30 đề thi thử TN THPT 2021 môn toán bộ đề chuẩn cấu trúc minh họa đề 30 file word có lời giải

ĐỀ THI THỬ CHUẨN CẤU
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG NĂM 2021
TRÚC MINH HỌA
Bài thi: TỐN
ĐỀ SỐ 30
Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề
(Đề thi có 05 trang)
Họ, tên thí sinh: …………………………………………………
Số báo danh: …………………………………………………….
MA TRẬN ĐỀ THAM KHẢO 2021
MỨC ĐỘ
CHƯƠNG
Đạo hàm và
ứng dụng

NỘI DUNG

Đơn điệu của hàm số
Cực trị của hàm số
Min, Max của hàm số
Đường tiệm cận
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Hàm số mũ – Lũy thừa – Mũ – Lôgarit
lôgarit
Hàm số mũ – Hàm số lôgarit
PT mũ – PT lơgarit
BPT mũ – BPT lơgarit
Số phức
Định nghĩa và tính chất
Phép toán
PT bậc hai theo hệ số thực

Nguyên hàm Nguyên hàm
– Tích phân Tích phân
Ứng dụng tích phân tính diện tích
Ứng dụng tích phân tính thể tích
Khối đa diện Đa diện lồi – Đa diện đều
Thể tích khối đa diện
Khối trịn
Mặt nón
xoay
Mặt trụ
Mặt cầu
Phương pháp Phương pháp tọa độ
tọa độ trong Phương trình mặt cầu
khơng gian Phương trình mặt phẳng
Phương trình đường thẳng
Tổ hợp – Xác Hốn vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp
suất
Cấp số cộng (cấp số nhân)
Xác suất
Hình học
Góc
khơng gian Khoảng cách
(11)
TỔNG

ĐỀ THAM
KHẢO

TỔNG

NB

TH

VD

VDC

3, 30
4, 5, 39, 46
31
6
7, 8
9, 11
10
12, 13, 47
32, 40
18, 20, 34, 42, 49
19

1
1

1
1
1

1

1

14, 15
16, 17, 33, 41
44, 48

1
1

21, 22, 43
23
24

1
1
1

25
26, 37, 50
27
28, 38, 45
1
2
29
35
36

1
1

1

1
1
1
1
2
1

1
1
1

1
1
1
1
1
1
1

1

1
1
1

1
1
1

1

2
1

1

1

1
1

1
1
1
20

15

10

5

2
4
1
1
2
2
1
3

2
5
1
0
2
4
2
0
0
3
1
1
0
1
3
1
3
1
1
1
1
1
50


Câu 1 (NB) Cần chọn 3 người đi công tác từ một tổ có 30 người, khi đó số cách chọn là:
3
3
A. A30
B. 330

C. 10
D. C30
Câu 2 (NB) Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40. Khi đó cơng sai d của
cấp số cộng đó là bao nhiêu?
A. d = 4.
B. d = 5.
C. d = 6.
D. d = 7.
Câu 3 (NB) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình bên dưới.Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;0 ) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0;1) .

Chú ý:Đáp án B sai vì hàm số không xác định tại x = 0 .
Câu 4 (NB) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị

Hàm số đã cho đạt cực đại tại
A. x = −1 .
B. x = 2 .

C. x = 1 .

D. x = −2 .

Câu 5 (TH) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên. Trên K , hàm số có bao

nhiêu cực trị?

A. 3 .

C. 0 .
2x − 4
Câu 6 (NB) Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
là
x+2
A. x = 2 .
B. y = 2 .
C. x = −2 .
Câu 7 (NB) Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
B. 2 .

D. 1 .

D. y = −2 .


A. y =

x+2
.
2x −1

B. y =

2x
.

3x − 3

x +1
.
2x − 2

C. y =

2x − 4
.
x −1

D. y =

2x − 3
và đường thẳng d : y = x − 1.
x +3
A. 1 .
B. −3 .
C. −1 .
D. 3 .
Câu 9 (NB) Với a, b> 0 tùy ý, mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 8 (TH) Tìm tung độ giao điểm của đồ thị (C ) : y =

A. log ( ab) = log a.log b .

2
B. log ( ab ) = 2 log a + 2 log b .

2
C. log ( ab ) = log a + 2 log b .

D. log ( ab) = log a - log b .

Câu 10 (NB) Đạo hàm của hàm số y = 5 x + 2017 là :
A. y ' =

5x
5ln 5

B. y ' = 5 x.ln 5

C. y ' =

5x
ln 5

D. y ' = 5x

2

Câu 11 (TH) Cho a là số thực dương. Giá trị của biểu thức P = a 3 a bằng
5

A. a 6

2

B. a 5

Câu 12 (NB) Tổng lập phương các nghiệm thực của phương trình 3x
A. 26.
B. 27.
C. 28.
Câu 13(TH) Tìm số nghiệm của phương trình log 3 ( 2 x − 1) = 2 .
A. 1.
B. 5.
2
Câu 14 (NB) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x là
2
∫ x dx =

1
3

A. F ( x) = 3( x +1) 2 .

B. F ( x) = ( x +1) 2 .

D. a 6
2

−4 x+5

= 9 là
D. 25.

C. 2.

x3
x2
B. ∫ x 2 dx = + C .
C.
+C .
3
2
Câu 15 (TH) Một nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( x +1)3 là

A.

7

C. a 3

D. 0.

2
∫ x dx =

x3
.
3

1
4

C. F ( x) = ( x +1) 4 .

D.

∫ x dx = 2 x + C .
2

D. F ( x) = 4( x +1) 4 .

Câu 16 (NB) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ −1;1] thỏa mãn

1

∫ f ′ ( x ) dx = 5 và

−1

f ( −1) = 4 . Tìm f ( 1) .
A. f ( 1) = −1 .

B. f ( 1) = 1 .
2

C. f ( 1) = 9 .

D. f ( 1) = −9 .

1

Câu 17 (TH) Tích phân I = ∫  + 2 ÷dx bằng
x

1

A. I = ln 2 + 2 .
B. I = ln 2 + 1 .
C. I = ln 2 − 1 .
D. I = ln 2 + 3 .
Câu 18 (NB) Cho a , b là hai số thực thỏa mãn a + 6i = 2 − 2bi , với i là đơn vị ảo. Giá trị của a + b bằng
A. −1 .
B. 1.
C. −4 .
D. 5.
Câu 19 (NB) Cho số phức z1 = 3 + 2i , z2 = 6 + 5i . Tìm số phức liên hợp của số phức z = 6 z1 + 5 z2
A. z = 51 + 40i .
B. z = 51 − 40i .
C. z = 48 + 37i .
D. z = 48 − 37i .


Câu 20 (NB) Điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z = −1 + 2i ?

A. N .
B. P .
C. M .
D. Q .
Câu 21 (NB) Thể tích của khối lập phương cạnh 2a bằng
A. 8a .
B. 8a 3 .
C. a 3 .
D. 6a 3 .
Câu 22 (TH) Cho khối chóp có diện tích đáy bằng 6cm 2 và có chiều cao là 2cm . Thể tích của khối chóp đó là:
A. 6cm3 .

B. 4cm3 .

C. 3cm3 .

D. 12cm3 .

Câu 23 (NB) Cho khối nón có bán kính đáy r = 3 và chiều cao h = 4 . Tính thể tích V của khối nón đã
cho.
A. V = 16π 3 .
B. V = 12π .
C. V = 4π .
D. V = 4 .
Câu 24 (NB) Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy r = 10 cm và chiều cao h = 6 cm .
A. V = 120π cm 3 .

B. V = 360π cm3 .

C. V = 200π cm 3 .
D. V = 600π cm3 .
r
r r r
r
Câu 25 (NB) Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz , cho a = −i + 2 j − 3k . Tọa độ của vectơ a là:
r
r
r
r
A. a ( −1; 2; −3) .
B. a ( 2; −3; −1) .
C. a ( −3; 2; −1) .

D. a ( 2; −1; −3) .
Câu 26 (NB) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz , cho mặt cầu

(S )

có phương trình

x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 2 y − 4 = 0 .Tính bán kính R của ( S ).
A. 1 .
B. 9 .
C. 2 .
D. 3 .
Câu 27 (TH) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A ( 0;1; 2 ) , B ( 2; − 2;1) , C ( −2;0;1) .
Phương trình mặt phẳng đi qua A và vng góc với BC là
A. 2 x − y − 1 = 0 .
B. − y + 2 z − 3 = 0 .
C. 2 x − y + 1 = 0 .

D. y + 2 z − 5 = 0 .

Câu 28 (NB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 1; − 2;1) ; B ( 2;1; − 1) , véc tơ chỉ phương
của đường thẳng AB là:
r
r
r
r
A. u = ( 1; −1; −2 ) .
B. u = ( 3; −1;0 ) .

C. u = ( 1;3; −2 ) .
D. u = ( 1;3;0 ) .
Câu 29 (TH) Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 27 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai
số có tổng là một số chẵn bằng:
13
14
1
365
A.
.
B.
.
C. .
D.
.
27
27
2
729
2x −1
Câu 30 (TH) Cho hàm số y =
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng.
x +1
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞; −1) và ( 1; +∞ ) .
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; −1) và ( −1; +∞ ) .
C. Hàm số luôn nghịch biến trên ¡ .
D. Hàm số đồng biến trên ¡ .
Câu 31 (TH) Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
Tính 2M − m .

3x − 1
trên đoạn [ 0; 2] .
x−3


A. 2 M − m =

−14
.
3

B. 2 M − m =

−13
.
3

C. 2 M − m =

Câu 32 (TH) Tập nghiệm của bất phương trình log 2 ( x − 1) ≥ −1 .

 −1






A.  ; +∞ ÷.
2


Câu 33 (VD) Cho

1




B.  −1; −  .
2

17
.
3

D. 2 M − m =

1

D. [ 1;+∞ ) .

C.  −∞; −  .
2





1

1

1

0

0

0

16
.
3

∫  f ( x ) − 2 g ( x )  dx = 12 và ∫ g ( x ) dx = 5 , khi đó ∫ f ( x ) dx bằng

A. −2 .

B. 12 .

C. 22 .

D. 2 .

Câu 34 (TH) Cho hai số phức z1 = 2 + i và z2 = −3 + i . Phần ảo của số phức z1 z2 bằng
A. −5 .

B. −5i .
C. 5 .
D. 5i .

Câu 35 (VD) Cho khối chóp S . ABC có SA ⊥ ( ABC ) , tam giác ABC vuông tại B , AC = 2a , BC = a ,
SB = 2a 3 . Tính góc giữa SA và mặt phẳng ( SBC ) .

A. 45° .

B. 30° .

C. 60° .

D. 90° .

Câu 36 (VD) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a 2. Tính khoảng
cách d từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên theo a.
A. d =

a 5
.
2

B. d =

a 3
.
2

C. d =

2a 5
.
3

D. d =

a 2
.
3

Câu 37 (TH) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm I ( 1;1;1) và A ( 1; 2;3 ) . Phương trình của mặt cầu có tâm

I và đi qua A là
A. ( x +1) + ( y + 1) + ( z +1) = 29 .

B. ( x −1) + ( y −1) + ( z −1) = 5 .

C. ( x −1) + ( y −1) + ( z −1) = 25 .

D. x + 12 + y + 12 + ( z + 1) = 5 .

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 38 (TH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình tham số của
đường thẳng đi qua hai điểm A ( 1;0;1) và B ( 3; 2; −1) .

x = 1+ t

A.  y = 1 + t , t ∈ R .
 z = −1 − t


x = 3 + t

B.  y = 2 − t , t ∈ R .
 z = −1 − t


x = 1− t

C.  y = −t , t ∈ R .
z = 1+ t


x = 2 + t


D.  y = 2 + t , t ∈ R .
 z = −2 − t


(

)

2
2
Câu 39 (VD) Nếu hàm số f ( x ) có đạo hàm là f ′ ( x ) = x ( x + 2 ) x + x − 2 ( x − 1) thì điểm cực trị của hàm
4

số f ( x ) là
A. x = 0 .

B. x = 2 .

C. x = 1 .

(

Câu 40 (VD) Số nghiệm nguyên của bất phương trình 17 − 12 2
A. 3 .

) ≥ ( 3+ 8)
x

C. 2 .

B. 1 .

Câu 41 (VD) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ và có

D. x = −2 .

1

∫

f ( x ) dx = 2 ,

0

x

2

là
D. 4 .

3

∫
0

f ( x ) dx = 6 . Tính I =

1

∫ f ( 2 x − 1 ) dx .

−1

3
.
D. I = 4 .
2
Câu 42 (VD) Cho số phức z = a + bi ( với a, b ∈ ¡ ) thỏa z ( 2 + i ) = z − 1 + i ( 2 z + 3 ) . Tính S = a + b .

A. I = 8 .

B. I = 16 .

C. I =


A. S = −1 .
B. S = 1 .
C. S = 7 .
D. S = −5 .
a
S
.
ABCD
ABCD
Câu 43 (VD) Cho hình chóp
với
là hình vng cạnh . Mặt bên SAB là tam giác cân tại

S và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Cạnh bên SC tạo với đáy một góc 60° .
Tính thể tích khối chóp S . ABCD .
A.

a 3 15
.
2

B.

a 3 15
.
6

C.

a3 6
.
3

D.

a3 3
.
6

Câu 44 (VD) Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vng cạnh bằng 10 cm bằng
cách kht đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết AB = 5 cm, OH = 4 cm.
Tính diện tích bề mặt hoa văn đó.

160 2
140 2
14 2
cm
cm
cm
B.
C.
D. 50 cm 2
3
3
3
Câu 45 (VD) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng

A.

( P) : z −1 = 0

và ( Q ) : x + y + z − 3 = 0 . Gọi d là đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( P ) , cắt đường

x −1 y − 2 z − 3
=
=
và vng góc với đường thẳng ∆ . Phương trình của đường thẳng d là
1
−1
−1
x = 3 + t
x = 3 − t
x = 3 + t

x = 3 + t




A.  y = t
.
B.  y = t
.
C.  y = t
.
D.  y = −t .
z = 1+ t
z = 1
z = 1
z = 1+ t





thẳng

Câu 46 (VDC) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số y = f ( f ( x ) ) có
bao nhiêu điểm cực trị?

A. 6

B. 7

C. 8

Câu 47 (VDC) Cho log 9 x = log12 y = log16 ( x + y ) . Giá trị của tỷ số
A. 2

B.

1− 5
2

C. 1

D. 9

x
là.
y
D.

−1 + 5
2

Câu 48 (VDC) Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Biết phương trình f ′ ( x ) = 0
có bốn nghiệm phân biệt a , 0 , b , c với a < 0 < b < c .


A. f ( b ) > f ( a ) > f ( c ) .

B. f ( a ) > f ( b ) > f ( c ) .

C. f ( a ) > f ( c ) > f ( b ) .

D. f ( c ) > f ( a ) > f ( b ) .

Câu 49 (VDC) Cho số phức z thỏa mãn z − 1 − i = 1 , số phức w thỏa mãn w − 2 − 3i = 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của z − w .
A. 13 − 3

B. 17 − 3

C. 17 + 3

D. 13 + 3

1 3 
2
2
2
;0 ÷
Câu 50 (VDC) Trong khơng gian Oxyz , cho điểm M  ;
÷ và mặt cầu ( S ) : x + y + z = 8 . Một đường
2
2


thẳng đi qua điểm M và cắt ( S ) tại hai điểm phân biệt A , B . Diện tích lớn nhất của tam giác OAB

bằng
A. 4 .

B. 2 7 .

C. 2 2 .

D.

7.


1.D
11.D
21.B
31.C
41.D

2.B
12.C
22.B
32.B
42.A

3.D
13.A
23.C
33.C
43.B

4.A
14.A
24.D

34.A
44.B

BẢNG ĐÁP ÁN
5.B
6.B
7.C
15.C
16.C
17.A
25.A
26.D
27.C
35.B
36.D
37.B
45.C
46.D
47.D

8.C
18.A
28.C
38.B
48.C

9.C
19.D
29.A
39.C

49.B

10.B
20.D
30.B
40.A
50.D

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 (NB) Cần chọn 3 người đi cơng tác từ một tổ có 30 người, khi đó số cách chọn là:
3
3
A. A30
B. 330
C. 10
D. C30
Lời giải
Chọn D
Mỗi cách chọn thỏa đề bài là một tổ hợp chập 3 của 30
3
Do đó số cách chọn là C30 cách

Câu 2 (NB) Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40. Khi đó cơng sai d của
cấp số cộng đó là bao nhiêu?
A. d = 4.
B. d = 5.
C. d = 6.
D. d = 7.
Lời giải
Chọn B

u1 = 5

→d = 5

40
=
u
=
u
+
7
d
8
1

Vậy d = 5
Câu 3 (NB) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình bên dưới.Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;0 ) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0;1) .
Lời giải

Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( 0;1) .

Chú ý:Đáp án B sai vì hàm số khơng xác định tại x = 0 .
Câu 4 (NB) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị


Hàm số đã cho đạt cực đại tại
A. x = −1 .
B. x = 2 .

C. x = 1 .
Lời giải

D. x = −2 .

Chọn A
Từ đồ thị hàm số suy ra hàm số đạt cực đại tại x = −1 .

Câu 5 (TH) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên. Trên K , hàm số có bao
nhiêu cực trị?

A. 3 .

B. 2 .

C. 0 .
Lời giải

D. 1 .

Chọn B
Trên K , hàm số có 2 cực trị.

2x − 4
là
x+2
C. x = −2 .
Lời giải

Câu 6 (NB) Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. x = 2 .

B. y = 2 .

Chọn B
2x − 4
2x − 4
= lim
=2.
x→+∞ x + 2
x →−∞ x + 2
Vậy y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Câu 7 (NB) Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

Ta có: lim

D. y = −2 .


A. y =

x+2
.

2x −1

B. y =

2x
.
3x − 3

x +1
.
2x − 2

C. y =

2x − 4
.
x −1

D. y =

Lời giải
Chọn C
Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị có tiệm cận ngang y =

1
và tiệm cận đứng x = 1 .
2

1
1

và TCĐ: x = (loại).
2
2
2
Phương án B: TCN: y = và TCĐ: x = 1 (loại).
3
Phương án D: TCN: y = 2 và TCĐ: x = 1 (loại).
1
Phương án C: TCN: y = và TCĐ: x = 1 (thỏa mãn).
2
2x − 3
Câu 8 (TH) Tìm tung độ giao điểm của đồ thị (C ) : y =
và đường thẳng d : y = x − 1.
x +3
A. 1 .
B. −3 .
C. −1 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn C
Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đường (C ) và d là :
2x − 3
= x − 1 ( x ≠ −3) ⇒ x 2 = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = −1.
x +3
Câu 9 (NB) Với a, b> 0 tùy ý, mệnh đề nào dưới đây đúng?

Phương án A: TCN: y =

A. log ( ab) = log a.log b .

2
B. log ( ab ) = 2 log a + 2 log b .

2
C. log ( ab ) = log a + 2 log b .

D. log ( ab) = log a - log b .
Lời giải

Chọn C
Với a, b> 0 ta có:
log ( ab) = log a + log b .
log ( ab 2 ) = log a + log b 2 = log a + 2 log b .

Vậy C đúng.
Câu 10 (NB) Đạo hàm của hàm số y = 5 x + 2017 là :
A. y ' =

5x
5ln 5

B. y ' = 5 x.ln 5

C. y ' =

5x
ln 5

D. y ' = 5x

Lời giải
Chọn B

x
x
Do ( 5 ) ' = 5 .ln 5 là mệnh đề đúng.

2

Câu 11 (TH) Cho a là số thực dương. Giá trị của biểu thức P = a 3 a bằng
5

A. a 6

2

B. a 5

7

C. a 3
Lời giải

D. a 6

Chọn D
2

2

1

7

Với a > 0 , ta có P = a 3 a = a 3 a 2 = a 6 .
Câu 12 (NB) Tổng lập phương các nghiệm thực của phương trình 3x
A. 26.
B. 27.
C. 28.

2

−4 x+5

= 9 là
D. 25.


Lời giải
Chọn C
x = 1
.
= 32 ⇔ x 2 − 4 x + 5 = 2 ⇔ 
x = 3
Tổng lập phương các nghiệm thực của phương trình là: 13 + 33 = 28 .
Ta có phương trình: 3x

2

− 4 x +5

= 9 ⇔ 3x

2

− 4 x +5

Câu 13(TH) Tìm số nghiệm của phương trình log 3 ( 2 x − 1) = 2 .
A. 1.

B. 5.

C. 2.
Lời giải

D. 0.

Chọn A
log 3 ( 2 x − 1) = 2 ⇔ 2 x − 1 = 32 ⇔ x = 5 .
Vậy phương trình có 1 nghiệm.
2
Câu 14 (NB) Họ ngun hàm của hàm số f ( x ) = x là
A.

2
∫ x dx =

x3
+C .
3

B.

2
∫ x dx =

x2
+C .
2

C. ∫ x 2 dx =

x3
.
3

D.

∫ x dx = 2 x + C .
2

Lời giải
Chọn A
x3
Ta có ∫ x dx = + C .
3
2

Câu 15 (TH) Một nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( x +1)3 là
1

3

B. F ( x) = ( x +1) 2 .

A. F ( x) = 3( x +1) 2 .

1
4

C. F ( x) = ( x +1) 4 .

D. F ( x) = 4( x +1) 4 .

Lời giải
Chọn C
Áp dụng hệ quả chọn đáp án C.
Câu 16 (NB) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ −1;1] thỏa mãn

1

∫ f ′ ( x ) dx = 5 và

−1

f ( −1) = 4 . Tìm f ( 1) .
A. f ( 1) = −1 .

B. f ( 1) = 1 .

C. f ( 1) = 9 .

D. f ( 1) = −9 .

Lời giải
Chọn C
1

∫ f ′ ( x ) dx = 5 ⇒ f ( 1) − f ( −1) = 5 ⇒ f ( 1) − 4 = 5 ⇒ f ( 1) = 9 .

−1

2

1

Câu 17 (TH) Tích phân I = ∫  + 2 ÷dx bằng
x

1
A. I = ln 2 + 2 .
B. I = ln 2 + 1 .

C. I = ln 2 − 1 .
Lời giải

D. I = ln 2 + 3 .

Chọn A
2

2
1

Ta có: I = ∫  + 2 ÷dx = ( ln x + 2 x ) = ln 2 + 4 − 2 = ln 2 + 2 .
1
x

1
Câu 18 (NB) Cho a , b là hai số thực thỏa mãn a + 6i = 2 − 2bi , với i là đơn vị ảo. Giá trị của a + b bằng
A. −1 .
B. 1.
C. −4 .
D. 5.
Lời giải
Chọn A
a = 2
a = 2
⇔
⇒ a + b = −1 .
Ta có a + 6i = 2 − 2bi ⇔ 
6 = −2b
b = −3


Câu 19 (NB) Cho số phức z1 = 3 + 2i , z2 = 6 + 5i . Tìm số phức liên hợp của số phức z = 6 z1 + 5 z2
A. z = 51 + 40i .
B. z = 51 − 40i .
C. z = 48 + 37i .
D. z = 48 − 37i .
Lời giải

Chọn D
Ta có: z = 6 z1 + 5 z2 = 6 ( 3 + 2i ) + 5 ( 6 + 5i ) = 48 + 37i .
Suy ra z = 48 − 37i .
Câu 20 (NB) Điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z = −1 + 2i ?

A. N .

B. P .

C. M .
Lời giải

D. Q .

Chọn D
Vì z = −1 + 2i nên điểm biểu diễn số phức z có tọa độ ( −1; 2 ) , đối chiếu hình vẽ ta thấy đó là điểm
Q.

Câu 21 (NB) Thể tích của khối lập phương cạnh 2a bằng
A. 8a .
B. 8a 3 .
C. a 3 .
Lời giải
Chọn B
3
Thể tích khối lập phương cạnh 2a là V = ( 2a ) = 8a 3 .

D. 6a 3 .

Câu 22 (TH) Cho khối chóp có diện tích đáy bằng 6cm 2 và có chiều cao là 2cm . Thể tích của khối chóp đó là:

A. 6cm3 .
B. 4cm3 .
C. 3cm3 .
D. 12cm3 .
Lời giải
Chọn B
1
1
3
Thể tích của khối chóp là: V = h.Sday = .2.6 = 4 ( cm ) .
3
3
Câu 23 (NB) Cho khối nón có bán kính đáy r = 3 và chiều cao h = 4 . Tính thể tích V của khối nón đã
cho.
A. V = 16π 3 .
B. V = 12π .
C. V = 4π .
D. V = 4 .
Lời giải
Chọn C
1
V = .π .r 2 .h = 4π .
3
Câu 24 (NB) Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy r = 10 cm và chiều cao h = 6 cm .
A. V = 120π cm 3 .

B. V = 360π cm3 .

C. V = 200π cm 3 .
Lời giải

Chọn D
Thể tích khối trụ là: V = π r 2 h = π .102.6 = 600π cm3 .

D. V = 600π cm3 .

r
r r r
r
Câu 25 (NB) Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz , cho a = −i + 2 j − 3k . Tọa độ của vectơ a là:


r
A. a ( −1; 2; −3) .

r
B. a ( 2; −3; −1) .

r
C. a ( −3; 2; −1) .

r
D. a ( 2; −1; −3) .

Lời giải
Chọn A
r
r r r
r
r

Ta có a = xi + y j + zk ⇔ a ( x; y; z ) nên a ( −1; 2; −3) . Do đó Chọn A
Câu 26 (NB) Trong khơng gian với hệ tọa độ

Oxyz , cho mặt cầu

(S )

có phương trình

x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 2 y − 4 = 0 .Tính bán kính R của ( S ).
A. 1 .
B. 9 .
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn D
Giả sử phương trình mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 (a 2 + b 2 + c 2 − d > 0)
Ta có: a = −2, b = 1, c = 0, d = −4 ⇒ Bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d = 3 .
Câu 27 (TH) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A ( 0;1; 2 ) , B ( 2; − 2;1) , C ( −2;0;1) .
Phương trình mặt phẳng đi qua A và vng góc với BC là
A. 2 x − y − 1 = 0 .
B. − y + 2 z − 3 = 0 .
C. 2 x − y + 1 = 0 .

D. y + 2 z − 5 = 0 .

Lời giải
Chọn C
r uuur
Ta có: n = BC = ( −2;1;0 ) .

Vậy phương trình mặt phẳng đi qua A và vng góc với BC có dạng:
−2 ( x − 0 ) + 1( y − 1) = 0 ⇔ −2 x + y − 1 = 0 ⇔ 2 x − y + 1 = 0 .
Câu 28 (NB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 1; − 2;1) ; B ( 2;1; − 1) , véc tơ chỉ phương
của đường thẳng AB là:
r
r
r
r
A. u = ( 1; −1; −2 ) .
B. u = ( 3; −1; 0 ) .
C. u = ( 1;3; −2 ) .
D. u = ( 1;3;0 ) .
Lời giải
Chọn C
r uuur
Véctơ chỉ phương của đường thẳng AB là: u = AB = ( 1;3; − 2 )
Câu 29 (TH) Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 27 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai
số có tổng là một số chẵn bằng:
13
14
1
365
A.
.
B.
.
C. .
D.
.
27

27
2
729
Lời giải
Chọn A

n ( W) = C272 = 351
2
* Trường hợp 1: hai số được chọn đều là số chẵn: n1 = C13 = 78
2
* Trường hợp 2: hai số được chọn đều là số lẻ: n2 = C14 = 91

n ( A) = n1 + n2 = 78 + 91 = 169
P ( A) =

n ( A) 169 13
=
=
n ( W) 351 27

2x −1
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng.
x +1
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞; −1) và ( 1; +∞ ) .

Câu 30 (TH) Cho hàm số y =

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; −1) và ( −1; +∞ ) .
C. Hàm số luôn nghịch biến trên ¡ .
D. Hàm số đồng biến trên ¡ .

Lời giải
Chọn B
TXĐ: D = ¡ \ { −1} .
y′ =

3

( x + 1)

2

> 0, ∀x ≠ −1.

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; −1) và ( 1; +∞ ) .
Câu 31 (TH) Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
Tính 2M − m .
−14
A. 2 M − m =
.
3

B. 2 M − m =

−13
.
3

C. 2 M − m =

17
.
3

3x − 1
trên đoạn [ 0; 2] .
x−3

D. 2 M − m =

Lời giải
Chọn C

Hàm số đã cho xác định trên [ 0; 2] .
Ta có: y ′ =

−8

( x − 3)

2

< 0, ∀x ∈ [ 0; 2 ] .

1
y ( 0) = , y ( 2) = − 5
3
1
3

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là m = −5

Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là M =

Vậy 2 M − m =

17
3

Câu 32 (TH) Tập nghiệm của bất phương trình log 2 ( x − 1) ≥ −1 .

 −1






A.  ; +∞ ÷.
2


1




B.  −1; −  .
2

1

C.  −∞; −  .
2





D. [ 1;+∞ ) .

Lời giải
Chọn B

 x > −1
 x > −1
−1


Ta có log 2 ( x + 1) ≥ −1 ⇔ 
1⇔
−1 ⇔ x ≥ .
2
 x + 1 ≥ 2
 x ≥ 2
 −1

Vậy tập nghiệm bất phương trình là  ; +∞ ÷.
2


Câu 33 (VD) Cho

1

1

1

0

0

0

∫  f ( x ) − 2 g ( x )  dx = 12 và ∫ g ( x ) dx = 5 , khi đó ∫ f ( x ) dx bằng

A. −2 .

B. 12 .

C. 22 .
Lời giải

Chọn C
Ta có:
1

1

1

0

0

0

∫  f ( x ) − 2 g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − 2∫ g ( x ) dx

D. 2 .

16
.
3


1

1

1

0

0

0

⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫  f ( x ) − 2 g ( x )  dx + 2 ∫ g ( x ) dx = 12 + 2.5 = 22 .

Câu 34 (TH) Cho hai số phức z1 = 2 + i và z2 = −3 + i . Phần ảo của số phức z1 z2 bằng
A. −5 .

B. −5i .

C. 5 .
Lời giải

D. 5i .

Chọn A
Ta có z1 z2 = ( 2 + i ) ( −3 − i ) = −5 − 5i .
Vậy phần ảo của số phức z1 z2 bằng −5 .
Câu 35 (VD) Cho khối chóp S . ABC có SA ⊥ ( ABC ) , tam giác ABC vuông tại B , AC = 2a , BC = a ,
SB = 2a 3 . Tính góc giữa SA và mặt phẳng ( SBC ) .

A. 45° .

B. 30° .

C. 60° .
Lời giải

D. 90° .

Chọn B

 BC ⊥ SA
⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH (2) . Từ
Kẻ AH ⊥ SB ( H ∈ SB ) (1). Theo giả thiết ta có 

 BC ⊥ AB

( 1) và ( 2 ) suy ra,

AH ⊥ ( SBC ) . Do đó góc giữa SA và mặt phẳng ( SBC ) bằng góc giữa SA và SH

bằng góc ·ASH
Ta có AB = AC 2 − BC 2 = a 3 . Trong vng ∆SAB ta có sin ASB =

AB a 3 1
=
=
. Vậy
SB 2a 3 2

·ASB = ·ASH = 30o .
Do đó góc giữa SA và mặt phẳng ( SBC ) bằng 30° .
Câu 36 (VD) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a 2. Tính khoảng
cách d từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên theo a.
A. d =

a 5
.
2

B. d =

a 3
.
2

C. d =
Lời giải

Chọn D

2a 5
.
3

D. d =

a 2
.
3


Kẻ OH ⊥ BC , OK ⊥ SH
OH ⊥ BC
OK ⊥ BC
⇒ BC ⊥ ( SOH ) ⇒ 
⇒ OK ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( O; ( SBC ) ) = OK
Ta có: 
SO
⊥
BC
OK
⊥
SH



a
1
1
1
2a 2
a 2
2
Vì OH = ; SO = a 2 ⇒
=
+
⇒
OK
=
⇒ OK =
2
2
2
2
OK
SO
OH
9
3
Câu 37 (TH) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm I ( 1;1;1) và A ( 1; 2;3 ) . Phương trình của mặt cầu có tâm

I và đi qua A là
A. ( x +1) + ( y + 1) + ( z +1) = 29 .

B. ( x −1) + ( y −1) + ( z −1) = 5 .

C. ( x −1) + ( y −1) + ( z −1) = 25 .

D. x + 12 + y + 12 + ( z + 1) = 5 .

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải
Chọn B
Vì mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1;1;1) và đi qua A ( 1; 2;3) nên mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1;1;1) và có bán
kính là R = IA = 5 .
2

2
2
Suy ra phương trình mặt cầu ( S ) là: ( x −1) + ( y −1) + ( z −1) = 5 .

Câu 38 (TH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình tham số của
đường thẳng đi qua hai điểm A ( 1;0;1) và B ( 3; 2; −1) .
x = 1+ t

A.  y = 1 + t , t ∈ R .
 z = −1 − t


x = 3 + t

B.  y = 2 − t , t ∈ R .
 z = −1 − t


x = 1− t

C.  y = −t , t ∈ R .
z = 1+ t


x = 2 + t

D.  y = 2 + t , t ∈ R .
 z = −2 − t

Lời giải

Chọn B
uuu
r
r
Ta có AB = ( 2; 2; −2 ) ⇒ u = ( −1; −1;1) là một VTCP của đường thẳng đi qua hai điểm A ( 1; 0;1) và

B ( 3; 2; −1) .

đi qua A ( 1;0;1)
Vậy đường thẳng AB : 
có phương trình là
r

VTCP u = ( −1; −1;1)

(

x = 1− t

 y = −t , t ∈ R .
z = 1+ t


)

2
2
Câu 39 (VD) Nếu hàm số f ( x ) có đạo hàm là f ′ ( x ) = x ( x + 2 ) x + x − 2 ( x − 1) thì điểm cực trị của hàm
4

số f ( x ) là
A. x = 0 .

B. x = 2 .

C. x = 1 .

D. x = −2 .


Lời giải
Chọn C

f ′ ( x ) = x 2 ( x + 2 ) ( x 2 + x − 2 ) ( x − 1) = x 2 ( x + 2 )
4

2

( x − 1)

5

x = 0
f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = −2
 x = 1
Bảng xét dấu:

Vậy hàm số đạt cực trị tại x = 1 .

(

Câu 40 (VD) Số nghiệm nguyên của bất phương trình 17 − 12 2
A. 3 .

) ≥ ( 3+ 8)
x

x2

C. 2 .
Lời giải

B. 1 .

là
D. 4 .

Chọn A
Ta có

( 3 + 8 ) = ( 3 − 8 ) , ( 17 − 12 2 ) = ( 3 − 8 )
Do đó ( 17 − 12 2 ) ≥ ( 3 + 8 ) ⇔ ( 3 − 8 )
−1

x2

x

2

.

(

2x

≥ 3+ 8

)

x2

(

⇔ 3+ 8

)

−2 x

(

≥ 3+ 8

)

x2

⇔ −2 x ≥ x 2 ⇔ −2 ≤ x ≤ 0 . Vì x nhận giá trị nguyên nên x ∈ { −2; −1;0} .

Câu 41 (VD) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ và có

1

f ( x ) dx = 2 ,

∫
0

A. I = 8 .

3

∫

f ( x ) dx = 6 . Tính I =

C. I =

3
.
2

∫ f ( 2 x − 1 ) dx .

−1

0

B. I = 16 .

1

D. I = 4 .

Lời giải
Chọn D
Đặt t = 2 x − 1 ⇒ dt = 2dx .
 x = −1 ⇒ t = −3
Đổi cận: 
x = 1 ⇒ t = 1
1
0
1

1
1
Ta có: I = ∫ f ( t ) dt =  ∫ f ( −t ) dt + ∫ f ( t ) dt ÷ ( 1) .
2 −3
2  −3
0

1

+

1

∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 2 .

0

0

0

+ Tính

∫

f ( −t ) dt : Đặt z = −t ⇒ dz = −dt ⇒

−3

0

∫

−3

0

3

3

0

f ( −t ) dt = − ∫ f ( z ) dz = ∫ f ( z ) dz = 6 .

Thay vào ( 1) ta được I = 4 .
Câu 42 (VD) Cho số phức z = a + bi ( với a, b ∈ ¡ ) thỏa z ( 2 + i ) = z − 1 + i ( 2 z + 3) . Tính S = a + b .
A. S = −1 .

B. S = 1 .

C. S = 7 .
Lời giải

Chọn A

D. S = −5 .

z ( 2 + i ) = z − 1 + i ( 2 z + 3) ⇔ z ( 2 + i ) + 1 − 3i = z ( 1 + 2i ) ⇔ ( 1 + 2 z ) + ( z − 3) i = z ( 1 + 2i )

Suy ra: ( 1 + 2 z ) + ( z − 3) = 5 z ⇔ z = 5
2

2

2


Khi đó, ta có: 5 ( 2 + i ) = z − 1 + i ( 2 z + 3) ⇔ z ( 1 + 2i ) = 11 + 2i ⇔ z =

11 + 2i
= 3 − 4i
1 + 2i

Vậy S = a + b = 3 − 4 = −1 .

Câu 43 (VD) Cho hình chóp S . ABCD với ABCD là hình vng cạnh a . Mặt bên SAB là tam giác cân tại
S và nằm trên mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Cạnh bên SC tạo với đáy một góc 60° .
Tính thể tích khối chóp S . ABCD .
A.

a 3 15
.
2

B.

a 3 15
.
6

C.

a3 6
.
3

D.

a3 3
.
6

Lời giải
Chọn B

Gọi I là trung điểm của AB .
Ta có: ∆SAB cân tại S ⇒ SI ⊥ AB

( 1)


( SAB ) ⊥ ( ABCD )
( 2)
Mặt khác: 
SAB
∩
ABCD
=
AB
(
)
(
)


Từ ( 1) và ( 2 ) , suy ra: SI ⊥ ( ABCD )
⇒ SI là chiều cao của hình chóp S . ABCD
⇒ IC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng ( ABCD )

·
⇒ (·SC , ( ABCD ) ) = (·SC , IC ) = SCI
= 60°
2

Xét ∆IBC vng tại B , ta có: IC =

a 5
a
IB + BC =  ÷ + a 2 =
2
2
2

2

Xét ∆SIC vng tại I , ta có: SI = IC.tan 60° =

1
3

a 5
a 15
. 3=
2
2
1
3

Vậy thể tích khối chóp S . ABCD là: V = .S ABCD .SI = .a 2 .

a 15 a 3 15
.
=
2
6

Câu 44 (VD) Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vng cạnh bằng 10 cm bằng
cách kht đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết AB = 5 cm, OH = 4 cm.
Tính diện tích bề mặt hoa văn đó.


A.

160 2
cm
3

B.

140 2
cm
3

14 2
cm
3
Lời giải

C.

D. 50 cm 2

Chọn B

Đưa parabol vào hệ trục Oxy ta tìm được phương trình là: ( P ) : y = −

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P ) : y = −

16 2 16
x + x.
25
5

16 2 16
x + x , trục hoành và các đường thẳng x = 0 ,
25
5

5

40
 16 2 16 
x = 5 là: S = ∫  − x + x ÷dx =
.
25
5 
3
0

Tổng diện tích phần bị khoét đi: S1 = 4S =

160
cm 2 .
3

2

Diện tích của hình vng là: S hv = 100 cm .

160 140
=
cm 2 .
3
3
Câu 45 (VD) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng

Vậy diện tích bề mặt hoa văn là: S 2 = S hv − S1 = 100 −

( P) : z −1 = 0

và ( Q ) : x + y + z − 3 = 0 . Gọi d là đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( P ) , cắt đường

x −1 y − 2 z − 3
=
=
và vng góc với đường thẳng ∆ . Phương trình của đường thẳng d là
1
−1
−1
x = 3 + t
x = 3 − t
x = 3 + t
x = 3 + t





A.  y = t
.
B.  y = t
.
C.  y = t
.
D.  y = −t .
z = 1+ t
z = 1
z = 1
z = 1+ t




Lời giải
Chọn C

thẳng


r
r
Đặt nP = ( 0; 0;1) và nQ = ( 1;1;1) lần lượt là véctơ pháp tuyến của ( P ) và ( Q ) .
r
r r
Do ∆ = ( P ) ∩ ( Q ) nên ∆ có một véctơ chỉ phương u∆ =  nP , nQ  = ( −1;1; 0 ) .
Đường thẳng d nằm trong

( P)

r
r
và d ⊥ ∆ nên d có một véctơ chỉ phương là ud = [ nP , u∆′ ]

= ( −1; −1;0 ) .
x −1 y − 2 z − 3
=
=
và A = d ′ ∩ d ⇒ A = d ′ ∩ ( P )
1
−1
−1
z = 1
z −1 = 0


Xét hệ phương trình  x − 1 y − 2 z − 3 ⇔  y = 0 ⇒ A ( 3;0;1) .
 1 = −1 = −1
x = 3


Gọi d ′ :

x = 3 + t

Do đó phương trình đường thẳng d :  y = t .
z = 1


Câu 46 (VDC) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số y = f ( f ( x ) ) có
bao nhiêu điểm cực trị?

A. 6

B. 7

C. 8
Lời giải

Chọn D

* Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) nhận thấy

x = a

+) f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 2 với 0 < x0 < a < 2 < b < 3 .
x = b

+) f ′ ( x ) > 0 ⇔ a < x < 2 hoặc x > b .
+) f ′ ( x ) < 0 ⇔ x < a hoặc 2 < x < b .
* Ta có :

y = f ( f ( x ) ) ⇒ y′ = f ′ ( f ( x ) ) . f ′ ( x ) .
 f ′( f ( x) ) = 0
y′ = 0 ⇔ 
 f ′ ( x ) = 0

D. 9

* Phương trình f ′ ( f ( x ) )

 f ( x) = a

= 0 ⇔  f ( x ) = 2 với 0 < x0 < a < 2 < b < 3 .
f x =b
 ( )

Mỗi đường thẳng y = b , y = 2 , y = a đều cắt đồ thị hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt lần lượt tính
từ trái qua phải có hồnh độ là x1 và x6 ; x2 và x5 ; x3 và x4 nên:
 x1 < x2 < x3 < x0 < 3 < x4 < x5 < x6

 f ( x1 ) = f ( x6 ) = b

 f ( x2 ) = f ( x5 ) = 2
f (x ) = f (x ) =a
3
4

* Cũng từ đồ thị hàm số đã cho suy ra:
Do đó: f ′ ( f ( x ) ) > 0 ⇔ a < f ( x ) < 2 hoặc f ( x ) > b .

Ta có BBT:

Vậy hàm số có 9 điểm cực trị.
Câu 47 (VDC) Cho log 9 x = log12 y = log16 ( x + y ) . Giá trị của tỷ số
A. 2

B.

1− 5
2

C. 1

x
là.
y
D.

−1 + 5
2

Lời giải
Chọn D
log 9 x = log12 y = log16 ( x + y ) .
t
Đặt t = log 9 x ⇔ x = 9 . Ta được :

t = log12 y = log16 ( x + y ) .
 3 t −1 + 5
 ÷ =
2t
t
 y = 12t
2
3
3





 4 
t
t
t
⇔
⇔
hay
.
9
+
12
=
16
⇔
+
−
1
=
0
 ÷  ÷
t
 3 t −1 − 5
 x + y = 16
4
4



 ÷ =
( loai )
2
 4 
t

x  3  −1 + 5
Khi đó: =  ÷ =
.
y 4
2

Câu 48 (VDC) Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Biết phương trình f ′ ( x ) = 0
có bốn nghiệm phân biệt a , 0 , b , c với a < 0 < b < c .


A. f ( b ) > f ( a ) > f ( c ) .

B. f ( a ) > f ( b ) > f ( c ) .

C. f ( a ) > f ( c ) > f ( b ) .
Chọn C
Bảng biến thiên của

D. f ( c ) > f ( a ) > f ( b ) .
Lời giải

b

:

Do đó ta có f ( c ) > f ( b ) (1)
Ta gọi S1 , S2 , S3 lần lượt là các phần diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số

b

và trục hồnh như

hình bên.

b

0

c

S2 > S1 + S3 ⇔ − ∫ f ′ ( x ) dx > ∫ f ′ ( x ) dx + ∫ f ′ ( x ) dx ⇔ − f ( x ) 0 > f ( x ) a + f ( x )
0

a

b

b

0

c
b

⇔ f ( 0) − f ( b ) > f ( 0) − f ( a ) + f ( c ) − f ( b )
⇒ f ( a ) > f ( c ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra f ( a ) > f ( c ) > f ( b ) .
Câu 49 (VDC) Cho số phức z thỏa mãn z − 1 − i = 1 , số phức w thỏa mãn w − 2 − 3i = 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của z − w .
A. 13 − 3
Chọn B

B. 17 − 3

C. 17 + 3
Lời giải

D. 13 + 3


Gọi M ( x; y ) biểu diễn số phức z = x + iy thì M thuộc đường trịn ( C1 ) có tâm I1 ( 1;1) , bán kính
R1 = 1 .

N ( x′; y ′ ) biểu diễn số phức w = x′ + iy′ thì N thuộc đường trịn ( C2 ) có tâm I 2 ( 2; −3) , bán kính
R2 = 2 . Giá trị nhỏ nhất của z − w chính là giá trị nhỏ nhất của đoạn MN .
uuur
Ta có I1 I 2 = ( 1; −4 ) ⇒ I1 I 2 = 17 > R1 + R2 ⇒ ( C1 ) và ( C2 ) ở ngoài nhau.
⇒ MN min = I1 I 2 − R1 − R2 = 17 − 3
1 3 
2
2
2
;0 ÷
Câu 50 (VDC) Trong khơng gian Oxyz , cho điểm M  ;

và mặt cầu ( S ) : x + y + z = 8 . Một đường
÷
2 2 
thẳng đi qua điểm M và cắt ( S ) tại hai điểm phân biệt A , B . Diện tích lớn nhất của tam giác OAB

bằng
A. 4 .

B. 2 7 .

C. 2 2 .
Lời giải

D.

7.

Chọn D
Mặt cầu ( S ) có tâm O ( 0; 0; 0 ) và bán kính R = 2 2 .
uuuu
r 1 3 
;0÷
Ta có: OM =  ;
÷ ⇒ OM = 1 < R ⇒ điểm M nằm trong mặt cầu ( S ) .
2 2 
Gọi H là trung điểm AB ⇒ OH ≤ OM .
Đặt OH = x ⇒ 0 ≤ x ≤ 1 .

AH
OA2 − OH 2

8 − x 2 cos α = OH = x
Đặt ·AOH = α ⇒ sin α =
;
.
=
=
OA 2 2
OA
OA
2 2
Suy ra sin ·AOB = 2sin α cos α =

x 8 − x2
.
4

1
2
Ta có: S ∆OAB = OA.OB.sin ·AOB = x 8 − x với 0 ≤ x ≤ 1 .
2

Xét hàm số f ( x ) = x 8 − x 2 trên đoạn [ 0;1]
f ′ ( x ) = 8 − x2 −

x2
8− x

2

=

8 − 2 x2
8− x

2

f ( x ) = f ( 1) = 7
> 0, ∀x ∈ [ 0;1] ⇒ max
[ 0;1]

Vậy diện tích lớn nhất của tam giác OAB bằng

7.