Câu 33

Cho

∫ f ( x ) dx = 2

1

1

0

0

∫ g ( x ) dx = 5 , khi đó ∫  f ( x ) + 2 g ( x )  dx bằng

và

0

A. −3 .

B. −8 .

C. 12 .
Lời giải

D. 1 .

Chọn C
1

1

1

0

0

0

Ta có: ∫  f ( x ) + 2 g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + 2∫ g ( x ) dx = 2 + 2.5 = 12 .
2
Câu 34 Cho hai số phức z1 = 3 − i và z2 = 4 − i . Tính mơđun của số phức z1 + z2 .
A. 12 .
B. 10 .
C. 13 .
D. 15 .
Lời giải
Chọn C

Ta có: z12 + z2 = ( 3 − i ) + ( 4 + i ) = 12 − 5i nên z12 + z2 = 122 + 5 2 = 13 .
2

Câu 35

Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SA ^ ( ABCD ) và SA = a . Góc giữa
đường thẳng SB và ( SAC ) là
A. 30° .
Chọn A

B. 75° .

C. 60° .
Lời giải

D. 45°.


Gọi I là tâm của hình vng ABCD .
Vì ABCD là hình vng nên BD ^ AC ; Vì SA ^ ( ABCD ) nên SA ^ BD
·
Suy ra BD ^ ( SAC ) , do đó góc giữa đường thẳng SB và ( SAC ) là góc BSI

a 2 Þ sin BSI
· = BI = 1 Þ BSI
· = 30° .
SB 2
2
Câu 36 (VD) Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình vng cạnh a và SA vng góc với mặt đáy. Biết
SB = a 10 . Gọi I là trung điểm của SC . Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng ( ABCD ) bằng:
Ta có: SB = a 2 ; BI =

A. 3a .

B.

3a
.
2

C.

a 10
.
2

D. a 2 .

Lời giải
Chọn B

Gọi O = AC ∩ BD
OI // SA
Mà SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ OI ⊥ ( ABCD )
Vậy d ( I , ( ABCD ) ) = OI =

SA
=
2

SB 2 − AB 2 3a
=
2
2

Câu 37 (TH) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A ( 2;1;1) , B ( 0;3; −1) . Mặt cầu ( S ) đường
kính AB có phương trình là
A. x 2 + ( y − 2 ) + z 2 = 3 .

B. ( x − 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 3 .

2

2

C. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 9 .
2

2

2

D. ( x − 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 9 .
2

Lời giải
Chọn B

2

2


Tâm I là trung điểm AB ⇒ I ( 1; 2;0 ) và bán kính R = IA = 3 .
Vậy ( x − 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 3 .
2

Câu 38

2

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M ( 3; −1; 2 ) và có vectơ chỉ phương
r
u = ( 4;5; −7 ) là:
 x = 4 + 3t

A.  y = 5 − t .
 z = −7 + 2t


 x = −4 + 3t

B.  y = −5 − t .
 z = 7 + 2t


 x = 3 + 4t

C.  y = −1 + 5t .
 z = 2 − 7t

Lời giải

 x = −3 + 4t

D.  y = 1 + 5t .
 z = −2 − 7 t


Chọn C

Câu 39 (VD) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ¡ và có bảng xét dấu f ′ ( x ) như sau

2
Hỏi hàm số y = f ( x − 2 x ) có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 4 .

B. 2 .

C. 3 .
Lời giải

D. 1 .

Chọn D
2
2
Đặt g ( x ) = f ( x − 2 x ) . Ta có g ′ ( x ) = ( 2 x − 2 ) f ′ ( x − 2 x ) .
x = 1
x =1
x = 1
 2
 2

x − 2 x = −2
x − 2x + 2 = 0
x = 1± 2


g′ ( x) = 0 ⇔ 2

⇔ 2
⇔
.
 x − 2x = 1
 x − 2x −1 = 0
 x = −1



2
 x 2 − 2 x − 3 = 0
 x = 3
 x − 2 x = 3

Trong đó các nghiệm −1, 1, 3 là nghiệm bội lẻ và 1 ± 2 là nghiệm bội chẵn. Vì vậy hàm số g ′ ( x )
chỉ đổi dấu khi đi qua các nghiệm −1, 1, 3 .
Ta có g ′ ( 0 ) = −2 f ′ ( 0 ) < 0 (do f ′ ( 0 ) > 0 ).
Bảng xét dấu g ′ ( x )

2
Vậy hàm số y = f ( x − 2 x ) có đúng 1 điểm cực tiểu là x = 1 .

Câu 40 (VD) Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) có bảng biến thiên như sau

−x
Bất phương trình f ( x ) < m − e đúng với mọi x ∈ ( −2; 2 ) khi và chỉ khi


A. m ≥ f ( 2 ) + 12
e

C. m > f ( 2 ) + 12
e

B. m > f ( −2 ) + e 2

D. m ≥ f ( −2 ) + e2

Lời giải
Chọn D
−x
−x
Ta có: f ( x) < m − e , ∀x ∈ ( −2; 2 ) ⇔ f ( x) + e < m ∀x ∈ ( − 2; 2 ) (*) .

Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + e − x
Ta có: g ′( x) = f ′( x) − e − x .
Ta thấy với ∀x ∈ ( −2; 2 ) thì f ′( x) < 0 , −e − x < 0 nên g ′( x) = f ′( x) − e − x < 0 , ∀x ∈ ( − 2;2 ) .
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có m ≥ g (−2) ⇔ m ≥ f (−2) + e 2 .
Câu 41 (VD) Hàm số f ( x ) liên tục trên ( 0; +∞ ) . Biết rằng tồn tại hằng số a > 0 để
x

∫
a

A.

f ( t)
dt = 2 x − 6 , ∀x > 0 . Tính tích phân

t4
21869
5

B.

39364
9

a

∫ f ( x ) dx là
1

C. 4374

D. −

40
3

Lời giải
Chọn B
x

Lấy đạo hàm hai vế biểu thức

∫
a

f ( t)
dt = 2 x − 6 ta được.
t4

f ( x)
1
=
⇒ f ( x ) = x 3 x . Suy ra
4
x
x
a

Vậy

9

∫ f ( x ) dx = ∫ x
1

1

3

xdx =

x

∫
a

1
dt = 2 x − 6 ⇔ 2 x − 2 a = 2 x − 6 ⇔ a = 9 .
t

39364
.
9
m

 2+ 6i 
Câu 42 (VD) Cho số phức z = 
÷ , m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m∈ 1;50 để z là số thuần
 3− i 
ảo?
A. 24
B. 26
C. 25
D. 50
Lời giải
Chọn C
m

 2 + 6i 
Ta có: z = 
= (2i )m = 2m.i m
÷
 3− i 
z là số thuần ảo khi và chỉ khi m= 2k + 1, k∈ ¥ (do z ≠ 0; ∀m∈ ¥ * ).

Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài.
Câu 43 (VD) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a . Biết SA vng góc
với đáy ABC và SB tạo với đáy một góc 60o . Tính thể tích khối chóp S . ABC .
A. V =

a3 6
24

B. V =

a3 6
8

C. V =

a3 3
12

D. V =

a3 3
4

Lời giải
Chọn A

Do tam giác ABC vuông cân tại B nên ta có AB = BC =

a

2

Và (·SB, ( ABC ) ) = (·SB, AB ) = 60o

1
1
1 1 a2 a
a3 6
o
. 3=
Do đó VS . ABC = .S ABC .SA = .S ABC . AB tan 60 = . . .
.
3
3
3 2 2 2
24
Câu 44 (VD) Một tàu lửa đang chạy với vận tốc 200 m/s thì người lái tàu đạp phanh; từ thời điểm đó, tàu
chuyển động chậm dần đều với vận tốc v ( t ) = 200 − 20t m/s. Trong đó t khoảng thời gian tính bằng
giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, tàu còn di chuyển được
quãng đường là
A. 1000 m.
B. 500 m.
C. 1500 m.
D. 2000 m.
Lời giải
Chọn A
Lấy mốc thời gian là lúc bắt đầu đạp phanh. Giả sử t0 là thời điểm tàu dừng hẳn.
Khi đó v ( t0 ) = 0 ⇔ 200 − 20t0 = 0 ⇔ t0 = 10 ( s ) .
Như vậy từ lúc đạp phanh đến lúc tàu dừng hẳn là 10 ( s ) .
Quãng đường tàu di chuyển được trong khoảng thời gian 10 ( s ) là

10

S = ∫ ( 200 − 20t ) = 1000 ( m ) . .
0

x − 2 y +1 z + 5
=
=
và mặt phẳng
3
1
−1
.Đường thẳng ∆ nằm trong ( P) cắt và vng góc với d có phương trình
x + 4 y +1 z + 5
=
=
B.
2
1
−1
x−4 y −3 z −3
=
=
D.
2
5
11
Lời giải

Câu 45 (VD) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :

( P) : 2 x − 3 y + z − 6 = 0

x + 8 y +1 z − 7
=
=
2
5
11
x − 8 y −1 z + 7
=
=
C.
2
5
11
A.


Chọn C
 x = 2 + 3t

Phương trình tham số của d :  y = −1 + t
 z = −5 − t

Tọa độ giao điểm M của d và ( P ) 2(2 + 3t ) − 3(−1 + t ) − 5 − t − 6 = 0 ⇔ t = 2 ⇒ M (8;1; −7)
r
uur uuur
VTCP của ∆ u = ud ; n( P )  = (−2; −5; −11) = −1.(2;5;11)
r
∆ nằm trong ( P) cắt và vng góc với d suy ra ∆ đi qua M có VTCP a = (2;5;11) nên có phương

trình:

x − 8 y −1 z − 7
=
=
.
2
5
11

Câu 46 (VDC) Cho hàm số bậc bốn y = f ( x) . Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm f '( x) . Hàm số

g( x) = f

(

)

x2 + 2x + 2 có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1.
Chọn C
Ta có g′ ( x) =

C. 3 .
Lời giải

B. 2 .
x+ 1
x + 2x + 2

2

f′

D. 4 .

)

(

x2 + 2x + 2 .

 x + 1= 0
 2
 x = −1
 x + 1= 0
 x + 2x + 2 = −1 
⇒
⇔  x = −1+ 2 2 .
Suy ra g′ ( x) = 0
 f ′ x2 + 2x + 2 = 0  x2 + 2x + 2 = 1


 x = −1− 2 2
 2
x
+
2
x
+

2
=
3

Bảng xét dấu

)

(

Từ đó suy ra hàm số g( x) = f

(

)

x2 + 2x + 2 có 3 điểm cực trị.

Chú ý: Cách xét dấu − hay + của g′ ( x) để cho nhanh nhất ta lấy một giá trị x0 thuộc khoảng đang

(

)

xét rồi thay vào g′ ( x) . Chẳng hạn với khoảng −1; −1+ 2 ta chọn

x0 = 0 ⇒ g′ ( 0) =

1
2

f′

( 2) < 0 vì dựa vào đồ thị ta thấy f ′ ( 2) < 0 .

Câu 47 (VDC) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của c để tồn tại các số thực a, b > 1 thỏa mãn
log 9 a = log12 b = log16

A. 4 .
Chọn D

5b − a
.
c

B. 5 .

C. 2 .
Lời giải

D. 3 .



 a = 9t
t

5b − a
a
3

t


(*) ⇒ =  ÷ = u ∈ ( 0;1)
log 9 a = log12 b = log16
= t > 0 . Khi đó b = 12
c
b 4
 5b − a
t

= 16
 c
t

2t

3 3
Từ (*) suy ra 5.12t − 9t = c.16t ⇔ 5  ÷ −  ÷ = c
4 4
Suy ra
c = −u 2 + 5u = f ( u )

Ta có f ′ ( u ) = −2u + 5 > 0 ∀u ∈ ( 0;1)
Bảng biến thiên của f ( u ) trên ( 0;1) là

Để tồn tại a, b thỏa mãn u cầu bài tốn thì phương trình (*) phải có nghiệm

⇔ c = f ( u ) có nghiệm u ∈ ( 0;1)
⇔ 0< c < 4.

Do c ∈ ¥ * nên c ∈ { 1; 2;3}
Câu 48 (VDC) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên ¡ , đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như trong hình vẽ bên.

Hỏi phương trình f ( x ) = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm biết f ( a ) > 0 ?
A. 3 .

B. 2 .

D. 0 .

C. 1 .
Lời giải

Chọn D

x
y′

−∞

a

−

0

+

0

y

−

0

f ( b)

+∞

f ( a)

+∞

c

b

+
+∞

f ( c)

Mặt khác
b

∫
a

c

f ′ ( x ) dx > ∫ f ′ ( x ) dx ⇒ f ( x ) a > − f ( x ) b ⇔ f ( b ) − f ( a ) > − f ( c ) + f ( b ) ⇔ f ( a ) < f ( c )
b

c

b

Mà f ( a ) > 0 nên phương trình vơ nghiệm.


Câu 49 (VDC) Cho số phức z thỏa z = 1 . Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu
5
3
4
thức P = z + z + 6 z − 2 z + 1 . Tính M − m .

A. m = −4 , n = 3 .

B. m = 4 , n = 3

C. m = −4 , n = 4 .
Lời giải

D. m = 4 , n = −4 .

Chọn A
1
.

z
5
3
4
4
4
4
4
4
4
Từ đó, P = z + z + 6 z − 2 z + 1 = z z + z + 6 − 2 z + 1 = z + z + 6 − 2 z + 1 .

Vì z = 1 và z.z = z nên ta có z =
2

Đặt z 4 = x + iy , với x, y ∈ ¡ . Do z = 1 nên z 4 = x 2 + y 2 = 1 và −1 ≤ x, y ≤ 1 .
Khi đó P = x + iy + x − iy + 6 − 2 x + iy + 1 = 2 x + 6 − 2
= 2x + 6 − 2 2x + 2 =

(

)

( x + 1)

2

+ y2

2

2x + 2 −1 + 3 .

Do đó P ≥ 3 . Lại có −1 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 2 x + 2 ≤ 2 ⇒ −1 ≤ 2 x + 2 − 1 ≤ 1 ⇒ P ≤ 4 .
Vậy M = 4 khi z 4 = ±1 và m = 3 khi z 4 = − 1 ± 3 i . Suy ra M − m = 1 .
2 2
Câu 50 (VDC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 0;1;1) , B ( 3;0; −1) , C ( 0; 21; − 19 ) và
mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 1 . Gọi điểm M ( a; b; c ) là điểm thuộc mặt cầu ( S ) sao
2

2

2

cho biểu thức T = 3MA2 + 2 MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng S = a + b + c .
14
12
A. S = 12 .
B. S = .
C. S = .
D. S = 0 .
5
5
Lời giải
Chọn B
uuu
r uuur uuur r
Gọi điểm K ( x; y; z ) sao cho 3KA + 2 KB + KC = 0 .
uuu
r

 KA = ( − x;1 − y;1 − z )
 −3 x + 2 ( 3 − x ) − x = 0
x = 1


 uuur

⇒ 3 ( 1 − y ) − 2 y + 21 − y = 0
⇔  y = 4 ⇒ K ( 1; 4; −3) .
Ta có  KB = ( 3 − x; − y; −1 − z )
 uuur

 z = −3

3 ( 1 − z ) − 2 ( 1 + z ) − 19 − z = 0

 KC = ( − x; 21 − y; −19 − z )
uuuu
r uuu
r 2
uuuu
r uuu
r
3MA2 = 3 MK
+ KA = 3MK 2 + 6MK .KA + 3KA2

uuuu
r uuur 2
uuuu
r uuur


2
2
2
Khi đó  2MB = 2 MK + KB = 2 MK + 4MK .KB + 2 KB .

uuuu
r uuur 2
uuuu
r uuur
 MC 2 = MK + KC = MK 2 + 2 MK .KC + 2 KC 2

uuuu
r uuu
r uuur uuur
2
2
2
2
⇒ T = 3MA2 + 2MB 2 + MC 2 = 5MK + 2 MK 3KA + 2 KB + KC + ( 3KA + 2 KB + KC )

(
(

)

)

(

)

(

)

= 5MK 2 + ( 3KA2 + 2 KB 2 + KC 2 )
1 4 4 44 2 4 4 4 43 . Do đó Tmin khi và chỉ khi MK min .
const

Suy ra M = IK ∩ ( S ) và đồng thời M nằm giữa I và K .
x = 1
uur

Ta có IK = ( 0;3; −4 ) ⇒ IK :  y = 1 + 3t . Suy ra toạ độ điểm M thoả mãn:
 z = 1 − 4t

1
1
2
2
 8 1
( 3t ) + ( 4t ) = 1 ⇔ t = ± . Vì M nằm giữa I và K nên t = và M 1; ; ÷.
5
5
 5 5


8 1 14
Vậy S = a + b + c = 1 + + = .

5 5 5