42 đề thi thử TN THPT 2021 môn toán THPT nguyễn trung thiên hà tĩnh lần 1 file word có lời giải

SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH

KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT LẦN 1 KHỐI 12

TRƯỜNG THPT

NĂM HỌC 2020 – 2021

NGUYỄN TRUNG THIÊN

MƠN TỐN

------------------

Thời gian làm bài: 90 phút khơng kể thời gian phát đề

2
Câu 1: Đạo hàm của hàm số y = ln ( 1 + x ) là

A.

2x
.
1 + x2

Câu 2: Đồ thị hàm số y =

B. −

2x
.

x +1

C.

2

x
.
1 + x2

D.

1
.
1 + x2

2x − 3
có đường tiệm cận đứng là đường thẳng
x −1

A. y = 1.

B. y = 2.

C. x = 2.

D. x = 1.

2
Câu 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x − 3sin x.

1 3
A. ∫ f ( x ) dx = x − 3cos x + C.
3

B. ∫ f ( x ) dx = 3 x − 3cos x + C.

1 3 1
C. ∫ f ( x ) dx = x + cos x + C .
3
3

D.

Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1; +∞ ) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;3) .
1

1

∫ f ( x ) dx = 3 x

3

+ 3cos x + C.

Câu 5: Trong khơng gian Oxyz, hình chiếu vng góc của điểm M ( 2;1; −1) trên trục Oy có tọa độ là
A. ( 0;0; −1) .

B. ( 2;0; −1) .

C. ( 0;1;0 ) .

Câu 6: Đường cong trong hình vẽ dưới là đồ thị của hàm số y =
nào dưới đây đúng?

A. y ' < 0∀x ≠ 2.

B. y ' > 0∀x ≠ 3.

D. ( 2;0;0 ) .

ax + b
với a, b, c, d là các số thực. Mệnh đề
cx + d

C. y ' > 0∀x ≠ 2.

D. y ' < 0∀x ≠ 3.

C. x = 7.

D. x = 3.

Câu 7: Nghiệm của phương trình 21− x = 16 là
A. x = −3.

B. x = −7.

Câu 8: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA = a và SA ⊥ ( ABCD ) . Thể tích khối
chóp S . ABCD bằng:
A.

a3
.
3

B.

a3
.
6

C.

2a 3
.
3

D. a 3 .

Câu 9: Cho khối nón có bán kính đáy r = 2, chiều cao h = 3. Thể tích của khối nón đã cho là
A.

4π 3
.
3

B.

4π
.
3

C.

2π 3
.
3

D. 4π 3.

Câu 10: Hàm số y = f ( x ) liên tục và có bảng biến thiên trong đoạn [ −1;3] như hình dưới đây. Gọi M là giá
trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ −1;3] . Tìm mệnh đề đúng.

A. M = f ( 0 ) .

B. M = f ( −1) .

C. M = f ( 3) .
2

D. M = f ( 2 ) .

Câu 11: Hình vẽ sau đây là đồ thị của một trong 4 hàm số cho dưới đây. Đó là hàm số nào?

A. y = − x 4 − 3 x 2 − 2.

B. y = x 3 + 3 x 2 − 2.

C. y = − x 3 + 3x 2 − 2.

D. y = x 3 − 3 x − 2.

Câu 12: Tập xác định của hàm số y = 2 x là:
B. [ 0; +∞ ) .
C. ¡ .
r r r
r
r
Câu 13: Trong không gian Oxyz, cho u = 3i − 2 j + 2k . Tọa độ của u là
A. ¡ \ { 0} .

A. ( 3; 2; −2 ) .

B. ( 3; −2; 2 ) .

D. ( 0; +∞ ) .

C. ( −2;3; 2 ) .

D. ( 2;3; −2 ) .

Câu 14: Cho hàm số f ( x ) xác định trên ¡ \ { 0} , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như
sau

Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

C. 8.

D. 6.

Câu 15: Số cạnh của một hình tứ diện là
A. 12.

B. 4.

Câu 16: Cho hình trụ có bán kính R = a, mặt phẳng đi qua trục và cắt hình trụ theo một thiết diện có diện tích
bằng 6a 2 . Diện tích xung quanh của hình trụ là
A. 8π a 2 .

B. 6π a 2 .

D. 6π a.

C. 8π a 2 .

Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x − 3) + ( y + 2 ) + ( z − 4 ) = 25. Tìm tọa độ
2

tâm I và bán kính R của mặt cầu ( S ) .
A. I ( 3; −2; 4 ) , R = 25.

B. I ( −3; 2; −4 ) , R = 25.

C. I ( −3; 2; −4 ) , R = 5.

D. I ( 3; −2; 4 ) , R = 5.
3

2

2


Câu 18: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2. Đồ thị của hàm số có điểm cực đại là
A. ( 0; −2 ) .

B. ( 0; 2 )

C. ( 2; −2 )

D. ( 2; 2 )

3
Câu 19: Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = x − 3 x trên đoạn [ −3;3] bằng

A. −18

B. −2

C. 18

D. 2

Câu 20: Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x 3 − x với trục hoành là
A. 1.

B. 2.

C. 0

D. 3

2
Câu 21: Cho F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 x − 2 x thỏa mãn F ( 0 ) = 1. Tính F ( 1) ?

A. F ( 1) = 1.

B. F ( 1) = −1

C. F ( 1) = 2

D. F ( 1) = −2

Câu 22: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn 3log a + 2 log b = 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. a 3b 2 = 10

C. 3a + 2b = 10

B. a 3 + b 2 = 10

D. a 3 + b 2 = 1

Câu 23: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( x ) − m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
A. m ∈ [ 1; 2]

C. m ∈ ( 1; 2 ] .

B. m ∈ ( 1; 2 )

D. m ∈ [ 1; 2 )

2 2
Câu 24: Khi đặt t = log 2 x, phương trình log 2 x + 2 log 4 x − 2 = 0 trở thành phương trình nào sau đây?

A. 4t 2 + t − 2 = 0.

B. 2t 2 + t − 2 = 0.

C. t 2 + 4t − 2 = 0.

D. 2t 2 + 2t − 1 = 0.

Câu 25: Số nghiệm nguyên của bất phương trình log 1 ( x − 2 ) ≥ −2 là
2

A. 5

B. 10

C. 4

D. 6

Câu 26: Cho a, b, c là các số thực dương khác 1. Hình vẽ bên là đồ thị của ba hàm số
y = log a x, y = log b x, y = log c x.

4


Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. c < b < a

B. c < a < b

C. a < c < b

D. a < b < c

Câu 27: Đặt log 2 3 = a. Khi đó log12 18 bằng
A.

1 + 2a

2+a

B. a

C.

2+a
1 + 2a

D.

1 + 3a
2+a

Câu 28: Cho cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 = 2 và công sai d = 5. Giá trị u4 bằng
A. 17

B. 250

C. 22

D. 12

Câu 29: Số cách chọn 3 học sinh từ 40 học sinh trong lớp 12A để phân vào ba vị trí lớp trưởng, lớp phó và bí
thư là
A. 340.

3

B. C40 .

C. 403.

3
D. A40 .

Câu 30: Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) .SA = a 2. Tam giác ABC vuông cân
tại B và AB = a (minh họa như hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng

A. 900

B. 300

C. 450

D. 600

Câu 31: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau

5


2
Hàm số g ( x ) = f ( x − 2 x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( 2; +∞ )

B. ( 1; 2 )

C. ( 0;1)

D. ( −∞;1)

Câu 32: Giá trị của m để đường thẳng d : y = ( 2m − 3) x + m − 3 vng góc với đường thẳng đi qua hai điểm
cực trị của đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 1 là
A. m =

1
2

Câu 33: Cho hàm số f ( x ) =

B. m =

7
4

ax + 1
( a , b, c ∈ ¡
bx + c

C. m = 1

)

D. m = −

1
2

có bảng biến thiên như sau:

Trong các số a, b và c có bao nhiêu số dương?
A. 0

B. 3

C. 1

D. 2

Câu 34: Trong đợt tham quan quốc tế, một Đoàn trường THPT cử 30 đoàn viên xuất sắc của 3 khối tham gia.
Khối 12 có 6 nam và 4 nữ, khối 11 có 5 nam và 5 nữ, khối 10 có 4 nam và 6 nữ. Chọn mỗi khối 1 đoàn viên làm
trưởng nhóm, tính xác suất để trong 3 em làm nhóm trưởng có cả nam và nữ.
A.

5
.
12

B.

19
.
25

C.

7
.

12

D.

6
.
25

4
2
Câu 35: Biết rằng đồ thị hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c có hai điểm cực trị là A ( 0; 2 ) và B ( 2; −14 ) . Trong
các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. f ( 1) = −6.

B. f ( 1) = −5.

C. f ( 1) = 0

D. f ( 1) = −7.

x
x
x
Câu 36: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình m.9 − ( 2m + 1) .6 + m.4 ≤ 0

nghiệm đúng với mọi x ∈ ( 0;1) ?
A. 5

B. Vô số

C. 8

D. 6

Câu 37: Cho hình nón ( N ) có đáy là hình trịn tâm O, đỉnh S , thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh 2a.

Cho điểm H thay đổi trên đoạn thẳng SO. Mặt phẳng ( P ) vng góc với SO tại H và cắt hình nón theo
đường trịn ( C ) . Khối nón có đỉnh O và đáy là hình trịn ( C ) có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
6


A.

4 3π a 3
.
81

Câu 38: Cho hàm số f ( x ) =
A.

19
2

B.

2 3π a 3
81

2x

. Tổng f ( 0 ) +
2x + 2
B.

C.
1
f  ÷+
 10 

59
6

3 3π a 3
81

 2
f  ÷+ ... +
 10 

3π a 3
81

D.
 18 
f  ÷+
 10 

C. 10

 19 

f  ÷ bằng
 10 
D.

28
3

Câu 39: Một kĩ sư mới ra trường làm việc với mức lương khởi điểm là 7.000.000 đồng/tháng. Cứ sau 9 tháng
làm việc, mức lương của kĩ sư đó lại được tăng thêm 10%. Hỏi sau 4 năm làm việc, tổng số tiền lương kĩ sư đó
nhận được là bao nhiêu?
A. 407.721.300 đồng.

B. 418.442.010 đồng.

C. 421.824.081 đồng.

D. 415.367.400 đồng.

Câu 40: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y =

( 0; 2 ) .
A. 9

B. 5

C. 4

mx + 10
nghịch biến trên khoảng
2x + m

D. 6

Câu 41: Cho hình chóp đều S . ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một
2
góc 600. Gọi M là điểm thuộc cạnh SB sao cho SM = SB (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách từ M đến
3
mặt phẳng ( SCD ) .

A.

2a 42
.
21

B.

a 42
.
14

C.

Câu 42: Cho hàm số y = d ( x ) có bảng biến thiên như sau.
7

a 42
.
21

D.

a 42
.
7


Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc [ −10;10] của m để đồ thị hàm số y =
A. 2

B. 5

3

f ( x ) −m
2

C. 4

có 4 tiệm cận đứng?
D. 3

Câu 43: Quả bóng đá được dùng thi đấu tại các giải bóng đá Việt Nam tổ chức có chu vi của thiết diện qua tâm
là 68,5 cm. Quả bóng được ghép nối bởi các miếng da hình lục giác đều màu trắng và đen, mỗi miếng có diện
tích 49,83cm2. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu miếng da để làm quả bóng trên?
A. 20.

B. 35.

C. 40.

D. 30.

2
x
2x
Câu 44: Cho F ( x ) = ( x + 2 x ) e là một nguyên hàm của f ( x ) .e . Tìm họ nguyên hàm của hàm số

f ' ( x ) .e 2 x .

2x
2
x
A. ∫ f ' ( x ) .e dx = ( 2 + x ) e + C

2x
2
x
B. ∫ f ' ( x ) .e dx = ( x − 2 ) e + C

2x
2
x
C. ∫ f ' ( x ) .e dx = ( 2 − x ) e + C

D.

∫ f ' ( x ) .e

2x

dx = ( − x 2 − 2 ) e x + C

Câu 45: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn 2020 f ( x ) = x + x 2 + 2020, ∀x ∈ ¡

. Có bao nhiêu số nguyên m thỏa

mãn f ( log m ) < f ( log m 2020 ) ?
A. 66.

B. 63.

C. 65.

Câu 46: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau

8

D. 64.


1 5 5 3
7
3
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số g ( x ) = f ( x − 3x ) − x + x − 4 x −
trên đoạn [ −1; 2] ?
5
3
15
A. −19.

B. −20.

C. −21.

D. −22.

Câu 47: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt thuộc các đoạn thẳng
AB
AD
AB, AD ( M , N không trùng A) sao cho
+2
= 4. Ký hiệu V , V1 lần lượt là thể tích của các khối chóp
AM
AN
V
S . ABCD và S .MBCDN . Giá trị lớn nhất của tỷ số 1 bằng
V
1
A. .
6
Câu

48:

2
B. .
3
Cho

hàm

số

y = f ( x)

4
C. .
7
xác

định

và

có

3
.
4

D.
đạo

hàm

¡

trên

và

thỏa

mãn

2 f ( 2 x ) + f ( 1 − 2 x ) = 12 x ∀x ∈ ¡ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm có hồnh độ
bằng 1 tạo với hai trục Ox, Oy một tam giác có diện tích S bằng
2

A. 1

B.

1
2

C. 2

D.

3
2

Câu 49: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BA = BC = 5a, SA ⊥ AB và
9
SC ⊥ CB. Biết góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SBC ) là α thỏa cos α = . Thể tích của khối chóp S . ABC
16
là
50a 3
A.

.
3

50a 3
C.
.
9

125 7a 3
B.
.
18

D.

125 7 a 3
.
9

Câu 50: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ có đồ thị như hình vẽ.

Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình
đoạn [ −2;6] ?
A. 1

B. 2

m3 + 4m
8 f

2

( x) +1

= f 2 ( x ) + 2 có 4 nghiệm phân biệt thuộc

C. 4
-------------------- HẾT ------------------9

D. 3


BẢNG ĐÁP ÁN
1-A

2-D

3-D

4-B

5-C

6-A

7-A

8-A

9-A

10-A

11-B

12-C

13-B

14-C

15-D

16-B

17-D

18-B

19-C

20-D

21-A

22-A

23-B

24-A

25-C

26-B

27-A

28-A

29-D

30-C

31-B

32-B

33-C

34-B

35-B

36-D

37-A

38-B

39-B

40-D

41-A

42-D

43-D

44-C

45-D

46-A

47-D

48-B

49-B

50-B

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Chọn A.
Ta có: ( ln u ) ' =

(

)

u'
2x
⇒ ln ( 1 + x 2 ) ' =
.
u
1 + x2

Câu 2: Chọn D.
Đồ thị y =
Nên y =

ax + b
d
có TCĐ là đường thẳng x = − .
cx + d
c

2x − 3
có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1.
x −1

Câu 3: Chọn D.
Ta có

∫( x

2

1

− 3sin x ) dx = x 3 + 3cos x + C.
3

Câu 4: Chọn B.
Dựa vào BBT ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .
Câu 5: Chọn C.
Điểm nằm trên trục Oy có tọa độ là ( 0; y0 ;0 ) .
Như vậy hình chiếu vng góc của M ( 2;1; −1) trên Oy có tọa độ là ( 0;1;0 ) .
Câu 6: Chọn A.
 d
Tập xác định: D = ¡ \ −  .
 c
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = −

d
= 2 ⇒ tập xác định x ≠ 2.
c

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
10


⇒ y ' < 0, ∀x ∈ D.
Vậy khẳng định đúng là y ' < 0∀x ≠ 2.
Câu 7: Chọn A.
Phương trình đã cho tương đương với 21− x = 24 ⇔ 1 − x = 4 ⇔ x = −3.
Vậy phương trình có nghiệm x = −3.
Câu 8: Chọn A.

2

Vì ABCD là hình vng nên S ABCD = a .

1
1
a3
Lại có SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ VS . ABCD = SA.S ABCD = .a.a 2 = .
3
3
3
Câu 9: Chọn A.
Áp dụng cơng thức tính thể tích khối nón, thể tích khối nón đã cho là
1
1
4π 3
(đvtt).
V = π r 2 h = π .22 3 =
3
3
3
Câu 10: Chọn A.
Từ bảng biến thiên của hàm số ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 0.
Vậy M = f ( 0 ) .
Câu 11: Chọn B.
Nhìn vào đồ thị ta thấy ngay đây là đồ thị của hàm bậc ba có hệ số của x 3 là số dương nên ta chọn B.
Câu 12: Chọn C.
Tập xác định của hàm số y = 2 x là D = ¡ .
Câu 13: Chọn B.
r r r
r
r

Ta có u = 3i − 2 j + 2k ⇒ u = ( 3; −2; 2 ) .
Câu 14: Chọn C.
11


Câu 15: Chọn D.

Hình tứ diện có 6 cạnh.
Câu 16: Chọn B.

Xét hình trụ có các giả thiết như bài tốn, thiết diện qua trục OO ' là hình chữ nhật ABCD .
2
2
2
Theo đề bài ta có: AB = 2 R = 2a và S ABCD = 6a ⇒ AB.BC = 6a ⇒ 2a.BC = 6a ⇒ BC = 3a

⇒ h = l = BC = 3a.
2
Khi ấy, diện tích xung quanh của hình trụ cần tìm là: S xq = 2π Rl = 2π .a.3a = 6π a .

Câu 17: Chọn D.
Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 3; −2; 4 ) và bán kính R = 5.
Câu 18: Chọn B.
Tập xác định hàm số D = ¡ .
x = 0
2
.
Ta có y ' = 3x − 6 x; y ' = 0 ⇔ 
x = 2
Bảng biến thiên

12


Vậy đồ thị của hàm số có điểm cực đại là ( 0; 2 ) .
Câu 19: Chọn C.
Hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ −3;3] .
 x = −1 ∈ [ −3;3]
f ' ( x ) = 3 x 2 − 3; f ' ( x ) = 0 ⇔ 
 x = 1 ∈ [ −3;3]
Ta có f ( −3) = −18, f ( 3) = 18, f ( −1) = 2, f ( 1) = −2.
f ( x ) = 18.
Suy ra max
[ −3;3]
Câu 20: Chọn D.
x = 0
3
.
Phương trình hồnh độ giao điểm là x − x = 0 ⇔ 
 x = ±1
Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Câu 21: Chọn A.
2
3
2
Với ∀x ∈ ¡ , ta có: F ( x ) = ∫ ( 3 x − 2 x ) dx = x − x + C .
3
2
3
2
Theo đề: F ( 0 ) = 1 ⇒ C = 1 ⇒ F ( x ) = x − x + 1 ⇒ F ( 1) = 1 − 1 + 1 = 1.

Câu 22: Chọn A.
Với các số thực dương a, b ta có:
3log a + 2 log b = 1 ⇔ log a 3 + log b 2 = 1 ⇔ log ( a 3 .b 2 ) = 1 ⇔ a 3 .b 2 = 10.
Câu 23: Chọn B.
Ta có: f ( x ) − m = 0 ⇔ f ( x ) = m.
13


Dựa vào bảng biến thiên, phương trình f ( x ) − m = 0 có 4 nghiệm phân biệt khi 1 < m < 2.
Vậy m ∈ ( 1; 2 ) .
Câu 24: Chọn A.
Ta có: log 22 x 2 + 2 log 4 x − 2 = 0 ⇔ ( log 2 x 2 ) + log 2 x − 2 = 0
2

⇔ ( 2 log 2 x ) + log 2 x − 2 = 0 ⇔ 4 ( log 2 x ) + log 2 x − 2 = 0.
2

2

Đặt t = log 2 x , phương trình trên trở thành phương trình 4t 2 + t − 2 = 0.
Câu 25: Chọn C.
x − 2 > 0
x > 2
⇔
⇔ 2 < x ≤ 6.
Theo bài: log 1 ( x − 2 ) ≥ −2 ⇔ 
x − 2 ≤ 4
x ≤ 6
2

Vậy x ∈ { 3; 4;5;6} .
Câu 26: Chọn B.
Từ đồ thị hàm số, ta có a > 1, b > 1 và 0 < c < 1, do đó c < a và c < b.
m
log a x1 = m
a = x1
y
=
m
x
,
x
>
0
⇔
.
Mặt khác, chọn
khi đó tồn tại 1 2
thỏa mãn 
 m
b = x2
log b x2 = m
m
m
Dễ thấy, x1 < x2 ⇔ a < b ⇔ a < b.

Vậy c < a < b.
Câu 27: Chọn A.
log 2 18 log 2 ( 2.3 ) 1 + 2 log 2 3 1 + 2a
=

=
=
.
Ta có: log12 18 =
log 2 12 log 2 ( 22.3)
2 + log 2 3
2+a
2

Câu 28: Chọn A.
Ta có: u4 = u1 + 3d = 2 + 3.5 = 17.
Câu 29: Chọn D.
3
Số cách chọn 3 học sinh từ 40 học sinh trong lớp 12A để phân vào ba vị trí lớp trưởng, lớp phó và bí thư là: A40 .

Câu 30: Chọn C.

(

)

·
·
Vì AC là hình chiếu vng góc của SC trên ( ABC ) nên SC ; ( ABC ) = SCA
Tam giác ABC vuông cân tại B và AB = a nên AC = a 2.

14


Tam giác SAC vuông tại A nên: tan SCA =

SA a 2
·
=
= 1 ⇒ SCA
= 450.
AC a 2

Câu 31: Chọn B.
g ( x ) = f ( x2 − 2x )
g ' ( x ) = ( 2x − 2) f ' ( x2 − 2x )
x = 1
x = 1
2x − 2 = 0

 2
2
g '( x) = 0 ⇔ ( 2x − 2) f '( x − 2x ) = 0 ⇔ 
⇔  x − 2 x = −1 ⇔  x = 0
2
 f ' ( x − 2 x ) = 0
 x2 − 2 x = 0
 x = 2

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số y = g ( x ) nghịch biến trên ( −∞;0 ) , ( 1; 2 ) .
Câu 32: Chọn B.
 x 1
2

Ta có: y ' = 3x − 6 x ⇒ y =  − ÷. y ' ( x ) + 1 − 2 x.
 3 3
Vậy phương trình đường thảng qua hai điểm cực trị là y = 1 − 2 x.
7
Để đường thẳng ( d ) vng góc với đường thẳng y = 1 − 2 x ⇔ ( 2m − 3) ( −2 ) = 1 ⇔ m = .
4
Câu 33: Chọn C.
c
c
Tiệm cận đứng: x = − ⇒ − = 2 ⇔ c = −2b. ( 1)
b
b
Tiệm cận ngang: y =
Ta có: f ( 0 ) =

a
a
⇒ = 1 ⇔ a = b.
b
b

( 2)

1
> 1 ⇒ c > 0. Từ ( 1) , ( 2 ) ⇒ a, b < 0.
c

Câu 34: Chọn B.
15

Xét phép thử: “Chọn mỗi khối 1 đoàn viên làm trưởng nhóm”.
⇒ n ( Ω ) = 103.
Gọi biến cố A: “trong 3 em làm nhóm trưởng có cả nam và nữ”.
⇒ A : “cả ba bạn làm nhóm trưởng chỉ là nam hoặc nữ”.

( )

⇒ n A = 6.5.4 + 4.5.6 = 240

( )

⇒P A =

( ) = 240 =

n A

n ( Ω)

103

( )

6 19
6
= .
. Vậy P ( A ) = 1 − P A = 1 −
25 25
25

Câu 35: Chọn B.
4
2
3
Ta có f ( x ) = ax + bx + c ⇒ f ' ( x ) = 4ax + 2bx.

f

f
A ( 0; 2 ) và B ( 2; −14 ) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số f ( x ) ⇒ 
f
f


( 0) = 2
( 2 ) = −14
' ( 0) = 0
' ( 2) = 0

c = 2
 4 a + b = −4
a = 1
16a + 4b + c = −14



⇔
⇔ 8a + b = 0 ⇔ b = −8
0

=
0

c = 2
c = 2


32a + 4b = 0
4
2
Suy ra f ( x ) = x − 8 x + 2 (thỏa mãn đồ thị f ( x ) có ba điểm cực trị trong đó có điểm ( 0; 2 ) và ( 2; −14 ) ).

Vậy f ( 1) = −5.
Câu 36: Chọn D.
2x

x

3
3
Ta có m.9 − ( 2m + 1) .6 + m.4 ≤ 0 ⇔ m.  ÷ − ( 2m + 1) .  ÷ + m ≤ 0 ( *)
2
2
x

x

x

x

 3
3
Đặt t =  ÷ , khi x ∈ ( 0;1) thì t ∈ 1; ÷.
 2
2
2
Ta có (*) trở thành m.t − ( 2m + 1) .t + m ≤ 0

⇔ m. ( t − 1) ≤ t ⇔ m ≤

t

2

Xét hàm số f ( t ) =

( t − 1)

2

 3
2
(vì ( t − 1) > 0, với mọi t ∈  1; ÷).
 2

t

, với t ∈ 1; 3 ÷.
( t − 1)
 2

2

16


Ta có f ' ( t ) =

−t − 1

< 0, với mọi t ∈  1; 3 ÷ .
( t − 1)
 2
3

 3
3
Suy ra m ≤ f ( t ) , với mọi t ∈  1; ÷ ⇔ m ≤ f  ÷ = 6.
 2
2
Vì m nguyên dương nên m ∈ { 1; 2;3; 4;5;6} .
Vậy có 6 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 37: Chọn A.

Gọi x = OH ( x > 0 ) , r là bán kính đường tròn ( C ) .
SO = SB 2 − OB 2 = a 3 (Pi-ta-go)
SH = a 3 − x.
Dễ thấy ∆SHM ∽∆SOB nên:
HM SH
r a 3−a
a 3−x

=
⇔ =
⇔r=
OB SO
a
a 3
3
Thể tích hình nón đỉnh O và đáy là hình trịn ( C ) :

(

)

2

1
1 a 3−x
1
V = π r 2h = π
.x = π . x 3 − 2 3ax 2 + 3a 2 x .
3
3
3
9

(

)

 x = 3a

1

2
2
V ' = π . 3 x − 4 3ax + 3a = 0 ⇔ 
3 .
9
x
=
a

3

(

)

17


Bảng biến thiên

Vmax

4 3π .a 3
=
.
81

Câu 38: Chọn B.

f ( x) =

2x
.
2x + 2

f ( 2 − x) =

2x
2x

22− x
4
2
= 2
=
=
.
2− x
x
2 +2 2
4 + 2.2
2 + 2x
+2
2x

⇒ f ( x ) + f ( 2 − x ) = 1.
1
Nên f ( 0 ) + f  ÷+
 10 

 2
f  ÷+ ... +
 10 

 18 
f  ÷+
 10 

 19 
f  ÷ = f ( 0 ) + 9.1 +
 10 

1 59
 10  1
f  ÷ = + 9.1 + = .
2 6
 10  3

Câu 39: Chọn B.
Kí hiệu: a = 7.106 đồng là mức lương khởi điểm mà kĩ sư nhận được: r = 10% là mức lương sau kì hạn 9
tháng.
+ 9 tháng đầu tiên số tiền mà kĩ sư đó nhận được là: 9a.
+ 9 tháng thứ 2 số tiền mà kĩ sư đó nhận được sau khi tăng lương là: 9a ( 1 + r ) .
+ 9 tháng thứ 3 số tiền mà kĩ sư đó nhận được sau khi tăng lương là: 9a ( 1 + r ) .
2

…
n −1
9 tháng thứ n số tiền mà kĩ sư đó nhận được sau khi tăng lương là: 9a ( 1 + r ) .

Vậy số tiền kĩ sư đó nhận được sau 4 năm (48 tháng; được tăng lương 4 lần) làm việc là:

18


4

A = 9.a.∑ ( 1 + r ) + 3.a. ( 1 + r )
x

5

x =0

4

= 9.7.106.∑ ( 1 + 10% ) + 3.7.106. ( 1 + 10% )
x

5

x= 0

= 418442010.

Cách 2: Trình bày bảng.
4 năm = 48 tháng = 5 lần 9 tháng + 3 tháng
Chu kì tăng

Tiền lương

Tổng số tiền thu được

9T thứ 1

9a

9T thứ 2

9a ( 1 + r )

A = 9.a.∑ ( 1 + r ) + 3.a. ( 1 + r )

9T thứ 3

9a ( 1 + r )

2

9T thứ 4

9a ( 1 + r )

3

9T thứ 5

9a ( 1 + r )

4

3 tháng dư (đã
được tăng lần
thứ 5)

3a ( 1 + r )

5

4

2

5

x =0

4

= 9.7.106.∑ ( 1 + 10% ) + 3.7.106. ( 1 + 10% )
x

5

x= 0

= 418442010.

Câu 40: Chọn D.

Điều kiện xác định của hàm số: x ≠
Ta có y ' =

−m
2

m2 − 20

( 2x + m)

Để hàm số y =

2

mx + 10
nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 )
2x + m

m 2 − 20 < 0

 y ' < 0∀x ∈ ( 0; 2 )
  −m

m ∈ −2 5; 2 5
⇔ m
⇔  2 ≤ 0 ⇔ 
⇔ m ∈ −2 5; −4  ∪ 0; 2 5 .
−
∉
0;

2

(
)
m
∈
−∞
−
4
∪
0;
+∞

 −m

(
)
] [
 2

≥2
  2

(

)

Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số m.
Câu 41: Chọn A.

19

(

)


Ta có BM ∩ ( SCD ) = S suy ra

d ( M ; ( SCD ) )
d ( B; ( SCD ) )

=

SM 2
2
= ⇒ d ( M ; ( SCD ) ) = d ( B; ( SCD ) ) .
SB 3
3

Lại có O là trung điểm của BD nên suy ra d ( B; ( SCD ) ) = 2d ( O; ( SCD ) ) .
Suy ra d ( M ; ( SCD ) ) =

4
d ( O; ( SCD ) ) .
3

Gọi K là trung điểm CD ta được OK là đường trung bình của ∆BCD .
OK / / BC


Suy ra 
1
a.
OK
=
BC
=

2
2
CD ⊥ OK
CD ⊥ SO




Ta có
 ⇒ CD ⊥ ( SOK ) .
OK ; SO ⊂ ( SOK ) 

OK ∩ SO = O
Mà CD ⊂ ( SCD ) nên ( SCD ) ⊥ ( SOK ) .
Có ( SCD ) ∩ ( SOK ) = SK .
Dựng OH ⊥ SK ⇒ OH ⊥ ( SCD ) .
Suy ra d ( O; ( SCD ) ) = OH .
20


Ta có OD là hình chiếu của SD lên mặt phẳng ( ABCD ) .
0

Nên ( SD; ( ABCD ) ) = ( SO; OD ) = ∠SDO = 60

Trong ∆SDO vng tại O có: tan ∠SDO =
⇒ SO =

SO
⇒ SO = OD.tan 600.
OD

BD
a 2
a 6
.tan 600 =
. 3=
.
2
2
2

Trong ∆SOK vng tại O có
1
1
1
a 42
=
+
⇔ OH =
.
2
2

2
OH
SO OK
14
4
2a 42
Vậy d ( M ; ( SCD ) ) = OH =
.
3
21
Câu 42: Chọn D.
Đồ thị hàm số y =

3

f ( x ) −m
2

2
có 4 tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình f ( x ) − m = 0 ( 1) có 4 nghiệm

phân biệt.
Đặt t = x 2 ; t ≥ 0. Khi đó để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình f ( t ) − m = 0 ( 2 ) có 2
nghiệm phân biệt dương.
Ta có số nghiệm của phương trình (2) chính là số giao điểm của 2 đồ thị y = f ( t ) và y = m.
Dựa vào bảng biến thiên ta có −1 < m < 3 thì 2 đồ thị y = f ( t ) và y = m có 2 giao điểm với hồnh độ dương
hay phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.
Suy ra −1 < m < 3 thì đồ thị hàm số y =

3

f ( x ) −m
2

có 4 tiệm cận đứng.

Theo điều kiện đề bài ta có m = { 0;1; 2} thỏa u cầu bài tốn.
Vậy có 3 giá trị m cần tìm.
Câu 43: Chọn D.

21


Do chu vi của thiết diện qua tâm là độ dài của đường trịn lớn nên ta có
2π R = 68,5 ⇔ R =

68,5
cm.
2π

Ta có diện tích tồn phần của quả bóng là
2

2

 68,5  68,5
S = 4π R = 4π . 
cm 2 .
÷ =
π

 2π 
2

68,52
Vậy số miếng da cần làm quả bóng trên là n = π ≈ 30 (miếng da).
49,83
Câu 44: Chọn C.
2
x
2x
* Do F ( x ) = ( x + 2 x ) e là một nguyên hàm của f ( x ) .e nên ta có:

f ( x ) .e 2 x = F ' ( x ) = ( x 2 + 2 x ) e x  ' = ( 2 x + 2 ) e x + ( x 2 + 2 x ) e x
⇔ f ( x ) e2 x = ( x 2 + 2 x + 2 x + 2 ) e x ⇔ f ( x ) e2 x = ( x 2 + 4 x + 2 ) e x .
2x
Tính I = ∫ f ' ( x ) .e dx.

u = e 2 x
 du = 2e2 x dx
⇒
.
Đặt 
 dv = f ' ( x ) dx v = f ( x )
22


2x
2x
2x
2

x
2
x
Ta có I = ∫ f ' ( x ) .e dx = f ( x ) e − 2∫ f ( x ) .e dx = ( x + 4 x + 2 ) e − 2 ( x + 2 x ) e + C

= ( x 2 + 4 x + 2 − 2 x 2 − 4 x ) e x + C = ( 2 − x 2 ) e x + C.
2x
2
x
Vậy I = ∫ f ' ( x ) .e dx = ( 2 − x ) e + C.

Câu 45: Chọn D.
Vì x + x 2 + 2020 > x + x ≥ 0 ⇒ x + x 2 + 2020 > 0, ∀x ∈ ¡ .

)

(

f ( x)
= x + x 2 + 2020 ⇔ f ( x ) = log 2020 x + x 2 + 2020 .
Từ giả thiết 2020

Ta có f ' ( x ) =

1+

(

x
x + 2020

2

)

x + x 2 + 2020 ln 2020

=

(

x + x 2 + 2020

)

x + x 2 + 2020 ln 2020 x 2 + 2020

> 0, ∀x ∈ ¡

Suy ra hàm số f ( x ) luôn đồng biến trên ¡ .
m > 0
Mà với 
thì f ( log m ) < f ( log m 2020 ) ⇔ log m < log m 2020
m ≠ 1
⇔

 0 < log m < log 2020
1 < m < 10 log 2020 ≈ 65, 78
log 2 m − log 2020
<0⇔
⇔

.
log m
 log m < − log 2020
 m < 10− log 2020 ≈ 0, 02

m > 0
Kết hợp với 
và m ∈ ¢ nên m ∈ { 2;3;...;65} .
m ≠ 1
Vậy có tất cả 64 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài tốn.
Câu 46: Chọn A.
2
3
4
2
2
3
2
Ta có g ' ( x ) = 3 ( x − 1) f ' ( x − 3x ) − x + 5 x − 4 = ( x − 1) 3 f ' ( x − 3x ) − x + 4  .
3
Xét hàm số h ( x ) = x − 3 x trên đoạn [ −1; 2] , ta có:

 x = −1 ∈ [ −1; 2]
h ' ( x ) = 0 ⇔ 3x 2 − 3 = 0 ⇔ 
.
 x = 1∈ [ −1; 2]
Mà h ( −1) = 2, h ( 1) = −2, h ( 2 ) = 2 nên h ( x ) ∈ [ −2; 2] , ∀x ∈ [ −1; 2] .
3
Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra 3. f ' ( x − 3 x ) > 0, ∀x ∈ [ −1; 2] ( 1) .

Mặt khác, với x ∈ [ −1; 2] thì 4 − x 2 ≥ 0(2).
23


3
2
Từ (1) và (2) suy ra 3 f ' ( x − 3x ) − x + 4 > 0, ∀x ∈ [ −1; 2] .
2
3
2
2
Do đó xét g ' ( x ) = 0 ⇔ ( x − 1) 3 f ' ( x − 3x ) − x + 4  = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = ±1 ∈ [ −1; 2 ] .

31

 g ( −1) = f ( 2 ) + 15

Mà  g ( 1) = f ( −2 ) − 3 và f ( −2 ) < f ( 2 ) (do f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ [ −2;3] ).

 g ( 2 ) = f ( 2 ) − 23
15

Nên f ( −2 ) − 3 < f ( 2 ) −

23
23
31
< f ( 2) −
< f ( 2) +
hay g ( 1) < g ( 2 ) < ( −1) .

15
15
15

g ( x ) = g ( 1) = f ( −2 ) − 3 = −16 − 3 = −19.
Vậy min
[ −1;2]
Câu 47: Chọn D.

Đặt x =

AB
AD
,y=
( x, y > 0 ) . Theo giả thiết, ta có x + 2 y = 4.
AM
AN

Mặt khác: V1 = VS .MBCDN = VS . ABCD − VS . AMN
⇒

V
V
V1 VS . ABCD − VS . AMN
1 V
1 AM AN
=
= 1 − S . AMN = 1 − S . AMN = 1 − . A.SMN = 1 − .
.
V

VS . ABCD
VS . ABCD
2.VS . ABD
2 VA.SBD
2 AB AD

⇒

V1
1 1 1
1
= 1− . . = 1−
.
V
2 x y
2 xy

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương x và 2 y , ta được: x + 2 y ≥ 2 x.2 y
⇒ 4 ≥ 2 2 xy ⇒ 2 xy ≤ 4 ⇒ 1 −

1
1 3 V 3
≤ 1− = ⇒ 1 ≤ .
2 xy
4 4
V 4

24

x = 2 y
x = 2
⇔
.
Dấu “=” xảy ra ⇔ 
x + 2 y = 4
y =1
Vậy GTLN của tỷ số

V1
3
bằng .
V
4

Câu 48: Chọn B.
Phương trình tiếp tuyến
y = f ' ( 1) . ( x − 1) + f ( 1) .

( d)

của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm có hồnh độ bằng 1 có dạng

2
Ta cần tìm f ( 1) và f ' ( 1) . Xét phương trình: 2 f ( 2 x ) + f ( 1 − 2 x ) = 12 x ∀x ∈ ¡ . ( *)

-> Ta tìm f ( 1) :
* Thay x = 0 vào ( *) , ta được: 2 f ( 0 ) + f ( 1) = 0. ( 1)
* Thay x =

1
vào (*), ta được: 2 f ( 1) + f ( 0 ) = 3. (2)
2

* Từ ( 1) và ( 2 ) suy ra f ( 1) = 2.
-> Ta tìm f ' ( 1) :
* Đạo hàm hai vế của (*), ta được: 4. f ' ( 2 x ) − 2 f ' ( 1 − 2 x ) = 24 x ∀x ∈ ¡ .(**)
* Thay x = 0 vào (**), ta được: 4. f ' ( 0 ) − 2. f ' ( 1) = 0. ( 3)
* Thay x =

1
vào (**), ta được: 4. f ' ( 1) − 2. f ' ( 0 ) = 12. ( 4 )
2

* Từ ( 3) và ( 4 ) suy ra f ' ( 1) = 4.
Như vậy, tiếp tuyến ( d ) có phương trình là: y = 4 ( x − 1) + 2 ⇔ y = 4 x − 2.
1 
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của ( d ) với Ox và Oy, ta được A  ;0 ÷ và B ( 0; −2 ) .
2 
1
⇒ OA = , OB = 2.
2
1
1
Vậy S = OA.OB = (đvtt).
2
2
Câu 49: Chọn B.

25